Basic probability 2020

Conceptos fundamentales de probabilidad
G. Edgar Mata Ortiz

“The most important questions of
life are indeed, for the most part,
really only problems of
probability.”
Pierre-Simon Laplace
(Théorie Analytique des Probabilités: 1812)
Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayor parte, sólo problemas de probabilidad

Introducción
Determinísticos o deterministas
Son aquellos en los que podemos predecir su resultado, aún antes de realizar
un experimento
Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de física
Dos tipos de fenómenos

Introducción
Aleatorios
Son aquellos en los que no podemos predecir su resultado, sin importar cuánta
información tengamos disponible
Ejemplo: El resultado al lanzar un dado
Dos tipos de fenómenos

Introducción
El estudio de los fenómenos aleatorios es menos usual que el de
los fenómenos determinísticos.
Se estudia la geometría y física, donde las fórmulas nos entregan
resultados exactos y predecibles
Los fenómenos aleatorios y determinísticos
b = base
h = altura
Área del triángulo
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Otro ejemplo de
fenómeno
determinístico

Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y hechos de la vida
cotidiana, no tienen este comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los resultados no son
predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios

Introducción
Los fenómenos aleatorios pueden
repetirse indefinidamente, obteniéndose
resultados diferentes e imprevisibles aún
cuando se realicen de la misma manera.
La probabilidad y los fenómenos aleatorios

Conceptos fundamentales
Definición de la real academia española
¿Qué es probabilidad?

Como pudimos observar, la palabra probabilidad
tiene varios significados.
Es conveniente distinguir los diversos significados
de acuerdo al uso que se hace de la palabra
probabilidad.
Vamos a estudiar los cuatro enfoques de
probabilidad:
Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial,
probabilidad clásica y probabilidad axiomática.

Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso va a ocurrir.
Suele indicarse como un número decimal, menor que uno o como un
porcentaje.
Probabilidad subjetiva

Se basa en la opinión personal, la experiencia o la intuición
En ocasiones hace uso de datos históricos.
No siempre se cuantifica

Las estimaciones subjetivas de probabilidad cambian de una persona a otra
No es necesario realizar ningún experimento para estimar la probabilidad
subjetiva de un evento

A pesar del uso ocasional de datos históricos, dichas estimaciones
presentan un elevado grado de incertidumbre
No obstante dicha incertidumbre, en muchas circunstancias es necesario
recurrir a la probabilidad subjetiva.

Richard Von Mises
Generalmente la teoría de probabilidad es
considerada una rama de las matemáticas,
sin embargo, sus fundamentos son
puramente filosóficos, y Richard Von Mises,
desarrolló la correcta teoría de probabilidad
objetiva o “de frecuencia”.
Probabilidad frecuencial

Se dice que esta forma de calcular probabilidades es empírica, ya que se
basa en la repetición del experimento aleatorio y en la observación y
cuantificación de los resultados de dicho experimento.
El ejemplo típico de esta forma de probabilidad es el lanzamiento de dos
dados; se suman los resultados de ambos dados y ese es el valor
obtenido. Si un dado muestra la cara con el número 5 hacia arriba, y el
otro, la cara con el número 6, entonces se dice que el resultado es:
5 + 6 = 11

Algunas de las preguntas que responde la probabilidad frecuencial son:
¿Cuál es el resultado más probable al lanzar dos dados?
¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 como resultado del lanzamiento de
dos dados?
¿Qué es más probable; obtener un resultado igual a dos o a tres?
¿Qué es más probable; obtener un resultado de cinco o de diez?

¿Cuál es el resultado más probable al lanzar
dos dados?
Podemos responder esta pregunta mediante
probabilidad subjetiva; anota en tu cuaderno
el resultado que consideres más probable y
explica cómo llegaste a esa decisión.

Para responder a las preguntas citadas mediante probabilidad frecuencial,
se lanzan los dados un número grande de veces; cuanto más grande sea el
número de lanzamientos, más cerca estaremos de obtener la probabilidad
buscada.
Realiza el experimento de lanzar los dados 100 veces y anota el número de
veces que obtuviste cada uno de los resultados posibles.

Realiza el experimento
de lanzar los dados
100 veces y anota el
número de veces que
obtuviste cada uno de
los resultados
posibles.
Probabilidad frecuencial Resultado Frecuencia
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Comentar resultados obtenidos
durante la clase o de tarea.

Es una forma empírica de calcular
probabilidades
Es necesario repetir el experimento varias
veces para calcular la probabilidad
La tabla muestra el número de veces que se
obtuvo cada resultado al lanzar dos dados, cien
veces.
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

Cuanto más grande es
el número de veces
que se lanzan los
dados, la frecuencia
relativa se aproxima a
la probabilidad de
ocurrencia de cada
evento
Probabilidad
frecuencial
Resultados 100 1000 30000 100000
2 0.05000 0.02200 0.02737 0.02825
3 0.09000 0.05700 0.05483 0.05558
4 0.10000 0.07700 0.08607 0.08156
5 0.09000 0.11100 0.10947 0.11214
6 0.15000 0.14000 0.13927 0.13915
7 0.15000 0.17800 0.16720 0.16560
8 0.11000 0.13700 0.13530 0.13961
9 0.14000 0.11300 0.11177 0.11169
10 0.07000 0.08800 0.08503 0.08336
11 0.04000 0.05400 0.05570 0.05501
12 0.01000 0.02300 0.02800 0.02805
Probabilidades frecuenciales

La probabilidad frecuencial, a diferencia de la subjetiva, siempre se
cuantifica
Puede expresarse como fracción, número decimal o porcentaje
Se calcula mediante la fórmula:
𝑝 𝒂 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝒂
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

Ejemplo de aplicación de la fórmula:
Se lanzan dos dados 100 veces y se cuenta el
número de ocasiones en las que la suma de las
caras es igual a 2, 3, 4, ..., 12
La tabla de la derecha contiene los resulados de
este experimento aleatorio
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

Ejemplo de aplicación de la fórmula:
En la tabla de distribución de frecuencias, se
observa que el número 3 se obtuvo en 9
ocasiones, por lo tanto:
También puede expresarse como: 9%
𝑝 3 =
9
100
𝑝 3 = 0.09
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1

La ley de los grandes números (también
llamada ley del azar), propuesta por J.
Bernoulli, afirma que al repetir un
experimento aleatorio un número cada vez
más grande de veces, la frecuencia relativa
de cada suceso elemental tiende a
aproximarse a un número fijo, llamado
probabilidad de un suceso.
Jakob Bernoulli (Basilea, 27 de
diciembre de 1654 -ibid. 16 de
agosto de 1705), también conocido
como Jacob, Jacques o James Bernoulli,
fue un genial matemático y científico
suizo y hermano mayor de Johann
Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).

Estableció la “regla de Laplace” para el
cálculo de probabilidades cuando los
eventos posibles en un experimento
aleatorio tienen la misma probabilidad de
suceder.
Además de sus trabajos sobre
probabilidad se destacó en ecuaciones
diferenciales y mecánica celeste.
Probabilidad clásica
Pierre Simón Marqués de Laplace.
(1749-1827)

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos
favorables y el número total de casos que pueden presentarse, siempre
que los resultados sean equiprobables.
Es una forma de probabilidad objetiva
No es necesario realizar ningún experimento para determinar la
probabilidad de un evento
𝑝 𝐴 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Un ejemplo típico de este modelo de probabilidad hace referencia al
lanzamiento de una moneda “legal“
Entendemos por “legal“, que la probabilidad de que se obtenga un águila o
un sol es la misma, son eventos equiprobables.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga un águila es
1, y el número de casos totales es dos
𝑝 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎
=
1
2

Otro ejemplo citado con frecuencia es el lanzamiento de un dado
Se asume que, al igual que en la moneda, la probabilidades de cada cara
del dado, es la misma.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga, por
ejemplo, un tres; es 1, y el número de casos totales es seis
𝑝 𝑡𝑟𝑒𝑠 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑠
=
1
6

Andréi Kolmogórov, matemático ruso,
entre muchos otros trabajos científicos,
estructuró el sistema axiomático de la
probabilidad.
Se basó en la teoría de conjuntos.
Fundamenta matemáticamente la probabilidad.
Probabilidad axiomática
Andréi Kolmogórov.

Axiomas de la probabilidad
La probabilidad de un suceso X es un número real mayor o igual a
cero: P(X)≥0
La probabilidad del universo W es igual a 1: P(W)=1
Si A1, A2, … Ai son sucesos mutuamente excluyentes, entonces
P(A1UA2…UAi) = SP(Ai)
Probabilidad axiomática

Gracias por su atención
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