Probabilidad1

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es manejado por
mucha gente.
Frecuentemente se escuchan
preguntas como las que se mencionan a
continuación:
¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la
lotería o el melate ?
¿ Qué posibilidad hay de que me pase un
accidente automovilístico ?
¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para
llevar mi paraguas o no.
¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el
primer parcial ?,

PROBABILIDAD
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan
como respuesta una medida de confianza
representativa o práctica de que ocurra un
evento futuro, o bien de una forma sencilla
interpretar la probabilidad.
En este curso lo que se quiere es entender con
claridad su contexto, como se mide y como se
utiliza al hacer inferencias.

PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma
importancia en todo estudio estadístico.
El cálculo de probabilidades proporciona las
reglas para el estudio de los experimentos
aleatorios o de azar, que constituyen la base
para la estadística inferencial.

PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que
va a ocurrir, están relacionados con el azar o
probabilidad.
Fenómeno Determinista.Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.

PROBABILIDAD
La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.Una acción que se realiza con el propósito de
analizarla. Tiene como fin último determinar
la probabilidad de uno o de varios resultados.
Se considera como aleatorio y estocástico, si
sus resultados no son constantes.
Puede ser efectuado cualquier número de veces
esencialmente en las mismas condiciones.

PROBABILIDAD

Un

experimento es aleatorio si se
verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente,
siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede
predecir el resultado que se va a
obtener;
3. El resultado que se obtenga, s,
pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles.

PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar una moneda

PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:
A: que al nacer un bebe, éste sea
niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 15 años más
C: que la presión arterial de un
adulto se incremente ante un
disgusto

PROBABILIDAD
Probabilidad e Inferencia.
Se presentan dos candidatos al cargo de la
presidencia del CEUDLA, y se desea
determinar si el candidato X puede ganar.
Población de interés: Conjunto de respuestas
de los estudiantes que votarán el día de las
elecciones.
Criterio de gane: Si obtiene el más del 50%
de los votos.

PROBABILIDAD
Supóngase que todos los estudiantes de la
UDLA van a las urnas y se elige de manera
aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.
Si los 20 estudiantes apoyan al candidato
¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que
tiene el candidato X de ganar las elecciones
?

PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO X GANARA
2.- EL CANDIDATO Y GANARA
3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

PROBABILIDAD
GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%
Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE
EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES
LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN
LA POBLACION SERA IGUAL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA
20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.
LLAME X = CAE AGUILA
Y = CAE SOL.
¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y
CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

PROBABILIDAD
SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20
VOTANTES
DE
LA
MUESTRA
LO
APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS
DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA
VOTAR POR EL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD
NO.
SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20
VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA
MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE
MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES
ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA
MUY POCO PROBABLE.

PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados
de interés de un experimento dado, y se le
denota normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: Se lanza una moneda.
Espacio muestral = total de formas en como
puede caer la moneda, o sea dos formas de
interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si
cae de canto no es de interés y se repite el
lanzamiento).
S = { s, a }

PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDAD
Los eventos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S
Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden
contener un solo elemento, una infinidad de
elementos, y también no contener ningún
elemento.
Al número de puntos muestrales de S se le
representa por N(S)

PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre se verifica después del
experimento aleatorio, son los mismos del
espacio muestral.
E = S y N(E) = N(S)
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica
como resultado del experimento aleatorio. No
tiene elementos de interés para su fenómeno.
Es un subconjunto de S, y la única posibilidad
es que el evento imposible sea el conjunto vacío.
Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0

PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral
de S, esto es, N(E) = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un
evento elemental. También se le
denomina como punto muestral.
Si s1, s2 ∈ S
entonces s1, s2 son
eventos elementales.

PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2):
En el experimento 1,
S = { s, a }, s y a son sucesos elementales
N(S) = 2
A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1
B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1

PROBABILIDAD

En el experimento 2,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales, y
N(S) =6
A = Que caiga un uno = { 1 }
B = Que caiga un dos = { 2 }
:
:
:
F = Que caiga un seis = { 6 }

PROBABILIDAD
Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene
más de un punto muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contrario a un evento A: También se
denomina evento complemento de A y es el
evento que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se
denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define
como:
c

A = { s ∈ Ω tal que s ∉ A}

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),
(S,A,A), (A,A,A) },
N(Ω) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4
Evento imposible: φ (conjunto vacio).

N(φ) = 0

PROBABILIDAD
Si un espacio muestral contiene n puntos
muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o
eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).
Por tanto para el ejemplo anterior existen:
28 = 256, eventos posibles.
Para el caso del experimento: se tira una
moneda,
el espacio muestral es de 2 puntos muestrales
S = {A, S}, por lo que se tienen 22 = 4
subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),
(A), (S), φ (conjunto vacio).

PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del
conjunto Ω, espacio muestral, se pueden
aplicar
las conocidas operaciones con
conjuntos, a los eventos, como son la unión, la
intersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD
OPERACIÓN
UNION

EXPRESION DESCRIPCION
A∪B

INTERSECCION

A∩B

DIFERENCIA

A-B

Unión de eventos originales: es el
evento que sucede si y solo si A
sucede o B sucede o ambos
suceden
Intersección de los eventos
originales, es el evento que sucede
si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
La diferencia de los eventos
originales A y B, es el evento que
sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que
A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como:
S

A

B

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

S

A

B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la
unión de dos eventos se presenta de dos formas
diferentes: cuando los eventos son mutuamente
exclusivos (que no tienen elementos en común) y
cuando entre los eventos hay elementos
comunes.
Definición.- Se dice que dos eventos A y B son
mutuamente exclusivos, cuando no pueden
ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo
que ocurre en la fig. 1.

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6
Sean A, B, C los eventos:
A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } ,
N(A) = 3
B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5
= { 3, 4 }, N(B) = 2
C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } ,
N(C) = 3

PROBABILIDAD

S
A

1

B
3
4

5
2

C
6

A ∪B = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A ∪B) = 4
A ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S,
N(A ∪C) = N(S) = 6
B ∪ C = { 3, 4 } ∪ { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6},
N(B ∪ C) = 4
A ∪B ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 }∪ { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S,
N(A ∪B ∪ C) = 6

PROBABILIDAD

S
B
A

3
4
C

A ∩ B={ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 } = {3}, N(A∩B) = 1
A ∩ C={ 1, 3, 5 } ∩ { 2,4,6 } = {Φ}, N(A ∩ C) = N{Φ) = 0
B ∩ C={ 3, 4 } ∩ { 2, 4, 6 } = {4}, N(B ∩ C) = 1
(A ∩ B) ∩ C = ({ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 }) ∩ { 2,4,6 }= {3}∩ { 2,4,6 }={Φ},
N((A ∩ B) ∩ C) = N{Φ) = 0
A ∩ (B ∩ C) = { 1, 3, 5 } ∩ ({ 3, 4 } ∩ { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 } ∩ { 4 }={Φ},
N(A ∩ (B ∩ C)) = N{Φ) = 0

PROBABILIDAD

S
A
5

1

B
3
C

A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 },
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A,
B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 },

N(A – B) = 2
N( A – C) = N(A) = 3
N(B-C) = 1

PROBABILIDAD

S
A

1

B
3
4

5
2

Ac = { 2, 4, 6} = C
Bc = {1, 2, 5, 6 }
Cc = {1, 3, 5 } = A

C
6

N(Ac ) = N( C )= 3
N(Bc ) = 4
N(Cc ) = N(A) = 3

PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuencial.
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
Las frecuencias relativas de un evento tienden a
estabilizarse
cuando
el
número
de
observaciones se hace cada vez mayor.
Ejemplo:
La regularidad estadística en el
experimento del lanzamiento de monedas,
indica que las frecuencias relativas del
evento: que salga sol {s }, se tiende a
estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
La probabilidad de un evento A, denotada
por P(A), es el valor en el que se
estabilizan las frecuencias relativas
del evento A, cuando el número de
observaciones del experimento se
hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD

Esto es:

N ( A)
P( A) =
N (Ω)

(2)

donde
N(A) = número de elementos del evento A
N(Ω) = número de elementos del espacio
muestral Ω.

PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de
ese espacio. Se define la probabilidad P del evento
A, como:

NCF
P ( A) =
NCT

(1)

donde
NCF - número de casos favorables
NCT - número de casos totales

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga
águila.
Calcular la probabilidad de A:
S = { A, S},
N(Ω) = 2
A = { A },
N(A) = 1

N ( A) 1
P( A) =
= = .5
N (Ω ) 2

PROBABILIDAD

Leyes De La Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los
eventos
al
ser
aplicadas
las
operaciones que se presentaron, se
facilitan y comprenden mejor haciendo
uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma.- es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema.- Es una verdad que requiere
ser demostrada.

PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera
y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se
cumple que
0 ≤ P(A) ≤ 1
(3)
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento
imposible.
P(A)
___________________________________
• -2
-1
0
1
2

PROBABILIDAD
Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es
un evento seguro, es uno
P(Ω) = 1
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado
Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces.

N ( A) N ( S )
P( A) =
=
=1
N (Ω ) N (Ω )

PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío,
entonces la probabilidad de Φ es igual a 0
N (∅)
P (∅) =
=0
N (Ω)
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional,
pero no compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado
Que una persona viva 250 años
En estos casos los eventos son vacíos

PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea
Ω un espacio muestral
cualquiera y sean A y B dos eventos tales que
A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, es decir, dos
eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

A

B

A∪ B

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = { ss, aa, sa, as}
N(Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan
dos soles exactamente
B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un
sol exactamente.
Los elementos de A y B son
A = { ss }
B = {sa, as}
Se puede ver que A ∩ B = ∅, no hay elementos en común,
por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o
disjuntos, por tanto
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD

N ( A) 1
P ( A) =
=
N (Ω) 4
N ( B) 2
P( B) =
=
N (Ω) 4
1 2 3
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = + =
4 4 4

PROBABILIDAD
Axioma 4.Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente
exclusivos:
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) =
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente exclusivos (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

P( A1 U A2 U ... U An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) −
n

n

∑ P( A I A ) + ∑
i≠ j

i

j

i≠ j= k

P( Ai I Aj I Ak ) − ... + P( A1 I A2 I ... I Ak )

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado
Sean
Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4
Evento B: que al lanzar un dado salga un número
mayor a 4
Evento C: que salga el 1 o 3
Los elementos de A, B y C son

A = {2, 4},
B = {5, 6},
C = {1, 3} ,

N(A) = 2
N(B) = 2
N(C) = 2

PROBABILIDAD
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que A ∩ B = {Φ},
A ∩ C = {Φ},
B ∩ C = {Φ},
Por axioma 4

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
N ( A) 2
P ( A) =
=
N (Ω) 6
N ( B) 2
P( B) =
=
N (Ω) 6
N (C ) 2
P (C ) =
=
N (Ω) 6
2 2 2 6
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) = + + = = 1
6 6 6 6

PROBABILIDAD
Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠
∅, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A∪B

PROBABILIDAD
Diferencia
Sean A y B dos eventos:
A-B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
A
B

A-B

PROBABILIDAD
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A ∩ B = { 2s }
N(A ∩ B ) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

PROBABILIDAD
Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un
espacio muestral, tal que A⊂S,
complemento

del

evento

A,

si Ac es el
entonces

la

probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)

PROBABILIDAD
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12

PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.

Sea A un evento arbitrario de un espacio
muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad
de que un evento A suceda una vez que E
ha sucedido o en otras palabras, la
probabilidad condicional de A dado E, se
define como:

P( A ∩ E )
P( A / E ) =
P( E )

PROBABILIDAD
Eventos Independientes:
Se dice que los eventos A y E son independientes si
se cumplen:

P( A / E ) = P( A)
P( E / A) = P( E )
P( A ∩ B) = P ( A) P( B )
Si no se cumplen, se dice que los eventos son
dependientes.

PROBABILIDAD
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), se tiene
que la probabilidad de la intersección es:

P( A ∩ E )
P( A / E ) =
P( E )
P ( E ∩ A)
P ( E / A) =
P ( A)
P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E )
= P( E/A ) P( A )

PROBABILIDAD
Si A y B son independientes:

P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P ( A) P ( E )
= P( E/A ) P( A ) = P(E)P(A)
P ( A ∩ E ) P ( A) P ( E )
P( A / E ) =
=
= P ( A)
P( E )
P( E )
P ( E ∩ A) P ( E ) P ( A)
P ( E / A) =
=
= P( E )
P ( A)
P ( A)

PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado.
A: que al lanzar el dado caiga 3
E: que al lanzar un dado salga un impar
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado
se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
A = {3},
E = { 1,3,5},
(A∩E) = {3},
P(A) = 1/6
P(A/E) = P(A∩E)/ P(E)
= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)
= 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD
Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales,
de dos eventos A y B, tal que
A ∪ AC = Ω
B ∪ BC = Ω
es elaborando primero la tabla de número de
elementos de los eventos y después la tabla de
sus probabilidades.

Se tienen los eventos A y B y sus complementos
Ac, Bc
B

Bc

Total

A

A∩B

A∩Bc

A

Ac

Ac∩B

Ac∩Bc

Ac

Total

B

Bc

Ω

Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac, Bc
B

Bc

Total

A

N(A∩B)

N(A∩Bc)

N(A)

Ac

N(Ac∩B)

N(Ac∩Bc)

N(Ac)

Total

N(B)

N(Bc)

N(Ω)

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus
intersecciones
B

Bc

Total

A

P(A∩B)

P(A∩Bc)

P(A)

Ac

P(Ac∩B)

P(Ac∩Bc)

P(Ac)

Total

P(B)

P(Bc)

P( Ω)

PROBABILIDAD
Probabilidades condicionales:
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
P(A/Bc) = P(A ∩ Bc)/P(Bc)
P(B/Ac) = P(Ac ∩ B)/P(Ac)
P(Ac/B) = P(Ac ∩ B)/P(B)
P(Bc/A) = P(A ∩ Bc)/P(A)

PROBABILIDAD
Ejemplo.En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%
de la población y los hombres el otro 50%. Se
sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de
hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una
persona desempleada. Si la población total es
de 8000 personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona
escogida sea ?:

PROBABILIDAD
a).b).c).d).e).-

Mujer
Hombre
Mujer dado que está empleado
Desempleado dado que es hombre
Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:
M: Que sea Mujer
H: Que sea Hombre
D: Que sea Desempleado
E: Que sea Empleado

Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

Desempleados Empleados
D
E

Total

Mujeres
M

800

3200

4000

Hombres
H

200

3800

4000

Total

1000

7000

8000

Tabla de Probabilidades
D

E

Total

M

800/8000 = .1

3200/8000= .4

4000/8000= .5

H

200/8000= .025

3800/8000= .475

4000/8000= .5

Total

1000/8000= .125 7000/8000= .875

8000/8000= 1

PROBABILIDAD
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M/E) = P(M∩E)/P(E) = .40/.875
P(D/H) = P(D∩H)/P(H) = .025/.5
P(E/M) = P(M∩E)/P(M) = .40/.5
P(M/D) = P(M∩D)/P(D) = .10/.125
P(H/D) = P(H∩D)/P(D) = .025/.125

= .4571
= .05
= .8
= .8
= .2

PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M∩E) = .40
P(M) P(E) = .4375
P(D∩H) = .025
P(D) P(H) = .0625
P(M∩D) = .10
P(M) P(D) = .0625
P(E∩H) = .475
P(E) P(H) = .4375

PROBABILIDAD
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
EyH
son dependientes.

Ley general Multiplicativa para n
eventos
P( A1 I A2 I A3 I ... I Ak ) = P( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 I A2 )...P ( Ak A1 I A2 I ... I Ak −1 )

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

P ( A1 I A2 I A3 I ... I Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )...P ( Ak )

PROBABILIDAD
Probabilidad total.Sean A1, A2, A3..., An
eventos disjuntos
(mutuamente excluyentes), que forman una
partición de Ω. Esto es Ai ∩ Aj = ∅ para
toda i y toda j, y además
Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…∪ An
A2
A1

A3

A5
A4

A6
An

PROBABILIDAD
Y sea E otro evento tal que E ⊂ Ω y E ∩ Ai ≠ ∅
A2
A5
A3
A1

A4

E
A6
An

E

PROBABILIDAD
Entonces
E = Ω ∩ E = (A1 ∪ A2∪ A3∪…∪ An) ∩ E
= (A1 ∩ E) ∪(A2 ∩ E) ∪(A3∩ E)
∪…∪ (An∩ E)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos,
se tiene que:
P(E) = P(A1∩E) + P(A2∩E) +P(A3∩E) +…+P(An ∩E)
Ya que (Ai ∩ E) es ajeno a (Aj ∩ E) para i ≠ j

PROBABILIDAD
Como (Ai ∩ E) = (E ∩ Ai) entonces
P(Ai ∩ E) = P(E ∩ Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de E es:
P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +
P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

PROBABILIDAD
Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un artículo al azar,
¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea
defectuoso ?

PROBABILIDAD
Sea
D el evento: Que sea un artículo defectuoso.
P(M1) = .50
P(D/M1) = .03
P(M2) = .30

P(D/M2) = .04

P(M3) = .20

P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +
P(D/M3) P(M3)
= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

P(D/M1)=.03

P(M1)=.50

M1
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04

P(M2)=.30

M2
P(ND/M2)=.96
P(D/M3)=.05

P(M3)=.20

M3
P(ND/M3)=.95

D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
ND
D

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

ND
D

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

ND
P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD
Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An
es una partición de un espacio muestral Ω. En cada
caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An,
son eventos mutuamente exclusivos.
Sea E
cualquier evento, entonces para cualquier Ai,
P( Ai / E ) =

P( Ai ) P( E / AI )
P( A1 ) P( E / A1 ) + P( A2 ) P( E / A2 ) +  + P( An ) P( E / An )

PROBABILIDAD

Como la probabilidad completa de E es :
P(E) = P(A1 )P(E/A1 ) + P(A2 )P(E/A2 ) +  + P(An )P(E/An )
entonces
P( Ai / E ) =

P( Ai ) P( E / AI )
P(E)

PROBABILIDAD
Ejemplo.En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Supóngase que se selecciona un artículo
al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
la probabilidad de que el artículo haya sido
producido por la máquina M1?

PROBABILIDAD
Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por la máquina 1
P(M1) = .50

P(D/M1) = .03

P(M2) = .30

P(D/M2) = .04

P(M3) = .20

P(D/M3) = .05

PROBABILIDAD
Por teorema de Bayes se tiene:

P ( M 1 / D) =
=

P(M 1 ) P( D / M 1 )
P(M 1 ) P( D / M 1 ) + P(M 2 ) P( D / M 2 ) + P(M 3 ) P( D / M 3 )
P(M 1 ) P( D / M 1 )
P ( D)

=

(.50)(.03)
.037

= .4054

La probabilidad de que el artículo defectuoso se
haya producido en la M1 es del 40.54%

Probabilidad1

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