![Calcular el área de una región Plana
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al
de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un
círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene
dada por: A= ½.°. R al cuadrado, donde ° en radianes.
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no
negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para
hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n
subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las
mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la
fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una
función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si
f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .](https://image.slidesharecdn.com/memocoordenadaspolares-120919202912-phpapp01/85/Memo-coordenadas-polares-8-320.jpg)
Memo coordenadas polares
- 1. Unidad IV Coordenadas Polares José Betancourt C.L.: 21.055.428 Prof: Domingo Mendez SAIA: A
- 2. Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las mismas de cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.
- 3. Sistemas de Coordenadas Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométricorespecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
- 4. Coordenadas Polares Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
- 5. Ejemplo Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares so r y q , escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue. Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de abscisas ( eje polar) como lado inicial. Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen. Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r del polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q. Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q . Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto. Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares ( 0, q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular q. Por supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0 para ejemplos ver el archivo al final de la unidad
- 6. Conversión de Coordenadas La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares. Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la conversión del rectangular al polar y viceversa. En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas respectivos.
- 7. Gráfica de una Ecuación Polar La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada. Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las coordenadas polares. Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.
- 8. Calcular el área de una región Plana El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por: A= ½.°. R al cuadrado, donde ° en radianes. Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores, Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .
- 9. Ejemplo De Graficas CARDIOIDES A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es: