2° Distribución de Prob-Variable Aleatoria-1.pdf

Profesor : José G. Correa Ramos
Profesor de Matemáticas y Física
Ingeniero Civil Industrial (MBA-UTFSM)
UNIDAD II-1
Probabilidad- Propiedades- Aplicaciones
Ingeniería Civil Industrial

II.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
2.1 Leyes de probabilidad
a) Sucesos aleatorios
La teoría de la probabilidad surge para poder estudiar los, llamados,
experimentos aleatorios. Se dice que un experimento es aleatorio si puede dar
lugar a varios resultados sin que se pueda predecir con certeza el resultado
concreto. Es decir, al repetir el experimento bajo condiciones similares se
obtendrán resultados que, en general, serán diferentes. Un ejemplo de un
experimento aleatorio puede ser la tirada de un dado, ya que no se puede
predecir el número que aparecerá en su cara superior.
Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le
llama espacio muestral, que representaremos por el símbolo S. Por ejemplo,
en el lanzamiento del dado, el espacio muestral seria el conjunto S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}.

No siempre es posible describir el espacio muestral enumerando sus diferentes
elementos. A veces se define por medio de una condición, o regla, que han de
cumplir sus elementos (ej. Puntos que se sitúan en una circunferencia).
Dependiendo del número de resultados posibles del experimento aleatorio, el
espacio muestral podría ser: finito (ej. resultados de la tirada de un dado), infinito
numerable (cuando a cada elemento del espacio se le puede hacer corresponder
un número entero sin límite, ej. vida en años de un componente electrónico), e
infinito no numerable (ej. números reales en el intervalo 0 − 1).
Puesto que los sucesos aleatorios se definen como conjuntos, podemos definir
entre ellos las mismas operaciones que se realizan sobre los conjuntos abstractos.
Se definen así:
• La unión de dos sucesos A y B como el suceso, representado por A ∪ B, que
ocurrirá siempre que ocurra el suceso A o el suceso B.

• Dado un suceso A, llamaremos suceso complementario de A al suceso A" que
ocurrirá siempre que no ocurra A. Evidentemente, se cumplen las propiedades
Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles, o mutuamente excluyentes,
si nunca pueden ocurrir a la vez. Es decir cuando
• La intersección de dos sucesos A y B como el suceso, representado por
A ∩ B, que ocurrirá siempre que ocurran simultáneamente los sucesos A y B.

Para facilitar el estudio de los sucesos se pueden utilizar los conocidos
Diagramas de Venn, donde el espacio muestral se representa por un
rectángulo, y cada suceso como un recinto incluido en ´el.
Diagramas de Venn: este tipo de diagramas son ilustraciones utilizadas
en el campo de las matemáticas conocido como Teoría de Conjuntos. Se
emplean para mostrar las relaciones matemáticas o lógicas entre
diferentes conjuntos de cosas.

b) Denfición y propiedades de la Probabilidad
El concepto de probabilidad surge para medir la certeza o incertidumbre de un
suceso de un experimento aleatorio. Históricamente, la teoría de la probabilidad se
desarrolló´ en primer lugar para encontrar estrategias ´óptimas para los juegos de
azar, aunque, rápidamente, su utilidad desbordo este campo. Evidentemente, la
forma más directa de saber la posibilidad de que ocurra un suceso en un
experimento aleatorio es repetir dicho experimento muchas veces. De esta forma,
supongamos que se repita n veces el experimento y llamemos nA, o frecuencia
absoluta de A, al número de veces en que ocurre el suceso A. Se puede deﬁnir
entonces la probabilidad P (A) del suceso A como:
Es decir, P (A) es el límite cuando n tiende a inﬁnito de la frecuencia relativa del
suceso A. Puede observarse que si el suceso ocurre siempre nA = n y P (A) = 1, y,
al contrario, si el suceso no ocurre nunca, su probabilidad P (A) = 0. De esta
forma, la probabilidad de un suceso estará comprendida entre 0 y 1 (0 ≤ P (A) ≤
1), y el suceso será tanto más probable cuanto más se acerque a 1 su
probabilidad.

Ejemplo -1
El lanzamiento de la moneda al aire es clásico. La probabilidad de obtener cara o
cruz es P (A)=1/2. En 1900 el estadístico Pearson realizo el experimento con un
número total de lanzamientos de 24000 (tardó unas 40 horas). Obtuvo un resultado
de 12012 caras (y 11988 cruces). Esto signiﬁca P (A) = 12012/24000 = 0.5005 que
es un valor muy próximo a la probabilidad teórica.
El lanzamiento de un dado no trucado supone que los sucesos son
equiprobables. Así la probabilidad de obtener un 4 al lanzar un dado será 1/6.
Como ejemplo de un suceso compuesto, la probabilidad de obtener un numero
par en dicho lanzamiento será P (A)=3/6=1/2, ya que hay tres casos favorables {2,
4, 6} de seis posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) Propiedades de la probabilidad
A partir de los axiomas anteriores se pueden deducir algunas propiedades
importantes de la probabilidad.
Estas propiedades van a ser útiles para calcular la probabilidad de sucesos a partir
de las probabilidades conocidas de otros sucesos más sencillos, simpliﬁcando así
el cálculo. Hay que indicar además que estas propiedades son consistentes con las
propiedades de las frecuencias relativas.
• Si A´ es el suceso complementario entonces
Efectivamente, puesto que A ∪ = S y teniendo en cuenta que A y su
complementario son incompatibles

• La probabilidad del suceso imposible es cer
• A partir del primer axioma y la propiedad anterior, se puede ver que para
cualquier suceso A.
• Si un suceso A esta contenido en otro B, se cumple (por deﬁnición de un
suceso contenido en otro)
• Si A y B son dos sucesos cualesquiera, siempre se cumple

Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener o un número par o un número mayor que 3 en el
lanzamiento de un dado.
A: obtener un numero par, P(A) = 3/6 = 1/2 {2, 4,6}
B: obtener un número mayor que 3, P(B) = 3/6 = 1/2 {4,5,6}
P (A ∩ B)=2/6; {4,6} es el espacio muestral)
Que era lo esperado ya que el espacio muestral es en este caso {2, 4, 5, 6}, es
decir,4/6=2/3.

Probabilidades y Estadísticas en Otras Palabras
Papel de la Probabilidades en la Estadística
Consideremos un dado, con sus seis caras bien
conocidas, observemos que la tirar el dado, que cae
1, 2,3,4,5,6 puntos.
Si lanzáramos el dado millones de veces,
registrando el número X de puntos en cada tirada,
generaríamos un población de datos que
caracterizará el acto de lanzar un Dado.

Para ilustrar como se utilizará la probabilidad en la
Estadística, considérese el siguiente ejemplo:
Supóngase que se lanza un dado 10 veces y que se
registran después de cada tiro el número de puntos
X que resulta.
Si todas las mediciones resultaron en X = 1, con
esta acción se quiere inferir si el dado ¿es regular o
no?.

De acuerdo a lo planteado razonamos como sigue :
Si el dado esta bien hecho, como es la hipótesis,
entonces al observar 10 mediciones idénticas, sería
muy poco probable, por lo tanto la hipótesis es
Falsa.
El ejemplo enfatiza la importancia de la probabilidad
en la realización de inferencia estadística, es decir,
en la Formulación de Modelos.

Propiedades Aditivas de las Probabilidades
Definición 1:
Un experimento es el proceso mediante el cual se
obtiene una observación de un fenómeno.
Ejemplo:
✓Registrar la producción diaria en una planta
manufacturera.
✓Registrar la paridad del Dólar frente a la Libra Esterlina.
✓Inspeccionar una lámpara eléctrica para determinar si es
un elemento defectuoso o bien un producto aceptable.

Por lo general todos los experimentos se llaman
Eventos, los cuales pueden ser, y se utilizan con
letra Mayúscula.
A: No llegan pedidos nuevos.
B: el número de pedidos nuevos es mayor que 50.
C: el número de pedidos nuevos es 25.

Definición: 2
Probabilidad de un Evento A.
N
n
A
P =
)
(
Se observa “n” veces en repeticiones de “N”.

Definición 3
La intersección de dos eventos A y B, denotada
por el símbolo:
AB o B
A 
, es el evento de que ambos eventos A y B ocurran.
Definición : 4
La Unión de dos eventos A y B, denotada por el
símbolo :
B
A 
el evento de que cualquiera de los dos eventos, A o
B ocurran.

Definición : 5
Se dice que dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes si P(AB)=0, es decir, cuando ocurre A ,
B no puede ocurrir.
Ejemplo:
Suponga los siguientes Eventos:
A: Sube tasa Prima.
B: Baja la Tasa Prima.
C: La tasa prima no varía.

Por lo tanto
P(AB) = 0 A y B son Mutuamente Excluyentes
P(AC) = 0 A y C son Mutuamente Excluyentes

Propiedad Aditiva de las Probabilidades para
Eventos Mutuamente Excluyentes.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes,
entonces la probabilidad de que ocurra A o bien B
estará dada por:
)
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P +
=


Definición : 6
Si un experimento puede tener como resultado uno
y solamente un evento de un conjunto de “r”
eventos mutuamente excluyentes E1,E2, E3,
……………….Er, tal conjunto de eventos recibe el
nombre de conjunto eventual ( o Espacio Muestral)
S del experimento.

Propiedades de las Probabilidades de Eventos
Simples
Si el conjunto de eventos E1, E2, ………….,Er
representa el conjunto eventual S para un
experimento, entonces:
1
)
(
0 
 i
E
P y 1
)
(
1
=

=
r
i
i
E
P

Uso de la regla de Adición de la Probabilidad
para Determinar P(A)
Si sucede el evento A si y solamente si ocurre uno
de un conjunto “k” eventos simples E1, E2,
…………..Ek, entonces :
P(A) = P(E1)+ P(E2)+……………….+P(Ek)

Ejemplo : “El Inversionista”
Un inversionista plantea invertir $ 10.000.0000 en cada una de dos Inversiones:
a) Si el inversionista decide seleccionar las dos inversiones de entre un grupo de
seis, ¿Cuántos Eventos Simples diferentes podrán generarse de ese
experimento?
b) Aunque se desconoce el futuro resultado de las inversiones, es posible que el
rendimientos sobre un periodo fijo variará de una inversión a otra si todas las
inversiones parecen ser igualmente ventajosas y el inversionista selecciona las
dos inversiones al azar
¿ Cuál es la probabilidad de que seleccione dos de las tres inversiones que
finalmente producirán los mejores rendimientos?.

Solución:
a) Si designamos los seis Inversiones como I1, I2, I3, I4, I5, I6, entonces el
inversionista podrá seleccionar uno y solo uno de los 15 pares de inversiones que
se indican a continuación:
E1=I1I2
E2=I1I3
E3=I1I4
E4=I1I5
E5=I1I6
E6=I2I3
E7=I2I4
E8=I2I5
E9=I2I6
E10=I3I4
E11=I3I5
E12=I3I6
E13=I4I5
E14=I4I6
E15=I5I6
b) Definición de evento:
A: El inversionista selecciona dos de las tres inversiones con el mejor rendimiento.
Supongamos: I1, I2, I3 son las mejores inversiones.
Por lo tanto: P(A)=P(I1I2) +P(I1I3) + P(I2I3)=1/15+1/15+1/15=3/15=1/5=0,20

d) Probabilidad condicionada
En muchos casos interesa conocer la probabilidad de un suceso A en el caso de
que se haya cumplido otro suceso B. A esta probabilidad de que se cumpla A
bajo la condición de que se cumpla B se le llama probabilidad de A condicionada
a B, y se denota por P(A|B). La definición matemática de la probabilidad
condicionada es
Como es lógico, esta definición solo tiene sentido si P(B) > 0. El significado de
la definición anterior se ve claro utilizando un diagrama de Venn.
Al calcular la probabilidad condicionada hemos sustituido el espacio muestral S
por el suceso B,
de forma que, haciendo corresponder probabilidades áreas en el espacio
muestral, P(A|B) será la fracción del nuevo espacio muestral B en que ocurre A.

(1)
e) Sucesos dependientes e independientes
La definición de la probabilidad condicionada permite calcular la probabilidad de la
intersección de dos sucesos (todavía no sabemos como), es decir, la probabilidad
de que se den ambos sucesos A y B a la vez.
De esta forma, la probabilidad de que tanto A como B ocurran es igual a la
probabilidad de que A ocurra dado que B haya ocurrido multiplicado por la
probabilidad de que B ocurra. Esto se puede generalizar a la intersección de más
sucesos. En el caso particular de 3 sucesos.

Un caso importante es cuando se cumple
(3)
En este caso, la probabilidad de que A ocurra no está afectada por la ocurrencia o
no ocurrencia de B y se dice que los dos sucesos son independientes. Aplicando (1)
es fácil ver que en este caso se cumple:
Es decir, la probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes (en
otras palabras, la probabilidad de que se den ambos sucesos) es el producto de
sus probabilidades. Esta ´ultima relación se toma usualmente como condición
necesaria y suficiente para la existencia de independencia. El concepto de
independencia se puede generalizar a una familia de n sucesos.

Se dice que son mutuamente independientes cuando cualquier pareja de sucesos
es independiente y la probabilidad de la intersección de cualquier número de
sucesos independientes es el producto de sus probabilidades. En el caso de tres
sucesos independientes:
Cuando no se cumple la relación (3) hay que utilizar la expresión general (1) para
calcular la probabilidad de la intersección. En este caso se dice que los sucesos son
dependientes, es decir, la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de que
haya ocurrido o no el otro.

Ejemplo de Aplicación 1
Tenemos en una urna 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Si extraemos 2 bolas
sucesivamente, calcular la probabilidad de que las 2 sean blancas. Consideremos
dos casos:
a) Se reemplaza la 1a después de sacarla.
Entonces los dos sucesos son independientes: la naturaleza de la 2a bola no está
condicionada por la naturaleza de la 1a.
A: bola blanca en la primera extracción
B: Ídem en la segunda

b) No se reemplaza la 1a después de sacarla.
Entonces los dos sucesos ya no son independientes y el color de la 2a bola sí está
condicionada por el color de la 1a.
Es importante no confundir sucesos incompatibles
con sucesos independientes (la probabilidad de que ocurra el suceso A no está
afectada por la ocurrencia o no del suceso B).

f) Teorema de la probabilidad total
Sea un conjunto de sucesos Ai, i = 1, . . . , n tales la Unión de todos ellos es el suceso seguro
y además son incompatibles entre sí. Es decir
Este conjunto de sucesos recibe el nombre de conjunto completo de sucesos y se dice que
constituye una partición del espacio muestral. Supongamos además que, para todo i, P(Ai)
> 0. Entonces, el teorema de la probabilidad total establece que la probabilidad de
cualquier suceso B se puede calcular como :
es decir, la probabilidad de que ocurra B es la suma de las probabilidades de los sucesos
Ai por las probabilidades de B condicionadas a cada Ai.

Ejemplo de Aplicación N° 2
Supongamos que en unas elecciones las probabilidades de que ganen tres partidos A1, A2
y A3 son 0.5, 0.3 y 0.2 respectivamente. Si ganara A1, la probabilidad de que suban los
impuestos es 0.8, mientras que en los casos en que salgan elegidos A2 y A3 son 0.2 y 0.5
respectivamente. ¿Cual es la probabilidad de que suban los impuestos?.

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Probabilidad Condicional y Eventos Independientes
Dos eventos se relacionan muchas veces de tal
manera que la probabilidad de la ocurrencia de un
evento depende de la ocurrencia o no del otro.
Definición 7
La Probabilidad condicional de B dado que haya
ocurrido el evento A es :
)
(
)
(
)
(
A
P
AB
P
A
B
P =

y la probabilidad condicional de A dado que haya
ocurrido el evento B es :
)
(
)
(
)
(
B
P
AB
P
B
A
P =
Definición 8
Se dice que dos eventos A y B son
independientes si y solamente si :
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
B
P
A
B
P
A
P
B
A
P
=
=
o bien
De lo contrario, los eventos se denominan
dependientes.

Regla Multiplicativa para la Intersección de dos
Eventos
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
B
P
A
P
AB
P =
=
Si A y B son eventos independientes :
P(AB)=P(A)P(B)

De manera similar, si A,B, C son eventos
mutuamente independientes, entonces la
probabilidad, entonces la probabilidad de que
ocurran A,B y C será :
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

Ejemplo: Casa Vendedora
Una casa vendedora de ropa mediante pedidos por correo, comercia
dos líneas de productos, uma relativamente cara y la otra barata. Una
encuesta de 1000 pedidos produjo las frecuencias de los pedidos por
línea de productos y por el sexo de los consumidores, como se muestra
en la Tabla, supóngase que se selecciona uno solo de los pedidos de
los 100
Total
Sexo 1 2
Masculino 132 147
Femenino 516 205
1000
Línea de Productos

a) Calcular probabilidad del Evento A: el consumidor es mujer.
b) Hallar la probabilidad del evento B: el pedido es para la línea de
productos 1
c) Hallar la probabilidad de que el pedido sea para la línea de productos
1 y que el consumidor sea mujer.
d) Calcular la probabilidad de que el pedido sea para a la línea de
productos 1, dado que el consumidor es mujer.
e) Demostrar que A y B son , o no son, eventos independientes.
f) Utilizar las probabilidades calculadas anteriormente para demostrar
que P(AB)=P(A)P(B/A).

Solución.
a) P(A)= 721/1000
b) P(B)=648/1000
c) P(AB)=¿? P(AB)=516/1000=0.516
721
516
)
(
)
(
)
( =
=
A
P
AB
P
A
B
P
d)
e) Independencia =➔
)
(
)
( B
P
A
B
P =
para el Caso:

721
516
)
( =
A
B
P ;
1000
648
)
( =
B
P 
Por lo tanto Son eventos Dependientes.

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