Ejercicios no rutinarios
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Este documento presenta 20 problemas matemáticos no rutinarios propuestos en las Olimpiadas Matemáticas de 2012. Los problemas incluyen temas como números enteros, raíces cuadradas, logaritmos, áreas de figuras geométricas como círculos y cuadrados, y sumas y productos notables. El documento fue presentado por la Facultad de Ingeniería de la Universidad Tecnológica Centroamericana como parte de un evento académico.
Ejercicios no rutinarios
- 1. Olimpiadas Matemáticas 2012 UNIVERSIDAD TECNOLOGICA CENTROAMERICANA FACULTAD DE INGENIERÍA Área Académica de Ciencias y Matemáticas Ejercicios no rutinarios 1. Se tiene un número de 90 cifras formados por los dígitos 2 y de la siguiente manera: ¿Para que valores de dicho número es múltiplo de 9? Solución: Primeramente veamos que: 2 tiene 2 cifras, tiene 3 cifras, tiene 4 cifras,…, y tiene cifras, entonces las 90 cifras cumplen con , luego , entonces Y luego . Entonces observemos que hay 78 2’s y 12 ’s en el número de 90 cifras y recordemos que un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras lo es. La suma de las cifras del número de 90 cifras es y entonces los valores para son 2, 5, y 9. 2. Sea un número natural. ¿Para que valores de , la expresión es entero? Solución: Como es un entero, entonces debe dividir a , y por lo tanto divide a , y para que la ultima afirmación sea cierta se tiene que debe ser un divisor de 13, de donde ó , luego ó son los únicos valores que cumplen. 3. Encuentre los valores enteros positivos y tales que: y Solución: Note que: Luego , entonces , por lo que , por tanto las únicas soluciones son .
- 2. Olimpiadas Matemáticas 2012 4. Encuentre el resultado de la siguiente suma: √ √ √ √ √ √ √ √ Solución: Note que: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Luego: √ √ √ √ √ √ √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ √ √ 5. Sean enteros consecutivos. Demostrar que es un cuadrado perfecto. Solución: Como son consecutivos, tenemos que: , para algún entero. Luego:
- 3. Olimpiadas Matemáticas 2012 6. Determine el cociente entre el área del círculo y el área del cuadrado.
- 4. Olimpiadas Matemáticas 2012 7. Demuestre que en la figura formada con tres cuadrados, el ángulo α es igual a la suma de los ángulos β y γ .
- 5. Olimpiadas Matemáticas 2012 8. En un círculo de radio R se inscribe un cuadrado, en el cuadrado un círculo y así sucesivamente. Hallar la suma de las áreas de los círculos y de los cuadrados.
- 6. Olimpiadas Matemáticas 2012 9. Sean x, y, z números positivos tales que x + y + z = 1. Demostrar que
- 7. Olimpiadas Matemáticas 2012 10. Evalúe 4 ln 9 x 2 ln 9 x ln x 3 dx
- 13. Olimpiadas Matemáticas 2012 16. 17. Encuentre el resultado de la suma:
- 14. Olimpiadas Matemáticas 2012 Basta con racionalizar el denominador y obtendremos la siguiente suma: 18.
- 15. Olimpiadas Matemáticas 2012 19. ¿Cuántos dígitos “2” se necesitan para escribir todos los números enteros desde 1 hasta el ?