Tarea de representacion para slideshare
- 4. INTRODUCCIÓN
- 5. ENFOQUE DE PROBABILIDAD Cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho de anterioridad con seguridad. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado Evento o sucesoEspacio muestralExperimento aleatorio o experimento Es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su símbolo es Ω. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable, entonces se dice que éste es discreto y si el espacio discreto muestral tiene como elementos todos los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo. Ejemplo: Experimento: lanzamiento de un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en particular Ω mismo es un evento, llamado suceso seguro y el conjunto vacío, ∅ , también es un evento, llamado suceso imposible. Ejemplo: A= {obtener un número impar al lanzar un dado} A= {1, 3, 5}
- 6. Ejemplo: Considere el experimento lanzamiento de dos dados a) Determine el espacio muestral b) Obtenga los siguientes eventos: A= {la suma de los dos números es un múltiplo de dos} B= {ambos dados muestran la misma cara} C= {los dos números son primos} D= {la resta de los dos números es divisible por tres} Solución: Determine el espacio muestral Como son dos dados vamos a tener como espacio muestral para el dado 1 A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} para el dado B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces la combinación de los dos dados será para el espacio muestral Más soluciones: A= {la suma de los dos números es un múltiplo de dos} B= {ambos dados muestran la misma cara} C= {los dos números son primos} D= {la resta de los dos números es divisible por tres}
- 7. Un suceso puede estar contenido en otro Las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias. Ejemplo: Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos; a) que salga el número 6 y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b). Un suceso puede estar igual Esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos; a) que salga numero par, y b) que salga múltiplo de dos, vemos que las soluciones coinciden en ambos casos. Unión de dos o mas sucesos La unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se une. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos; a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. el suceso unión estará formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. Intersección de sucesos Ejemplo: Lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos; A) que salga número par, y b) que sea mayor que 4, la intersección de estos dos sucesos tiene un solo elemento, el numero 6 (es el único resultado común a ambos sucesos; es mayor que el 4 y es número par. Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o mas sucesos que se insertan Sucesos incompatibles Son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes. ( su intersección es el conjunto vacío) Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos; a) que salga un numero menor que 3, y b) que salga un número 6. es evidente que ambos no se puede dar al mismo tiempo. Sucesos complementarios Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos,: a) que salga un numero par, y b) que salga un numero impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo y viceversa Son aquellos que, si no se da uno , obligatoriamente se tiene que dar el otro. PROBABILIDAD: RELACIÓN ENTRE SUCESOS
- 8. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Probabilidad: La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (ya que no existe este valor). El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
- 9. EJEMPLOS DE PROBABILIDADES: Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (1) (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos (2), el cuatro (4) o el seis (6)), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos, frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto: Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno (1), el dos (2), el tres (3) o el cuatro (4)), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
- 10. Probabilidad compuesta La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada: La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es: 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴) ∗ 𝑃(𝐴) Ejemplo: Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información: Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A). Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B). Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.
- 11. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: Supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidente es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es: 𝑃(𝐵) = ∑(𝐴𝑖) ∗ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100% Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 No forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
- 12. Ejercicio de teorema de probabilidad total: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20% Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: 𝑃(𝐵) = ∑(𝐴𝑖) ∗ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) 𝑃(𝐵) = ∑(𝐴𝑖) ∗ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) 𝑃(𝐵) = (0,50 ∗ 0,40) + (0,30 ∗ 0,60) + (0,20 ∗ 0,80) 𝑃(𝐵) = (0,20) + (0,18) + (0,16) 𝑃(𝐵) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.