Ecuaciones conta-matebasic

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Ecuaciones y Funciones Lineales
Elaboro por: E. FERNANDEZ
Objetivos específicos
Lograr que los alumnos sean capaces de:
1) Definir e identificar la ecuación lineal (o de primer grado), así como de reconocer la
relación entre ecuación y función lineal.
2) Resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones que pueden transformase en
ellas, aplicando los procedimientos algebraicos estudiados.
3) Definir (ya sea como modelo matemático, o como relación de dependencia entre
variables), graficar y aplicar las funciones lineales y mx n  . Así como definir,
calcular e interpretar el “cero de una función lineal”, y la relación existente entre el
cálculo de ceros y la resolución de ecuaciones de primer grado. Definir y calcular la
pendiente “m” de una función lineal cuando se conocen dos puntos de su gráfica.
Determinar la función lineal (y su ecuación lineal correspondiente) conocidos dos
puntos de su gráfica.
4) Plantear y resolver problemas que se resuelven mediante una ecuación o función
lineal, o que se puedan transformar en éstas.

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1. Introducción
Se estudiarán los conceptos básicos y los métodos de resolución concernientes a las
ecuaciones lineales, también se estudiarán los conceptos y formas de representación
de las funciones lineales, poniéndose énfasis especial en el planteo y resolución de
problemas matemáticos y extra-matemáticos que requieren de modelos matemáticos
como las ecuaciones y funciones lineales.
1.1 Planteamiento y resolución de problemas que dan origen a una ecuación de
primer grado con una variable
Problema 1 (de economía y negocios). Un taxista cobra $120 por "tarifa mínima" y
luego $20 por cada kilómetro de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa
mínima, pero cobra $60 por cada kilómetro.
a) Plantear la "ecuación de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista.
b) Determinar en cuál taxi es más económico viajar una distancia de 4 kilómetros.
c) ¿En qué distancia ambos taxistas cobran lo mismo?
Problema 2 (de carreras entre amigos). Un atleta da a un amigo (que no es atleta)
una ventaja de 10 metros en una carrera de 100 metros. Si el que tiene ventaja recorre
6 metros en cada segundo y el atleta recorre 8 metros en cada segundo determinar:
a) ¿En cuánto tiempo alcanzará el atleta a su amigo?
b) ¿En cuánto tiempo terminará cada uno la carrera?
c) ¿Durante cuánto tiempo de la carrera el atleta va detrás del amigo?
d) ¿Durante cuánto tiempo de la carrera el atleta va delante del amigo?
e) ¿En qué tiempo de la carrera el atleta va perdiendo por 3 metros?
f) ¿En qué tiempo de la carrera el atleta va ganando por 8.5 metros?

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Problema 3 (de numerología y detectives). ¿Eres capaz de encontrar tres números
enteros consecutivos tales que su suma sea 42? ¡Inténtalo primero tú solo, o con tus
compañeros, antes de ver las diferentes vías de solución mostradas a continuación!
Problema 4 (de compras). El Sr. Martínez compró un automóvil de agencia en
$146,000.00. Si dicho costo incluye un 14.5 % de impuesto, ¿Cuál era el precio del
automóvil sin agregar el impuesto?
Problema 5 (de comercio). Un comerciante vende dos clases de frijoles, el primero de
$6.00 el kilo y el segundo de $7.20 el kilo. ¿Cuántos kilos hay que poner de cada clase
de fríjol para obtener 60 kilos de mezcla a $7.00 el kilo?
Actividades de aprendizaje
Resuelve individualmente o en equipo, y por cualquier método, los siguientes ejercicios
y/o problemas, y si te es posible encuentra un modelo matemático (ecuación) que te
facilite su resolución.
A1) Determinar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72.
A2) Determinar 3 números enteros consecutivos impares tales que su suma sea 69.
A3) ¿Cuál es el número que, al aumentar en 20, se triplica?
A4) ¿Cómo se pagaría una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y otras de
$10?
A5) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es igual a 70 metros?
A6) Una granja tiene cerdos y gallinas, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos
cerdos y gallinas hay?
A7) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto
tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
A8) Dos amigos van a jugar al Casino con $84,000 en total. Cuando el primero de ellos
pierde $16,000 y el segundo gana $20,000, quedan con la misma cantidad de dinero.
¿Con qué cantidad iniciaron jugando cada uno?
A9) Un tren sale de una estación A para otra estación B con una velocidad de 45km/h.
Una hora después sale otro tren del mismo punto y en la misma dirección que el
anterior, con una velocidad de 50 km/h. Suponiendo que B está suficientemente lejos
de A, ¿dentro de cuánto tiempo y a qué distancia de A alcanzará el segundo tren al
primero?

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4
A10) Un ladrón un cesto de naranjas del mercado robó y por entre la gente al campo
escapó; al saltar una cerca, la mitad más media naranjas perdió; perseguido después
por un perro, la mitad menos media naranjas abandonó; y luego tropezó en una cuerda,
y la mitad más media naranjas desparramó; ya en su guarida a salvo, dos docenas de
naranjas guardó. ¿Cuántas naranjas robó el ladrón?
1.2 Igualdades y ecuaciones: conceptos y definiciones básicas
Al resolver los problemas anteriores, posiblemente, obtuviste algunas igualdades o
ecuaciones (modelos matemáticos) como las siguientes:
6x2 
No tiene solución en el conjunto de los números naturales, en
el conjunto de los números enteros 3x  es la solución.
x 4
Tiene como soluciones 4 4x y x= = - en , pero, en el
conjunto de los números naturales x = 4 es la solución única.
  2
x x 2 0
Tiene como soluciones x = – 2 y x = 1 en , pero, en el
conjunto de los números naturales x = 1 es la única solución.
03x5.5x2

Tiene como soluciones 0.5 6x y x   en , pero, en el
conjunto , x = – 6 es la solución única y en el conjunto de
los números naturales no tiene solución.
Hay ecuaciones tales como:
Ecuación imposible es aquella que carece de solución, sean por ejemplo:
x + 1 = x , x = – 3 , 7x – 3 = 7x + 4
1.2.1 Propiedades de la igualdad
50 45 45x x 5 2
9 3
x
x



10x y 
( 1) ( 2) 72x x x    
20 3y y 
( 2) ( 4) 69x x x    
4 70w  2
2 1 2x x 
20 10(52 ) 700x x  
)x4(3)1x(2  = 5x – 10
Suponiendo que a , b , c son números reales, variables o expresiones algebraicas, en
las igualdades se cumplen las siguientes :
1. Reflexiva: a = a
2. Simétrica: si a = b , entonces
propiedades
b = a
3. Transitiva: si a = b y b = c , entonces a = c
4. Principio de sustitución: Si a = b , entonces a + c = b + c y ac=bc
y3x2  = x2y3  6
11x5
6
1x 


= x + 2

5
5
Dos consecuencias importantes del principio de sustitución son las reglas inversas de
estas dos reglas, que son las leyes de cancelación para la suma y la multiplicación.
1.3 Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita: conceptos,
definiciones y proceso o algoritmo de resolución
A1) Resuelve, o despeja la incógnita en, las ecuaciones siguientes:
      
   
    
     2
a) x (8x 69) (6x 50) 2x (x 5)
b) 5x 6 4(x 1) x
c) 9x (2x 3) 3(x 1) 4x
d) 2y ( y 8) (2y 3)(y 4)
    2 2
e) 3w (w 5)(w 3) 2w 1
 
  
2u 7 u 11
f) 4
5 2
       g) 2x 3 4x (5 5x) 2x 11
1.3.1 Aplicación de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas
Problema (ilustrativo) 1:
Para cercar un terreno rectangular con tres vueltas de alambre se utilizan 1530 metros.
Determinar la superficie del terreno, si se sabe que el largo mide el doble que el ancho.
1. Si a + c = b + c , entonces a = b (Se resta c a ambos miembros)
2. Si ac = bc y c  0 , entonces a = b (Se divide ambos miembros por c)
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación
que puede ser reducida a la forma o modelo:
0a x b  (a , b  ; a  0)
y cuya solución única es: 0
b
ax b ax b x
a
        .

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Problema 2: Un automóvil partió desde Culiacán (205 km. al norte de Mazatlán) hacia
Los Mochis, con una velocidad promedio de 80 km / h. Determina: (a) La ecuación
general de su desplazamiento, (b) ¿A qué distancia de Mazatlán se encuentra luego de
una hora y media de viaje? y (c) ¿Cuánto tiempo demora en llegar a Los Mochis, ciudad
que se encuentra a 415 km. de Mazatlán?
Resolución:
(a) De la física y geometría del problema
consideramos que se trata de un movimiento
rectilíneo uniforme donde la distancia o
posición final d (respecto a Mazatlán) en que d0 v0· t
se encuentra el automóvil después de d
desplazarse durante un tiempo t, partiendo de una posición d0 ( = 205) y con una
velocidad (o rapidez) promedio v0 ( = 80) viene dada en general por la ecuación:
d = d0 + v0· t . Por tanto, la ecuación general de movimiento es: d = 205 + 80 · t
(b) Por tanto, después de hora y media de viaje está a: d = 205 + (80) (1.5) = 325 km.
de Mazatlán. (Respuesta)
(c) Cuando llega a Los Mochis d = 415, por tanto, 415 = 205 + 80 · t ; de donde, el
tiempo transcurrido fue de: t = (415-205) / 80 = 2.625 horas de viaje. (Respuesta)
Problema 3. Un autobús sale de una ciudad A para otra ciudad B con una velocidad
promedio de 80 km/h. Una hora después sale otro autobús de la misma ciudad A y en la
misma dirección y destino que el anterior, con una velocidad promedio de 90 km/h.
¿Dentro de cuánto tiempo y a qué distancia de la ciudad A alcanzará el segundo
autobús al primero?
Resolución:
Tiempo (en horas) para el alcance: t
Distancia recorrida por el primer autobús en t horas: d1 = 80t
Distancia recorrida por el segundo autobús en t horas: d 2 = 90t
Cuando salió el segundo autobús (una hora después), el primero le llevaba 80 km de
ventaja. Por tanto el planteamiento y resolución de la ecuación es:
d2 = 80 + d1  90t = 80 + 80t  10t = 80  t = 8
Comprobación: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720
Respuesta: El alcance será 8 horas después de la salida del segundo autobús, y será
a una distancia de 720 km de la ciudad A.

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Problema 4. El Sr. Martínez compró un automóvil de agencia en $146,000.00. Si dicho
costo incluye un 14.5 % de impuesto, ¿Cuál era el precio del automóvil sin agregar el
impuesto?
Problema 5. Encontrar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72.
Problema 6. Encontrar 3 números enteros consecutivos impares tales que su suma sea
69.
Problema 7. ¿Cuál es el número que, al aumentar en 20, se triplica?
Problema 8. ¿Cómo se pagaría una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y
otras de $10?
Resolver los siguientes problemas que conducen al planteo y resolución de ecuaciones
de primer grado con una incógnita.
A1) Las calificaciones parciales de una alumna de Matemáticas II, en una escala del 0
al 100, son 78, 92, 85 y 80. ¿Con un excelente resultado en su quinto examen parcial
tendrá posibilidades de obtener un promedio de 90?
A2) Una persona destinó una tercera parte de su salario mensual para comprar
alimentos y la mitad del salario para diversos pagos; si le quedaron $500.00 para
ahorrar, ¿Cuánto gana mensualmente?
A3) Repartir $3000.00 entre Arturo, Verónica y Carlos, de tal manera que la parte de
Verónica sea el doble que la de Arturo, y la de Carlos sea el triple de la de Arturo.
¿Cuánto le corresponde a cada uno?
A4) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan es el triple de la de
Enrique, y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132
años. ¿Qué edad tiene cada uno?
A5) Un camión de volteo carga siempre 2 toneladas más de su capacidad normal y en
36 viajes acarrea 252 toneladas de arena. ¿Cuál es su capacidad normal?
A6) Un comerciante dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara $5,200.00 que debo,
me quedarían $8,000.00. ¿Cuánto dinero tiene el comerciante?
A7) La renta producida por dos casas en un año fue de $157,000.00. ¿Cuál es la renta
mensual de cada una, si entre sí difieren en $2,500.00 y la de renta más alta estuvo
desocupada 2 meses?

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A8) Calcular los tres ángulos de un triángulo, sabiendo que el primero es el doble del
segundo, y el tercero mide 12° más que el segundo. ¿Cuánto mide cada ángulo?
A9) Un obrero tenía $20.00. Después de cobrar una semana (siete días) de trabajo,
gasta 2/3 de su haber; pero diez días después vuelve a recibir su salario y posee
$426.00. ¿Cuánto gana ese obrero diariamente?
A10) El número de graduados de una preparatoria durante tres años consecutivos fue
de 420 alumnos. En el segundo año se graduaron 40 alumnos más que en el primer
año y en el tercer año tantos alumnos como los dos años anteriores. ¿Cuántos alumnos
se graduaron cada año?
A11) Un hacendado ha comprado doble número de pollos que de patos. Por cada pollo
pagó $70.00 y por cada pato $85.00. Si el importe de la compra fue de $2,700.00.
¿Cuántos pollos y cuántos patos compró?
A12) Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $3,000.00 por cada día de
trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo
perderá $2,000.00 . Al cabo de los 50 días, el obrero recibe $90,000.00 . ¿Cuántos días
trabajó y cuántos días no trabajó?
A13) Una torre de perforación en el Golfo de México se coloca de manera que un quinto
de su altura está en arena, 20 pies están en el agua y 2 tercios en el aire. ¿Cuál es la
altura total de la torre?
A14) Una tienda que está liquidando sus mercancías anuncia que todos los precios
fueron rebajados en un 30%. Si el precio de un artículo es de $186.00. ¿Cuál era su
precio antes de la liquidación?
A15) ¿Cuál es el precio que un vendedor debe poner a un artículo que a él le cuesta
$1,200.00, para poder ofrecerlo con un descuento del 20% sobre el precio señalado y,
todavía ganar en la operación un 25% sobre el precio de venta?
1.3.2 Ecuaciones fraccionarias reductibles a ecuaciones lineales
En este apartado se resolverán ecuaciones que contienen fracciones algebraicas, es
decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en
uno de ellas); a estas ecuaciones se les llaman ecuaciones fraccionarias. Se trata del
caso de ecuaciones fraccionarias que conducen a ecuaciones lineales o de primer
grado.
Por ejemplo, la ecuación: 4
x3
4x
x
5


 es fraccionaria.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 4
x3
4x
x
5


 ; x 0

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9
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación siguiente:
5
3
1x
3x



.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación:
x2
5
6
1
x
2
 .
Ejemplo 4. Resolver la ecuación :
4x
16
2x
4
2



.
Ejemplo 5. Resolver la ecuación:
6x7x
x5
6x
4
1x
3
2





.
1.3.3 Aplicaciones de las ecuaciones fraccionarias
Ejemplo 1. Un obrero puede hacer un trabajo en 3 días, mientras que otro obrero
puede hacer el mismo trabajo en 5 días. ¿En qué tiempo lo harán trabajando
conjuntamente? (Entiéndase días como jornadas de trabajo diarias).
Resolución: Designemos a los dos obreros con A y B, respectivamente y
consideremos como x la cantidad de días que demoran en hacer el trabajo
conjuntamente. Entonces:
Días que demoran en Parte del trabajo que hacen
hacer el trabajo en un día
A : 3 1/3
B : 5 1/5
A y B x 1/x
Puesto que la parte que hace el obrero A en un día más la parte que hace el obrero B
en un día es igual a la parte del trabajo que hacen ambos en un día, resulta la ecuación:
1/3 + 1/5 = 1/x
Suprimiendo los denominadores se tiene:
5x + 3x = 15
8x = 15  x= 15/8 (días trabajando en conjunto)
Comprobación: sumando las partes del trabajo que hacen en un día cada uno por
separado se tiene: 1/3 + 1/5 = 8/15. Mientras que la parte del trabajo que hacen en un
día conjuntamente es:
1 8
15 15
8
 . Ya que son iguales los resultados, se concluye que el
trabajo lo terminarán conjuntamente en: 1 día, más 7/8 de otro día.
Por tanto (Respuesta): La velocidad del bote en agua tranquila es de 13 km/h .

10
10
Ejemplo 2. El denominador de una fracción es 4 unidades mayor que el numerador. Si
a cada término de la fracción se le agregan 5, la fracción resultante es equivalente a
2/3 . ¿Cuál es la fracción original?
A1) Resuelve las ecuaciones siguientes, y comprueba la solución:
a)
x4
5x 
=
2
3
b)
3x
4

=
5
2
c)
1m
3

=
3m
6

d)
1t
1t2


=
5t
5t2


e)
x2
2x
x
4 
 = 1 f)
1m
1
m
1

 =
2m2
5

g)
2x
1
2x
1



=
4x
4
2

h)
3m2
m2

=
m
2m 
i)
5
3
y
1
 =
y5
14
j) 2
x4
1x2
x3
2 
 =
x12
5
A2) Determina el valor de la variable que satisface las ecuaciones siguientes:
a)
2x
4
x
1
x2x
1
2 


b)
4x
2
16x
16
2 


c)
6y5y
1
3y
1
2y
2
2





d)
1x2
1x2
1x4
8
1x2
1x2
2 






e)
3x
3
x3x
1x2
2 



f)
15x2x
16
3x
2
2



g)
9x
4
3x
2
3x
4
2





h) 3
2xx
7x4
1x
x
2
2





i) 1
m n n
x m x
   j)
a
ax
aax
x
ax
1
2
2





A3) Una llave puede llenar un tanque en 2 horas, una segunda llave puede llenarlo en 3
horas, y otra llave puede vaciarlo en 6 horas. Si el tanque está inicialmente vacío y se
abren simultáneamente las tres llaves. ¿Cuánto tiempo se necesitará para llenar el
tanque?

11
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1.5 Introducción a las funciones y funciones lineales
En este capítulo estudiaremos un tipo de relación matemática, muy importante en las
aplicaciones, denominadas funciones o modelos lineales, las cuales son de interés
no sólo en matemáticas sino también en administración, economía, física, ingeniería y
en otros campos del conocimiento.
Por ejemplo, al determinar el salario de un vendedor, para planificar la ruta y tiempo de
vuelo de un avión o para calcular la distancia recorrida por un automóvil y, en biología,
para estudiar el crecimiento de algunos organismos.
d v t

12
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Antes de continuar es pertinente conocer y reflexionar en: ¿Qué es en general una
función matemática? y ¿Qué papel cumplen las funciones matemáticas en la
interpretación de los diversos aspectos de la realidad?
El mundo natural y social está lleno de relaciones. Por ejemplo: la velocidad de un auto
es función de la distancia recorrida y del tiempo empleado, la lluvia depende de
variaciones de la presión barométrica y lo bueno que eres bailando, jugando o
estudiando matemáticas depende, entre otras variables, del esfuerzo que pongas y del
tiempo que practiques.
Las funciones matemáticas, en el sentido más simple y amplio, son relaciones
numéricas que sirven para representar o modelar las relaciones existentes en el mundo.
Así, cuando una magnitud variable depende de otra, decimos que la primera es función
de la segunda. Desde este punto de vista, la función puede concebirse como una
relación de dependencia.
La función también puede concebirse como
máquina, ya que existe una relación entre la
entrada y la salida de una máquina, donde la
salida depende de la entrada. Así la máquina-función recibe la entrada y la transforma
en la salida.
Sí formalizamos y simbolizamos las ideas anteriores tenemos que una función, en
matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o
más cantidades variables. Así, si las dos variables “ x ” y “ y ” están asociadas de tal
forma que al asignar un valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se
asigna automáticamente un valor a y , se dice que y es una función de x . La variable
x , a la que se asignan “libremente” valores, se llama variable independiente, mientras
que la variable y , cuyos valores dependen de la x , se llama variable dependiente. El
conjunto de valores permitidos de x constituyen el dominio de definición de la función y
el conjunto de valores posibles para y constituye su recorrido, codominio o
contradominio.

13
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Resumiendo: Una función (f ) de dominio A y contradominio B ( :f A B , se lee “f de
A en B”) es una relación que le hace corresponder a cada elemento x A uno y solo un
elemento y B , llamado imagen de x bajo f , y que se denota como ( )y f x . Es decir
que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos
condiciones, a saber: (1) Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen
en B. (2) La imagen y B de cada elemento x A debe ser única. Es decir, ningún
elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos
los elementos y B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina
también conjunto imagen de f .
La función lineal es de las más simples dentro de las formas que puede adoptar una
relación entre variables, pero desempeña un importante papel en la formulación y
resolución de una gran variedad de problemas tal como se muestra en los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 1. Si analizamos la relación funcional ( )y f x que existe entre el número ( x )
de teléfonos celulares vendidos diariamente por un vendedor, y el sueldo diario ( y ) que
percibe por dicha venta la función ingreso es: ( ) ; con: ( ) 20 50y f x f x x  
Donde: 50 es el salario (en pesos) mínimo diario del vendedor y 20 es la comisión (en
pesos) por cada celular vendido.
La función ingreso es una función lineal, cuya representación tabular y gráfica es:
De la tabla y de la gráfica se puede observar que:
 Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.
O sea, es una función creciente.
 El salario mínimo diario del vendedor es, cuando no vende nada, de $50.00
Número de
celulares vendidos
por día: x
Salario diario
en pesos
y = f(x)
0 $50.00
1 70.00
2 90.00
3 110.00
4 130.00
5 150.00
6 170.00
10 250.00
15 y = ¿ ?

14
14
 El conjunto de valores permitidos para x (dominio de la función) son solamente
enteros positivos, o sea el dominio de la función es:   
 0fD . De ahí que la
grafica de arriba en realidad no deber ser continua (por qué).
 El conjunto de valores posibles para y (codominio) es: [50 , ) .
 La tasa de crecimiento (m a ) es constante:
90 50 250 130
20
2 0 10 4
m a
 
   
 
Una problemática importante, aparentemente diferente, es cuando una compañía de
aviación planifica cuánto combustible necesitarán los aviones para los vuelos.
Ejemplo 2. Un Jet Boeing, que ha sido abastecido antes del despegue, contiene cerca
de 28,000 litros de combustible y usa cerca de 5,000 litros por cada hora de vuelo.
Aunque otros factores frecuentemente tienen un efecto, se puede considerar que la
cantidad de combustible que tiene este avión está en función del tiempo de vuelo.
Se puede inferir, a partir de algunos cálculos particulares, una fórmula o función que dé
lo que le queda de combustible al avión, como función del tiempo. Así:
Tiempo t en
horas
Litros de combustible en el avión
y = f(t)
0 28000
1 28000 – 5000 x 1 = 23000
2 28000 – 5000 x 2 = 18000
t f(t)=28000 – 5000t
Usa esta fórmula para responder lo siguiente.
a) Completa la siguiente tabla que da lo que le queda de combustible al avión como
función del tiempo transcurrido de vuelo.
Tiempo t
en horas
Litros de
combustible
y = f(t)
Tiempo t
en horas
Litros de
combustible
y = f(t)
0.0 28000 3.5
0.5 25500 4.0
1.0 4.5
1.5 5.0
2.0 5.5
2.5 6.0
3.0 6.5
b) Dibuja un par de ejes coordenados parecidos a
los que se muestran en la figura, y grafica en el los
pares de datos (tiempo, litros de combustible), de la
tabla anterior.

15
15
c) Usa la fórmula, tabla o gráfica para
responder las siguientes preguntas acerca
del combustible empleado por el Jet. Cuando
sea apropiado, escribe una ecuación o
desigualdad que pueda ser usada para
responder a la pregunta dada.
1. ¿Qué tanto combustible queda después de 4.5 horas de vuelo?
2. ¿Qué tanto tiempo tomará para que se consuma la mitad del combustible?
3. ¿A qué tasa decrece el combustible del avión? Es decir, ¿cuál es el decrecimiento
del combustible por cada hora adicional de vuelo?
4. ¿Qué tiempo de vuelo deja al menos 5000 litros de combustible en el avión (por
seguridad)?
5. Si el avión viaja a 800 kilómetros por hora, ¿cuál es el viaje más largo que puede
hacer, permitiéndole un margen de seguridad de 5 000 litros?
Ejemplo 4. La función lineal que relaciona el precio del boleto (p) y la asistencia
(a (p)) a un festival escolar puede ser representada por la regla:
a (p) = –10p + 800 (donde: a = –10 y b = 800)
y por la siguiente tabla o gráfica de pares de datos (precio, asistencia).
A partir de estos ejemplos podemos definir a una función lineal como una relación
matemática que tiene la forma general:
( ) ; , 0f x ax b a y b a   
Las funciones lineales se caracterizan porque tienen una tasa de cambio o pendiente
constante ( m a ) y un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un
Precio p del boleto
(pesos)
Asistencia a(p)
0.00 800
10.00 700
20.00 600
30.00 500
40.00 400
50.00 300
60.00 200
70.00 100
80.00 0 a(p) = –10p + 800

16
16
cambio proporcional en la variable dependiente (y). Esto se puede demostrar, por
ejemplo, para el primer ejemplo del vendedor de celulares
2 1
2 1
90 50 170 110 250 130
20
2 0 6 3 10 4
y yy
m a y m x
x x x
   
          
    
Así pues, las funciones lineales relacionan varias clases diferentes de variables de
diversas situaciones problemáticas, y pueden ser representadas por tablas, gráficas,
fórmulas o ecuaciones, y, además, comparten algunas propiedades importantes, como
las siguientes:
1. En una tabla de valores (entrada, salida), de una función lineal, el incremento de la
variable de salida (y) se incrementa o (disminuye) a una tasa constante al
incrementarse la variable de entrada (x).
2. La regla que relaciona las entradas y salidas de una función lineal puede ser escrita
de varias maneras simbólicas diferentes, pero cada una es equivalente a la forma
estándar: f(x) = ax + b, donde, a y b son números que son determinados por la
situación problemática específica.
3. Los puntos de la gráfica de una función lineal yacen sobre una línea recta.
Un modelo matemático relacionado con la función lineal es el que surge al estudiar la
proporcionalidad directa entre dos magnitudes variables. Recuerda que en la primera
unidad del curso de Matemáticas I, aprendiste que si la variable y está relacionada en
forma directamente proporcional a la variable x , entonces su razón o cociente indicado
es una constante, o sea:
31 2
1 2 3
; 0
yy y y
k y k x y m x n con n
x x x x
         
De donde, la relación matemática y = k x , es un caso especial de la función lineal
mediante la cual se representan muchas situaciones de la vida cotidiana, la ciencia y la
ingeniería.
Ejemplo 5. Si para cocer medio kilogramo de verduras se requiere agregarle 25 gramos
de sal. ¿Cuántos kg de verdura se necesitan para ocupar 1 kg de sal?
Resolución: Primero se establece la proporción o ecuación lineal que muestre la
relación entre la cantidad de verdura y la cantidad de sal necesaria para un cocimiento
de este tipo. Si representemos por VG a los gramos de verdura y por SG a los gramos
de sal. Y recordando que medio kilogramo equivale a 500 gramos, entonces:
25 500 500
20
25
V S S
S V
G G G
G G
   
Por tanto, los kilogramos de verduras requeridos para
un kilogramo de sal son:

17
17
20 20 1 20V SG G kg    .
Ejemplo 6. Según la Ley de Boyle, cuando la presión de un gas es constante, entonces
el volumen ( v ) que ocupa es directamente proporcional a su temperatura absoluta
(T ): v kT . Por tanto, si a una temperatura de 60 0
K un gas ocupa un volumen de
30 3
m , ¿cuál es el volumen que ocuparía a una temperatura de 180 0
K ?
Resolución: para poder calcular el volumen con el modelo matemático v kT se
necesita primero conocer la constante k con los datos proporcionados:
30
0.5
60
v
v kT k
T
    
Por tanto, el volumen que ocuparía el gas sería de: 3
0.5 (0.5)(180) 90v T v m    .
Ejemplo 7. La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamaño del alargamiento
(o compresión) varía de forma directamente proporcional según sea la fuerza que se le
aplique. Si una fuerza de 20 libras alarga el resorte 4 pulgadas:
a) Escribir una ecuación que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.
b) ¿Cuánto alargará el resorte una fuerza de 30 libras y una fuerza de 100 libras?
Resolución:
a) Si d es la distancia que se alarga el resorte en pulgadas y F es la fuerza en libras.
Como la distancia varía en forma directamente proporcional con la fuerza d k F , y
4d  y 20F  , entonces:
4 1
20 5
d
k
F
   . De donde, la ecuación que relaciona la
distancia y la fuerza es:
1
5
d F .
b) Por tanto, cuando 30F  libras, la distancia que se larga el resorte es:
1
(30) 6
5
d   pulgadas. Y cuando 100F  libras, la distancia correspondiente es:
1
(100) 20
5
 d pulgadas.

18
18
A1) Un vendedor de una empresa tiene un sueldo base semanal de n pesos y además
por cada artículo vendido recibe una comisión de m pesos. Determinar el modelo
matemático que permite calcular el salario semanal (y) del vendedor cuando vende x
artículos por semana.
A2) Aplicando el modelo matemático obtenido en la actividad anterior, calcula la
distancia ( y ) recorrida en un tiempo ( x ) de 3 horas por un automóvil que se desplaza a
la velocidad constante ( m ) de 95 k / h.
A3) Inventa una situación problemática que pueda resolverse con el modelo matemático
de la actividad uno.
A4) La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamaño del alargamiento (o
compresión) varía de forma directamente proporcional según sea la fuerza que se le
aplique. Si una fuerza de 60 libras alarga el resorte 12 pulgadas: a) Escribir la función
lineal que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.
b) ¿Cuánto alargará el resorte una fuerza de 45 libras?
A5) En la práctica de la medicina es común que la dosis de un medicamento (y) varíe
en forma directamente proporcional con el peso corporal (x) del paciente. Si a una
persona de 56 kg se le suministran 250 mg de ampicilina, calcular la dosis
recomendada a un paciente de 80 kg.
A6) En un recipiente con agua a 0°c se aplica calor para ir incrementando la
temperatura. En dicho recipiente se encuentran al mismo tiempo, para medir la
temperatura, un termómetro Celsius y uno Fahrenheit. La variación de la temperatura
en ambos termómetros está registrada en la siguiente tabla, y partiendo de ella obtener
la función lineal que relaciona la temperatura en ambas escalas.
Grados centígrados
0
C
Grados Fahrenheit
0
F
0 32
1 33.8
2 35.6
5 41
100 212
1.5.1 Definición y gráfica de la función lineal
En la función lineal el parámetro a recibe el nombre especial de pendiente. Es común
representar las funciones lineales también con el modelo ( )f x mx n  . Por lo cual:
( ) ( )f x ax b f x mx n     . En este texto usaremos ambas expresiones.
Una función lineal es una relación matemática, o modelo matemático,
que a cada x  le hace corresponder un y = a x + b , donde:
a y b son números reales dados y, además, a≠0.

19
19
Así, los siguientes modelos matemáticos son ejemplos de funciones lineales:
y = 50x + 1200 (a = 50 ; b = 1200)
y = --2x + 3 (m = ̶ 2 ; n = 3)
y = 95x (a = 95 ; b = 0)
y = 4 (m = 0 ; n = 4)
y = 0 (a = 0 ; b = 0)
Cuando en una función lineal se quiere especificar la determinación de la variable y
para un valor particular de la variable x resulta conveniente el uso de la notación
funcional y = f (x). Así, los valores de y correspondientes para x = 4, x = -3 y x = 8.5 en
la función y = -2x + 3 pueden ser representados y calculados como:
y = f (4) = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5
y = f (-3) = --2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9
y = f (8.5) = -2(8.5) + 3 = --17 + 3 = -14
En una función lineal, el conjunto de valores que puede tomar la variable “x” (llamada
también como variable independiente) se denomina dominio de la función. Mientras
que el conjunto de valores que puede tomar la variable “y” (llamada también como
variable dependiente) se conoce como contradominio de la función. Así, en una
función lineal el dominio y el contradominio es el conjunto de los números reales .
Para representar gráficamente una función lineal se determinan mediante la ecuación
y = ax + b (o y = mx + n) las coordenadas “x” y “y” de al menos dos puntos P(x , y) de
su gráfica y se localizan en un sistema de coordenadas rectangulares.
Ejemplo 1. Representa gráficamente las funciones lineales definidas por:
a) y = 2x  1 b) y =  2x c) y = 2
Resolución: Primero determinamos en una tabla las coordenadas de algunos puntos
de cada gráfica y, segundo, los representamos utilizando un sistema de coordenadas
rectangulares y, finalmente, los unimos por una línea continua (ver fig. 1).
x y = 2x + 1 y = -2x y = 2
-2 -3 4 2
-1 -1 2 2
0 1 0 2
0.5 2 -1 2
1 3 -2 2
Figura.1

20
20
Como se observa en la Fig.1., si proyectamos sobre el eje Y las gráficas de las dos
primeras funciones obtenemos como imágenes el conjunto , mientras que en el caso
de la función del inciso c obtenemos como imagen el conjunto  2 . En los 3 casos se
pudo trazar una recta que pasa por los puntos representados.
Si para otro valor cualquiera de x obtenemos el valor correspondiente de y
mediante las ecuaciones dadas, podemos comprobar que los puntos que tengan estas
coordenadas también pertenecen a las rectas trazadas, por lo que llegamos a la
conclusión siguiente: la gráfica de una función lineal es una recta.
Si observas las ecuaciones correspondientes a las funciones lineales del ejemplo 1,
notarás, en base al modelo y=mx+n, que en el inciso a) m>0, en el b) m<0 y en el
c) m =
Así si m > 0 la recta se inclina hacia la derecha, si m<0 la recta se inclina hacia la
izquierda, y si m = 0 la recta es paralela al eje X.
Además, estas rectas intersecan al eje Y en los puntos (0 , 1); (0 ,0) y (0 , 2)
respectivamente, y los valores de n en las ecuaciones correspondientes coinciden con
las ordenadas de estos puntos. En el inciso a) n = 1, en el b) n = 0 y en el c) n = 2.
Luego el valor de n coincide con la ordenada del punto (0 , y ) del gráfico de la función
lineal dada.
A las funciones lineales como las del inciso c, cuyo conjunto imagen consta de un solo
número se les llama funciones constantes y su gráfica es siempre una recta horizontal
(paralela al eje X).
A1) Determina cuáles de las siguientes ecuaciones definen funciones lineales:
a) y   x  2 b) y 
5
x
c) y  x2
d) y 
x
3
 1
e) y  x3
 5 f ) x  2y  8 g) y  2 h) 3x  y  0
A2) Dada la función lineal f (x)  5x  2
a) Calcula f (0); f (1) y f (2)
b) Determina x si f (x)  13; f (x)  12; f (x)   6; f (x)   1

21
21
c) Determina los valores de x y y para los cuales los puntos A (x ,  3),
f .
d) Representa gráficamente la función.
A3) Representa gráficamente las funciones lineales siguientes:
a) y  x b) y   x c) f (x)  x
2
1
d) y   4x + 5
e) y   0.2x f ) f (x)  x  2 g) h(x)  4x  3 h ) y  0.5x  1
i ) y  0.3x  2 j) f (x)  3 k) y 
2
3
l ) g (x)  2  x
A4) Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la representación gráfica de la
función y  8x  3.
a) P1 (0 , 2) b) P2 (1 , 11) c) P3 (0 , 3) d) P4 (1 , 5)
A5) Escribe las ecuaciones que definen las funciones representadas en la figura 2.
A6) De una función lineal f(x)  mx  n se conocen m y n. Indica dos pares numéricos
que satisfagan la ecuación correspondiente y traza su gráfico:
a) m  4 y n  1 b) m 2 y n   3 c) m  3 y n  1.5
d) m  1 y n  0 e) m  0 y n  5 f) m  0 y n 
3
2
1.5.2 Gráficas y ceros de las funciones lineales
Para representar gráficamente una función lineal se acostumbra determinar los puntos
donde la gráfica interseca a los ejes coordenados. El punto (x , 0) es el punto donde la
gráfica interseca al eje x. El valor de x se puede calcular sustituyendo y = 0 en la
función lineal y = mx + n de donde se obtiene la ecuación lineal correspondiente,
Fig. 2

22
22
mx + n = 0, cuya solución es /x n m  siempre y cuando m  0. Al valor de /x n m 
se le denomina cero de la función.
Observa que si m  0 la función tiene un único cero, lo que significa que la gráfica de la
función lineal corta al eje x exactamente en un punto, tal como se muestra en las
gráficas de las funciones lineales siguientes:
4 ; : 4y x cero x    0.5 3 ; : 6y x cero x   
Ejemplo 1. Calcula los ceros de las funciones lineales siguientes:
a)
2
2
3
y x  b) 4y x   c) 3y x
Resolución: sustituyendo y = 0 en cada una de las funciones tenemos
a)
2
2 0
3
x   b) 4 0x   c) 3x  0
2x   2(3) x  4 x  0
x 
6
3
2
   x  4
Aun cuando es recomendable localizar varios puntos para graficar una recta, sin
embargo, dos puntos por los que ella pasa son suficientes para trazarla, por lo general
son cómodos los puntos de coordenadas (0 , y) y (x , 0) que son los puntos donde la
recta interseca a los ejes coordenados.
Ejemplo 2. Representa gráficamente las funciones: a) 2 4y x  y b) 3y x   .
Resolución: primeramente determinamos los puntos (0 , y) y (x , 0)
a) 2 4y x  b) 3y x  
x 0 2 x 0 3
2 4y x  − 4 0 3y x   3 0

23
23
Como se observa en las gráficas anteriores los puntos donde la recta 2 4y x 
interseca a los ejes coordenados son (0 , -4) y (2 , 0). Y los puntos donde la recta
3y x   interseca a los ejes son (0 , 3) y (3 , 0).
Ahora consideremos el problema inverso, o sea, tenemos una recta y queremos
determinar su ecuación. Como la recta es la gráfica de una función lineal, basta
determinar los valores de m y n . Recuerda que n es la ordenada del punto donde la
recta corta al eje y. Mientras que el valor de m (la pendiente de la recta) indica, como
ya sabes, la inclinación de la recta respecto al eje x.
Así pues, si los puntos P1 y P2 pertenecen a la recta considerada cuya ecuación
es y = mx + ustituyendo en la ecuación los valores de las coordenadas
de los puntos tenemos:
y2 = mx2 ecuación 1
y1 = mx1 ecuación 2
Restando ambas ecuaciones:
y2 - y1 = mx2 - mx1  y2 - y1 = m(x2 - x1 )
 2 1
2 1
m
y y
x x



( x2 - x1  0)
De donde tenemos el siguiente Teorema:
Ejemplo 3. Una recta del plano coordenado pasa por los puntos A(3 , -2) y B (5 , 4).
a) Determina su pendiente.
b) Escribe la ecuación de la recta AB.
Resolución:
a) Sea x1 = 3; x2 = 5; y1 = -2 ; y2 = 4, entonces:
12
12
xx
yy
m



4 ( 2) 6
3
5 3 2
 
  

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 ,y2 ) se calcula por la fórmula:
m
12
12
xx
yy


 , x2  x 1
Fig.3

24
24
x = 5 , y = 4 obtenemos: 4 = 3(5)  - 15 = -11. Por tanto, la
ecuación de la recta es y = 3x -- también de la siguiente
manera: - y -
Ya conoces que la gráfica de una función lineal y  mx  n es una recta. Observa que
en toda ecuación de la forma ax  by  c  0 se puede despejar la y. Así obtenemos
b
c
x
b
a
y  si b  0 y esta es precisamente la ecuación de una función lineal si
consideramos
a c
m = - y n = -
b b
. Luego:
Además, tenemos también el siguiente teorema (el cual no demostraremos):
En general, toda ecuación con una o dos variables representa una figura geométrica en
el plano coordenado.
Ejemplo 4. Representa gráficamente la recta cuya ecuación es: 2x  y  3  0
Resolución: Basta determinar las coordenadas de dos puntos del plano para trazar la
recta, consideremos x  0, luego y  3; si y  0, entonces
2
3
x  ; así tenemos los
puntos P1( 0 , 3) y P2 





 0,
2
3
, y l a gráfica será la recta P1P2 (fig. 5).
Toda ecuación de la forma ax  by  c  0 (b0) define una función lineal
Toda ecuación de la forma ax  by  c  0 con x, y ; a y b no
simultáneamente nulos representa una recta en el plano coordenado.
Figura 4.

25
25
Fig. 5
Como podrás observar en la recta del ejemplo 3 (fig.4), cuya pendiente es m=3>0 la
recta se eleva de izquierda a derecha, y los valores de la función correspondiente
aumentan a medida que aumentan los valores de x, se dice entonces que la función es
creciente.
Por el contrario, si observas la recta representada en el ejemplo 4 (fig.5), notarás que
esta desciende de izquierda a derecha. La pendiente de esta recta es m = - 2  0 y
los valores de la función correspondiente decrecen a medida que aumentan los valores
de la variable x, se dice en este caso que la función es decreciente.
Luego para m  0 solo se presentan estos dos casos, es decir, las funciones lineales o
son crecientes (m  0) o son decrecientes (m  0).
También hay que observar que la pendiente nos muestra la variación que hay en el eje
“y” a medida que aumenta una unidad en el eje “x”. Así, la pendiente m=3, nos indica
que por cada unidad que aumenta en el eje “x” hay un aumento de tres unidades en el
eje “y”.
Ejemplo 5. Determina si las funciones lineales siguientes son crecientes o
decrecientes: a) 2 0.5y x  b) y = - x 4 c) y = 12 -
Resolución:
a) m = 2 > 0, luego la función es creciente.
b) -1 < 0, luego la función es decreciente.
c) m = -
Ejemplo 6. Determina la ecuación de la función cuyo gráfico aparece en la figura 7.

26
26
Resolución: Del gráfico se obtiene que n = -2, luego y = mx - 2 y para x = 2 , y = 0 de
- 2 : por tanto m = 1. Así, la ecuación de la función es: 2y x  .
Figura 7.
A1) La gráfica de una función lineal pasa por el punto M ( 2 , 4) y por el origen de
coordenadas.
(a) Escribe la ecuación que corresponde a dicha función.
(b) ¿Está situado el punto B (2 , 4) sobre la gráfica de la función?
A2) Determina la ecuación de una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos
P(0 , 2) y Q (1 , 3).
A3) En la función y  m x  3. ¿Cuál debe ser el valor de m para que el punto
P(2, 14) pertenezca a su gráfico?
A4) Calcula el valor de n si se sabe que el gráfico de y  3x + n pasa por el punto:
a) P (2 , 4) b) R (5 , 2).
A5) Traza en un mismo sistema de coordenadas rectangulares las gráficas de las
funciones y  0.5x  2; y  2x  5.
a) Indica en cada caso 3 valores del dominio para los cuales las imágenes
correspondientes sean positivas y 3 valores para los cuales sean negativas.
A6) Calcula el cero, en caso que exista, de cada una de las funciones lineales
siguientes:
a) y  x b) y  2x c) y  12x  36
d) y  10x  8 e) y  5  x f ) y  4  2x
g) y  5x  2 h) y  0.8x  16 i ) y 
2
1
x  0.3
j ) y  3x3  k) y  2 l ) y  0
A7) Dada la función y  4  2x
a) Represéntala gráficamente.

27
27
b) Calcula el área de la figura formada por los ejes coordenados y la gráfica de la
función.
c) Calcula la longitud del lado mayor de la figura determinada en el inciso b.
A8) Determina para qué valores de x la función:
a) y  5x  8 toma el valor 4.
b) y  12  x toma el valor
5
2

b) y   2x  5 toma el valor 0.4
c) y   x toma el valor 3
A9) Sea la función y  2x  4
a) Calcula su cero.
b) Represéntala gráficamente.
A10) De una función lineal se sabe que su cero es  4 y que interseca al eje y en el
punto de ordenada
2
1
2 . Represéntala gráficamente.
A11) En la figura 8 están representadas dos funciones lineales. Apoyándote en el
gráfico determina las ecuaciones de dichas funciones.
a) b)
Fig. 8
A12) Representa gráficamente la recta de ecuación:
a) x +3y -5 =0 b -y -12 = 0
A13) Halla la pendiente de las rectas que pasan por cada uno de los pares de puntos
siguientes y represéntalas gráficamente.
a) (2 , 5) y (6 , 11) b) (2 , -5) y (0 , 0) c) (1,
3
1
) y (
2
1
,
4
1
 )

28
28
e) (3 , 1) y (8 , 1) f ) (2 , 4) y (2 , 0 )
A14) ¿Por qué no existe la pendiente de las rectas determinadas por los siguientes
pares de puntos?
a) A (3 , 1) y B(3 , 4) b) M (0 , 0) y N (0 , 5)
A15) Calcula la pendiente de las siguientes rectas:
– 2 =0
- - 3 = 0 d) 3y = x
1.5.3 Modelación matemática y aplicaciones de las funciones y ecuaciones
lineales
Un modelo matemático es una descripción o relación cuantitativa, desde el punto de
vista de las matemáticas, de un hecho o fenómeno del mundo real o científico, como
pueden ser la descripción del crecimiento de la población de un ecosistema o la
descripción del movimiento de un cuerpo físico, o hasta la descripción de fenómenos
sociales, económicos y administrativos. El objetivo del modelo matemático es conocer y
establecer las relaciones cuantitativas entre las “variables esenciales” del fenómeno y,
tal vez, predecir su comportamiento de manera “exacta”, aproximada o probable en el
futuro.
Etapas básicas del proceso de construcción de un modelo matemático:
1. Encontrar y formular un problema del mundo real de interés susceptible de
tratamiento matemático.
2. Construir o seleccionar, formulando hipótesis que hagan posible el análisis y
tratamiento matemático de la problemática, un modelo matemático que describa el
problema, identificando y estableciendo la relación entre las variables esenciales
(dependientes e independientes).
3. Aplicar los conocimientos matemáticos (conceptos, métodos y algoritmos) que se
posee para llegar a resultados y conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos, como predicciones, del modelo con datos empíricos
o reales. Si los datos son diferentes con márgenes de error inaceptables, se reinicia
el proceso de modelación matemática.
Es importante enfatizar y reiterar que un modelo matemático es una representación
abstracta, o idealización, de la realidad, por lo cual los resultados y conclusiones que
se obtengan del mismo siempre deberán ser cotejados con los datos del problema real.
De hecho, para un mismo problema real puede haber varios modelos matemáticos
(ecuaciones y funciones) que los representen con diferentes márgenes de
aproximación.
En base a las ideas anteriores podemos concebir las funciones lineales como modelos
matemáticos (lineales) con una gran variedad de aplicaciones en diversos campos de la
ciencia, la ingeniería, la economía y la administración. Por ejemplo, en el área
económica-administrativa, algunas funciones como lo son las de ingresos, de costos y

29
29
de utilidades pueden tratarse generalmente como funciones lineales tal como se
muestra a continuación.
En economía y administración se conoce como ingreso, a la cantidad total de dinero
que obtiene una empresa, u organización, debido a la venta de sus productos o a la
prestación de sus servicios. En base a este concepto puede inferirse fácilmente que el
ingreso total ( TI ) de cualquier empresa dependerá directamente del precio ( p ) al que
venda sus productos o servicios, así como de la cantidad ( x ) de servicios brindados o
de productos vendidos. Si consideramos que el precio de todos los productos no varía o
es el mismo, el ingreso total puede expresarse matemáticamente como:
Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida)  TI p x
Ejemplo 1. Una empresa en la que se fabrican cargadores para teléfonos celulares
vende a sus clientes mayoristas dichos cargadores a un costo de $150.00. Si para ser
considerado como cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos 1000
productos. ¿Cuál será el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente
mayoritario?
Resolución: ($150.00)(1000) $150,000.00TI p x  
Cuando se venden diversos productos de precios diferentes, o cuando el precio de un
mismo producto varía, el ingreso total sería la suma de los ingresos individuales
obtenidos por cada producto o servicio al precio en que se vendió.
Ejemplo 2. Supóngase, considerando el ejemplo anterior, que además de vender la
empresa 1000 cargadores a un mayorista vende 600 a un medio mayorista al cual le da
un precio de $180.00. ¿Cuál será su ingreso total?
Resolución: 1 1 2 2 ($150.00)(1000) ($180.00)(600) $258,000.00TI p x p x    
Un aspecto preocupante para toda empresa es el de los diversos gastos o costos que
implica el producir un producto o servicio. De ahí que los economistas, administradores
y contadores consideren conveniente definir el costo total en términos de sus
componentes, denominados como: costo variable y costo fijo.
El costo fijo ( fC ) es aquel costo que no varía significativamente con cambios en el
nivel de producción. Por ejemplo: los gastos por agua, luz, teléfono y alquiler de local,
entre otros, se consideran costos fijos. Por otra parte, los costos variables ( vC ) son
aquellos que dependerán directamente del nivel de producción. Por ejemplo: la materia
prima y la mano de obra, entre otros, se consideran costos variables. La suma de
ambos costos será el costo total ( TC ) al que se produce determinado producto o
servicio. De donde, la función costo puede representarse matemáticamente como:
Costo Total = (Costo variable por producto) (No. Productos) + Costo fijo

30
30
Ejemplo 3. Una empresa en la que se fabrican partes de computadoras tiene por
concepto de pago de luz, agua y renta del local una cantidad mensual fija de
$15, 000.00 y por concepto de materia prima aumenta su costo a razón de $2.50 por
una cierta unidad producida y por concepto de mano de obra $ 1.30 por dicho producto.
Calcular el costo total de la empresa si al final del mes la producción fue de 5,000
artículos.
Resolución: La función lineal utilizada en este caso para calcular el costo total ( TC ), de
x cantidad de unidades producidas, sería:
TC = $ (2.50 + 1.30) (x) + $15,000.00
Por tanto, para una producción de x = 5,000 se tendrá un costo total de:
TC = $ (2.50 + 1.30) (5000) + $15,000.00 = $19000 + $15000= $34,000.00
Por último, en el caso de las empresas privadas lo que se busca finalmente es la
obtención de ganancias o de utilidades positivas, las cuales se determinan por la
diferencia existente entre el ingreso total ( TI ) y el costo total ( TC ). Matemáticamente la
utilidad (U ) puede ser calculada mediante la expresión:
T TU I C 
Así pues, cuando el ingreso total es mayor que el costo total ( T TI C ) la utilidad resulta
positiva y se conoce como ganancia, en caso contrario (o cuando T TI C ) la utilidad
sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit.
En caso de que la función de ingreso como la de costo sean funciones lineales de una
misma variable, por ejemplo, de la cantidad ( x ) de artículos producidos o servicios
brindados, entonces la función de la utilidad también será una función lineal de la
misma variable. De donde, si el ingreso total fuera la función ( )TI x y el costo total la
función ( )TC x , entonces la función utilidad sería: ( ) ( ) ( )T TU x I x C x  .
Ejemplo 4. Una empresa produce y vende un artículo a un precio de $150.00, si sus
costos fijos mensuales son de $ 400,000.00 y sus gastos por mano de obra son de
$20.00 por producto y por concepto de materia prima de $30.00 por producto,
determina la utilidad mensual de la empresa si su producción y venta mensual es de
10,000 artículos.
Resolución:
Ingreso total = $150.00 (x)
Costo total = $50.00 (x) + $ 400, 000
Utilidad mensual= $150.00 (x) – [$50.00 (x) + $ 400, 000]
= $100.00(x) – 400, 000

31
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= $ 100.00 (10,000) - $ 400, 000 = $ 600,000.00
Otras situaciones problemáticas que pueden ser modeladas matemáticamente
mediante las funciones lineales son: la determinación del sueldo de un vendedor, la
depreciación, o pérdida de valor, de los objetos con el tiempo, la distancia de frenado
de un automóvil, y muchas otras más, tal como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 5. Un vendedor de una empresa tiene un sueldo base semanal de $1200.00, y
además por cada artículo vendido recibe una comisión de $50.00. Y se quiere
determinar el salario semanal del vendedor cuando vende 3, 5, 8 , 10 y hasta x artículos
por semana.
Modelación y resolución del problema:
Si el empleado vende 3 artículos, gana 3 x $50.00= $150.00 por comisión. Por tanto,
su salario semanal será la suma del sueldo base semanal con lo que gana por concepto
de comisión:
$ (150.00 +1200.00) = $ 1350.00
Y cuando vende 5 artículos, gana 5 x $50.00= $250.00 por comisión. Por tanto, su
salario semanal será la suma del sueldo base semanal con lo que gana por concepto
de comisión: $ (250.00 +1200.00) = $ 1450.00.
En síntesis, si vende 8 ó 10 artículos el salario semanal del vendedor será
respectivamente de:
8 x $50.00 + $1200.00 = $1600.00
10 x $50.00 + $1200.00 = $ 1700.00
En general, si vende x artículos entonces el salario semanal y del vendedor será de:
y = 50 x+1200 x 
Ejemplo 6. Un sistema de computación tiene 8 años de uso y su valor actual es de
$ 18 000.00, pero hace tres años su valor era de $ 45 000.00. Si el valor del sistema
varía linealmente con el tiempo, calcular: (a) la función lineal que relaciona el valor del
sistema con el tiempo transcurrido y (b) el valor del sistema cuando era nuevo, además,
(c) el valor del sistema después de 10 años de uso.
Resolución:
(a) Sea y = v el valor del sistema en el tiempo x = t, como v varía linealmente respecto a
t, entonces, y = m x + n o v = m t + n, por tanto para hallar esta función tenemos que
calcular los parámetros m y n. Primeramente calcularemos la pendiente m
considerando 1 1 1( 5 , 45000)P x y  y 2 2 2( 8, 18000)P x y  :
  
    
 
2 1
2 1
(18000) (45000) 27000
9000
(8) (5) 3
y y
m
x x

32
32
por tanto, v = -9000 t + n , de donde se puede calcular n sustituyendo los
valores(coordenadas) de cualesquiera de los puntos dados como datos. Sustituyendo
los valores de 2 2 2( 8 , 18000)P x y  tendremos que:
18000 = -9000 (8) + n  n = 18000 + 9000 (8) = 90,000
Por tanto la función lineal buscada es: v = - 9000 t + 90 000.
(b) Cuando el sistema era nuevo se tiene que t = 0, por tanto:
v = - 9000 (0) + 90 000 = $ 90, 000.00
(c) El valor del sistema después de 10 años de uso será:
v = - 9000 (10) + 90 000 = $ 0.00
Ejemplo 7. Cuando manejamos un automóvil y frenamos, primero nos damos cuenta
de que necesitamos detener el vehículo y después de un cierto tiempo de reacción se
mueve el pie para pisar el pedal de freno. Así, experimentalmente se encontró la
siguiente tabla que relaciona la distancia en que un automóvil se desplaza durante el
tiempo medio de reacción para varias rapideces diferentes. Y también se hizo, con los
datos de la tabla, una representación gráfica, como se muestra a continuación:
v =rapidez
en km/h
d=distancia
en metros
40 8
50 12
60 16
70 20
80 24
90 28
Otra manera de hacer un análisis del problema es establecer una relación matemática,
tal como una proporción o ecuación lineal (lineal viene de línea recta), que relacione la
distancia (d ) con la velocidad (v ). De la tabla se puede observar que por cada 10
metros que aumenta la velocidad la distancia para detenerse aumenta en cuatro
metros, por tanto, existe una tasa de cambio o pendiente constante ( m a ) y un
cambio en la variable independiente (x = v), provoca un cambio proporcional en la
variable dependiente (y = d). O sea:

33
33
2 1
2 1
20 16 4 2 2
70 60 10 5 5
d dd
a m d v
v v v
 
         
  
En particular, para que el automóvil pueda pararse casi instantáneamente (o sea que
0d  ), debe desplazarse como máximo a una velocidad 0v igual a:
0 0 0
2 140 100
20 0 (70 ) 100 140 2 20 /
5 2
v v v km h

        
Y para que pueda frenar o pararse en una distancia d cuando viaja a una cierta
velocidad v :
0 0 0
2 2 2 2
0 ( ) ( )
5 5 5 5
d v v d v v d v v        
Sin embargo, anteriormente se calculó que 0 20 /v km h . De donde la ecuación lineal
para calcular d es:
2
8 ; 20
5
d v v
 
   
 
Por ejemplo, si queremos saber qué distancia recorre un automóvil antes de detenerse
después de frenar, cuando viaja a 97 km/h, bastará con sustituir en la ecuación el valor
97v  :
2 2 194
8 (97) 8 8 38.8 8 30.8
5 5 5
d v
   
           
   
O sea que el automóvil recorre 30.8 metros antes de detenerse, si viaja a 97 km/h.
A1) Una empresa en la que se fabrican teléfonos celulares vende a sus clientes
mayoristas dichos teléfonos a un costo de $3250.00. Si para ser considerado como
cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos 2000 teléfonos. ¿Cuál será
el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario?
A2) Supóngase, considerando el ejemplo anterior, que además de vender la empresa
2000 teléfonos a un mayorista vende 800 a un medio mayorista al cual le da un precio
de $3400.00. ¿Cuál será su ingreso total?
A3) Determine la función lineal del costo total en cada uno de los siguientes casos:
a) Costo fijo: $ 350.00 ; y cuesta $ 3000.00 producir 50 artículos.
b) Costo fijo: $7280.00 ; y cuesta $ 82,000.00 producir 40 artículos.
A4) Escriba una función de costo, para el cliente, en cada uno de los siguientes casos:

34
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a) Una empresa que renta automóviles cobra $200.00 diarios por automóvil más
$ 5.00 por kilómetro recorrido.
b) Un servicio de meseros y edecanes que cobra $100.00 por salida de un miembro del
personal más $50.00 por cada hora trabajada.
A5) Una empresa en la que se fabrican computadoras tiene por concepto de pago de
luz, agua y renta del local una cantidad mensual fija de $25, 000.00 y por concepto de
materia prima aumenta su costo a razón de $1200.00 por cada computadora producida
y por concepto de mano de obra $ 350.0 por dicho producto. Calcular el costo total de la
empresa si al final del mes la producción fue de 3,000 computadoras.
A6) El costo de fabricar 200 relojes de pared a la semana es de $7000.00 y el de 240
relojes de pared a la semana es de $8000.00.
a) Determine la ecuación de costos total, suponiendo que varía linealmente.
b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad?
A7) A una compañía farmacéutica le cuesta $ 22,000.00 fabricar 250 dosis de un
medicamento, mientras que producir 400 dosis le cuesta $ 35,000.00. Si el costo de
producción del medicamento varía linealmente con la cantidad producida, calcular: (a)
¿Cuánto cuesta producir 100 dosis del medicamento? ; (b) los costos fijos de la
compañía.
A8) Una empresa produce y vende un producto a un precio de $620.00, si sus costos
fijos mensuales son de $ 35,000.00 y sus gastos por mano de obra son de $25.00 por
producto y por concepto de materia prima de $80.00 por producto, determina la utilidad
mensual de la empresa si su producción y venta mensual es de 15,000 artículos.
Además, calcula la producción y venta mínima para que la empresa no tenga pérdidas.
A9) Una compañía de transporte público cobra $170.00 por transportar cierta mercancía
20 kilómetros y $200.00 por transportar la misma mercancía 25 kilómetros.
a) Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es
lineal.
b) ¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta mercancía?
c) ¿Cuál es la cuota por cada kilómetro que la mercancía es transportada?
A10) Un fabricante de videograbadoras advierte que a un precio de $2500.00 por
unidad, las ventas ascienden a 1000 videograbadoras al mes. Sin embargo, a
$2000.00 por unidad, las ventas son de 1400 unidades. Determine la ecuación de
demanda suponiendo que es lineal.
A11) Un fabricante de útiles escolares puede vender 3000 lápices al mes a $2.00
cada uno, mientras que sólo pueden venderse 2000 lápices a $2.50 cada uno.
Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal.
A12) Una compañía de bienes raíces posee un conjunto habitacional que tiene 100
departamentos. A una renta mensual de $700, todos los departamentos son rentados,
mientras que si la renta se incrementa a $800 mensuales, sólo pueden rentarse 40
departamentos.
a) Suponiendo una función lineal entre la renta mensual y el número de

35
35
departamentos que pueden rentarse, encuentre esta función.
b) ¿Cuántos departamentos se rentarán, si la renta mensual aumenta a $850?
c) ¿Cuántos departamentos se rentarán, si la renta disminuye a $650 mensuales?
A13) En el año 2000 una familia compró una casa con valor de $ 250,000.00; en el año
2007 la casa fue revalorada en $ 380,000.00. Suponiendo que el valor de la casa crece
linealmente con el tiempo, determina: (a) el valor de la casa en el año 2003; (b)¿A partir
de que año la casa tendrá un valor superior a los $500,000.00 ?
A14) Una empresa compró una máquina nueva por $25,000.00 Si se deprecia
linealmente en $2500.00 al año y si tiene un valor de desecho de $4500.00, ¿Cuál será
el valor V de la maquinaria después de t años de uso y después de 6 años de uso?
¿Por cuánto tiempo conviene tener la máquina en uso?
A15) Un vendedor de una empresa tiene un sueldo base semanal de $2500.00, y
además por cada artículo vendido recibe una comisión de $80.00. Determinar el salario
semanal del vendedor cuando vende 2, 5, 7 , 12 y hasta x artículos por semana.
A16) La población infantil entre 4 y 14 años de edad de un cierto país decreció de 24.5
millones en 1985 a 21.7 millones en 1990.
a) ¿Cuál fue la razón de cambio promedio en esta población en el periodo dado?
b) Suponiendo una variación lineal de la población con el tiempo, determina una función
lineal que describa esta población y en términos del año x para el periodo dado.
A17) De la siguiente tabla, y gráfica, obtenida experimentalmente donde se relaciona la
distancia en que un automóvil se desplaza, después de frenar durante el tiempo medio
de reacción, para varias rapideces diferentes. Determinar:
v =rapidez
en km/h
d=distancia
en metros
40 5
50 10
60 15
70 20
a) La velocidad máxima 0v a que el automóvil debe desplazarse para que pueda
pararse casi instantáneamente (o sea cuando 0d  ).
b) La distancia d en que el automóvil pueda pararse cuando viaja a una cierta velocidad
0v v .
c) la distancia que recorre un automóvil antes de detenerse después de frenar, cuando
viaja a 140 km/h.

36
36
A18) De acuerdo con los datos arrojados por una investigación socioeconómica, el
ingreso anual para una familia en extrema pobreza integrada por cuatro personas fue
de $5510.00 en 1990, $8420.00 en 1995 y de $13,360 en 2006.
a) Considere que x = 0 corresponde a 1990 y use los puntos (0,5510) y (16, 13360)
para encontrar un modelo lineal para esos datos.
b) Compara el ingreso dado por el modelo para 1995 con el ingreso real de $8420. 00
¿Qué tan adecuado es el modelo?
c) ¿Qué tan exacto es el ingreso que da el modelo para 1985, cuando el ingreso real
fue de $3832?
d) De acuerdo con este modelo, ¿cuál será el ingreso anual para estas familias en el
año 2008?
A19) Un automóvil, cuyo tanque de combustible tiene una capacidad de 60 litros, tiene
un rendimiento promedio en carretera de 14 km por litro. Considerando el tanque lleno,
determine:
a) La función que describe la cantidad de gasolina que hay en el tanque después de
que el automóvil recorre x kilómetros por carretera.
b) ¿Cuál es el máximo kilometraje que puede recorrer el automóvil sin recargar el
tanque?
c) ¿Cuántos litros de gasolina hay en el tanque después de que el automóvil ha
recorrido una distancia de 0, 14, 28, 50 y 200 kilómetros?
d) Represente gráficamente los resultados del inciso anterior, y a partir de dicha gráfica
determine los litros de gasolina que hay en el tanque después de que el automóvil ha
recorrido una distancia de 100 y 300 kilómetros.
e) ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil después de haber consumido 50.8 litros de
gasolina?
A20) La gráfica siguiente muestra la
variación de las ventas anuales (en
unidades) de un cierto producto. Como
se puede observar las ventas crecen
primero lentamente hasta un pico, se
mantienen constantes durante cierto
tiempo y luego decrecen cuando el
artículo pasa de moda. (a) Calcula la
pendiente o razón de cambio promedio
anual en las ventas para los siguientes
intervalos de tiempo en años: [1 , 2] , [1 ,
4] , [4 , 7] , [7 , 9] , [9 , 10] , [10 , 12] y
[7 , 12] ; (b) Con la hipótesis de que la
variación de las ventas es lineal para los
intervalos [1 , 4] , [4 , 7] y [7 , 12] ,
determine la función lineal
correspondiente para estos intervalos.

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