Ecuaciones Diferenciales[1]
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El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, soluciones generales y particulares, y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función y sus derivadas, y que su orden depende de la derivada más alta involucrada. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad.
Ecuaciones Diferenciales[1]
- 1. Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos ° Qué son las ecuaciones diferenciales ° A qué se le llama orden ° A qué se le llama grado ° Clasificación de grados y tipo de grados y orden ° Solución ° Solución General ° Solución Particular ° Interpretación Geométrica ° Trayectorias Ortogonales ° Campos Direccionales
- 2. Que son las ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es una igualdad donde intervienen una función incógnita y sus derivadas operadas con funciones conocidas.
- 3. A que se le llama orden Existe si la función incógnita se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado mayor en que aparece el orden mayor. A que se le llama grado ° El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor de la ecuación. ° Orden mayor en que aparece la función incógnita.
- 4. Clasificación de grados y tipo de grados y orden Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo distinguimos entre: • Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente. • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes. DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la ecuación. DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus derivadas.
- 5. Solución Cuando una función ø , definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.
- 6. Solución General Si toda ecuación de solución de orden n, F(x, y, y’,…, y(n))= 0, en un intervalo I, se pide obtener partiendo de una familia n-paramétrica G(x, y, c 1 ,c 2 …, c n )= 0, con valores adecuados a los parámetros c i (i= 1, 2,…, n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.
- 7. Solución Particular Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtiene a partir de la solución general, dando valores a las constantes. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular .
- 8. Interpretación Geométrica Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada dela variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio.
- 9. Trayectorias Ortogonales Dada una familia de curvas f(x; y;C) = 0, se desea encontrar otra familia F(x;y;C) = 0, tal que para cada curva de la primera familia, que pasa por el punto ( x0; y0) exista otra curva de la segunda familia que pase también por ese punto y sea ortogonal a ella (sus tangentes han de ser perpendiculares en ( x0; y0)). Es decir, si ¹(x; y; y0) = 0 es una ecuación diferencial de f(x; y;C) = 0 entonces Á(x; y;¡ 1y0 ) = 0 lo es de F(x; y;C) = 0. A la familia de curvas F(x; y;C) = 0 se le llama trayectorias ortogonales.
- 10. Campos Direccionales Si se evalúa f de forma sistemática en una red de puntos rectangular en el plano xy y se traza un elemento lineal en cada punto (x, y) de la red con pendiente f ( x, y) , entonces la colección de estos elementos lineales se llama campos de dirección o campos de pendientes , de la ecuación diferencial dy/dx= f (x, y) .
- 11. Bibliografía °http://yaqui.mxl.uabc.mx/~larredondo/Documentacion/SandovalCaceres.pdf ° sai.uam.mx/apoyodidactico/ED/.../ConcBasi.html ° Titulo: Ecuaciones diferenciales. Editorial: Thomson. Autor: Dennis G. Zill. ° Titulo: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelo. Editorial: Thomson. Autor: Dennis G. Zill. Datos Ecuaciones Diferenciales Alán Ricardo Ibarra Rodríguez No 9310187 Profe: Cesar Octavio Martínez Padilla Ceti (COLOMOS) Ing. Industrial