Elementos de algebra vectorial

PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA:
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA (FCNM).

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1. Álgebra vectorial

Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.

sentido
A'

a
A
módulo
dirección
FCNM



Vector. Se denota como a ó a . Se define como un segmento orientado
caracterizado por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.

• Un escalar o módulo, a ó a , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

sentido
A'

a
A
módulo
dirección

FCNM.



Suma de vectores.

Regla del polígono

 d
a       
c d = a +b +c a c

 b
b

Regla del paralelogramo

 
a a 
   c
c = a +b
 
b b

FCNM.



Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos. 
a

−a

Diferencia de vectores.
 
a  −b
   
c = a − b ⇒ c = a + (− b )
  c 
b
 
b a

Producto de un vector por un escalar.


λa

a λ >1 
λa λ <1
λ >0 λ<0
FCNM.



Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
     
i) asociativa para la suma : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
   
ii) conmutativa para la suma : a + b = b + a
  
iii) elemento neutro para la suma : a + 0 = a
        
iv) elemento simétrico para la suma : ∀a , ∃b / a + b = b + a = 0, esto es, b = −a
v) asociativa para el producto : λ ( γa ) = ( λγ ) a
 

vi) distributiva del producto respecto a la suma de escalares : ( λ + γ ) a = λa + γa
  
  
vi) distributiva del producto respecto a la suma de vectores : λ ( a + b ) = λa + λb

  
vii) elemento nulo : λ 0 = 0a = 0

FCNM.



Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
 
de a será:  a
ua = 

a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.

Proyección de un vector sobre un eje.

 
a ue
α
Pe ( a ) = a cos α = a cos α
 

Pe ( a )


FCNM.



Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
Z Z

pulgar pulgar


k
índice  corazón
X i  Y
j
corazón índice
Y X
Levógiro (mano izquierda) Dextrógiro (mano derecha)

dextrógiro
Triedro cartesiano   
vectores unitarios: i , j , k

FCNM.



Sistemas de coordenadas.

Z Z Z

P ( x, y , z ) P( r , ϕ , z ) P ( ρ ,θ , ϕ )

z z θ ρ
Y Y Y
x
ϕ r ϕ
y
X X X
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas

FCNM.



Componentes cartesianas.
Z    
Z
a = ax + a y + az



a  αz a
 k
az α
 αx  y
ax Y  j Y
i

ay
X X
Componentes cartesianas Cosenos directores
 
a x = PX ( a ) = a cos α x
ax = axi 
cos α x = a x / a
 
a y = PY ( a ) = a cos α y
ay = ay j 
cos α y = a y / a
 
a z = PZ ( a ) = a cos α z
az = az k 
cos α z = a z / a
FCNM.



Componentes cartesianas.
     
ax = axi ay = ay j az = az k

( )
         
a = a x + a y + a z = a x i + a y j + a z k = a cos α x i + cos α y j + cos α z k

a x = a cos α x a y = a cos α y a z = a cos α z

   
 a
ua =  = cos α x i + cos α y j + cos α z k

a

   
a = a x + a y + a z = (a x , a y , a z )

FCNM.



Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

       
a = axi + a y j + az k b = bx i + by j + bz k

a + b = ( a x + bx ) i + ( a y + by ) j + ( a z + bz ) k
    

      
a − b = a + (−b ) = ( a x − bx ) i + ( a y − by ) j + ( a z − bz ) k

FCNM.



Producto escalar de dos vectores.


b   
α a a ⋅ b = ab cos α

b cos α

Propiedades.
   
i) conmutativa : a ⋅ b = b ⋅ a
( )
      
ii) distributiva : c ⋅ a + b = c ⋅ a + c ⋅ b
( ) ( )
   
iii) asociativa respecto a escalares : ( λa ) ⋅ γb = λγ a ⋅ b
      
iv) si a , b ≠ 0 y a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b
           
v) i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1, i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0
  
vi) a = a = a ⋅ a
        
vii) Pe ( a ) = a ⋅ ue . En consecuencia, a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k
FCNM.



Producto escalar de dos vectores.


b   
α a a ⋅ b = ab cos α

b cos α
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
 
a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz

Ángulo que forman dos vectores.
 
a ⋅ b a x bx + a y by + a z bz
cos α = =
ab ab

Fundamentos de Física. FCM.



Producto vectorial de dos vectores.
  
c = a ×b
Z
 
 • Vector perpendicular al plano determinado por a y b .
c
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
 
a sobre b
 Y • Módulo dado por
b  
 α c = a × b = ab sen α
a
X

Propiedades.
   
i) anticonmutativo : a × b = −b × a
     
ii) no - asociativo : ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c )
     
iii) asociativo para el producto por un escalar : λa × b = a × λb = λ ( a × b )
      
iv) distributivo respecto a la suma : c × ( a + b ) = c × a + c × b
       
v) Si a , b ≠ 0 y a × b = 0 ⇔ a || b



Producto vectorial de dos vectores.
  
c = a ×b
Z
 
 • Vector perpendicular al plano determinado por a y b .
c
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
 
a sobre b
 Y • Módulo dado por
b  
 α c = a × b = ab sen α
a
X

Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
  
i j k
a z = ( a y bz − a z by )i + ( a z bx − a xbz ) j + ( a x by − a y bz ) k
    
a × b = ax ay
bx by bz

FCNM.



Producto mixto de tres vectores.

Z

β
(
  
)
c ⋅ a × b = abcsenα cos β
 
a ×b   Volumen del paralelepípedo
c b Y formado por los tres vectores
α

a
X

Propiedades.
(
        
) (
i) cíclica : a ⋅ b × c = c ⋅ a × b = b ⋅ ( c × a ) )
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

cx cy cz
 
( 
)
c ⋅ a × b = ax ay a z = ( a y bz − a z by )c x + ( a z bx − a x bz ) c y + ( a x by − a y bz )c z
bx by bz
FCNM.



Momento de un vector con respecto a un punto.
   

MO MO (a) = r × a

 M O = ar sen α = ad
 a
r
O
d α El momento de un vector con respecto
∆a x  ∆a y 
i + lím
P lím
∆λ →0 ∆λ aλ →0 ∆λ
∆ un punto
j
no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.

FCNM.


1.2. Cálculo vectorial

Función vectorial con respecto a un escalar.

    
a = a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k

a ( λ1 )
  
∆a = a ( λ2 ) − a ( λ1 )

∆a

a ( λ2 )
∆λ = λ2 − λ1 
   
λ1 = λ  ⇒ ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
λ2 = λ + ∆λ 

FCNM.



Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
  
  
∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
=
∆λ ∆λ
   
da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
= lím = lím
dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ
 
da da
dλ dλ 
da
dλ 
 da
a( λ )
 ∆a
dλ

∆a
a ( λ + ∆λ )

∆λ
FCM.




   
da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
= lím = lím =
dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ

 a x ( λ + ∆λ ) − a x ( λ )    a y ( λ + ∆λ ) − a y ( λ )  
lím  i + lím  j =

∆λ →0
 ∆λ  ∆λ →0
 ∆λ 

∆a x  ∆a y  da x ( λ )  da y ( λ ) 
= lím i + lím j= i+ j
∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ dλ dλ

FCNM.



Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t ) 
 
da ( t )
= lím = i+ j+ k
dt ∆t →0 ∆t dt dt dt

∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t ) 
 
da ( t )
= lím = i+ j+ k
dt ∆t →0 ∆t dt dt dt

da
dt 
da
dt 
da
dt

FCNM.



Propiedades.
i) Derivada de la suma de vectores :

da ( λ ) db ( λ )

[a( λ) + b ( λ) ] =
d  
+
dλ dλ dλ
ii) Derivada del producto de una función vectorial por un escalar :
da ( λ ) 
( λ ) df ( λ )

d
[ f ( λ )a( λ )] = f ( λ )

+a
dλ dλ dλ
iii) Derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales :

[ a ( λ )b ( λ ) ] = da (λ ) b ( λ ) + a ( λ ) db λλ )
(

d   λ  
dλ d d
iv) Derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales :

[ a ( λ ) × b ( λ ) ] = da (λ ) × b ( λ ) + a ( λ ) × db λλ )
(

d   λ  
dλ d d

FCNM.



Algunas consecuencias.

a ( λ ) = a( λ ) ua ( λ )
 

da ( λ ) da ( λ )  du a ( λ )
 
i) En general, = ua ( λ ) + a( λ )

dλ dλ dλ
da ( λ ) da( λ )  da ( λ ) 
→  
ii) Si u a ( λ ) = cte ⇒

= ua ⇔
 || u a

dλ dλ dλ
da ( λ ) du a ( λ ) da ( λ ) 
  
iii) Si a ( λ ) = cte ⇒ = a( λ ) ⇔ ⊥u a

dλ dλ dλ

FCNM.



Integral de una función vectorial. 
 a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
 
 da ( λ ) 

 ∫
Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒ 

λ2 
a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
dλ 
 1

Propiedades.
    
i) Si a = a ( λ ) y b = b ( λ ) : ∫ ( a + b ) dλ = ∫ adλ + ∫ b dλ
  

 
ii) Si k = cte : ∫ kadλ = k ∫ adλ

iii) Si ξ ∈ [ λ1 , λ2 ] :
λ2  ξ  λ2 
∫λ
1
adλ = ∫ adλ + ∫ adλ
λ1 ξ
→
 = cte y ξ = ξ ( λ ) :   
iv) Si υ ∫ υ adλ = υ ∫ adλ
   
∫ υ × adλ = υ × ∫ adλ
 
∫ ∫
ξυ dλ = υ ξdλ
λ2  λ1 
v) ∫λ1
adλ = − ∫ adλ
λ2
FCNM.



Integral de una función vectorial. 
 a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
 
 da ( λ ) 

 ∫
Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒ 

λ2 
a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
dλ 
 1

Integral en función de las componentes cartesianas.
  
a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k


∫ a ( λ ) dλ =

( ) (

∫ ax ( λ ) dλ i + ) (

∫ a y ( λ ) dλ j + )
∫ az ( λ ) dλ k


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