![4División Polinómica
17. Calcular el valor de “m” en el
polinomio:
𝑃(𝑥) ≡ 𝑥4
− 2𝑥3
+ 𝑚𝑥 − 3
Sabiendo que al dividir entre (x + 1)
el residuo que se obtiene es el triple
del residuo obtenido al dividirlo por
(x – 1).
A) 1 B) -1 C) 3 D) -
3 E) 6
18. Halle el resto de dividir:
𝑥23
− 3𝑥21
+ 2𝑥15
+ 𝑥3
+ 4
𝑥5 − 2
A) 2𝑥2
− 5𝑥 + 11 B) 𝑥3
−
17𝑥 − 20
C) 17𝑥3
− 48𝑥 + 20 D) 𝑥3
− 1
E) 2𝑥2
− 6𝑥 + 11
19. Proporcionar el residuo de dividir:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − 17
𝑥2 + 7𝑥 + 1
A) 78 B) 80 C) 82 D) x –
1 E) x + 1
20. Al dividir un polinomio P(x) entre el
producto:
[( 𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)]
el resto obtenido es: 𝑥2
− 5𝑥 + 1.
¿Cuáles son los restos que se
obtienen al dividir separadamente
P(x) por (x + 1); (x – 2) y (x + 3)
respectivamente?
A) 7; -3 y 12 B) 14; 13 y -5
C) 7; -13 y 15
D) 7; -5 y 15 E) 7; -5 y 25
21. Al dividir un polinomio P(x) entre los
binomios (x – 4) y (x – 2) se obtienen
como residuos 9 y 5
respectivamente. ¿Cuál es el
residuo de dividir:
𝑃(𝑥) ÷ [( 𝑥 − 4)(𝑥 − 2)]?
A) 2x – 1 B) 2x + 1 C)
x – 1
D) 3x + 1 E) x + 1
22. Al efectuar la división de dos
polinomios enteros en “x”, el
producto de los términos
independientes del divisor y el
cociente es 8, la diferencia de los
cuadrados de los términos
independientes del dividendo y
resto es 24, luego la suma de los
términos independientes del
dividendo y resto es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
E) 16
23. Indicar el residuo de dividir:
𝑥25𝑛
+ 𝑥24𝑛
+ 𝑥23𝑛
+ 1
𝑥2 𝑛
+ 1
𝑛 ∈ ℕ/ 𝑛 ≥ 2008
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
E) 4
24. Al dividir 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥3
+ 𝑎3) se
obtiene por resto 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎.
NIVEL II](https://image.slidesharecdn.com/divisinpolinmica-150517222602-lva1-app6891/85/DIVISION-POLINOMICA-4-320.jpg)
DIVISIÓN POLINOMICA
- 2. 2División Polinómica División Polinómica 1. Si Q(x) es el cociente de dividir: 𝑥5+(𝑎+1)𝑥4+(𝑎+𝑏)𝑥3+(𝑏−1)𝑥2+𝑎𝑥+𝑏 𝑥2+𝑎𝑥+𝑏 Calcular Q(3) A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 2. Calcular “n + k” si la división: 15𝑥4 + 41𝑥3 + 71𝑥2 + 𝑛𝑥 + 2𝑘 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 es exacta. A) 70 B) 72 C) 74 D) 76 E) 78 3. Calcular a – b si 𝑅(𝑥) = 6 − 3𝑥, es el residuo de la división: 10𝑥4 + 16𝑥3 − 17𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑏 5𝑥2 − 2𝑥 + 3 A) 12 B) 14 C) -18 D) - 12 E) 15 4. Calcular “m+n+p” si la división: 8𝑥5 + 4𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 2𝑥3 + 𝑥2 + 3 Deja como resto: 𝑅(𝑥) = (5𝑥 + 2)(2𝑥 + 3) A) 55 B) 56 C) 54 D) 53 E) 50 5. Calcular “m” si la división: 21𝑥4 − 41𝑥3 − 23𝑥2 + 𝑚𝑥 − 16 3𝑥 − 5 deja como resto 4. A) 56 B) 44 C) 70 D) 67 E) 43 6. Determine el resto de dividir: (𝑥2 − 𝑥 − 4)2008 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 − 3 A) 4 B) 15 C) -3 D) 8 E) 14 7. Proporcionar el residuo de dividir: 𝑥7(𝑥 − 2)7 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 7 𝑥2 − 2𝑥 − 1 A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 8. Determine el residuo de dividir: (𝑥 − 2)2005 + (𝑥 − 3)2007 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) A) 2x B) 2x+1 C) x D) 12 E) 2x-5 NIVEL I
- 3. 3División Polinómica 9. A partir de la división 5𝑥401 − 2𝑥400 + 𝑥399 + 6𝑥2 + 5𝑥 + 11 𝑥 − 1 Calcular la suma de coeficientes de su cociente A) 1621 B) 1200 C) 1134 D) 1243 E) 1567 10. Determine el residuo de dividir: 𝑥21 + 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. ¿Qué relación debe existir entre “n” y “k” de modo que la división: 𝑥5 − (𝑛2 + 2𝑚)𝑥3 + 𝑛3 𝑥 + (𝑘 − 2𝑚3) 𝑥2 + 𝑛𝑥 − 𝑚 es exacta? A) 𝑘2 = 2𝑛9 B) 𝑛2 = 4𝑘9 C) 𝑛2 = 𝑘3 D) 𝑘2 = 4𝑛9 E) 𝑛𝑘2 = 9 12. Mostrar el residuo de dividir: (𝑥 − 3)2004 + (𝑥 − 4)2005 + 6 (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) A) 2x-1 B) 2x+1 C) 4x-1 D) 0 E) 2x+3 13. Si el residuo de la división: (𝑥 + 1)9 + 𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑥2 + 2𝑥 + 1 es 6x + 25. Calcular la suma de coeficientes del cociente entero. A) 250 B) 245 C) 242 D) 237 E) 235 14. Si la división: 𝑛3 𝑥5 + 7𝑛𝑥3 + (𝑛2 − 6)𝑥2 + 𝑛(𝑛 − 1) 𝑛𝑥 + 2 es exacta, calcular la suma de los coeficientes de su cociente. A) 0 B) 9 C) 4 D) -4 E) -9 15. Si al dividir: 16𝑥2 + 2𝑥 + 1 −2𝑥 − 1 se obtiene por cociente a: ( 𝑚 3 − 1) 𝑥3 + ( 𝑛 4 − 2) 𝑥2 + (𝑝 − 3)𝑥 + ( 𝑞 6 − 4) Calcular el valor de: A) 58 B) 48 C) 28 D) 51 E) 56 16. Indicar el residuo de dividir: 2𝑥4 + 3√2𝑥3 − 12𝑥2 + 3√2𝑥 − 2 𝑥 − √2 A) √2 B) 2√2 C) 0 D) - 2 E) -√2
- 4. 4División Polinómica 17. Calcular el valor de “m” en el polinomio: 𝑃(𝑥) ≡ 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑚𝑥 − 3 Sabiendo que al dividir entre (x + 1) el residuo que se obtiene es el triple del residuo obtenido al dividirlo por (x – 1). A) 1 B) -1 C) 3 D) - 3 E) 6 18. Halle el resto de dividir: 𝑥23 − 3𝑥21 + 2𝑥15 + 𝑥3 + 4 𝑥5 − 2 A) 2𝑥2 − 5𝑥 + 11 B) 𝑥3 − 17𝑥 − 20 C) 17𝑥3 − 48𝑥 + 20 D) 𝑥3 − 1 E) 2𝑥2 − 6𝑥 + 11 19. Proporcionar el residuo de dividir: (𝑥 + 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − 17 𝑥2 + 7𝑥 + 1 A) 78 B) 80 C) 82 D) x – 1 E) x + 1 20. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto: [( 𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)] el resto obtenido es: 𝑥2 − 5𝑥 + 1. ¿Cuáles son los restos que se obtienen al dividir separadamente P(x) por (x + 1); (x – 2) y (x + 3) respectivamente? A) 7; -3 y 12 B) 14; 13 y -5 C) 7; -13 y 15 D) 7; -5 y 15 E) 7; -5 y 25 21. Al dividir un polinomio P(x) entre los binomios (x – 4) y (x – 2) se obtienen como residuos 9 y 5 respectivamente. ¿Cuál es el residuo de dividir: 𝑃(𝑥) ÷ [( 𝑥 − 4)(𝑥 − 2)]? A) 2x – 1 B) 2x + 1 C) x – 1 D) 3x + 1 E) x + 1 22. Al efectuar la división de dos polinomios enteros en “x”, el producto de los términos independientes del divisor y el cociente es 8, la diferencia de los cuadrados de los términos independientes del dividendo y resto es 24, luego la suma de los términos independientes del dividendo y resto es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 16 23. Indicar el residuo de dividir: 𝑥25𝑛 + 𝑥24𝑛 + 𝑥23𝑛 + 1 𝑥2 𝑛 + 1 𝑛 ∈ ℕ/ 𝑛 ≥ 2008 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 24. Al dividir 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥3 + 𝑎3) se obtiene por resto 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎. NIVEL II
- 5. 5División Polinómica Calcule el resto de dividir P(x) entre (x + a) A) a + b B) 𝑎(𝑎2 − 𝑏 + 1) C) a - b D) 𝑎2 − 𝑏 E) b – a 25. Encuentre un polinomio de variable x, de grado 3 y de coeficientes enteros, tal que al dividirlos por (x – 1)(x + 2) y por (x – 4), se obtenga el mismo resto 10 y que se anule para x=-1. A) 𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 2 B) −𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 C) 𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 − 2 D) −𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 2 E) 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 26. Halle m y n si la división: (𝑥2−𝑥+2)5−𝑚(𝑥−2)4(𝑥+1)4+𝑛𝑥3(𝑥−1)3 𝑥3+1 es exacta, dé como respuesta 81m + n A) 1 B) -1 C) 12 D) -4 E) -10 27. Dada la división exacta 𝑥4 − 𝑎𝑥 + 𝑎 (𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛)(𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞) ¿Cuál es el residuo de 𝑥4−𝑎𝑥+𝑎 𝑥− 1 𝑚 − 1 𝑛 − 1 𝑝 − 1 𝑞 ? A) 2 B) -4 C) 13 D) 1 E) -1 28. Si se verifica la identidad ∑ 𝑎 𝑘(𝑥 − 1)25−𝑘 25 𝑘=0 = 4𝑥25 − 3𝑥 + 2 Halle el cociente de 𝑎24 A) 24 B) 23 C) -97 D) 1200 E) 96 29. Cuando se divide el polinomio P(x) entre (𝑥 + 2)3 arroja un residuo igual a 2𝑥2 + 7𝑥 − 3. Si al dividirlo por x + 2 el resto es R1(x) y (𝑥 + 2)2 es R2(x). calcule 𝑅1(𝑥) + 𝑅2(𝑥). A) – x – 4 B) 0 C) – x – 11 D) – x E) – x – 20 30. Si la suma de coeficientes de la división exacta es 3: −𝑐𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 6𝑥 + 9 −2𝑥2 + 𝑥 + 3 Calcule 𝑎2 − (𝑏 − 𝑐)2 A) -7 B) -3 C) 41 D) 49 E) -9 31. Halle el resto de dividir P(x) por (x – 2) si al dividir P(x) por (𝑥 − 2)12 el resto es 4𝑥2 − 𝑥 − 1 A) 14 B) 15 C) 11 D) 12 E) 13
- 6. 6División Polinómica 32. El valor de c que verifica si el polinomio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛−1 − 𝑐𝑥 + 1 es divisible por (𝑥 − 1)3 es: A) 𝑛 2−𝑛 B) 𝑛−1 𝑛 C) 𝑛 𝑛−2 D) n E) 𝑛 𝑛−1 33. Indique el residuo de la división: (𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)(𝑥4 + 1)(𝑥8 + 1) … (𝑥64 + 1) 𝑥2 − 𝑥 + 1 A) x + 1 B) 1 – x C) x – 1 D) 0 E) – 1 34. Si el resto de la división: (𝑥 − 3)11 + (𝑥 − 4)3 (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) tiene la forma 𝛼𝑥 + 𝛽, calcule 𝛼𝛽. A) 7 B) 14 C) -20 D) -7 E) -14 35. Encuentre el residuo de la división (𝑥 + 2)4(𝑥 + 6)(𝑥 − 3) (𝑥 + 2)3(𝑥 + 3) A) −18(𝑥 + 2)3 B) −27(𝑥 + 2)3 C) -18 D) 18(𝑥 + 2)3 E) 27 36. Al dividir P(x) entre 𝑥2 + 𝑥 + 1 se obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir entre (𝑥2 − 𝑥 + 1) el resto es x – 1, calcule el residuo de P(x) entre 𝑥4 + 𝑥2 + 1. A) −𝑥 + 1 B) 𝑥3 + 𝑥 C) 𝑥3 − 𝑥 D) 𝑥3 E) x 37. Calcule 𝑎 𝑏 si luego de dividir (𝑎−𝑏)𝑥 𝑛+(𝑎−𝑏)2 𝑥 𝑛−1+(𝑎−𝑏)3 𝑥 𝑛−2+⋯+(𝑎−𝑏) 𝑛+1 𝑥−𝑎+𝑏 el resto es (𝑛 + 1)(4𝑏) 𝑛+1 , 𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑎 ≠ 𝑏 A) 7 B) 11 C) 1 D) 3 E) 5 38. Al dividir P(x) entre 𝑥2 − 3 el cociente es q(x) y el resto (5x – 2), cuando dividimos q(x) entre (x + 3) el residuo es -2. Calcule el residuo de dividir P(x) entre (𝑥2 − 3)(𝑥 + 3). A) 0 B) 𝑥2 − 5𝑥 + 4 C) 𝑥2 − 5𝑥 − 4 D) −2𝑥2 − 5𝑥 − 4 E) −2𝑥2 + 5𝑥 + 4 39. Cuando se divide (𝑃(𝑥) − 2𝑥 + 1) entonces (𝑥2 − 10𝑥 + 25), el resto es (3x – 15), y al dividir (𝑃(𝑥) + 𝑥 + 1) entre (𝑥2 + 5𝑥 + 25), el residuo es (x + 10). Calcule el resto de dividir P(x) entre (𝑥3 − 125). A) 7 B) 2 C) 16 D) 9 E) 4 40. Halle el residuo en la división: (𝑥8 + 16)4 + 𝑥13 + 4𝑥4 − 10242 𝑥2 − 2𝑥 + 2
- 7. 7División Polinómica A) – 64x – 16 B) 0 C) - 2 D) – 64x – 64 E) 25 ESCUELA DE TALENTOS CALLAO Mat. Aldo Huayanay Flores Publicado en Mayo