Probabilidad 1

Probabilidad La mayoría de situaciones vitales y que anticipamos pueden acabar en resultados distintos, sin saber en cuál de ellos concluirá. La incertidumbre es inherente a la vida misma. ¿Subirán los tipos de interés?¿Cuántos toxicómanos abandonarán el programa de rehabilitación?¿Si estudio tres horas cuántas asignaturas aprobaré?. Sin embargo, sí que podemos medir las opciones de que un resultado concreto sea uno de los posibles. Intuitivamente manejamos un criterio que nos ayuda a predecir el resultado más probable. El azar tiene que ver con los eventos cuyos resultados desconocemos y por tanto no podemos predecir con certeza. Sin embargo esta incertidumbre puede sistematizarse formalmente para crear modelos predictivos de manejo de la incertidumbre.

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un experimento concreto, los métodos estudiados hasta ahora pueden considerarse suficientes. Pero para extraer conclusiones generales de la población, entonces estos métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso de la teoría de la probabilidad. Probabilidad La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la Estadística, ya que las inferencias que hagamos sobre la población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos márgenes de error controlado, el cual será medido en términos de probabilidad.

Conceptos de Probabilidad Experimento Aleatorio Se define como cualquier experiencia, que tiene como mínimo dos resultados posibles, y del cual no se puede predecir con certeza cual de ellos se producirá. (Lanzar una moneda al aire, tirar un dado, ejecutar una prueba) Ensayo Llamamos ensayo a cada una de las repeticiones de un experimento aleatorio Suceso elemental y su verificación Llamamos suceso elemental a cada uno de los resultados posibles de un ensayo en un experimento aleatorio (cara o cruz; 1,2,3,4,5,6 al lanzar un dado). Si no hubiera más que un resultado ya no sería un experimento aleatorio ya que no habría incertidumbre sobre el resultado posible. La verificación de un suceso elemental es que el experimento aleatorio produzca ese suceso elemental.

Conceptos de Probabilidad Espacio Muestral Constituyen el espacio muestral (E) todos y cada uno de los resultados posibles o sucesos elementales de un experimento aleatorio. Pudiendo ser continuos o discretos, finitos o infinitos. Suceso complementario Si a un determinado suceso lo denominamos A, A’ (no-A) será la ausencia de A. Lo cual implica que la no aparición de A conduce obligatoriamente a la aparición de su complementario A’ y viceversa. Por ello se deduce que los suceso A y A’ son complementarios. Suceso Todo subconjunto del espacio muestral. A: sacar un número par al lanzar un dado. A: Ser mujer y tener más de 10 años de experiencia profesional. E espacio muestral E espacio muestral A A’

Conceptos de Probabilidad Sucesos mutuamente excluyentes Dos sucesos son mutuamente excluyentes cuando la aparición de uno implica la no aparición del otro (v.g. ser hombre o mujer). Dos sucesos complementarios son siempre mutuamente excluyentes, pero la inversa no es necesariamente cierta. (p.e. sacar un 2 de copas es mutuamente excluyente del suceso sacar un 3 de espada en la baraja española. Pero la no obtención del 3 de espadas no implica obtener el 2 de copas) Suceso seguro y Suceso imposible ø Un suceso seguro es aquel que define a todos los subconjuntos posibles de E (espacio muestral). Suceso imposible aquel que define un subconjunto vacío de E.

Conceptos de Probabilidad SUCESO A: “Tener más de diez años de experiencia docente” SUCESO B: “Ser mujer” SUCESO C: “Tener más de 40 años de edad” A = [1, 3, 4] B = [3, 4, 5, 6, 8, 10] C = [1, 3, 4, 7] 1 26 M 10 2 28 H 9 2 30 M 8 5 46 H 7 6 37 M 6 1 28 M 5 12 47 M 4 28 56 M 3 6 36 H 2 14 43 H 1 Años Experiencia Edad Sexo Profesores

Operaciones básicas sobre sucesos Se llama unión de sucesos de A y B , AUB , al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). Por ejemplo AUC en el cuadro anterior sería AUC: [1,3,4,7] Se llama intersección de sucesos de A y B , A∩B o simplemente AB , al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B. Por ejemplo A∩C en el cuadro anterior sería A∩C: [1,3,4] E espacio muestral A B E espacio muestral A B UNIÓN E espacio muestral A B INTERSEC.

Axiomas de Probabilidad Axioma 1. La probabilidad del suceso seguro (E) es igual a P(E) =1 Axioma 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades P(AUB)= P(A)+P(B) A∩B=Ø Axioma 2. La probabilidad de todo suceso S es mayor o igual a cero, es decir, no existen probabilidades negativas 0 ≤P(S) ≤1. Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso S un valor numérico P(S) , verificando las siguientes reglas (axiomas).

Leyes o teoremas de la Probabilidad Teorema 1: Teorema 2: Teorema 3: La probabilidad de un suceso S cualquiera siempre es igual o menor que 1. Teorema 4: Si A y B son dos sucesos no mutuamente excluyentes, entonces.. La probabilidad del suceso imposible es nula La probabilidad del complementario de un suceso S (S’) es igual a 1 menos la probabilidad de S.

Definición de Probabilidad Hay dos maneras principales de entender la probabilidad: La probabilidad de un suceso A es un número entre 0 y 1 que cuantifica en términos relativos las opciones de verificación de ese suceso y se representa como P(A) La probabilidad es un concepto ideal, se refiere a las frecuencias con las que ocurrirían los sucesos en el caso hipotético de que los ensayos se repitiesen un número infinitamente grande de veces y en las mismas condiciones. Enfoque clásico a priori Enfoque frecuencialista a posteriori

Definición de Probabilidad Enfoque clásico a priori Requiere el principio de indiferencia todos los elementos del espacio muestral son equiprobables (poseen la misma oportunidad de ser verificados). Así pues, se define la probabilidad de un suceso como la frecuencia relativa de ese suceso en el espacio muestral representado por todos los casos posibles. Probabilidad del suceso A = Suceso B: “Ser mujer” B = [3, 4, 5, 6, 8, 10] Suceso D: “Obtener un número par en un lanzamiento de dados”.

Definición de Probabilidad De este enfoque se deducen algunas consecuencias y propiedades: La probabilidad de un suceso es un valor entre 0 y 1. La probabilidad de un suceso imposible es nula P( ø ) = 0. La probabilidad de un suceso que contiene todos los sucesos elementales del espacio muestral es 1. La suma de las probabilidades de un suceso más su complementario es 1. Luego:

Definición de Probabilidad Enfoque frecuencialista a posteriori Cuando no se puede asumir el principio de indiferencia o se desconoce el número total de sucesos elementales del espacio muestral , la probabilidad se determina mediante la repetición sistemática y masiva del experimento aleatorio, con un recuento de veces que verifica los sucesos. La probabilidad de un suceso A P(A) se define como el límite al que tiende la frecuencia relativa de verificaciones del suceso cuando el número de repeticiones del experimento aleatorio tiende a infinito. El criterio de infinitos ensayos es por definición irrealizable, sin embargo la convergencia entre n A /n y P(A) se consigue de forma relativamente rápida. En esta idea se basa el teorema de Bernouilli.

Definición de Probabilidad TEOREMA DE BERNOUILLI: Si la probabilidad de un suceso A es P(A) y se hacen n ensayos independientes y bajo las mismas condiciones, la probabilidad de que la frecuencia relativa de A n A /n difiera de P(A) se acerca a cero a medida que el número de ensayos se hace indefinidamente largo. Dado no equilibrado, observar la diferencia entre lo dicho por Laplace (P(A) = 0,167), y lo dicho por el enfoque frecuentista… p i p i p i p i p i p i p i p i 0,198 0,201 0,201 0,201 0,100 0,099 0,198 0,201 0,201 0,202 0,100 0,098 0,199 0,199 0,201 0,202 0,099 0,099 0,198 0,194 0,206 0,207 0,098 0,098 0,195 0,179 0,212 0,217 0,099 0,098 0,180 0,164 0,240 0,210 0,104 0,102 0,180 0,140 0,220 0,260 0,120 0,080 0,300 0,100 0,300 0,100 0,200 0,000 1 2 3 4 5 6 100000 80000 40000 10000 1000 500 50 10 x i Nº DE ENSAYOS LANZAMIENTO DE UN DADO P(2) = 0.167

Probabilidad Condicionada En el curso 79-80 el número de alumnos matriculados en la universidad complutense en las carreras de filología, CC información y C empresariales fue de 17354. De estos alumnos matriculados 10954 fueron varones y 6400 fueron mujeres. Del total de varones 983 fueron a filología, 3820 a CC información y 6151 fueron a C económicas. Del total de mujeres 2384 fueron a filología, 2288 fueron a CC información y 1728 fueron a C empresariales.

Probabilidad Condicionada Eligiendo al azar un estudiante la P(filología) es… Si ponemos la condición de que sea varón P(filología/varón) PA ∩B es… Número de alumnos matriculados en el curso 79-80 en las siguientes facultades de la Universidad Complutense de Madrid. 17354 7879 6108 3367 Total 6400 1728 2288 2384 Mujer 10954 6151 3820 983 Varón CC econ. CC infor. Filología

Probabilidad Condicionada E=17354 Probabilidad Condicional de A supuesto B viene dada como Suceso B: ser varon Suceso AB: ser de filología y varon P(A ∩B)=983/17354 P(B)=10954/17354

Probabilidad Condicionada “ tamaño” de uno respecto al otro Se llama probabilidad de A condicionada a B , o probabilidad de A sabiendo que pasa B : Se denomina probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), a la probabilidad de un suceso A dada la verificación de otro suceso B. Y es igual a la probabilidad de su intersección [P(A ∩ B)] dividido por la verificación de la probabilidad de la condición [P(B)]. E espacio muestral A B

La probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,10 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,08 B A B A

Probabilidad condicionada ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0 A B A B

Probabilidad Condicional SUCESO A: “Tener más de diez años de experiencia docente” A = [1, 3, 4] Según el enfoque clásico Pero si el profesor seleccionado tuviese que ser mujer, ¿Cuánto vale la probabilidad de que tenga más de 10 años de experiencia?. SUCESO B: “Ser mujer” B = [3, 4, 5, 6, 8, 10] La incertidumbre ya no abarca a los 10 profesores sino a las 6 profesoras. El espacio muestral ha quedado reducido a 6 elementos por lo que 10 4 6 ∑ col. 3 1 2 Mas de diez años 7 3 4 Hasta diez años ∑ fila Varón Mujer

Probabilidad Condicional Si hemos definido al suceso B como ser mujer. La probabilidad anterior puede definirse como la probabilidad de tener más de diez años de experiencia dado que se es mujer. Definiéndose por tanto como la probabilidad condicional de A dado B.

Teoremas Básicos Teorema de la adición La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de la intersección.

Teorema de la adición A: Obtener un número par al lanzar el dado. B: Obtener un múltiplo de 3. 6 5 4 3 2 1 2 4 6 3 1 5 A B

Teorema de la adición Lanzamiento simultáneo de dos dados. E = 36 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 2 en el lanzamiento simultáneo de dos dados?

Teorema de la adición B: Obtener un 2 en el dado 2 P(B) = 1/6 = 0.167 Sucesos independientes A: Obtener un 2 en el dado 1 P(A) = 1/6 = 0.167

Teoremas Básicos Teorema del producto La probabilidad de verificación simultánea de dos sucesos independientes (intersección A y B) es igual al producto de sus probabilidades.

Teorema del producto Independencia de sucesos: Dos sucesos son independientes, si la verificación de uno no altera la probabilidad del otro: A y B son independientes entonces Si

Teorema del producto (independencia) Si Entonces Luego Suceso A: +10 años exp. Suceso B: se mujer 80 20 60 ∑ col. 20 5 15 Mas de diez años 60 15 45 Hasta diez años ∑ fila Varón Mujer

EJEMPLOS: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de depresivos 760 eran mujeres. ¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra? 760/1000=0,76=76% Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que sea mujer: La noc. frec. de prob. nos permite aproximarlo a P(Mujer)=0’76 ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre: P(Hombre)=P(Mujer’)=1-0,76=0,24 Se sabe de otros estudios que entre los individuos con depresión, aprox. la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres también. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos. ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora? P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19 ¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador? P(Hombre ∩ Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08

Problema Un psicólogo evalúa a 100 pacientes. Les administra una prueba sobre “satisfacción de vida” y otra “depresión”. Los resultados indicaron que las puntuaciones de satisfacción superaron la media en 40 casos, que había 65 sujetos depresivos y de ellos sólo 10 obtuvieron puntuaciones superiores a la media en satisfacción. Suceso A : Tener una puntuación superior a la media en “satisfacción con el estilo de vida” Suceso B : Ser depresivo 1. ¿Cuál es la P(depresivo) si extraemos un sujeto al azar? 2. Si se selecciona un sujeto que puntúa por encima de la media en satisfacción, ¿cuál es la P(depresivo) ahora? 3 ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un sujeto al azar sea depresivo y no tenga puntuación superior a la media en satisfacción? 4 ¿Son los sucesos A y B independientes? 5 ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos? 6 Si se selecciona un sujeto que no es depresivo ¿cuál es la P de puntuación superior a la media en satisfacción?

Problema 1 En un grupo de 1000 personas se pasó un test de inteligencia y se midió su rendimiento académico. Posteriormente se clasificó a cada sujeto según fuese superior o inferior a la media en inteligencia y APTO o NO APTO en la prueba de rendimiento académico. Se encontraron 500 APTOS, de los que 300 tenían inteligencia superior. De los 400 con inteligencia superior, 300 resultaron APTOS. Si extraemos un sujeto al azar y definimos los sucesos: A: “Ser superior a la media en inteligencia” B: “Ser apto en rendimiento” 1. ¿Son los sucesos A y B independientes? 2. Si seleccionamos un sujeto que resulta ser superior en inteligencia, ¿cuál es la probabilidad de que sea apto?

Problema 2 Una determinada prueba tiene una probabilidad de 0.75 de detectar la presencia de predisposición a las toxicomanías en edades tempranas mientras que una segunda independiente de la anterior, lo detecta con una probabilidad de 0.6. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pruebas detecten simultáneamente a un sujeto con tal predisposición? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una lo haga?

Problema 3 Múltiples estudios sobre toma de decisiones indican que el riesgo asumido por las personas es distinto si las decisiones se toman en solitario que si se toman en grupo. En concreto, parece que las decisiones adoptadas en grupo tenderían a ser más arriesgadas. En un experimento llevado a cabo con 100 personas de las que 50 son asignadas a valorar en solitario las opciones y las restantes lo harán en grupo, se obtuvo que cuando estaban solas, el 40 por ciento adoptaban la alternativa más arriesgada. Sin embargo en la toma de decisión de grupo sólo la mitad de los participantes se inclinaba por esta opción. 1. ¿Son compatibles los resultados obtenidos con la tesis expuesta anteriormente? Definimos los siguientes sucesos: A: Decidir una conducta arriesgada B: Decidir en grupo C: Decidir en solitario. P(A/B); P(A/C) Si P(A/B) > P(A/C se cumple la tesis expuesta.

Problema 4 A: Recaer en la heroína B: No tener trabajo Al finalizar un programa de rehabilitación de heroinómanos obtenemos los siguientes datos. De un total de 33 heroinómanos que entraron en el programa, el 45,45% trabaja, mientras que el resto están en el paro. De los que trabajan 10 heroinómanos no han recaído. De los que no trabajan el 88,88% han recaído. ¿Cuál es la probabilidad de recaída dado que no se tiene trabajo? ¿Son independiente estos dos sucesos? 33 15 18 ∑ 21 5 16 SI 12 10 2 NO ∑ SI NO TRABAJA RECAE

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