Loriannys s funciones de varias variables
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO EXTENSIÓN: BARCELONA CARRERA: ARQUITECTURA ASIGNATURA: MATEMÁTICA III TEMA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO C.I. 28512341 DOCENTE: PROF. PEDRO BELTRÁN
- 2. INTRODUCCIÓN Las coordenadas cartesianas, son definidas como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes x, y. Es importante señalar, que el sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular. Cabe resaltar, que la denominación de coordenadas cartesianas es en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
- 3. Además de ello, los sistemas de coordenadas, pueden ser transformados entre sus diferentes sistemas, también hay que considerar su simetría, sus funciones de varias variables y el dominio de sus funciones. Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».
- 4. SISTEMA DE COORDENADAS Es un conjunto de líneas, planos u otras que nos sirven para determinar la posición de un punto. El punto puede estar situado en una recta, en una curva, en un plano, en una superficie plana o curva o en el espacio. Utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, lo cual permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".
- 5. A su vez, es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
- 6. En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si, es un sistema bidimensional o tridimensional, se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto, sobre un eje determinado: Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
- 7. Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. Así en el eje de los números reales, x=4 se indica de la siguiente manera: Este tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los números reales R. Similarmente, cuando nos propongamos analizar un fenómeno en que se involucran dos variables (que es el caso del plano), denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar ambas, como pertenecientes a subconjuntos de R2. Ya en el espacio estableceremos algo similar para R3. No hay que tener mucha imaginación para deducir que se puede hablar de espacios n-dimensionales en que los valores de las variables de una función los asociaremos con subconjuntos de Rn.
- 8. En el espacio 3D, la posición de un punto en coordenadas cartesianas, vendrá dada por un trío ordenado de números que nos indicarán los valores de x, y y z, en ese orden:
- 9. Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo según sean los valores de las tres coordenadas.
- 10. Resulta conveniente señalar que estamos hablando de un sistema de coordenadas al que le es aplicable la regla de la mano derecha, o sea, que z es positivo en la dirección en que avanzaría un tornillo si giramos el mango de un desarmador en el sentido del eje x al eje y:
- 11. Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +3 en las abscisas y +1 en las ordenadas. El conjunto (3 , 1) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:
- 12. Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie. A su vez, sirven para ubicar puntos en el espacio tridimensional y constan de una coordenada radial ρ, una coordenada azimutal φ y una coordenada de altura z. Un punto P ubicado en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano XY dando lugar al punto P’ en ese plano. La distancia desde el origen hasta el punto P’ define la coordenada ρ, mientras que el ángulo que forma el eje X con la semirrecta OP’ define la coordenada φ. Por último, la coordenada z es la proyección ortogonal del punto P sobre el eje Z. COORDENADAS CILÍNDRICAS.
- 13. En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio ordenado (r, q, z), tal que: v (r, q) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY. v z es la distancia de (r, q) a P. r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q estarán entre 0 y 2p.
- 14. Los intervalos en los que están definidas estas coordenadas son: Observa que las direcciones de estas coordenadas son perpendiculares entre sí. En este sistema de coordenadas describiremos cualquier vector arbitrario de la siguiente forma: o bien con paréntesis: Como este sistema de coordenadas es ortonormal, el módulo de un vector arbitrario se podrá calcular de la forma siguiente:
- 15. Las relaciones entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas son las siguientes: El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas reales en los que existe un eje de simetría.
- 16. La coordenada radial ρ siempre es positiva, la coordenada azimutal φ varía desde cero radianes hasta dos pi radianes, mientras la coordenada z puede tomar cualquier valor real: 0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ < 2π – ∞ < z < + ∞
- 17. Es relativamente sencillo obtener las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P a partir de sus coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z): x = ρ cos(φ) y = ρ sen(φ) z = z Cambio de coordenadas Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera: Las coordenadas cilíndricas sirven para ubicar puntos en el espacio tridimensional y constan de una coordenada radial ρ, una coordenada azimutal φ y una coordenada de altura z.
- 18. Un punto P ubicado en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano XY dando lugar al punto P’ en ese plano. La distancia desde el origen hasta el punto P’ define la coordenada ρ, mientras que el ángulo que forma el eje X con la semirrecta OP’ define la coordenada φ. Por último, la coordenada z es la proyección ortogonal del punto P sobre el eje Z.
- 19. La coordenada radial ρ siempre es positiva, la coordenada azimutal φ varía desde cero radianes hasta dos pi radianes, mientras la coordenada z puede tomar cualquier valor real: 0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ < 2π – ∞ < z < + ∞
- 20. Hay infinidad de ejemplos del uso y aplicación de las coordenadas cilíndricas. En cartografía, por ejemplo, se usa la proyección cilíndrica, basada justamente en estas coordenadas. Las grúas de construcción fijan la posición de la carga en coordenadas cilíndricas. La posición horizontal queda definida por la distancia al eje o flecha de la grúa ρ y por su posición angular φ respecto de algún eje de referencia. La posición vertical de la carga queda determinada por la coordenada z de la altura. EJEMPLOS La posición de la carga en una grúa de construcción puede expresarse fácilmente en coordenadas cilíndricas
- 21. Se tienen los puntos P1 de coordenadas cilíndricas ( 3, 120º, -4) y el punto P2 de coordenadas cilíndricas ( 2, 90º, 5). Hallar la distancia euclidiana entre estos dos puntos. Solución: En primer lugar, se procede a encontrar las coordenadas cartesianas de cada punto siguiendo la fórmula que se dio más arriba. Ejercicio 1 P1 = ( 3* cos 120º, 3* sen 120º, -4 ) = ( -1.5, 2.60, -4 ) P2 = ( 2* cos 90º, 2* sen 90º, 5 ) = ( 0, 2, 5 ) La distancia euclidiana entre P1 y P2 es: d(P1, P2) = √( (0 – (-1.5))2+(2 – 2.60)2+(5 -(-4))2 ) = … … √(2.25+0.36+81) = 9.14
- 22. El punto P tiene coordenadas cartesianas ( -3, 4, 2 ). Hallar las coordenadas cilíndricas correspondientes. Solución: Se procede a encontrar las coordenadas cilíndricas usando las relaciones dadas más arriba: Ejercicio 2 ρ = √(x2 + y2) = √((-3)2 + 42) = √(9 + 16) = √(25) = 5 φ = arctan( y/x ) = arctan( 4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º z = 2 Cabe recordar que la función arco tangente es multivaluada de periodicidad 180º. Además, el ángulo φ debe pertenecer al segundo cuadrante, ya que las coordenadas x e y del punto P están en ese cuadrante. Esta es la razón por la que se ha sumado 180º al resultado φ.
- 23. Sistema de coordenadas formado por dos ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos, los ángulos que es necesario girar sucesivamente, en planos mutuamente perpendiculares, el eje inicial para alcanzar la posición del punto. Son un sistema de ubicación de puntos en el espacio tridimensional que consta de una coordenada radial y dos coordenadas angulares denominadas coordenada polar y coordenada azimutal. COORDENADAS ESFÉRICAS. En la figura, se muestra las coordenadas esféricas (r, θ, φ) de un punto M. Estas coordenadas están referidas a un sistema ortogonal de ejes cartesianos X, Y, Z de origen O.
- 24. En este caso, la coordenada r del punto M es la distancia de ese punto al origen O. La coordenada polar θ representa el ángulo entre el semi eje positivo Z y el radio vector OM. Mientras que la coordenada azimutal φ es el ángulo entre el semieje positivo X y el radio vector OM’, siendo M’ la proyección ortogonal de M sobre el plano XY. 0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ ≤ 180º 0 ≤ φ < 360º La coordenada radial r solo toma valores positivos, pero si un punto está ubicado en el origen entonces r=0. La coordenada polar θ toma como valor mínimo 0º para puntos ubicados sobre el semieje positivo Z y valor máximo 180º para los puntos está ubicado en el semieje negativo Z. Por último, la coordenada azimutal φ toma como valor mínimo 0º y cota máxima de 360º.
- 25. En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (r, q, f) donde: v r es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de r ³ 0). v q es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas, (0 £ q < 2 p). v f es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0 £ f £ p).
- 26. El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas: Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar. CAMBIO DE COORDENADAS
- 27. A la inversa, es posible pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:
- 28. Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera: A continuación se darán las fórmulas que permiten obtener las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto M suponiendo conocidas las coordenadas esféricas del mismo (r, θ, φ) punto: CAMBIO DE COORDENADAS x = r Sen(θ) Cos(φ) y = r Sen(θ) Sen(φ) z = r Cos(θ)
- 29. De igual manera, es útil hallar las relaciones para pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto dado a las coordenadas esféricas de dicho punto: r = √( x^2 + y^2 + z^2 ) θ = Arctan( √( x^2 + y^2) / z ) φ = Arctan( y / x )
- 30. Coordenadas: CARTESIANAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS (x, y, z) (r, q, z) (r, q, f) Valores posibles: (-∞ a ∞) 0<r<¥,0<q<2p,-∞£z£∞ 0<r<¥,0<q<2p,0<f<p Fórmulas para la transformación de coordenadas Cilíndricas a cartesianas Esféricas a cartesianas Cartesianas a cilíndricas Cartesianas a esféricas x= r cosq x= r senf cosq r= (x2+y2)1/2 r= (x2+y2+z2)1/2 y= r senq y= r senf senq q=arctg(y/x) f=arccos(z/(x2+y2+z2 )1/2) z= z z= r cosq z= z q=arctg(y/x)
- 31. Una línea de contorno (también isolínea , isopleta o isaritmo ) de una función de dos variables es una curva a lo largo de la cual la función tiene un valor constante, de modo que la curva une puntos de igual valor. Es una sección plana de la gráfica tridimensional de la función f ( x , y ) paralela al plano ( x , y ). En cartografía , una línea de contorno (a menudo llamada simplemente "contorno") une puntos de igual elevación (altura) sobre un nivel dado, como el nivel medio del mar. MAPA DE CONTORNO O CURVA DE NIVEL Una superficie tridimensional, cuyo gráfico de contorno se encuentra debajo.
- 32. Posición, forma y tamaño, respecto a un punto, una línea o un plano, de los elementos de un conjunto o de dos o más conjuntos de elementos entre sí. Se denomina simetría a la correspondencia exacta que se registra en la disposición regular de las partes o puntos que conforman un cuerpo o figura, considerado con relación a un centro, eje o plano. Así, se verifican distintos tipos de simetrías: SIMETRÍA
- 33. Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de rotación. Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es aquella que ocurre a partir de un eje, lo que significa que cualquier giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún cambio de posición en el espacio. Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la existencia de un único plano donde una mitad es el reflejo de la otra. Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en un objeto o figura cuando este se repite a una distancia siempre idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar colocada en cualquier posición y que puede ser infinita.
- 34. Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica. Método de estudio de la simetría Sea la función f(-x) = x4-3x2. Vamos a estudiar la simetría de la función evaluando f(-x). Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.
- 35. Ahora tenemos la función f(-x) = x3-4x. Análogamente, estudiamos la simetría: En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función simétrica impar.
- 36. Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone. Existen dos tipos de simetrías: FUNCIONES SIMÉTRICAS Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares). Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).
- 37. Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía. Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden. Funciones pares
- 38. Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía. En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x). Funciones impares
- 39. Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
- 40. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente: Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
- 41. Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo: Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es: Rango y dominio
- 42. De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine: En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman x y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente: Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente. Para el siguiente ejemplo de función:
- 43. Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma: Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay: Ahora se escribe la imagen: Valor máximo Valor mínimo
- 44. El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por fuera y así determinar que región es indefinible a f y cual no. Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio.
- 45. La geometría del espacio también conocida como Geometría solida se ocupa de formas tridimensionales. Algunos ejemplos de formas tridimensionales son cubos, sólidos rectangulares, prismas, cilindros, esferas, conos y pirámides. Veremos las fórmulas de volumen y las fórmulas de área de superficie de los sólidos. Geometría en Tres dimensiones: Se llama tridimensional, o 3D, porque hay tres dimensiones : ancho, profundidad y altura. GEOMETRIA EN EL ESPACIO
- 46. Una esfera o superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas (x, y, z) del espacio cuya distancia a un punto fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera, es una cantidad constante r > 0 , es decir, el radio de la esfera Posiciones relativas de recta y esfera Una recta respecto a una esfera puede estar situada: Exterior: Si no tienen ningún punto en común Tangente: cuando la recta toca a la esfera en un único punto Secante: cuando la recta corta a la esfera en dos puntos. SUPERFICIE ESFÉRICA Ecuación de una esfera
- 47. Un plano respecto a una esfera puede estar situado: Exterior: Si no tienen ningún punto en común Tangente: cuando el plano toca a la esfera en un único punto Secante: cuando el plano corta a la esfera en una circunferencia. Posiciones relativas de plano y esfera
- 48. La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje. Las superficies cilíndricas pueden ser superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella. superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices. SUPERFICIE CILINDRICA
- 49. PARABOLOIDE Ecuación del paraboloide: z = x2 + y2 (paraboloide de revolución)-las secciones transversales al eje OZ son circulares. * * * z = m x2 + n y2 (paraboloide general) las secciones transversales al eje OZ son elípticas. En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo: Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos tengan igual o distinto signo, respectivamente.
- 50. Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de esferoide. ELIPSOIDE Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O): (a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas)
- 51. La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas. HIPERBOLOIDE
- 52. Para la arquitectura, el plano cartesiano es sumamente importante debido a sus muchas aplicaciones. La función general de esta herramienta en la matemática, es que permite representar la gráfica de cualquier función. Por lo cual, permite, que se puede visualizar la representación de movimiento de una función de movimiento, velocidad o aceleración de cualquier partícula para saber su ubicación o desplazamiento. Debido a que la matemática y la física son ciencias que tienen muchas aplicaciones muy semejantes y el plano cartesiano es muy importante para ellas, es por esto que se puede llegar a construir la misma representación de gráfica desde puntos de vista diferentes. CONCLUSIÓN Además constituye una herramienta, al aplicarse el sistema de coordenadas sumamente importante, desde su creación, para el desarrollo del mundo en muchos aspectos, como la ingeniería, la arquitectura y la física.
- 54. Funciones de varias variables. Disponible en: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables. 10—11-2020. Funciones Simétricas y asimétricas. Disponible en: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-simetricas-asimetricas/. 09-11- 2020. Coordenadas Cilíndricas y esféricas. Disponible en: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas. 10-11-2020. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Coordenadas en el plano y en el espacio. Disponible en: http://www.bibliotecacpa.org.ar/greenstone/collect/facagr/index/assoc/HASHc6c9.dir/doc.pdf. 15- 11-2020. Cilindro. https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro#:~:text=En%20un%20sistema%20ortogonal%20de,de%20la%20supe rficie%20c%C3%B3nica%20correspondiente.&text=son%20los%20semiejes. 16-11-2020.
- 55. Superficie esférica. Disponible en: https://saia.psm.edu.ve/pluginfile.php?file=%2F1167643%2Fmod_resource%2Fcontent%2F1%2FSuperfici e%20esf%C3%A9rica.pdf. 18-11-2020. Sistema de Coordenadas en el espacio. Disponible en: http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.htm#:~:text=Las %20coorden. 12-11-2020. Geometría Analítica. Disponible en: https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas- cordenados. 09-11-2020.