Ec. dif.
- 1. MATEMÁTICAS AVANZADAS Tutorial acerca de ecuaciones diferenciales AMÉRICA REYES GARAY
- 2. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas. Un ejemplo: Y+Y¹= 0
- 3. CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES: Ordinarias: es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y se relaciona con sus derivadas. parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
- 4. ORDEN DE LA ECUACIÓN El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
- 5. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL En una función desconocida y la variable independiente X definida en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo dado.
- 6. NOTA: ANTES DE VER LOS SIGUIENTES EJEMPLOS DEBEMOS TENER MUY CLARO QUE: Y¹= Significa ye prima ó primera derivada. Y"= Significa ye biprima ó segunda derivada.
- 7. EJEMPLOS DE E. D. : Y= sen2x + cos2x Y¹= 2cos2x – 4cos (2x) Y"= – 4sen2x – 4 cos (2x) Comprobación: – 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0 – 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
- 8. Y= 5sen2x + 3cos2x 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x) Y¹= – 6sen2x + 10cos2x Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x Comprobación: –20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0 – 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
- 9. Comprobar que: Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1 Y¹ = 2x 2x + (x² – 1 ) ²= 1
- 10. Y¹ + Y = 0 Y= 1 푋 Y¹= – 1 푋² Y¹¹= 1 푋³ – 1 푋² + – ( 1 푋 )² = 0 – 1 푋² + – 1 푋² = 0
- 11. Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0 Y¹=2 푒2푥 Y¹¹= 4 푒2푥 4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 ( 푒2푥) = 0 6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0
- 12. Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0 Y¹=2 푒2푥 Y¹¹= 4 푒2푥 4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 ( 푒2푥) = 0 6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0
- 13. Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0 Y¹ = 2 x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ = 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 2+ 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥 -2 (x² + 푒푥 + 푒−2푥)= 0 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥- 2 x²- 2 푒−2푥 = 2( 1+ X - x² ) 2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
- 14. Y= C1 푒2푥 + C2 푒2푥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0 Y¹= 2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 Y¹¹= 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 =4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 4(2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 ) + 4 (C1 푒2푥 + C2 푒2푥 ) =0 =4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 8C1 푒2푥 - 8C 2 푥푒2푥 - 4 C 2 푒2푥 + 4C1 푒2푥 + 4 C2 푒2푥 = 0 =8C1 푒2푥 + 8C 2 푥푒2푥 + 4 C 2 푒2푥 -12C2 푒2푥 - 8 C1 푒2푥 = 0 Y= 0
- 15. ESTOS FUERON ALGUNOS EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPERO Y LES SIRVAN DE ALGO. GRACIAS…