Funciones de varias variables presentacion Ruben Alejandro Rondon
- 1. FUNCIONES DEVARIASVARIABLES REALIZADO POR: RUBÉN ALEJANDRO RONDÓN UZCÁTEGUI DOCENTE: ELISA PIMENTEL
- 2. SISTEMA DE COORDENADAS son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación grafica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de las coordenadas.Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las ye ("y"). Coordenadas Cartesianas
- 3. COORDENADAS CILÍNDRICAS El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z) donde: • P: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY • Φ: Coordenada azimutal, definida como el angulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY. • z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
- 4. COORDENADAS ESFÉRICAS El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por u conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimutal φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY.También puede variar la medida del azimutal, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
- 5. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas
- 6. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A CARTESIANAS
- 7. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A CARTESIANAS (CONTINUACIÓN)
- 8. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESVECTORIALES DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A CARTESIANAS
- 9. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS
- 10. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFERICAS A CARTESIANAS
- 11. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A CARTESIANAS (CONTINUACIÓN)
- 12. SIMETRÍA es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos: • De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio. • De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto concreto tras llevarse a cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra. • De traslación. Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de repeticiones que lleva a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y durante una línea que puede estar colocada en cualquier posición. • De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son semejantes y es que tienen la misma forma pero no un tamaño igual. • Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene como espina dorsal un eje de simetría.A los lados de este aparecen formas iguales a la misma distancia de él que serán las que permitan crear ese citado retrato.
- 13. FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:
- 14. FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES (CONTINUACION) La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
- 15. FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES (CONTINUACION) Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente: Sí, un paraboloide es una función de tres variables.Varias superficies tridimencionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical.Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
- 16. DOMINIO DE FUNCIONES DEVARIASVARIABLES Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo: Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
- 17. DOMINIO DE FUNCIONES (CONTINUACIÓN) De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine: En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
- 18. DOMINIO DE FUNCIONES (CONTINUACIÓN) Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos.Todos los valores de x y de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente. Para el siguiente ejemplo de función: Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma: Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay: Valor Máximo Valor Mínimo
- 19. DOMINIO DE FUNCIONES (CONTINUACIÓN) Ahora se escribe la imagen: El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por fuera y así determinar que región indefinie a f y cual no.
- 20. DOMINIO DE FUNCIONES (CONTINUACION) Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio. El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo:
- 21. DOMINIO DE FUNCIONES (CONTINUACION) El dominio se encuentra de la misma forma.Aunque la función tenga tres variables en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0.Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es: La gráfica del dominio está en tres dimensiones: El gráfico es pues una esfera. Es importante notar que la superficie está punteada pues solo el "contenido" es parte del dominio. Si las variables del argumento de la función tomaran valores de un punto de la superficie, f se indefiniría.