Tema 2: Probabilidad

II. PROBABILIDAD MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA

PROBABILIDAD Es una medida numérica que refleja la posibilidad de que ocurra un evento. Permite obtener conclusiones sobre las características de la variable de una población

PROBABILIDAD ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO No. total de posibles resultados No. de resultados donde ocurre el evento P(E) = P(E) = n(E) n(S)

POSTULADOS BÁSICOS El rango de probabilidad de ocurrencia de un evento, es de 0 a 1; es decir, del 0% al 100%. La suma de todos los posibles resultados del experimento (espacio muestral) es siempre igual a 1.

EXPRIMENTO ALEATORIO Se conocen c on antelación todos los posibles resu lta dos. No se sabe lo que ocurrirá en cada experiencia p ar ticular. Se puede rep et ir indefinidamente en las mismas condi ci ones.

Un Evento es la colección de uno o más resultados del experimento Un Resultado es el valor particular de un experimento. Experimento: lanzar un dado . Posibles resultados: Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 Un posible evento: La ocurrencia de algún número en específico. Por ejemplo, que sea par: 2, 4, y 6.

Los eventos son I ndependientes si la ocurrencia de algún evento no afecta la ocurrencia de algún otro. Los eventos pueden ser Mútuamente Excluyentes si la ocurrencia de algún evento significa que ningún otro pueda suceder al mismo tiempo. Mútuamente excluyentes: Si el dado cae en 2, se excluyen los valores 1, 3, 4, 5, 6 como resultados alternos. Independencia: Si el dado cae en 2 al primer lanzamiento, no influye que en el siguiente tiro caiga un 3. Sigue habiendo una probabilidad de uno a 6.

Dos Eventos son Independientes si el resultado de uno de ellos no influye en el resultado del otro.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I. Tasas de mortandad para cálculo de pólizas de seguros. Predicción de niveles de venta. Predicción de tiempos de realización de proyectos empresariales.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN II. Estimación de segmentos de mercado. Toma de decisiones en materia de inversión.

EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS EXPERIMENTO O ACONTECIMIENTO POSIBLES RESULTADOS Prueba de degustación de un producto Es aceptado / es rechazado Campaña publicitaria de un artículo Aumentan las ventas / quedan igual /disminuyen Estudio de control de calidad de un lote productivo Aprobado / no aprobado Monto de las ventas efectuadas a crédito en un mes $0 - $xxx.Xx Invertir en un instrumento de inversión Ganar / recuperar la inversión / perder

DIMENSIONES DE LA PROBABILIDAD. Clásica aplica cuando existen n posibles resultados posibles. Empírica el número de veces que el evento ocurre se divide entre el número de observaciones Subjetiva la probabilidad se basa en cualquier información disponible

PROBABILIDAD CLÁSICA Se emplea cuando los resultados experimentales son equiprobables Suponiendo que en un experimento o suceso se tienen n posibles resultados, la probabilidad de ocurrencia de cada resultado es de 1/ n.

EJEMPLO 1 Un estudio de audiencia de televisión, referente al número de horas por día que veían las personas en una localidad sureña del país, aplicado a 50 personas, arrojó los siguientes resultados: Horas/ T.V. No. Personas 0 8 1 20 2 12 3 6 4 3 5 1

EJEMPLO 1 Si se selecciona un cuestio nario al azar , ¿cuál es la probabilidad de que la persona vea… 1 hora de tv: Como 20 personas, de un total de 50, afirmaron ver 1 hora de tv: P(1)= 20/50= 0.40  40% Lo cual implica que el 40% de las personas ven tv 1 hora diaria.

EJEMPLO 1 b) 3 horas: P(3)= 6/50= 0.12  12% c) 2 horas o menos: P(0) + P(1) + P(2) = 8+20+12/50 = 0.80  80% Por consiguiente, el 20% de la gente entrevistada ve tv durante más de 2 horas; es decir, 3 horas o más.

P( A o B ) = P( A ) + P (B) Sean dos eventos A y B mútuamente excluyentes , la Regla de la Adición establece que la Probabilidad de ocurrencia de A o B se determina sumando sus respectivas probabilidades.

LEY ADITIVA I. Se aplica cuando tenemos dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos.

LEY ADITIVA II. Supongamos que tenemos los eventos “A” y “B”. Queremos determinar la probabilidad de que suceda “A” ó suceda “B”; ó bien, Sedan AMBOS

LEY ADITIVA III La respuesta es fácil: tenemos que determinar todos los puntos muestrales que pertenecen a “A”, a “B” o a ambos; lo que se conoce en teoría de conjuntos como la unión (A U B) B A U B A

LEY ADITIVA IV Por otra parte, si quisiéramos determinar la probabilidad de que sucedan ambos acontecimientos simultáneamente ; es decir “A” y “B”, Tendríamos que escoger los puntos comunes de ambos eventos; o sea, la intersección de estos conjuntos. A ∩ B A B

EJEMPLO 2 Supongamos una encuesta aplicada a 50 personas sobre los hábitos de consumo de refresco de cola. Se obtuvieron los siguientes resultados: 20 prefieren Coca-Cola (C) 14 prefieren Pepsi (E) 5 consumen ambos indistintamente

EJEMPLO 2 La cardinalidad de “C” (número de elementos); n (c) = 20 La cardinalidad de “E”; n (c) = 20 La probabilidad de que a una persona le guste Coca-Cola es de: p(C) = 20/50 = 0.4  40%

EJEMPLO 2 La probabilidad de que a una persona le guste Pepsi es de: p(E) = 14/50 = 0.28  28%

EJEMPLO 2 E 15 5 9 21 TOMAN COCA, PERO NO PEPSI TOMAN PEPSI, PERO NO COCA NO TOMAN NI COCA, NI PEPSI TOMAN COCA Y PEPSI C

NOMENCLATURA Toman Coca: p(C) Toman Pepsi: p(E) Toman Coca o Pepsi p(C U E) Toman Coca y Pepsi: p(C ∩ E) Toman Coca pero no Pepsi: p(C ∩ E’) Toman Pepsi pero no Coca: p(C ’ ∩ E) No toman ninguna : p(C ’ ∩ E’)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA C ∩ E’ C’ ∩ E’ C ∩ E C’ ∩ E

EJEMPLO 2 ¿Cuántas personas consumen exlusivamente una marca? P(C ∩ E’) + P(C’ ∩ E) = 24 ¿Cuántas personas toman alguno de los dos: P(C U E) = P(C ∩ E’) + P(C ∩ E) + P(C’ ∩ E)= = 15 + 5 + 9 = 29

Dos eventos A y B si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La regla a seguir es: P ( A y B ) = P ( A ) P ( B ) La Regla de la Multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independentes.

P ( IBM y GE ) = (.5)(.7) = .35 Javier tiene 2 acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que las acciones de IBM incrementen su valor este año, es de 0.5, mientras que la probabilidad de que las acciones de GE suban de valor es del 0.7. Ambos eventos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas acciones incrementen su valor este año?

P(al menos una) = P(IBM pero no GE) + P(GE pero no IBM) + P(IBM y GE) (.5)(1-.7) + (.7)(1-.5) + (.7)(.5) = .85 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las acciones suba de valor?. Esto significa que una, la otra, o ambas, puedan subir de valor

PROBABILIDAD CONDICIONAL A Se llama probabilidad de A condicionada a B , o probabilidad de A sabiendo que pasa B : E espacio muestral B “ tamaño” de uno respecto al otro Error frecuente: Probabilidad condicional es distinta a la intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero … En P(A ∩ B) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Establece que para dos eventos, A y B, la probabilidad conjunta de ocurrencia de ambos eventos se obtiene multiplicando la probabilidad del evento A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió. La Regla General de la Multiplicación se emplea para determinar la probabilidad conjunta de la ocurrencia de dos eventos.

La probabilidad conjunta, P ( A y B ), se determina por la siguiente fórmula: P ( A y B ) = P ( A ) P ( B/A ) ó P ( A y B ) = P ( B ) P ( A/B )

A continuación mostramos la matrícula de alumnos inscritos en distintas especialidades de la FCA:

P(C/M) = P(C y M)/P(M) = [110/1000]/[400/1000] = .275 Si un estudiante es seleccionado al azar,¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer ( M) y esté inscrito en la especialidad en Contaduría ( C )? P(C y M) = 110/1000. Dado que el estudiante es mujer, cuál es la probabilidad de que esté inscrita en Contaduría?

TEOREMA DE BAYES (DIAGRAMAS DE ÁRBOL)

Ejemplo: Una bolsa contiene 7 fichas rojas y 5 azules. Seleccionamos 2, una detrás de la otra (Sin reemplazo). ¿Cómo podríamos representar este problema en un diagrama de árbol? Un Diagrama de Árbol se utiliza para ilustrar problemas de Probabilidad Condicional y Conjunta. Es particularmente util para analizar alternativas en las decisiones de negocios .

DIAGRAMA DE ÁRBOL R1 A1 R2 A2 R2 A2 7/12 5/12 6/11 5/11 7/11 4/11

TEOREMA DE BAYES Es un método para calcular la probabilidad de un evento a partir de información previa. Se emplea la siguiente fórmula:

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