funciones de varias variables
- 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Ingeniería de sistemas -Materia: MATEMATICA III -Sección: “A” Nombres: Juan Ordaz C.I:30.132.423
- 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Las funciones de varias variables son las mismas que otras variables y todas tienen la misma definición de función. La diferencia es que una variable dependiente estará controlada por múltiples variables independientes. Las funciones que usan tres variables (a menudo llamadas z = f (x, y)) son muy comunes. Dado que el valor de z depende no solo del valor de xoy, sino también del punto de coordenadas correspondiente al valor de z, la idea de la relación es más complicada. El problema es que no se pueden graficar todas las funciones de todas las variables. De hecho, el número máximo de variables que se pueden dibujar son tres variables. ¿por qué? Bueno, porque en dimensionalidad, no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no hay interacción gráfica. El siguiente es un ejemplo de una función compuesta por tres variables: Casi de manera impulsiva, tiende a trazar una función para observar su comportamiento y comprenderlo con mayor claridad. La función de múltiples variables no es inmune a esto.
- 3. INTRODUCCION La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de ingeniería, estudia entre otros apartados, la integración múltiple (integrales dobles e integrales triples), Geometría Diferencial (estudio de curvas y superficies) y las integrales de linea y de superficie. Para una correcta comprensión de estos temas es necesario poseer un conocimiento, si no profundo, sí escogido, de la teoría de funciones de varias variables. Para trabajar con los dominios de este tipo de funciones necesitaremos una pequeña iniciación a la topología del espacio euclídeo que nos permita conocer los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un conjunto, ..., que tanto aparecen en toda la bibliografía que el alumno va a encontrar de la asignatura. A lo largo de estos temas serán muy frecuentes los casos en que sea necesario derivar funciones de varias variables y, más precisamente, derivar la composición de funciones de este tipo.
- 4. Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función. Rango y dominio Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan estas variables. Por ejemplo:
- 5. Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es: De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine: En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
- 6. Sistema de coordenadas01 Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia. 02 En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada- x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".2
- 7. Sistema de coordenadas cartesianas En un espacio elucídelo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en 𝑅 𝑛 se pueden definir sistemas n- dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto (𝑟𝐴 = 0𝐴) sobre un eje determinado: 𝑟𝐴 = 0𝐴 = (𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴, 𝑧 𝐴) Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector (𝑖) tal que: 𝑖 = 1,0,0 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑖 = 1 El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x. 𝑥 𝐴 = 0𝐴 . 𝑖 0𝐴 . 𝑖 = 0𝐴 0𝐴 . 𝑖
- 8. Sistema de coordenadas log-polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Sistema de coordenadas polares Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.
- 9. Sistema de coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio elucídelo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano elucídelo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro. Sistema de coordenadas esféricas Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
- 10. Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A RECTANGULARES: x = qCos ߮ x = rSen8Cos ߮ y = qSen߮ y = rSen8Sen ߮ z = rCos8 z = rCos8 Con q = rSen8 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A ESFÉRICAS: Con q = rSen8
- 11. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A RECTANGULARES: x = qCos ߮ y = qSen ߮ z = z q = ƒx2 + y2 Tan−1 |y| x = 180° − Tan−1 |y|x 180° + Tan−1 |y|x 360° − Tan−1 |y| x z = z RANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS:TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A ESFÉRICAS: $ =$ TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A CILÍNDRICAS : q = rSen8 $ = $ z = rCos(8)
- 12. Ejemplos Ejercicio 1. Hallar el dominio de la función f (x, y) = x/y. RESOLUCIÓN. Su dominio, claramente, será D = {(x, y) ∈ R2 : y ƒ= 0}, es decir, todo el plano menos la recta y = 0. Ejercicio 2. Determinar el dominio de la función z = xy x2 + y2 RESOLUCIÓN. Es el conjunto 𝑅2 {(0, 0)}, es decir, todo el plano menos el origen de coordenadas. Ejemplo 3.- Sea f (x, y) = y + 4x 2 - 4 a) Calcular el dominio de f. b) Represéntelo gráficamente c) Calcule f (2,0), f − 2 2 2 y f(1,-1)
- 13. Solución a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto es: y + 4x 2 - 4 ³ 0 Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que: y + 4x 2 ³ 4 . Más formalmente escribimos: Dom f = {(x, y) / y + 4x 2 ³ 4} b) Este conjunto se puede representar en el plano. Es una región del plano limitada por la curva y + 4x 2 - 4 = 0 . Primero se traza la curva y + 4x 2 - 4 = 0 . Reescribiéndola como y = 4 - 4x 2 , la identificamos como una parábola abriendo hacia abajo y con vértice en (0,4). Para determinar la región completamente podemos proceder de dos maneras. Primer procedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la desigualdad y + 4x 2 ≥4 . Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas y + 4x 2 = d con d ≥ 4 . Entre ellas están y + 4x 2 = 4 ; y + 4x 2 = 5 , y + 4x 2 = 6 , y + 4x 2 = 7 y todas las intermedias y que están por encima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de la función, vea la figura a la derecha
- 14. Segundo procedimiento: Una vez que hemos establecido que el dominio es una de las dos regiones del plano limitada por la curva y + 4x 2 = 4 , podemos tomar un punto de prueba en el plano que no esté en la curva. Claramente (0,0) no está sobre la curva. Evaluamos la desigualdad y + 4x 2 - 4 ³ 0 en este punto, si satisface la desigualdad entonces la región que contiene el punto de prueba es el conjunto solución, esto es, es el gráfico del dominio de la función, si no satisface la desigualdad entonces el conjunto solución a la desigualdad es la otra región. Como 0 + 4 × 02 - 4 ³ 0 no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva y + 4x 2 = 4 que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento, vea la figura como efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0). c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable. Por ejemplo para obtener el valor f (2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0. Así
- 15. 𝑓 2,0 = 0 + 4 2 2 − 4 = 12 = 2 3 𝑓 − 2 2 , 2 = 2 + 4 − 2 2 2 − 4 = 0 𝑓 1, −1 = −1 + 4 . 1 2 − 4 = 1 no es real Efectivamente la función no está definida en (1,-1) . Vea el gráfico dado en b) y chequee que efectivamente este punto no está en el dominio. Remarcamos que con el primer procedimiento demostramos que la solución de una desigualdad en dos variables tiene como representación gráfica a una de las dos regiones delimitadas por la curva dada por la igualdad. El segundo procedimiento es más expedito en determinarla. En ocasiones nos referiremos al dominio de una función como su representación gráfica, recuerde que realmente el dominio es un conjunto de pares ordenados que pueden ser representados en el plano. Ejemplo 2.- Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente. a) f (x, y) = ln(4 - 2 y + x) ; b) h( x, y) = 𝑥 𝑥+𝑦 Solución: a) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que 4 - 2 y + x > 0 , entonces: Dom f ={(x, y) / 4 - 2 y + x > 0}
- 16. Sabemos que la representación gráfica de esta región del plano es un semiplano por ser una desigualdad lineal. Para determinar el semiplano rápidamente, primero graficamos la recta 4 - 2 y + x = 0 , punteada pues los puntos sobre la recta no satisface la desigualdad luego tomamos un punto de prueba fuera del la recta, si este punto satisface la desigualdad el semiplano es donde está este punto, en caso que no se cumpla la desigualdad el conjunto solución es el otro semiplano. El punto escogido es de nuevo (0,0) porque está fuera de la curva 4 - 2 y + x = 0 . Como el punto (0,0) satisface la desigualdad 4 - 2 y + x > 0 , entonces el dominio de la función es el semiplano que contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta 4 - 2 y + x = 0 en forma punteada para indicar que ella no pertenece al dominio de la función.
- 17. b) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que x + y ≠ 0 y x ≥ 0 Dom h = {(x, y) / x + y ≠ 0 y x ≥ 0} La primera restricción es todo el plano salvo la recta x + y = 0 La segunda restricción es el semiplano donde la variable x es no negativa, esto es el semiplano a la derecha del eje x . Buscamos la intersección o parte común de estos dos subconjuntos de 𝑅2 determinar el dominio de la función.
- 18. Ejemplo 3.- Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones a) f (x, y) = 2 - x - 2 y ; b) f (x, y) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 Solución Graficamos la ecuación z = 2 - x - 2 y que corresponde a un plano, con intersecciones con los ejes x, y y z en 2,1 y 2 respectivamente. Graficamos la ecuación z = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 ella es la mitad de la esfera x 2 + y 2 + z 2 =4 con coordenada z positiva
- 19. Simetría La simetría (del griego őύν "con" y μέτροv "medida") es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos: • De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio. • De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto concreto tras llevarse a cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra. • De traslación. Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de repeticiones que lleva a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y durante una línea que puede estar colocada en cualquier posición. • De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son semejantes y es que tienen la misma forma pero no un tamaño igual. • Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene como espina dorsal un eje de simetría. A los lados de este aparecen formas iguales a la misma distancia de él que serán las que permitan crear ese citado retrato.