Tema 3 def

Universidad Simón
Bolívar, Sede
Litoral

Tema 3
•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
y
abscisa

I

II

ordenada

O

-x

III

x

IV
-y

P(x, y)

FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Y

X

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
Y

X

Ejemplos:
x1 y1
x2 y2
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

d2 = 144 + 25
d2 = 169
x1 y1
x2 y2
d = 13 u.d
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

Pm =

-3 + 9 , 4 + -1

2

2

Pm =

x1 + x 2 y1 + y 2
,
2
2

Veamos la distancia directamente en el plano:

B

80
4

A
8

42 82

16 64

Ejercicios:
Calcule las distancias y puntos medios de:

1.

A(-2,3) y B(6,-1)
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

2.

A(-3,6) y B(1,2)

3.

A(-2,3) y B(2,0)

4.

1
A(- ,3) y B(1,5)
2

5.

A( 2 ,- 7 ) y B(2 2 ,0)

Pm =

x1 + x2 y1 + y2
,
2
2

Significado de la recta:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme cantidad

de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a
una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costosingresos y ganancia, la oferta y demanda, la
valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.

P. E.

20

40

60

80

¿Qué significan estas señales de tránsito?

Pendiente de una recta l
y

• ¿Cuál de las
rectas está más
inclinada?

L1

• ¿Cómo medimos
esa inclinación?

L2

0

x
La pendiente m de la recta l es:

Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos
P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
Y

X

Ejemplo:
1. Hallar la pendiente entre los puntos:
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:

m=

7 – (-2)

1 – (-4)

m=

9
5

2. Calcular la pendiente entre los puntos:
x1 y1
x2 y2
(8, 5) y (8, 10) es:

m=

10 – 5
8–8

m=

5
0

Como el denominador es
cero, la pendiente NO existe.

Además, la recta que pasa por los puntos
(8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es
de la forma: x = 8, la recta NO es
función.

Ejemplos
Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de
estos segmentos
a) A(-6,1) y B(1,2)
b) C(-1,4) y D(3,1)
c) E(3,2) y F(8,2)
d) G(2,1) y H(2,-3)

mCD = -3/4
mAB = 1/7
mEF = 0

mGH = ¿?

Conclusiones

y

1. Si m>0 la recta l es creciente

x
y

2. Si m<0 la recta l es decreciente

x
y

3. Toda recta horizontal tiene m = 0
x
y

4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

x

La recta
Geométricamente podemos decir que una
línea recta es una sucesión continua e infinita de
puntos
alineados en
una misma dirección;
analíticamente, una recta en el plano está
representada por una ecuación de primer grado con
dos variables, x e y.
Además es el lugar geométrico de todos los
puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma
pendiente.
Ejemplos:
1.

5x + 6y + 8 = 0

2.

y = 4x + 7

3.

6x + 4y = 7

Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)

La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x1, y1) es:

Y

(x1, y1)

y - y1 = m(x - x1)
X

Ecuación general o implícita de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c
reales.

Ejemplos:

1.
2.
3.

5x + 6y + 8 = 0
2x - 4y + 7 = 0
-x + 12y - 9 = 0

Obs. m=

a
b

c

b= b

Ecuación explicita de la recta
La gráfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
Y

y = mx + b

b
X

Ecuación explicita de la recta
Es de la forma:

y = mx + b
m : pendiente

b : punto de corte con el eje y
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y.
Corresponde al punto de coordenadas (0,b).
Ejemplo:
1) y= 2x -3
2) y= 3x – 4
2

m=2

b=-3
y=3 x – 2
2

m=

3
2

b=2

Ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la recta de pendiente m =
-6, que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3)

y + 2 = -6x + 18

y = -6x + 16

6x + y – 16 = 0

2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
x1 y1

x2

y2

( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1

(x – x1)

y – (-3) = 6 – (-3) (x – 2)
5–2
y + 3 = 9 (x – 2)
3
y + 3 = 3 (x – 2)

y = 3x – 9

y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3

3x – y – 9 = 0

Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por
(-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y
de la recta determinada por la ecuación
x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la
recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

y - y1 = m(x - x1)

y = mx + b

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
recta
horizontal

recta //
al eje X

ecuación
y=b

y=b

b

a

x=a
recta
vertical

recta //
al eje Y

ecuación
x=a

Ejemplos:
1. En las siguientes ecuaciones identificar m y b:
a)

y=x–8

m = 1 y b = -8

b)

y = 4x

m=4 y b=0

c)

6x – y+ 13 = 8

Para determinar m y b, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las
fórmulas dadas para m y b:
6x – y + 5=0
m = -6/-1 = 6

Obs. m=

b = -5/-1 = 5

a
b

c

b= b

Luego, m = 6 y b = 5.

2. ¿Cuál será la pendiente y el punto de corte en el eje y en
ecuaciones como: y = 5

y x=2?

Ejemplos:

3. Dada la gráfica de la
recta, encontrar su ecuación
principal.
-2 -1
-1
-2

b = 3. Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

m=

5–3
1– 0

m=

2
1

= 2

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al
eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.

En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente:
• Forma pendiente ordenada
al origen
• Forma general

y-y1=m(x-x1)
y = mx+b

ax + by + c = 0

• Recta vertical

x=a

• Recta horizontal

y=b

Rectas paralelas
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 ,
son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma

pendiente o si ambas son verticales .
Es decir:

m 1 = m2

Rectas paralelas
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente
y distinto coeficiente de posición o puntos de corte con y.
Ejemplo:

Determine si L1: y = 5x +3

(m = 5)

(m = 5)

y

L2: y = 5x – 10 son paralelas

Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son
perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus
pendientes es -1.
Es decir:

m1 . m2 = -1

Además, una recta horizontal y una vertical son
perpendiculares entre sí.

Rectas perpendiculares
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: Compruebe que L1: y = -5x +3
2
Son perpendiculares

(m = -5 )
2

(m = 2 )
5

y

L2: y = 2x – 10
5

Ejercicios:
Determine la ecuación de la recta
que satisfaga:

1. Pasa por (3;-4) y es paralela a
y= 3+ 2x.
2. Pasa por (3; -4) y es perpendicular
a y = 3 + 2x

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
 Sea

la ecuación de una
recta y
un punto que NO
pertenece a ella, entonces:

Note la perpendicularidad de
la recta que representa la
distancia

EJERCICIOS:
Calcule las distancias desde el punto A hasta la
recta R:

1.

A(1,2) y R : 4x - 3y - 8 0

2.

A(-1,2) y R : y -2x -1

3.

A(0,-2) y R : 3x 4y - 3 0

4.

1
A(- ,3) y R : 3x - 2y 1
2

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
 Sea

la ecuación de una recta
y S : ax by c 0 otra recta paralela ya que
A
M
M
sus pendientes son iguales
B
R : ax by c1

0

2

R

d

S

C2 C1
A

2

B

2

EJERCICIOS:
Calcule las distancias entre las siguientes rectas
si son paralelas:

1.

R : 6x - 2y 3 0
S : 3x - y 4 0

2.

R : 2x - 3y 1 0
S : 4x - 6y 1 0

d

C2 C1
A

3.

R : y -3x 2
S : 3x y 8 0

2

B

2

Universidad Simón
Bolívar, Sede
Litoral

Elaborado por:
Dorenis Mota (dorenismota@usb.ve
Ricardo Valles (revalles@usb.ve)

•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta

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