2. linea recta

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA LÍNEA RECTA
CONTENIDO:

1. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

1.1 Pendiente de una recta (significado de la constante m)

2. Ecuación de la recta que no pasa por el origen.

2.1 Ejercicios.

3. Trazado de una línea recta.
3.1 Primer método: Por tabulación.
3.2 Segundo método: Por la ordenada al origen y la pendiente.
3.3 Tercer método: Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados.

4. Intersección de rectas.

4.1 Punto de intersección de tres rectas dadas.

5. Ángulo entre dos rectas.

5.1 Condición de perpendicularidad de dos rectas.
5.2 Ejercicios.

6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado.

6.1 Ejercicios.

7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

8. Ejercicios.

9. Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta.

9.1 Ejercicios.

10. Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta.

10.1 Ejercicios.

11. Segunda forma normal de la ecuación de la recta o ecuación de Hess.

11.1 Ejercicios.

12. Problemas de la línea recta, considerada como lugar geométrico.

12.1 Ejercicios.

2. LA LÍNEA RECTA 2-1
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS


Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está
representada, en relación con un sistema de
ejes cartesianos, por una función de dos
variables, siempre y cuando dicha función
sea capaz de expresar la condición común
que satisfacen absolutamente todos y cada
uno de los puntos que constituyen dicha
línea. Por ejemplo, si pensamos en una línea
recta paralela al eje de las abscisas,
necesitamos empezar por saber dónde está
trazada dicha paralela, lo que en el caso de
nuestra Figura 1 equivale a conocer la
distancia b. Además, es muy importante
admitir que absolutamente todos los puntos
de la paralela en cuestión, cualquiera que
sea la abscisa, tiene una ordenada
constantemente igual a b, razón por lo que la
función representativa de esta paralela tiene que ser y=b sin que tenga que intervenir la variable x
porque para nada influye en el valor de y. Si la constante b es positiva la paralela está situada
arriba del eje de las x y, si es negativa abajo.

Como consecuencia inmediata se deduce que la función representativa del eje de las x, es
y=0.

Resulta ahora evidente que la función que representa una paralela al eje de las ordenadas
es x=a, dependiendo del signo de la constante a que la paralela esté situada a la derecha o a la
izquierda del eje de ordenadas.

Por consiguiente, el propio eje de ordenadas está representada por la función: x=0.

1. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas
cartesianas.

Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema de
coordenadas está representada por una función de la forma y=mx o sea una función de dos
variables de primer grado, sin término independiente, en la que m es una constante cuyo
significado estableceremos posteriormente. Para esto, necesitamos hacer ver que esta función
establece o expresa la condición común a que se ajustan absolutamente todos los puntos que
constituyen una recta que pasa por el origen, en otras palabras debemos hacer constar que la
ordenada y de todo punto de la recta efectivamente es igual al producto de la constante m por la
abscisa x de dicho punto, es decir y=mx.

Empezaremos por hacer x=0 en la función, resultando así y=0; de este modo se tiene un
punto O(0,0) que coincide con el origen de las coordenadas. Enseguida damos a la variable x otro
valor, por ejemplo c, resultando y=mc. De esta manera se tiene otro punto que es Q(c,mc).

Ahora situamos estos puntos en el plano del sistema y los unimos por medio de una recta. A
continuación tomamos sobre la recta un punto arbitrario P(x,y), desde el cual trazamos la
perpendicular al eje de las x, paralelo al eje de las y; lo mismo hacemos en el punto Q para formar
los triángulos rectángulos OPR' y OQR. Ver la Figura 2:



De los triángulos semejantes OQR y
OPR' de la figura, se obtiene la siguiente
proporción:

y mc
=
x c

Despejando a y:

mc x
y=
c

Simplificando, tenemos:

y = m x ........................................................................................................................(I)

Que es la función representativa de toda línea recta que pasa por el origen del sistema de
ejes coordenados.

Es evidente que esto mismo se cumple para cualquier otro punto que tomemos sobre la
recta, puesto que volveríamos a formar triángulos semejantes.

1.1. Pendiente de una recta (significado de la constante m).

Con el propósito de ver el significado de la constante m y de acuerdo a la Figura 3,
haremos referencia a la recta y=mx, la cual supondremos que forma un ángulo A positivo, con
respecto al sentido positivo del eje de las x.
Sobre la recta tomamos un punto cualquiera
P(x,y), desde el cual trazamos la perpendicular
al eje de las x, y unimos el punto del origen con
el punto cualquiera P, para formar el triángulo
rectángulo, obteniendo la siguiente función
y
trigonométrica: tan A = ; pero de la propia
x
y
función dada y = m x , se deduce que m = .
x
Sustituyendo en la igualdad anterior, se tiene:

tan A = m

Vemos pues que la constante m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de
la recta que precisamente recibe el nombre de pendiente de la recta, puesto que controla la mayor
o menor inclinación con respecto al eje de las x. Tomando en cuenta que la pendiente m depende
de un ángulo y que es coeficiente de x en la función y=mx, también puede llamarse coeficiente
angular de la recta.

De este concepto establecemos la siguiente condición, para que dos o más rectas sean
paralelas, deben tener la misma pendiente, es decir:

m 1 = m 2 .....................................................................................................................(II)


Cuando la constante m es positiva, indica que el ángulo A de inclinación de la recta es
agudo y, cuando es negativa, que dicho ángulo mide más de 90° , pero sin llegar a 180° ni
sobrepasar este valor.

2. Ecuación de la recta que no pasa por el origen.

Se trata ahora de demostrar que una función de dos variables de primer grado con
término independiente, o sea una
función de la forma:

y =m x +b

En la que b es otra constante,
cuyo significado determinaremos más
adelante, representa una línea recta, que
no pasa por el origen del sistema de
coordenadas.

Para lograr este propósito
haremos en dicha función x=0,
resultando y=b. De este modo, se tiene el
punto Q(0,b) que situamos en el plano
del sistema de coordenadas y por él
trazamos una paralela a la recta y=mx (Ver Figura 4)

Precisamente haremos ver que la función y=mx+b representa una paralela que no pasa por
el origen, para lo cual tomamos sobre ella un punto cualquiera P(x,y), y demostraremos que para
ese punto, lo mismo que si se tratara de cualquier otro, se cumple la condición de que su ordenada
y sea igual a la pendiente m por la abscisa x de ese punto más la constante b.

De la Figura 4 deducimos:

SP=SR +RP

Pero:

SP = y ; SR = m x y RP = b

Por tanto, sustituyendo valores, encontramos:

y = m x + b ................................................................................................................(III)

Que es la ecuación de la línea recta que no pasa por el origen de ejes coordenados.

Podemos observar en nuestra Figura 4 que la constante b representa la distancia que hay
desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante
que recibe el nombre particular de ordenada al origen.

La Geometría Analítica conviene en llamar parámetros de una línea, recta o curva, a las
constantes que intervienen en la función representativa correspondiente y de cuyos valores
numéricos depende la posición que tenga dicha línea, esto independientemente del nombre y


significado propios de cada constante. Consecuentemente, los parámetros de la línea recta son la
pendiente m y la ordenada al origen b, porque son estas dos constantes de las que depende la
posición exacta de la recta.

Sabemos perfectamente que la expresión y=mx+b es una función de dos variables, pero se
tolera llamarla ecuación de la recta, porque desde el punto de vista gráfico su solución no es más
que una línea recta.

Si tomamos en consideración que a partir de la ecuación común de la recta y=mx+b, y que
las constantes m y b pueden ser fraccionarias, debemos admitir que para poderla escribir en la
forma implícita:

A x + B y + C = 0 ....................................................................................................... (IV)

tendríamos que empezar por quitar denominadores y luego ordenar todo en el primer miembro.

2.1. Ejercicios

2 5
1. Escribir la ecuación de la recta y = - x- en su forma implícita.
3 2

SOLUCIÓN

Multiplicando por 6 ambos miembros de la ecuación:

6 y = - 4 x - 15

Ordenando:

4 x + 6 y + 15 = 0

Por tanto: A = 4, B = 6 y C = 15

2. Escribir la ecuación de la recta y = 8x + 3 en su forma implícita.

SOLUCIÓN

Ordenando los términos:

8 x- y+3=0

Por tanto: A = 8, B = -1 y C = 3

3. Trazado de una línea recta.

Para trazar una línea recta a partir de su ecuación, podemos utilizar uno cualesquiera de los
tres métodos o procedimientos siguientes:



3.1 Primer método. Por tabulación.

Se cita este procedimiento porque se considera como método general, puesto que permite
trazar también cualquier curva. Consiste en dar valores arbitrarios pero ordenados a la variable x y
en calcular los correspondientes de la función, con lo que se obtienen coordenadas de puntos que
se sitúan en el plano del sistema de coordenadas y se unen en forma consecutiva, para obtener la
gráfica correspondiente.

Ejemplo: Trazar la línea recta y = 2x - 5.

SOLUCIÓN

Dando valores a la x y sustituyendo en la ecuación de la recta dada, se determinan los
valores correspondientes a y, como se muestra en la siguiente tabla:

x y

-4 -13

-3 -11

-2 -9

-1 -7

1 -3

2 -1

3 1

De acuerdo con lo anterior, la gráfica correspondiente a la ecuación y = 2x - 5 se muestra
en la Figura 5:

3.2. Segundo método. Por la ordenada al origen y la pendiente.

Ya sabemos que la ordenada al origen b nos da el punto donde la recta corta al eje de las
ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por trazar. La pendiente m
puede interpretarse, sin necesidad de recurrir a las tablas matemáticas, recordando que la tangente
trigonométrica de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. De acuerdo al
significado de la constante m (del punto 1.1)

Por lo que se recomienda:

1 Graficar el punto representado por el valor de la ordenada al origen b, el cual siempre
estará sobre el eje de las ordenadas y dependiendo del signo, si éste es positivo arriba del
origen del sistema de coordenadas y si es negativo abajo. De esta forma tenemos un primer
punto por el cual pasará la línea recta.
y
2. Como se sabe m = = tan θ ; procedemos a partir del punto dado por la ordenada al origen
x
b, representamos en magnitud el valor de x a la derecha o a la izquierda, lo cual depende
del signo positivo o negativo que tenga, obteniendo así uno de los lados del triángulo


rectángulo que se formará. Dicho lado es paralelo al eje de las x.

Enseguida se representa el valor de y partiendo del extremo final del segmento anterior
hacia arriba o hacia abajo, lo que depende del signo positivo o negativo, para tener otro
lado del triángulo rectángulo, que será paralelo al eje de las y.

3. Se unen el punto de la ordenada al origen y el extremo final del lado paralelo al eje de las y,
para obtener la hipotenusa de dicho triángulo, que en realidad será la línea recta
representada por la ecuación dada.

EJEMPLO 1. Trazar la línea recta cuya ecuación es: y = 2 x - 5

SOLUCIÓN

La ecuación común de la línea recta y la ecuación dada son:

y =m x +b
↑ ↑
y= 2 x -5

Igualando coeficientes, se tiene:
m=2 y b=-5, pero se sabe que:

4 y
tan θ = m = 2 = =
2 x

Por tanto:

y=4 y x=2

Se siguió el procedimiento dado en las recomendaciones anteriores. La gráfica de la recta,
se muestra en la Figura 6:

4
EJEMPLO 2. Dibujar la recta con ecuación y = x +3:
5

SOLUCIÓN

De la ecuación dada se
observa que b = 3 y además:

4 y
tan θ = m = =
5 x

Por tanto:

y=4 y x=5

Según las recomendaciones
dadas, la gráfica de la línea


recta se muestra en la Figura 7:

7 2
EJEMPLO 3. Realice la gráfica de la línea recta, cuya ecuación es: y = - x-
3 3

SOLUCIÓN

De la ecuación, observamos
2
que b = - y además:
3

7 y
tan θ = m = - =
3 x

Por tanto:

y=7 y x =- 3

Basándose en las
recomendaciones: La gráfica
de la línea recta, se muestra
en la Figura 8:

3.3. Tercer método: Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados.

Este procedimiento es muy conveniente cuando la ecuación de la recta es de la forma
implícita, fórmula (IV). Si hacemos en ella y=0, determinaremos las coordenadas del punto donde
la recta corta al eje de las x, y si hacemos x=0 encontraremos también las coordenadas del punto
de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, las cuales las llevamos al sistema de ejes y
se unen por medio de una recta, la que gráficamente representa a la ecuación dada.

Ejemplo: Trazar la recta con ecuación: 3 x + 5 y - 15 = 0

SOLUCIÓN

Para y=0:

3 x - 15 = 0

Despejando a x:

15
x= =5
3

Por tanto, el punto de intersección
con el eje de las abscisas es (5,0)

Para x=0:

5 y - 15 = 0


Despejando a y:

15
y= =3
5

Por tanto, el punto de intersección con el eje de las ordenadas es (0,3)

Por medio de la unión de los puntos de intersección con los ejes de coordenadas, se
obtiene la gráfica mostrada en la Figura 9:

4. Intersección de rectas.

Para determinar el punto de intersección de dos rectas, se hacen simultáneas sus
ecuaciones, porque siendo el punto común para las dos, sus coordenadas del punto deben verificar
simultáneamente a las dos ecuaciones.

EJEMPLO 1. Determinar el punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones:

y = - 4 x + 8 .................................................................................................................(1)
y = 3 x + 7 .................................................................................................................(2)

Igualando (1) y (2):

3x+7=-4x+8

Reduciendo términos semejantes:

7 x =1

Despejando a x, se obtiene:

1
x=
7

Sustituyendo el valor de x encontrado en la ecuación (2):

3 49 52
y= + =
7 7 7

Por tanto, el punto de intersección es:

 1 52 
I  , 
 7 7 

EJEMPLO 2. Empleando el método de los determinantes, hallar el punto de intersección de
las rectas:

6 x - 5 y = - 27 .............................................................................................................(1)
8 x + 7 y = 5 ..............................................................................................................(2)



SOLUCIÓN

Resolviendo (1) y (2) para x, se tiene:

- 27 -5
5 7 - 189 + 25 164
x= = =- =- 2
6 -5 42 + 40 82
8 7

Para y, se tiene:

6 - 27
8 5 30 + 216 246
y= = = =3
82 82 82

Por tanto, el punto de intersección de las rectas es:

I (- 2,3)

4.1. Punto de intersección de tres rectas dadas.

Para que tres rectas dadas por las ecuaciones de la forma:

y =m1 x + b1
y =m2 x + b2
y =m3 x +b3

se corten en un mismo punto, se debe verificar la siguiente condición:

1 m1 b1
1 m2 b2 =0 (V)

1 m3 b3

EJEMPLO 1. Demostrar que las rectas dadas por las ecuaciones:

y = 8 x - 43
y = - 3 x + 12
y=-2x +7

Se cortan en un mismo punto.

SOLUCIÓN

Sustituyendo los datos según las ecuaciones dadas en el determinante anterior (V) y
desarrollando, se tiene:


1 8 - 43 1 8
1 -3 12 1 - 3 = - 21 + 96 + 86 - 129 + 24 - 56 = - 206 + 206 = 0
1 -2 7 1 -2

Ahora el determinante:

1 m1 b1
1 m2 b2 =0
1 m3 b3

También puede representarse de la siguiente forma, ya que:

m1 b1

m2 b2
=m1b 2 + m 2 b 3 + m 3 b1 - m 2 b1- m 3 b 2 - m1b 3 = 0
m3 b3

m1 b1

Es decir que:

m1 b1

m2 b2
= 0 ........................................................................................................... (V')
m3 b3

m1 b1

EJEMPLO 2. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y=mx+5, para que pase por
el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x- 5,
y = 4x + 2.

SOLUCIÓN

Aplicando el determinante de la fórmula (V'), se tiene:

m 5
-3 -5
= - 5 m - 6 + 20 + 15 + 20 - 2 m = 0
4 2
m 5

Reduciendo:

- 7 m = - 49



- 49
Por tanto, el valor buscado de m es: m = =7
- 7

5. Ángulo entre dos rectas.

Con el apoyo de la Figura 10, se
trata de encontrar una fórmula por
medio de la cual podamos calcular el
ángulo que forman entre sí dos rectas
concurrentes, representadas por sus
respectivas ecuaciones.

Se sabe que en todo triángulo,
un ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos internos que no le son
adyacentes.

De acuerdo a lo anterior y
basándose en la Figura 10:

V + α1= α 2

Despejando a V:

V = α 2 - α1

Tomando la tangente en ambos miembros de la ecuación:

tan V = tan ( α 2 - α 1 )

Aplicando la tangente de la diferencia de ángulos:

tan α 2 - tan α 1
tan V = tan ( α 2 - α 1 ) =
1 + tan α 1 tan α 2

Como:

tan α 1 = m 1
tan α 2 = m 2

Sustituyendo:

m2 - m1
tan V = ..................................................................................................... (VI)
1+ m 1 m 2

Esta fórmula puede aplicarse tal como se presenta.

Para el caso en el cual las dos rectas concurrentes formen entre sí dos ángulos
suplementarios, uno agudo y otro obtuso, cuyas tangentes trigonométricas son iguales y de signo
contrario, la fórmula anterior se aplica en la siguiente forma:


m1- m2
tan V = .................................................................................................... (VI')
1+ m 1 m 2

5.1. Condición de perpendicularidad de dos rectas.

Cuando dos rectas se cortan perpendicularmente, es evidente que el ángulo que forman
es V = 90° , por tanto:

tan V = tan 90° = ∞

Y de acuerdo con la fórmula (VI) anterior, tendremos:

m 2 - m1
∞=
1+ m 1 m 2

Rearreglando la ecuación:

m 2 - m1
1+ m 1 m 2 = =0
∞
1+ m 1 m 2 = 0

Despejando a m1:

1
m1 = - ................................................................................................................. (VII)
m2

Según esto, para que dos rectas sean perpendiculares, deben tener pendientes
recíprocas y de signos contrarios, como es el caso de las siguientes rectas:

2
y= x +6
5
5
y=- x-8
2

5.2. Ejercicios

1
1. Las pendientes de los lados de un triángulo miden , 1 y 2. Demostrar que el triángulo es
2
isósceles.

SOLUCIÓN

Se sabe que un triángulo de este tipo, es el que tiene dos lados iguales y uno desigual.



Sean:

1
m1= ; m2 =1 ; m3 =2
2

Sea A el ángulo que forman los lados de pendientes m1 y m2, su tangente está dada por:

1 1 1
1-
m2 - m1 2 2 1
tan A = = = =2=
1+ m 1 m 2 1 1 3 3
1+ • 1 1+
2 2 2

Tomando la tangente del ángulo B, formado por los lados de pendientes m1 y m3, se tiene:

1 3 3
2-
m 3 - m1 2 3
tan B = = = 2 =2=
1+ m 1 m 3 1 1+ 1 2 4
1+ • 2
2

Finalmente, la tangente del ángulo C, cuyos lados tienen pendientes m2 y m3, está dada
por:

m3 - m2 2 -1 1 1
tan C = = = =
1+ m 2 m 3 1+ 1 • 2 1+ 2 3

Como:

tan A = tan C

Resulta claro que A = C y por tanto, el triángulo es isósceles.

2
2. Demostrar que a partir de la ecuación ( y + 8 ) = x 2 , se obtienen dos rectas
perpendiculares.

SOLUCIÓN

Como la ecuación de toda recta debe ser fundamentalmente de primer grado, extraemos
raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación propuesta:

2
( y+8) =± x
2

y+8=± x

De la expresión anterior, se obtienen las ecuaciones de las rectas pedidas:

y+8= x
y+8=- x

Despejando a y de cada una de las ecuaciones anteriores:



y= x-8
y=- x-8

Las rectas resultantes son perpendiculares, porque sus pendientes 1 y -1, son
recíprocas y de signos contrarios.

3. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser
perpendicular a la recta 4 x + 9 y - 27 = 0 .

SOLUCIÓN

La ecuación por determinar debe tener la forma y=mx+7, en la inteligencia de que m debe
ser recíproca y de signo contrario con relación a la pendiente de la recta dada, razón por
la cual despejamos a y de la
ecuación conocida:

9 y = - 4 x + 27
4
y=- x+3
9

Aplicando la condición de
perpendicularidad de dos líneas
rectas, según la fórmula (VII) y de
la ecuación anterior se tendrá que
9
m= , entonces la ecuación de la
4
línea recta pedida es:

9
y= x +7
4

La gráfica correspondiente se presenta en la Figura 11.

6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado.

Por lo que sabemos, nos
consta que cualquier recta tiene una
ecuación de la forma y = m x + b , la
que solamente estará bien definida
cuando conozcamos los parámetros m
y b. Con tendencia a calcular cuando
menos uno de estos parámetros,
tomaremos en consideración que si
hay una infinidad de rectas que pasan
por el punto conocido P(x1, y1), las
coordenadas de éste deben verificar
la ecuación de cualesquiera de ellas,
en cuyo caso se tiene:



y1=m x1+b

Despejando a b:

b = y1- m x 1

Este es, el valor que justamente debe tener b para que la ecuación y = m x + b represente,
no cualquier recta, sino únicamente las que pasan por el punto P(x1, y1) conocido, como se muestra
en la Figura 12.

Por consiguiente, si sustituimos el valor de b en la ecuación ya mencionada, obtendremos:

y =m x +b=m x + y1- m x1

Ordenando y factorizando, se tiene:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) ................................................................................................... (VIII)

Que es la ecuación general de todas las rectas que pasan por un punto P conocido, una
diferente para cada valor distinto de la pendiente m.

6.1. Ejercicios

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, -5) y es paralela a la recta
2
y = - x + 9.
3

SOLUCIÓN

La ecuación por determinar debe tener la forma:

y- y1=m( x - x1)

En la que, según datos:

2
x1=- 3 ; y1=- 5 ; m =-
3

Por tratarse de rectas paralelas y de acuerdo a la condición de paralelismo, las pendientes
son iguales, es decir: m 1 = m 2 .

Sustituyendo, la ecuación pedida es:

2
y+5=- ( x+3)
3
2
y+5=- x-2
3



Finalmente, despejando a y:

2
y=- x-7
3

2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:
5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la
2
ecuación: y = x +1
3

SOLUCIÓN

La ecuación que se trata de obtener debe ser de la forma dada por la fórmula (VIII), en la
3
inteligencia de que m = - , por condición de perpendicularidad, en tanto que x1 y y1 son
2
las coordenadas del punto por donde debe pasar dicha recta, el cual está definido por la
intersección de las dos rectas dadas, por consiguiente, tales coordenadas se calculan
haciendo simultáneas las ecuaciones de esas dos rectas conocidas.

Resolviendo por determinantes, se obtiene:

-2 -3
44 7 - 14 + 132 118
x1= = = =2
5 -3 35 + 24 59
8 7
5 -2
8 44 220 + 16 236
y1= = = =4
59 59 59

Por tanto, el punto I de intersección es:

I(2,4 )

Sustituyendo x1, y1 y m en la ecuación dada por la fórmula (VIII), se obtiene la ecuación
solicitada:

3 3
y-4=- ( x -2)=- x+3
2 2


3
y=- x+7
2

3. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y forma un ángulo de 45°
3
con la recta y = x.
2



SOLUCIÓN

La ecuación por determinar debe tener la forma dada por la fórmula (VIII) Sustituyendo los
datos conocidos, se tiene:

y - 10 = m ( x - 4 ) ........................................................................................................(1)

De esta ecuación, nos falta conocer la pendiente m, la cual podemos obtener utilizando la
fórmula del ángulo entre dos rectas concurrentes, o sea:

m 2 - m1
tan V =
1+ m 1 m 2

Si consideramos que:

tan V = tan 45° = 1
3
m1=
2
m2 =m= ?

Sustituyendo valores:

3 2m - 3
m-
2 = 2 2m-3
1= =
3m 2+3m 2+3m
1+
2 2

Quitando denominadores:

2+3m=2m -3

Despejando a m:

m=-5

Es decir, la ecuación pedida se obtiene sustituyendo el valor de m en la ecuación (1):

y - 10 = - 5 ( x - 4 ) = - 5 x + 20


y = - 5 x + 30

Pero también puede tenerse la situación en la cual:

tan V = tan 45° = 1
m 1 = m = ? (en este caso es desconocid a)
3
m2 =
2


Entonces:

3 3- 2m
-m
3- 2m
1= 2 = 2 =
3m 2+3m 2+3m
1+
2 2

Quitando denominadores:

2+3m=3 - 2m

Despejando a m:

1
m=
5

Consecuentemente, obtendremos la
otra solución, sustituyendo el nuevo
valor de m en la ecuación (1):

1 1 4
y - 10 = ( x - 4)= x-
5 5 5


1 46
y= x+
5 5

Que también cumple con lo
establecido. La Figura 13 muestra
gráficamente los resultados
obtenidos.

7 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ya hemos visto que cualquier recta que pasa por P, debe tener una ecuación de la forma:

y - y 1= m ( x - x 1 )

Como por el punto P pasan una
infinidad de rectas, la ecuación que se acaba
de expresar, representará la que también pasa
por el punto Q, solamente si se cumple la
siguiente condición (de acuerdo a la Figura 14):

RQ NQ - NR
m = tan α = =
PR PR



Pero:

NR =MP
PR =MN

Y

MN = O N - O M

Por lo que:

NQ -MP NQ -MP
m= =
MN 0N-0M

También se ve que:

NQ= y 2
MP = y1
0N= x 2
0M= x1

Sustituyendo en m:

y2 - y1
m=
x2- x1

Que es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos dados.

Al sustituir este valor en la ecuación original, fórmula (VIII), obtenemos:

y2 - y1
y- y1= ( x - x 1 ) ........................................................................................... (IX)
x2- x1

Que nos representará a la ecuación de todas las rectas que pasan por dos puntos
conocidos.

Esta misma ecuación se puede representar en el determinante siguiente:

1 x1 y1

1 x2 y2
= 0 .................................................................................................... (IX')
1 x y

1 x1 y1



8 Ejercicios

1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-3,5) y Q(7,-3).

SOLUCIÓN

La ecuación debe tener la forma dada por la fórmula (IX), en la que sustituyendo las
coordenadas de los puntos dados, se obtiene:

-3-5 8 4 12
y-5= ( x +3)=- ( x +3)=- x-
7+3 10 5 5

Despejando a y, se obtiene la ecuación buscada:

4 13
y=- x+
5 5

Ahora, por el determinante de la fórmula (IX'), tendremos:

-3 5
7 -3
= 9 + 7 y + 5 x - 35 + 3 x + 3 y = 0
x y

-3 5

Reduciendo términos semejantes y ordenando:

10 y = - 8 x + 26
5 y = - 4 x + 13

Despejando a y:

4 13
y=- x+
5 5

Se observa que se obtiene la misma ecuación de la recta.

2. Los vértices de un triángulo son: A(-2,2), B(2,6) y C(6,-4):

a) Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos de sus lados es
paralela al tercero.
b) Demostrar que sus tres medianas se cortan en el mismo punto.
c) Demostrar que el punto de intersección de las medianas, llamado centroide del
triángulo, está situado a las dos terceras partes de la magnitud total de cada
mediana, a partir del vértice correspondiente.
d) Demostrar que las tres alturas se cortan en el mismo punto.
e) Demostrar que las tres mediatrices son concurrentes.



SOLUCIÓN

Llevando los datos a la gráfica de la Figura 15:

a) Las coordenadas del
punto medio del lado
AB están dadas por:

xA + xB -2+2
x M1 = = =0
2 2
y + yB 2+6
y M1 = A = =4
2 2

Por tanto, las coordenadas del
punto medio del lado AB son:

M1( 0 , 4 )

Las coordenadas del punto
medio del lado BC están
dadas por:

xB + xC 2+6
x M2 = = =4
2 2
yB+ yC 6-4
yM2 = = =1
2 2

Por tanto, las coordenadas del punto medio del lado BC son:

M 2 ( 4 , 1)

Para que las rectas M 1 M 2 y A C sean paralelas, debieren tener la misma pendiente, lo
cual necesitamos comprobar. Así tenemos que:

4 -1 3
Pendiente de M 1 M 2 = =-
0-4 4
2+4 6 3
Pendiente de A C = = =-
-2-6 -8 4

Puesto que ambas pendientes son iguales, las rectas son paralelas.

b) En el inciso anterior, se determinaron las coordenadas de los puntos medios de los
lados AB y BC, dados por M1 y M2, respectivamente. Las coordenadas del punto
medio del lado AC están dadas por:

x A + xC −2+6
x M3 = = =2
2 2



yA+yC 2-4
yM3 = = =-1
2 2

Por tanto, las coordenadas del punto medio del lado AC son:

M 3 ( 2 , - 1)

Para demostrar que las tres medianas se cortan en el mismo punto, primero se deben
encontrar sus ecuaciones, para después hacer simultáneas dos de ellas y sustituir los
valores encontrados en la tercera ecuación para comprobar que se verifican. Para esto,
tendremos que la ecuación de cada mediana corresponde a la fórmula (IX)

De acuerdo a la definición de la mediana, sustituimos los valores de las coordenadas de los
puntos C y M1 en la fórmula (IX), para obtener la ecuación de la mediana C M 1 :

4+4 4
y+4= ( x - 6 )=- x+8
0-6 3

Despejando a y:

4
y=- x+4 (1)
3

Para la ecuación de la mediana
A M 2 , sustituimos los valores de
las coordenadas de los puntos A y
M2 en la fórmula (IX):

1- 2 1 1
y -2= ( x +2)=- x-
4+2 6 3

Despejando a y:

1 5
y=- x+ ...............................................................................................................(2)
6 3

En el caso particular de la mediana B M 3 , según la Figura 16, observamos que los puntos
por la que ésta pasa tienen la misma abscisa, por lo que esta recta es paralela al eje de
ordenadas y su ecuación es simplemente:

x = 2 ............................................................................................................................(3)

Para comprobar la ecuación anterior, se sustituyen las coordenadas de los puntos B y M3 en
la fórmula (IX), multiplicando previamente ambos miembros de la ecuación por x2-x1 para
evitar dividir entre cero:

( 2 - 2 ) ( y - 6) = ( - 1 - 6 ) ( x - 2 ) = - 7 ( x - 2 ) = - 7 x + 14
0 ( y - 6) = - 7 x + 14
0 = - 7 x + 14


Despejando a x:

x=2

Con lo cual queda comprobado.

Enseguida, haciendo simultáneas las ecuaciones (2) y (3), para lo cual sustituimos (3) en
(2):

1 5 1 5 4
y=- ( 2)+ =- + =
6 3 3 3 3

De lo anterior, concluimos que el punto de intersección de las medianas A M 2 y B M 3 ,
representadas por las ecuaciones (2) y (3) es:

 4 
I 2 , 
 3 

Sustituyendo las coordenadas del punto I en la ecuación (1), se obtiene:

4 8 12 4
=- + ≡
3 3 3 3

Con lo que queda demostrado que las medianas del triángulo se cortan en el mismo
punto.

c) Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, vista en el Capítulo 1, las
distancias de C a I y de C a M1, son:

2 4 2 2 16 2 256 144 256 400 20
CI= ( 6-2) +(- 4- ) = 4 +( - ) = 16 + = + = =
3 3 9 9 9 9 3
2 2 2 2
C M1= ( 6-0) +(- 4-4) = 6 +(-8) = 36 + 64 = 100 = 10

2
De los resultados, se ve claro que C I = C M1.
3

De la misma forma, las distancias de A a I y de A a M2, son:

2 4 2 4 144 4 148 2
AI= ( - 2- 2) +( 2- ) = 16 + = + = = 37
3 9 9 9 9 3
2 2
A M2 = ( - 2 - 4 ) + ( 2 - 1) = 36 + 1 = 37

2
Por tanto: A I = A M2
3

Las distancias de B a I y de B a M3, están dadas por:



2 4 2 4 14 2
BI = ( 2- 2 ) +( 6 - ) =6- = = (7)
3 3 3 3
2 2
BM3 = (2 - 2 ) + ( 6 + 1 ) =7

2
Por tanto: B I = B M3
3

Con lo que queda comprobado que el centroide del triángulo está situado a las dos
terceras partes de la longitud de cada mediana, a partir del vértice correspondiente.

La Figura del inciso b), muestra los resultados obtenidos.

d) Cada altura debe tener una ecuación igual a la fórmula (VIII), porque pasa por un
punto conocido y su pendiente debe ser recíproca y de signo contrario con
relación a la del lado respectivo. Las pendientes de cada lado del triángulo, están
dadas por:

2-6 -4
Pendiente del lado A B = =1 =
-2-2 -4
6 + 4 10 5
Pendiente del lado B C = = =-
2-6 -4 2
2+4 6 3
Pendiente del lado A C = = =-
-2-6 -8 4

Sustituyendo las pendientes correspondientes en la ecuación de la recta que pasa por un
punto dado, fórmula (VIII), tenemos que la ecuación relativa a la altura del lado A B es:

y + 4 = -1 ( x - 6 )= - x + 6

Despejando a y:

y = - x + 2 ....................................................................................................................(1)

La ecuación de la altura relativa al lado B C es:

2 2 4
y -2= ( x +2)= x+
5 5 5

Despejando a y:

2 14
y= x+ ...............................................................................................................(2)
5 5

La ecuación de la altura relativa al lado A C es:

4 4 8
y-6= ( x - 2 )= x-
3 3 3



Despejando a y:

4 10
y= x+ (3)
3 3

De las ecuaciones (1), (2) y
(3), se tiene:

m1= -1 , b1= 2
2 14
m2 = , b2 =
5 5
4 10
m3 = , b3 =
3 3

Sustituyendo los valores
anteriores en la fórmula (V'),
condición para que tres
rectas sean concurrentes,
se obtiene:

-1 2

2 14
5 5 14 4 8 4 56 10 - 42 + 20 + 40 - 12 - 56 + 50
=- + + - - + = =
5 3 3 3 15 3 15
4 10
3 3
-1 2
110 - 110
= =0
15

Por tanto, las tres alturas se cortan en el mismo punto.

La Figura 17, muestra los resultados obtenidos.

e) Las mediatrices son perpendiculares a los lados de un triángulo y pasan por sus
puntos medios. Como ya conocemos las pendientes de los lados, aplicando la
condición de perpendicularidad, entonces las pendientes de las mediatrices
serán recíprocas y de signo contrario. Por tanto, usando la fórmula (VIII), la
ecuación de la mediatriz del lado A B es:

y - 4=- ( x -0 )=- x

Despejando a y:

y = - x + 4 ...................................................................................................................(1)



Siguiendo el mismo procedimiento, para la mediatriz del lado B C se tiene:

2 2 8
y - 1= ( x - 4 )= x-
5 5 5

Despejando a y:

2 3
y= x- .................................................................................................................(2)
5 5

Para la mediatriz del lado A C , se obtiene:

4 4 8
y + 1= ( x -2)= x-
3 3 3

Despejando a y:

4 11
y= x- (3)
3 3

De las ecuaciones (1), (2) y
(3) se tiene:

m1= - 1 , b1 = 4
2 3
m2 = , b2 = -
5 5
4 11
m3 = , b3 =-
3 3

Aplicando la fórmula (V'),
condición de concurrencia de
tres rectas, se tiene:

-1 4

2 3
-
5 5 3 22 16 8 12 11 9 - 22 + 80 - 24 + 12 - 55
= - + - - - = =
5 15 3 5 15 3 15
4 11
-
3 3
-1 4
101 - 101
=0=
15
Por tanto, las mediatrices son concurrentes, como se puede ver en la Figura 18.

3. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la
recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto.



SOLUCIÓN

Sea P(x,y) el punto por determinar. De acuerdo con el enunciado, su distancia el origen
está dada por:

2 2
PO= x +y =7

Elevando al cuadrado ambos miembros:

2 2
x + y = 49 ................................................................................................................(1)

Como la pendiente de la recta que une los puntos P y A, debe ser igual a 1/2, entonces:

y-4 1
Pendiente de P A = =
x-3 2

Quitando denominadores y simplificando:

2 ( y - 4)=x -3
2y-8=x-3

Despejando a x:

x = 2 y - 5 ....................................................................................................................(2)

Sustituyendo (2) en (1), desarrollando y simplificando términos semejantes, se obtiene:

2 2
( 2 y - 5 ) + y = 49
2 2
4 y - 20 y + 25 + y = 49
2
5 y - 20 y - 24 = 0

Resolviendo para y:

20 ± 400 + 480 20 ± 880 20 ± 4 55 10 ± 2 55 10 ± 14.83
y= = = = =
10 10 10 5 5

Considerando ambos signos, se tienen los siguientes valores de y:

10 + 14.83 24.83
y1= = = 4.97
5 5
10 - 14.83 4.83
y2 = =- = - 0.97
5 5

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (2), tenemos:

x 1 = 2 ( 4.97 ) - 5 = 9.94 - 5 = 4.94
x 2 = 2 ( - 0.97 ) - 5 = - 1.94 - 5 = - 6.94


Por tanto, los dos puntos que satisfacen
el problema son:

P 1 ( 4.94, 4.97 ) , P 2 ( - 6.94, - 0.97 )

La Figura 19, muestra gráficamente los
resultados obtenidos.

4. Un punto es equidistante de A(2,1) y
de B(-4,3) La pendiente de la recta que
2
lo une con C(1,-1) es de . Encontrar
3
dicho punto.

SOLUCIÓN

Sea P(x,y) el punto por determinar. De acuerdo con el enunciado, la distancia de P a A y de
P a B debe ser la misma, es decir: P A = P B .

Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos a la expresión anterior:

2 2 2 2
( x - 2 ) + ( y -1) = ( x +4 ) +( y -3 )

Elevando al cuadrado ambos miembros, desarrollando y reduciendo términos semejantes:

2 2 2 2
x - 4 x + 4 + y - 2 y + 1 = x + 8 x + 16 + y - 6 y + 9
4 y = 12 x + 20

Despejando a y:

y = 3 x + 5 ...................................................................................................................(1)

Según el enunciado, la pendiente del segmento P C , está dada por:

2
m=
3

La ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto C, está dada por la fórmula
(VIII), en la cual sustituimos los datos conocidos para tener:

2
y + 1= ( x - 1)
3
3 ( y + 1) = 2 ( x - 1)
3 y+3=2x -2

Rearreglando la ecuación anterior:

2 x - 3 y = 5 .................................................................................................................(2)



Sustituyendo (1) en (2), desarrollando y reduciendo términos semejantes, se obtiene:

2 x -3( 3 x+5 )=5
2 x - 9 x - 15 = 5
- 7 x = 20

Despejando a x:

20
x = -
7

Sustituyendo el valor de x en (1):

20 60 35 25
y=3( - )+5=- + =-
7 7 7 7

Por tanto, las coordenadas del punto
buscado son:

 20 25 
P - ,- 
 7 7 

La Figura 20, muestra gráficamente los resultados obtenidos.

Otra forma de resolver el problema se presenta a continuación: Apoyándonos en la figura
20, las coordenadas del punto medio M del segmento A B son:

xB+ xA - 4+2
xM= = =- 1
2 2
y +yA 3 +1
yM= B = = 2
2 2

Por tanto, las coordenadas del punto M son:

M(- 1 , 2 )
Por ser recta que pasa por dos puntos conocidos, su pendiente está dada por:

1- 3 2 1
m AB = =- =-
2+4 6 3

Para obtener la ecuación de la mediatriz del lado A B , se aplica la ecuación de la recta que
pasa por un punto dado, fórmula (VIII), y como son perpendiculares su pendiente será
recíproca y de signo contrario, por lo que:

y - 2 = 3 ( x + 1) = 3 x + 3

Despejando a y:



y = 3 x + 5 ..............................................................................................................(1)

2
La ecuación de la recta que pasa por el punto C es de la forma (VIII), en donde m =
3
según el enunciado. Por tanto:

2 2 2
y + 1= ( x - 1) = x-
3 3 3

Despejando a y:

2 5
y= x- ...................................................................................................................(2)
3 3

Igualando (1) y (2), reduciendo términos semejantes y simplificando, se tiene:

2 5
3 x+5= x-
3 3
9 x + 15 = 2 x - 5
7 x = - 20

Despejando a x

20
x =-
7

Sustituyendo en (1):

60 35 25
y = - + = -
7 7 7

Por tanto, las coordenadas del punto P buscado son:

 20 25 
P- ,- 
 7 7 

5. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5).
Determinar las ecuaciones de sus lados.

SOLUCIÓN

Como la base del triángulo se encuentra sobre el eje de las x, la ecuación del lado
A B es y = 0 .

De las propiedades del triángulo, se sabe que:

m AC = tan 60° = 3
m BC = tan 120° = - 3


La ecuación del lado A C , se obtiene de acuerdo con la fórmula (VIII). Sustituyendo datos:

y -5= 3 ( x -3 )= 3 x -3 3

Despejando a y:

y= 3 x+5-3 3 = 3 x - 0.19

Siguiendo el mismo procedimiento, la
ecuación del lado B C será:

y-5=- 3 ( x -3 )=- 3 x+3 3

Despejando a y:

y=- 3 x+5+3 3 = - 3 x + 10.19

La Figura 21 muestra gráficamente los resultados obtenidos.

6. Los vértices de un triángulo son: A(4,-2), B(-4,-4) y C(1,2). Determinar el centro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

SOLUCIÓN

Los datos del problema se
presentan gráficamente en la
Figura 22:

El centro P es el punto donde
concurren las tres mediatrices, por
lo que basta determinar la
intersección de dos cualesquiera
de ellas, por lo que determinaremos
sus ecuaciones.

De esta manera, de acuerdo a la
figura adjunta, para el punto
medio del lado A C , M1, se tiene:

x C + x A 1+ 4 5
x M1 = = =
2 2 2
yC+yA 2-2
y M1 = = =0
2 2

Por tanto la coordenadas del punto M1 son:

 5 
M1  ,0 
 2 



Para el punto medio del lado A B , M2, se obtiene:

xB+ xA -4+4
xM2 = = = 0
2 2
y +yA -4-2
yM2 = B = =-3
2 2

Por tanto las coordenadas del punto M2 son:

M2 ( 0 ,- 3 )

Ahora para determinar las pendientes de los lados A C y A B , aplicamos la fórmula
y2 - y1
tan θ = m = ya conocida, las cuales, para las mediatrices serán recíprocas y de signo
x2 - x1
contrario, por lo que la pendiente del lado C A es:

yC - y A 2+2 4
m CA = = =-
xC - x A 1- 4 3

Y la pendiente del lado B A es:

yB - y A - 4+2 - 2 1
m BA = = = =
xB - x A - 4-4 - 8 4

Una vez conocidos los resultados anteriores, aplicando la fórmula (VIII), obtendremos la
ecuación de la mediatriz del lado C A es:

3  5 
y-0 =  x- 
4  2 

Desarrollando y despejando a y:

3 15
y = x- ................................................................................................................(1)
4 8

Aplicando la fórmula (VIII), se obtendrá la ecuación de la mediatriz del lado B A :

y+3=- 4( x -0 )
Desarrollando y despejando a y:

y = - 4 x - 3 ..................................................................................................................(2)



Haciendo simultáneas (1) y (2):

3 15
x- =- 4 x -3
4 8
Quitando denominado res :
6 x - 15 = - 32 x - 24
38 x = - 9

Despejando a x:

9
x = -
38


 9  18 57 39
y = -4  - -3= - = -
 38  19 19 19

Por tanto, las coordenadas del centro P de la circunferencia circunscrita en el triángulo son:

 9 39 
P - ,- 
 38 19 

7. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y C(2,5). Obtener las ecuaciones
de los lados del cuadrado.

SOLUCIÓN

Tomando en consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la
diagonal, podemos aplicar la fórmula (VI) en la cual:

tan V = tan 45° = 1
m 1 = pendiente del lado B C = ?
m 2 = pendiente del lado A C

y 2 - y1
Donde, con apoyo de la expresión m = , se tiene que la pendiente del lado AC es:
x 2 - x1
5-2
m2 = = 3
2 -1

Sustituyendo en la fórmula (VI) y simplificando:

3 - m1
1=
1+ 3 m 1
1+ 3 m 1 = 3 - m 1
4 m1= 2


Despejando a m1, se obtiene:

1
m1 =
2

Que es la pendiente del lado B C .

De esta manera, la ecuación del lado B C se obtiene sustituyendo valores en la fórmula
(VIII):

1 1
y-5 = (x-2) = x -1
2 2

Despejando a y:

1
y = x+4
2

Similarmente, la ecuación del lado C D , el cual es perpendicular al lado B C , es decir m=-
2; sustituyendo datos se tiene:

y -5=-2 ( x -2)=-2 x+4

Despejando a y:

y=- 2 x+9

Para la ecuación del lado A D se tiene:

1 1 1
y -2= ( x - 1) = x-
2 2 2

Despejando a y:

1 3
y= x+
2 2

Para la ecuación del lado
BA, el cual es
perpendicular al lado B C ,
por lo que m=-2; sustituyendo
valores:

y - 2 = - 2 ( x - 1) = - 2 x + 2

Despejando a y:

y=-2 x +4

La Figura 23 muestra gráficamente los resultados obtenidos.


8. Trazando perpendiculares desde el punto P(5,0) sobre los lados del triángulo cuyos
vértices son A(4,3), B(-4,3) y C(0,-5). Demuéstrese que los pies de las perpendiculares
están en línea recta.

SOLUCIÓN

La Figura 24 muestra gráficamente los datos del problema.

De la Figura 24, el punto D es de obtención inmediata: D(5,3)

Basándose en la fórmula (IX), línea recta que pasa por dos puntos, la ecuación del lado
A C es:

-5-3 -8
y-3= ( x - 4 )= ( x - 4 )=2 ( x - 4)=2 x -8
0-4 -4

Despejando a y:

y = 2 x - 5 ...................................................................................................................(1)

Con el propósito de encontrar las coordenadas del punto E, la ecuación de la perpendicular
1
P E al lado A C , con pendiente m = − y como la recta pasa por el punto P(5,0), se tiene:
2

1
y-0=- ( x-5)
2

Despejando a y:

1 5
y=- x+ ...............................................................................................................(2)
2 2

Haciendo simultáneas (1) y (2), por ser
rectas concurrentes, se tiene:

-1 5
2x - 5 = x+
2 2

Multiplicando por 2 ambos miembros:

4 x − 10 = − x + 5
5 x = 15

Despejando a x:

x=3


y = 2( 3 ) − 5 = 6 − 5 = 1 ∴ y = 1


Por tanto las coordenadas del punto E son: E(3, 1)

Siguiendo el mismo procedimiento, la ecuación del lado B C está dada por la fórmula (IX),
por ser recta que pasa por dos puntos dados; por lo que:

-5-3
y-3= ( x +4)=- 2 ( x +4 )=-2x -8
0+4

Despejando a y:

y = - 2 x - 5 .................................................................................................................(3)

La ecuación de la perpendicular P F al lado B C está dada por la fórmula (VIII), por ser recta
1
que pasa por el punto dado P(5,0), con pendiente m = :
2

1
y-0= ( x-5)
2

Despejando a y:

1 5
y= x- ..................................................................................................................(4)
2 2

Haciendo simultáneas a (3) y (4), por ser rectas concurrentes, se tiene:

1 5
x- =-2x -5
2 2


x − 5 = −4 x − 10
5 x = −5

Despejando a x:

x =-1


y = - 2 ( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3

Por tanto las coordenadas del punto F son:

F ( - 1, - 3 )

Como ya conocemos las coordenadas de los puntos D, E y F, recurrimos ahora a la
condición para que tres puntos estén alineados:



5 3
3 1
= 5 - 9 - 3 - 9 + 1 + 15 = 21 - 21 = 0
-1 -3
5 3

Siendo nulo el determinante, queda demostrado que los pies de las perpendiculares o
sean los puntos D, E y F, están en línea recta.

9. Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta.

Este concepto es de gran utilidad cuando se trabaja con puntos y rectas y las relaciones
entre ellos.

Obtendremos una fórmula para calcular la distancia desde un punto dado por sus
coordenadas hasta una recta dada por su ecuación. Distancia que consideraremos siempre como
la mínima; es decir, la distancia medida sobre la perpendicular a la recta dada y que pasa por el
punto dado, como se ve en la Figura 25:

Desde el punto P se trazan las perpendiculares a la recta y al eje de las x y formamos el
triángulo rectángulo EFP.

Del triángulo rectángulo EFP se
deduce:

d
cos A =
EP

Despejando a d:

d = E P cos A (1)

Pero:

E P =HP - E H

Donde:

HP = y 1
EH = m x1 + b

Sustituyendo:

E P = y 1 - m x 1 - b ...............................................................................................(2)

Además, de la expresión pitagórica:

2 2
sec A = 1 + tan A


La cual se puede expresar como:

2
sec A = ± 1+ tan A

y como se sabe que:

tan A = m

Por otra parte, tenemos:

1
cos A =
sec A

En la que sustituyendo los datos anteriores queda:

1 1
cos A = = .....................................................................(3)
± 1 + tan A 2
± 1 + m2

Sustituyendo (2) y (3) en (1):

y1-m x1-b
d= ........................................................................................................ (X)
± 1 + m2

Cuya expresión se le conoce como fórmula de la distancia de un punto dado a una recta
dada. Los subíndices corresponden a las coordenadas del punto P(x1,y1).

Se ha convenido en que la distancia sea positiva siempre que el punto esté arriba de la
recta y negativa si está abajo. En estas condiciones, tal parece que el doble signo de la fórmula
debe emplearse en cada caso el que convenga, para que la distancia resulte con el signo que le
corresponda. Sin embargo, la fórmula tiene la propiedad de dar automáticamente la distancia y su
signo algebraico empleando siempre ± antes del radical, o sea que la fórmula se expresa
definitivamente de la siguiente manera:

y1-m x1-b
d= ........................................................................................................ (X')
1 + m2

9.1 Ejercicios

1. Calcular la distancia desde el punto P(7,-3) hasta la recta y = x - 2.

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula (X'), para la cual según los datos: y1=-3, x1=7, m=1 y b=-2.

- 3 - ( 1) ( 7 ) - ( - 2 ) - 8 8 2
d = = = - = - 4 2
1+ 1 2 2

Por ser de signo negativo el resultado, el punto está por debajo de la línea recta.


2. Calcular la distancia desde el punto Q(5,8) hasta la recta y = x - 2.

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula (X'), con los datos: y1=8, x1=5, m=1 y b=-2.

8 - ( 1) ( 5 ) - ( - 2 ) 5 5 2
d = = =
1+ 1 2 2

Como el resultado tiene signo positivo, el punto está arriba de la línea recta.

Cuando, en particular, se trata de la distancia del origen del sistema de coordenadas a
una recta, como las coordenadas del origen del sistema son nulas, la fórmula (X')
simplemente se reduce a la siguiente:

-b
d = .........................................................................................................(X'')
1 + m2

La Figura 26 muestra gráficamente la
situación anterior.

3. Calcular la distancia entre las rectas
cuyas ecuaciones son:

4 4
y = x-6 , y = x
3 3

SOLUCIÓN

Como las rectas dadas son paralelas,
es decir tienen la misma pendiente, la
distancia es la misma en cualquier
región de ellas, como se observa en
la Figura 27. En este caso, para
mayor facilidad la distancia la
calculamos desde el origen del
sistema, por donde pasa una de
4
ellas, hasta la recta y = x - 6 . Se
3
puede ver que O(0,0), b=-6 y m=4/3,
entonces aplicando la fórmula (X''),
se obtiene:

6 6 6 18
d= = = =
16 25 5 5
1+
9 9 3

Cuando la ecuación de la línea recta está expresada en su forma implícita, es decir,
cuando tiene la forma Ax+By+C=0, la fórmula (X') toma el aspecto que indicaremos
enseguida. Por lo pronto, de la ecuación de la recta se deduce:


A x +B y +C=0
By =-A x -C
-A -C
y= x+
B B

En donde, de acuerdo a la ecuación y=mx+b tenemos que:

-A -C
m= y b=
B B

Sustituyendo en la fórmula (X') se tiene:

A x1 C A x1+B y1+C
y1+ +
d= B B = B
2 2 2
A A +B
1+ 2 2
B B

Simplificando:

A x1+B y1+C
d= ................................................................................................... (XI)
2 2
A +B

En esta expresión no existe la misma propiedad de que la distancia resulte
automáticamente con todo y su signo, sino que la fórmula realmente debe expresarse así:

A x1+B y1+C
d= .................................................................................................. (XI')
± 2
A +B
2

Del doble signo se empleará en cada caso el que convenga para que la distancia resulte
con todo y su signo verdadero. Por consiguiente, consideraremos como más útil la fórmula
(X').

4. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(-2,4), hasta una
circunferencia con centro en el origen del sistema de coordenadas, cuyo radio mide 2
unidades.

SOLUCIÓN

Cada una de las tangentes debe tener una ecuación obtenida de la fórmula (VIII), recta que
pasa por un punto dado. Sustituyendo las coordenadas de P:

 1  m
y - 4 =m  x + =m x +
 2  2



Despejando a y:

m
y=m x + + 4 ..........................................................................................................(1)
2

Esta ecuación estará perfectamente definida en cuanto conozcamos el valor de la
pendiente m.

Precisamente con el fin de calcularla, tomaremos en cuenta que en los puntos de
tangencia, el radio igual a 2 puede considerarse como la distancia del origen a cada
tangente, por lo cual podemos emplear la fórmula (X''), para la cual se tienen:

d=2
m
b= +4
2
m=?

Así que sustituyendo tenemos:

 m 
- +4 
2=
 2 
1 + m2

Elevando a cuadrado ambos miembros:

2
m 
 + 4
2 
4=
1 + m2

Desarrollando y simplificando términos semejantes:

2
m
4+4 m2= + 4 m + 16
4

Eliminando el denominador, multiplicamos por 4:

16 + 16 m 2 = m 2 + 16 m + 64

Rearreglando la ecuación:

15 m 2 - 16 m - 48 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante:

16 ± 256 + 2880 16 ± 3136 16 ± 56
m= = =
30 30 30



De lo anterior, se obtiene:

16 + 56 72 12
m1= = =
30 30 5
16 - 56 - 40 4
m2 = = =-
30 30 3

Si sustituimos estos valores de m en la ecuación (1), obtendremos las ecuaciones de las
tangentes:

12
12 12 12 40 12 52 12 26
y= x+ 5 +4= x+ + = x+ = x+
5 2 5 10 10 5 10 5 5
4
4 4 4 24 4 20 4 10
y=- x - 3 +4=- x - + =- x+ =- x+
3 2 3 6 6 3 6 3 3

La Figura 28 muestra gráficamente los
resultados obtenidos.

5. Utilizando la fórmula de la distancia de
un punto a una recta, calcular el área
del triángulo cuyos vértices son: A(-
3,4), B(5,3) y C(2,0)

SOLUCIÓN

La Figura 29 muestra gráficamente los
datos y resultados obtenidos:

Se sabe que el área de un triángulo es
bh
A= . Tomaremos como base b el
2
lado A B y como altura h positiva la
distancia del punto C al lado A B , como
se puede ver en la Figura 29.

La longitud de la base b, distancia del
lado A B , está dada por la fórmula (I)
vista en el Capítulo I:

2 2
b = base = A B = ( -3 -5 ) +( 4 -3 ) = 64 + 1 = 65 ∴ b = 65



La ecuación del lado A B se obtiene aplicando la fórmula (IX):

3-4 1 3
y-4= ( x+3)=- x-
5+3 8 8

Despejando a y:

1 3 1 29
y = - x- +4 = - x+
8 8 8 8

La altura h corresponde a la distancia de la línea recta al punto C(2,0), la cual se obtiene
utilizando la fórmula (X'):

1 29 2 - 29
0+ ( 2)-
8 8 = 8 27
d = h = = -
1 65 65
1+
64 8

Tomando la altura h positiva y sustituyendo en la fórmula del área de un triángulo, se
obtiene el área S del triángulo pedida:

27
65
65 27
S = = = 13.5 u 2
2 2

10. Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta.

Si la recta no es paralela a ninguno
de los ejes del sistema de coordenadas,
intercepta a éstos en un punto, como se
muestra en la Figura 30. Es decir se
conocen los puntos p(a, 0) y p'(0, b).

Vamos a expresar la ecuación de la
recta en otra forma denominada simétrica o
primera forma normal, en que los
parámetros sean la abscisa y la ordenada
al origen. Para esto, empezaremos por
escribir la ecuación en su forma común,
como lo indica la fórmula (III), en la cual la
tangente está dada por:

b
m = tan A = -
a

Que al sustituir en la fórmula (III), se obtiene:

b
y=- x +b
a


Rearreglando la ecuación y dividiendo entre b, se tiene:

bx
+ y =b
a
bx y b
+ =
ab b b

Simplificando, se obtiene finalmente:

x y
+ = 1 ............................................................................................................. (XII)
a b

Que es la llamada ecuación simétrica de la recta.

Esta ecuación puede considerarse como interesante, porque a partir de ella es muy rápido
el trazado de una línea recta o porque a partir de la gráfica respectiva fácilmente se escribe la
ecuación.

10.1 Ejercicios

1. Obtener la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto P(-6,-2) y es
1
perpendicular a la línea recta y = - x +9.
3

SOLUCIÓN

Empezaremos por encontrar la ecuación de la recta según la fórmula (VIII), para la cual m =
3 por condición de perpendicularidad, de acuerdo a la ecuación dada:

y + 2 = 3 ( x + 6 ) = 3 x + 18

Reduciendo términos semejantes y rearreglando la ecuación según la fórmula (XII), se
tiene:

3 x - y = - 16

Dividiendo entre –16:

3x y
− =1
− 16 − 16
x y
+ =1
16 − 16
−
3

16
Se observa que: a = - y b = 16
3



O bien:

16
Para y = 0 : 3 x = - 16 . Por tanto : x = - = a
3
Para x = 0 : - y = - 16 . Por tanto : y = 16 = b

Sustituyendo en la fórmula (XII):

x y
+ = 1
16 16
-
3

2. Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,2), sabiendo que la suma
de las longitudes de los segmentos que la determinan sobre los ejes de coordenadas es
6.

SOLUCIÓN

Del enunciado del problema, la suma de la abscisa y la ordenada al origen debe ser igual
a 6, es decir:

a+b=6

Despejando a b:

b = 6 - a ......................................................................................................................(1)

Como la ecuación de la recta por determinar debe ser como la fórmula (XII), se sustituye el
valor de b:

x y
+ = 1 .................................................................................................................(2)
a 6-a

Como la recta pasa por el punto P, las coordenadas de éste deben verificar la ecuación (2)
Sustituyendo y simplificando:

1
3
+ 2 =1
a 6-a
a
3 ( 6-a )+
2 =1
(6-a) a
a
3 ( 6-a)+ =( 6 - a ) a
2


2
36 − 6 a + a = 12 a − 2 a



Por tanto:

2
2 a − 17 a + 36 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante:

17 ± 289 - 288 17 ± 1
a = =
4 4

Los valores de a que satisfacen la ecuación son:

17 + 1 18 9
a1 = = =
4 4 2
17 − 1 16
a2 = = = 4
4 4

Sustituyendo en b; ecuación (1):

9 3
b2 = 6 - =
2 2
b2 = 6 − 4 = 2

De los resultados obtenidos,
observamos que hay dos rectas
que satisfacen las condiciones del
problema, las cuales se obtienen
sustituyendo valores en la fórmula
(XII):

x y
+ =1
9 3
2 2
x y
+ =1
4 2

La Figura 31 muestra gráficamente, los resultados obtenidos.

11. Segunda forma normal de la ecuación de la recta o ecuación de Hess.

La recta queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen
del sistema de coordenadas y el ángulo positivo B, que la perpendicular forma con el eje de las x.

La perpendicular a la recta se representa por p, la cual se considera siempre positiva por
ser una distancia. Ver la Figura 32.

En este caso, vamos a lograr que la ecuación resultante contenga como parámetros la
magnitud p positiva, precisa y rigurosamente positiva, de la perpendicular llevada del origen de
coordenadas a la recta y el ángulo que esta perpendicular forma con el eje de la x. Partiremos de


la ecuación simétrica, fórmula (XII), para la cual:

p
cos β =
a

Despejando a a:

p
a =
cos β

Además según la Figura 32:

p
cos ( 90° - β ) = = sen β
b

Despejando a b:

p
b =
sen β

Sustituyendo en la fórmula (XII):

x y
+ =1
p p
cos β sen β
x cos β y sen β
+ =1
p p

Multiplicando ambos miembros por p:

x cos β + y sen β = p

Finalmente:

x cos β + y sen β - p = 0 ............................................................................... (XIII)

Relación en la que β y p son los parámetros.

Esta es la segunda forma normal de la ecuación de la recta y sólo falta ver como se puede
obtener fácilmente en cada problema a partir de la ecuación con la que tiene más parecido y es con
la fórmula (IV), cuya forma es Ax+By+C=0.

Para lograr nuestro propósito, debemos admitir que los coeficientes respectivos de ambas
ecuaciones son proporcionales, razón por la cual podemos tener:

cos β
= K . Por tanto : cos β = K A ...........................................................................(1)
A



sen β
= K . Por tanto : sen β = K B ...........................................................................(2)
B

- p
= K . Por tanto : p = - K C ..................................................................................(3)
C

De (1) y (2) resulta, elevando al cuadrado:

2 2 2
cos β = K A
2 2 2
sen β = K B

Despejando a K:

1
K=
± 2
A +B
2

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1), (2) y (3), se tienen las siguientes
expresiones:

A
cos β = ................................................................................................(1´)
± 2
A +B
2

A
sen β = ...............................................................................................(2´)
± 2
A +B
2

-C
p= .......................................................................................................(3´)
± 2
A +B
2

De acuerdo con todo esto, la ecuación normal puede expresarse de la siguiente forma:

Ax By C
+ + = 0 .............................................. XIV
± 2
A +B
2
± 2
A +B
2
± 2
A +B
2

Esta ecuación nos hace ver que para obtener la segunda forma normal a partir de la
ecuación, de la forma general Ax+By+C=0, basta dividir ésta entre el radical ± A 2 + B 2 ,
debiendo tomar para el radical el signo contrario al que tenga el término independiente C en la
ecuación dada, con objeto de que el valor de p sea siempre positivo, como dijimos desde un
principio.

11.1 Ejercicios

1. Obtener la ecuación normal de la recta dada por la ecuación: 4 x - 3 y - 25 = 0 .

SOLUCIÓN

Comparando con la ecuación general Ax + By + C = 0 se tiene que:

A = 4, B = -3 y C = -25


Calculando el radical: A 2 + B2

2 2 2 2
A +B = 4 + (- 3 ) = 16 + 9 = 25 = + 5

Como el signo de la raíz cuadrada debe ser contrario al término independiente, que en
este caso, según la ecuación dada es -25, así que:

2 2
A +B =+5

Una vez definido el signo, dividimos la ecuación dada entre +5, es decir:

4 x 3 y 25
- - =0
5 5 5

Finalmente:

4 3
x- y-5=0
5 5

2. Determinar la ecuación normal de la recta cuya ecuación es: 6 x + 8 y + 33 = 0

SOLUCIÓN

En este caso se tiene que:

A = 6; B = 8 y C = 33

Por lo que:

A +B = 6 +8 =
2 2 2 2
36 + 64 = 100 = 10

Tomando signo contrario al que tiene C, dividimos la ecuación dada entre -10 y queda:

6 8 33
- x- y- =0
10 10 10

12 Problemas de la línea recta, considerada como lugar geométrico.

Veremos en este tema la parte correspondiente a uno de los problemas fundamentales de
la geometría analítica, que consiste en encontrar la ecuación representativa del lugar geométrico
que se trate y comprobar que las coordenadas de un punto perteneciente a dicho lugar
geométrico satisfacen a su ecuación.

Se da el nombre de lugar geométrico a todo conjunto de puntos que tienen la misma
propiedad o que se rigen por la misma ley. Un ejemplo más sencillo y más común de lugar
geométrico es la circunferencia, puesto que absolutamente todos sus puntos participan de la
propiedad de equidistar del centro.

También es un lugar geométrico la mediatriz de un segmento de recta, porque todos los


puntos de ella equidistan de los extremos del segmento. Lo mismo podemos decir de la bisectriz
de un ángulo, en atención de que todos los puntos de ella equidistan de los lados del ángulo.
Tomando en consideración que todo lugar geométrico es una línea recta o curva, debe
tener una ecuación y para determinarla, en cada caso, se procede de la siguiente manera:

1. Se empieza por suponer la existencia de un punto M(x,y) dotado de cierta ley de
movimiento, en que su recorrido describe el lugar geométrico en cuestión.

2. Por medio de una igualdad se escribe la condición de movimiento del punto generador del
lugar geométrico.

3. Se hacen intervenir en la condición antes citada las constantes o datos del problema y las
variables, que no son más que las coordenadas del punto móvil M(x,y). La expresión
resultante es la ecuación del lugar geométrico, en la que comúnmente se hacen las
transformaciones necesarias para lograr escribirla en la forma más simple posible.

12.1 Ejercicios

1. Obtener la ecuación de la mediatriz del segmento de recta cuyos extremos son:
P(-2,6) y Q(6,-4).

SOLUCIÓN

Haciendo la gráfica (Figura 33) de
los datos conocidos y aplicando el
procedimiento anterior:

1. Se considera un punto M(x,y) en
movimiento, representado en la
Figura 33.

2. La condición del movimiento
del punto M es:

MP = MQ (1)

3. Aplicando la fórmula (I), distancia entre dos puntos, se tiene:

2 2
MP = ( x +2 ) +( y - 6 )
2 2
MQ = ( x -6 ) +( y+4 )

Sustituimos en (1):

2 2 2 2
( x +2) +( y -6 ) = ( x - 6 ) +( y + 4 )

Elevando al cuadrado, desarrollando y simplificando:

2 2 2 2
x + 4 x + 4 + y - 12 y + 36 = x - 12 x + 36 + y + 8 y + 16
20 y = 16 x - 12


Despejando a y:

4 3
y= x-
5 5

El resultado es la ecuación de una recta.

Comprobación: Determinamos las coordenadas del punto medio M1 del segmento
PQ:

-2+6
xM 1 = =2
2
6-4
yM 1 = =1
2

Por tanto:

M 1 ( 2 , 1)

6+4 10 5 4
Ahora, la pendiente de P Q = =- =- . Por lo que m = , por ser
-2-6 8 4 5
perpendiculares. De esta forma la ecuación de la mediatriz es:

4 4 8
y - 1= ( x -2)= x-
5 5 5


4 3
y= x-
5 5

Con lo cual se comprueba el resultado obtenido.

2. Obtener las ecuaciones de las
bisectrices de los ángulos formados por
las rectas cuyas ecuaciones son: y = x -
4 , y = -x + 6.

SOLUCIÓN

Haciendo la gráfica (Figura 34) de los
datos dados y las bisectrices:

1. Se considera un punto móvil
M(x,y), según la figura adjunta, para
obtener la ecuación de la bisectriz
PQ.

2. La condición de movimiento del
punto M es:


d 1 = d 2 ..................................................................................................................(1)

y1-m x1-b
3. Pero, según la fórmula de la distancia de un punto a una recta, d = .
1+ m 2
Sustituyendo valores, se tiene:

y-x+4 y-x+4
d1 = - =- ( - por estar el punto abajo de la recta )
1+ 1 2
y+x-6 y+x-6
d2 = = ( + por estar el punto arriba de la recta )
1+ 1 2

Sustituimos en (1):

y-x+4 y+x-6
- =
2 2
- y+x-4=y+x-6
2 y=2

Por tanto, la ecuación de la bisectriz P Q es:

y =1

Para la bisectriz R S , la condición de movimiento del punto M' es:

d 3 = d 4 ..................................................................................................................(2)

Procediendo de manera similar al caso anterior, se tiene:

y-x+4
d3 =
2
y+x-6
d4 =
2


y-x+4 y+x-6
=
2 2
2 x = 10

Despejando a x, obtenemos la ecuación de la bisectriz R S :

x =5


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Título: 2
Asunto:
Autor: Pablo Fuentes Ramos
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Fecha de creación: 21/02/02 07:02 P.M.
Cambio número: 63
Guardado el: 06/05/02 10:40 A.M.
Guardado por: Pablo Fuentes Ramos
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