Semana 2.ppt

TOMA DE DECISIONES
RESPONSABLE:. MG. ELIA ANACELY CÓRDOVA
CALLE

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es manejado por
mucha gente. Frecuentemente se escuchan
preguntas como las que se mencionan a
continuación:
¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la
lotería o el melate ?
¿ Qué posibilidad hay de que me pase un
accidente automovilístico ?
¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para
llevar mi paraguas o no.
¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el
primer parcial ?,

PROBABILIDAD
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan
como respuesta una medida de confianza
representativa o práctica de que ocurra un
evento futuro, o bien de una forma sencilla
interpretar la probabilidad.
En este curso lo que se quiere es entender con
claridad su contexto, como se mide y como se
utiliza al hacer inferencias.

PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma
importancia en todo estudio estadístico.
El cálculo de probabilidades proporciona las
reglas para el estudio de los experimentos
aleatorios o de azar, que constituyen la base
para la estadística inferencial.

PROBABILIDAD
Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.-
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que
va a ocurrir, están relacionados con el azar o
probabilidad.
Fenómeno Determinista.-
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.

PROBABILIDAD
La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.
Experimento aleatorio.-
Una acción que se realiza con el propósito de
analizarla. Tiene como fin último determinar
la probabilidad de uno o de varios
resultados.
Se considera como aleatorio y estocástico, si
sus resultados no son constantes.
Puede ser efectuado cualquier número de veces
esencialmente en las mismas condiciones.

PROBABILIDAD
Un experimento es aleatorio si se
verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente,
siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede
predecir el resultado que se va a
obtener;
3. El resultado que se obtenga, s,
pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles.

PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar una moneda

PROBABILIDAD
Otros ejemplos de eventos:
A: que al nacer un bebe, éste sea
niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 15 años más
C: que la presión arterial de un
adulto se incremente ante un
disgusto

PROBABILIDAD
Probabilidad e Inferencia.
Se presentan dos candidatos al cargo de la
presidencia del CEUDLA, y se desea
determinar si el candidato X puede ganar.
Población de interés: Conjunto de respuestas
de los estudiantes que votarán el día de las
elecciones.
Criterio de gane: Si obtiene el más del 50%
de los votos.

PROBABILIDAD
Supóngase que todos los estudiantes de la
UDLA van a las urnas y se elige de manera
aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.
Si los 20 estudiantes apoyan al candidato
¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que
tiene el candidato X de ganar las elecciones
?

PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO X GANARA
2.- EL CANDIDATO Y GANARA
3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

PROBABILIDAD
GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%
Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE
EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES
LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN
LA POBLACION SERA IGUAL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA
20 VECES ANOTANDO LOS
RESULTADOS.
LLAME X = CAE AGUILA
Y = CAE SOL.
¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y
CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

PROBABILIDAD
SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20
VOTANTES DE LA MUESTRA LO
APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS
DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA
VOTAR POR EL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD
NO.
SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20
VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA
MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE
MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES
ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA
MUY POCO PROBABLE.

PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados
de interés de un experimento dado, y se le
denota normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: Se lanza una moneda.
Espacio muestral = total de formas en como
puede caer la moneda, o sea dos formas de
interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si
cae de canto no es de interés y se repite el
lanzamiento).
S = { s, a }

PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDAD
Los eventos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,…  S
Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden
contener un solo elemento, una infinidad de
elementos, y también no contener ningún
elemento.
Al número de puntos muestrales de S se le
representa por N(S)

PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre se verifica después del
experimento aleatorio, son los mismos del
espacio muestral.
E = S y N(E) = N(S)
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica
como resultado del experimento aleatorio. No
tiene elementos de interés para su fenómeno.
Es un subconjunto de S, y la única posibilidad
es que el evento imposible sea el conjunto vacío.
  S, y N() = 0

PROBABILIDAD
Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral
de S, esto es, N(E) = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un
evento elemental. También se le
denomina como punto muestral.
Si s1, s2  S entonces s1, s2 son
eventos elementales.

PROBABILIDAD
Ejemplos (1) y (2):
En el experimento 1,
S = { s, a }, s y a son sucesos elementales
N(S) = 2
A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1
B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1

PROBABILIDAD
En el experimento 2,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales, y
N(S) =6
A = Que caiga un uno = { 1 }
B = Que caiga un dos = { 2 }
: : :
F = Que caiga un seis = { 6 }

PROBABILIDAD
Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene
más de un punto muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contrario a un evento A: También se
denomina evento complemento de A y es el
evento que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se
denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define
como:
 
s tal que
c
A s A
  

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),
(S,A,A), (A,A,A) },
N(Ω) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4
Evento imposible:  (conjunto vacio). N() = 0

PROBABILIDAD
Si un espacio muestral contiene n puntos
muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o
eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).
Por tanto para el ejemplo anterior existen:
28 = 256, eventos posibles.
Para el caso del experimento: se tira una
moneda,
el espacio muestral es de 2 puntos muestrales
S = {A, S}, por lo que se tienen 22 = 4
subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),
(A), (S),  (conjunto vacio).

PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del
conjunto Ω, espacio muestral, se pueden
aplicar las conocidas operaciones con
conjuntos, a los eventos, como son la unión, la
intersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD
OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION
UNION A  B Unión de eventos originales: es el
evento que sucede si y solo si A
sucede o B sucede o ambos
suceden
INTERSECCION A  B Intersección de los eventos
originales, es el evento que sucede
si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos
originales A y B, es el evento que
sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que
A, B  Ω gráficamente se puede expresar
como:
S
A B
Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD
S
A B
Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la
unión de dos eventos se presenta de dos formas
diferentes: cuando los eventos son mutuamente
exclusivos (que no tienen elementos en común) y
cuando entre los eventos hay elementos
comunes.
Definición.- Se dice que dos eventos A y B son
mutuamente exclusivos, cuando no pueden
ocurrir simultáneamente, es decir, A  B = , lo
que ocurre en la fig. 1.

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6
Sean A, B, C los eventos:
A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } ,
N(A) = 3
B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5
= { 3, 4 }, N(B) = 2
C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } ,
N(C) = 3

PROBABILIDAD
A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4
A  C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6
B  C = { 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B  C) = 4
A B  C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S,
N(A B  C) = 6
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

PROBABILIDAD
A  B={ 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1
A  C={ 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = {}, N(A  C) = N{) = 0
B  C={ 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}, N(B  C) = 1
(A  B)  C = ({ 1, 3, 5 }  { 3, 4 })  { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={},
N((A  B)  C) = N{) = 0
A  (B  C) = { 1, 3, 5 }  ({ 3, 4 }  { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 }  { 4 }={},
N(A  (B  C)) = N{) = 0
S
A
B
C
3
4

PROBABILIDAD
A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A – B) = 2
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3
B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1
S
A
B
C
1
5
3

PROBABILIDAD
Ac = { 2, 4, 6} = C N(Ac ) = N( C )= 3
Bc = {1, 2, 5, 6 } N(Bc ) = 4
Cc = {1, 3, 5 } = A N(Cc ) = N(A) = 3
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuencial.
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
Las frecuencias relativas de un evento tienden
a estabilizarse cuando el número de
observaciones se hace cada vez mayor.
Ejemplo: La regularidad estadística en el
experimento del lanzamiento de monedas,
indica que las frecuencias relativas del
evento: que salga sol {s }, se tiende a
estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

PROBABILIDAD
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
La probabilidad de un evento A, denotada
por P(A), es el valor en el que se
estabilizan las frecuencias relativas
del evento A, cuando el número de
observaciones del experimento se
hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD
Esto es:
donde
N(A) = número de elementos del evento A
N(Ω) = número de elementos del espacio
muestral Ω.
( )
( ) (2)
( )
N A
P A
N



PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.-
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de
ese espacio. Se define la probabilidad P del evento
A, como:
donde
NCF - número de casos favorables
NCT - número de casos totales
(1)
)
(
NCT
NCF
A
P 

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga
águila.
Calcular la probabilidad de A:
S = { A, S}, N(Ω) = 2
A = { A }, N(A) = 1
( ) 1
( ) .5
( ) 2
N A
P A
N
  


PROBABILIDAD
Leyes De La Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los
eventos al ser aplicadas las
operaciones que se presentaron, se
facilitan y comprenden mejor haciendo
uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma.- es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema.- Es una verdad que requiere
ser demostrada.

PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera
y A un evento, tal que A  S, entonces se
cumple que
0  P(A)  1 (3)
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento
imposible.
P(A)
___________________________________
• -2 -1 0 1 2

PROBABILIDAD
Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es
un evento seguro, es uno
P(Ω) = 1
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado
Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces.
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
N A N S
P A
N N
  
 

PROBABILIDAD
Teorema 1.- Si  es el conjunto vacío,
entonces la probabilidad de  es igual a 0
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional,
pero no compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado
Que una persona viva 250 años
En estos casos los eventos son vacíos
( )
( ) 0
( )
N
P
N

  


PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral
cualquiera y sean A y B dos eventos tales que
A  Ω, B  Ω y A  B = , es decir, dos
eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A  B) = P(A) + P(B).
A  B
A B

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = { ss, aa, sa, as}
N(Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan
dos soles exactamente
B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un
sol exactamente.
Los elementos de A y B son
A = { ss }
B = {sa, as}
Se puede ver que A  B = , no hay elementos en común,
por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o
disjuntos, por tanto
P(A  B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD
( ) 1
( )
( ) 4
( ) 2
( )
( ) 4
1 2 3
( ) ( ) ( )
4 4 4
N A
P A
N
N B
P B
N
P A B P A P B
 

 

     

PROBABILIDAD
Axioma 4.-
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente
exclusivos:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) =
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente exclusivos (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:
1 2 1 2
1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ... )
n n
n n
i j i j k k
i j i j k
P A A A P A P A P A
P A A P A A A P A A A
  
    
  
 

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado.
A: que al lanzar el dado caiga 3
E: que al lanzar un dado salga un impar
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado
se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3},
P(A) = 1/6
P(A/E) = P(AE)/ P(E)
= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)
= 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%
de la población y los hombres el otro 50%. Se
sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de
hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una
persona desempleada. Si la población total es
de 8000 personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona
escogida sea ?:

PROBABILIDAD
a).- Mujer
b).- Hombre
c).- Mujer dado que está empleado
d).- Desempleado dado que es hombre
e).- Empleado dado que es mujer
Sean los eventos:
M: Que sea Mujer
H: Que sea Hombre
D: Que sea Desempleado
E: Que sea Empleado

Desempleados
D
Empleados
E
Total
Mujeres
M
800 3200 4000
Hombres
H
200 3800 4000
Total 1000 7000 8000
Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

D E Total
M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5
H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5
Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1
Tabla de Probabilidades

PROBABILIDAD
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571
P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05
P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8
P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8
P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2

PROBABILIDAD
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375
P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625
P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625
P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375

PROBABILIDAD
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
E y H
son dependientes.

PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un artículo al azar,
¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea
defectuoso ?

PROBABILIDAD
Sea
D el evento: Que sea un artículo defectuoso.
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +
P(D/M3) P(M3)
= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
P(M1)=.50
P(M2)=.30
P(M3)=.20
P(D/M1)=.03
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04
P(D/M3)=.05
P(ND/M2)=.96
P(ND/M3)=.95
P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012
P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01
P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD
Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An
es una partición de un espacio muestral Ω. En cada
caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2,
A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E
cualquier evento, entonces para cualquier Ai,
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
2
2
1
1 n
n
I
i
i
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
E
A
P






PROBABILIDAD
P(E)
)
/
(
)
(
)
/
(
entonces
:
es
E
de
completa
ad
probabilid
la
Como
2
2
1
1
I
i
i
n
n
A
E
P
A
P
E
A
P
)
)P(E/A
P(A
)
)P(E/A
P(A
)
)P(E/A
P(A
P(E)




 

PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Supóngase que se selecciona un artículo
al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
la probabilidad de que el artículo haya sido
producido por la máquina M1?

PROBABILIDAD
Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por la máquina 1
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

Probabilidad condicional, marginal y
conjunta. Independencia de eventos.
Probabilidad total y Teorema de
Bayes.
Bernardo Frontana de la Cruz
Marco Antonio Gómez Ramírez
Enero de 2012.

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori)
dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se
representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A
dado B o probabilidad de A condicionada a B.
En la probabilidad
condicional, consideramos
que de un espacio muestral
S se conoce únicamente el
evento B, que constituye un
espacio muestral reducido.
B
S
Se desea saber la posibilidad de que exista el
evento A.

Como únicamente
conocemos el evento B, la
probabilidad de que exista
A está dada por la posible
intersección del evento A
con el evento B.
B
S
A
Por lo tanto la expresión para la probabilidad
condicional quedaría P(A|B)=n(A∩B)/n(B), donde n(A∩B)
es el número de elementos en la intersección de A con
B y n(B) es el número de elementos en el evento B.
Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s)
que es el número de elementos en el espacio muestral
y aplicamos el concepto de probabilidad, tenemos:
P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).

De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la
probabilidad del evento condición o del evento que se
presenta primero .
De manera similar se puede pedir la probabilidad del
evento B dado que ya ocurrió el evento A
P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del
evento condición o del que se presenta primero .
Ejemplo: Al arrojar dos dados resultan caras iguales,
¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?
Identificamos los eventos dentro del espacio muestral:
A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión
P(B|A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333

PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar
P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de
multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y
corresponde a la probabilidad de que se presenten
resultados comunes a los eventos A y B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire,
P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la
probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.
Auxiliándonos
de un
diagrama de
árbol.
⅓
A
S
A
S
A
S
A1
S1
A2
S2
A2
S2
⅓
⅓
⅔
⅔
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este
tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135
desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos
características cuando se los piden a sus ayudantes,
su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que
embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a
la definición de eventos que sigue, la distribución es la
siguiente:
Evento A1 A2 Total
B1 40 60 100
B2 15 20 35
Total 55 80 135
Eventos Característica
A1 Largo
A2 Corto
B1 Punta plana
B2 Punta de Cruz

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos
desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo
con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo
de dividir el número de desatornilladores cortos y que
tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores
del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de
dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la
probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1,
P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa
que el subíndice correspondiente al evento B
permanece constante en la suma del numerador n11+n21.

Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier
evento Bj puede calcularse P(Bj)=Ʃi=1
nnij/ns, pero
Ʃi=1
nnij/ns=Ʃi=1
nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1
nP(Ai∩Bj).
En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual
a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bj y
los eventos Ai, la suma se realiza sobre los eventos Ai.
También se puede determinar la probabilidad marginal
de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1
nP(Ai∩Bj), en este caso
la suma se realiza sobre los eventos Bj.
Se puede demostrar que la suma de probabilidades
marginales de los eventos Ai, o de los eventos Bj, es
igual a uno, como se demuestra a continuación:
P(A1)=55/135=0.4075 y
P(A2)=80/135=0.5925
Por lo tanto Ʃi=1
2P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1
P(B1)=100/135=0.74 y
P(B2)=35/135=0.26
Por lo tanto Ʃi=1
2P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B).
Si los eventos A y B son independientes entre sí, esto
significa que la ocurrencia de uno no depende de la
ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad
condicional sería igual a la probabilidad de ocurra
cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).
Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta,
tenemos P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean
eventos independientes entre sí y se le denomina Ley
de multiplicación de eventos independientes.

Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para
la final, la probabilidad de que den en el blanco son 1/2,
1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por
arquero. Calcular la probabilidad de que:
a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en
el blanco y el tercero no y c) Ninguno da en el blanco.
Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco,
se establecen los siguientes eventos: A={Sólo un
arquero da en el blanco}, Ai={El arquero Ai da en el
blanco} y Ai
c={El arquero Ai
c no da en el blanco}.
P(A)=P[(A1∩A2
c∩A3
c)U(A1
c∩A2∩A3
c)U(A1
c∩A2
c∩A3)] =
P(A1)P(A2
c)P(A3
c)+P(A1
c)P(A2)P(A3
c)+P(A1
c)P(A2
c)P(A3)
P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722
b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco
y el tercero falla} P(B)=P(A1∩A2∩A3
c)=P(A1)P(A2)P(A3
c)
P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388

c) B={El primero, el segundo y el tercer arqueros fallan}
P(C)=P[(A1
c ∩ A2
c ∩A3
c)=P(A1
c)P(A2
c)P(A3
c)=(1/2)(2/3)(5/8)
P(C)=10/36=0.277
PROBABILIDAD TOTAL
Consideremos un eventos B y un conjuntos de eventos
Ai que son mutuamente excluyentes entre si, Ai∩Aj=ϕ, i≠j,
es decir, si tomamos dos eventos Ai diferentes su
intersección es el evento vacío, además los eventos Ai
son exhaustivos, Ui=1
nAi=S, la unión de todos ellos cubre
el espacio de eventos, como se muestra en la figura.
A1
A2
A3
A4 ……………………….………….
An
B
An-1

Para conocer el evento B a través de los eventos Ai, se
tiene: B=(A1∩B)U(A2∩B)U(A3∩B)…..U(An-1∩B)U(An∩B), la
unión de las intersecciones del evento B con los
eventos Ai, en forma implícita B=Ui=1
nAi∩B.
TEOREMA DE BAYES
Considerando P(Ai) como la probabilidad a priori de los
eventos Ai, y se requiere conocer una probabilidad a
posteriori de cada uno de ellos, dado que ya conocemos
el evento B, Ak representa a cualquiera de los eventos Ai.
P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B), como P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak) y la
probabilidad total de B es P(B)=Ʃi=1
nP(Ai∩B), tenemos:
P(Ak|B)=[P(Ak)P(B|Ak)]/[Ʃi=1
nP(Ai)P(B|Ai)]
Si aplicamos el concepto de probabilidad a ambos
miembros de la igualdad se tiene: P(B)=Ʃi=1
nP(Ai∩B);
que recibe el nombre de probabilidad total del evento B.

Esta última expresión se conoce como Teorema de
Bayes, que establece la probabilidad de un evento
particular Ak de los eventos Ai, dado que ya sucedió el
evento B, expresada en términos de probabilidad
condicional.
Ejemplo: En una escuela el 5% de los hombres y el 2%
de las mujeres tienen más de 1.8m de estatura. Además
el 60% de los estudiantes son mujeres. Se selecciona al
azar un estudiante para que realice una determinada
función en el comité de seguridad del plantel, ¿Qué
probabilidad hay de que: a) sea estudiante con estatura
mayor de 1.8m? b) ¿sea mujer dado que tiene una
estatura mayor de 1.8m?
Solución: Se define los eventos A1={estudiante mujer},
A2={estudiante hombre} y B={estatura mayor a 1.8m}
Datos: P(A1)=0.6, P(A2)=0.4, P(B|A1)=0.02 y P(B|A2)=0.05.

Auxiliándonos de un diagrama de Venn
b) Aplicando el Teorema de Bayes:
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=0.6(0.02)/0.032=0.375
a) Probabilidad total de B, P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B),
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6(0.02)+0.4(0.05)=0.032
A1 A2
B
A1∩B
A2∩B

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