DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA DE FUNCIONES CON UNA VARIABLE. SEM 2025-1.pdf

“Dominio, recorrido y
representación gráfica de
funciones reales de variable
real independiente”
Pablo García y Colomé Profesor de Carrera FI UNAM

Enfoque con la teoría de conjuntos. Cuando se
tienen dos conjuntos de números reales y sus
elementos se relacionan de acuerdo con una regla
que considera ciertas propiedades, se dice que
existe una función en la que los elementos de un
conjunto dependen de los del otro conjunto
Existencia de una función

Una función es una terna formada por:
i) Un primer conjunto llamado Dominio de la función
ii) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función
iii) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes
propiedades:
A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del
codominio
Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el
codominio
Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el
codominio
DEFINICIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
f = -3,0 , -2,1 , -1,2 , 0,3 , 1,4
f
D
f
R
f
C
-1
1
0
-3
-2
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
5
f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
f = -3,0 , -2,1 , -1,2 , 0,3 , 1,4
 
f
C = -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5
f
D
f
R
f
C
-1
1
0
-3
-2
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
5
f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
f = -3,0 , -2,1 , -1,2 , 0,3 , 1,4
 
f
C = -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5
 
f
R = 0,1,2,3,4
f
D
f
R
f
C
-1
1
0
-3
-2
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
5
f
 
f
D = -3,-2,-1,0,1

A B
1
3
5
2
4
6
A B
1
3
5
2
4
6
A B
1
3
5
2
4
6
NO NO
SI

NOTACIÓN
( ) f
y = f x ; x ∈ D
( ) ( )
 
f
f = x, y y = f x ; x ∈ D
( )
f f
f : D
→
C ; y = f x
( ) ( ) ( ) ( )
 
1 1 2 2 3 3 n n
f = x , y , x , y , x , y ,..., x , y

DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA
La gráfica de una función es el lugar geométrico que
considera todos los puntos, esto es, las parejas ,
cuyas coordenadas, abscisas y ordenadas ,
satisfacen la ecuación
( )
x, y
( )
x ( )
y
( )
y = f x
El dominio es el conjunto de valores de la variable
independiente y el recorrido es el conjunto de
valores de la variable dependiente
( )
x
f
D
f
R
( )
y

Ejemplo. Dada la siguiente relación, decir si es
función, justificar la respuesta y analizar la
factibilidad de que fuera función en caso de no serlo.
( )
 
2 2
R = x, y x ∈ R, y ∈ R; x + y = 4
x
-2
2
2
-2
( )
1
y +
2
y = ± 4 - x
( )
2
y -
O
No es función pues el doble
signo de la raíz cuadrada
implica que a cada elemento
del dominio le corresponden
dos elementos del codominio.
Se puede decir que la
condición geométrica para ser
función es que toda recta
vertical corte a la gráfica en
un solo punto

SÍ
SÍ
x
y
-2 2
2
y
x
-2 2
-2
   
   
f f
D = -2,2 ; R = 0,2    
   
f f
D = -2,2 ; R = -2,0
Para graficar una función en , actualmente se utiliza una calculadora
científica o una computadora. Con la finalidad de propiciar la reflexión sobre
la regla de correspondencia y si es factible la representación gráfica a
través del análisis de su expresión, que puede representar una cónica, una
curva asintótica o una función trascendente (trigonométrica, logarítmica,
exponencial, hiperbólica), en representación paramétrica, definida de manera
implícita o con varias reglas de correspondencia.
El objetivo de esta presentación es poder, no solo graficar funciones de todo
tipo con una variable independiente, sino poder determinar el dominio y el
recorrido, elementos esenciales en el estudio de funciones
2

El dominio de la función es la respuesta a la pregunta:
¿qué valores de la variable independiente conducen
a valores reales de la variable dependiente ?
El dominio es entonces la proyección de la gráfica en el
eje de las abscisas y, evidentemente, el recorrido es la
proyección de la gráfica en el eje de las ordenadas
"x"
"y"
x
y
f
R
f
D
f

Dadas las siguientes funciones, definirlas, determinar
su dominio, su codominio, su recorrido y hacer un
trazo aproximado de sus gráficas:
y = 2x + 4
Es una función polinomial, una recta y su dominio, recorrido
y gráfica, son (considerar que la gráfica se extiende
indefinidamente):
( )
i
  ( )
f
D = x - ∞ < x < ∞ = -∞,∞ =
  ( )
f
R = y - ∞ < y < ∞ = -∞,∞ =
( )
f
C = -∞,∞ =

( )
ii 2
3
y = x - 3x
4
Es una función polinomial que acepta todo valor real de , luego
su dominio es el conjunto de los números reales. Al ser cuadrática
corresponde a una cónica, por lo que resulta sencillo averiguar de
qué cónica se trata y así se puede determinar fácilmente el
recorrido de la función dada
De otro modo, sin conocimiento de las cónicas, se tendría que
hacer una tabulación para poder encontrar el recorrido y la
gráfica de la función. Es evidente que con el apoyo de una
calculadora graficadora o de una computadora el problema se
solucionaría con facilidad, conociendo algún software al respecto
x

( )
2 2
3 3
y = x - 3x ⇒ y = x - 4x + 4 - 4
4 4
( )
( )
2
2
3
y = x - 2 - 3
4
3
⇒ y + 3 = x - 2
4
x
y
( )
V 2,-3
f
f
D =
)


f
R = -3,∞

( )
iii ( )
2
-x + 3x
f x =
x
Por la forma en que está definida, la función
es algebraica y su dominio es:
  ( )    
f
D = x - ∞ < x < ∞ ; x ≠ 0 = -∞,∞ - 0 = - 0
( ) ( )
f
D = -∞,0 ∪ 0,∞
( ) ( )
( )
( )
2
x -x + 3
-x + 3x
f x = ⇒ f x = ⇒ f x = -x + 3
x x

y = -x + 3
x
y
3
3
( )  
f
D = -∞,∞ - 0
( )  
f
R = -∞,∞ - 3
( )
f
C -∞,∞ =

( )
iv
3 2
3 2
x - x - 2x
y =
x - 3x + 2x
Se factoriza el denominador para ver que valores lo anulan. Así,
( ) ( )( )
3 2 2
x - 3x + 2x = x x - 3x + 2 = x x -1 x - 2
Si se factoriza el numerador y se realizan simplificaciones,
( )( )
( )( )
3 2
3 2
x x +1 x - 2
x - x - 2x x +1
y = ⇒ y = ⇒ y =
x x -1 x - 2 x -1
x - 3x + 2x
El dominio de definición de esta función es, entonces:
 
f
D = - 0,1,2
Se grafica la última regla de correspondencia y se obtiene:

y
x
( )
2,3
f
asíntotas
( )
0,-1
 
- -1,1,3
f
R =
x +1
y =
x -1
 
f
D = - 0,1,2

y = 2 4 - x
( )
2
y = 2 4 - x ⇒ y = 4 4 - x
( )
 
 
2
⇒ y = -4 - 4 - x
( )
2
∴ y = -4 x - 4
Parábola con vértice en , eje de simetría el eje de las
abscisas y abre hacia la izquierda
( )
V 4,0
V
Es una función algebraica y para analizarla se utilizará primero el
conocimiento de las cónicas y después se mencionará otra forma a
través de desigualdades y de la computadora
( )
v

y = 2 4 - x
y
x
4
4
( 

f
D = -∞,4
)


f
R = 0,∞
El signo positivo señala la parte
superior de la parábola y
graficarla aproximadamente
resulta muy sencillo. Su dominio
y su recorrido son,
respectivamente:
Es una gran ventaja conocer las cónicas, lo que
facilita la obtención de dominio, recorrido y gráfica

y = 2 4 - x
Otra forma de abordar este ejercicio es resolviendo
la desigualdad del radicando:
4 - x ≥ 0 ⇒ - x ≥ -4 ⇒ x ≤ 4
Y después, mediante una cuidadosa tabulación, se
pueden obtener algunas parejas y trazar la
gráfica de la función
( )
x, y
Es evidente que con una calculadora graficadora o con
una computadora se puede obtener la gráfica y con
ella determinar dominio y recorrido de la función

2
3
y = - x -16
4
( )
2 2 2
3 9
y = - x -16 ⇒ y = x -16
4 16
2 2 2 2
16y = 9x -144 ⇒ 9x -16y =144
2 2
x y
∴ - =1
16 9
Función algebraica: se analizará primero con las cónicas y después
se tratará con desigualdades
Hipérbola con centro en , el eje transverso sobre el eje
de las abscisas, con ;
( )
C 0,0
a = 4 y b = 3 ( ) ( )
V 4,0 y V' -4,0
( )
vi

Es una gran ventaja conocer las cónicas, lo que facilita
en gran medida obtener dominio, recorrido y gráfica
El signo negativo
señala la parte
inferior de la
hipérbola. Su
dominio y su
recorrido son,
respectivamente:
( )
 
 
f
D = -∞,-4 ∪ 4,∞
( 

f
R = -∞,0
y
4
4
−
3
3
−
2
3
y = - x -16
4
x

Otra forma de abordar este ejercicio es resolviendo
la desigualdad del radicando:
( )( )
   
   
   
2
x -16 ≥ 0 ⇒ x - 4 x + 4 ≥ 0
x - 4 ≥ 0 x ≥ 4 x - 4 ≤ 0 x ≤ 4
⇒ ; ⇒
x + 4 ≥ o x ≥ -4 x + 4 ≤ 0 x ≤ -4
La solución es que es el dominio de la función
y para el recorrido se sustituirían valores de este dominio en la
función y así se obtendrían parejas para la gráfica, lo que
sería un poco complicado. La calculadora y la computadora harían
un trabajo más sencillo, lo mismo que las cónicas
( )
 
 
x ∈ -∞,-4 ∪ 4,∞
( )
x, y

( )
vii ( )
x - 3
f x =
x +1
Función algebraica: la es real, cuando la adquiere todos los
valores reales con excepción de . Luego el dominio de la función
es:
-1
y x
 
f
D = - -1
Si en la regla de correspondencia se despeja , cuando es posible,
se ve claramente que el único valor de para el que no existe
es . Luego se puede dar el recorrido de la función
 
f
R = - 1
x
y x
1
x - 3 -y - 3
y = ⇒ xy + y = x - 3 ⇒ xy - x = -y - 3 ⇒ x =
x +1 y -1

Es sencillo inferir que si la toma todos los reales menos el
es porque en este valor hay una asíntota vertical y el único
valor que no toma la es , luego ahí hay una asíntota
horizontal. Entonces es fácil hacer un trazo aproximado de la
gráfica
x -1
y 1
x
y
asíntotas
1
-1
f
f
( )
x - 3
f x =
x +1
-y - 3
x =
y -1

( )







2
2
x + 2 si - 2 ≤ x < 0
f x = 2 si 0 < x < 2
x
4 - si 2 ≤ x ≤ 4
2
( )
viii
La primera regla de correspondencia es una función polinomial,
luego su dominio son los reales del intervalo . La segunda es
es una función constante con dominio los reales del intervalo .
La tercera regla también es una función polinomial y por lo tanto
continua en los reales del intervalo . En los intervalos se
observa que la variable independiente no considera el valor de y
en el valor de se unen la segunda y tercera reglas de
correspondencia. Se trazará la gráfica y con esta y lo aquí
considerado se establecerán el dominio y el recorrido.
)

-2,0
( )
0,2
 
 
2,4
0
2

x
y = 2
2
x
y = 4 -
2
y
( )
2,2
( )
-2,6
( )
4,-4
2
y = x + 2
 
 
 
f
D = -2,4 - 0
 
 
f
R = -4,6

( ) ( )
( )
2
2x + 4 2x + 4
f x = ⇒ f x =
x - 2x x x - 2
( )
ix
En esta función algebraica irracional se observa que, con respecto
al numerador, . Además, en lo que al
denominador se refiere, la variable independiente no puede
tomar los valores de . Por lo tanto, el dominio de esta
función sería la intersección de ambas consideraciones, esto es,
2x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2
0 y 2
x
)  


f
D = -2,∞ - 0,2
Para graficar y determinar el recorrido, la tabulación no es fácil
y sería muy tardada, sobre todo para obtener con cierta
exactitud algún valor extremo de la función. En una computadora
resultaría más sencillo. También se podría analizar la función para
máximos y mínimos. Se muestra la gráfica y el recorrido, de
manera aproximada.

x
y
f
-2
( )
0.92,-2.43
f
asíntota
asíntota
f
( )
 
 
f
R = -∞,-2.43 ∪ 0,∞
2

Ejemplo. Dada la ecuación ,obtener dos
funciones explícitas de ella, dar sus dominios y
recorridos y hacer un trazo aproximado de sus
gráficas
2 2
x y
+ =1
9 4
Mediante operaciones algebraicas en la ecuación dada, que es la de
una elipse con centro en el origen y semiejes , se despeja a
la variable de donde se obtiene:
3 y 2
y
2 2 2
2 2 2 2
x y 36 - 4x 2
+ =1 ⇒ 4x +9y = 36 ⇒ y = ⇒ y = ± 9 - x
9 4 9 3
de donde se tienen las dos funciones explícitas siguientes:
( ) ( )
2 2
2 2
y = f x =+ 9 - x y y = f x = - 9 - x
3 3

que representan la parte superior y la inferior de la
elipse dada. A continuación, se muestran las
gráficas aproximadas de las dos funciones, así como
sus respectivos dominios y recorridos.
x
x
y
y
2
2
y = 9 - x
3
2
2
y = - 9 - x
3
-3 3
2
-2
3
-3
 
 
f
D = -3,3
 
 
f
D = -3,3  
 
f
R = -2,0
 
 
f
R = 0,2






2
4 2
x = t -1
f : ; t ≥ 0
y =+ t + 2t
( )
x
En este caso, en la ecuación en , no es necesario despejar al
parámetro ya que la raíz positiva implica que , que es el
recorrido de la función, es decir,
"y"
"t" y ≥ 0
)


f
R = 0,∞
Para obtener el dominio, se despeja de la expresión para y
se tiene que:
"t" "x"
)


2
f
x = t -1 ⇒ t =+ x +1 ⇒ x +1 ≥ 0 ∴ D = -1,∞
se efectúa la tabulación correspondiente, asignando valores
positivos a , partiendo de cero
"t"

Si se despeja en la primera ecuación, se sustituye
en la segunda y se realizan algunas operaciones
algebraicas, se tiene lo siguiente:
2 2
x = t -1 ⇒ t = x +1
( ) ( )

2
4 2 2
y =+ t + 2t y =+ x +1 + 2 x +1 ⇒ y = x + 4x + 3
( ) ( )
2 2
2 2
y = x + 4x + 4 - 4 + 3 ⇒ y = x + 2 -1 ⇒ x + 2 - y =1
2
"t "
Como se ve, se trata de una hipérbola con centro en y eje
transverso sobre el eje de las abscisas. Pero dadas las condiciones
de las ecuaciones paramétricas, solo sería la parte positiva y a
partir del punto que es un vértice de la cónica
( )
-1,0
( )
-2,0

x
y





2
4 2
x = t -1
f : ; t ≥ 0
y =+ t + 2t
( )
-1,0
3
)


f
R = 0,∞
)


f
D = -1,∞

( )
xi ( )



2
cosx si - π < x ≤ 0
f x =
-x +1 si 0 < x < 2
La primera regla de correspondencia es una función trascendente
(circular directa) y toma todos los valores del intervalo considerado,
con excepción del valor en donde se considerará un vacío
La segunda regla es una función algebraica y se trata de un
segmento de parábola cuyo vértice es el punto , su eje de
simetría el eje de las ordenadas y que abre hacia abajo. Solamente
no considera valores para
Se unen en . Su gráfica, dominio y recorrido son:
( )
V 0,1
x = -π
x = 0 y x = 2
x = 0

x
x
f
( )
-π,-1
( )
2,-3
f
1
( )
f
D = -π,2 ( 

f
R = -3,1

( )
xii
( )





2
x + 3
si - 3 ≤ x <1
f x = 2
2 - lnx si 1 < x < 7.39
La primera regla de correspondencia es una función polinomial y
representa un fragmento de una parábola con vértice en ,
eje de simetría el eje y que abre hacia arriba
( )
V 0,1.5
"y"
La segunda regla es una porción conformada por una función
constante y una trascendente (logaritmo natural)
Ambas conducen a valores reales en sus intervalos de definición. Sus
gráficas no se unen en el punto , luego el dominio de es:
( )
1,2 ( )
f x
( )  
f
D = -3,7.39 - 1

x
y
( )
1,2
f
( )
-3,6
( 

f
R = 0,6

Estudien, aprendan,
practiquen, sean solidarios
con sus compañeros, sean
generosos con su prójimo,
sean sencillos, adquieran
conocimientos y sabiduría,
sean buenos, serán felices

Aprovechen el momento, hagan que su vida sea extraordinaria
Sus palabras y sus ideas pueden cambiar al mundo
Sean librepensadores
Vean las cosas, constantemente, de maneras diferentes
Emociónense por las cosas
Hagan de su vida un poema de muchas alegrías
Díganle a sus padres lo que los apasiona
Atrévanse a recorrer nuevos caminos
El amor, la paz y la alegría son las razones por las cuales vivimos
Hay momentos para el valor y otros para la prudencia

Sean brillantes ingenieras o
ingenieros, pero, sobre todo,
sean excelentes seres humanos
Las ingenieras y los ingenieros son los
promotores del futuro de la humanidad

¡Ay UNAM, qué
emoción vivirte!

Muchas gracias
Pablo García y Colomé Profesor de Carrera FI.UNAM

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