Elementos de Probabilidades
- 1. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Relación entre sucesos, características y tipos. Cálculo de probabilidad y Regla de Laplace PROYECTO FORMATIVO DOMINIO DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO Bolivia Marlene Núñez Estrada
- 2. Introducción La teoría de la probabilidad es la parte de la matemática que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy sencillos, algunas personas los utilizan para tomar decisiones en sus vidas En principio no sabemos cuál será el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles.
- 3. El espacio muestral de un experimento aleatorio Es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega). En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. En todo experimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal. Esta letra proviene del término sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Evento.- Llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc.
- 4. Ejemplo Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral es el conjunto Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A={2, 4, 6}, que corresponde al suceso de obtener como resultado un número par.
- 5. Enfoques de probabilidad 1) Experimento aleatorio o experimento: cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho de anterioridad con seguridad. Ejemplo: a) lanzamiento de una moneda b) lanzamiento de un dado c) extracción de una carta de una baraja de 52 cartas d) sacar de una bolsa una bola de color negro e) obtener una bola de color azul de un ánfora 2) Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su símbolo es Ω. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable, entonces se dice que éste es discreto y si el espacio discreto muestral tiene como elementos todos los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo. Ejemplo: a) experimento: lanzamiento de un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) experimento: tiempo de duración de un tubo fluorescente Ω = {t , t ≥ 0}
- 6. 3) Evento o suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en particular Ω, llamado suceso seguro y el conjunto vacío, ∅ , también es un evento, llamado suceso imposible. Ejemplo: A= {obtener un número impar al lanzar un dado} A= {1, 3, 5} B= {obtener al menos una cara al lanzar una moneda dos veces} B = {c s; s c; cc} C= {extraer una carta y que sea el número 2} C= {2 corazón, 2 diamantes, 2 trébol, 2 picas} Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible aplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos. *Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac Es decir: A ∪ B = los eventos A unión B A ∩ B = los eventos A intersección B Ac = los eventos A complemento *A ∪ B ocurre si, y sólo si sólo ocurre A o sólo ocurre B u ocurren A y B a la vez. *A ∩ B ocurre si, y sólo si ocurre A y ocurre B a la vez. *Ac ocurre si, y sólo si no ocurre A.
- 7. Probabilidad: Relación entre sucesos Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones: a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones propias. Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b). Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el a).
- 8. b) Dos sucesos pueden ser iguales: Esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos. c) Unión de dos o más sucesos: La unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen. Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6 AUB=
- 9. d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan. Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par). e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío). Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo. f) Sucesos complementarios: son aquellos que, si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
- 10. Cálculo de probabilidades La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (ya que no existe este valor). El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
- 11. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (1) (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:
- 12. Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
- 13. Modelo Frecuentista En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad. A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cuál es la probabilidad de cada suceso. Ejemplos: 1.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: 1- La primera bola no se devuelve. 2- La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. 3- Calcular la Probabilidad de las diferentes Bolas (Blanca, Roja, Verde, Negra) El espacio muestral será todas las posibles combinaciones que se den entre estas bolas Veamos cómo está compuesta la urna: Bolas: Blanca= 1 Roja=1 Verde= 1 Negra= 1 Total= 4 Con este modelo se pueden presentar diversos casos y múltiples posibles combinaciones para cada suceso, bola Blanca; bola Roja; bola Verde; bola Negra: Y tenemos que el espacio muestral es E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
- 14. Para calcular la Probabilidad de cada bola aplicamos la Regla de LaPlace Bolas: Blanca= 1 Roja= 1 Verde= 1 Negra= 1 . Total= 4
- 15. Probabilidad condicionada Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida: Ejemplo 1: Se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula: Ejemplo : En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.
- 16. Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)). P (B ∧ A) = 0,05 P (A) = 0,25 Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.
- 17. PROBABILIDAD COMPUESTA La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada: La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es: 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴) ∗ 𝑃(𝐴) Ejemplo 1: Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información: Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).
- 18. Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B). Por lo tanto: P (A) = 0,35 P (B/A) = 0,30 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴) ∗ 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 0,30 ∗ 0,35 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 0,105 Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.
- 19. Conclusiones La teoría de la probabilidad es una parte muy importante de la matemática que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Los experimentos son experiencias que se repiten bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. En principio no sabemos cual será el resultado, es por eso que debemos agrupar las posibles opciones de resultado en un espacio llamado muestral o muestra. El evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo representa con las primeras letras mayúsculas del alfabeto.