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PROBABILIDAD, VARIABLES ALEATORIAS…
DR. ANGEL DÍAZ PACHECO
1

CONTENIDO:
1. Espacio Muestral
2. Eventos
3. Probabilidad de un evento
4. Reglas aditivas
5. Probabilidad condicional e independencia
6. Regla de Bayes
7. Distribuciones de probabilidad continua
8. Distribuciones de probabilidad conjunta
2

EXPERIMENTOS ALEATORIOS
¡ Estamos familiarizados con la importancia de los experimentos en la ciencia y en la
ingeniería.
¡ Un experimento nos es útil cuando podemos asumir que, replicando las condiciones en
las que se realizó, podemos obtener los mismos resultados que se encontraron en el
experimento original.
¡ Sin embargo, en algunos experimentos, no somos capaces de controlar el valor de
ciertas variables de tal manera que el resultado variará del obtenido en el experimento
original. Estos experimentos se les conoce como experimentos aleatorios.
3

EJEMPLOS:
¡ Tirar una moneda.
¡ Tirar un dado.
¡ Jugar a la ruleta.
¡ Jugar a las cartas (Sin contarlas).
4

ESPACIO MUESTRAL
Es un conjunto S que consiste de todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio. Cada resultado en el conjunto es denominado punto muestral o punto en
la muestra.
A menudo habrá más de un conjunto S, sin embargo, usualmente solo uno
proveerá la mayor información.
Si lanzamos un dado, uno de los posibles S = {1,2,3,4,5,6}, o también podría ser
S={par, impar}.
6

COMO SERÍA EL
ESPACIO MUESTRAL
DE LANZAR UNA
MONEDA DOS VECES?
Si Águila=1 y Sol = 0, entonces
S={00,01,10,11}
Gráficamente à
7

ESPACIO MUESTRAL
Si una muestra tiene un número finito de puntos, como en el ejemplo anterior se
denomina espacio muestral finito. Si tiene demasiados puntos, como los que
existen en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, entonces se denomina espacio muestral
incontablemente infinito. Los espacios finitos y contables son también conocidos
como espacios discretos, mientras que los no contables son conocidos como
espacios no discretos.
8

EJERCICIOS
1. Describa “S” del lanzamiento de tres monedas.
2. Construya (utilizando un diagrama de árbol) el espacio muestral para familias
con tres hijos en base al genero de los peques. En este ejemplo se considerará
el caso más básico con solo 2 géneros. B= Boy y G = Girl.
3. Describa “S” de lanzar 3 dados y anotar la suma.
9

SOLUCIÓN 1
S={ccc,ccx,cxc,cxx,xcc,xcx,xxc,xxx}
10

SOLUCIÓN 3
D1 D2 D3 Suma
1 1 1 3
1 1 2 4
1 1 3 5
1 2 4 7
1 2 5 8
1 2 6 9
2 3 1 4
2 3 2 7
2 3 3 8
2 4 4 10
2 4 5 11
2 4 6 12
3 5 1 9
3 5 2 10
3 5 3 11
3 6 4 13
3 6 5 14
3 6 6 15
12

SOLUCIÓN 3
D1 D2 D3 Suma
4 1 1 6
4 1 2 7
4 1 3 8
4 2 4 10
4 2 5 11
4 2 6 12
5 3 1 9
5 3 2 10
5 3 3 11
5 4 4 13
5 4 5 14
5 4 6 15
6 5 1 12
6 5 2 13
6 5 3 14
6 6 4 16
6 6 5 17
6 6 6 18
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SOLUCIÓN 3
(SIN BRUTE FORCE)
El máximo valor de la suma de tres dados es 18, si en los tres dados se
obtiene 6 al mismo tiempo.
El valor mínimo es cuando cada dado da 1, entonces la suma = 3.
Entonces:
S={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
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EVENTO
Un evento es un subconjunto (denotado por A) de los elementos presentes en S. Si
el resultado de un experimento es un elemento en A, diremos que el evento A ha
ocurrido. Un evento donde ocurre un solo elemento de S es a menudo denominado
evento simple o primario.
En el caso de las monedas, la parte sombreada
Es un subconjunto de S.
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EVENTO
Un evento que seguro ocurrirá es S en si mismo. Un evento imposible de ocurrir se
denota con el símbolo ∅.
Como los eventos y el espacio muestral son conjuntos, podemos hacer operaciones
con ellos para encontrar otros eventos. Si consideramos eventos a A y B:
17

EVENTO
Decimos que los eventos son disjuntos si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, lo que quiere decir que ambos
eventos no pueden suceder juntos o que son mutuamente excluyentes.
Como ingerir veneno y no sufrir ningún daño.
18

EJERCICIOS
A={CX,XC,CC} y B={CX,XX}
1. 𝐴 ∪ 𝐵
2. 𝐴 ∩ 𝐵
3. ~𝐴
4. 𝐴 − 𝐵
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SOLUCIÓN
A={CX,XC,CC} y B={CX,XX}
1. 𝐴 ∪ 𝐵 = {CX,XC,CC,XX}
2. 𝐴 ∩ 𝐵 = {CX}
3. ~𝐴 = {𝑋𝑋}
4. 𝐴 − 𝐵 = {XC,CC}
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PROBABILIDAD
En cualquier experimento aleatorio, siempre existe incertidumbre sobre si un evento
en particular ocurrirá o no. Como una medida de la posibilidad o la probabilidad,
con la cual esperamos que el evento ocurra, asignamos un número entre 0 y 1. Si
estamos seguros de que ocurrirá, diremos que su probabilidad es de 1. Si por
ejemplo, la probabilidad es de ¼, diremos que la probabilidad de que ocurra es del
25% y del 75% de que no ocurra. También podemos decir que las posibilidades de
que no ocurra son de 3 a 1.
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ENFOQUE CLÁSICO
Si un evento puede ocurrir en h diferentes formas de un total de n posibles formas,
las cuales todas son igualmente probables, entonces la probabilidad del evento es
de h/n.
Ejemplo: Suponga que desea saber la probabilidad de que saldrá cara en un simple
lanzamiento de moneda. Desde que solo existen dos posibles resultados
igualmente probables y solo puede existir 1 cara, decimos que la probabilidad del
evento es de ½.
Otro Ejemplo: si lanzamos una moneda 1000 veces y encontramos que cara salió
532 veces, la probabilidad de que esto ocurra es de 532/1000 = 0.532
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ENFOQUE DE FRECUENCIA
Si después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande , y se
observa que un evento ocurre en h veces, la probabilidad del evento es h/n. Esto
es también llamado evento de probabilidad empírico.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda 1000 veces y encontramos en que 532 de ellas
se obtuvo cara, estimaremos la probabilidad de este evento como 532/1000 =
0.532.
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NOTA SOBRE LOS ENFOQUES
Ambos casos, el clásico y el basado en frecuencia, tienen desventajas serias. La
primera es la frase igualmente probable, la cual es muy vaga y la segunda es la
frase número grande, que también involucra vaguedad.
A causa de estas dificultades, los matemáticos han optado por un enfoque
axiomático a la probabilidad.
25

AXIOMAS
Suponga que tenemos un espacio muestral S. SI S es discreto, todos los
subconjuntos corresponden a eventos y por el contrario, si S es no discreta, solo un
subconjunto especial (el denominado medible) corresponde a los eventos. Para
cada evento A en la clase C de eventos, asociaremos un número real a P(A).
Entonces P, es denominada la función de probabilidad y P(A) es la probabilidad del
evento A, si los siguientes axiomas son satisfechos.
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AXIOMAS
1. Para cada evento A en la clase C,
𝑃 𝐴 ≥ 0
2. El evento seguro o para algún evento en la clase C
𝑃 𝑆 = 1
3. Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…, en C.
𝑃 𝐴! ∪ 𝐴", … , 𝐴# = 𝑃 𝐴! + 𝑃 𝐴" + ⋯ + 𝑃(𝐴#)
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TEOREMAS (REGLAS ADITIVAS)
1. Si 𝐴! < 𝐴", 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝐴!) ≤ 𝑃 𝐴" y 𝑃(𝐴" − 𝐴!) = 𝑃(𝐴") − 𝑃(𝐴!)
2. Para cada evento en A, 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1,
3. La probabilidad del evento imposible = 𝑃 ∅ = 0
4. Si ~𝐴 es el complemento de A, entonces 𝑃 ~𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴
5. Si A y B son dos eventos, entonces
28

TEOREMAS
6. Si 𝐴!, 𝐴" 𝑦 𝐴% son tres eventos, entonces
7. Para cualesquiera dos eventos A y B,
29

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Si S consiste de un número infinito de resultados 𝑎!, 𝑎", … , 𝑎#, entonces, en base a
los teoremas:
Donde son eventos elementales dados por . Por lo cual,
podemos seleccionar de forma arbitraria cualquier número no negativo de estos
eventos simples, en tanto se satisfaga la ecuación de arriba. Si asumimos igualdad
de probabilidades para estos eventos simples, entonces
30

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Si A es cualquier evento, integrado de h eventos simples, entonces tenemos que
31

EJEMPLO
Si lanzamos un dado una vez, obtenga la probabilidad de que salga 2 o 5.
Tenemos que S={1,2,3,4,5,6}. Si asignamos probabilidades iguales a cada punto
muestral (asumiendo que el dado no esta truqueado) entonces:
El evento de que salga 2 o 5 es indicado por:
32

MÁS SOBRE REGLAS ADITIVAS.
En las diapositivas anteriores ya vimos las reglas para la unión de varios eventos.
Esa regla se aplica para eventos mutuamente excluyentes y que no tienen puntos
en común.
Cuando los eventos tienen puntos en común, es decir que pueden suceder al mismo
tiempo, se pueden descomponer en eventos mutuamente excluyentes para aplicar
la ley aditiva.
Es por esto, que en los teoremas tenemos esta regla tan confusa.
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UNIÓN DE DOS EVENTOS NO DISJUNTOS
Los puntos muestrales que pertenecen a A o B están incluidos en los tres conjuntos
de la figura de abajo y la tabla. Los resultados de los eventos A y B generan un
conjunto de resultados posibles de acuerdo a la regla descrita anteriormente.
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Puntos 𝑷(𝑬𝒋)
E1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
E2 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
E3 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

UNIÓN DE DOS EVENTOS (EJEMPLO)
Al final del semestre, Juan se va a graduar de la facultad. Después de tener
entrevistas en dos compañías, el evalúa la probabilidad que tiene de lograr una
oferta de empleo en la compañía A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla en la
compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba
ofertas de ambas compañías es de 0.5, ¿Cuál es la probabilidad de que obtendrá
al menos una oferta de esas dos compañías?
Utilizando la regla aditiva P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)= 0.8+0.6-0.5 = 0.9
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EJEMPLOS, SEGUNDA PARTE
Si A y B son dos sucesos disjuntos con probabilidades P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44
calcular:
a) P(~A)
b) P(~B)
c) P(A u B)
d) P(A n B)
e) P(A n ~B)
f) P(~A n B)
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EJEMPLOS, SEGUNDA PARTE
Si A y B son dos sucesos disjuntos con probabilidades P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44
calcular:
a) P(~A) = 1-0.37 = 0.63
b) P(~B) = 1-0.44=0.56
c) P(A u B) = P(A)+P(B)-P(A n B), pero como P(A n B) =0, entonces: 0.37+0.44-
0=0.81
d) P(A n B) =0
e) P(A n ~B) = P(A)*P(~B)= 0.207
f) P(~A n B) = P(~A)*P(B) = 0.277
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INVESTIGAR (SOLO PARA EXTENDER SU CONOCIMIENTO)
¡ Unión de tres eventos
¡ Unión de cuatro eventos.
38

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos tales que P(A) >0. Desde que se sabe que A ocurrió, se
convierte en el nuevo espacio muestral reemplazando al S original. Lo cual nos lleva
a la definición:
*Léase P(B|A) como la probabilidad de B dado A.
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
¡ En otras palabras, la formula de arriba dice que la probabilidad de que tanto A
como B ocurran, es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la
probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A.
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EJEMPLO
Encontrar la probabilidad de que el lanzamiento de un dado resultara en un número
menor que 4 si (a), no se ha dado más información y (b) se sabe que el lanzamiento
ha resultado en un número impar.
a) Sea B el evento {menor que 4}. Desde que B es la unión de los eventos 1,2 o 3,
por los teoremas analizados tenemos que:
a) P(B) = P(1)+P(2) + P(3) = 0.1666+ 0.1666+ 0.1666 = ½ o 0.499999999
b) Haciendo a A el evento {es número impar}, podemos ver que P(A) = ½ por
P(1)+P(3)+P(5). También tenemos que P(A n B) = P(1)+P(3) = 1/3. Por tanto
42

EJERCICIOS
En una facultad el 25% de los alumnos suspendió matemáticas, el 15% química y el
10% las dos materias. Se selecciona un estudiante al azar.
a) Si suspendió química, ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera
matemáticas?
b) Si suspendió matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera
química?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química?
43

EJERCICIOS
a) Si suspendió química, ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera
matemáticas?
P(M) = 0.25, P(Q) = 0.15, P(M n Q)= 0.1
𝑃 𝑀 𝑄 =
2(3 ∩ 4)
2(4)
= 0.1/0.15 = 0.667
b) Si suspendió matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera
química?
𝑃 𝑄 𝑀 =
2(4 ∩ 3)
2(3)
= 0.1/0.25 = 0.4
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EJERCICIOS
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química?
P(M) = 0.25, P(Q) = 0.15, P(M n Q)= 0.1
𝑃 𝑀 ∪ 𝑄 = 𝑃 𝑀 + 𝑃 𝑄 − 𝑃(𝑀 ∩ 𝑄) = 0.25+0.15- 0.10 = 0.30
45

TEOREMAS
¡ Para cualesquiera 3 eventos A1, A2 y A3, tenemos:
¡ En otras palabras, la probabilidad de que A1 y A2 y A3 ocurran es igual a la
probabilidad de que A1 ocurra multiplicado por la probabilidad de que A2 ocurra
dado que A1 ha ocurrido multiplicado por la probabilidad de que A3 ocurra dados
A1 y A2.
46

TEOREMAS
¡ Para cualesquiera 3 eventos A1, A2 y A3, tenemos:
¡ En otras palabras, la probabilidad de que A1 y A2 y A3 ocurran es igual a la
probabilidad de que A1 ocurra multiplicado por la probabilidad de que A2 ocurra
dado que A1 ha ocurrido multiplicado por la probabilidad de que A3 ocurra dados
A1 y A2.
47

TEOREMAS
¡ Si un evento A debe resultar en uno de los eventos mutuamente excluyentes A1,
A2, …, An, entonces
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
¡ Decimos que tres eventos (A1, A2, y A3) son independientes si son
independientes por pares:
49

BAYES
¡ También conocido como teorema de Bayes.
¡ Suponga que A1, A2, …, An son eventos mutuamente excluyentes cuya unión es =
S. Dado que uno de los eventos ha de ocurrir, si A es cualquier evento, tenemos el
siguiente teorema:
Esto nos permite encontrar las probabilidades de varios eventos A1, A2, …., An que
pueden causar que A ocurra.
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EJEMPLO
¡ En un consultorio, el 40% de los pacientes fingen tener una enfermedad (para obtener
incapacidad). Además, el 10% de los pacientes son hombres. La probabilidad de que un
paciente finja una enfermedad dado que es hombre es del 50%. Calcular la probabilidad
de que un paciente sea hombre, dado que finge una enfermedad
¡ P(F)=0.40
¡ P(H)=0.10
¡ P(F|H)=0.50
¡ P(H|F)=?
¡ 𝑃 𝐻|𝐹 =
!(#) ∗!(&|#)
!(&)
=
(.*∗(.+
(.,
=
(.(+
(.,
= 0.125 52

EJEMPLO
¡ En un acuario se tienen solo 2 especies de peces. El 40% de los peces son azules, el
60% son rojos. De los azules, el 30% son machos, mientras que de los rojos el 40% son
hembras. A) si se selecciona un pez hembra, ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?
¡ P(A)=0.40
¡ P(R)=0.60
¡ P(H)= P(A)*P(H|A) + P(R)*P(H|R) = (0.4*0.7)+(0.6*0.4)=0.52
¡ P(H|A)=0.70
¡ P(A|H)=?
¡ 𝑃 𝐴|𝐻 =
!(-) ∗!(#|-)
!(#)
=
(.,∗(..(
(.+/
=
(./0
(.+/
= 0.538 53

EJEMPLO
¡ Tenemos dos cajas, la caja I contiene 3 canicas rojas y 2 azules, mientras que la
caja II tiene 2 canicas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda. Si sale cara, una
canica es elegida de la caja I; si sale cruz, una canica es elegida de la caja II.
Encuentra la probabilidad de que la canica roja es elegida.
¡ Si R es igual al evento “una canica roja es elegida” mientras que I y II son los eventos para
caja I y caja II son elegidas. Desde que una canica roja puede resultar de elegir caja I o II,
podemos hacer los siguiente.
¡ 𝑃 𝑅 = 𝑃 𝐼 𝑃 𝑅 𝐼 + 𝑃 𝐼𝐼 𝑃 𝑅 𝐼𝐼 =
"
#
$
%
+
"
#
#
"&
=
#
%
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EJEMPLO
¡ En base al ejemplo anterior, imaginemos que no sabemos que resultado se
obtuvo de lanzar la moneda, pero si nos dicen de que color era la canica. ¿Cuál
es la probabilidad de que la caja I fue elegida?
¡ En este caso A = R, A1 = I, A2 = II. Utilizando el teorema de Bayes pero con n=2, la
probabilidad es dada como:
¡ 𝑃 𝐼|𝑅 =
2 7 2(8|7)
2 7 2 𝑅 𝐼 :2 77 2(8|77)
=
!
"
#
$
!
"
#
$
:
!
"
"
!%
=
%
;
55

DISTRIBUCIONES DISCRETAS
¡ Sabemos que la probabilidad mide el grado de incertidumbre o de posibilidad de
ocurrencia de cada uno de los resultados posibles de un suceso. Esto suele
calcularse en los casos más sencillos dividiendo el número de sucesos favorables
entre el número de sucesos posibles.
¡ Por ejemplo, si tiramos un dado de 6 caras, la probabilidad será de 1/6. Sin
embargo, no siempre el cálculo de la probabilidad de un suceso es tan sencillo.
Para los cálculos más complejos, lo habitual es recurrir a la distribución de
probabilidad que sigue el suceso en la población.
¡ Esta permite establecer toda la gama de posibles valores del suceso, por lo que
permite establecer la probabilidad de que el suceso ocurra al realizar un
experimento determinado.
57

DISTRIBUCIONES DISCRETAS
¡ Las variables aleatorias pueden ser continuas o discretas, al igual que las
distribuciones de probabilidad.
¡ Para contar objetos utilizamos las distribuciones discretas. Esto es así porque las
variables aleatorias discretas son las que describen las variables con valores
enteros.
¡ Existen varias distribuciones discretas. Las más utilizadas son la de Bernoulli, la
binomial, la de Poisson y muchas más. Aquí solo veremos las tres anteriores.
58

BERNOULLI
¡ Se utiliza para representar una variable aleatoria discreta que solo puede tener
dos resultados mutuamente excluyentes. Solo podemos utilizar esta distribución
cuando realizamos un solo experimento.
¡ Los dos resultados suelen denominarse “éxito” y “no éxito”.
¡ Por ejemplo, utilizamos Bernoulli, tirando un dado y considerando éxito sacar un
6 y el no éxito el sacar 1,2,3,4 o 5.
¡ Podemos definir la distribución de Bernoulli en función de algunos de sus
parámetros. Así la probabilidad de éxito es “p”, la de no éxito es “1-p” y la
distribución puede definirse por su media (p) y su varianza (p(1-p)).
59

BERNOULLI
Donde se emplea esta distribución:
Experimentos aleatorios que se hacen una sola vez y cuyos resultados posibles son
complementarios (éxito/fracaso, si/no, presencia/ausencia).
Ejemplos:
¡ Probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda
¡ Probabilidad de que un individuo nazca macho/hembra.
¡ Probabilidad de que al caer una tostada quede el lado de la mermelada hacia arriba.
60

BERNOULLI
La PDF (Probability Density Function) es:
𝑃 𝑛 = '
1 − 𝑝 𝑓𝑜𝑟 𝑛 = 0 (𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜)
𝑝 𝑓𝑜𝑟 𝑛 = 1 (𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜)
También puede escribirse como 𝑃 𝑛 = 𝑝!
(1 − 𝑝)"#!
61

EJEMPLOS
El lanzamiento de una moneda (otra vez). Si cara
es “éxito” y cruz es “no éxito”:
¡ La probabilidad de un resultado satisfactorio se
escribe como p.
¡ La probabilidad de un resultado no satisfactorio
es escrito q=1-p.
¡ Entonces P=0.5 y q = 0.5
62

BINOMIAL
Es parecida a Bernoulli, pero nos dice la probabilidad de obtener un resultado entre
dos posibles al realizar un número de n experimentos.
La formula para capturar la probabilidad binomial es: 𝑝 𝑥 = #
< 𝑝<(1 − 𝑝)#=<
En esta formula, para caracterizar una distribución binomial solo necesitaremos el
número de experimentos (n) y la probabilidad de éxito (p). Su media se puede
calcular como np y su varianza como np(1-p).
Ejemplos:
¡ Lanzar una moneda 3 veces y obtener 2 caras.
¡ Probabilidad de que de las 4 crías de un mamífero 3 sean hembras.
63

EJEMPLO
De una población de ballenas, se sabe que el 60% son machos. Si extraemos un
conjunto con 10 ballenas, ¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7
hembras?
X = 7 (número de hembras en el conjunto)
n = 10 (el número de experimentos, como son 10 individuos…)
P = 0.4 (la probabilidad de hembras en el conjunto completo)
𝑝 7 = "$
% 0.4%(1 − 0.4)"$#%=0.042
64

EJEMPLO
En el mismo ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 3 o
menos hembras?
𝑃 𝑥 ≤ 3 = 𝑃 0 + 𝑃 1 + 𝑃 2 + 𝑃(3) = 0.382
𝑝 0 = "$
$
0.4$(1 − 0.4)"$#$= 0.006
𝑝 1 = "$
" 0.4"(1 − 0.4)"$#"= 0.0403
𝑝 2 = "$
& 0.4&(1 − 0.4)"$#&= 0.1209
𝑝 3 = "$
' 0.4'(1 − 0.4)"$#'= 0.2150
65

EJEMPLO
En el mismo ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 o
menos machos?
Pensando en complementos
Tenemos que 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 1 − 0.382
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 0 + 𝑃 1 + 𝑃 2 + 𝑃(3) = 0.382
𝑃 𝑋 ≤ 2 𝑃 𝑋 ≤ 2 𝑃 𝑋 ≤ 7 = 1 − 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 0.382 = 0.618
66
Machos Hembras
n=10 n=10
p=0.6 p=0.4
𝑃(𝑋 ≤ 7) 𝑃(𝑋 ≥ 3)

POISSON
Esta distribución nos permite encontrar la probabilidad de que un suceso ocurra en un
tiempo o espacio determinado. Dicho de otra forma, modela situaciones donde nos interesa
determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de
tiempo.
Variables que definen el proceso:
¡ Número de sucesos promedio que ocurren en un determinado tiempo o espacio (𝜆)
𝑋 = 𝑃 𝜆 𝜇 = 𝜆 𝜎& = 𝜆
Ejemplos:
¡ Número de peces observados en una área delimitada
¡ Número de aves avistadas durante una hora
¡ Número de bacterias observadas por campo de microscopio
67

POISSON
Función de probabilidad:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑒#( ('
)!
donde x>0
68

EJEMPLO
Los avistamientos de cachalotes sigue una distribución de Poisson con un promedio de 2
avistamientos en un transecto (un área delimitada de antemano) de muestreo de 1km de
recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de:
1. No haya ningún avistamiento en el recorrido del barco: 𝑃 𝑋 = 0 𝑒#& &(
$!
= 0.135
2. Haya menos de cinco en el mismo recorrido: 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 𝑒#&
1 + 2 +
&)
&!
+
&*
'!
+
&+
+!
= 0.947
3. Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km.
Podemos verlo como 𝑃 𝑋 ≤ 5 𝜆′). 𝜆′ = 𝜆 ∗ 5 → 𝜆′ = 2 ∗ 5 = 10
𝑒#"$
10$
0!
+
10"
1!
+
10&
2!
+
10'
3!
+
10+
4!
+
10,
5!
= 0.067
69

DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir,
describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro. Son una
herramienta fundamental de la planeación pues permiten diseñar un escenario de
acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos
fenómenos naturales.
La función de probabilidad se denomina continua si su función de distribución es
continua. Algunas de las más representativas son: uniforme, normal, exponencial,
lognormal, logística, beta, gamma, etc. Aquí solo veremos las dos primeras.
71

UNIFORME
En la distribución uniforme se conoce el rango entre los valores mínimo y máximo y
se sabe que todos los valores en el rango tienen la misma probabilidad de
producirse. Es útil para describir una variable aleatoria con probabilidad constante
sobre el intervalo (a,b) en el que está definida.
Su función de densidad es 𝑓 𝑥 = J
0 𝑥 < 𝑎
<=C
D=C
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1 𝑥 > 𝑏
72

EJEMPLO
Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltaje uniformemente
distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible
obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.
¡ ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía envíe un voltaje menor a 123.5 V?
Esta probabilidad equivale al área del rectángulo sombreado en azul. Analíticamente:
(123.5-123.0)/(123.0-125.0)) = 0.25
73

EJEMPLO
Cierta variable X tiene una distribución uniforme en el intervalo [0,100]. Determinar:
¡ La probabilidad de que el valor de X sea menor que 22
(22-0)/(100-0)=0.22
¡ La probabilidad de que X tome valores entre 20 y 35
𝑃 20 ≤ 𝑋 ≤ 35 = 𝑃 35 − 𝑃 20 = 0.15
74

NORMAL
¡ La distribución normal es tal vez la más importante
de todas. Fue descubierta por Gauss al estudiar la
distribución de errores en las observaciones
astronómicas.
¡ Un gran número de fenómenos reales se pueden
modelar con esta distribución. Si uno toma un
número lo suficientemente grande de casos y
construye un histograma de una variable continua
(como el peso corporal), se obtendrá una curva de
características particulares.
75

NORMAL
Características:
¡ Es simétrica
¡ Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal. Los valores
tienden a infinito.
¡ En el centro de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda.
¡ El área bajo la curva representa el 100% de los casos.
¡ Los elementos centrales del modelo son la media y la varianza.
76

NORMAL
Función de densidad:
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
=
(<=E)"
"F"
1. Dominio: (-∞, ∞)
2. Es continua
3. Rango: (0,1]
4. El máximo se ubica en (0,1)
77

EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria “normal” con media 5 y de (desviación estándar) = 2.
Calcular la probabilidad de que dicha variable tome valores inferiores a 4.
¡ Podríamos resolverlo con la siguiente integral:
78

EJEMPLOS
¡ Sin embargo, estos cálculos ya están hechos y listos para que los utilicemos.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribuci
on-normal/tabla-de-la-distribucion-normal.html
79

EJEMPLOS
¡ Lo único que tenemos que hacer es hacer un escalamiento de nuestras variables
para trabajar en el intervalo [0,1]. Podemos hacerlo utilizando la variable Z.
¡ 𝑧! =
<!=E
F
=
G=;
"
= 0.5
80

EJEMPLOS
¡ Con z=0.5, tenemos que buscar dicho valor en la columna z. Podemos ver que el
resultado es 0.6915
81

EJEMPLOS
¡ Con z=0.5, tenemos que buscar dicho valor en la columna z. Podemos ver que el
resultado es 0.6915, que es la probabilidad de que la variable X tome valores
inferiores a 4.
82

EJEMPLOS
Por que hicimos esto?
¡ Podemos construir la curva y calcular su área con
los datos que tenemos. Implica resolver integrales.
¡ O simplemente escalamos nuestro problema
original (del intervalo 3 a 5) a un intervalo común
(0-1) para el cual ya están calculadas todas las
áreas.
83

EJEMPLOS
Y eso que es?
¡ En estadística es común tener que estimar parámetros, que nunca podremos afirmar que son
100% exactos. Piensa en lo siguiente, tienes que medir la altura de 10 alumnos, puede pasar que
el flexómetro que estas utilizando tiene error de unos milímetros. Un alumno no estornudo al
momento de la medición y te equivocaste por poco. Muchas otras cosas similares.
¡ Es más fácil fijar un nivel de confianza. Esto es, el porcentaje máximo que podríamos asegurar
que el parámetro se encuentra dentro del intervalo acotado. Lo anterior esta asociado al nivel de
significancia.
¡ El nivel de significancia o alfa, es la probabilidad máxima que asumimos de forma voluntaria de
equivocarnos al rechazar la hipótesis nula (que no hay diferencias entre los tratamientos) cuando
es cierta.
84

EJEMPLOS
Si el coeficiente intelectual de un amigo es de 115 ¿Qué porcentaje de personas tiene un
coeficiente inferior al suyo?
En este caso, sabemos que la media es 100, la DE es de 15 para este caso en particular.
Obteniendo z:
115 − 100
15
= 1
Como z=1
Con 100% de certeza (o 0% error), el 84.1% de las personas tienen un coeficiente inferior a
115.
85

EJEMPLOS
Si una persona tiene el coeficiente más bajo del grupo intermedio de personas que
forman un 25% del total ¿Qué coeficiente tiene?
Sabemos que a ambos lados de la franja amarilla, esta repartido el 75% del área
bajo la curva. Como las tablas no registran valores de área por debajo del 50% (por
que no son útiles), pensaremos que el área abarca desde el principio de la gráfica
hasta la Barra de la Derecha (BD). BD =(1-0.25)/2+0.25 = 0.625. Como ya tenemos
el área, solo hay que hacer el proceso inverso para obtener el z.
86
Buscamos esto

EJEMPLOS
Según la tabla esta entre las filas 0.3 y la columna 0.2, por tanto z=0.32, aprox. Como la
distribución normal esta centrada en 0 y se extiende a ambos extremos de la recta, el
problema puede plantearse como: 0.25 = P(-0.32<T<0.32).
Entonces
!"#$%%
$&
= −0.32, Despejando 𝐶𝐼 = −0.32 ∗ 15 + 100 = 95.2, es el coeficiente
más bajo del intervalo.
87

Dist. Probabilidad conjunta
88

PROBABILIDAD CONJUNTA
¡ Es la distribución de probabilidad de la intersección de las realizaciones de dos o
más variables aleatorias cualesquiera.
¡ De forma más sencilla, la distribución de probabilidad conjunta es la distribución
que forman dos o más variables aleatorias cuando sus realizaciones se producen
simultáneamente.
¡ Cuando solo intervienen dos variables aleatorias, se denominan bivariadas. Si
son más se denominan multivariadas.
89

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
¡ Sean X y W dos variables aleatorias discretas y x,w sus realizaciones. Entonces
(X,W) tendrá una distribución conjunta.
La función de arriba es la función de densidad de probabilidad conjunta para dos variables
discretas. Lo que nos indica es la probabilidad de que x y w (que son valores concretos de X y W)
se produzcan al mismo tiempo.
Para saber eso tenemos que multiplicar la probabilidad de x condicionada a w por la
probabilidad de que ocurra x. PARECE QUE ESTA AL REVES, pero es equivalente a la probabilidad
de que ocurra w dado x y la probabilidad de que se produzca x.
90

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA
Como son dos variables, podemos expresar la función en términos de X o de W. Sin embargo,
debe de cumplirse que:
Para el caso de variable continuas, se utiliza la misma función de probabilidad, pero cambia la
forma de la restricción:
91

EJEMPLOS
Extrae de una urna
Suponga que tenemos dos urnas y cada una contiene el doble de bolas rojas que de bolas
azules y ninguna otra. Suponga que selecciona al azar una bola de cada urna, con los dos
sorteos independientes entre sí. Sean A y B variables aleatorias discretas asociadas a los
resultados del sorteo de la primera y segunda urna, respectivamente, La probabilidad de sacar
una bola roja de cualquiera de las urnas es de 2/3 y la probabilidad de sacar una bola azul es
de 1/3.
92
A=Rojo A=Azul 𝚺𝑨𝚺𝑩
B=Rojo (2/3)(2/3)=4/9 (1/3)(2/3)=2/9 4/9+2/9=2/3
B=Azul (2/3)(1/3)=2/9 (1/3)(1/3)=1/9 2/9+1/9=1/3
𝚺𝑨𝚺𝑩 4/9+2/9=2/3 2/9+1/9=1/3 2/3+1/3=1

EJEMPLOS
Lanzamiento de monedas
Considere el lanzamiento de dos monedas; Sean A y B las variables aleatorias discretas
asociadas con los resultados del primer y segundo lanzamiento de moneda, respectivamente. Si
una moneda muestra cara, la variable asociada toma el valor de 1 y 0 de lo contrario. La
probabilidad de cada uno de estos resultados es ½, por lo que las funciones de densidad son:
𝑃 𝐴 =
1
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 ∈ 0,1 ; 𝑃 𝐵 =
1
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 ∈ {0,1}
93
A=0 A=1 𝚺𝑨𝚺𝑩
B=0 (1/8)+(1/8) =1/4 (1/8)+(1/8) =1/4 ¼+ ¼ = ½
B=1 (1/8)+(1/8) =1/4 (1/8)+(1/8) =1/4 ¼+ ¼ = ½
𝚺𝑨𝚺𝑩 ¼ + ¼ = ½ ¼ + ¼ = ½ ½ + ½ = 1

EJEMPLOS
Super mercado.
Cierto super tiene una caja de salida común y una caja rápida. Considere que X1 es el número
de clientes esperando en la caja común y X2 es el número de clientes que están esperando en
la caja rápida, al mismo tiempo. Suponga que la función de la probabilidad conjunta de X1 y X2
es la siguiente:
94
X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3
X1 = 0 0.08 0.07 0.04 0.00
X1 = 1 0.06 0.15 0.05 0.04
X1 = 2 0.05 0.04 0.10 0.06
X1 = 3 0.00 0.03 0.01 0.07
X1 = 4 0.00 0.01 0.05 0.06
Nota: la tabla no esta completa y
es solo para el ejercicio.

EJEMPLOS
Super mercado.
Calcule la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que
en la otra.
Primero vamos a definir lo siguiente:
𝑥" = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
𝑥& = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑟á𝑝𝑖𝑑𝑎
Representaremos la probabilidad de que la fila 𝑥" tenga por lo menos dos clientes más que la
fila 𝑥&, lo que está dado por:
𝑃(𝑥" ≥ 𝑥& + 2) = 𝑃(𝑥" =2; 𝑥& = 0) + 𝑃 𝑥" = 3; 𝑥& = 0 + 𝑃 𝑥" = 4; 𝑥& = 0 + 𝑃(
)
𝑥" = 3; 𝑥& =
1 + 𝑃 𝑥" = 4; 𝑥& = 1 + 𝑃 𝑥" = 4; 𝑥& = 2 = 0.05 + 0 + 0 + 0.03 + 0.01 + 0.05 = 0.1
95

EJEMPLOS
Super mercado.
El otro caso está dado por:
𝑃(𝑥" + 2 ≤ 𝑥&) = 𝑃(𝑥" =0; 𝑥& = 2) + 𝑃 𝑥" = 0; 𝑥& = 3 + 𝑃 𝑥" = 1; 𝑥& = 3 = 0.04 + 0 +
0.04 = 0.08
Entonces, la respuesta es
𝑃(𝑥" ≥ 𝑥& + 2)+𝑃(𝑥" + 2 ≤ 𝑥&)=0.22
96

¡ Spiegel, M., Schiller, J., & Srinivasan, A. (2020). Probability and statistics.
¡ Borman, D. (2018). Statistics 101: From Data Analysis and Predictive Modeling to Measuring
Distribution and Determining Probability, Your Essential Guide to Statistics. Simon and
Schuster.
¡ Unpingco, J. (2016). Python for probability, statistics, and machine learning (Vol. 1). Springer
International Publishing.
¡ Rodó, P. (2022, October 20). Distribución conjunta | Economipedia. Retrieved from
https://economipedia.com/definiciones/distribucion-conjunta.html
99

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