Probabilidad y teorema de bayes class no3

PPrroobbaabbiilliiddaadd
Clase No. 3

Probabilidad como medida numérica de la posibilidad de que un
evento ocurra
S = { cara, cruz }

Análisis de un proyecto de expansión de la empresa KP & L
*Generación de energía
Tabla. Resultados Experimentales (Puntos Muestrales) Para Proyecto de Generación Energética
Duracion (meses)
Etapa1 Etapa 2 Notación Proyecto Completo
Diseño Construccion Resultados Duración (meses)
2 6 (2,6) 8
2 7 (2,7) 9
2 8 (2,8) 10
3 6 (3,6) 9
3 7 (3,7) 10
3 8 (3,8) 11
4 6 (4,6) 10
4 7 (4,7) 11
4 8 (4,8) 12
Objetivo: Incrementar la capacidad de generación de energía de una de sus
plantas. El proyecto está dividido en dos etapas; etapa de diseño y etapa de
construcción
Un evento es una colección de puntos muestrales y un subconjunto del espacio
muestra.
Pronostico de tiempo requerido para cada proyecto
Análisis de proyectos de construcción similares
Meses
Experimento de pasos multiples

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar
Un experimento de pasos múltiples.

Regla de conteo para experimentos de pasos múltiples
Total de
Resultados

Antecedentes de proyectos similares
Tabla. Duración de 40 proyectos de KP & L
Duracion (meses)
Etapa1 Etapa 2 Notación No. De Proyectos que tuvieron
Diseño Construccion Resultados Esta duración (meses)
2 6 (2,6) 6
2 7 (2,7) 6
2 8 (2,8) 2
3 6 (3,6) 4
3 7 (3,7) 8
3 8 (3,8) 2
4 6 (4,6) 2
4 7 (4,7) 4
4 8 (4,8) 6
Total: 40
Asignaciones de probabilidades
•Método clásico
•Método de frecuencia relativa
•Método subjetivo

Reglas para la aplicación de probabilidades

Tabla. Asignación de probabilidades para el proyecto KP&L empleando
El método de frecuencias relativas.
Punto Terminación de Proyecto Proyectos con esta Probabilidad
Muestral Duración (meses) duración (meses) del punto muestral
(2,6) 8 6 0.15
(2,7) 9 6 0.15
(2,8) 10 2 0.05
(3,6) 9 4 0.1
(3,7) 10 8 0.2
(3,8) 11 2 0.05
(4,6) 10 2 0.05
(4,7) 11 4 0.1
(4,8) 12 6 0.15
1
Interesa conocer si el proyecto termina en 10 meses o menos

Cual es la Probabilidad de P (L) y P(M) ?
Probabilidad de que el proyecto dure 10 meses o menos= 0.7

Reglas de Conteo
Combinaciones
Permutaciones

Cuantas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

Permutaciones
Regla de conteo que calcula el número de resultados experimentales
cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el
orden de selección es relevante.

Complemento
Espacio Muestra
Complemento del evento A
El complemento de un evento A con respecto a S. es el conjunto de todos
los elementos de S que no están en A. Se describe el complemento de A por
AC
La probabilidad del evento A se puede calcular si se conoce su complemento

Considere el caso de un administrador de ventas que después de revisar sus
informes de ventas, encuentra que un 80% de los contactos con clientes nuevos
no producen ninguna venta. Si A denota que hubo una venta y Ac el evento no
hubo venta, el administrador tiene
P(AC ) = 0.80 , mediante la ecuación anterior se obtiene;
La conclusión es que la probabilidad de una venta en el contacto con el
cliente nuevo es 0.20
Ejemplo: Un gerente de compras encuentra que la probabilidad de que el
proveedor surta un pedido sin piezas defectuosas es 0.90, empleando el
complemento podemos concluir que la probabilidad de que el pedido contenga
piezas defectuosas es P(A);

Ley de la Adición
Probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Si A y B son eventos,
nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambos.
La unión de dos eventos
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se
denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B.
Espacio Muestra S
Evento B
Evento A

Intersección de dos eventos
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de
A y B, representado por .Es decir, es el conjunto que contiene a
todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
Espacio Muestra S
Evento B
Evento A

Ley de la Adición
Ejemplo.-
Empresa ensambladora con 50 empleados, se espera que los trabajadores
terminen a tiempo su trabajo y que pase la inspección final.
El jefe de producción encuentra que 5 de los 50 empleados no terminan a
tiempo su trabajo, 6 de los 50 ensamblaron mal una pieza y 2 de los 50 no
terminaron su trabajo a tiempo y armaron mal una pieza

Ejemplo.- Estudio efectuado por el director de personal de una empresa de
software.
En el estudio se encontró que el 30% de los empleados que se van de la
empresa antes de dos años, lo hacen por estar insatisfechos con el
salario, 20% se van de la empresa por estar descontentos con el trabajo
y 12% por estar insatisfechos con las dos cosas, el salario y el trabajo.
Cual es la probabilidad de que un empleado se vaya de la empresa en
menos de dos años lo haga por estar insatisfecho por el salario, con el
trabajo o con las dos cosas?
Sea

Eventos Mutuamente Excluyentes
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos
muestrales en común

Ejemplo:
Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos
E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:
A = {E1,E4,E6}
B = {E3,E4,E5,E6,E7}
Encuentre:
(a) P(A)
(b) P(B)
(c) P(AU B)

a) P(A) = 3/8
(b) P(B) = 5/8
(c) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AΩB)
P(A U B) = 3/8 + 5/8 - 2/8 = 6/8 = 0,75

Probabilidad Condicional
P A B) Probabilidad de A dado B.
Ejemplo:
Promoción de los agentes de policía de una determinada ciudad
Muestra: 1200 agentes
Hombres: 960
Mujeres: 240
Promovidos en los últimos 2 años: 324
Protesta del comité femenil argumentando la poca cantidad de
mujeres promovidas.

Tabla de Probabilidades Conjuntas
Probabilidad de que un agente sea promovido dado que es hombre
P (A M) 288/960 = 0.30

Probabilidad condicional de que se
observe el evento A dado que el evento
B ha ocurrido.
Cual es la probabilidad de que un agente sea promovido dado que es mujer?
P A W) 36/240 = 0.15
QQuuee ccoonncclluussiioonneess oobbttiieennee??

Eventos Independientes
LLeeyy ddee llaa mmuullttiipplliiccaacciióónn..--
Basada en la definición de probabilidad condicional
Despejando de la ecuación:

Ejemplo:-
Departamento de circulación de un periódico
84% de los hogares están subscritos a la edición diaria de periódico, P(D)=0.84
Probabilidad de que un hogar ya suscrito a la edición diaria se inscriba también a
La edición dominical (evento S) es 0.75
P (S D) = 0.75
Cual es la probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria y
a la dominical?
Aplicando la ley de multiplicación:
Hay 63% de probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria y
a la dominical?
Hay 63% de probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria y
a la dominical?
Ley de multiplicación para eventos independientes

Ejercicios
1. Suponga 2 eventos A y B y que P(A)=0.50, P(B)=0.60 ,P(A Π B) =0.40
a.Halle P(A B)
b.Halle P(B A)
c.A y B son independientes?
2. Una muestra de estudiantes de la maestría en administración de negocios, arrojó la
siguiente información sobre la principal razón que tuvieron los estudiantes para elegir
la escuela en donde hacen sus estudios.
a. Con estos datos elabore una tabla de probabilidad conjunta.
b. Use las probabilidades marginales: calidad de la escuela, costo de la escuela y otras
para comentar cual es la principal razón por la que eligen una escuela.

c. Si es un estudiante de tiempo completo, ¿cual es la probabilidad de que la principal razón
para su selección de la escuela halla sido la calidad de la escuela?
d. Si es un estudiante de medio tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que la principal razón para
su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela.
e. Si AA denota el evento es estudiante de tiempo completo y BB denota el evento la calidad de
la escuela fue la primera razón de su selección. ¿son independientes los eventos A y B?
Justifique su respuesta.

PPrroobbaabbiilliiddaadd PPrreevviiaa
Medio para calcular llaass pprroobbaabbiilliiddaaddeess ppoosstteerriioorreess
Revisión de probabilidades

A1; Evento que la pieza viene del proveedor 1
A2; Evento que la pieza viene del proveedor 2
De las piezas compradas 65% viene del proveedor 1
P(A1)=0.65, P(A2)=0.35
La calidad de piezas varia de acuerdo al proveedor
Eventos
G: Evento que la pieza esta buena
B: Evento de que la pieza está mala
=100
=100
Calidad
Previa

Proceso de recibir una pieza de los dos proveedores

Las piezas se emplean en un proceso de fabricación y una maquina se
descompone al procesar una pieza mala.
¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1?
¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2?
Aplicar el Teorema de Bayes:
Se buscan las probabilidades posteriores
Del árbol de Probabilidades
Para hallar P(B) se sabe B solo puede presentarse de dos maneras:

Eventos mutuamente excluyentes cuya unión es todo el espacio muestral

Para realizar cálculos del teorema de Bayes

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