Clase 1 mati_1129 (2)
- 1. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SEDE-LITORAL FORMACIÓN GENERAL Y CIENCIAS BÁSICAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES TEMA 1
- 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Números Naturales (N) Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. 1.1 Consecutividad numérica • Sucesor Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.
- 3. 1. Números Naturales (N) • Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1 Naturales Consecutivos n-1 antecesor n n+1 sucesor
- 4. 1. Números Naturales (N) 1.2 Paridad e imparidad • Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 Antecesor par 2n 2n + 2 Sucesor par
- 5. 1. Números Naturales (N) • Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Sucesor impar: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3. 2n - 3 Antecesor impar 2n -1 2n + 1 Sucesor impar
- 6. 2. Números Cardinales ( N0) Conjunto de la forma: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. 3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito. Se puede representar como: Z = Z- U IN0 Z = Z- U {0} U Z+ Recta numérica: -3 -2 -1 Z- 0 1 2 3 Z+
- 7. 3. Números Enteros (Z) Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5 -5 Luego, 5 unidades |-20| = 20 0 5 unidades |34| = 34 5 |-12| = 12…
- 8. 4.Números Racionales (Q) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: Q= a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero a: numerador y b: denominador Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -1; 14; -2; 0,489; 2,18; -0,647 8 3 7 15, 0 NO es racional
- 9. Todo número entero es racional. Por ejemplo: 3 es Natural (3 3 es Cardinal (3 3= 3 IN), IN0), y como , 3 es racional 1 IN IN0 Z Q (3 Q).
- 11. 5. Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). ..... 3, Q U Q* = 2, Q*= , ,....
- 12. 6. Números Reales (IR) Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. IR = Q U Q* Ejemplos: 3, -89, -2; 2,18; 7 Diagrama representativo: 2 ; 23,491002
- 13. 7. Números imaginarios (II) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. U IR II = O Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa: 4, 25, 6 2, 4 16
- 14. 8. Números complejos (C) Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios. Ejemplos: 5, -68, -1; 8 Diagrama representativo: 6 2 , -0,647
- 15. EN ESTA ASIGNATURA NOS DEDICAREMOS AL ESTUDIO DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR)
- 16. Propiedades de los números Reales Suma Propiedad Multiplicación Para todo número real a, b y c se satisface: Clausura a b c a b c Conmutativa a b b a a b b a a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c Asociativa a 0 a a ( a) 0 Identidad o Neutro a 1 a 1 a ( ) 1 con a 0 Inverso a Distributiva de la mutiplicación con respecto a la suma a (b c) (a b) (a c)
- 17. Sea a, b IR entonces (i) a 0 0 (ii) a Sea a, b entonces IR a b 0 a Sea (iii) a b a b a b 0 b 0 entonces IR a b (iv) a, b, c a (ii) a a 1 1 (iii) a b (iv) a 1 1 b a b 1 a (ii) a b 0 a b (iv) a b c a b c (vi) a b (vii) a b a 1 a b (v) a1 (i) (iii) Sea a, b IR, a 0, b 0 entonces (i) a b b 1 1 b a b 1 1 1 a c a c c d b c a b a b a b c a b c b c con a a d b c con b 0 0, d 0
- 18. Potencias Sean a IR y n IN . La potencia de base a n y exponente b n define como sigue: a a a a n factores Propiedades a0 a 1, a 1 an n a Sean n m 0 ,a 0 a nm a, b n, m Z y an am a n b an am n an entonces m a b an a b m n a b n m n an bn an m ,a nm b 0
- 19. Raíces Sean b y n IN La Raíz n esima de b es un número real, que se define como n Propiedades n b n m a Sean a, b m n b n, m IN b entonces n m nm b n b y b m b n m n n an b n a b n n a a m n a b a b n a b n nm b b a m bn b n a 0 n b
- 20. Cuadrados de Binomios a b a b 2 a2 2 2ab b 2 a2 2ab b 2 Cubos de Binomios Suma por su Diferencia a b a b a2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a4 b4 Binomios por Trinomios a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b a 2 ab b 2 a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b a2 ab b 2 a 3 b3 a 3 b3
- 21. Caso I 1 b 1 b b b 1 1 n b b bm n n bn m bm n bn m n bn b m Caso II 1 a 1 b 1 a b a a a b b a b a b b a a b b a b a b 1 b a
- 22. Caso III 1 3 3 a b 3 a 3 a 1 3 3 1 b 3 1 3 b 3 a 3 3 b 3 a a 3 a a 3 3 3 a3 b a3 b 3 a3 b a3 b 3 3 3 b b 3 b b 3 a 3 a 3 3 a 3 a a3 b 3 3 3 b a3 b 3 3 3 a 3 b 3 a 3 3 3 b b 3 a3 b a b 3 b a3 b a b 3 b
- 23. Ecuación de 1º Grado Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo ax b Y su solución o raíz es Ecuación de 2º Grado x 0 b a Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo ax 2 Y su solución o raíz es x1 b b 2 4ac 2a x2 b b 2 4ac 2a bx c 0
- 24. FORO I ¿ ¿QUÉ NECESIDAD LLEVÓ AL HOMBRE A LA INVENCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES?? Elaborado por: Profesora Dorenis Mota (dorenismota@gmail.com) Profesor Ricardo Valles (revalles@usb.ve) Departamento de Formación General y Ciencias Básicas