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B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17
un r¡)r I n r ("'AV; ORAfJ
U._lw,~.L."'. '_ L,./- L
LACA;'iR: 535 et». ~EOERAI.
I
Prefacio
El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagne-
tismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación.
Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas.
Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una
serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los
principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromag-
néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y
sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que
tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia.
Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la
abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en
mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui-
dadoso.
Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los
diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias
sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias.
Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi
familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera
escrito.
]OSEPH A. EDMINISTER
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AEP](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-4-320.jpg)
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-
CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en
un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El con-
texto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia.
La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la
figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons-
tante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas carte-
sianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto
circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas
esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es
una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el
origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O n.
z
z z
-
3<1>
}-----+-y
}-----+-y
(b) Cilíndrico (e) Esférico
(a) Cartesiano
Fig. 1-4
La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad.
tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas
(excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección
de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:
Las formas de componentes de un vector en los tres sistemas son:
A = + + Azaz
A = Arar + A",a", + Azaz
A = Arar + o o + A",a",
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo
funciones de las coordenadas en el sistema particular.
1.4 VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA
Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + ) ó , , ó
(r + dr, O+ de, + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el
volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema
aparece en la figura 1-5.
En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen
diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es
= dO senO = 2
senO dO
3
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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5
1.6 TRANSFORMACIONES
El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema
de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del
sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión
final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un
campo vectorial, de un sistema a otro.
EJEMPLO 1: Considérese
A = 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a.
en coordenadas esféricas. Las variables , 8. q, pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a
la figura 1-2 y aplicando la trigonometría básica. De esta manera
cos (J = -;::::;==;===;::
. + l-+ Z2
y
tanq, =-
Ahora las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de , y así:
Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la
figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto,
Combinando éstas con las componentes transformadas resulta
Problemas resueltos
1.1. Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z))
a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por
- x¡)a" + ( 2 - + - z1)a:
Lascoordenadas de M y N se utilizan para expre-
sar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_
A = xla.x + Ylay + zla.
B = X2a.x + Y2ay + Z2a.
~------
Entonces
Fig.I-7
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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
1.7. Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a) el
producto vectorial, (b) el producto escalar.
(a) A x B = ~a,o I= -16a" + 8ay + 12a.
O 6 -4
IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47
IBI = + (6)2 + (_4)2 = 7.21
lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54
(b)
Entonces, como lA x BI = IAIIBI sen 8,
21.54
sene = ( )( ) = 0.668
4.47 7.21
A' B = (2)(0) + (4)(6) + (0)(-4) = 24
=~= 24 =0745
cose IAIIBI (4.47)(7.21) Ó
ó
1.8. Dado F = - l)a" + , hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde
B = 5a" - ay + 2a •.
F(2,2, 1) = (2 - l)a" + (2)(2)ay
= a" + 4ay
Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un
segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del
segundo vector y utilizando el producto escalar.
A B
Proy. A sobre B= A' B = W
Entences, en (2, 2, 1),
B (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) 1
Proy. F sobre B = lBT = =
Proy. A sobre B
Fig.1-9
1.9. Dados A = a" + ay, B = a" + 2az, y e = 2ay + a,; halle (A x B) x e y cornpárelo con
A x (B x C).
l
a"
(A x B) xC = ~
aya"
- 2 - 1 = - 2ay + 4a.
2 1
Entonces
Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el
producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial.
En el problema 1.9, B x e = - 4a" - ay + 2a.. Entonces
1.10. Utilizando los vectores A, B Ye del problema 1.9, halle A • B x e y cornpárelo con A x C.
B x e = (1)(-4) + (1)(-1) + (0)(2) = -5
7
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8 ANALISIS VECTORIAL . l.
También en el problema 1.9, A x B = 2ax- 2ay- a, . Entonces
A x e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1) = -5
Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro-
ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que:
Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos
escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo.
I.lI. Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el
eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas cilíndricas. Ver
figura 1-10.
h
El vector R es la diferencia de dos vectores:
R = ra, -
R ra, - haz
aR = - = ---..,==~-=-
IRI 2
+ h2
El ángulo <jJno aparece explícitamente en estas expresiones.
De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor inter-
medio de a..
Fig. 1-10
1.12. Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde
un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se
muestra en la figura 1-11.
Como el problema está planteado en coordenadas carte-
sianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente
a dos puntos. x
R = - xax - yay + 5az
-xax - yay + 5az
aR = --;~=~~:::---=
Fig. 1-11
1.13. Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;; sobre la concha
esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t?
El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)]
dS = r2
sen8d8d<jJ
Entonces
P
A = J J a2
sen8d8d<jJ
o •
= 2
(cos - cos P)
Cuando e = 9 y P = 1t, A = 47t0
2
, área de toda la esfera.
Fig.I-12
1.14. Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen.
En la figura l-5(c), do = r2
_sen 8 dr dO d<jJ. Entonces
h " • 4
v = J f J r
2
sen8drd8d<jJ = -3 3
o o o AEP
AEP](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-14-320.jpg)
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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área
de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r =2 m,
h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13).
El elemento diferencial de superficie es dS = d4Jdz. Entonces
S 2Kf3
A = f f 2d4Jdz
o ~f6
= 571:
m2
1.16. Transforme
, /
de coordenadas cartesianas a cilíndricas,
Recurriendo a la figura 1-2(b),
x = rcos4J = sen4J = +
En consecuencia,
En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az:
a" . a~ = -sen4J
ay . a~ = cos 4J
a.' a4>
= O
a,,' a. = O
ay' a. = O
a% • az = 1
a" . ar = cos 4J
a, . a, = sen4J
az' a, = O
Así pues a" = cos 4Ja, - sen4Ja4>
ay = sen4Ja, + cos 4Ja4>
ll: = az
y
Sm
Fig. 1-13
1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figu-
ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas.
En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como
lOa" donde 4J= 71:/4.En consecuencia
71: 10
= lOcos-=-.-
" 4 fi
71: 10
= lOsen-=-
y 4 fi
. = O
así que
Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario.
Problemas suplementarios
1.18. Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a" + 3ay, encuentre la proyección de A sobre B.
Fig. 1-14
esp. 12/,ji3
1.19. Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay + a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la
dirección de A, sp. 1.50 (a" + a.)
-
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-
[CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL
1.34. Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos
('1' l' ZI) Y 2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas.
1.35. Verifique que la distancia d entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por:
1.36. Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas
esféricas. sp. - 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a,
1.37. Halle la distancia entre (2, ni«, O) y (1, n, 2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas.
3.53
1.38. Halle la distancia entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas.
2.0
1.39. Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;; :<:;; sobre la concha esférica de
radio ¿Cuál es el resultado cuando I = esp. 21 2, = 2
1.40. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio y
radio h. sp. 2
1.41. z
Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el
volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.
sp. 2
h
1.42. Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas
diferenciales de superficie I y 2 y luego integre para
obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la
figura 1-15. sp. n/4, n/6
1.43. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de
una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio
externo 2.02 m. . 0.162 m3
Fig. 1-15
1.44. Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen
definido por 1 :<:;; :<:;;2 m, 0:<:;; O :<:;;n/2, y 0:<:;; :<:;; n/2. esp. 7 Ir ti
-m
6
1.45. Transforme el vector A = a, + + a, a coordenadas cilíndricas.
A = cos c + AysencJ»a, + (- AxsencJ>+ cos cJ»a4>
+ a,
1.46. Transforme el vector A = a, + ao + a4>a coordenadas cartesianas.
.
/
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12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1]
1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.
F = xax + y + za.
2 + + Z2
1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es
normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas.
xax +
. 2 + = const., F = y
+
1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a, + sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas.
3xzax + + 2 - 2 -
. F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--''
2 + + Z2
1.50. Dibuje el campo vectorial F = ya, + . . Véase figura 1-16.
y
5'1r/8
'lr/8
3'1r/8
1E'------.lr-----Ir-----1>-- 'Ir12
Fig. 1-16
--40:::---f---+-:---r---- ~
= 'lr/2
?'lr/8
I~= plano constante I
~ = 3'1r/8
Z = plano constante
O ~ ~ ~ 'lr/2
~=O
Fig. 1-17 Fig. 1-18
1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos q,a, + ral/>' . Véase figura 1-17.
1.52. Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. . Véase figura 1-18.
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![14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2
En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ca mpo de fuer za de simetría esférica. Este se
pone en evidencia cuando la cargaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T'
se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las
dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde- I
nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F = Q Q T 8
T 4nE
o
r 2 ,
•
Q
x
Fig.2-2 Fig.2-3
Debe observarse que, a menos que Q T ~ Q , el campo simétrico alrededor de Q está perturbado por Q T .
En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma
r. = F Q T + F Q
Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con Q T' Cuando las dos
cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto
de los dos campos. Este es elpr incipio de super posición para fuerzas de Coulomb y se extiende a un número
cualquiera de cargas.
8 2.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para no
perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la intensida d de ca mpo eléctr ico,
E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T :
1 Q
E=-Q F T= - 4 28,
T nEo r
Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q [figura 2 -4 (0 )].
Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema
arbitrario de coordenadas cartesianas,
donde el vector separación R se define en la figura 2 -4 (b ).
Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-20-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z
/--I------I~ mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
Y
xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( a ) Esférico
Fig.2-4
2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA
E
(b ) Cartesiano
Carga volumétrica
Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al
campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración para
obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un
protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una
densida d de ca r ga por
Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m3 siempre que las
variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m3 para v ) . Esta convención será
utilizada a lo largo de todo el libro.
En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial
dQ produce un campo eléctrico diferencial
dQ
dE = 4 R2 aR
1tE:o
en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de la
región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P
se obtiene por integración sobre el volumen:
f
paR
E = 4 R2 d v
v 1tE:o
Carga laminar (superficial)
La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o
una lámina. Entonces cada carga diferencial dQ que esté sobre la
lámina produce un campo eléctrico diferencial
en el punto P (véase figura 2-6). Si la densida d super ficia l de ca r ga es
ps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región,
entonces el campo eléctrico total en P es
E=f p ,a R2dS
s 41tE:o R .
Fig.2-5
P /d E
•
s
Fig.2-6
Carga lineal
Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea
produce un campo eléctrico diferencial
15](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-21-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO I7
Problemas resueltos
2.1. Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5 0 /-le ymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q 2 = 10 /-le ,
están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O) m res-
pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so-
bre QI'
z
R2l = -4a" - 3az
-4a" - 3az
a2l = 5
Q lQ 2
F 1 = 2 a21
4nEo R21
= (50 X 10-6
)(10-5
) (-4a" - 3az)
4n(1O 9j36n)(5)2 5
= (0.18)(-0.8a" - 0.6az) N
Q ¡ ( - 1 ,1 ,- 3 )
Fig.2-10
La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6az
• En forma de
componentes
F¡ = -O.l44a" - 0.108az N
2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas
iguales de 20 /-le están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m.
Considere la fuerza debida a la carga en y = 4
z
(10-4
)(20 x 10-6
) (-4a, + 3az)
4n(10 9j36n)(5)2 5
La componente y se anula por la carga en y = - 4. En
forma similar, las componentes x debidas a las otras dos
cargas se anulan. Por consiguiente,
x
Fig.2-11
2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql = 300 /-le , situada en [I, - 1, - 3) experimenta una
fuerza
F 1 = Sa, - 8ay + 48% N
debida a la carga puntual Q 2 en (3, - 3, - 2) m.
Determine Q 2
R21 = -2a" + 2a, - az
Observe que, como
z
la fuerza dada está a lo largo de R21 (véase proble-
ma 1.24), como debe ser.
Fig.2-12
Resolviendo. Q 2 = - 40 ¡,te.
/](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-23-320.jpg)
![18zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPON
J ,le que
está distribuida uniformemente sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
Z = O m (véase figura 2-13).
La densidad de carga es
_5? _500nx 10-
6
-02 0-4C12
P s - - ()2 -. xli m
A n 5
(0, O, 5)
z
En coordenadas cilíndricas,
R = -ra, + Sa,
Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza
diferencial
dF = _(5-:0_x~1O -:-
-r- 6--,)(p:-:-s-c;-r_dr_d_< jJ..,.)
(-ra, + 5a.)
4n(1O 9/36n)(r2
+ 25) Jr2 + 25 ,
x
Fig.2-13
Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anula y que a, es constante. En consecuencia,
F = f2n f5 (50 x 10-6
)(0.2 x 1O -4)5rdrd< jJ
o o 4n(1O 9/36n)(r2 + 25fl2 a.
,5 rdr [ -1 J s
= 90n J (2 2 )312a: = 90n P+2s a: = 16.56.% N
o r + 5 r2 + 25 o
2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m.
Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor
P 2 = (5)2 = 625
p ¡ (2)2 .
mientras la integral sobre r se convierte en
2 rdr
fo (r2 + 25)312 = 0.0143 en lugar de
s r dr
f (2 2 )312= 0.0586
o r + 5
La fuerza resultante es
(
0.0143 )
F = (6,25) 0.0586 (16.56a: N) = 25.27.: N
2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual Q en (X I' Y I, Z I)' Repita el
ejercicio con la carga colocada en el origen.
Como se muestra en la figura 2-14,
z
Entonces P ( x ,y ,z )
Q
E=---a
4n(0 R2
R
Q (x - x ¡)a x
+ (y - y ¡)a y
+ (z - z¡)az
4n(0 t(x - X ¡)2 + (y - y ¡)2 + (z - Z ¡)2 ]3 1 2
..) - - - - - ~ y
Cuando la carga está en el origen,
E =.J?..- x a x + y a y + za:
4n(0 (X 2 + y 2 + Z2 )312
pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coordenadas esféricas con Q en el origen,
x
Fig.2-14
y ahora la simetría es evidente.
Q
E=·--.
4n(0 r2
,](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-24-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
19
2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4 nC localizada en (-4, 3, 2) m, en coordena-
das cartesianas.
La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q situada en el origen es en coordenadas esféricas:
En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R = 48x-
38ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y - 28e '
64.4 X 10-
9
(48x - 3ay - 2az) (2 )(4ax - 38y - 2az)
E = = 00 - V/m
41t(10 9/361t)(29) f o . yl29
2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35 )J.C en (O, 4, O) m y Q 2 = -0.55)J .C en (3, O, O) m (ver figu-
ra 2-15).
y
R1 = -48y + 58z
R2 = -38x + 58z
0.35 X 10-6
(-48y + saz)
El = 41t(1O 9/361t)(41) J4t
= -48.0ay + 6O.0a. V/m
-0.55 x 10-6
(-38x + 58z)
E
2 = 41t(1O 9/361t)(34) f o
= 74.98x - 124.98. V/m
E = El + E2 = 74.9ax - 48.08y r : 64.98z V/m
y
x
Fig.2-15
2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una línea recta infinita, con densidad p ¡ .
Desarrolle la expresión para E en un punto general P .
Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga el
eje z (ver figura 2-16). En P ,
z
too
•
dE = ~ (r8r - Z8i)
41ttoR2 ~
Como para cada dQ en Z hay otra carga dQ en-z, las componen-
tes z se cancelan. Entonces
P t r [ z ] 00 P t
- 8 - a
- 41tto r2~ -00 r - 21ttor r +-00
Fig.2-16
2.10. Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente una carga de densidad
P t = 20 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4) m.
Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el
problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene
componente z. Respecto de la figura 2-17,
20 X 10-9
(-4ax + 38y )
y E = 21t(0(5) 5 = - 57.68x + 43.2ay V/m](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-25-320.jpg)
![20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.11.
2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE CO ULO M B E INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO [CAP. 2mlkjihgfedcba
y
(0,4, z)
/~ x
y
p'/E
p/ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( 0 , - 4 ,.z )
Fig.2-17 Fig.2-18
Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t = 4 n C I m caen en el
plano x = O en y= ±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m.
Las líneas de carga son ambas paralelas a 8 z; sus campos son radiales y paralelos al plano xy. Para
cualquier carga lineal la magnitud del campo en P es
P t 18
E=--=-V/m
21Uo r .J2
El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición,
Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito
con densidad P s'
Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con
la carga en el plano z = O como se muestra en la figu-
ra 2-19.
z
d E
P (O , 1/1, z)
y
La simetría respecto del eje z produce la cancelación de
las componentes radiales.
P . z [ -1 ]co P .
- a - 8
- 2<0 J r2 + Z 2 o % - 2<0 %
x
Fig.2-19
Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por
debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o
vector unidad normal:
P.
E= -a.
2(0
El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud es independiente de la distancia al
plano.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-26-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
yZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 3 m se distribuye uniformemente una carga de
densidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos.
Para y> 3 m,
E
P .
=-a,.
2(0
»A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3, z )
lE
y para y < 3 m,
E = -30a, V/m z
Fig.2-20
2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada
una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P ., se localizan en x == ± 1
(figura 2-21). Determine E en todas las regiones. p . p .
x
O
E2 E2 E2
--- ~
~
-- --
El El El
1 2
Fig.2-21
En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos
láminas de carga. Ambas láminas producen campos E
que se dirigen a lo largo de x, independiente de la
distancia. Entonces
x < -1
-1<x<l
x>l
2.15. Repita el problema 2.14 con P . sobre x = -1 y-P . en x = 1.
x < -1
-1<x<l
x > 1
2.16. Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-.
forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m.
Las dos configuraciones de carga son paralelas al
eje x. En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando
hacia plano x y desde x positivo. Debido a la carga
laminar,
E
P •
•=-a,.
2(0
z
E. = -6a. V/m
5
Es
En P , a,. = -a. y ~ ::-+ ~ 4 -----+ - y
Debido a la carga lineal,
Fig.2-22
y en P
El campo eléctrico total es la suma
El = 8a, - 6a. V/m
E = El + E. = 8a, - 12a. V1m.
21](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-27-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23
2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
</> ,1) debido al disco
uniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r :::;; a , Z =0 (ver figura 2-26).
Si la densidad de carga constante es P .,
z
dE
(O ,rp ,h )
La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p.h 2" G r dr d o
E = 41tlo fo fo (r2 + h2)3/2 a.
. p.h (-1 1)
= 21'0 J a 2 + h 2 + h a.
Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J2lo}a ., el campo
debido a una carga laminar uniforme.
y
a
x
Fig. 2-26
2.21. Hay una carga sobre el disco circular r s; a , Z = O de densidad P . = P o sen- </> • Determine E en
(O, </> ' h ) .
dE = po(sen
2
tjJ)rdrdtjJ (-ra r + ha.)
41tlo(r2 + h
2
) Jr2 + h2
La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se
cancelan.
2.22. Hay una carga sobre el disco circular r :::;;4 m, Z = O de densidad P . = (1O-4
/r) (C/m2).
Determine E en r = O, Z = 3 m.
dE _ (l0-4/r)rdrdtjJ (-ra r + 3a.) (V/m)
- 41tlo(r2 + 9) P+9
Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría.
2" 4 drdtjJ
E = (2.7 X 106
) f f (2 )312 a. = 1.51 x 106
a. V/m o 1.51a. MV/m
o o r + 9
2.23. Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;
2 m,
- 2 :::;;
Y ~ 2 m con densidad de carga P . = 2(x2 + y2 + 9)3/2 n c¡ m2• Halle E en el origen.
De la figura 2-27
R = -xax - ya y + 3a. (m)
dQ = p.dxdy = 2(x2 + y2 + 9)3/2 X 10-9
dxdy (C)
z
y así
2(x2 + y2 + 9)3/2 x 1O -9dxdy
dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'-
41tlo(X2 + y2 + 9)
x ( - xax - ya y + 3a.) (V/m)
JX2 + y2 + 9
dE
(~2,-2, -3) .k----- y
(-2,2, -3)
x
Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E.
(2, -2, -3)
f
2 f2 6 x 1O -9
dxdy'
E = a, = 864a. V/m
-2 - 2 41tlo
Fig. 2-27](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-29-320.jpg)
![24zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.24. Una carga de densidad uniformemlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Ps = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2x-3y+ z = 6 m. Halle E en el
lado del plano que contiene el origen.
Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = pJ2éoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y E = (17,O)an V[m. Los vectores
unidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son
Aa x + Be; + Caz
a = + z
n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
j A 2 + B 2 + C2
Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son
(O, O, 6)
- + - - - - + - y
De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del
plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo
eléctrico en el origen es
E = (17.0)( -2ax +~ y - a,) V/m
v'14
x
Fig. 2-28
Problemas suplementarios
2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡ =250 ¡,tCy Q 2= - 300 }J .C , están localizadas en (5, O,O) m y (O,O,-5) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobre Q 2' Resp. F2 = (13.5)( axfia, ) N
2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡ = 30 ¡,tC y Q 2= -100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobre Q ¡ . Resp. F1 = (0.465)( - 3Jis 7.%) N
2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobre Q 2' Resp. - F ¡
2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 IlC , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobre
una carga puntual de 100 jJ.C situada en (O, O, 3) m. Resp. 1.73 a , N
2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m
Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo.
Resp. (79.5)(- an) N
2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007r
IlC en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida
sobre un disco circular. Resp. 28.3 a, N
2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el
plano z = Oentre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 }J .C , distribuida uniformemente.
Resp. 4.66 a, N
2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de
densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo.
2.33. Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia d (m). Exprese el campo
eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas.
Resp. Si las cargas están en x =0 y x = d. entonces, para O < x < d,
º [1 1]
E = 41Uo x2 - (d _ X)2 a, (V/m)](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-30-320.jpg)
![CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25
2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la
fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q2/ 4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1rEo t2) N .
2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad de carga uniforme P . es el mismo
que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro.
2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para E debido a una configuración de carga recta infinita-
mente larga con densidad uniforme p~. Resp. E = ~ xa", + ya y
2nio x2 + y2
2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z conZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
P ~ = 20 nC/m.
Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín-
dricas. Resp. 21.6a", + 28.8ay V/m, 36a, V/m
2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P t= 4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y = ±4m. Deter-
mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.' Resp. ± 18 ax V/m
2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la
otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m. Resp. 30az V/m
2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, con p ( = 3.30 n C/ m, locali-
zada en x = 3 m, y. =4 m. Resp. -7.13a", - 9.50ay V/m
2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos será igual el valor de E? Resp. (O, O, z)
2.42. A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje z es 1.80 x 104 V/m.
Encuentre la densidad de carga uniforme P ~. Resp. 2.0 J l.C /m
2.43. El plano- x+ 3y-6z = 6 m contiene una distribución uniforme de carga P . = 0.53 nC/m2• Encuentre E enel
lado que contiene el origen. Resp. 30(a", - 3ay + 6az) V/m
J46
2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n) C/m2 están localizadas en z= -5 y y =
- 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en
(4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O. Resp. 0.667 nC/m
2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi-
dad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En
qué puntos de la región será E igual a cero? Resp. (x, - 2.273,2.0) m
2.46. Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3 n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme
de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m.
Resp. 8ay V/m
2.47. Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar
uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo una
componente z. ¿Cuál será P . de la carga laminar? Resp. 125 p Cj rn?
2.48. Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx = 3 m,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a
2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen.
Resp. 5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m.
2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga
uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E
en (O, O, 5) m. Resp. 100.5 nC
2.50. El disco circular r ~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad de carga P . = 10 8/ r (C / m-). Determine el
campo eléctrico E para el punto (O, <p ' h). Resp. 1.13 x 10
3
a, (V/m)
h..j4 + h2](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-31-320.jpg)
![CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS 29
l. La superficie es cerrada.
2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH
3. D tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie donde D es normal.
EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, conXWVUTSRQPONMLKJIHGF
p ( ( c ¡ m).
Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede
tener una componente r , y esta componente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este
problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss,
Q= f D·dS+ f D'dS+ f D·dS
1 2 3
D Y dS son ortogonales respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto de 2 , D Y dS
son paralelas (o antiparalelas, si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues
D = -~
21tr
and D=~a
21tr r
Q = D f dS = D (21trL)
• 2
donde L es la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q = p ( L . Por lo tanto,
Obsérvese la simplicidad de la derivación anterior si se compara con el problema 2.9.
00
D
D
D
-00
-00
Fig. 3-5 Fig. 3-6
La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado
para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones, el método puede pro-
veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble-
ma 3.40.
)
-/](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-35-320.jpg)
![FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3
30
Problemas resueltos
3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBA
y O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLK
p = 30x2 y
(p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m?
Como dQ = pdv, z p(x,y,z)
1 1 1
Q = J J f 30x2ydxdydz
o o o
= 5 J .1 .C
Para el cambio en los límites de y.
I o 1
Q = J f J 30x2ydxdydz
o - 1 o
= -5 J .1 .C
x
Fig. 3-7
3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si
Por integración,
3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super-
ficie S.
¿Qué flujo neto cruza por S?
Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega-
tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa.
'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC
3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri-
bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2r
( C jm 2)?
2 n 4 (sen2cjJ)
'1' = Q = J f ._- r d r d c jJ = 211: C
o o 2r
s
Fig. 3-8 Fig. 3-9
3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S.
¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?
Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo neto fuer a de S será
cero si las cargas son de la misma magnitud.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-36-320.jpg)
![CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P . = 12 sen 1> p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C I m? está encerrado por una
superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?
2x 4
'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlC
o o
Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no
hay un flujo neto que cruce por S.
3.7. Carga en la forma de una hoja plana con
densidad P s = 40p.Cjm2 está localizada
en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor-
me de P t = - 6 p .C jm yace a lo largo del
eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie
de un cubo de 2 m de arista, centrado en el
origen, tal como se muestra en la figura
3-10?
z
- - . . . . . •
~ ~ y
La carga encerrada en el plano es Q = (4 m -)
( 4 0 J lC /m 2) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =
(2 m)(- 6 J l C jm ) = - 12 ¡,¡C
Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C
x
Fig. 3-10
3.8. U na carga puntual Q está en el origen
de un sistema de coordenadas esféricas.
Encontrar el flujo que cruza la porción
de una concha esférica descrita por
()(
~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re-
sultado si a = O Y P = 1 t j2 ?
z
El flujo total 'P = Q cruza una concha
esférica completa de área 4 nr ". El área de la
franja está dada por
2. P
A = f f r
2
sen8d8dq,
o •
= 2nr2( - cos fJ + cos IX)
- - - - - - - - - ~ ~ y
Entonces el flujo a través de la franja es
A Q J
'f. - - Q = - ( - cos f3 + cos IX)
neto - 4 1 tr 2 2
Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe-
rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f2 .
Fig. 3-11
3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i.C j m , yace a lo largo del eje x . ¿Qué flujo por unidad de
longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m?
El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la
franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12.
IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad
Entonces
!.= 50(1.176) = 9.36 J 1 C fm
L 2n
3 1](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-37-320.jpg)
![FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33
CAP. 3]
3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA
= lüxa, (e/m2), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWV
x = 3 m.
Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,
3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0
m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Z = 2 m, tP = 53.20
si
D = 2xa x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2)
z
En el punto P (ver figura 3-15),
x = 1Ocos53.2° = 6
Y = 1Osen53.2° = 8
Entonces, en P ,
D = 12a" - 14a, + 8az C/m2
El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa-
rada con las unidades en D, puede aproximarse así:
x
Por lo tanto,
Fig. 3-15
d'l' = D' dS = (12a" - 14ay + 8az)' 1O-6
(0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que
hacia afuera en la dirección de dS.
3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los
ejes coordenados.)
'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)·(-dSa,,)
x=l x=-l
+ f [Zxa, + 3ay) . (dS ay) + f (2xa" + 3ay) . (-dS ay)
, = 1 y = - I
+ f (2xa" + 3a~).' (dS az) + f ' (2xa" + 3a,) . (-dS a.)
e= 1 :=-1
J
= 2 f dS + 2 f dS + 3 f dS - 3 f dS + O + O
,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1
= (2 + 2 + 3 - 3)(22
} = 16 C
3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén-
trico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t) u C ] m2• Ambas distribuciones son infinitas en el sentido
de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-
plo 1, sección 3.5,
D - P t
- 27tr a, 0<r<2](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-39-320.jpg)
![34
3.18.
FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
B .
e., = f D·jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dS
(P t + 47tp.)L = D (2TtrL)
de lo que se desprende que
D _ P t + 47tP .
- 27tr Sr
r> 2
[CAP. 3
z
t
Fig. 3-16
z
t
oo
Jt-
~dZ
T
y
X
t -00
Fig. 3-17
Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sre : 2r (C/m3). Utilice
la ley de Gauss para hall~r D. ".
Como P no es una función de (jJ o z . el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r
constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial
apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de
Gauss es .
3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad
uniforme de carga p (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
Para los datos numéricos,
0.477
-- Sr (¡.tC ¡m2)
r
D = 0.239
-- Sr (¡.tC /m2)
r
0<r<2m
r>2m
3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua-
les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-
lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo.
Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga
que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente
cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani-
llos. Para la superficie gausiana l.
Qenc = O = D f dS
En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc-
ción radial, se puede tomar una tajada dz del cilindro de carga y el
resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este
anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el
plano del anillo, D y E son cero.
e., = f D· dS
superficie
lateral'
L 2ft ,
f f f 5re- 2rr dr d (jJ d z = D (2nrL)
O O O
5nL[e-2r
( _r2
- r -1 ) + 1 ]= D (2nrL)
Por consiguiente D = 2.5 [1- e- 2r(r2 + r + 1)]Sr (C/m2)
r](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-40-320.jpg)
![CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS 35
De la figura 3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p (C /m 3)
Q.nc = D (2nrL)
D=O
Para 2 ~. r ~ 4 m,
npL(r2 - 4) = D (2nrL)
D =.t (r2
- 4)a, (C/m2)
2r
----- -~---
/- - -.......•.. ,
r : ---)
-------""
Para r > 4 m,
12npL = D (2nrL)
D = 6 p a, (C/m2)
r
t -00
Fig. 3-18
3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::;a contiene una densidad uniforme de car-
ga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres-
pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el
mismo campo D para, > a ?
Para una superficie gausiana como ~ que aparece en la figura 3-19,
z
y
pr
D=-a
3 '
r :5: a
+ - - - - - l~ Y
Para puntos fuera de la distribución de carga,
x
r = a
p a
3
de donde D= -2 a,
3, Fig. 3-19
r > a
Si una carga puntual Q = (4/3}1ta 3p se coloca en el origen, el campo D para r > a será el mismo. Esta
carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen.
3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe-
rior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el
efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas.
Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa
superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior.
La frase despr ecie el efecto de bor des asegura que todo el flujo
es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial
mostrada en la figura 3-20,
Q.nc = f D· dS + f D . dS + f D . dS
arriba abajo lado
+ P ,
= 0+ f D ·dS+ O
abajo
~-P '
ó
p,A= D fdS= DA Fig.3-20](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-41-320.jpg)
![36 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3
dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A es el área. Por consiguiente,
y ELKJIHGFEDCBA
= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I!!. a. (V/m)
(o
Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa.
Problemas suplementarios
3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de
carga es
Resp. 84.9}J .C
3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; <p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga
P = 2z sen-' <p (C/m). Resp. 4.91 C
3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,
halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co.
Resp. 3.97 P o r~, 6.24 P o r~, 6.28 P o r~
3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga
¿Qué flujo neto cruza la superficie S? Resp. - 2po (C)
3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad
¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m?
Resp. -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C
3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica
en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para
k < a y k > a ? Resp. Q , Q '
3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica
centrada en el origen con, = 3 m? Resp. 18}J.C
,.
3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una
esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; <p :s; p . Resp.
{J -IX
-Q
2n](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-42-320.jpg)
![CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIATSRQPONMLKJIHGFEDCBA
4 1
En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representaraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d i d x . Los símbolos r y f
son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V,
solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin
embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A .
. _(i. i. ~) .(A A A ) _ o A " o A y o A z - di
V A -jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ax a" + ay ay + OZ sr "a" + .,al' + • az - OX + oy + OZ - IV A
De aquí en adelante, escribiremos la divergencia de un campo vectorial como V . A.
[ Atenciá nl El operador nabla sólo está definido para coordenadas cartesianas. Si V . A se utiliza para
expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador
nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas ci-
líndricas se escribe como
1 o 1 0 A .p o A .
V 'A = - - ( r A ) + - - + -
r or r r oq, iJ z
(véase sección 4.2). Esto no implica que
1 iJ 1 iJ () iJ ()
V == - - (r lar + - - - a + - - a
r ar r iJ q , .p OZ %
en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r esulta do fa lso si se utilizara en V V
(el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) ..
4.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA
La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . dS es igual a la carga encerrada.
Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede
obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues,
Pero p = V . D, entonces
f D' dS = J (V' D )dv
JI
Este es el teor ema de diver gencia , también conocido como teor ema de diver gencia de G a uss. Es el análogo
tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre
D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.
teorema de la divergencia fA' dS = f (V' A)dv
s v
Por supuesto, el volumen v es aquél que está encerrado por la superficie S.FEDCBA
E J E M P L O 2: La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico
Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-47-320.jpg)
![CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 43
En forma similar, las caras normales aTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a q , dan
y
para una contribución neta deaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 A q ,
- - - L v
r 04>
(2 )
y las caras normales a a, dan
yjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( A. + °o~z LZ) r L r .14>
para una contribución neta de
oAz
- L v
oz
(3)
Cuando (l), (2) Y (3) se combinan para dar §A . d S , la definición de divergencia es:
. 1 o(r A,) 1 oA4> oAz
d l v A = - - - + - - + -
r or r 04> oz
4.2. Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.
Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas,
E=~a
21tE o r '
Entonces
v . E = ~ ~ (r ~) = O
r or 21tE o r
La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r = O, donde la expre-
sión es indeterminada.
4.3. Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.
Para una carga puntual, en coordenadas esféricas,
Q
D = - 4 2 a,
1tr
Entonces, para r > 0,
4.4. Dado A = e -r(c o s x a , - sen x ay), hallar V' A.
4.5. Dado A = x
2
.x + y z a )' + x y a z , hallar V' A.
o o o
V ' A = - (X2) + - (yz) + - (xy) = 2 x+ z
ox ay OZ](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-49-320.jpg)
![44 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4
4.6. Dado ATSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
( sen ~x )a"" hallar V· A en x = l.
a ( 1 tX )
V . A = - 5x2
sen-
ax 2
(
1 t X ) 1 t 1 tX 5 1 t X 1 t X
= 5 X 2 cos - - + lOx sen- = - 1 tX
2
cos - + 10x sen-
2 2 2 2 2 2
y V· A l = 10.
x=l
4.7. Dado A = (X2 + y
2
t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).
y V· A l = -8.84 x 10-2
(2.2.0)
4.8. Dado A = r sen 4>FEDCBA
a , + 2r cos 4>a", + 2z2a%, hallar V· A.
1 a 1 a a
V ' A = - - (r2
sentj» + - - (2rcostj» + - (2z2
)
r a r r a tj> a z
= 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z
4.9. Dado A = r sen tP a , + r
2
cos 4>a", + 2re - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n/2, O).
1 a 1 a a
V' A = -- (r2
sentj» + - - (r2
costj» + - (2re-S
%) = 2sentj> - rsentj> - 10re-s%
r a r r a tj> a z
y
I
1 t 1 1 t (1) o 7
V· A = 2sen- - -sen- - 10 - e = --
(1/2.,,/2.0) 2 2 2 2 2
4.10. Dado A = 10 sen24> a , + ra", + [(z2/r)cos2 4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).
V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos2
tj>
r
y V .A I = 5
(2 .< 1 > . S )
4.11. Dado A = (5/r2) sen Ba, + r cot é a, + rsen Bcos4>a"" hallar V· A.
la 1 a 1 a
V· A = - - (5senO) + - - - (rsenO cotO ) + - - - (rsenO costj» = -1 - sentj>
r2
a r rsenO a o rsenO a tj>
4.12. Dado A = (5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa"" hallar V· A.
V . A = ~~ ( 5 ) + _ 1 _ ~ (10)+ _ 1 _ ~ (-r2
tj> senO ) = -r
,2 a r rsenO a o rsenO a tj>
4.13. Dado A = 5 sen O a, + 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n/4, n/4).
1 a 1 a ' cosO costj>
V' A = --- (5sen2
0) + - - - (5sentj» = 10-- + 5--
r seno a o r senO a tj> r r senO
y V 'A I =24.14
(0 .S .,,/4 .,,¡4 )](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-50-320.jpg)
![CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 45FEDCBA
4 . 1 4 . Sea D =jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas cartesianas y D = (P o z/TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Iz l)a: en las otras
partes. Halle la densidad de carga.
V·D = p
Para - l ~. z ~ 1.
y para z < - l ó z > 1,
L a distribución de carga aparece en la figu-
ra 4-5.
F i g . 4 · 5
4 . 1 5 . Sea
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 0
P = - - [b(r2 + z2r3!2r2] + - [b(r2 + z2r3J2z]
r or oz
= ~ f - ~ (r2
+ z2rS/2(2r3) + (r2 + z2r3/2(2r)] + b f - ~ (r2
+ z2t SI1(2z2) + (r
2
+ z2t3/2]
= b(r2 + z2rS/2[ -3r2 + (r2
+ z2)(2.) - 3z2 + (r2
+ Z2)] = o
a menos que r = z = O. (El campo dado D corresponde a una carga puntual en el origen.)
4 . 1 6 . SeaD=(lOr3j4)ar( C jm 2)enlaregiónO < r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar
(C j m 2) en cualquier otro sitio. Halle la densidad de carga.
Para O < r ~ 3 m,
y para r > 3 m,
1 o
p = - - (810/4) = O
r or
4 . 1 7 . Sea
D = º2'(1-cos3r)ar
n r
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.
p =..!.. ~ fr2 J L (1 - cos 3r)-] = 3Q sen3r
,2 or n r2 , nr2
4 . 1 8 . Sea D = 7r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.
1 o 1 o 56 cos O·
p = - - (7r4
) + - - - (28sen2
O) = 28r + - -
r2 or rsen () 0 0 r](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-51-320.jpg)
![CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 47
Para el lado derecho del teorema-de la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o a 30e-'
V ' A = -- (30re-') + - (-2z) = -- - 30e-' - 2
r or oz r
y
5 2n 2 (30e-' )aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f (V . A)dv = f f f -- - 30e-' - 2 r dr d o dz = 129.4
o o o r
4.23. Sea D = (lOr3
/4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de diver-
gencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8).
f D . dS = f (V . D )dv
z
Como D no tiene componente z, D 'dS es cero para la parte
superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en
dirección - .,.
10 2n 1 0
+ f f -4 (2)3.,' (2)d< jJdz e,
o o
x
- 2001t 2001t
= - - + 16-- = 7501t C
4 4
Fig.4-8
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
10 2n 2
f (V' D )dv = f f f (lOr
2
) r dr d o dz = 7501t C
o o 1
4.24. Sea D = (5,2/4)ar (C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia
para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9).
f D ' dS = f ( V ' D )dv
Como D sólo tiene componente radial, D· dS tiene valor diferen-
te de cero sólo en la superficie r = 4 m.
z
1 o
V· D = - - (5r4
/4) = 5r
r2
0r
2n tt/4 5(4)2
f D ' dS = t fo -4-.r· (4)2Sen8d8d< jJ .r = 589.1 C
Fig.4-9
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
2n n/4 4
f (V' D )dv = f f f (5r)r
2
sen8drd8d< jJ = 589.1 C
o o o](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-53-320.jpg)
![48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4FEDCBA
P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s
4.25. Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristasaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
~ r, r ~ O y r sen O ~ < jJ.
4.26. Muestre que V • E es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme.
4.27. El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± d f 2 sobre el ejejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z es
Q d
ETSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= --3 (2cosOa, +senOa9)
4 n (0 r
Demuestre que la divergencia de este campo es cero.
4.28. Dado A = e5x
a x + 2cosyay + 2 senz a ,; halle V· A en el origen. Resp. 7.0
4.29. Dado A = (3x + y2)a x + (x - y2)a)" halle V . A. Resp. 3 - 2y
4.30. Dado A = 2xya x + za y + yz2a z, halle V· A en (2, - 1, 3). Resp. - 8.0
4.31. Dado A = 4xya x - xy2
a y + 5 sen z a z' halle V . A en (2, 2, O). Resp. 5.0
4.32. Dado A = 2r cos- <jJa, + 3r2sen z aoj¡+ 4z sen- <jJaz , halle V ' A. Resp. 4.0
4.33. Dado A = (1 O /r
2)a ,+ 5e-2za z
' halle V 'A en (2,4> 1). Resp. -2.60
4.34. Dado A = 5 cos ra, + (3ze- 2'/r)a" halle V ' A en (n, 4>,z). Resp. - 1.59
4.35. Dado A = lOa, + 5 sen O a9, halle V • A. Resp. (2 + cos O)(lO/r)
4.36. Dado A = ra, - r2 cot 0 8 9 ' halle V . A. Resp. 3 - r
Dado A = [(10 sen- O )fr]a " halle V . A en (2 ,n /4 ,4 » .
4.37. Resp. 1.25
4.38. Dado A = r2
sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A. Resp. 4r sen O + C~4» cot e
4.39. Demuestre que la divergencia de E es cero si E = (lOO/r}a.¡, + 4Oaz•
4.40. En la región a ~ r ~ b (coordenadas cilíndricas),
y para r > b ,
Para r < a , D = O. Halle p en las tres regiones. Resp. O, P o, O
4.41. En la región O < r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (4r-1 + 2e-O
.
5
, + 4r -1
e- 0.5 ')ar, y para r> 2. D =
(2.057/r)a,. Halle p en ambas regiones. Resp. _e-O
.
5
" O
4.42. En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (lOr + (r2/3)]a" y para r > 2, D = [3/(128r)]a,. Halle p en
ambas regiones. Resp. 20 + r, O](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-54-320.jpg)
![CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 49
4.43. Sea DTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 10 senaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
O FEDCBA
a , + 2 cos O as. Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Resp.
senO
- (18 + 2cot2
O)
r
4.44. Sea
3r
D = - 2 - - a ,
r + 1
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 3(r 2
+ 3 )/(r 2
+ 1)2
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 4O e-l
,
4.45. Sea
4.46. En la región r ~ 1 (coordenadas esféricas).
D = (4' _ ~)a
3 5 r
y para, > l. D = [5/(63,l)]a,. Halle la densidad de carga en ambas regiones. Resp. 4 - ,2. O
4.47. La región r ~ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo E = (5r x 1O-5
/Eo)a, (V 1 m ). Halle la carga neta
encerrada por la concha, = 2 m. Resp. 5.03 x 10-3 e
4.48. Sea D = (5r2
/4)a, en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por, = l Y r = 2. Resp. 75n
4.49. Sea D = ( 1 0 r
3
/ 4 ) a , en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10. Resp. 800n -
4.50. Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por
la concha, = 2. Resp. 40n
2](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-55-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
51
(Recuérdese que 1 V/m = 1 N /e = 1 J /e · m.)
El trabajo realizado en una carga puntual en movimientovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
Q desde el puntoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
B hasta el punto A en un
campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo
realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:
(campos estáticos)
Tal campo vectorial se denomina campo conservativo.
EJEMPLO 2: Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 e es movida desde (2, O, O) m hasta
(O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y.
La trayectoria se muestra en la figura 5-2. Sobre el primer segmento, y = dy = dz = O, así pues
dW ='-2(Oa" - 4yay)' [Oa; + dYIl}. + Oa.) = 8ydy
dW = -2(2xa" - Oay)' (dxa" + OBy+ Oa.] = -4.xdx
Sobre el segundo segmento, x = dx = dz = 0, así que:
Por lo tanto,
o 2
W = -4 f xdx + 8 f ydy = 24 J
2 o
este es el mismo valor encontrado para la trayectoria del ejemplo l.
5.2 POTENCIAL ELECTRICO ENTRE DOS PUNTOS
El potencia/ del punto A con respecto al punto B se define como el trabajo realizado al mover una carga
positiva unitaria, Q u' desde B hasta A .
W A
VA B = - = - fE' di (J/C ó V)
Qu B
Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el
signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza Fa = - QE, que
fue' aplicada para poner la carga en equilibrio.
Puesto que E es un campo conservativo,
VA B = VA C - VB C
de aquí que VA B se considere como la diferencia de potencia/entre los puntos A y B. Cuando ~B es positivo,
debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde B hasta A y se dice entonces que el
punto A está a un potencial más alto que el punto B . En el ejemplo 1, si el punto B se toma en (2, O, O) m yel
punto A en (O, 2, O) m, entonces
24J
VA B = - = 12V
2C
El punto A está a un potencial más alto que el punto B, (lo está en 12 V). Además, el potencial VaA debe ser
-12 V, ya que V B A difiere de ~B sólo por la inversión de los límites superior e inferior en la integral
definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado. """
Pt
EJEMPLO 3: Encuentre el potencial de A , (1, <P, z ), con respecto a B ,
(3,1> ', z"), en coordenadas cilíndricas, donde el campo eléctrico es pro-
ducido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8,
(V 1m ).
Debe anotarse primero que di tiene componentes en las direcciones'
aro a~, ya; y que E tiene dirección radial. Entonces E . dI = Ei dr, yasí
A 1 50 1
VA B = - fE' dI = - f - dr = - 50 In -. = 54.9 V
8 3 r 3
El punto A está a un potencial más alto que el punto B .
r= 3 m
Fig.5-3](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-57-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 53ZYXWVUTSR
M (x,y,z)vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ dx ; y + dy ; z + dz)
y
x x
(a)
Fig. S-S
Por el cálculo, el cambio en V desde M hasta N está dado por
av av av
dV = -dx + -dy + -dz
ax ay az
Ahora, el operador nabla, introducido en la sección 4-4, sobre V da
De lo que se deduce que
dV = VV· dr
z
~ V(x,y,,)",
V (x, Y. z) = el
y
(b)
El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gradiente de la función escalar V. Se ve que
para una Id rl fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional a la proyección de VV en esa
dirección. Así pues VV yace en la dirección de máximo incremento de la función V.
Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie
equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = Cl [ver figura 5-5 (b)]. Entonces dV = O lo que implica que
V V es perpendicular a dr. Pero dr es tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización
adecuada de N, éste representa cualquier tangente a través de M. En consecuencia, VV debe estar a lo largo
de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I
hacia V (x, y, z) = c2, donde C2 >cl• El gradiente de unafunción potencial es un campo vectorial el cual
es en todo punto normal a las superficies equipote.nciales.
El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en
el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la
distancia en dirección del vector unidad particular.
av av av
VV = a,: a, + r ao ao + rsenO acIJ a4>
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier sistema coordenado, debe recordarse que el operador
nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-59-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 55
Otras expresiones (ver problema 5.15) para la energía almacenada sonYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR
2
~= -f-dv
2 (.
En un circuito eléctrico, la energía almacenada en un condensador está dada por
1 1 2
WE = -QV = -CV
2 2
donde C es la capacitancia (en faradios), Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores que constitu-
yen el condensador y Q es la magnitud de la carga total sobre uno de los conductores.
EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las
placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico.
Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)an entre las placas y E = O en cualquier otro lugar.
1 f 2
W E = 2 a: dv
e (V)2
= 2 d f dv
+
v.= ..
Fig. 5-7
Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por
medio de la ley de Gauss (sección 3.3).
Entonces
Problemas resueltos
5.1. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = - 20 J1.C desde el origen hasta (4, O, O) m
en el campo
E = (~+2Y~" + 2X8y (V/m)
y
y
dW = -Q E ' di
= (20 x 1O-6)(~ + 2Y)dX
W= (20x 1O-6)((~+ 2Y)dX
= 80pJ
(4.2. O)
Para una trayectoria a lo largo del eje x. di = dx a".
(0,0,0) (4.0,0)
I
x
Fig. 5-8](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-61-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 57
5.6. Dada una carga lineal deZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p, = (10-YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
9 /2) e / m sobre el ejevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE
z, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes
(4 m , n, 5 m ).
A
VAS = - f E·dI
S
donde
Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr.
5.7. En el campo del problema 5.6, hállese VBC• donde r , = 4my r C = 10 m. Luego, determínese VACY
compárese éste con la suma de VAB y VBC•
VB C = -9[lnr]:: = -9(1n4 -In 10) = 8.25 V
V A C = -9[lnrt = -9(ln2 -In 10) = 14.49 V
V A B + V B C = 6.24 V + 8.25 V = 14.49 V = V A C
5.8. Dado el campo E = ( -16/ r2)a, (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto
(2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ).
Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r = 2 m sea A y r = 4 m,
sea B . Entonces
2 (-16)
VAB = - t 7 dr = - 4 V
5.9. Una carga lineal de p, = 400 p Cj m yace a lo largo del
eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O,
5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10).
Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.
z
Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordena-
das x de los dos puntos pueden ignorarse.
rA= J9+ 16= 5m rB = J25 + 144 = 13 m y
Línea de
carga
Entonces
V
f
rA Pt d p , rA
A B = - - - r = - --In - = 6.88 V
r. 27tE:o
r 27tE:o rB
Fig. 5-10
5.10. Halle el potencial en rA = 5 m respecto de r» = 15 m producido por una carga puntual Q = 500
p C en el origen y referencia cero en el infinito.
Debido a la carga puntual,
Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero.
500 x 10-
12
(1 1)
V AB = 47t(10 9/367t) 5" - 15 = 0.60 V](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-63-320.jpg)
![CAP. 5]
5.15.
ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 59
El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, esZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V IYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 2vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
fL p,dz
o 47Uo(Z2 + ri)I/2
= 2p, [1n(z+Jz2+d)]L
47tlo o
= ~ [In (L + J13 + d ) - In r¡)
27tfo
En forma similar, el potencial en el punto 2 es
Ahora si L ~ rl
y
V I :::; ~ (In2L - ln r.)
27tfo
Entonces -L
lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.
Fig. 5-13
Hay una carga distribuida en un volumen v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con
energía almacenada
Demuestre que una expresión equivalente para la energía almacenada es
La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R .
Como p es nula fuera de v,
tf 1· 1f
WE= - pVdv= -J pVdv= - (V'O)Vdv
2 lo' 2 volumen 2 volumen
esferoidal esferoidal
El vector identidad V' V A = A' VV + V(V' A), aplicado al
integrando, da:
WE = ~ f (V , VO)dv - ~ f (O ' VV)dv
2 volumen volumen
esferoidal esferoidal
Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente
grande. Se debe hacer R ....•co.
La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema
de divergencia, a
1 !
- j VO·dS
2 superficie
esferoidal
Esfera
Fig. 5-14](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-65-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
6 1
5.18. El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos envutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK
r = 0.01 m y r = 0.05 m está
dado por E = (105/ r)a, (V/ m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada
en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre.
1 e h+ O.S 2" O.OS(105)2
WÉ= 2f€OEZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
dv= if
h
fo fo
.
ol
-r- rdrd< jJdz= 0.224J
5.19. Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las
esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610
dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?
donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema.
Entonces
Q Q Q 4 x ' 10- 9 (1 1 1)
V I = 2 + 3 + 4 = _ + _ + _ = 97.5 V
41t(0 R J2 41t(0 R 1 3 41tEo RI4 41tfo 1 1 J2
W E = 2QI V I = 2(4 x 10-9)(97.5) = 780 nJ
Para sólo dos cargas,
o
2WE = QI VI + Q2 V2 = 2QI VI
-9 (4 x 10-
9
)
WE = Q I V I = (4 x 10) ¡; = 102 nJ
41tEoV 2
5.20. ¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·QI = 3 nC y . Q2 = - 3 nC, sepa-
radas por una distancia de d = 0.2 m?
2WE = QI VI + Q2 V2 = QI (4~:d) + Q2(4~:d)
W
E
= QIQ2 = _ (3 X 10-
9
)2 = -405 nJ
41t/:0 d 41t( 10 9/361t )(0.2)
por esto
Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2, y por con-
siguiente
1 f 2
WE= - fE dv
2 todo el espacio
es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para
ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía
infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo
separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, Ui = - 405 nJ, puede tomarse con el signi-
ficado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las
diferencias de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.
5.21. Una concha esférica conductora de radio a, centrada en el origen, tiene un campo potencial
v _ {Yo
Voajr
r~a
r> a
con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo
representa.
r< a
r> c.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-67-320.jpg)
![CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 63
plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de
intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límitevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Pr = (160/61t) nCfm? Resp. 247 Y
5.32. En coordenadas esféricas, el punto A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo EYXWVUTSR
= ZYXWVUTSRQPON
( -161 r2)a, (Y 1m), halle el potencial del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el
punto B. Ahora exprese la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema 5.8.
Resp. VA = 2 VD = - 8 Y
5.33. Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los
potenciales en r= 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r= 5 m,
pero opuesto en signo? Resp. 0.45 Y, 0.15 Y,oo
5.34. U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas cartesianas. Halle la diferencia de
potencial VAB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m. Resp. 2.70 Y
5.35. Halle el potencial en coordenadas esféricas producido por dos cargas puntuales iguales, pero opuestas sobre el
eje y= ±dI2. Suponga r ~ d. Resp. (Q d sen 8)/(41tt.or2)
5.36. Repita el problema 5.35 con las cargas sobre el eje z. Resp. (Q d cos 8)j(41tt.o r2
)
5.37. Halle las densidades de carga sobre los conductores del problema 5J 7.
Resp.
5.38. Una carga lineal uniforme con Pr = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny =3 m. Halle la diferencia
de potencial VAB para los puntos A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O). Resp. -18.4 Y
5.39. Una carga laminar uniforme, con P. = (I/61t) nCfm2
, está en x =0 y una segunda carga laminar, con P. =
(-1/61t) nCfm2, está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O).
Resp. - 36 Y, - 24 Y, - 60 Y
5.40. Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas E = (51 r)a, (Y 1m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1m
para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O). Resp. 8.47 Y
5.41. U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una dife-
rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada, suponiendo que t. = t.o. Resp. 11.1 nJ
5.42. El condensador descrito en el problema 5.41 tiene un voltaje
aplicado de 200 Y.
(a) Halle la energía almacenada.
(b) Mantenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en
200 Y, mientras se aumenta d2 a 2.2 cm. Halle la energía final
almacenada. (Sugerencia: Mtí, = t(iC)V2)
Resp. (a) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJl
1- o.sm---j
Fig.5-17
5.43. Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales iguales, Q = 2 nC, dispuestas en línea con 0.5
m de separación entre ellas. Resp. 180 nJ
5.44. Repita el problema 5.43 si la carga en 'el centro es -2 nC. Resp. -180 nJ.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-69-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 67
-e --e ---e --B o---
--ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
< D - -e
J J -e --0
-- ~~-e J O-
E E
-- ~ -e :--G
E
o--- -e
---e -=-e - G O-onmlkjihgfedcbaZYXW
o= ».»:fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+P+IJ+ a = PeIJe a = PeIJe + PhIJ"
(o) Liquido o gas (b) Conductor (e) SemiconductorEDCBA
F i g .6 - 4
conducción. Tales materiales se denominan semiconductores intr ínsecos. Los pares electrón-hueco tienen un
tiempo de vida breve y desaparecen por recombinación. Sin embargo, otros se van formando por lo que todo
el tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura 6-4(c), la conductividad
consiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos de
valencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores tipo p o tipo n. El
comportamiento intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra en
los materiales del tipo n o de huecos extra en los del tipo p. Así, en la conductividad u , una de las densidades,
P eo P h' excederá a la otra.
La corriente total 1 (en A) que atraviesa una superficie S está dada por
1= f J·dS
s
6 .6 C O R R I E N T E 1
(ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial de
superficie d S. Así pues, un resultado positivo en 1 indica que la corriente a
través de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto, J no tiene
necesariamente que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que ser una
superficie plana.
dS
F i g .6 - 5
EJEMPLO 1: Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra en
la figura 6-6 si la densidad de corriente es J = 15(1 - e-1000')az (A/m2
). El radio del
alambre es 2 mm.
Se escoge una sección transversal para S. Entonces
dI = J. dS
= 15(1 - e-1000')az' r dr dr /a z
z
y 2x 0.002
I=f f 15(1-e-1000')rdrdcp
o o
= 1.33 X 10-4 A = 0.133 mA
dS
Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste a la superficie externa
del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total, 1= 0.133 mA,
cruzándola,
6 .7 R E S I S T E N C I A R
J
F i g .6 - 6
Si un conductor de sección transversal uniforme A y longitud l, como el que se muestra en la figura 6-7.
tiene una diferencia de voltaje V entre sus extremos, entonces
V
E=-
t
y
J= uV
t](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-73-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 69
Fig.6-'EDCBA F i g .6 - 1 0
componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
nor ma l de K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así puesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
1 = f K"dt
c
6.9 C O N T I N U I D A D D E L A C O R R I E N T E
La corriente 1que cruza una superficie general S ha sido examinada para los casos en queZYXWVUTSRQPONML
J en la super-
ficie era conocida. Ahora, si la superficie es cer r a da , para que salga una corriente neta debe haber una dismi-
nución de carga positiva adentro:
l J . dS = 1 = - dQ = - ~ f p dv
j dt a t
donde la unidad normal en dS es ta dirección normal hacia afuera. Dividiendo por .1v,
Cuando .1v -+ 0, el lado izquierdo por definición tiende a V • J, divergencia de la densidad de corriente,
mientras el lado derecho se aproxima a -a pjot. Así pues
a p
V 'J = --
a t
Esta es la ecuación de continuida d de cor r iente. En ella p representa la densidad neta de ca r ga y no sólo-la
densidad de carga móvil. Como se verá luego, a pja t puede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentro
de un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V • J = 0, viene a ser el campo equivalente de la ley de
la corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores es
cero.
En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de un
campo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas.
Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con la ca r ga neta , porque cada electrón de conducción
está balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que la sarga neta es cero en cada .1v del material.
Supóngase, sin embargo, que en un desbalanceo temporal, una región situada dentro de un conductor sólido
presenta una densidad neta de carga Po en el tiempo t = O. Entonces, como J = <TE = (<T/E:)D,](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-75-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 71
La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D, = O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integral
también es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentro
del conductor, donde D y E son cero. Entonces,
fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D ·dS= f D ndS= f P sdSEDCBA
a r r i b a a r r i b a A
lo que sólo se cumple si
y E ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
= P .
n f
Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero
(componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo,
una carga superficial no implica una carga neta en el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga posi-
tiva en el origen de coordenadas esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esférica
conductora desca r ga da de espesor infinito, como aparece en la figura 6-13(a ), entonces el campo aún está
dado por
+Q
E = 4------Z a ,
Tta
excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. Las fuerzas de Coulomb causadas por + Q
atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una p s I de signo negativo.
Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga P s2
positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan la carga puntual + Q, terminan en los electrones de la
superficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13 (b). Entonces, unas líneas de flujo eléctri-
co 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse que
el flujo no pasa a través del conductor y la carga neta en dicho conductor permanece cero.
I }t
Ps2-----< ••.•••.
· /
/
(a) (b)
Fig.6-13
P r o b l e m a s r e s u e l t o s
6.1. Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una
corriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico E, la velocidad de corrimiento U, la caída
de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies.
Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es
[(
O.0808PUl)(2.54 X 10-
2 m)]2 -6 2
A = 1 t 1 = 3.31 x 10 m
2 pul](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-77-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 73
6.4. ¿Qué corriente se produce sitodos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico de
aluminio pasaran un punto determinado en 2.0 S? Supóngase un electrón de conducción por átomo.
La densidad del aluminio es 2.70 x 103 kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. EntoncesfedcbaZYXWVUT
N . = (6.02 x 1026)(_1_)(2.70 x 103) = 6.02 X 1028electrones/m!
26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
LQ (6.02 x 1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6 x 10-19 C¡electrón)
1 = - = = 4.82 kA
~t 2 s
6.5. ¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de 0.0046 m2jV·s y una
conductividad de 29.1 MSjm?
Como a = J1P,
y
P = ~ = 29.1 X 10
6
= 6.33 X 109 C/m3
J1 0.0046
6.33 x 109
N . = 19 = 3.96 X 1028electrones/m!
1.6 x 10
6.6. Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente.
A 3000 K hay 2.5 x 1019 pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il. =
0.38 m2/V·s y la movilidad de los huecos es Ilh = 0.18 m2¡v . s. Como el material no está contaminado, el
número de electrones y huecos es igual.
6.7. Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada
108 átomos. La densidad del germanio es 5.32 x 103
kg/m 3
y el peso atómico es 72.6 kgj kmol.
Existen
N = (6.02 x 1026)(_1_)(5.32 x 103) = 4.41 X 1028 átomos/m!
72.6
y esto nos da
N .= 10-8(4.41 x 1028)=4.41 x 102°electrones/m3
La concentración intrínseca n¡ para el germanio a 3000K es 2.5 x 1019 por m '. La ley de a cción de ma sa ,
N, N h. = n 2 t> da entonces la densidad de huecos así
(2.5 X 1019
)2
Nh = 2 0 = 1.42 X 101 8
lhuecos/ m3
4.41 x 10
Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6,
o = N.ell. + Nhellh
= (4.41 x 102 0
)(1.6 x 10-1 9
)(0.38) + (1.42 x 1'618)(1.6x 10-19
)(0.18)
= 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m
En el germanio tipo n el número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018
huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminante
de valencia cinco.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-79-320.jpg)
![74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
6.8. U n conductor de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Y
una densidad de corriente de 4.65ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x 105onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Al m '. ¿Cuál es la conductividad del material en el
conductor?
ComofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
'E = V/t y J = uE,
4.65 x lOs = u(.!2)
150
ó u = 5.37 X 107 S/m
6.9. Una tabla de resistividades da 10.4 ohms mil circular por pie de cobre templado. ¿Cuál es la con-
ductividad correspondiente en siemens por metro?
Un mil cir cula r es el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-3 pul).
[(
1O-3P
UI)( m)]2
I mil cir = 1t --2- 0.0254p~1 = 5.07 x 10- 10 m2
. La conductividad es el recíproco de la resistividad.
_ (_1 pie )(12 ~)( m)( I mil cir ) _ 7
U - lOA n . mil cir pul 0.0254pUI 5.07 x 10 10 m2 - 5.78 x 10 S/m
6.10. Un alambre de aluminio A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc-
tividad implica esto?
De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils.
[
32 X 10-3 ]2
A = 1t 2 (0.0254) = 5.19 x 10-7 m2
t = (1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)= 3.05 x 102
m
Entonces para R = t/uA,
3.05 X 102
u = (16.7)(5.19 x 10-7) = 35.2 MS/m
6.11. En un conductor cilíndrico de radio 2 mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el eje
de acuerdo a
Halle la corriente total l.
2~ 0.002
1 = f J. dS = f J dS = f f 103e-4oo'rdrdrj>
o o
[
e - 400, ] 0.002
= 21t(103
) ( 2 (-4OOr - 1) = 7.51 mA
-400) o
6.12. Halle la corriente que cruza la porción del plano y = O definido por - 0.1 ~ x ~ 0.1 m y _
0.002 ~ z ~ 0.002 m, si
0.002 0.1
I= fJ'dS= f f 1Q 2IXIBy·dxdzBy= 4mJ
-0.002 -0.1](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-80-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSl'DAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 75
6.13. Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= Odefinido por -n/4 ~ y ~ n/4 m y -0.01
~ z ~O.Olm, si
0.01 1 < /4 fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1= r J. dS = f f lOOcos2yax' dy dz e¿ = 2.0 A
• -0.01 -,,/4 .
6.14. Dado J = )03 sen ()a- Al m? en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esféri-
ca r = 0.02 m.
Como J Y
son radiales,
2" "
I = f f 103
(0.02)2 sen' O dO dI/J = 3.95 A
o o
6.15. Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con área A y longitud (
está dada por R = (/(lA, suponiendo una distribución uniforme de corriente.
Una sección transversal constante a lo largo de t produce un E constante, y la caída de voltaje es
v= fE 'dl=E t.
Si la corriente está uniformemente distribuida en el área A,
I = f J . dS = J A = u E A
donde u es la conductividad. Entonces, como R = V/I,
R= ~
u A
6.16. Determine la resistencia de aislamiento en una longitud t de cable coaxial, como se muestra en la
figura 6-14.
Suponga una corriente totall desde elconductor interno al
externo. Entonces, a una distancia radial r,
1k-4 - - t - - - ~ ¡
I
E =--
21tur t
• )
y así
I I
J=-=-
A 21tr t
Fig.6-14
La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces
• I I b
V. = - f -- dr = - - I n -
.b b 21tur t 21tut a -,
y la resistencia
V 1 b
R = - = - - I n -
I 21tut a](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-81-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 77
6.22. Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial de
cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P .ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= (P o/z) (Crrn"). Escriba una expresión para E en la superficie.
Ya que D n = P .. En = pJ €o. En (0.05, cp, z),
E= En a, =~a,
€o z
6.23. Un conductor que ocupa la región x ~ 5 tiene una densidad superficial de carga
p _ P o
s - Jy2 + Z 2
Escriba expresiones para E y D justo afuera del conductor.
La normal externa es - a x : Entonces, justo afuera del conductor,
y
E= P o (-a,.,)
€oJ y2 + Z2
6.24. Dos conductores cilíndricos concéntricos, r a = 0.01 m y r b = 0.08 m, tienen densidades de carga
P sa =40 pC/ m2 y P sb, tales que D y E existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquier otra
parte. Ver figura 6-18. HallefedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P sb , y escriba las expresiones para D y E entre los cilindros.
Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radial y
solamente función de r. Entonces, para ro < r < rb,
1 d
V • D = - - (r D ,) = O
r dr
ó r D , = e
Para evaluar la constante e, utilice el hecho de que D; = D, = P !SO
en r = ro + O.
e = (0.01)(40 x 10-12) = 4 X 10-13 C/m
Fig. 6-18
y así
4xlO-13
D = a, (C/m2)
r
y
D 4.52 X 10-2
E = - = a, (V/m]
€o r
La densidad P.b se encuentra ahora a partir de
l l
4xlO-13
P&b = D n = - D , = - = - 5 pC/m2
=,.-0 =,.-0 0.08EDCBA
P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s
6.25. Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad 38.2 MS/m y una
densidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29 m - 3. Resp. 1.40 x 10 - 3 m 2 / V • s
6.26. Repita el problema 6.25 (a ) para el cobre, donde (J = 58.0 MS/m y N, = 1.13 X 10
29
m-3; (b) para la plata,
donde (J = 61.7 MS/m y N , = 7.44 X 1028
m-3.
Resp. (a ) 3.21 x 10-3 m2 /V • s; (b)5.18 x 1O-3m2 /V • s.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-83-320.jpg)
![78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
6.27. Halle la concentración de huecos,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
NonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
h
, en germanio tipo p, donde ti =10. S/ m y la movilidad de los huecos es
Jlh = 0.18 m2/Y. s. Resp. 3.47 x 1023m-3
•
6.28. Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N ., si la concentración intrínseca es
ni = 2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x 1019m -3. Resp. 1.80 x IOIS m-3
6.29. Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo n para el que ti =10.0 S/m, Jl. = 0.13 m2/Y· s y
ni = 1.5 x 1016m-J. Resp. 4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J
6.30. Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8x IOJ
k g /m ! y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo.
Resp. 1.23 x 1029
6.31. Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si ti =58 MS/m y J.I =3.2 X 10-3
m2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 x 103
kg/ mJ. Resp. 1.13 x 1029,1.33
6.32. Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltaje
de 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad
de corrimiento de los electrones de conducción.
Resp. 21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s.
6.33. Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A.
Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de
conducción. Resp. 1.12 x 10-2 Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57 x lO-s m] ».
6.34. Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué con-
ductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG # zo es 32 mils.
Resp. 5.8 x 107
Sl t».
6.35. Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-3
O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Qué
conductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils.
Resp. 1.00 x 107 Sl m.
6.36. ¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetro
del AWG # 32 es 8.0 mils. Resp, 17.9 MS/m.
6.37. Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de
32 mm y paredes de 6 mm de espesor. Resp. 53.4JtO/m.
6.38. Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado (a) entre bordes
opuestos en la misma cara (b) entre las dos caras del cuadrado.
Resp. (a ) 1.03 m n ; (b ) 2.66 pn
6.39. Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG#
4/0 tiene un diámetro de 460 mils. Resp. 4.91 mn, 7.46 mO
6.40. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo'con una sección transversal circular y un radio
de 1mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo. Resp. 2.20 mn
6.41. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1m de largo con una sección transversal cuadrada de 1mm
de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en el otro extremo. Resp. 5.75 mn](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-84-320.jpg)
![CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 79
6.42. Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la
misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A hasta kA sobre (. Resp. ~ ( In k )
o A k-l
6.43. Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12
tiene un diámetro de 81 mils. Resp. 9.09 x 106 A/m2 .
6.44. Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con r de
acuerdo afedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
JZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 103
1 r (Al m2). Resp. 4 1tA.
6.45. En coordenadas cilíndricas, J = lOe-100'a~ (A/m2) para la región 0.01 ~ r ~ 0.02m,0< z ~ 1 m. Halle
la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano q, = constante.
Resp. 2.33 x 10- 2 A
6.46. Dada la densidad de corriente
en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica e = 1t,/4, 0.001 ~ r ~ 0.080 m.
Resp. 1.38 x 104 A
6.48. Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja
por el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m,
yen e = 1t/2 entra a una hoja plana. Escriba las expresiones
para las densidades laminares de corriente K en la concha esfé-
rica y en el plano.
Resp. 265 I lg (A/m), 7.96 a. (A/m)
sen é r
6.47. Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a los
ejes coordenados si J = 2x2
alO + 2xy3a y + 2xya . (A/m2
). Resp. 3.0 A
Fig. 6-19
6.49. Una corriente de filamento de I(A) baja por el eje zhasta z = 5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~ q, ~ 1t/4
de una concha esférica de radio 5 x. 10-2
m. Halle K para esta corriente laminar.
801
Resp. - - I lg (A/m)
1tsene
6.52. Un conductor sólido tiene una superficie descrita por x + y = 3 m y se extiende hasta el origen. En la superficie
la intensidad del campo eléctrico es 0.35 V[m. Exprese ES D en la superficie y halle P.'
Resp. ± 0.247 (alO + ay) V/m, ±2.19 x 1O-12(alO
+ ay) C fm.2, ± 3.10 x 1O-12Cfm2•
6.50. Una corriente laminar de densidad K = 20 a, Al m yace en el plano x = OYhay una densidad de corriente J =
lüa , Al m? en el espacio. (o) Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculo de radio 0.5 m centrado
en el origen en el plano z = O.(b) Halle la corriente que cruza el cuadrado Ixl ~ 0.25 m, Iyl ~ 0.25 m, z = O.
Resp. (o) 27.9 A; (b) 12.5 A
6.51. Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de
10 A en la dirección x positiva. Exprese K. Resp. l67ax A/m
6.53. Un conductor que se extiende dentro de la región z < Otiene una cara en el plano t = Oen el que hay una
densidad superficial de carga](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-85-320.jpg)
![C A P . 7 ] C A P A C IT A N C IA y M A T E R IA L E S O IE L E C T R IC O S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ
83
7.4 CONDICIONES LIMITES EN LA ENTRECARA
DE DOS CAPACITANCIAS DIELECTRICAS
Si el conductor de las figuras 6-11 y 6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el
mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites:
(1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
La c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e E es continua a través de una entrecara de dieléctricos. En símbolos,
y
f
rl
Enl - f
r
2 E n 2
= __P .
fo
Generalmente, la entrecara no posee cargas libres (P s = O), por lo que:
y
(2 ) La c o m p o n e n te n o r m a l d e D tie n e u n a d isc o n tin u id a d d e m a g n itu d Ip.1 a tr a vé s d e u n a e n tr e c a r a d e
d ie lé c tr ic o s. Si se escoge el vector unidad normal apuntando hacia el dieléctrico 2, entonces esta
condición puede ser escrita de la siguiente manera:
y
EJEMPLO 1: Dado El = 2ax - 3ay + Saz V/m en la entrecara de los
dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle D 2 y los ángulos 01 yWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
O 2
,
La entrecara es un plano z = constante. Las componentes x y y son tangen-
ciales y las componentes z son normales. Por continuidad de la componente
tangencial de E y la componente normal de D :
E¡ = 2ax - 3ay + Sa,
E2 = 2ax - 3ay + E%2a%
DI = (o(.¡E¡ = 4(oax - 6100 ay + lOtoa.
D 2 = D x2 a, + D y2 ay + 10100 a.
Las componentes desconocidas se hallan a partir de la relación D 2 = 100 ('2 E2. Fig. 7-4
de lo que se deduce
Los ángulos que se forman con el plano de la entrecara se hallan fácilmente a partir de
E¡ • a, = IE¡I cos (90° - O ¡)
5 = fosenO¡
01 = 54.2°
E2 ' a, = IE21 cos(90°,- 92)
2 = fosen02
O 2 = 29.0°
Una relación útil puede obtenerse de
E % ¡ Dzdéo lO.!
tan é¡ = ----0= = - , =
J E ~ I + E ;¡ J E ~ ¡ + E ;!
En vista de las relaciones de continuidad, la división de estas dos ecuaciones da
tan O ¡ ( . 2
tan O 2 ( . 1](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-89-320.jpg)
![CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 85
[ver problemaWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
7 .8 ( a ) ]. Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos
colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s.
Cuando la entrecara dieléctrica es normal a DZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y E, como en la figura 7- 7 ( b ) , la capacitancia puede
hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie:
1 1 1
- = - + -
<, e l e 2
[ver problema 7.8 (b )].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados: e l r e c íp r o -
c o d e la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e lo s r e c íp r o c o s d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s.
Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así:
W E = ~ fD ' E dv
7.7 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR
donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes.
Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa e , , entonces
D = (o E + P = (o e , E
y así
Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía
almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P = 0, e , = 1), bien sea a través del término P • E o a
través del factor fr > I
En términos de capacitancia,
y aquí, el efecto del dieléctrico se refleja en e , que es directamente proporcional a fr·
Problemas resueltos
7.1. Halle la polarización P en un material dieléctrico con fr = 2.8 si D = 3.0 x 10- 7a C/m2
.
Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico,
P = x.leE
Como D = {o ir E Y Xe = ir - 1,
(
i - 1)
P = ~ D = 1.93 X 1O-7
a C/m2
7.2. Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5 y P =
2.3 x 1O-7
a C fm 2 •
Si suponemos que P y E tienen la misma dirección,](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-91-320.jpg)
![CAP. 7] .CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS 87
La entrecara se indica en la figura 7-9 por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado
del espacio libre es:
a = 3ax + 2ay + a%
· fo z
La proyección de El sobre a. es la componente normal de Ken
la entrecara.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
Entonces
11
Ent = l1 A a. = 2.36 ax + 1.57 ay + 0.79 a,
y " 14
E'1
= El - E.1 = -0.36ax - 1.57 ay + 4.21a% = E'2
D.1 = fOf'lE.l = fo(7·08ax + 4.71 ay + 2.37a%) = D.2
1
E.2 = - D.2 = 7.08 a, + 4.71 ay + 2.378%
fo
x
Fil. 7-9
y finalmente
7.7. La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con
espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo cons-
tante E2 dentro del bloque, demuestre que E3 = El.
Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras,
j.1
Por continuidad deWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D . a través de las dos entrecaras (no
hay cargas superficiales), Fil. 7-10
y también
Por lo tanto, E ) = E l
7 .8 . ( a ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( 0 ) tiene una capacitancia
e - fOfrtAt f o f , 2
A2 - e
eq - d + d - 1 + e2
( b ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( b ) tiene una capacitancia
1 1 1 1 1
- = + = - + -
c., f O f r t A jd t f
o
f
r 2
A jd
2
et e,
( o ) Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos,
y
D 1 D 2 V
- - = - - = - 8
{o (,1 fOf,2 d '
Donde 8. es la normal que baja hacia la placa superior. Como D . = P s' las densidades de carga sobre las
dos secciones de la placa superior son:](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-93-320.jpg)
![CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS
La carga total sobre la placa está dada
entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
. h r z i i WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V .
Q = fP sdS = f f ~drdz
o r l r a
iO ir Vo h r ,
-=--:........::-ln-
a r l
Por lo tanto
Cuando se substituyen valores nu-
méricos (con a convertido a radianes), se
obtiene C = 7.76 pF.
7.11. En relación al problema 7.10, halle la
separación d que se produce con la
misma capacitancia cuando las pla-
cas se arreglan en forma paralela con
el mismo dieléctrico en medio.
Con las placas paralelas
así que
z
x
a = 5° /
/
/
/
/
Fig. 7-12
iO ir A
C = - -
d
a (r 2 - r¡)
lnh/r¡)
Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensa-
dor, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del
problema 7.0, arl
= 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm.
7.12. Halle la capacitancia de una concha esférica aislada de radio a .
El potencial de un conductor de este tipo con referencia cero en el infinito .es (ver. problema 2.35):
Entonces
7.13. Halle la capacitancia entre dos
conchas esféricas de radio a separa-
das por una distancia d ~ a .
El resultado del problema 7.12
para la capacitancia de una concha
esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse
como aproximación. En la figura 7-13
los dos condensadores idénticos pare-
cen estar en serie.
1 1 I
- = - + -
C e, C2
ClC2
C = = 21tio a
e, + C2
V= ~
4 1 [ ( 0 a
Q
C = - = 4 1 t ( o a
V
Fig. 7-13
89
y](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-95-320.jpg)
![CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS 9 1
7.18. Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri-
cos de la figura 7-17, dondefrl = 2.0 Y fr2 = 5.0. El
conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5
cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad.
La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un
cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo
IX , tendrá una capacitancia 1 X /2 1 T . veces la del condensador coaxial
completo. Del problema 7.9,
(F )
100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
V¡ + V2 = V, se deduce que
Fig. 7-17
V¡ = C2
V = 4.2 (100) = 74 V
C ¡ + C 2 1 .5 + 4 .2
C¡ 1.5
V2 = V = (100) = 26 V
C¡ + C2 1.5 + 4.2
7.19. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de
voltaje constante. Determine cómo cambian W E
, D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico
de e r = 2 entre las placas.
Relación
V2 = V¡
E 2 = E ¡
W 2 = 2 W ¡
C2 = 2 C ¡
D 2 = 2 D ¡
P s2 = 2ps¡
Q2 = 2 Q ¡
Explicación
La fuente V permanece conectada
como E = V jd
W = 1S (o e , E
2
d v
C (ocr A/d
D (o cr E
P . D .
Q p.A
En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen cons-
tantes.
7.20. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a
una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian W
E
, D . E . C. Q . P . ' y V
cuando las placas se apartan a una distancia de separación d 2
= 2 d l
sin perturbar la carga.
Relación
Q2 = Q¡
P .2 = P .¡
D 2
= D ¡
E 2 = E ¡
W 2 = 2 W ¡
C2 = tC¡
V2 = 2 V¡
Explicación
La carga total no cambia
P. Q/A
D . P .
E D jf.
o
W t S (o E
2
d v , Y el volumen dobla
C = f.o A/d
V Q /C
7.21. Un condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0cm tiene 29 000 V cuando el espacio
vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm.
Muestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l. r = 6.5) con una resistencia
dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la
figura 7-18.](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-97-320.jpg)
![CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS 93
La anterior expresión paragfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C ] L no es exacta, pero da una buena aproximación cuando a ~ h (el caso
práctico). Una solución exacta da
Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores
cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
h ) es la mitad del valor encontrado arriba (la misma
. carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h .
e
L
7tio 7tio
In (d + J~ :
- 4a
2
) ~ In (dja )
Problemas suplementarios
7.23. Halle la magnitud de D en un material dieéctrico para el cual le = 1.6 Y P = 3.05 X 10-7
C jm
2
•
R e sp . 4.96 X 10-7 c ¡ m2
7.24. Halle las magnitudes de D, P Y ir para un material dieléctrico en el cual E = 0.15 MV/m y le = 4.25.
R e sp . 6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25
7.25. En un material dieléctrico con ir = 3.6, D = 285 nC/m2
• Halle las magnitudes de E, P YX •.
R e sp . 8.94 kV/m, 206 nC/m2
, 2.6
7.26. Dado E = - 3ax + 4a, - 2a, V/m en la región z < O, donde e, = 2.0. Halle E en la región z > O, para el cual
4
ir = 6.5. R e sp . -3ax + 4a, - -a. Vjm
6.5
7.27. Dado que D = 2ax - 4a, + 1.5 a. C jm
2
en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O,
que es un dieléctrico con ir = 5.0. R e sp . 1.6ax - 16a, + 6a. C jm
2
7.28. La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a. C fm
2
• La región 2, O < z ~ 1 m, tiene ir = 2.5.
Y la región 3, z > 1 m, tiene ir = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) .
1( 7)) 2 o
R e sp . - 5ay + - a. (V jm , 7.5 ay + 4.2 a. C jm , 2 5 .0 2
iO 2 .5
7.29.' El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z = 5. En el lado que incluye el origen, D I
(4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y ir ! = 4.3, mientras en el otro lado, 42 = 1.80. Halle E l' E 2• D 2 Y (J 2'
R e sp . 1.45 X 104
,3.37 X 10 5.37 x 10-7
,83.060
7.30. Una entrecara dieléctrica está descrita por 4 y + 3 z = 12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con
D I = a, + 3a, + 2a, J J C /m 2 . En el otro lado, i r 2 = 3.6. Halle D 2y (J 2' R e sp . 5 .l4 1 lC /m 2,4 4 .4 °
7.31. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas con un dleléctrico de ir = 3.0, área 0.92 m? y sepa-
ración 4.5 mm. R e sp . 5.43 n F
7.32. Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué
separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas?
R e sp . 1.67 mm](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-99-320.jpg)
![CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 95
7.47. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este
espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE
ir = 5.4 llena 20% de la distancia entre las pla-
cas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. R e sp . 0 .8 4
7.48. Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno con respecto al blindaje cilíndrico.
Hay dos aislantes; el primero tiene ir ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0 cm del conductor interno, mientras
que el segundo tiene ir 2 = 3.0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Y está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm, dentro de la superficie interna del
blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante. R e sp . 0.645 MVWVUTSRQPONMLKJIHGFED
1 m , 1.03 MV 1 m
7.49. Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual ir = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m .
¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor
interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm?
R e sp . 0.376 MV
7.50. Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, ir ! = 2.50, ir 2 = 4.0. Halle E l' E 2• D I Y
D2 si la diferencia de voltaje es 50 V. R e sp . p a r c ia l. E2 = ±(36.1/r)sr (V/m)
7.51. En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto
del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es
espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0.
Halle el voltaje a través de cada región. R e sp . 91.8 V, 8.2 V
Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del
problema 7.51. R e sp . 59.9 n J /m , 5.30 n J /m
7.52.
e , = 2.0
Fig. 7-22](https://image.slidesharecdn.com/electromagnetismo-220630124656-16ef7305/85/ELECTROMAGNETISMO-PDF-101-320.jpg)
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- 1. AEP AEP AEP AEP AEP AEP ELECTROMAGNETISMO SERIE SCHAUM ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos Joseph A. Edminister
- 2. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP DE I 8'BLlOT[C. .T. N' 11 "B. GfJL e.c. [;~ (~AVLORA" LACA'- tiA 535 F~oeRAl SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM 'TEORIA y PROBLEMAS ELECTROMAGNETISMOI .. , [; ~ JOSEPH A. EDMINISTER, M.S.E~ROHI810A Por ..• t; t' L su VENTA de de de TRADUCCION PEDRO ALBARRACIN de s REVISION SANTIAGO PINTO EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA S.A. . . . , , , , Delhi, , , , , AEP AEP
- 3. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D.R.) Copyright © 1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMERICANA S.A. Bogotá, Colombia Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia o grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso escrito del editor. Traducido de la primera edición de SCHAUM'S OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS OF ELECTROMAGNETICS Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A. IS BN 968-451-004-7 0987654321 8765432901 Impreso en Colombia Printed in Colombia Impresión: Italgraf S.A., Bogotá, Colombia AEP AEP
- 4. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17 un r¡)r I n r ("'AV; ORAfJ U._lw,~.L."'. '_ L,./- L LACA;'iR: 535 et». ~EOERAI. I Prefacio El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagne- tismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación. Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas. Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromag- néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia. Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui- dadoso. Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias. Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera escrito. ]OSEPH A. EDMINISTER AEP AEP
- 5. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP B'aL!OT[C~ EPeE.T. N' 11 "B. GrJL. D.C. C'.~~,AVLGnAu L f~A ~"' '535 ( r!") EOERAl ...., 1',,'1'' .. ~" .• Contenido ANALISIS VECTORIAL 1 Capitulo 1 1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales formaciones 1.4 Volú- 1.6 Trans- FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ... 2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.3 Distribuciones de carga 2.4 Configuraciones estándar de carga 13 Capitulo 2 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS . 27 Capitulo 3 3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo 3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico sianas especiales 3.3 Ley de Gauss 3.5 Superficies gau- DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA . 4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.3 Divergencia de D 4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia 39 Capitulo 4 ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA. 50 Capitulo 5 5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga 5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES . 6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec- ción J 6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Co- rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de lacorriente laminar K 6.9 Continuidad de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico 65 Capitulo 6 CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS 81 Capitulo 7 7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D YE de voltaje constante 7.3 D Y E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri- AEP AEP
- 6. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP CONTENIDO cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos 7.7 Energía almace- nada en un condensador. Capitulo 8 96 ECUACION DE LAPLACE . 8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico Capítulo 9 113 LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO 9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5 Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes Capítulo 10 128 FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS . 10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combi- nados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia 10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar Capítulo 11 140 INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS . 11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar 11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H 11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9 Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos Capitulo 12 160 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y FEM INDUCIDA . 12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday 12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Con- ductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo Capitulo 13 ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES . 172 13.1 Introducción laminar en el límite 13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente 13.4 Resumen de lascondiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell Capitulo 14 181 ONDAS ELECTROMAGNETICAS . 14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesia- nas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléc- trico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia yvector de Poynting APENDICE 197 INDICE 199 AEP AEP
- 7. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP Capítulo 1 Análisis vectorial 1.1 NOT ACION VECTORIAL Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tie- nen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto: A ,A aA = IAI o donde IAI = A = ~ (ver sección 1.2). Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes y de un sistema de coordenadas cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de A = A"a" + + 1.2 ALGEBRA VECTORIAL l. Los vectores pueden sumarse y restarse: A B = a" + + + + ) + + 2. Las leyes asociativa, distributiva y conmutativa se aplican A + (B + C) = (A + B) + e A+B=B+A 3. El de dos vectores es, por definición, A- B = cos 8 (léase "A punto B") donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que A - B = + + A-A= " y z En particular, 4. El de dos vectores es, por defi- nición, A x B = sen 8}a" (léase" A cruz B") donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de ' un punto común. Existen dos vectores normales a este plano, así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es Fig. 1-1 - AEP AEP
- 8. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 2 ANALISlS VECTORIAL [CAP. 1 rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ley conmutativa no se cumple para el pro- ducto vectorial. En cambio, se cumple que AxB=-BxA Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos A x B = (Axax + + Aza.) x (Bxax + + B.a.) = B, - + ( - A~ . + ( - Bx}az lo que se expresa convenientemente como un determinante: ax aya. A x B = s, s, 1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innece- sariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas carte- sianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias. z z r P(r, q¡, z) I Iz k---+-----y 8 J, P(r, 8, 4» / I / I / I .x-'--;,---•... y I 4> 'J ~ P(x,y,z) I iz I • I / I . / 1// X _._-_._-- (a) Cartesianas (b) Cilíndricas (e) Esféricas Fig.I-2 Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico (r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1-2. El orden de especificación de las coordena- das es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos z z = const. I----+- z z , = const. 8 = const. /----+- I----y = const, 4> = consto 4> = const. (a) Cartesiano (b) Cilíndrico (e) Esférico Fig. 1-3 AEP AEP
- 9. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP - CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El con- texto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia. La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons- tante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas carte- sianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O n. z z z - 3<1> }-----+-y }-----+-y (b) Cilíndrico (e) Esférico (a) Cartesiano Fig. 1-4 La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad. tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas (excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha: Las formas de componentes de un vector en los tres sistemas son: A = + + Azaz A = Arar + A",a", + Azaz A = Arar + o o + A",a", (cartesiano) (cilíndrico) (esférico) Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo funciones de las coordenadas en el sistema particular. 1.4 VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + ) ó , , ó (r + dr, O+ de, + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema aparece en la figura 1-5. En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es = dO senO = 2 senO dO 3 AEP AEP
- 10. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 4 z ~------------~ y (a) Cartesiano ANALISIS VECTORIAL [CAP. 1 . = do =,2 sen O dñ (b) Cilíndrico (e) Esférico Fig. 1-5 El elemento diferencial de línea, di. es la diagonal a través de P, por lo que dt2 = 2 + + 2 dt2 = 2 + r2 + 2 dt2 = 2 + r2 + r2 sen 2 () 1.5 CAMPOS VECTORIALES (cartesiano) (cilíndrico) (esférico) Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficien- tes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector E = -xax + yay Dando diferentes valores a y a se ob- tiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido examinados, el patrón resulta evidente. La figura 1-6 muestra este campo. Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado puede agregársele una variación temporal me- diante la expresión E = (-xax + yay)senwt ó Los campos magnéticos y eléctricos de los capítulos posteriores variarán todos con el tiempo. Como es de esperarse, serán diferenciados o integrados respecto del tiempo. Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramen- te causarán gran dificultad. ----------~==~------+_------~~----------- Fig.l-6 AEP AEP
- 11. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5 1.6 TRANSFORMACIONES El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un campo vectorial, de un sistema a otro. EJEMPLO 1: Considérese A = 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a. en coordenadas esféricas. Las variables , 8. q, pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la figura 1-2 y aplicando la trigonometría básica. De esta manera cos (J = -;::::;==;===;:: . + l-+ Z2 y tanq, =- Ahora las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de , y así: Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto, Combinando éstas con las componentes transformadas resulta Problemas resueltos 1.1. Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z)) a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por - x¡)a" + ( 2 - + - z1)a: Lascoordenadas de M y N se utilizan para expre- sar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_ A = xla.x + Ylay + zla. B = X2a.x + Y2ay + Z2a. ~------ Entonces Fig.I-7 AEP AEP
- 12. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 6 ANALlSIS VECTORIAL [CAP. 1 1.2. Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas cartesianas y determine el vector unidad a lo largo de A. A = (O- 2)a" + (- 2 - (- 4))ay + (O- 1)a. = - 2a" + 2a, - a. IAI2 = (_2)2 + (2)2 + (_1)2 = 9 A 221 aA = 1AT = - 3a" + 3a, - 3a• 1.3. Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y (5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas. Primero, obténgase los vectores de posición A y B (ver figura 1-8). z (S,1t/2,tO) A = -5ay B = 5ay + lOa. Entonces B - A = lOa, + 10a.y la distancia buscada entre los puntos es. lB-Al = Las coordenadas cilíndricas de los puntos no pueden utilizarse para obtener un vector entre los puntos con el mismo método que se siguió en el pro- blema 1.1 en coordenadas cartesianas. <p = 1t/2 Fig. 1-8 1.4. Muestre que B = + + Exprese el producto escalar en forma de componentes: B = (A"a" + + + b,«, + .) = a,,) • + (A"a,,)' ay) + a,,) . + ay) . a,,) + ay) • ay}+ ay) • a.) + a.) • a,,) + a.) . ay) + a.) . a.) Sin embargo, al<' a" = ay = a•• a. = 1puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el ángulo es cero. Cuando 8 = 90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de los vectores unidad son iguales a cero. Así pues: A • B = + + 1.5. Dados A = 2a" + 4ay - 3a", y B = a" - hallar B Y A x B. A' B = (2)(1) + (4)(-1) + (-3)(0) = -2 l a" a, a. I A x B = 2 4 - 3 = - 3a" - 3ay - 6a. , 1 -1 O 1.6. Demuestre que A = 4a" - 2a)' - a. y B = a" + 4a)' - 4a", son perpendiculares. Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que (J = 900. A . B = (4)(1) + (-2)(4) + (-1)( -4) = O AEP AEP
- 13. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 1.7. Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a) el producto vectorial, (b) el producto escalar. (a) A x B = ~a,o I= -16a" + 8ay + 12a. O 6 -4 IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47 IBI = + (6)2 + (_4)2 = 7.21 lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54 (b) Entonces, como lA x BI = IAIIBI sen 8, 21.54 sene = ( )( ) = 0.668 4.47 7.21 A' B = (2)(0) + (4)(6) + (0)(-4) = 24 =~= 24 =0745 cose IAIIBI (4.47)(7.21) Ó ó 1.8. Dado F = - l)a" + , hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde B = 5a" - ay + 2a •. F(2,2, 1) = (2 - l)a" + (2)(2)ay = a" + 4ay Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del segundo vector y utilizando el producto escalar. A B Proy. A sobre B= A' B = W Entences, en (2, 2, 1), B (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) 1 Proy. F sobre B = lBT = = Proy. A sobre B Fig.1-9 1.9. Dados A = a" + ay, B = a" + 2az, y e = 2ay + a,; halle (A x B) x e y cornpárelo con A x (B x C). l a" (A x B) xC = ~ aya" - 2 - 1 = - 2ay + 4a. 2 1 Entonces Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial. En el problema 1.9, B x e = - 4a" - ay + 2a.. Entonces 1.10. Utilizando los vectores A, B Ye del problema 1.9, halle A • B x e y cornpárelo con A x C. B x e = (1)(-4) + (1)(-1) + (0)(2) = -5 7 AEP AEP
- 14. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 8 ANALISIS VECTORIAL . l. También en el problema 1.9, A x B = 2ax- 2ay- a, . Entonces A x e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1) = -5 Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro- ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que: Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo. I.lI. Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas cilíndricas. Ver figura 1-10. h El vector R es la diferencia de dos vectores: R = ra, - R ra, - haz aR = - = ---..,==~-=- IRI 2 + h2 El ángulo <jJno aparece explícitamente en estas expresiones. De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor inter- medio de a.. Fig. 1-10 1.12. Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se muestra en la figura 1-11. Como el problema está planteado en coordenadas carte- sianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente a dos puntos. x R = - xax - yay + 5az -xax - yay + 5az aR = --;~=~~:::---= Fig. 1-11 1.13. Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;; sobre la concha esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t? El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)] dS = r2 sen8d8d<jJ Entonces P A = J J a2 sen8d8d<jJ o • = 2 (cos - cos P) Cuando e = 9 y P = 1t, A = 47t0 2 , área de toda la esfera. Fig.I-12 1.14. Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen. En la figura l-5(c), do = r2 _sen 8 dr dO d<jJ. Entonces h " • 4 v = J f J r 2 sen8drd8d<jJ = -3 3 o o o AEP AEP
- 15. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r =2 m, h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13). El elemento diferencial de superficie es dS = d4Jdz. Entonces S 2Kf3 A = f f 2d4Jdz o ~f6 = 571: m2 1.16. Transforme , / de coordenadas cartesianas a cilíndricas, Recurriendo a la figura 1-2(b), x = rcos4J = sen4J = + En consecuencia, En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az: a" . a~ = -sen4J ay . a~ = cos 4J a.' a4> = O a,,' a. = O ay' a. = O a% • az = 1 a" . ar = cos 4J a, . a, = sen4J az' a, = O Así pues a" = cos 4Ja, - sen4Ja4> ay = sen4Ja, + cos 4Ja4> ll: = az y Sm Fig. 1-13 1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figu- ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas. En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como lOa" donde 4J= 71:/4.En consecuencia 71: 10 = lOcos-=-.- " 4 fi 71: 10 = lOsen-=- y 4 fi . = O así que Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario. Problemas suplementarios 1.18. Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a" + 3ay, encuentre la proyección de A sobre B. Fig. 1-14 esp. 12/,ji3 1.19. Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay + a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la dirección de A, sp. 1.50 (a" + a.) - 9 AEP AEP
- 16. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 10 [CAP. 1 ANALlSIS VECTORIAL 1.20. Halle el ángulo entre A = lOay+ 2a. y 8 = - 4ay + 0.5 a. usando tanto el producto escalar como el producto vectorial. sp. 161.5° 1.21. Halle el ángulo entre A = 5.8ay + 1.55a. y 8 = - 6.93 ay + 4.0 a. usando tanto el producto escalar como el producto vectorial. sp. 135° 1.22. Dado el plano 4x + + 2z = 12, halle el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen. - . (4a" + 3ay + 2a.)/j2§ 1.23. Demuestre que los campos vectoriales A y B son siempre perpendiculares si + + = O. 1.24. Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de A y B si los campos vectoriales son siempre paralelos. esp. 1.25. Exprese el vector unidad dirigido hacia el or igen desde un punto arbitrario sobre la línea descrita por = O, = 3. esp. -3a - za a = % J9+7 1.26. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (XI' YI' ZI) desde un punto arbitrario en el plano = -5. esp. 1.27. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (O, O h) desde un punto arbitrario en el plano = - 2. Ex- plique el resultado cuando h se aproxima a - 2. esp. a= y 1.28. Dados A = 5a" y 8 = 4a" + Byay halle un tal que el ángulo entre A y B sea 45°. Si B tiene también un tér- mino . a., ¿qué relación debe existir entre y esp. = , 1.29. Demuestre que el valor absoluto de A' 8 x e es el volumen del paralelepípedo con aristas A. By C. (Suge- enc Primero demuestre que 18 x CI es el área de la base.) 1.30. Dados A = 2a" - a., 8 = 3a" + ay, y e = -2a" + 6ay - 4a., demuestre que C es perpendicular a B y a A. 1.31. DadosA = a" - ay, 8 = 2a%yC = -a" + 3ay, halle A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto escalar. esp. - 4 1.32. Con los vectores del problema 1.31, halle (A x B) x C. esp. -8a. / 1.33. Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, - 5, - 2) hacia (14, - 5, 3). sp. 12 5 a=-a +-a 13 x 13 z AEP AEP
- 17. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP - [CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL 1.34. Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos ('1' l' ZI) Y 2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas. 1.35. Verifique que la distancia d entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por: 1.36. Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas esféricas. sp. - 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a, 1.37. Halle la distancia entre (2, ni«, O) y (1, n, 2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas. 3.53 1.38. Halle la distancia entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas. 2.0 1.39. Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;; :<:;; sobre la concha esférica de radio ¿Cuál es el resultado cuando I = esp. 21 2, = 2 1.40. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio y radio h. sp. 2 1.41. z Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el volumen del cilindro circular recto del problema 1.40. sp. 2 h 1.42. Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas diferenciales de superficie I y 2 y luego integre para obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la figura 1-15. sp. n/4, n/6 1.43. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio externo 2.02 m. . 0.162 m3 Fig. 1-15 1.44. Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen definido por 1 :<:;; :<:;;2 m, 0:<:;; O :<:;;n/2, y 0:<:;; :<:;; n/2. esp. 7 Ir ti -m 6 1.45. Transforme el vector A = a, + + a, a coordenadas cilíndricas. A = cos c + AysencJ»a, + (- AxsencJ>+ cos cJ»a4> + a, 1.46. Transforme el vector A = a, + ao + a4>a coordenadas cartesianas. . / 11 - AEP AEP
- 18. AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP AEP 12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1] 1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas. F = xax + y + za. 2 + + Z2 1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas. xax + . 2 + = const., F = y + 1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a, + sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas. 3xzax + + 2 - 2 - . F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--'' 2 + + Z2 1.50. Dibuje el campo vectorial F = ya, + . . Véase figura 1-16. y 5'1r/8 'lr/8 3'1r/8 1E'------.lr-----Ir-----1>-- 'Ir12 Fig. 1-16 --40:::---f---+-:---r---- ~ = 'lr/2 ?'lr/8 I~= plano constante I ~ = 3'1r/8 Z = plano constante O ~ ~ ~ 'lr/2 ~=O Fig. 1-17 Fig. 1-18 1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos q,a, + ral/>' . Véase figura 1-17. 1.52. Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. . Véase figura 1-18. AEP AEP
- 19. .----------------------------~------~~------------------------ Capítulo 2 Fuerzas de Coulomb e intensidad del campo eléctricozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY 2.1 LEY DE COULOMB Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversa- mente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es lamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG ley de C oulomb, desarrollada mediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así: A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas. La fuerza está dada en newtons (N), la distancia en metros (m)y la unidad (derivada) de carga es el coulomb (C). El sistema se racionaliza con el factor 41t, introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell. e es la per mi- tivida d del medio, en unidades C2/ N . m2 o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espacio libre o vacío, 10-9 e = (o = 8.854ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X 10- 12 F/m ~ 361t F/m En un medio diferente al espacio libre, e = iO ir ' donde ir es la per mitivida d r ela tiva o consta nte dieléctr ica . En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libre y adoptarse el valor aproximado dado de (o', a menos que se establezca lo contrario. Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresar su dirección. De esta manera, describe una fuerza ejercida sobre Q (, donde el vector a2( está dirigido de Q 2 a Q (. EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q ., 20ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J 1 ,C , debida a la carga Q 2,_ 300 J 1 ,C , sabiendo que Q. se sitúa en (O, 1, 2) m y Q2 en (2, O, O) m. Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan más a menudo en microcoulombs ( ¡ lC ) , nanocou- lombs (nC) o picocoulombs (pC). (Véase apéndice para los prefijos del sistema SI.) Refiriéndonos a la figura 2-1, R21 = -2a" + ay + 2a. 1 a21 = 3" (-2a" + ay + 2a,) z Entonces F, = (20 x 10-6 )(-300 x 10-6 ) (-2a" + ay + 2a,) 47t(10 .9j367t)(3)2 3 = 6ea" - i - 2a,) N Q 2 (2, O, O) x La magnitud de la fuerza es 6 N Y la dirección es tal que Q. es atraída hacia Q 2. Fig.2-1 13 y
- 20. 14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2 En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ca mpo de fuer za de simetría esférica. Este se pone en evidencia cuando la cargaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T' se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde- I nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F = Q Q T 8 T 4nE o r 2 , • Q x Fig.2-2 Fig.2-3 Debe observarse que, a menos que Q T ~ Q , el campo simétrico alrededor de Q está perturbado por Q T . En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma r. = F Q T + F Q Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con Q T' Cuando las dos cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto de los dos campos. Este es elpr incipio de super posición para fuerzas de Coulomb y se extiende a un número cualquiera de cargas. 8 2.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para no perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la intensida d de ca mpo eléctr ico, E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T : 1 Q E=-Q F T= - 4 28, T nEo r Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q [figura 2 -4 (0 )]. Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas, donde el vector separación R se define en la figura 2 -4 (b ). Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).
- 21. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z /--I------I~ mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Y xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( a ) Esférico Fig.2-4 2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA E (b ) Cartesiano Carga volumétrica Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración para obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una densida d de ca r ga por Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m3 siempre que las variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m3 para v ) . Esta convención será utilizada a lo largo de todo el libro. En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial dQ produce un campo eléctrico diferencial dQ dE = 4 R2 aR 1tE:o en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de la región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P se obtiene por integración sobre el volumen: f paR E = 4 R2 d v v 1tE:o Carga laminar (superficial) La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o una lámina. Entonces cada carga diferencial dQ que esté sobre la lámina produce un campo eléctrico diferencial en el punto P (véase figura 2-6). Si la densida d super ficia l de ca r ga es ps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región, entonces el campo eléctrico total en P es E=f p ,a R2dS s 41tE:o R . Fig.2-5 P /d E • s Fig.2-6 Carga lineal Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea produce un campo eléctrico diferencial 15
- 22. I ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 16zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P (véase figura 2- 7). Y si la densida d linea l de ca r ga es P t (Cj m) y no existe ninguna otra carga en la región, entonces el campo eléctrico total en P es z-, dE .'R p~ ~ L E = f P t aR 2 dI L 47tEo R Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones de carga anteriormente citadas y en sus correspondientes integrales para E, el vector unidad aR es variable y depende de las coordenadas del elemento de carga dQ . Así pues, 8R no puede ser sacado del integrando. Fig.2-7 2.4 CONFIGURACIONES ESTANDAR DE CARGA Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácil cálculo. Respecto de estas configuraciones estándar (y de otras que serán analizadas en este capítulo) debe anotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando un problema establece que la carga está distribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco con carga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque se requiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en una configuración especial. Carga puntual Como se determinó en la sección 2.3, el campo de una sola carga puntual Q está dado por +00 Q E = ---2 a, 47tEor y (coordenadas esféricas) Véase figura 2 -4 (0 ).. Este es un campo de simetría esférica que cumple una ley del inver so del cua dr a do (como la gravitación). Carga de línea infinita Si la carga está distribuida con densidad unifor me P t (C I m) a lo largo de una línea recta infinita que escogeremos como eje z, entonces el campo está dado por x E = ~ a (coordenadas cilíndricas) 27tEo r ' Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a la pr imer a potencia de la distancia desde la línea de carga. Para una derivación de E, véase el problema 2-9. -00 Fig.2-8 Cargas de plano infinito Si la carga está distribuida con densidad unifor me P . (C I m-) sobre un plano infinito, entonces el campo está dado por E=~a 2Eo " Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constante y tiene simetría especular con relación al plano de carga. Para una derivación de E, véase el problema 2.12. Fig.2-9
- 23. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO I7 Problemas resueltos 2.1. Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5 0 /-le ymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q 2 = 10 /-le , están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O) m res- pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so- bre QI' z R2l = -4a" - 3az -4a" - 3az a2l = 5 Q lQ 2 F 1 = 2 a21 4nEo R21 = (50 X 10-6 )(10-5 ) (-4a" - 3az) 4n(1O 9j36n)(5)2 5 = (0.18)(-0.8a" - 0.6az) N Q ¡ ( - 1 ,1 ,- 3 ) Fig.2-10 La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6az • En forma de componentes F¡ = -O.l44a" - 0.108az N 2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas iguales de 20 /-le están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m. Considere la fuerza debida a la carga en y = 4 z (10-4 )(20 x 10-6 ) (-4a, + 3az) 4n(10 9j36n)(5)2 5 La componente y se anula por la carga en y = - 4. En forma similar, las componentes x debidas a las otras dos cargas se anulan. Por consiguiente, x Fig.2-11 2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql = 300 /-le , situada en [I, - 1, - 3) experimenta una fuerza F 1 = Sa, - 8ay + 48% N debida a la carga puntual Q 2 en (3, - 3, - 2) m. Determine Q 2 R21 = -2a" + 2a, - az Observe que, como z la fuerza dada está a lo largo de R21 (véase proble- ma 1.24), como debe ser. Fig.2-12 Resolviendo. Q 2 = - 40 ¡,te. /
- 24. 18zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPON J ,le que está distribuida uniformemente sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Z = O m (véase figura 2-13). La densidad de carga es _5? _500nx 10- 6 -02 0-4C12 P s - - ()2 -. xli m A n 5 (0, O, 5) z En coordenadas cilíndricas, R = -ra, + Sa, Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza diferencial dF = _(5-:0_x~1O -:- -r- 6--,)(p:-:-s-c;-r_dr_d_< jJ..,.) (-ra, + 5a.) 4n(1O 9/36n)(r2 + 25) Jr2 + 25 , x Fig.2-13 Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anula y que a, es constante. En consecuencia, F = f2n f5 (50 x 10-6 )(0.2 x 1O -4)5rdrd< jJ o o 4n(1O 9/36n)(r2 + 25fl2 a. ,5 rdr [ -1 J s = 90n J (2 2 )312a: = 90n P+2s a: = 16.56.% N o r + 5 r2 + 25 o 2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m. Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor P 2 = (5)2 = 625 p ¡ (2)2 . mientras la integral sobre r se convierte en 2 rdr fo (r2 + 25)312 = 0.0143 en lugar de s r dr f (2 2 )312= 0.0586 o r + 5 La fuerza resultante es ( 0.0143 ) F = (6,25) 0.0586 (16.56a: N) = 25.27.: N 2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual Q en (X I' Y I, Z I)' Repita el ejercicio con la carga colocada en el origen. Como se muestra en la figura 2-14, z Entonces P ( x ,y ,z ) Q E=---a 4n(0 R2 R Q (x - x ¡)a x + (y - y ¡)a y + (z - z¡)az 4n(0 t(x - X ¡)2 + (y - y ¡)2 + (z - Z ¡)2 ]3 1 2 ..) - - - - - ~ y Cuando la carga está en el origen, E =.J?..- x a x + y a y + za: 4n(0 (X 2 + y 2 + Z2 )312 pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coordenadas esféricas con Q en el origen, x Fig.2-14 y ahora la simetría es evidente. Q E=·--. 4n(0 r2 ,
- 25. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 19 2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4 nC localizada en (-4, 3, 2) m, en coordena- das cartesianas. La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q situada en el origen es en coordenadas esféricas: En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R = 48x- 38ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y - 28e ' 64.4 X 10- 9 (48x - 3ay - 2az) (2 )(4ax - 38y - 2az) E = = 00 - V/m 41t(10 9/361t)(29) f o . yl29 2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35 )J.C en (O, 4, O) m y Q 2 = -0.55)J .C en (3, O, O) m (ver figu- ra 2-15). y R1 = -48y + 58z R2 = -38x + 58z 0.35 X 10-6 (-48y + saz) El = 41t(1O 9/361t)(41) J4t = -48.0ay + 6O.0a. V/m -0.55 x 10-6 (-38x + 58z) E 2 = 41t(1O 9/361t)(34) f o = 74.98x - 124.98. V/m E = El + E2 = 74.9ax - 48.08y r : 64.98z V/m y x Fig.2-15 2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una línea recta infinita, con densidad p ¡ . Desarrolle la expresión para E en un punto general P . Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga el eje z (ver figura 2-16). En P , z too • dE = ~ (r8r - Z8i) 41ttoR2 ~ Como para cada dQ en Z hay otra carga dQ en-z, las componen- tes z se cancelan. Entonces P t r [ z ] 00 P t - 8 - a - 41tto r2~ -00 r - 21ttor r +-00 Fig.2-16 2.10. Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente una carga de densidad P t = 20 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4) m. Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene componente z. Respecto de la figura 2-17, 20 X 10-9 (-4ax + 38y ) y E = 21t(0(5) 5 = - 57.68x + 43.2ay V/m
- 26. 20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2.11. 2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE CO ULO M B E INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO [CAP. 2mlkjihgfedcba y (0,4, z) /~ x y p'/E p/ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( 0 , - 4 ,.z ) Fig.2-17 Fig.2-18 Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t = 4 n C I m caen en el plano x = O en y= ±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m. Las líneas de carga son ambas paralelas a 8 z; sus campos son radiales y paralelos al plano xy. Para cualquier carga lineal la magnitud del campo en P es P t 18 E=--=-V/m 21Uo r .J2 El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición, Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito con densidad P s' Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con la carga en el plano z = O como se muestra en la figu- ra 2-19. z d E P (O , 1/1, z) y La simetría respecto del eje z produce la cancelación de las componentes radiales. P . z [ -1 ]co P . - a - 8 - 2<0 J r2 + Z 2 o % - 2<0 % x Fig.2-19 Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o vector unidad normal: P. E= -a. 2(0 El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud es independiente de la distancia al plano.
- 27. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA yZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 3 m se distribuye uniformemente una carga de densidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos. Para y> 3 m, E P . =-a,. 2(0 »A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3, z ) lE y para y < 3 m, E = -30a, V/m z Fig.2-20 2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P ., se localizan en x == ± 1 (figura 2-21). Determine E en todas las regiones. p . p . x O E2 E2 E2 --- ~ ~ -- -- El El El 1 2 Fig.2-21 En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos láminas de carga. Ambas láminas producen campos E que se dirigen a lo largo de x, independiente de la distancia. Entonces x < -1 -1<x<l x>l 2.15. Repita el problema 2.14 con P . sobre x = -1 y-P . en x = 1. x < -1 -1<x<l x > 1 2.16. Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-. forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m. Las dos configuraciones de carga son paralelas al eje x. En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando hacia plano x y desde x positivo. Debido a la carga laminar, E P • •=-a,. 2(0 z E. = -6a. V/m 5 Es En P , a,. = -a. y ~ ::-+ ~ 4 -----+ - y Debido a la carga lineal, Fig.2-22 y en P El campo eléctrico total es la suma El = 8a, - 6a. V/m E = El + E. = 8a, - 12a. V1m. 21
- 28. 22 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.17. Determinar E en (2, O, 2) m debido a las tres distribuciones están dar de carga siguientes: una carga laminar uniforme enZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x = O m con P .l = (1 I 3 n ) n C IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m -, una carga laminar uniforme en x = 4 m conmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P .2 = (-1 1 3 n ) n C I m? y una carga lineal uni- forme en x = 6 m, y =0 m con P t = -2 n C /m . Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a 8 I ' no existen componentes z del campo. El punto (2, O, 2) tendrá el mismo campo (2, O, z ). En la figura 2-23, P está localizado entre las dos láminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia de signo. = 218" V/m 2.18. Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del eje z se dis- tribuye una carga entre z = ± 5 m con una densidad uniforme P t = 20 nC [tn . Determine E en (2, O, O) m en coordenadas car- tesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilín- dricas. dE 20 x 10- 9 dz (28" - Z 8 z) ( ) = 41[(10 9/361[)(4+ Z2) )4 + Z2 V/m La simetría con respecto al plano z = O elimina cualquier componente z en el resultado. 5 2dz E = 180 f ( 2)3/28" = 1678" V/m -s 4 + z En coordenadas cilíndricas E = 1678, V/m. 2.19. A lo largo del eje z se distribuye una carga desde z =5 m hasta 00 y desde z= - 5 mhasta - 00 (ver figura 2-25) con la misma densidad que en el problema 2.18, 20 n Cj m. Halle E en(2, O, O) m. 20 X 10-9 dz (28" - Z 8 z) dE - (V/m) - 41[(10 9/361[)(4+ z2) J4+? Nuevamente se elimina la componente z. = 138" V/m En coordenadas cilíndricas, E = 138, V/m. Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18 y 2.19 se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme. E = ~ 8, = 1808, V/m 2 1 [ ( 0 r x = 4 x P ,¡ P .2 ~~~- E E O P (2 , 0, z ) ¿ "- , P t' x = o Fig. 2-23 r s x dQ = P t dz (2, O, O) it----y Z -s Fig. 2-24 -s +-00 Fig. 2-25
- 29. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23 2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA </> ,1) debido al disco uniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r :::;; a , Z =0 (ver figura 2-26). Si la densidad de carga constante es P ., z dE (O ,rp ,h ) La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p.h 2" G r dr d o E = 41tlo fo fo (r2 + h2)3/2 a. . p.h (-1 1) = 21'0 J a 2 + h 2 + h a. Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J2lo}a ., el campo debido a una carga laminar uniforme. y a x Fig. 2-26 2.21. Hay una carga sobre el disco circular r s; a , Z = O de densidad P . = P o sen- </> • Determine E en (O, </> ' h ) . dE = po(sen 2 tjJ)rdrdtjJ (-ra r + ha.) 41tlo(r2 + h 2 ) Jr2 + h2 La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se cancelan. 2.22. Hay una carga sobre el disco circular r :::;;4 m, Z = O de densidad P . = (1O-4 /r) (C/m2). Determine E en r = O, Z = 3 m. dE _ (l0-4/r)rdrdtjJ (-ra r + 3a.) (V/m) - 41tlo(r2 + 9) P+9 Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría. 2" 4 drdtjJ E = (2.7 X 106 ) f f (2 )312 a. = 1.51 x 106 a. V/m o 1.51a. MV/m o o r + 9 2.23. Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;; 2 m, - 2 :::;; Y ~ 2 m con densidad de carga P . = 2(x2 + y2 + 9)3/2 n c¡ m2• Halle E en el origen. De la figura 2-27 R = -xax - ya y + 3a. (m) dQ = p.dxdy = 2(x2 + y2 + 9)3/2 X 10-9 dxdy (C) z y así 2(x2 + y2 + 9)3/2 x 1O -9dxdy dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'- 41tlo(X2 + y2 + 9) x ( - xax - ya y + 3a.) (V/m) JX2 + y2 + 9 dE (~2,-2, -3) .k----- y (-2,2, -3) x Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E. (2, -2, -3) f 2 f2 6 x 1O -9 dxdy' E = a, = 864a. V/m -2 - 2 41tlo Fig. 2-27
- 30. 24zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.24. Una carga de densidad uniformemlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ps = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2x-3y+ z = 6 m. Halle E en el lado del plano que contiene el origen. Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = pJ2éoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y E = (17,O)an V[m. Los vectores unidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son Aa x + Be; + Caz a = + z n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA j A 2 + B 2 + C2 Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son (O, O, 6) - + - - - - + - y De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo eléctrico en el origen es E = (17.0)( -2ax +~ y - a,) V/m v'14 x Fig. 2-28 Problemas suplementarios 2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡ =250 ¡,tCy Q 2= - 300 }J .C , están localizadas en (5, O,O) m y (O,O,-5) m, respecti- vamente. Halle la fuerza sobre Q 2' Resp. F2 = (13.5)( axfia, ) N 2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡ = 30 ¡,tC y Q 2= -100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti- vamente. Halle la fuerza sobre Q ¡ . Resp. F1 = (0.465)( - 3Jis 7.%) N 2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobre Q 2' Resp. - F ¡ 2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 IlC , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 100 jJ.C situada en (O, O, 3) m. Resp. 1.73 a , N 2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo. Resp. (79.5)(- an) N 2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007r IlC en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida sobre un disco circular. Resp. 28.3 a, N 2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el plano z = Oentre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 }J .C , distribuida uniformemente. Resp. 4.66 a, N 2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo. 2.33. Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia d (m). Exprese el campo eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas. Resp. Si las cargas están en x =0 y x = d. entonces, para O < x < d, º [1 1] E = 41Uo x2 - (d _ X)2 a, (V/m)
- 31. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25 2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q2/ 4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1rEo t2) N . 2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad de carga uniforme P . es el mismo que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro. 2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para E debido a una configuración de carga recta infinita- mente larga con densidad uniforme p~. Resp. E = ~ xa", + ya y 2nio x2 + y2 2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z conZYXWVUTSRQPONMLKJIHG P ~ = 20 nC/m. Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín- dricas. Resp. 21.6a", + 28.8ay V/m, 36a, V/m 2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P t= 4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y = ±4m. Deter- mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.' Resp. ± 18 ax V/m 2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m. Resp. 30az V/m 2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, con p ( = 3.30 n C/ m, locali- zada en x = 3 m, y. =4 m. Resp. -7.13a", - 9.50ay V/m 2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos será igual el valor de E? Resp. (O, O, z) 2.42. A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje z es 1.80 x 104 V/m. Encuentre la densidad de carga uniforme P ~. Resp. 2.0 J l.C /m 2.43. El plano- x+ 3y-6z = 6 m contiene una distribución uniforme de carga P . = 0.53 nC/m2• Encuentre E enel lado que contiene el origen. Resp. 30(a", - 3ay + 6az) V/m J46 2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n) C/m2 están localizadas en z= -5 y y = - 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en (4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O. Resp. 0.667 nC/m 2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi- dad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En qué puntos de la región será E igual a cero? Resp. (x, - 2.273,2.0) m 2.46. Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3 n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m. Resp. 8ay V/m 2.47. Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo una componente z. ¿Cuál será P . de la carga laminar? Resp. 125 p Cj rn? 2.48. Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx = 3 m,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a 2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen. Resp. 5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m. 2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E en (O, O, 5) m. Resp. 100.5 nC 2.50. El disco circular r ~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad de carga P . = 10 8/ r (C / m-). Determine el campo eléctrico E para el punto (O, <p ' h). Resp. 1.13 x 10 3 a, (V/m) h..j4 + h2
- 32. 26zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.51. Examine el resultado del problema 2.50 cuandomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en h que resulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen. 2.52. Una carga laminar finita de densidad P s = 2 x(x2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + y2 + 4)3 12ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (e l m"), yace en el plano z = Opara O S x S 2 m y O S Y S 2 m. Determine E en (O, O, 2) m. Resp. (1S x 109 )( - 13 6 a" - 4ay + saz) V/m = 1S( - 1: a" - 4ay + saz) GV/m 2.53. Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a una carga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largo del eje x entre x = - 5 m y x = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x = - I m y x = I m. Resp. 2.31 a, V[ti», 1.43ax V[ tt: 2.54. El disco circular r S I m, z = Otiene una densidad de carga P s = 2 (r2 + 2 5 )3 /2 e - 10. (e l rnt). Encuentre E en (O, O, 5) m. Resp. 5.66ax GV 1 m 2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniforme- mente cargada. 2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante p a través de un volumen esférico de radio a . Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que l ~a 3/00 • E = 3 a p --a 31'0,2 r ,sa ,¿a donde, es la distancia desde el centro de la esfera.
- 33. Capítulo 3 Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW 3.1 CARGA NETA EN UNA REGION A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración, la carga neta que está contenida en un volumen específico. ComojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dQ LKJIHGFEDCBA = pdv (C ) . entonces Q=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f pdv (C) v Por supuesto, p no necesita ser constante en todo el volumen v. 3.2 FLUJO ELECTRICO y DENSIDAD DE FLUJO Por definición, el flujo eléctr ico. 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo aban- donan + Q y terminan en - Q . Esto supo- ne que las d os cargas son de igual magnitud. El caso en que hay una carga positiva y ninguna carga negativa en la región apare- ce ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las líneas de flujo están igualmente espaciadas a través del ángulo sólido y se alejan hacia el infinito. Mientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la densida d de flujo eléctr ico. D, es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es 'P=Q (C ) ~ + Q . . . . . . . . - Q ~ ( a ) 27 ( b ) Fig. 3-1 D
- 34. 28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS [CAP. 3 Una distribución volumétrica de carga de densidadjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA pXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la normal a S. Si, en el elemento de superficie dS, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial que cruza dS está dado por d'l' = D dS cos () = D· d s « , = D ·dS donde dS es el elemento vectorial de superficie, de magnitud dS y dirección 8 n• El vector unidad a, se toma siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d'l' sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte- rior hasta el exterior de S a través de dS. 3.3 LEY DE GAUSS La integración de la expresión anterior para d '1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ = Q , f D ' dS = e., Esta es la ley de Gauss, que establece que el flujo tota l que sa le de una super ficie cer r a da es igua l a la ca r ga neta contenida dentr o de la super ficie. Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración. 3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO z Q = f D . dS = D f dS = D (4nr 2 ) de donde D = Q /4nr 2 • Así pues Q Q D = --2 a = 4'"r 2 a, 4nr n ,. Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar) localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super- ficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a ella. La ley de Gauss dice entonces que Fig. 3-4 Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a Q es Se concluye que D = { o E. Más en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e , D = {E Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un factor que es una constante del medio. Mientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti- ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de cada dieléctrico. 3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por- que satisface las siguientes condiciones definitorias:
- 35. CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS 29 l. La superficie es cerrada. 2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 3. D tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie donde D es normal. EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, conXWVUTSRQPONMLKJIHGF p ( ( c ¡ m). Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede tener una componente r , y esta componente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss, Q= f D·dS+ f D'dS+ f D·dS 1 2 3 D Y dS son ortogonales respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto de 2 , D Y dS son paralelas (o antiparalelas, si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues D = -~ 21tr and D=~a 21tr r Q = D f dS = D (21trL) • 2 donde L es la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q = p ( L . Por lo tanto, Obsérvese la simplicidad de la derivación anterior si se compara con el problema 2.9. 00 D D D -00 -00 Fig. 3-5 Fig. 3-6 La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones, el método puede pro- veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble- ma 3.40. ) -/
- 36. FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3 30 Problemas resueltos 3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBA y O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLK p = 30x2 y (p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m? Como dQ = pdv, z p(x,y,z) 1 1 1 Q = J J f 30x2ydxdydz o o o = 5 J .1 .C Para el cambio en los límites de y. I o 1 Q = J f J 30x2ydxdydz o - 1 o = -5 J .1 .C x Fig. 3-7 3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si Por integración, 3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super- ficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S? Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega- tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa. 'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC 3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri- bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2r ( C jm 2)? 2 n 4 (sen2cjJ) '1' = Q = J f ._- r d r d c jJ = 211: C o o 2r s Fig. 3-8 Fig. 3-9 3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S. ¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie? Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo neto fuer a de S será cero si las cargas son de la misma magnitud.
- 37. CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS 3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P . = 12 sen 1> p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C I m? está encerrado por una superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S? 2x 4 'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlC o o Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no hay un flujo neto que cruce por S. 3.7. Carga en la forma de una hoja plana con densidad P s = 40p.Cjm2 está localizada en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor- me de P t = - 6 p .C jm yace a lo largo del eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista, centrado en el origen, tal como se muestra en la figura 3-10? z - - . . . . . • ~ ~ y La carga encerrada en el plano es Q = (4 m -) ( 4 0 J lC /m 2) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q = (2 m)(- 6 J l C jm ) = - 12 ¡,¡C Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C x Fig. 3-10 3.8. U na carga puntual Q está en el origen de un sistema de coordenadas esféricas. Encontrar el flujo que cruza la porción de una concha esférica descrita por ()( ~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re- sultado si a = O Y P = 1 t j2 ? z El flujo total 'P = Q cruza una concha esférica completa de área 4 nr ". El área de la franja está dada por 2. P A = f f r 2 sen8d8dq, o • = 2nr2( - cos fJ + cos IX) - - - - - - - - - ~ ~ y Entonces el flujo a través de la franja es A Q J 'f. - - Q = - ( - cos f3 + cos IX) neto - 4 1 tr 2 2 Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe- rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f2 . Fig. 3-11 3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i.C j m , yace a lo largo del eje x . ¿Qué flujo por unidad de longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m? El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12. IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad Entonces !.= 50(1.176) = 9.36 J 1 C fm L 2n 3 1
- 38. 32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS [CAP. 3 zjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e " Fig. 3-12 Fig. 3-13 3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos a una carga lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga. La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está locali- zada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determi- nado por el ángulo (1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a bcd, la ley de Gauss permite ver que el flujo que entra aXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está determinado por el ángulo subtendido (1. • 3.11. U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo eléctrico D en (1, 3, - 4) m. Refiriéndose a la figura 3~14 Q . D = 4nR2 aR = 30 x 10- 9 (a" + 3a, - 4a.) 4n(26) p = (9.18 X 10-1 1 )( a" + 3a, - 4a. e /m 2 p J x (1 ,3 , -4 ) D Fig. 3-14 o, más convenientemente, D = 91.8 pC/m2. 3.12. Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidades de carga P t = 20 J.l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m. La distancia desde el punto de observación hasta cualquiera de las cargas lineales es 3 j2 m. Considerán- dose primero la carga lineal sobre el eje x, D _..!!!...- _ 20 /- le /m (a, + a.) 1 - a1 - --- 2Wl' 2n{3J 2 m ) .J i y ahora la carga lineal sobre el eje y, La densidad total de flujo es la suma vectorial D = 20 (a" + a, + 2a,) = (1.30)(a" + ay + 2a,) /- lC /m 2 2n{3J 2).J i J 2
- 39. FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33 CAP. 3] 3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA = lüxa, (e/m2), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWV x = 3 m. Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella, 3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Z = 2 m, tP = 53.20 si D = 2xa x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2) z En el punto P (ver figura 3-15), x = 1Ocos53.2° = 6 Y = 1Osen53.2° = 8 Entonces, en P , D = 12a" - 14a, + 8az C/m2 El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa- rada con las unidades en D, puede aproximarse así: x Por lo tanto, Fig. 3-15 d'l' = D' dS = (12a" - 14ay + 8az)' 1O-6 (0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que hacia afuera en la dirección de dS. 3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados.) 'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)·(-dSa,,) x=l x=-l + f [Zxa, + 3ay) . (dS ay) + f (2xa" + 3ay) . (-dS ay) , = 1 y = - I + f (2xa" + 3a~).' (dS az) + f ' (2xa" + 3a,) . (-dS a.) e= 1 :=-1 J = 2 f dS + 2 f dS + 3 f dS - 3 f dS + O + O ,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1 = (2 + 2 + 3 - 3)(22 } = 16 C 3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén- trico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t) u C ] m2• Ambas distribuciones son infinitas en el sentido de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones. Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem- plo 1, sección 3.5, D - P t - 27tr a, 0<r<2
- 40. 34 3.18. FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B . e., = f D·jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dS (P t + 47tp.)L = D (2TtrL) de lo que se desprende que D _ P t + 47tP . - 27tr Sr r> 2 [CAP. 3 z t Fig. 3-16 z t oo Jt- ~dZ T y X t -00 Fig. 3-17 Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sre : 2r (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hall~r D. ". Como P no es una función de (jJ o z . el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de Gauss es . 3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad uniforme de carga p (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. Para los datos numéricos, 0.477 -- Sr (¡.tC ¡m2) r D = 0.239 -- Sr (¡.tC /m2) r 0<r<2m r>2m 3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua- les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu- lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo. Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani- llos. Para la superficie gausiana l. Qenc = O = D f dS En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc- ción radial, se puede tomar una tajada dz del cilindro de carga y el resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el plano del anillo, D y E son cero. e., = f D· dS superficie lateral' L 2ft , f f f 5re- 2rr dr d (jJ d z = D (2nrL) O O O 5nL[e-2r ( _r2 - r -1 ) + 1 ]= D (2nrL) Por consiguiente D = 2.5 [1- e- 2r(r2 + r + 1)]Sr (C/m2) r
- 41. CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS 35 De la figura 3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p (C /m 3) Q.nc = D (2nrL) D=O Para 2 ~. r ~ 4 m, npL(r2 - 4) = D (2nrL) D =.t (r2 - 4)a, (C/m2) 2r ----- -~--- /- - -.......•.. , r : ---) -------"" Para r > 4 m, 12npL = D (2nrL) D = 6 p a, (C/m2) r t -00 Fig. 3-18 3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::;a contiene una densidad uniforme de car- ga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres- pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el mismo campo D para, > a ? Para una superficie gausiana como ~ que aparece en la figura 3-19, z y pr D=-a 3 ' r :5: a + - - - - - l~ Y Para puntos fuera de la distribución de carga, x r = a p a 3 de donde D= -2 a, 3, Fig. 3-19 r > a Si una carga puntual Q = (4/3}1ta 3p se coloca en el origen, el campo D para r > a será el mismo. Esta carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen. 3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe- rior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas. Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior. La frase despr ecie el efecto de bor des asegura que todo el flujo es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial mostrada en la figura 3-20, Q.nc = f D· dS + f D . dS + f D . dS arriba abajo lado + P , = 0+ f D ·dS+ O abajo ~-P ' ó p,A= D fdS= DA Fig.3-20
- 42. 36 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3 dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A es el área. Por consiguiente, y ELKJIHGFEDCBA = XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I!!. a. (V/m) (o Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa. Problemas suplementarios 3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de carga es Resp. 84.9}J .C 3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; <p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga P = 2z sen-' <p (C/m). Resp. 4.91 C 3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas, halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co. Resp. 3.97 P o r~, 6.24 P o r~, 6.28 P o r~ 3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga ¿Qué flujo neto cruza la superficie S? Resp. - 2po (C) 3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad ¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m? Resp. -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C 3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para k < a y k > a ? Resp. Q , Q ' 3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica centrada en el origen con, = 3 m? Resp. 18}J.C ,. 3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; <p :s; p . Resp. {J -IX -Q 2n
- 43. CAP. 3) FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS 37 3.30. U na carga puntual dejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un área de 41t m2 sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m. Resp.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q 19 (C) 3.31. Un área de 40.2 m2 sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? Resp. - 50 J .le 3.32. Una carga lineal uniforme con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del plano y = 6 que contiene -1 ::; z ::; I? Resp. 5.26% 3.33. Una carga puntual, Q = 3 rrC, está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo 'JI cruza la porción del plazo z = 2 m para el que -4 ::; x ::; 4 m y -4 ::; Y ::; 4 m? Resp. 0.5 nC 3.34. Una carga lineal uniforme con p , = 5 /J C fm yace a lo largo del eje x . Halle D en (3, 2, 1) m. Resp. (O.356)(2afi a.) J .le/m2 3.35. U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, rodeado por una distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q . Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a . Obtenga D en todas las regiones. Resp. 'fI = 41t,2 D = 10+ Q r < a 1 ,>a 3.36. Dado que D = 500e-O ' 1x a x (J .lel m-), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. Resp. 452J .tC , 303J .le, 184 J .le 3.37. Dado que D = 5x2 a x + l Oza , (el m2 ), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. Resp. 80 e 3.38. Dado que en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por, = 2b, z= O , y z = 5b (m ). Resp. 129b2 (C ) 3.39. Dado que sencjJ D = 2,coscjJa.; - 3 r a. en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a, O ::; cjJ ::; 1t/2. Repita el ejercicio para 31tI 2 ::; cjJ::; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de az' a a Resp. 3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a, z = O contiene carga con densidad no uniforme p,(r, cjJ). Utilice superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados de D sobre el eje z , ( a ) muy cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) . Resp. (a) p,(O,cjJ); (b ).J L donde Q = rfGp,(r,cjJ)rdrdcjJ 2 4nz2 o o 3.41. Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1m2 • ¿Qué densidad superficial de carga sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para, > 2 m? Resp. -71.2 pel m? 3.42. Dada una distribución de carga con densidad P = 5, (el rn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss para hallar D. Resp. (5r2 /4}a, (e/m2)
- 44. 3'8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3 3.43. Hay una densidad uniforme de carga de 2 e / m ' en el volumen 2 :$jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED x :$ 4 m (coordenadas cartesianas). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. Resp. -2a" e/m 2, 2(x - 3)a" (e/m2), 2a" e/m2 3.44. Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está comprendida entre los conductores concéntricos de un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio a . Desprecie el efecto de bordes. Resp. ps.(a lr), ps.(a /(o r) 3.45. Un conductor de espesor determinado tiene una densidad superficial de cargaXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p s : Suponiendo que 'P = Odentro del conductor. demuestre que D = x:o, apenas fuera del conductor, construyendo una superficie gausiana especial.
- 45. Capítulo 4 DivergenciaFEDCBA y teorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcb 4.1 DIVERGENCIA La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos maneras. La primera de ellas es lajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA diver gencia , que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la derivada de una función. La segunda es el r ota ciona l, vector que se examinará cuando se discutan los campos magnéticos en el capítulo 9. Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la región contienefuenteso sumider os; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica positivaaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q . El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que contiene cargas positivas contiene fuentes de 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será positiva en esta región. Una correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la carga eléctrica negativa. La divergencia del campo vectorial A en el punto P está definida porTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d i A l'~ '_ A - , - - · d_S I V == l m - . & v "'O L v La divergencia puede ser expresada para cualquier campo vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo con aristas L x , L y , y L z paralelas a los ejes x, y y z , como se muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define en P , esquina del cubo correspondiente a los valores menores de x, y y z. i l l z p 1 A I1 x l1y En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal L v que se comprime hasta el punto P . 4.2 DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS z y A = Axa x + Aya y + Azaz Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6 x caras. Sobre cada cara la dirección de dS es saliente. Como las caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará Fig.4-1 dos caras paralelas cualesquiera. En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara 1 tiene vista total. Las componentes x de A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de 1 aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas, fA . dS,:;:; -A A x )L y L z c a r a izquierda dS 1 fA ' dS::::: A A x + L x )L y L z c a r a derecha I1 x Fig.4-2 39
- 46. 40 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4 de manera que el total para estas dos caras esjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a Ax ;¡ -AxAyAz vX El mismo procedimiento se aplica a los restantes pares de caras y se combinan los resultados.TSRQPONMLKJIHGFEDCBA f A dS ( a Ax oAy O Az) A • • A A ~ . ~ - + - + - ilAuyu", oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ay a z Dividiendo por Ax Ay Az = Av y haciendo Av - + 0, se obtiene (cartesiano) El mismo método puede aplicarse para coordenadas cilíndricas (problema 4.1) Y esféricas. di A _ 1 a ( A) 1 a A< /> a Az IV --- r + - - - + - r a r ' r a e/> a z . 1 a (2) 1 a ( ) 1 a A< /> dIV A = '2:l r A , + - - ( ) ~ ( )A g s e n () + - - ( ) ~,.¡., r o r rsen u rsen v v ' (cilíndrico) (esférico) 4.3 DIVERGENCIA DE D De la ley de Gauss (sección 3.3), § D· dS Qenc = Av En el límite, lím ~ D • dS d' D u Qenc = IV = 1m -- = p I!.V "'O Av I!.v ..• O Av Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwell para campos estáticos: div E = e f si e es constante en toda la región que se está considerando (si no lo es, div iE = p ). Así pues, ambos campos E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región libre de carga . . div D = p y EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la región r :$ o contiene una densidad uniforme de carga P . Para r > o la densidad de carga escero. Del problema 2.56, E = E , 8" donde E , = (p rf3 (o) para r s ; o y E , = (p o 3 / 3 lo r2) para r > o . Entonces para r :$ o, . 1 a ( 2 pr ) 1 ( 2 p) P div E = ~ ar r 3io = ~ 3r 3(0 = ~ y, para r > o, . 1 a (2 p a 3 ) d l v E = - - r - - = 0 r 2 0r 3io r 2 4.4 EL OPERADOR NABLA El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en coordena da s ca rtesia na s corno
- 47. CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIATSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 1 En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representaraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d i d x . Los símbolos r y f son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V, solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A . . _(i. i. ~) .(A A A ) _ o A " o A y o A z - di V A -jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ax a" + ay ay + OZ sr "a" + .,al' + • az - OX + oy + OZ - IV A De aquí en adelante, escribiremos la divergencia de un campo vectorial como V . A. [ Atenciá nl El operador nabla sólo está definido para coordenadas cartesianas. Si V . A se utiliza para expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas ci- líndricas se escribe como 1 o 1 0 A .p o A . V 'A = - - ( r A ) + - - + - r or r r oq, iJ z (véase sección 4.2). Esto no implica que 1 iJ 1 iJ () iJ () V == - - (r lar + - - - a + - - a r ar r iJ q , .p OZ % en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r esulta do fa lso si se utilizara en V V (el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) .. 4.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . dS es igual a la carga encerrada. Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues, Pero p = V . D, entonces f D' dS = J (V' D )dv JI Este es el teor ema de diver gencia , también conocido como teor ema de diver gencia de G a uss. Es el análogo tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial. teorema de la divergencia fA' dS = f (V' A)dv s v Por supuesto, el volumen v es aquél que está encerrado por la superficie S.FEDCBA E J E M P L O 2: La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.
- 48. 42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4 Para S, escogemos la superficie esféricajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = b :s ; a .aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f (V, E)dv 2. • pb3 = f f - senf d O d 4 > o o 3 E 47tpb3 = - - 3 E y V . E = ~ ~ (r2 pr) = f!.. r 2 or 3 E E 2. ~ b P f f f - r 2 se n O d rd O d 4 > o o o E 47tpb3 3 E ff (~:FEDCBA a ,). (b 2 se n O d 8 d 4 > a,) El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticos como a campos variablescon el tiempo en cualquier sistema de coordenadas. El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario cambiar de una integral de superficie cerrada a una integral de volumen. Pero por eso puede usarse también para convertir la integral de volumen de una función, que puede ser expresada como la divergencia de un campo vectorial, en una integral de superficie cerrada. P r o b l e m a s r e s u e l t o s 4 . 1 . Desarrollar la expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas. U n volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Sr, r!l.4> , y !l.z. El campo vectorial A está definido en P , esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r,4> , y z, como A = A,a, + AoIJa4> + A.a. z Por definición, . ,fA ' dS d¡vA= hm --- 6v~O !l.v y Para expresar fA ' dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen. Para la componente radial de A ver la figura 4-4. En la cara izquierda, fA' dS ~ -A,r!l.4> !l.z F i g . 4 - 3 y en la cara derecha, fA' dS ~ A,(r + !l.r){r + !l.r)!l.4> !l.z ~ (A, + °o~'!l.r )(r + !l.r)!l.4> !l.z ( OA,) ~ A,rA4> !l.z + A, + " s !l.r!l.4> !l.z s-. dS ~~+ Ar ) ~ F i g . 4 - 4 donde el término en ( !l.r)2 ha sido despreciado. La contribución neta de este par de caras es entonces ( oA ) o 1 a A, + r -' !l.r !l.4> !l.z = - (rA,)!l.r !l.4> !l.z = -;- (rA,)!l.v or or r o r (1) ya que !l.v = r!l.r!l.4> !l.z.
- 49. CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 43 En forma similar, las caras normales aTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a q , dan y para una contribución neta deaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 0 A q , - - - L v r 04> (2 ) y las caras normales a a, dan yjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( A. + °o~z LZ) r L r .14> para una contribución neta de oAz - L v oz (3) Cuando (l), (2) Y (3) se combinan para dar §A . d S , la definición de divergencia es: . 1 o(r A,) 1 oA4> oAz d l v A = - - - + - - + - r or r 04> oz 4.2. Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme. Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas, E=~a 21tE o r ' Entonces v . E = ~ ~ (r ~) = O r or 21tE o r La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r = O, donde la expre- sión es indeterminada. 4.3. Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero. Para una carga puntual, en coordenadas esféricas, Q D = - 4 2 a, 1tr Entonces, para r > 0, 4.4. Dado A = e -r(c o s x a , - sen x ay), hallar V' A. 4.5. Dado A = x 2 .x + y z a )' + x y a z , hallar V' A. o o o V ' A = - (X2) + - (yz) + - (xy) = 2 x+ z ox ay OZ
- 50. 44 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4 4.6. Dado ATSRQPONMLKJIHGFEDCBA = aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 ( sen ~x )a"" hallar V· A en x = l. a ( 1 tX ) V . A = - 5x2 sen- ax 2 ( 1 t X ) 1 t 1 tX 5 1 t X 1 t X = 5 X 2 cos - - + lOx sen- = - 1 tX 2 cos - + 10x sen- 2 2 2 2 2 2 y V· A l = 10. x=l 4.7. Dado A = (X2 + y 2 t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O). y V· A l = -8.84 x 10-2 (2.2.0) 4.8. Dado A = r sen 4>FEDCBA a , + 2r cos 4>a", + 2z2a%, hallar V· A. 1 a 1 a a V ' A = - - (r2 sentj» + - - (2rcostj» + - (2z2 ) r a r r a tj> a z = 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z 4.9. Dado A = r sen tP a , + r 2 cos 4>a", + 2re - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n/2, O). 1 a 1 a a V' A = -- (r2 sentj» + - - (r2 costj» + - (2re-S %) = 2sentj> - rsentj> - 10re-s% r a r r a tj> a z y I 1 t 1 1 t (1) o 7 V· A = 2sen- - -sen- - 10 - e = -- (1/2.,,/2.0) 2 2 2 2 2 4.10. Dado A = 10 sen24> a , + ra", + [(z2/r)cos2 4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5). V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos2 tj> r y V .A I = 5 (2 .< 1 > . S ) 4.11. Dado A = (5/r2) sen Ba, + r cot é a, + rsen Bcos4>a"" hallar V· A. la 1 a 1 a V· A = - - (5senO) + - - - (rsenO cotO ) + - - - (rsenO costj» = -1 - sentj> r2 a r rsenO a o rsenO a tj> 4.12. Dado A = (5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa"" hallar V· A. V . A = ~~ ( 5 ) + _ 1 _ ~ (10)+ _ 1 _ ~ (-r2 tj> senO ) = -r ,2 a r rsenO a o rsenO a tj> 4.13. Dado A = 5 sen O a, + 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n/4, n/4). 1 a 1 a ' cosO costj> V' A = --- (5sen2 0) + - - - (5sentj» = 10-- + 5-- r seno a o r senO a tj> r r senO y V 'A I =24.14 (0 .S .,,/4 .,,¡4 )
- 51. CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 45FEDCBA 4 . 1 4 . Sea D =jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas cartesianas y D = (P o z/TSRQPONMLKJIHGFEDCBA Iz l)a: en las otras partes. Halle la densidad de carga. V·D = p Para - l ~. z ~ 1. y para z < - l ó z > 1, L a distribución de carga aparece en la figu- ra 4-5. F i g . 4 · 5 4 . 1 5 . Sea en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 0 0 P = - - [b(r2 + z2r3!2r2] + - [b(r2 + z2r3J2z] r or oz = ~ f - ~ (r2 + z2rS/2(2r3) + (r2 + z2r3/2(2r)] + b f - ~ (r2 + z2t SI1(2z2) + (r 2 + z2t3/2] = b(r2 + z2rS/2[ -3r2 + (r2 + z2)(2.) - 3z2 + (r2 + Z2)] = o a menos que r = z = O. (El campo dado D corresponde a una carga puntual en el origen.) 4 . 1 6 . SeaD=(lOr3j4)ar( C jm 2)enlaregiónO < r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar (C j m 2) en cualquier otro sitio. Halle la densidad de carga. Para O < r ~ 3 m, y para r > 3 m, 1 o p = - - (810/4) = O r or 4 . 1 7 . Sea D = º2'(1-cos3r)ar n r en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga. p =..!.. ~ fr2 J L (1 - cos 3r)-] = 3Q sen3r ,2 or n r2 , nr2 4 . 1 8 . Sea D = 7r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. 1 o 1 o 56 cos O· p = - - (7r4 ) + - - - (28sen2 O) = 28r + - - r2 or rsen () 0 0 r
- 52. 46 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4 4.19. En la región OTSRQPONMLKJIHGFEDCBA < aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r:S 1 m, D=(-2 x 1 O - 4 /r)a, (C !m jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2) y para r > 1 m, D=(-4 x 1 O - 4 /r2)a; (C/m2), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones. Para O < r s; l m. y parar > I m, 4.20. En la región r :S 2, D = (5r2/4)a, y para r > 2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Para r ::;;2, y para r > 2, 1 o P = 2 - ( 2 0 ) = O r or 4.21. Sea D = (lOx3/3)ax (C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes. f n- dS = f ( V ' D )dv vol Como O tiene sólo componentes x, D .dS es cero en todas las caras excepto x = l m y x = - I m (ver figura 4-6). 1 1 10(1) fO'dS= f f -a x'dydza ", - 1 - 1 3 +f l fl.1 0 (-I) a",' dydz (-a",) - 1 - 1 3 40 40 80 = - + - = - c 333 y Fig.4-6 Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O = 10x2 , entonces 4.22. Sea A = 30e-'a, - 2zaz en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por r = 2, z = O Y z = 5 (figura 4- 7). Cabe anotar que Az = Opara z = Oy, por consiguiente, A ·dS es cero sobre esa parte de la superficie. 5 2,. 2" 2 fA' dS = f f 30e-2 a,' 2 dtj> dza, + f f -2(5)a.· r dr dtj> a . o o o o = 6Oe-2 (2n:)(5)"':' 1O(2n:)(2) = 129.4 A, Fig.4-7
- 53. CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 47 Para el lado derecho del teorema-de la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o a 30e-' V ' A = -- (30re-') + - (-2z) = -- - 30e-' - 2 r or oz r y 5 2n 2 (30e-' )aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f (V . A)dv = f f f -- - 30e-' - 2 r dr d o dz = 129.4 o o o r 4.23. Sea D = (lOr3 /4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de diver- gencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8). f D . dS = f (V . D )dv z Como D no tiene componente z, D 'dS es cero para la parte superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en dirección - .,. 10 2n 1 0 + f f -4 (2)3.,' (2)d< jJdz e, o o x - 2001t 2001t = - - + 16-- = 7501t C 4 4 Fig.4-8 Para el lado derecho del teorema de la divergencia: y 10 2n 2 f (V' D )dv = f f f (lOr 2 ) r dr d o dz = 7501t C o o 1 4.24. Sea D = (5,2/4)ar (C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9). f D ' dS = f ( V ' D )dv Como D sólo tiene componente radial, D· dS tiene valor diferen- te de cero sólo en la superficie r = 4 m. z 1 o V· D = - - (5r4 /4) = 5r r2 0r 2n tt/4 5(4)2 f D ' dS = t fo -4-.r· (4)2Sen8d8d< jJ .r = 589.1 C Fig.4-9 Para el lado derecho del teorema de la divergencia: y 2n n/4 4 f (V' D )dv = f f f (5r)r 2 sen8drd8d< jJ = 589.1 C o o o
- 54. 48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4FEDCBA P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s 4.25. Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristasaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG ~ r, r ~ O y r sen O ~ < jJ. 4.26. Muestre que V • E es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme. 4.27. El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± d f 2 sobre el ejejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z es Q d ETSRQPONMLKJIHGFEDCBA = --3 (2cosOa, +senOa9) 4 n (0 r Demuestre que la divergencia de este campo es cero. 4.28. Dado A = e5x a x + 2cosyay + 2 senz a ,; halle V· A en el origen. Resp. 7.0 4.29. Dado A = (3x + y2)a x + (x - y2)a)" halle V . A. Resp. 3 - 2y 4.30. Dado A = 2xya x + za y + yz2a z, halle V· A en (2, - 1, 3). Resp. - 8.0 4.31. Dado A = 4xya x - xy2 a y + 5 sen z a z' halle V . A en (2, 2, O). Resp. 5.0 4.32. Dado A = 2r cos- <jJa, + 3r2sen z aoj¡+ 4z sen- <jJaz , halle V ' A. Resp. 4.0 4.33. Dado A = (1 O /r 2)a ,+ 5e-2za z ' halle V 'A en (2,4> 1). Resp. -2.60 4.34. Dado A = 5 cos ra, + (3ze- 2'/r)a" halle V ' A en (n, 4>,z). Resp. - 1.59 4.35. Dado A = lOa, + 5 sen O a9, halle V • A. Resp. (2 + cos O)(lO/r) 4.36. Dado A = ra, - r2 cot 0 8 9 ' halle V . A. Resp. 3 - r Dado A = [(10 sen- O )fr]a " halle V . A en (2 ,n /4 ,4 » . 4.37. Resp. 1.25 4.38. Dado A = r2 sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A. Resp. 4r sen O + C~4» cot e 4.39. Demuestre que la divergencia de E es cero si E = (lOO/r}a.¡, + 4Oaz• 4.40. En la región a ~ r ~ b (coordenadas cilíndricas), y para r > b , Para r < a , D = O. Halle p en las tres regiones. Resp. O, P o, O 4.41. En la región O < r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (4r-1 + 2e-O . 5 , + 4r -1 e- 0.5 ')ar, y para r> 2. D = (2.057/r)a,. Halle p en ambas regiones. Resp. _e-O . 5 " O 4.42. En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D = (lOr + (r2/3)]a" y para r > 2, D = [3/(128r)]a,. Halle p en ambas regiones. Resp. 20 + r, O
- 55. CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 49 4.43. Sea DTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 10 senaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O FEDCBA a , + 2 cos O as. Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Resp. senO - (18 + 2cot2 O) r 4.44. Sea 3r D = - 2 - - a , r + 1 en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 3(r 2 + 3 )/(r 2 + 1)2 en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. Resp. 4O e-l , 4.45. Sea 4.46. En la región r ~ 1 (coordenadas esféricas). D = (4' _ ~)a 3 5 r y para, > l. D = [5/(63,l)]a,. Halle la densidad de carga en ambas regiones. Resp. 4 - ,2. O 4.47. La región r ~ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo E = (5r x 1O-5 /Eo)a, (V 1 m ). Halle la carga neta encerrada por la concha, = 2 m. Resp. 5.03 x 10-3 e 4.48. Sea D = (5r2 /4)a, en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu- men encerrado por, = l Y r = 2. Resp. 75n 4.49. Sea D = ( 1 0 r 3 / 4 ) a , en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu- men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10. Resp. 800n - 4.50. Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por la concha, = 2. Resp. 40n 2
- 56. Capítulo 5 Energía y potencial eléctrico de los sistemas de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT 5.1 TRABAJO REALIZADO EN CARGAS PUNTUALES EN MOVIMIENTO En un campo eléctrico E una carga puntualZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q experimenta una fuerza que está dada por F=vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -QE Si esta fuerza se desbalancea, se produce una aceleración de la par- tícula cargadaYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y su movimiento se dirige hacia el campo si Q es positiva. (Ver figura 5 -1.) Para poner la carga en equilibrio se requiere una fuerza aplicada igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza del campo: Fig.S-l El trabajo se define como una fuerza que actúa a distancia. Por consiguiente, la fuerza aplicada realiza una cantidad diferencial de trabajo dW cuando la partícula cargada se mueve (a velocidad constante) a lo largo de una diferencial de distancia dt. Ahora, el trabajo puede ser positivo o negativo, según la dirección de di, vector desplazamiento, con relación a la fuerza aplicada, Fa. Cuando di y F a no están en la misma direc- ción, la componente de la fuerza en la dirección de di debe usarse. Todo esto se expresa simplemente por: ·dW = F"dtcos8 = Fa' di Así pues, en un campo eléctrico el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es dW= -QE ·dl Adoptándose esto como expresión definitiva para el trabajo realizado al mover una partícula cargada en un campo eléctrico, un valor positivo significará que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para ocasio- nar un cambio de posición y un resultado negativo indicará que el trabajo ha sido realizado por el campo. En los tres sistemas coordenados las expresiones para di son: di = dx e; + dyay + dz e; di = dra, + rdcJ> a~+ dZ8: di = dra, + rd8as + rsen8dcJ>a4> (cartesiano) (cilíndrico) . (esférico) EJEMPLO 1: Halle el trabajo realizado al mover una carga de + 2 e desde (2, O, O) m hasta (0,2, O) m a lo largo de la línea recta que une los dos puntos, si el campo eléctrico es E = 2X8x - 4ya, (V/m) El trabajo diferencial es dW = - 2(2x8x - 4Y8,)' (dX8x + dY8y + dZ8.) = -4xdx+ 8ydy La ecuación de la trayectoria es x + y = 2 y, por lo tanto, dy = - di a lo largo de la trayectoria. Por consiguiente, dW = -4xdx + 8(2 - x)(-dx) = (4x - 16)dx o W = f (4x - 16)dx = 2 4 J 2 y 50 y (0,2, O) Trayec.2 O (2, O, O) Fig.S-l x
- 57. CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 51 (Recuérdese que 1 V/m = 1 N /e = 1 J /e · m.) El trabajo realizado en una carga puntual en movimientovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Q desde el puntoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B hasta el punto A en un campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero: (campos estáticos) Tal campo vectorial se denomina campo conservativo. EJEMPLO 2: Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 e es movida desde (2, O, O) m hasta (O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y. La trayectoria se muestra en la figura 5-2. Sobre el primer segmento, y = dy = dz = O, así pues dW ='-2(Oa" - 4yay)' [Oa; + dYIl}. + Oa.) = 8ydy dW = -2(2xa" - Oay)' (dxa" + OBy+ Oa.] = -4.xdx Sobre el segundo segmento, x = dx = dz = 0, así que: Por lo tanto, o 2 W = -4 f xdx + 8 f ydy = 24 J 2 o este es el mismo valor encontrado para la trayectoria del ejemplo l. 5.2 POTENCIAL ELECTRICO ENTRE DOS PUNTOS El potencia/ del punto A con respecto al punto B se define como el trabajo realizado al mover una carga positiva unitaria, Q u' desde B hasta A . W A VA B = - = - fE' di (J/C ó V) Qu B Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza Fa = - QE, que fue' aplicada para poner la carga en equilibrio. Puesto que E es un campo conservativo, VA B = VA C - VB C de aquí que VA B se considere como la diferencia de potencia/entre los puntos A y B. Cuando ~B es positivo, debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde B hasta A y se dice entonces que el punto A está a un potencial más alto que el punto B . En el ejemplo 1, si el punto B se toma en (2, O, O) m yel punto A en (O, 2, O) m, entonces 24J VA B = - = 12V 2C El punto A está a un potencial más alto que el punto B, (lo está en 12 V). Además, el potencial VaA debe ser -12 V, ya que V B A difiere de ~B sólo por la inversión de los límites superior e inferior en la integral definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado. """ Pt EJEMPLO 3: Encuentre el potencial de A , (1, <P, z ), con respecto a B , (3,1> ', z"), en coordenadas cilíndricas, donde el campo eléctrico es pro- ducido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8, (V 1m ). Debe anotarse primero que di tiene componentes en las direcciones' aro a~, ya; y que E tiene dirección radial. Entonces E . dI = Ei dr, yasí A 1 50 1 VA B = - fE' dI = - f - dr = - 50 In -. = 54.9 V 8 3 r 3 El punto A está a un potencial más alto que el punto B . r= 3 m Fig.5-3
- 58. 52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 Como no hay trabajo en movimiento a lo largo deYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 84> o az' todos los puntos sobre el cilindrovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT r = constante deben estar al mismo potencial. En otras palabras, para una línea uniforme de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son superficies equipotenciales. Como el campo eléctrico producido por una carga puntualZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q tiene dirección radial, 5.3 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL A r A Q 'A dr Q (1 1) VA B = - fE' di = - f E, dr = - - f 2 = - - - - B '8 4ltio '8 r 4ltio rA rB Para una carga positiva Q el punto A está a un potencial más alto que el punto B cuando rA es menor que rn- Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Si al punto de referencia B se le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces o En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta infinito. 5.4 POTENCIAL DE UNA D1STRIBUCION DE CARGA Si hay carga distribuida en algún volumen finito con una densidad de carga conocida p (C I m '), entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en la figura 5-4. Entonces en P. dQ dV= -- 4ltio R V= f ~ vol 4ltio R dV ~p -- R La integración sobre el volumen da el potencial total en P: Fig. 5-4 donde dQ está reemplazado por p du. Ahora, no debe confundirse R con r del sistema de coordenadas esfé- ricas. R no es un vector sino la distancia desde dQ hasta el punto P. Finalmente, R casi siempre varía de lugar a través del volumen y entonces no puede removerse del integrando. • Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, la expresión de arriba para Vse cumple, siempre y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y Ps o Pt estén usados en lugar de p. Debe hacerse hincapié en que todas estas expresiones para el potencial en un punto externo están basadas en una referencia cero en el infinito. 5.5 GRADlENTE Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5 (a) muestra dos puntos vecinos, M y N . de la región en que está definida una función escalar V. El vector separación de los dos puntos es dr = dx e; + dye; + dz s,
- 59. CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 53ZYXWVUTSR M (x,y,z)vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + dx ; y + dy ; z + dz) y x x (a) Fig. S-S Por el cálculo, el cambio en V desde M hasta N está dado por av av av dV = -dx + -dy + -dz ax ay az Ahora, el operador nabla, introducido en la sección 4-4, sobre V da De lo que se deduce que dV = VV· dr z ~ V(x,y,,)", V (x, Y. z) = el y (b) El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gradiente de la función escalar V. Se ve que para una Id rl fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional a la proyección de VV en esa dirección. Así pues VV yace en la dirección de máximo incremento de la función V. Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = Cl [ver figura 5-5 (b)]. Entonces dV = O lo que implica que V V es perpendicular a dr. Pero dr es tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización adecuada de N, éste representa cualquier tangente a través de M. En consecuencia, VV debe estar a lo largo de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I hacia V (x, y, z) = c2, donde C2 >cl• El gradiente de unafunción potencial es un campo vectorial el cual es en todo punto normal a las superficies equipote.nciales. El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la distancia en dirección del vector unidad particular. av av av VV = a,: a, + r ao ao + rsenO acIJ a4> (cartesiano) (cilíndrico) (esférico) Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier sistema coordenado, debe recordarse que el operador nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.
- 60. 54 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 5.6 RELACION ENTRE E YZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V A partir de la expresión integral para el potencial de A respecto de B . el diferencial de V puede escribirse comovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dV= -E·dl Por otro lado, dV = VV ·dr Como diYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = dr es un pequeño desplazamiento arbitrario, se deduce que E= -VV La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida, tomando simplemente el negativo del gradiente de V . Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las superficies equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo en V . Con el signo negativo se encuentra que el campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V . 5.7 ENERGIA EN CAMPOS ELECTRICOS ESTATICOS Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribución de n = 3 cargas puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga y con E = O en todas partes. Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para Q colocar la primera carga Q ., en la posición l es cero. Por 1 tanto, cuando Q2, se mueve hacia la región, se requiere un trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de Q •. El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es WE= W1+ W2+ W3 = O + (Q2 V2.1) + (Q3 V3.1 + Q3 V3.2) 0 0 Fig. 5-6 El potencial V2 • debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la carga Q . en la posición 1". (Esta notación, poco usual, no aparecerá de nuevo en este libro.) El trabajo W E es la energía almacenada en el campo eléctrico de la distribución de carga. (Ver problema 5.20 para un comentario sobre esta identifica- ción.) Ahora, si las tres cargas se trajeran a su sitio en orden inverso, el trabajo total sería WE= W3+ W2+ W¡ ,;, O + (Q2 V2•3) + (Qt V1•3 + Qt V1.i) Cuando las dos expresiones arriba se suman, ei resultado es dos veces la ~nergía almacenada: El término Q. (V 1.2 + V 1.3) era el trabajo hecho contra los campos de Q2 y Q3' únicas otras cargas en la región. Así que, V i, 2 + V r, 3 = V ., potencial en la posición 1. Entonces y para una región que contiene n cargas puntuales. Para una región con densidad de carga p (C I m ') el proceso sumatorio se convierte en una integración,
- 61. CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 55 Otras expresiones (ver problema 5.15) para la energía almacenada sonYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR 2 ~= -f-dv 2 (. En un circuito eléctrico, la energía almacenada en un condensador está dada por 1 1 2 WE = -QV = -CV 2 2 donde C es la capacitancia (en faradios), Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores que constitu- yen el condensador y Q es la magnitud de la carga total sobre uno de los conductores. EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico. Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)an entre las placas y E = O en cualquier otro lugar. 1 f 2 W E = 2 a: dv e (V)2 = 2 d f dv + v.= .. Fig. 5-7 Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por medio de la ley de Gauss (sección 3.3). Entonces Problemas resueltos 5.1. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = - 20 J1.C desde el origen hasta (4, O, O) m en el campo E = (~+2Y~" + 2X8y (V/m) y y dW = -Q E ' di = (20 x 1O-6)(~ + 2Y)dX W= (20x 1O-6)((~+ 2Y)dX = 80pJ (4.2. O) Para una trayectoria a lo largo del eje x. di = dx a". (0,0,0) (4.0,0) I x Fig. 5-8
- 62. 56 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 5.2. En el campo del problema 5.1, mueva la carga desde (4, O,O) m hasta (4,2, O) mYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED y determine el trabajo realizado. Ahora (sección figura 5-8)vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA di = dyay, y así 2 2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA W = (20 x 10-6 ) f 2xdy = (20 x 10-6 )(2)(4) f dy = 320 JÚ o o 5.3. En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizado al mover la carga desde el origen hasta (4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos. La ecuación de la línea es x = 2y. de lo cual dx = 2 dy, dz = O. Entonces Para integrar respecto de x , y y dy se cambian a x/2 y dx l L. 45 W= (20x1O-6 )I -xdx= 400JÚ o 2 que es la suma de 80 l1J Y 320 f.1J, datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2. 5.4. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 5 p 'e desde el origen hasta (2 m, n/4, 1t/2), coordenadas esféricas, en el campo 10 E = 5e-r/4 a + --- a (V/m) r r sen (J q, En coordenadas esféricas, z dI = dr s, + rdeas + rsenedq,a. Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del segmento de = dq, = O, y dW = -QE' dI = (-5 x 1O-6)(5e-'14 dr) A lo largo del segmento 11. dr = de = o, y dW= -QE' dl=(-5 x 1O-6 )(1Odq,) A lo largo del segmento 111. dr = de/> = O, y dW = -QE' dI = O Fig. 5-9 Por consiguiente, 2 _12 W = (-25 x 10-6 ) f e-r/4 dr + (-50 x 10-6 ) f dq, = -117.9 JÚ o o En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 JÚ. 5.5. Sea el campo E = (k/ r)a" en coordenadas cilíndricas. Demuestre que el trabajo necesario para mover una carga puntual desde una distancia radial r hasta un punto situado a dos veces esa distancia radial, es independiente de r. Como el campo tiene solamente componente radial, -kQ dW = -QE' dI = -QE,dr = -- dr - r Para los límites de integración use r I y 2r l. 2" dr W = - kQ f - = - kQ In 2 " r independiente de r.
- 63. CAP. 5] ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 57 5.6. Dada una carga lineal deZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p, = (10-YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9 /2) e / m sobre el ejevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE z, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes (4 m , n, 5 m ). A VAS = - f E·dI S donde Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr. 5.7. En el campo del problema 5.6, hállese VBC• donde r , = 4my r C = 10 m. Luego, determínese VACY compárese éste con la suma de VAB y VBC• VB C = -9[lnr]:: = -9(1n4 -In 10) = 8.25 V V A C = -9[lnrt = -9(ln2 -In 10) = 14.49 V V A B + V B C = 6.24 V + 8.25 V = 14.49 V = V A C 5.8. Dado el campo E = ( -16/ r2)a, (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto (2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ). Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r = 2 m sea A y r = 4 m, sea B . Entonces 2 (-16) VAB = - t 7 dr = - 4 V 5.9. Una carga lineal de p, = 400 p Cj m yace a lo largo del eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O, 5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10). Halle el potencial en (2, 3, - 4) m. z Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordena- das x de los dos puntos pueden ignorarse. rA= J9+ 16= 5m rB = J25 + 144 = 13 m y Línea de carga Entonces V f rA Pt d p , rA A B = - - - r = - --In - = 6.88 V r. 27tE:o r 27tE:o rB Fig. 5-10 5.10. Halle el potencial en rA = 5 m respecto de r» = 15 m producido por una carga puntual Q = 500 p C en el origen y referencia cero en el infinito. Debido a la carga puntual, Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero. 500 x 10- 12 (1 1) V AB = 47t(10 9/367t) 5" - 15 = 0.60 V
- 64. 58zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrarZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA VvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y VIS' V15 = -.JL (~) = 0.30 V 47tt:o 15 Entonces 5.11. Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo circular de 2 m de radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compare el resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual. Con la carga en una línea, v - f p,dt - 41U oR z Aquí (40/3) X 10-9 10-8 p, = 2x(2) = ~ e /m y (ver figura 5-11) R = J29 m, dt = (2 m)dq,. Si la carga está concentrada en el origen. Fig. 5-11 v = (40/3) X 10- 9 = 24.0 V 4Xio(5) 5.12. Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida uniformemente sobre un disco..circular de 2 m de radio (figura 5-12). Como la carga está sobre una superficie, f p.dS V = 4XioR z R = J25 + r2 (m) (40/3) X 10-9 10-8 2 con P. = X(2)2 =~ Cim 10- 8/3x 2" 2 r drdq, V = f f = 23.1 V 4x(10 9/36x) o o J25 + r2 Fig.5-12 5.13. Cinco cargas puntuales iguales, Q = 20 nC, están localizadas en x = 2,3,4,5 y 6 m. Encuentre el potencial en el origen. 5.14. Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L (figura 5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r¡ y'2 sean peque- . ños comparados con la longitud, el potencial Vl2 es el mismo que para una línea infinita de carga.
- 65. CAP. 5] 5.15. ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 59 El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, esZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V IYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 2vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fL p,dz o 47Uo(Z2 + ri)I/2 = 2p, [1n(z+Jz2+d)]L 47tlo o = ~ [In (L + J13 + d ) - In r¡) 27tfo En forma similar, el potencial en el punto 2 es Ahora si L ~ rl y V I :::; ~ (In2L - ln r.) 27tfo Entonces -L lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita. Fig. 5-13 Hay una carga distribuida en un volumen v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con energía almacenada Demuestre que una expresión equivalente para la energía almacenada es La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R . Como p es nula fuera de v, tf 1· 1f WE= - pVdv= -J pVdv= - (V'O)Vdv 2 lo' 2 volumen 2 volumen esferoidal esferoidal El vector identidad V' V A = A' VV + V(V' A), aplicado al integrando, da: WE = ~ f (V , VO)dv - ~ f (O ' VV)dv 2 volumen volumen esferoidal esferoidal Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente grande. Se debe hacer R ....•co. La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema de divergencia, a 1 ! - j VO·dS 2 superficie esferoidal Esfera Fig. 5-14
- 66. 60 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP.vutsrqponml S Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumen encerrado parece una carga puntual. De esta manera, en la superficie, D aparece como k ti R2 Y V como k2/ R. Así que el integrando decrece con 1/ R3. Como el área de la superficie aumenta sólo con R2, se concluye que límf VD· dS=O ~-co superficie esferoidal La otra integral da, en el limite, y como D = (E. la energía almacenada está también dada porYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ó 5.16. Sea la función potencialZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V = 2x + 4y (V) en el espacio libre. Halle la energía almacenada en un volumen de 1 m3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m '. ( OV oV OV) E= -VV= - -a +-a +-a = -2a -4a (V/m) ox x ay y oz • '" Este campo es constante en magnitud (E = .jW V/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.) De todas maneras, es posible hablar de una densidad de energía para éste y otros campos. La expresión sugiere que cada volumen minúsculo dv tendrá asignado un contenido w dv, donde Para este campo, la densidad de energía es constante: 1 10-8 W = - (0(20) = -- J/m3 2 36n y así cada volumen de 1 m3 contiene (10 8f361t) J de energía. 5.17. Dos semiplanos conductores delgados, en 4J = O Y 4J = 1tJ6, están aislados uno del otro a lo largo del eje z. La función potencial para O ~ 4J ~ nJ6 es V = (-604J/1t) V. Halle la energía almacenada entre los semi planos para 0.1 ~ r ~ 0.6 m y O ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre. Para encontrar la energía almacenada, W'E' en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densi- dad de energía (ver problema 5.16) a través de la región. Entre los semiplanos, 1 a (-601/» 60 E= -VV= --- --- a.=-a. (V/m) r al/> n ' nr y así e 1 ,,/6 0.6 (60)2 300( W É = ~ f f f - rdrdI/> dz = __ o ln6 = 1.51 nJ 2 o o 0.1 nr n
- 67. CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGAYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC 6 1 5.18. El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos envutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK r = 0.01 m y r = 0.05 m está dado por E = (105/ r)a, (V/ m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre. 1 e h+ O.S 2" O.OS(105)2 WÉ= 2f€OEZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 dv= if h fo fo . ol -r- rdrd< jJdz= 0.224J 5.19. Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610 dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas? donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema. Entonces Q Q Q 4 x ' 10- 9 (1 1 1) V I = 2 + 3 + 4 = _ + _ + _ = 97.5 V 41t(0 R J2 41t(0 R 1 3 41tEo RI4 41tfo 1 1 J2 W E = 2QI V I = 2(4 x 10-9)(97.5) = 780 nJ Para sólo dos cargas, o 2WE = QI VI + Q2 V2 = 2QI VI -9 (4 x 10- 9 ) WE = Q I V I = (4 x 10) ¡; = 102 nJ 41tEoV 2 5.20. ¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·QI = 3 nC y . Q2 = - 3 nC, sepa- radas por una distancia de d = 0.2 m? 2WE = QI VI + Q2 V2 = QI (4~:d) + Q2(4~:d) W E = QIQ2 = _ (3 X 10- 9 )2 = -405 nJ 41t/:0 d 41t( 10 9/361t )(0.2) por esto Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2, y por con- siguiente 1 f 2 WE= - fE dv 2 todo el espacio es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, Ui = - 405 nJ, puede tomarse con el signi- ficado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las diferencias de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado. 5.21. Una concha esférica conductora de radio a, centrada en el origen, tiene un campo potencial v _ {Yo Voajr r~a r> a con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo representa. r< a r> c.
- 68. 62zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 Obsérvese que la carga total sobre la concha es, según la ley de Gauss, ( EOvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Voa)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Q = DA = ~ (47ta )YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED = 47tEo Voa mientras que el potencial en la concha es V = ~ . Así pues, WE = !Q V , resultado familiar para la energía alma-- cenada en un condensador (en este caso, un condensador esférico con la otra placa de radio infinito). Problemas suplementarios 5.22. Halle el trabajo realizado al mover una carga Q = - 20 JlC desde el origen hasta (4, 2, O) m en el campo 5.23. 5.24. 5.25. ·S.26. 5.27. , 5.28. 5.29. E = 2(x + 4Y)8x + 8X8y (V/m) Z a lo largo de la trayectoria x2 = 8y. Resp. 1.60 m J Repita el problema 5.4 utilizando una trayectoria de dirección radial. Resp. - 117.9 Jll ~ - - - - - ll- - - Y Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria mostrada en la figura 5-15. Resp. -117.9 Jll x Fig.5-15 Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 3 JlC desde (4 m, 7t, O) hasta (2 m, 7t/2, 2 m), coorde- nadas cilíndricas, en el campo E = (105 /r)a, + 105z8z (Y/m). Resp. - 0.392 J Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q = 2 nC desde el infinito hasta r = 2 m y desde el infinito hasta r = 4 m, en el campo E ,,;,(105/ r)a r (Y / m). Resp. 1.39 x 10-4 J . Una carga total de (40/3) nC está distribuida en forma de un disco circular de radio 2 m. Halle el potencial producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Compare este potencial con el que se obtiene si toda la carga está en el centro del disco. Resp. 49,7 Y, 60 Y U na carga lineal uniforme de densidad p( = 1 nC/ m está arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra en la figura 5 -16. Halle el potencial en (O, O, 5) m. Resp. 35.6 Y Z (O, O, 5) Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a d metros medidos radial mente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad uniformePr(C/m). Aplique este resultado, como prueba, al pro- blema 5.28. y x Resp. ~ In L/2 + Jd 2 + 1 3 /4 (V ) 27tfo d Fig.5-16 5.30. Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad superficial uniforme de carga P. sobre el anillo Z = O, R ~ r ~ R + I es independiente de R. 5.31. Una carga total de 160 nC está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del
- 69. CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA 63 plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límitevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pr = (160/61t) nCfm? Resp. 247 Y 5.32. En coordenadas esféricas, el punto A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo EYXWVUTSR = ZYXWVUTSRQPON ( -161 r2)a, (Y 1m), halle el potencial del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el punto B. Ahora exprese la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema 5.8. Resp. VA = 2 VD = - 8 Y 5.33. Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los potenciales en r= 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r= 5 m, pero opuesto en signo? Resp. 0.45 Y, 0.15 Y,oo 5.34. U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas cartesianas. Halle la diferencia de potencial VAB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m. Resp. 2.70 Y 5.35. Halle el potencial en coordenadas esféricas producido por dos cargas puntuales iguales, pero opuestas sobre el eje y= ±dI2. Suponga r ~ d. Resp. (Q d sen 8)/(41tt.or2) 5.36. Repita el problema 5.35 con las cargas sobre el eje z. Resp. (Q d cos 8)j(41tt.o r2 ) 5.37. Halle las densidades de carga sobre los conductores del problema 5J 7. Resp. 5.38. Una carga lineal uniforme con Pr = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny =3 m. Halle la diferencia de potencial VAB para los puntos A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O). Resp. -18.4 Y 5.39. Una carga laminar uniforme, con P. = (I/61t) nCfm2 , está en x =0 y una segunda carga laminar, con P. = (-1/61t) nCfm2, está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O). Resp. - 36 Y, - 24 Y, - 60 Y 5.40. Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas E = (51 r)a, (Y 1m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1m para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O). Resp. 8.47 Y 5.41. U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una dife- rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada, suponiendo que t. = t.o. Resp. 11.1 nJ 5.42. El condensador descrito en el problema 5.41 tiene un voltaje aplicado de 200 Y. (a) Halle la energía almacenada. (b) Mantenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en 200 Y, mientras se aumenta d2 a 2.2 cm. Halle la energía final almacenada. (Sugerencia: Mtí, = t(iC)V2) Resp. (a) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJl 1- o.sm---j Fig.5-17 5.43. Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales iguales, Q = 2 nC, dispuestas en línea con 0.5 m de separación entre ellas. Resp. 180 nJ 5.44. Repita el problema 5.43 si la carga en 'el centro es -2 nC. Resp. -180 nJ.
- 70. 6 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA [CAP. 5 5.45. Cuatro cargas puntuales iguales,vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q = 2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada. Resp. O, 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ 5.46. Dado el campo eléctrico E = - 5e-ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rlll ar en coordenadas cilíndricas. Halle la energía almacenada en el volumen descrito por r S; 2a y O S; z S; 5a. Resp. 7.89 x 10-10 a3 5.47. Dado un potencial V = 3x2 + 4y2 (V). Halle la energía almacenada en el volumen descrito por O S; x S; 1 m O:S;; Y S; 1 m y O S; z ~ 1 m. resp. 147 pJ
- 71. Capítulo 6 Corriente, densidad de corrienteEDCBA y conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 6.1 INTRODUCCIONonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C or r iente eléctr ica es la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a través de una superficie determinada. El símbolofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 se usa generalmente para corrientes constantes y el símboloZYXWVU i para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es el a mper e (1 A = 1 C I s. En el sistema SI, el ampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada). La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples, 1= VI R. Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carga negativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insufi- ciente. Por consiguiente, en electromagnetismo, la densidad de corriente J (Al m") recibe más atención que la corriente l. 6.2 CARGAS EN MOVIMIENTO Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, como se muestra en la figura 6-1 (a). Esta fuerza, F= + Q E , no es opuesta y produce una aceleración constante. De esta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partícula se halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas, como se muestra en la figura 6-1 (b), se estrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de dirección al azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan, y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como velocida d de cor r imiento U, a lo largo de la dirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capas más exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoría electr ónica de los ga ses, estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partícula cargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente propor- cional a la intensidad del campo eléctrico, u = jlE donde u, la movilida d, se mide en unidades m2 IV· s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un número de átomos del orden de 1028• Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo libres para moverse cuando se aplica un campo. La movilidad u varía con la temperatura y la estructura cristalina del sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la tempe- ratura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad jl se reduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisis de circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinar la r esistivida d para cada material y especificar un aumento de esta resistividad con temperatura creciente. u -~+~Q~.====~--------~ ~ E --------------------~ (a) Vacío (b) Líquido o gas Fig.6-1 65
- 72. 66 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTEZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Y CONDUCTORES [CAP. 6 6.3 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION, J Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK p en un volumen v aparece en la figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Se supone que las partículas mantienen su posi- ción relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de carga pasa una superficie S ello origina una cor r iente de convección, con densidad Si la sección transversal defedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v varía o si la densidad p no es constante a través de v, entonces J no será constante con el tiempo. Más aún, J será cero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras, el concepto de una densidad de corriente causada por una nube de partículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de la teoría de campos electromagnéticos. 6.4 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION, J U ~ J = p U S Fig.6-2 De más interés es la cor r iente de conducción que aparece dentro de los conductores de sección transver- sal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por donde ( 1 = PJl es la conductivida d del material en siemens por metr o (S/ m). En conductores metálicos los portadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3). Por consiguiente, para los electrones, tanto P como Jl son negativos, lo que produce una conductividad (1, positiva, tal como en el caso de portadores de carga positivos. Se deduce que J y E tienen la misma dirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es conven- cional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargas positivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a P y jJ como positivos. La relación J = (1 E se conoce como for ma puntua l de la ley de O hm. El factor ( 1 tiene en cuenta la densidad de electrones libres que se mueven (P) y la facilidad relativa con que se mueven a través de la es- tructura cristalina (Jl). Como podría esperarse, es una función de la temperatura. que, en vista de la relación U = llE , puede escribirse J = (1E 6.5 CONDUCTIVIDAD ( 1 s Fig.6-3 En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativos como positivos, algunos con carga sencilla y otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podría incluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos los iones negativos son iguales y lo mismo todos los iones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura 6-4(a). En un con- ductor metálico, sólo los electrones de valencia están para moverse. En la figura 6-4(b) se muestran en movi- miento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad de carga de los electrones libres para moverse, P e' por su movilidad, Jle' Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En la estructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, a temperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moverse fuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea un pa r electr ón-hueco disponible para
- 73. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 67 -e --e ---e --B o--- --ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA < D - -e J J -e --0 -- ~~-e J O- E E -- ~ -e :--G E o--- -e ---e -=-e - G O-onmlkjihgfedcbaZYXW o= ».»:fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +P+IJ+ a = PeIJe a = PeIJe + PhIJ" (o) Liquido o gas (b) Conductor (e) SemiconductorEDCBA F i g .6 - 4 conducción. Tales materiales se denominan semiconductores intr ínsecos. Los pares electrón-hueco tienen un tiempo de vida breve y desaparecen por recombinación. Sin embargo, otros se van formando por lo que todo el tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura 6-4(c), la conductividad consiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos de valencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores tipo p o tipo n. El comportamiento intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra en los materiales del tipo n o de huecos extra en los del tipo p. Así, en la conductividad u , una de las densidades, P eo P h' excederá a la otra. La corriente total 1 (en A) que atraviesa una superficie S está dada por 1= f J·dS s 6 .6 C O R R I E N T E 1 (ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial de superficie d S. Así pues, un resultado positivo en 1 indica que la corriente a través de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto, J no tiene necesariamente que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que ser una superficie plana. dS F i g .6 - 5 EJEMPLO 1: Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra en la figura 6-6 si la densidad de corriente es J = 15(1 - e-1000')az (A/m2 ). El radio del alambre es 2 mm. Se escoge una sección transversal para S. Entonces dI = J. dS = 15(1 - e-1000')az' r dr dr /a z z y 2x 0.002 I=f f 15(1-e-1000')rdrdcp o o = 1.33 X 10-4 A = 0.133 mA dS Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste a la superficie externa del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total, 1= 0.133 mA, cruzándola, 6 .7 R E S I S T E N C I A R J F i g .6 - 6 Si un conductor de sección transversal uniforme A y longitud l, como el que se muestra en la figura 6-7. tiene una diferencia de voltaje V entre sus extremos, entonces V E=- t y J= uV t
- 74. 68zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6onmlkjihg R= ~ oAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (O ) suponiendo que la corriente está uniformemente distri- buida sobre el área A, La corriente total es, entonces, I= J A= oAV t Como la ley de Ohm establece que V = IR, la resistencia es (Observe que 1 S-l = 10; el siemens era anteriormente conocido como el mho.) Esta expresión para la resisten- cia se aplica generalmente a todos los conductores en los que la sección transversal permanece constante sobre toda la longitud t. Sin embargo, si la densidad de corriente es mayor a lo largo del área superficial del conductor que en el centro, entonces la expresión no es válida. Para tal distribución de corriente no unifor- me la resistencia está dada por ~ - - + - llll- - - - ~ V Fig.6-7fedcbaZYXWVUTSRQPONM v V R = S J . dS = -= -S (T-E-'-d= -= -S Si se conoce E en lugar de la diferencia de voltaje entre las dos caras, la resistencia está dada por R = .,S,---E_._d.,..,..1 S (TE· dS El numerador da la caída de voltaje a través de la muestra, mientras el denominador da la corriente total/o EJEMPLO 2: Encuentre la resistencia presente entre las superficies curvas interna y externa del bloque que aparece en la figura 6-8. El material es plata para, la cual a = 6.17 x 107 Sjm. Si la misma corriente 1 cruza la superficie interna y la externa, entonces, k J = -Sr r y k E=-sr ar Entonces (5° = 0.0873 rad), In 15 = 1.01 x 10-5 n = 10.1 n a(0.05)(0.0873) _ Jl 5 -, 0.05 m 3 .0 k f -a' dr e. r r 0 .2 ar R = ,0.05 .0.0873 k J J - a, . r d4> dz a, ° ° r ---r r b = 3.0 m Fig.6-8 6.8 DENSIDAD DE LA CORRIENTE LAMINAR, K Algunas veces la corriente está confinada a una superficie de un conductor, tal como las paredes internas de una guía de onda. Para tal cor r iente la mina r es útil definir el vector densidad K (en Al m), que da la rata de transporte de carga por unidad de longitud. (Algunos libros usan la notación J s,) La figura 6-9 muestra una corriente total/, en forma de hoja cilíndrica, .de radio r , que fluye en dirección z positiva. En este caso, 1 K = - a 2nr z en cada punto de la hoja. Para otras hojas, K puede variar de un punto a otro (ver problema 6.19). En general, la corriente que fluye a través de una curva e dentro de una corriente laminar se obtiene integrando la
- 75. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 69 Fig.6-'EDCBA F i g .6 - 1 0 componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA nor ma l de K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así puesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 1 = f K"dt c 6.9 C O N T I N U I D A D D E L A C O R R I E N T E La corriente 1que cruza una superficie general S ha sido examinada para los casos en queZYXWVUTSRQPONML J en la super- ficie era conocida. Ahora, si la superficie es cer r a da , para que salga una corriente neta debe haber una dismi- nución de carga positiva adentro: l J . dS = 1 = - dQ = - ~ f p dv j dt a t donde la unidad normal en dS es ta dirección normal hacia afuera. Dividiendo por .1v, Cuando .1v -+ 0, el lado izquierdo por definición tiende a V • J, divergencia de la densidad de corriente, mientras el lado derecho se aproxima a -a pjot. Así pues a p V 'J = -- a t Esta es la ecuación de continuida d de cor r iente. En ella p representa la densidad neta de ca r ga y no sólo-la densidad de carga móvil. Como se verá luego, a pja t puede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentro de un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V • J = 0, viene a ser el campo equivalente de la ley de la corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores es cero. En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de un campo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas. Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con la ca r ga neta , porque cada electrón de conducción está balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que la sarga neta es cero en cada .1v del material. Supóngase, sin embargo, que en un desbalanceo temporal, una región situada dentro de un conductor sólido presenta una densidad neta de carga Po en el tiempo t = O. Entonces, como J = <TE = (<T/E:)D,
- 76. 70 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 La operación de divergencia consiste en las derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales. SifedcbaZYX (J Yonmlkjihgfe e son constantes, como deben ser en una muestra homogénea, entonces deben ser removidas de las derivadas parciales. o La solución a esta ecuación es ~ (V. D)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB = ño e ot (J op -P = -- e ot op (J a ¡ + €,P = O Se ve que o . y con ella P = P o e-(a/E)' op ot (J --p e decae exponencialmente con una constante de tiempo (/(J , también conocida como tiempo de r ela ja ción para el material particular. Para la plata, con (J = 6.17 X 107 S/ m y (~(o, el tiempo de relajación es 1.44 x 10 -19 s. De esta manera, si una densidad de carga P o pudiera de alguna manera lograrse en el interior de un bloque de plata, las cargas se separarían debido a las fuerzas de Coulomb, y después de 1.44 x 10 -19 S la densidad restante sería el 36.8% de P o. Después de cinco constantes de tiempo, o 7.20 x 10-19 s, sóloO.67% de P o permanecería. Así pues, puede deducirse,' para campos estáticos, que la ca r ga neta dentr o de un con- ductor es cer o. Si no hay carga neta presente, debe estar en la superficie externa. 6.10 CONDICIONES LIMITES EN CONDUCTOR-DIELECTRICO Bajo condiciones estáticas toda la carga neta estará en las superficies externas de un conductor yambos E y D serán por lo tanto cero dentro del conductor. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, la integral lineal cerrada de E .dl es cero para cualquier trayectoria. Una trayectoria rectangular con esquinas J" 2, 3, 4 se muestra en la figura 6-11. 2 3 4 1 f E·dl+ f E ·dl+ f E ·dl+ f E ·dl= O 1 2 3 4 1 2 ~ ~ Dieléctrico ~ ~ '-..~ ~ " , Conductor 4 3 Fig.6-11 Si la trayectoria de las longitudes 2 a 3 y 4 a 1 se hacen tender a cero, con- servando la interfase entre ellas, entonces la segunda y la cuarta integral son cero. La trayectoria 3 a 4 está dentro del conductor donde E debe ser cero. Esto deja 2 2 fE. di = f E, dt = O 1 1 donde El es la componente tangencial de E en la superficie del dieléctrico. Como el intervalo de 1 a 2 puede escogerse arbitrariamente, E ,= D t= O en cada punto de la superficie. Para encontrar las condiciones sobre las componentes normales, un cilindro circular recto, pequeño y cerrado se coloca a través de la interfase como se muestra en la figura 6-12. La ley de Gauss aplicada a esta superficie da o f D· dS = Qcnc f D ·dS+ f D ·dS+ f D ·dS= f P sdS arriba abajo lado A
- 77. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 71 La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D, = O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integral también es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentro del conductor, donde D y E son cero. Entonces, fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D ·dS= f D ndS= f P sdSEDCBA a r r i b a a r r i b a A lo que sólo se cumple si y E ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC = P . n f Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero (componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo, una carga superficial no implica una carga neta en el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga posi- tiva en el origen de coordenadas esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esférica conductora desca r ga da de espesor infinito, como aparece en la figura 6-13(a ), entonces el campo aún está dado por +Q E = 4------Z a , Tta excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. Las fuerzas de Coulomb causadas por + Q atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una p s I de signo negativo. Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga P s2 positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan la carga puntual + Q, terminan en los electrones de la superficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13 (b). Entonces, unas líneas de flujo eléctri- co 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse que el flujo no pasa a través del conductor y la carga neta en dicho conductor permanece cero. I }t Ps2-----< ••.•••. · / / (a) (b) Fig.6-13 P r o b l e m a s r e s u e l t o s 6.1. Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una corriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico E, la velocidad de corrimiento U, la caída de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies. Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es [( O.0808PUl)(2.54 X 10- 2 m)]2 -6 2 A = 1 t 1 = 3.31 x 10 m 2 pul
- 78. 72 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 20 JZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = - = = 6.04 X 106 A/m 2 A 3.31 X 10-6 o Para el cobre,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA u = 5.8 X 107 S/m. Entonces J 6.04 X 106 E = - = 7 = 1.04 x 10 - 1 V/m u 5.8 x 10 v = El = (1.04 x 10-1 )(50)(12)(0.0254) = 1.59 V V 1.59 R = T = 20 = 7.95 x 10- 2 n La movilidad de los electrones en el cobre es Jl ,;, 0.0032 m 2/V . s, y como (J = PJl, la densidad de carga es u 5.8 x 107 P = - = = 1.81 X 101 0 CjmJ Jl 0.0032 A partir de J = P U se encuentra la velocidad de corrimiento U = ~ = 6.05 X 10 6 = 3.34 X 10-4 mis p 1.81 x 101 0 Con esta velocidad de corrimiento un electrón tarda aproximadamente 30 segundos para recorrer una distancia de un centímetro en el conductor de cobre # 12. 6.2. ¿Qué densidad de corriente e intensidad del campo eléctrico corresponden a una velocidad de corri- miento de 5.3 x 10-4 mis en el aluminio? Para el aluminio, la conductividad es u = 3.82 X 107 S/ril y la movilidad Jl = 0.0014 m2/V.s . (J 3.82 x 10 7 ( 4) , 2 J = pU = - U = 5.3 x 10- = 1.45 x 10' A/m Jl 0.0014 J U E = - = - = 3.79 X 10-1 V/m (J Jl 6.3. Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0 mm y conduce una corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (para ser reemplazados por otros) una sección de 100 mm de longitud? El número de Avogadro es N = 6.02 X 1026átomos/ kmol. La gravedad específica del cobre es 8.96 y el peso atómico es 63.54. Suponiendo un electrón de conducción por átomo, el número de electrones por unidad de volumen es N . = (6,02 X 102 6 átomOS)( 1 kmol )(8.96 x 103 kg)(1 electrÓn) . kmol 63.54 kg rn ' o átomo = 8.49 x 102 8 electrones/ m3 El número de electrones en 100 mm de longitud es N= 7te x;0-3f(0.IOO)(8.49 x 1028)=6.00 x 1022 Una corriente de 10 A requiere que ( C) ( 1 electrÓn) - 10 - 19 = 6.25 X' 1019 electrones/ s s 1.6 x 10 C pasen un punto fijo. Entonces el porcentaje por segundo que deja los 100 mm de longitud es 625 X 101 9 6:00 x 1022 (100) = 0.104% poros
- 79. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 73 6.4. ¿Qué corriente se produce sitodos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico de aluminio pasaran un punto determinado en 2.0 S? Supóngase un electrón de conducción por átomo. La densidad del aluminio es 2.70 x 103 kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. EntoncesfedcbaZYXWVUT N . = (6.02 x 1026)(_1_)(2.70 x 103) = 6.02 X 1028electrones/m! 26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA LQ (6.02 x 1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6 x 10-19 C¡electrón) 1 = - = = 4.82 kA ~t 2 s 6.5. ¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de 0.0046 m2jV·s y una conductividad de 29.1 MSjm? Como a = J1P, y P = ~ = 29.1 X 10 6 = 6.33 X 109 C/m3 J1 0.0046 6.33 x 109 N . = 19 = 3.96 X 1028electrones/m! 1.6 x 10 6.6. Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente. A 3000 K hay 2.5 x 1019 pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il. = 0.38 m2/V·s y la movilidad de los huecos es Ilh = 0.18 m2¡v . s. Como el material no está contaminado, el número de electrones y huecos es igual. 6.7. Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada 108 átomos. La densidad del germanio es 5.32 x 103 kg/m 3 y el peso atómico es 72.6 kgj kmol. Existen N = (6.02 x 1026)(_1_)(5.32 x 103) = 4.41 X 1028 átomos/m! 72.6 y esto nos da N .= 10-8(4.41 x 1028)=4.41 x 102°electrones/m3 La concentración intrínseca n¡ para el germanio a 3000K es 2.5 x 1019 por m '. La ley de a cción de ma sa , N, N h. = n 2 t> da entonces la densidad de huecos así (2.5 X 1019 )2 Nh = 2 0 = 1.42 X 101 8 lhuecos/ m3 4.41 x 10 Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6, o = N.ell. + Nhellh = (4.41 x 102 0 )(1.6 x 10-1 9 )(0.38) + (1.42 x 1'618)(1.6x 10-19 )(0.18) = 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m En el germanio tipo n el número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018 huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminante de valencia cinco.
- 80. 74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 6.8. U n conductor de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Y una densidad de corriente de 4.65ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x 105onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Al m '. ¿Cuál es la conductividad del material en el conductor? ComofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 'E = V/t y J = uE, 4.65 x lOs = u(.!2) 150 ó u = 5.37 X 107 S/m 6.9. Una tabla de resistividades da 10.4 ohms mil circular por pie de cobre templado. ¿Cuál es la con- ductividad correspondiente en siemens por metro? Un mil cir cula r es el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-3 pul). [( 1O-3P UI)( m)]2 I mil cir = 1t --2- 0.0254p~1 = 5.07 x 10- 10 m2 . La conductividad es el recíproco de la resistividad. _ (_1 pie )(12 ~)( m)( I mil cir ) _ 7 U - lOA n . mil cir pul 0.0254pUI 5.07 x 10 10 m2 - 5.78 x 10 S/m 6.10. Un alambre de aluminio A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc- tividad implica esto? De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils. [ 32 X 10-3 ]2 A = 1t 2 (0.0254) = 5.19 x 10-7 m2 t = (1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)= 3.05 x 102 m Entonces para R = t/uA, 3.05 X 102 u = (16.7)(5.19 x 10-7) = 35.2 MS/m 6.11. En un conductor cilíndrico de radio 2 mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el eje de acuerdo a Halle la corriente total l. 2~ 0.002 1 = f J. dS = f J dS = f f 103e-4oo'rdrdrj> o o [ e - 400, ] 0.002 = 21t(103 ) ( 2 (-4OOr - 1) = 7.51 mA -400) o 6.12. Halle la corriente que cruza la porción del plano y = O definido por - 0.1 ~ x ~ 0.1 m y _ 0.002 ~ z ~ 0.002 m, si 0.002 0.1 I= fJ'dS= f f 1Q 2IXIBy·dxdzBy= 4mJ -0.002 -0.1
- 81. CAP. 6] CORRIENTE, DENSl'DAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 75 6.13. Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Odefinido por -n/4 ~ y ~ n/4 m y -0.01 ~ z ~O.Olm, si 0.01 1 < /4 fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1= r J. dS = f f lOOcos2yax' dy dz e¿ = 2.0 A • -0.01 -,,/4 . 6.14. Dado J = )03 sen ()a- Al m? en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esféri- ca r = 0.02 m. Como J Y son radiales, 2" " I = f f 103 (0.02)2 sen' O dO dI/J = 3.95 A o o 6.15. Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con área A y longitud ( está dada por R = (/(lA, suponiendo una distribución uniforme de corriente. Una sección transversal constante a lo largo de t produce un E constante, y la caída de voltaje es v= fE 'dl=E t. Si la corriente está uniformemente distribuida en el área A, I = f J . dS = J A = u E A donde u es la conductividad. Entonces, como R = V/I, R= ~ u A 6.16. Determine la resistencia de aislamiento en una longitud t de cable coaxial, como se muestra en la figura 6-14. Suponga una corriente totall desde elconductor interno al externo. Entonces, a una distancia radial r, 1k-4 - - t - - - ~ ¡ I E =-- 21tur t • ) y así I I J=-=- A 21tr t Fig.6-14 La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces • I I b V. = - f -- dr = - - I n - .b b 21tur t 21tut a -, y la resistencia V 1 b R = - = - - I n - I 21tut a
- 82. 76 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 6.17. U na hoja de corriente de 4 m de anchura yace en el planofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zZYXWVUTSRQPONMLKJ = O Ycontiene una corriente total de lOA que se dirige desde el origen hasta (1, 3, O) m. Encuentre una expresión para K. En cada punto de la hoja, la dirección de K es el vector unidad y la magnitud de K es (10/4) A/m. De esta manera, Ir K = - a onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Znr r y 6.18. Tal como se muestra en la figura 6-15, una corriente 1T sigue un filamento que baja por el eje z y entra en una hoja conductora delgada en z = O. Exprese K para esta hoja. Considérese un círculo en el plano z = O. La corriente 1T sobre la hoja se abre uniformemente sobre la circunferencia Lnr . la dirección de K es aro Entonces x Fig.6-15 6.19. Para la hoja de corriente del problema 6.18 encuentre la corriente en una sección del plano de 300 (figura 6-16). _/6 1 1 1= f K.dt = f --.I.. rd<jJ =.I.. o 2rr.r 12 Sin embargo, la integración no es necesaria, puesto que para una corriente uniformemente distribuida, un segmento de 300 contendrá 30°/360° o 11 12 del total. Fig.6-16 6.20. Una corriente I(A) entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestra en la figura 6-17. Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm. r En la parte superior, la corriente está uniformemente distribuida sobre cualquier circunferencia 2rr.r, de tal manera que 1 I K = -2 a, (A /m ) rr.r Hacia abajo, la corriente está uniformemente distribuida sobre la circunferencia 2rr.(0.02 m), de tal manera que I K = 0.04rr. (-a%) (A /m ) 6.21. En un punto situado sobre la superficie de un conductor, E = 0.70ax - 0.35 a, - 1.00a: V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de 't:arga en ese punto? Fig.6-17 En la superficie de un conductor bajo condiciones estáticas la componente tangencial El es cero. En conse- cuencia, el vector dado debe ser normal al conductor. Suponiendo espacio libre en la superficie, 10-9 P « = D. = (o E. = ±fO IE I = ± 36rr. J (0.70)2 + (0.35)2 + (1.00f = ± 11.2 pC/m2 El signo + (más) debería ser escogido si se supiera que E apunta fuera de la superficie.
- 83. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 77 6.22. Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P .ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = (P o/z) (Crrn"). Escriba una expresión para E en la superficie. Ya que D n = P .. En = pJ €o. En (0.05, cp, z), E= En a, =~a, €o z 6.23. Un conductor que ocupa la región x ~ 5 tiene una densidad superficial de carga p _ P o s - Jy2 + Z 2 Escriba expresiones para E y D justo afuera del conductor. La normal externa es - a x : Entonces, justo afuera del conductor, y E= P o (-a,.,) €oJ y2 + Z2 6.24. Dos conductores cilíndricos concéntricos, r a = 0.01 m y r b = 0.08 m, tienen densidades de carga P sa =40 pC/ m2 y P sb, tales que D y E existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquier otra parte. Ver figura 6-18. HallefedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P sb , y escriba las expresiones para D y E entre los cilindros. Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radial y solamente función de r. Entonces, para ro < r < rb, 1 d V • D = - - (r D ,) = O r dr ó r D , = e Para evaluar la constante e, utilice el hecho de que D; = D, = P !SO en r = ro + O. e = (0.01)(40 x 10-12) = 4 X 10-13 C/m Fig. 6-18 y así 4xlO-13 D = a, (C/m2) r y D 4.52 X 10-2 E = - = a, (V/m] €o r La densidad P.b se encuentra ahora a partir de l l 4xlO-13 P&b = D n = - D , = - = - 5 pC/m2 =,.-0 =,.-0 0.08EDCBA P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s 6.25. Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad 38.2 MS/m y una densidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29 m - 3. Resp. 1.40 x 10 - 3 m 2 / V • s 6.26. Repita el problema 6.25 (a ) para el cobre, donde (J = 58.0 MS/m y N, = 1.13 X 10 29 m-3; (b) para la plata, donde (J = 61.7 MS/m y N , = 7.44 X 1028 m-3. Resp. (a ) 3.21 x 10-3 m2 /V • s; (b)5.18 x 1O-3m2 /V • s.
- 84. 78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 6.27. Halle la concentración de huecos,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA NonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h , en germanio tipo p, donde ti =10. S/ m y la movilidad de los huecos es Jlh = 0.18 m2/Y. s. Resp. 3.47 x 1023m-3 • 6.28. Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N ., si la concentración intrínseca es ni = 2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x 1019m -3. Resp. 1.80 x IOIS m-3 6.29. Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo n para el que ti =10.0 S/m, Jl. = 0.13 m2/Y· s y ni = 1.5 x 1016m-J. Resp. 4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J 6.30. Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8x IOJ k g /m ! y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo. Resp. 1.23 x 1029 6.31. Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si ti =58 MS/m y J.I =3.2 X 10-3 m2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 x 103 kg/ mJ. Resp. 1.13 x 1029,1.33 6.32. Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltaje de 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. Resp. 21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s. 6.33. Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A. Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. Resp. 1.12 x 10-2 Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57 x lO-s m] ». 6.34. Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué con- ductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG # zo es 32 mils. Resp. 5.8 x 107 Sl t». 6.35. Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-3 O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Qué conductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils. Resp. 1.00 x 107 Sl m. 6.36. ¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetro del AWG # 32 es 8.0 mils. Resp, 17.9 MS/m. 6.37. Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de 32 mm y paredes de 6 mm de espesor. Resp. 53.4JtO/m. 6.38. Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado (a) entre bordes opuestos en la misma cara (b) entre las dos caras del cuadrado. Resp. (a ) 1.03 m n ; (b ) 2.66 pn 6.39. Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG# 4/0 tiene un diámetro de 460 mils. Resp. 4.91 mn, 7.46 mO 6.40. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo'con una sección transversal circular y un radio de 1mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo. Resp. 2.20 mn 6.41. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1m de largo con una sección transversal cuadrada de 1mm de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en el otro extremo. Resp. 5.75 mn
- 85. CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 79 6.42. Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A hasta kA sobre (. Resp. ~ ( In k ) o A k-l 6.43. Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12 tiene un diámetro de 81 mils. Resp. 9.09 x 106 A/m2 . 6.44. Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con r de acuerdo afedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 103 1 r (Al m2). Resp. 4 1tA. 6.45. En coordenadas cilíndricas, J = lOe-100'a~ (A/m2) para la región 0.01 ~ r ~ 0.02m,0< z ~ 1 m. Halle la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano q, = constante. Resp. 2.33 x 10- 2 A 6.46. Dada la densidad de corriente en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica e = 1t,/4, 0.001 ~ r ~ 0.080 m. Resp. 1.38 x 104 A 6.48. Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja por el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m, yen e = 1t/2 entra a una hoja plana. Escriba las expresiones para las densidades laminares de corriente K en la concha esfé- rica y en el plano. Resp. 265 I lg (A/m), 7.96 a. (A/m) sen é r 6.47. Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a los ejes coordenados si J = 2x2 alO + 2xy3a y + 2xya . (A/m2 ). Resp. 3.0 A Fig. 6-19 6.49. Una corriente de filamento de I(A) baja por el eje zhasta z = 5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~ q, ~ 1t/4 de una concha esférica de radio 5 x. 10-2 m. Halle K para esta corriente laminar. 801 Resp. - - I lg (A/m) 1tsene 6.52. Un conductor sólido tiene una superficie descrita por x + y = 3 m y se extiende hasta el origen. En la superficie la intensidad del campo eléctrico es 0.35 V[m. Exprese ES D en la superficie y halle P.' Resp. ± 0.247 (alO + ay) V/m, ±2.19 x 1O-12(alO + ay) C fm.2, ± 3.10 x 1O-12Cfm2• 6.50. Una corriente laminar de densidad K = 20 a, Al m yace en el plano x = OYhay una densidad de corriente J = lüa , Al m? en el espacio. (o) Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculo de radio 0.5 m centrado en el origen en el plano z = O.(b) Halle la corriente que cruza el cuadrado Ixl ~ 0.25 m, Iyl ~ 0.25 m, z = O. Resp. (o) 27.9 A; (b) 12.5 A 6.51. Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de 10 A en la dirección x positiva. Exprese K. Resp. l67ax A/m 6.53. Un conductor que se extiende dentro de la región z < Otiene una cara en el plano t = Oen el que hay una densidad superficial de carga
- 86. 80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 6.54. 6.55. CORRIENTE. DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 en coordenadas cilíndricas. Halle la intensidad del campo eléctrico en (0.15 m,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON n/3,0). Resp. 9.45 a, V/m. Un conductor esférico centrado en el origenZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y de radio 3 mm tiene una densidad superficial de carga P .fedcbaZ = P o cos 2 O . Halle E en la superficie. Resp. P o cos? O Sr (o La intensidad del campo eléctrico sobre un punto de un conductor está dada por E= 0.2 a, - 0.3ay -0.2 a. V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de carga en el punto? Resp. ± 3.65 pC¡ m2 Un conductor esférico centrado en el origen tiene una intensidad de campo eléctrico en su superficie E = 0.53 (sen? 4> ) a, V/m, en coordenadas esféricas. ¿Cuál es la densidad de carga donde la esfera se encuentre con el eje y? Resp. 4.69 pC/ m -,
- 87. Capítulo 7 Capacitancia y materiales dieléctricoszyxwvutsrqponmlkjihgfed Los materiales dieléctricos segfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p o la r iza n en un campo eléctrico, produciéndose una densidad de flujo eléctrico D mayor de la que se tendría bajo condiciones de espacio libre, con la misma intensidad de campo. U na teoría simplificada, pero satisfactoria, de la polarización, puede obtenerse considerando un átomo del material dieléctrico como dos regiones de carga positiva y negativa superpuestas, como se muestra en la figura 7 -1WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( a ) . Cuando se aplica un campo E, la región de carga positiva se mueve en la dirección del campo aplicado, mientras que la región de carga negativa lo hace en la dirección opuesta. Este desplazamiento puede ser representado por un m o m e n to e lé c tr ic o d ip o la r , p ""' Qd, como se muestra en la figura 7 -1 (c ). En la mayoría de los materiales, las regiones de carga regresan a sus posiciones originales superpuestas cuando el campo aplicado es removido. Al igual que en un resorte, que cumple la ley de Hooke, el trabajo ejecutado durante la distorsión es recuperable cuando se permite al sistema regresar a su posición original. Durante esta distorsión se lleva a cabo un almacena- miento de energía en la misma forma que con el resorte. Una región 6.. v de un dieléctrico polarizado contiene N momentos dipolares p. La polarización P se define como el momento dipolar por unidad de volumen: /--0ZYXWVUTSRQPONM / : - ~ + / , '- - • E d G---- G Q 7.1 POLARIZACION P y PERMITIVIDAD RELATIVA 1:, • E (o) (b) ( e ) Fig. 7-1 N p P = lím - (e/m2) t iv ~ O 6..v Esto hace suponer una distribución continua y uniforme de momentos eléctricos dipolares en todo el volumen, lo que, por supuesto, no se produce. Sin embargo, en una visión macroscópica, la polarización P puede dar cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según la ecuación D=l:oE+P P = Xel:oE (material isotrópico) Esta ecuación permite a E y P tener direcciones diferentes, como sucede en ciertos dieléctricos cristali- nos. En un material isotrópico y lineal, E y P son paralelos en cada punto, lo que se expresa por donde la su sc e p tib ilid a d e lé c tr ic a Xe es una constante adimensional. Entonces, (material isotrópico) donde 1:, == 1 + Xe es también un número puro. Dado que D 1: E (sección 3.4), por lo que e , se denomina p e r m it iv id a d r e la tiva (compárese con la sección 2.1). 81
- 88. 82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7 7.2 D Y E DE VOLTAJE CONSTANTE Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas y voltajegfedcbaZYXWVUTSRQPONM V constante, como el que se muestra en la figura 7-2, tiene una intensidad de campo eléctrico E constante. Despreciando el efecto de bordes,WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V E=-a d " EOV D=EoE=--a d " Ahora, cuando un dieléctrico con permitividad E, llena el espacio entre las dos placas, entonces D = EoE + P = EoE + Eole E y las ecuaciones son: V E=-;¡a" D = EoE,E (como en el espacio libre) Como D ; = P . = Q / A , la carga y la densidad de carga aumentan por el factor Er respecto de sus valores en el espacio vacío. Este aumento de carga es suministrado por la fuente de voltaje V . I Fig. 7-2 7.3 D Y E DE CARGA CONSTANTE El condensador de placas paralelas de la figura 7-3 tiene una carga + Q ~n la placa superior y - Q en la placa inferior. Esta carga puede haber resultado de la conexión de una fuente de voltaje V que fue posterior- mente removida. Con espacio vacío entre las placas y despreciando efecto de bordes, se tiene: D " = P s = ~ E = ti = P s a Eo EO" En este arreglo no hay forma de que la carga aumente o dis- minuya, puesto que no hay una trayectoria conductora hacia las placas. Ahora, cuando se supone que un material dieléctrico llena el espacio entre las placas, las ecuaciones son: -Q Fig. 7-3 D " = P s= ~ E=~ EoEr (como en el espacio vacío) Siendo Q y P . constantes, D debe ser igual que bajo condiciones de espacio vacío, mientras que la magni- tud de E disminuye por el factor l/E r ' La disminución en Eo E es compensada por la polarización P en la relación D = E o E + P. Mas generalmente, en un medio homogéneo de permitividad relativa E r' la fuerza de Coulomb entre cargas se reduce a 1/ e , respecto de su valor en el espacio vacío:
- 89. C A P . 7 ] C A P A C IT A N C IA y M A T E R IA L E S O IE L E C T R IC O S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 83 7.4 CONDICIONES LIMITES EN LA ENTRECARA DE DOS CAPACITANCIAS DIELECTRICAS Si el conductor de las figuras 6-11 y 6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites: (1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e E es continua a través de una entrecara de dieléctricos. En símbolos, y f rl Enl - f r 2 E n 2 = __P . fo Generalmente, la entrecara no posee cargas libres (P s = O), por lo que: y (2 ) La c o m p o n e n te n o r m a l d e D tie n e u n a d isc o n tin u id a d d e m a g n itu d Ip.1 a tr a vé s d e u n a e n tr e c a r a d e d ie lé c tr ic o s. Si se escoge el vector unidad normal apuntando hacia el dieléctrico 2, entonces esta condición puede ser escrita de la siguiente manera: y EJEMPLO 1: Dado El = 2ax - 3ay + Saz V/m en la entrecara de los dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle D 2 y los ángulos 01 yWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O 2 , La entrecara es un plano z = constante. Las componentes x y y son tangen- ciales y las componentes z son normales. Por continuidad de la componente tangencial de E y la componente normal de D : E¡ = 2ax - 3ay + Sa, E2 = 2ax - 3ay + E%2a% DI = (o(.¡E¡ = 4(oax - 6100 ay + lOtoa. D 2 = D x2 a, + D y2 ay + 10100 a. Las componentes desconocidas se hallan a partir de la relación D 2 = 100 ('2 E2. Fig. 7-4 de lo que se deduce Los ángulos que se forman con el plano de la entrecara se hallan fácilmente a partir de E¡ • a, = IE¡I cos (90° - O ¡) 5 = fosenO¡ 01 = 54.2° E2 ' a, = IE21 cos(90°,- 92) 2 = fosen02 O 2 = 29.0° Una relación útil puede obtenerse de E % ¡ Dzdéo lO.! tan é¡ = ----0= = - , = J E ~ I + E ;¡ J E ~ ¡ + E ;! En vista de las relaciones de continuidad, la división de estas dos ecuaciones da tan O ¡ ( . 2 tan O 2 ( . 1
- 90. 84 CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7 Dos cuerpos conductores cualesquiera, separados por el espacioZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v a c ío o por un material dieléctrico tienengfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA c a p a c ita n c ia entre ellos. Si se aplica una diferencia de voltaje se produce una carga + Q sobre un conductor y -WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q sobre el otro. La relación entre el valor absoluto de la carg~. y el valor absoluto de la diferencia de voltaje se define como la capacitancia del sistema: 7.5 CAPACITANCIA e = ~ (F ) donde 1 faradio (F) = l c ¡ V. La capacitancia depende sólo de la geometría del sistema y de las propiedades del o de los dieléctricos involucrados. En la figura 7-5, la carga + Q colocada sobre el conductor l y - Q sobre el conductor 2 crea un campo de flujo como el que se muestra en la figura. Por consiguiente se establecen los campos D y E. Si se doblaran las cargas se doblarían simplemente D y E, Y por consiguiente, se doblaría la diferencia de voltaje. Entonces, la relación Q / V permanecería fija. Fig. 7-S EJEMPLO 2: .Halle la capacitancia de las placas paralelas de la figura 7-6, despreciando el efecto de bordes. Con + Q en la placa superior y - Q en la inferior, Cuando.dos dieléctricos se presentan con la entrecara paralela a E y D, como en la figura 7-7 (a),la capa- citancia puede encontrarse tratando el arreglo como dos condensadores paralelos: D . = o, = ~ Como D es uniforme entre las placas, El voltaje de la placa en z = d con respecto a la placa inferior es d Q Q d V = -f -- (-a % )' d z n , = - - o (o e , A fO e , A así Obsérvese que el resultado no depende de la forma de la placa. ( 7.6 CONDENSADORl<:S DE VARIOS DIELECTRICOS d -= -v ( a ) Fig. 7-7 z t d y T x Fig. 7-6 ( b )
- 91. CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 85 [ver problemaWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 7 .8 ( a ) ]. Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s. Cuando la entrecara dieléctrica es normal a DZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y E, como en la figura 7- 7 ( b ) , la capacitancia puede hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie: 1 1 1 - = - + - <, e l e 2 [ver problema 7.8 (b )].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados: e l r e c íp r o - c o d e la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la su m a d e lo s r e c íp r o c o s d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s. Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así: W E = ~ fD ' E dv 7.7 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes. Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa e , , entonces D = (o E + P = (o e , E y así Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P = 0, e , = 1), bien sea a través del término P • E o a través del factor fr > I En términos de capacitancia, y aquí, el efecto del dieléctrico se refleja en e , que es directamente proporcional a fr· Problemas resueltos 7.1. Halle la polarización P en un material dieléctrico con fr = 2.8 si D = 3.0 x 10- 7a C/m2 . Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico, P = x.leE Como D = {o ir E Y Xe = ir - 1, ( i - 1) P = ~ D = 1.93 X 1O-7 a C/m2 7.2. Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5 y P = 2.3 x 1O-7 a C fm 2 • Si suponemos que P y E tienen la misma dirección,
- 92. x 86zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7 7.3. Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde e , = 5.2 interactúan con una fuerza de 8.6 x 1 0 -3 N . ¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacío? La ley de Coulomb, F = Q ¡ Q 2/(41t(o e,d 2), establece que la fuerza es inversamente proporcional ~ f,. En el espacio libre la fuerza tendrá su máximo valor. F = (,(8.6 x 10- 3) = 4.47 x 10- 2 N 7.4. La región 1, definida por x < O, es espacio vacío, mientras la región 2, x > O, es un material dieléctrico para el cual e , 2 = 2.4. Ver figura 7-8. Dado D I = 3ax - 4ay + óa, halle E2 y los ángulos (), y () 2 ' Las componentes x son normales a la entrecara;WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D ; Y E , son continuos. óa, Fig. 7-8 De lo que se deduce que Para encontrar los ángulos: D¡'ax= ID¡lcos(900-8¡) 3 = j6isen8¡ 8¡ = 22.6° Similarrnente, 82 = 9.83°. 7.5. En la región de espacio libre x < O, la intensidad de campo eléctrico es E, = 3ax + 5ay - 3a. V/m. La región x > O es un dieléctrico para el que f.,2 3.6. Halle el ángulo (}2 que forma el campo del dieléctrico con el plano x = O El ángulo formado por El se halla a partir de E¡'ax= IE¡lcos(900-8¡)' 3 = j43sen8¡ 8¡ = 27.2° Entonces, por la fórmula desarrollada en el ejemplo 1, sección 7.4, I tan 82 = -tan8¡ = 0.1428 (rl " 7.6. Una entrecara dieléctrico-espacio vacío sigue la ecuación 3 x + 2 y + Z = 12 m. El lado queda al origen de la entrecaratiene (" = 3.0 Y E, = Za , + 5a, V/m. Halle E2
- 93. CAP. 7] .CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS 87 La entrecara se indica en la figura 7-9 por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado del espacio libre es: a = 3ax + 2ay + a% · fo z La proyección de El sobre a. es la componente normal de Ken la entrecara.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y Entonces 11 Ent = l1 A a. = 2.36 ax + 1.57 ay + 0.79 a, y " 14 E'1 = El - E.1 = -0.36ax - 1.57 ay + 4.21a% = E'2 D.1 = fOf'lE.l = fo(7·08ax + 4.71 ay + 2.37a%) = D.2 1 E.2 = - D.2 = 7.08 a, + 4.71 ay + 2.378% fo x Fil. 7-9 y finalmente 7.7. La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo cons- tante E2 dentro del bloque, demuestre que E3 = El. Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras, j.1 Por continuidad deWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D . a través de las dos entrecaras (no hay cargas superficiales), Fil. 7-10 y también Por lo tanto, E ) = E l 7 .8 . ( a ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( 0 ) tiene una capacitancia e - fOfrtAt f o f , 2 A2 - e eq - d + d - 1 + e2 ( b ) Demuestre que el condensador de la figura 7 - 7 ( b ) tiene una capacitancia 1 1 1 1 1 - = + = - + - c., f O f r t A jd t f o f r 2 A jd 2 et e, ( o ) Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos, y D 1 D 2 V - - = - - = - 8 {o (,1 fOf,2 d ' Donde 8. es la normal que baja hacia la placa superior. Como D . = P s' las densidades de carga sobre las dos secciones de la placa superior son:
- 94. 88zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7 y la carga total es De esta manera, la capacitancia del sistema, Ceq = WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q IgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V, tiene la forma propuesta. (b) Sea + Q la carga sobre la placa superior. Entonces Q D = - a A • en cualquier punto situado entre las placas. Por lo tanto, Las diferencias de voltaje a través de los dos dieléctricos son, entonces: y De a q u í se ve que 1/ Ceq = VI Q tiene la forma propuesta. 7.9. Halle la capacitancia de un condensador coaxial de longitud L . donde el conductor interno tiene un radio a y el externo tiene un radio b . Ver figura 7-11. Despreciando el efecto de bordes, la ley de Gauss establece que D o ; llr entre los conductores (ver problema 6.24). En r = . a . D = P s • donde P s (supuesto positivo) es la densidad superficial de carga sobre el conductor interno. Por consiguiente, a D = P s- a, r y la diferencia de voltaje entre los conductores es f a (P sa ) e ,« b V = - --a < d r « = - I n - ~ r, b (o E, r (o E, a La carga total enel conductor interno es Q = ps(2na L), y así Q 2nE o E, L C = - = , V I n (bla ) Fig. 7-11 7.10. En el condensador que aparece en la figura 7-12, la región entre las placas se llena con un dieléctrico que tiene e , = 4.5. Halle la capacitancia. Despreciando el efecto de bordes, el campo D entre las placas, en coordenadas cilíndricas, debe ser de la , forma D = D 4>a4>' donde D 4> depende sólo de r. Entonces, si el voltaje de la placa tP = (X con respecto a la placa cjJ = O es V o, De esta manera, D 4> = . - E o E , "óírex, y la densidad de carga sobre la placa cjJ = a es
- 95. CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS La carga total sobre la placa está dada entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA . h r z i i WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V . Q = fP sdS = f f ~drdz o r l r a iO ir Vo h r , -=--:........::-ln- a r l Por lo tanto Cuando se substituyen valores nu- méricos (con a convertido a radianes), se obtiene C = 7.76 pF. 7.11. En relación al problema 7.10, halle la separación d que se produce con la misma capacitancia cuando las pla- cas se arreglan en forma paralela con el mismo dieléctrico en medio. Con las placas paralelas así que z x a = 5° / / / / / Fig. 7-12 iO ir A C = - - d a (r 2 - r¡) lnh/r¡) Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensa- dor, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del problema 7.0, arl = 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm. 7.12. Halle la capacitancia de una concha esférica aislada de radio a . El potencial de un conductor de este tipo con referencia cero en el infinito .es (ver. problema 2.35): Entonces 7.13. Halle la capacitancia entre dos conchas esféricas de radio a separa- das por una distancia d ~ a . El resultado del problema 7.12 para la capacitancia de una concha esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse como aproximación. En la figura 7-13 los dos condensadores idénticos pare- cen estar en serie. 1 1 I - = - + - C e, C2 ClC2 C = = 21tio a e, + C2 V= ~ 4 1 [ ( 0 a Q C = - = 4 1 t ( o a V Fig. 7-13 89 y
- 96. 90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7 7.14. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,ZYXWVUTSR = 1.5 Y ('2 = 3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura 7.14. AquígfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A = 2 m? y d = 10-3 m. C = fo frlAI = (8.854 x 10- 12 )(1.5)1 = 13.3 nF 1 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d 1 0 - 3 De manera similar, e, = 31.0 nF. Entonces, A d C=CI +C2=44.3nF T Fig. 7-14 7.1S. Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos ocupan cada uno la mitad del volumen· pero tienen la entrecara paralela a las placas. fo e, A fo e; A (8.854 x 10-12)(1.5)2 CI = T = --;¡¡¡- = 10 3/2 = 53.1 nF De manera similar, C2 = 124 nF. Entonces C = CI C2 = 37.2 nF CI + C2 7.16. En el condensador cilíndrico que aparece en la figura 7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen. Halle la capacitancia. n io f r lL nfo fr2L C = CI + C2 = In (b /a ) + In (b /a ) 2nfo fr ava L In (b /a ) rL L La entrecara dieléctrica es paralela a D y E, así que la configuración puede tratarse como dos condensadores en paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la carga que contendría un cilindro completo, el resultado del problema 7.9 da donde e , ava = t(irl + (r 2)' Los dos dieléctricos se comportan como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa promedio. Fig. 7-15 y t;rnrn =TIrnrn 7.17. Halle el voltaje a través de cada dieléctrico en el condensador que aparece en la figura 7-16 cuando el voltaje es 200 V. iO 5(1) CI =-1O-3 =5000(0 C2 = 1000(0/3 Fig. 7-16 El campo D dentro del condensador se halla ahora a partir de D = p = g = C V = (2.77 x 10- 9 )(200) = 5.54 x 10-7 C/m2 n s A A 1 Entonces D 4 El = -- = 1.25 x 10 V/m (o irl D E 2 = - = 6.25 X 104 V/m (o de lo que se deduce VI = E ld l = 12.5 V
- 97. CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS 9 1 7.18. Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri- cos de la figura 7-17, dondefrl = 2.0 Y fr2 = 5.0. El conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5 cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad. La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo IX , tendrá una capacitancia 1 X /2 1 T . veces la del condensador coaxial completo. Del problema 7.9, (F ) 100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG V¡ + V2 = V, se deduce que Fig. 7-17 V¡ = C2 V = 4.2 (100) = 74 V C ¡ + C 2 1 .5 + 4 .2 C¡ 1.5 V2 = V = (100) = 26 V C¡ + C2 1.5 + 4.2 7.19. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de voltaje constante. Determine cómo cambian W E , D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico de e r = 2 entre las placas. Relación V2 = V¡ E 2 = E ¡ W 2 = 2 W ¡ C2 = 2 C ¡ D 2 = 2 D ¡ P s2 = 2ps¡ Q2 = 2 Q ¡ Explicación La fuente V permanece conectada como E = V jd W = 1S (o e , E 2 d v C (ocr A/d D (o cr E P . D . Q p.A En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen cons- tantes. 7.20. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian W E , D . E . C. Q . P . ' y V cuando las placas se apartan a una distancia de separación d 2 = 2 d l sin perturbar la carga. Relación Q2 = Q¡ P .2 = P .¡ D 2 = D ¡ E 2 = E ¡ W 2 = 2 W ¡ C2 = tC¡ V2 = 2 V¡ Explicación La carga total no cambia P. Q/A D . P . E D jf. o W t S (o E 2 d v , Y el volumen dobla C = f.o A/d V Q /C 7.21. Un condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0cm tiene 29 000 V cuando el espacio vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm. Muestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l. r = 6.5) con una resistencia dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la figura 7-18.
- 98. 9 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS El problema resulta ser el de dos condensadores en serie Entonces, como en el poblema 7.18, 3250 . Vi = 125 + 3250 (29000) = 27926 V y así 27933 V El = = 34907 V/cm 0.80 cm lo cual excede la resistencia dieléctrica del aire. o 1.0 cm d [CAP. 7 7.22. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radioWVUTSRQPONMLKJIHG a = 2.5 cm y un plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distanciagfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED h = 6.0 de él. El potencial debido a - P t n o es constante sobre r = a , la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxi- madamente si a ~ h . Con esta aproximación, entonces, el potencial total del conductor real es . U na técnica útil en problemas de esta clase es el m é to d o d e im á g e n e s. Tome "la imagen espejo del conductor en el plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte el negativo de la distribución de carga del conductor real. Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por simetría tiene una superficie equipotencial (sección 5.2) donde existía el plano de tierra. Por consiguiente, este campo es el campo que queda en la región comprendida entre el conductor real y el plano de tierra. Aproximando las distribuciones de carga real e imagen a cargas lineales + P t Y - P t respectivamente, en el centro de los conductores, se obtiene (ver figura 7-19): potencial en el radio a debido a +P t = - (+ P t) In a 27tEo potencial en el punto P debido a - P t = - (- P t) In (2 h - a ) 27tEo Aire. E O Vidrio. e , Fil. 7-18 a Fig. 7-19 v = - ~lna + ~ In(2h - a ) ~ - ~ ln a + ~ ln 2 h = ~ln 2 h a 27tEo 27tEo / 27tEo 27tEo 27tEo a Similarmente, el potencial del conductor imagen es - Va . Así pues, la diferencia de potencial entre los dos conductores es 2 Va , de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es t(2 V .) = v.. La capacitancia deseada por unidad de longitud es, entonces, e L Q /L P t Va V. 27tEo In (2 h /a ) Para los valores de a y h , C /L = 9.0 p Fj m ,
- 99. CAP. 7] CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS 93 La anterior expresión paragfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C ] L no es exacta, pero da una buena aproximación cuando a ~ h (el caso práctico). Una solución exacta da Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h ) es la mitad del valor encontrado arriba (la misma . carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h . e L 7tio 7tio In (d + J~ : - 4a 2 ) ~ In (dja ) Problemas suplementarios 7.23. Halle la magnitud de D en un material dieéctrico para el cual le = 1.6 Y P = 3.05 X 10-7 C jm 2 • R e sp . 4.96 X 10-7 c ¡ m2 7.24. Halle las magnitudes de D, P Y ir para un material dieléctrico en el cual E = 0.15 MV/m y le = 4.25. R e sp . 6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25 7.25. En un material dieléctrico con ir = 3.6, D = 285 nC/m2 • Halle las magnitudes de E, P YX •. R e sp . 8.94 kV/m, 206 nC/m2 , 2.6 7.26. Dado E = - 3ax + 4a, - 2a, V/m en la región z < O, donde e, = 2.0. Halle E en la región z > O, para el cual 4 ir = 6.5. R e sp . -3ax + 4a, - -a. Vjm 6.5 7.27. Dado que D = 2ax - 4a, + 1.5 a. C jm 2 en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O, que es un dieléctrico con ir = 5.0. R e sp . 1.6ax - 16a, + 6a. C jm 2 7.28. La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a. C fm 2 • La región 2, O < z ~ 1 m, tiene ir = 2.5. Y la región 3, z > 1 m, tiene ir = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) . 1( 7)) 2 o R e sp . - 5ay + - a. (V jm , 7.5 ay + 4.2 a. C jm , 2 5 .0 2 iO 2 .5 7.29.' El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z = 5. En el lado que incluye el origen, D I (4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y ir ! = 4.3, mientras en el otro lado, 42 = 1.80. Halle E l' E 2• D 2 Y (J 2' R e sp . 1.45 X 104 ,3.37 X 10 5.37 x 10-7 ,83.060 7.30. Una entrecara dieléctrica está descrita por 4 y + 3 z = 12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con D I = a, + 3a, + 2a, J J C /m 2 . En el otro lado, i r 2 = 3.6. Halle D 2y (J 2' R e sp . 5 .l4 1 lC /m 2,4 4 .4 ° 7.31. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas con un dleléctrico de ir = 3.0, área 0.92 m? y sepa- ración 4.5 mm. R e sp . 5.43 n F 7.32. Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas? R e sp . 1.67 mm
- 100. -- 94 CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES D1ELECTRICOS [CAP. 7 7.33. Halle la capacitancia entre las superficies curvas interna y externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R e sp . 6.86 p F 7.34. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un con- ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro y un plano paralelo a 28 pies del eje del conductor. R e sp . 8.99 p F / m (fíjese en las unidades) 7.35. Duplique el diámetro del conductor del problema 7-34 y halle la capacitancia por unidad de longitud. R e sp . 10.1 p Fj m Fig. 7-20 7.36. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5 cm y una separación entre sus centros de 85 cm. R e sp . 6.92WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p F jm 7.37. Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m 2 y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras normales a E y D, como sigue: frl = 3.0, d , = 1.0 mm; fr2 = 4.0, d 2 = 2.0 mm; 43 = 6.0, d ) = 2.5 mm. Encuentre la capacitancia. R e sp . 2.12 nF 7.38. Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del problema 7.37, halle la diferencia de potencial y el gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico. R e sp . 267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, 33 kVjm 7.39. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno de 0.5 mm si el dieléctrico tiene e , = 5.2. R e sp . 39 p F jm 7.40. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blinda- je cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene e , = 2.70. R e sp . 37 p F jm €r=5.5 ¡o 7.41. El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor interno de radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que aparecen. R e sp . 45.9 p Fj m Fig. 7-21 7.42. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo momentánea- mente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de e , = 2.0 llenando totalmente el espacio. Compare los valores de Wp D , E , P ., Q . Vy Cantes y después de la inserción del dieléctrico. R e sp . p a r c ia l V2 = tV I 7.43. A un condensador de placas paralelas se le cambia el dieléctrico de frl = 2.0 a C r 2 = 6.0. Se nota que la ener- gía almacenada permanece fija: W 2 = W ¡ . Examine los cambios. en V, C, D , E , Q y P . , si hay alguno. R e sp . p a r c ia l. P .2 = .j3 P.I 7.44. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son acercadas la una a la otra, desde una separación d hasta !d . Examine los cambios que se producen en Q , P . ' C. D , E Y W E • R e sp . p a r c ia l. D 2 = 2 D ¡ 7.45. U n condensador de placas paralelas con espacio libre entre las 'placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta 2 d . Exprese los cambios que se producen en D . E , Q , P . ' C y W c R e sp . p a r c ia l. D 2 = t D ¡ 7.46. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación d . Sin perturbar la carga Q , las placas se acercan, hasta d l/, con un dieléctrico de e , = 3, que llena completamente el espacio entre las placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en D , E , V, C y W E ' R e sp . p a r c ia l. V2 == i V I
- 101. CAP. 7] CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS 95 7.47. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE ir = 5.4 llena 20% de la distancia entre las pla- cas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. R e sp . 0 .8 4 7.48. Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno con respecto al blindaje cilíndrico. Hay dos aislantes; el primero tiene ir ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0 cm del conductor interno, mientras que el segundo tiene ir 2 = 3.0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Y está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm, dentro de la superficie interna del blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante. R e sp . 0.645 MVWVUTSRQPONMLKJIHGFED 1 m , 1.03 MV 1 m 7.49. Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual ir = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m . ¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm? R e sp . 0.376 MV 7.50. Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, ir ! = 2.50, ir 2 = 4.0. Halle E l' E 2• D I Y D2 si la diferencia de voltaje es 50 V. R e sp . p a r c ia l. E2 = ±(36.1/r)sr (V/m) 7.51. En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0. Halle el voltaje a través de cada región. R e sp . 91.8 V, 8.2 V Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del problema 7.51. R e sp . 59.9 n J /m , 5.30 n J /m 7.52. e , = 2.0 Fig. 7-22