Basic probability and applications

Conceptos fundamentales de probabilidad
G. Edgar Mata Ortiz

„The most important questions of life are indeed, for the most part, really only problems of probability."
Pierre-Simon Laplace
(ThéorieAnalytiquedes Probabilités: 1812)
Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayor parte, realmente sólo problemas de probabilidad

Introducción
Determinísticos o deterministas
-Son aquellos en los que podemos predecir su resultado, aún antes de realizar un experimento
-Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de física
Dos tipos de fenómenos

Introducción
Aleatorios
-Son aquellos en los que no podemos predecir su resultado, sin importar cuánta información tengamos disponible
-Ejemplo: El resultado al lanzar un dado
Dos tipos de fenómenos

Introducción
El estudio de los fenómenos aleatorios es menos usual que el de los fenómenos determinísticos.
Se estudia la geometría y física, donde las fórmulas nos entregan resultados exactos y predecibles
Los fenómenos aleatorios
b = base
h = altura
Área del triángulo

Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y hechos de la vida cotidiana, no tienen este comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios

Conceptos fundamentales
Definición de la real academia española
¿Qué es probabilidad?

Como pudimos observar, la palabra probabilidad tiene varios significados.
Es conveniente distinguir los diversos significados de acuerdo al uso que se hace de la palabra probabilidad.
Vamos a estudiar los cuatro enfoques de probabilidad:
Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial, probabilidad clásica y probabilidad axiomática

Probabilidad
Subjetiva
Objetiva
Frecuencial
Clásica
Axiomática

Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso va a ocurrir.
Suele indicarse como un número decimal, menor que uno o como un porcentaje.
Probabilidad subjetiva

Se basa en la opinión personal, la experiencia o la intuición
En ocasiones hace uso de datos históricos.
No siempre se cuantifica

Las estimaciones subjetivasde probabilidad cambian de una persona a otra
No es necesario realizar ningún experimento para estimar la probabilidad subjetiva de un evento

A pesar del uso ocasional de datos históricos, dichas estimaciones presentan un elevado grado de incertidumbre
No obstante dicha incertidumbre, en muchas circunstancias, es necesario recurrir a la probabilidad subjetiva.

Richard Von Mises
Generalmente la teoría de probabilidad es considerada una rama de las matemáticas, sin embargo, sus fundamentos son puramente filosóficos, y Richard von Mises, desarrolló la correcta teoría de probabilidad objetiva o “de frecuencia”.
Probabilidad frecuencial

Es una forma empírica de calcular
probabilidades
Es necesario repetir el experimento
varias veces para calcular la
probabilidad
La tabla muestra el número de veces
que se obtuvo cada resultado al lanzar
dos dados, cien veces.
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

Cuanto más
grande es el
número de veces
que se lanzan los
dados, la
frecuencia relativa
se aproxima a la
probabilidad de
ocurrencia de
cada evento
Probabilidad
frecuencial Resultados 100 1000 30000 100000
2 0.05000 0.02200 0.02737 0.02825
3 0.09000 0.05700 0.05483 0.05558
4 0.10000 0.07700 0.08607 0.08156
5 0.09000 0.11100 0.10947 0.11214
6 0.15000 0.14000 0.13927 0.13915
7 0.15000 0.17800 0.16720 0.16560
8 0.11000 0.13700 0.13530 0.13961
9 0.14000 0.11300 0.11177 0.11169
10 0.07000 0.08800 0.08503 0.08336
11 0.04000 0.05400 0.05570 0.05501
12 0.01000 0.02300 0.02800 0.02805
Probabilidades frecuenciales

La probabilidad frecuencial, a diferencia de la subjetiva, siempre se cuantifica
Puede expresarse como fracción, número decimal o porcentaje
Se calcula mediante la fórmula:
푝풂= 푁ú푚푒푟표푑푒푟푒푠푢푙푡푎푑표푠푒푛푞푢푒푠푒표푏푡푢푣표푒푙푠푢푐푒푠표풂 푁ú푚푒푟표푑푒푖푛푡푒푛푡표푠푡표푡푎푙푒푠

Ejemplo de aplicación de la fórmula:
Se lanzan dos dados 100 veces y se
cuenta el número de ocasiones en las
que la suma de las caras es igual a 2,
3, 4, ..., 12
La tabla de la derecha contiene los
resulados de este experimento
aleatorio
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

Ejemplo de aplicación de la fórmula:
En la tabla de distribución de frecuencias, se observa que el número 3 se obtuvo en 9 ocasiones, por lo tanto:
También puede expresarse como: 9%
푝3= 9100 푝3=0.09
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

La ley de los grandes números (también llamada ley del azar), propuesta por J. Bernoulli, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número cada vez más grande de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.
Jakob Bernoulli(Basilea,27 de diciembrede1654-ibíd.16 de agostode1705), también conocido comoJacob,JacquesoJames Bernoulli, fue un genialmatemáticoycientíficosuizoy hermano mayor deJohannBernoulli(parte de lafamilia Bernoulli).

Estableció la “regla de Laplace” para el cálculo de probabilidades cuando los eventos posibles en un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad de suceder.
Además de sus trabajos sobre probabilidad se destacó en ecuaciones diferenciales y mecánica celeste.
Probabilidad clásica
Pierre Simón Marqués de Laplace.
(1749-1827)

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos que pueden presentarse, siempre que los resultados sean equiprobables.
Es una forma de probabilidad objetiva
No es necesario realizar ningún experimento para determinar la probabilidad de un evento
푝퐴= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎퐴 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠

Un ejemplo típico de este modelo de probabilidad hace referencia al lanzamiento de una moneda “legal“
Entendemos por “legal“, que la probabilidad de que se obtenga un águila o un sol es la misma, son eventos equiprobables.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga un águila es 1, y el número de casos totales es dos
푝á푔푢푖푙푎= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎á푔푢푖푙푎 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠 = 12

Otro ejemplo citado con frecuencia es el lanzamiento de un dado
Se asume que, al igual que en la moneda, la probabilidades de cada cara del dado, es la misma.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga, por ejemplo, un tres; es 1, y el número de casos totales es seis
푝푡푟푒푠= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎푡푟푒푠 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠 = 16

AndréiKolmogórov, matemático ruso, entre muchos otros trabajos científicos, estructuró el sistema axiomático de la probabilidad.
Se basó en la teoría de conjuntos.
Fundamenta matemáticamente la probabilidad.
Probabilidad axiomática
AndréiKolmogórov.

Axiomas de la probabilidad
-La probabilidad de un suceso Xes un número real mayor o igual a cero: P(X)≥0
-La probabilidad del universo Wes igual a 1: P(W)=1
-Si A1, A2, … Aison sucesos mutuamente excluyentes, entonces P(A1UA2…UAi) = SP(Ai)
Probabilidad axiomática

Gracias por su atención
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