![𝑅( 𝑥) = 𝜇′′
+ 𝜇 + 𝑥
𝑅( 𝑥) = (2𝑎2 − 2𝑎1 − 6𝑎2 𝑥) + (𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
− 𝑎1 𝑥2
− 𝑎2 𝑥3
) + 𝑥 = 0
𝑅( 𝑥) = 𝑥 + (−2 + 𝑥 − 𝑥2) 𝑎1 + (2 − 6𝑥 + 𝑥2
− 𝑥3
)𝑎2
D. Calculamos las constantes 𝑎1 y 𝑎2 para 3P(Colocación 3 puntos):
𝑥 = 1
4⁄ ; 𝑥 = 1
2⁄ ; 𝑥 = 3
4⁄
𝑅(1
4⁄ ) =
−29
16
𝑎1 +
35
64
𝑎2 =
−1
4
𝑅(1
2⁄ ) =
−7
4
𝑎1 −
7
8
𝑎2 =
−1
2
𝑅(3
4⁄ ) =
−29
16
𝑎1 −
151
64
𝑎2 =
−3
4
Formamos y desarrollamos la matriz:
[ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐵]
[
−29
16
35
64
−7
4
−7
8
−29
16
−151
64 ]
[
𝑎1
𝑎2
] =
[
−1
4
−1
2
−3
4 ]
[ 𝐴] 𝑇
= [
−29
16
−7
4
−29
16
35
64
−7
8
−151
64
]
[ 𝐴] 𝑇[ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐴] 𝑇[ 𝐵]
[
−29
16
−7
4
−29
16
35
64
−7
8
−151
64
] ∗
[
−29
16
35
64
−7
4
7
8
−29
16
−151
64 ]
∗ [
𝑎1
𝑎2
] = [
−29
16
−7
4
−29
16
35
64
−7
8
−151
64
] ∗
[
−1
4
−1
2
−3
4 ]](https://image.slidesharecdn.com/elementosfinitosgabriel-170331133654/85/Elementos-finitos-gabriel-2-320.jpg)
![[
𝑎1
𝑎2
] = [
0.19297282
0.17204301
]
E. Finalmente la ecuación aproximada quedaría :
𝜇 ≈ 𝜇̂ = 𝑥(1 − 𝑥)(0.19297282+ 0.17204301𝑥)
F. Ahora calculamos para 9P (Colocación 9 puntos ):
Evaluamos los valores en la función residuo:
𝑅(0.1) = −0.91𝑎1 + 1.409𝑎2 = −0.1
𝑅(0.2) = −1.84𝑎1 + 0.832𝑎2 = −0.2
𝑅(0.3) = −1.79𝑎1 + 0.263𝑎2 = −0.3
𝑅(0.4) = −1.76𝑎1 − 0.304𝑎2 = −0.4
𝑅(0.5) = −1.75𝑎1 − 0.875𝑎2 = −0.5
𝑅(0.6) = −1.76𝑎1 − 1.456𝑎2 = −0.6
𝑅(0.7) = −1.79 − 2.053𝑎2 = −0.7
𝑅(0.8) = −1.84 − 2.672𝑎2 = −0.8
𝑅(0.9) = −1.91 − 3.319𝑎2 = −0.9
Formamos y desarrollamos la matriz:
[
−0.91 1.409
−0.84 0.832
−0.79
−1.76
−1.75
−1.76
−1.79
−1.84
−1.91
0.263
−0.304
−0.875
−1.456
−2.053
−2.672
−3.319]
[
𝑎1
𝑎2
] =
[
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9]
[ 𝐴] 𝑇
= [
−0.91 −0.84 −0.79 −1.76 −1.75 −1.76 −1.79 −1.84 −1.91
1.409 0.832 0.263 −0.304 −0.875 −1.456 −2.053 −2.672 −3.319
]
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9](https://image.slidesharecdn.com/elementosfinitosgabriel-170331133654/85/Elementos-finitos-gabriel-3-320.jpg)
![[ 𝐴] 𝑇[ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐴] 𝑇[ 𝐵]
[
𝑎1
𝑎2
] = [
0.263064306303
0.108158857401
]
Finalmente la ecuación nos quedaría:
𝜇 ≈ 𝜇̂ = 𝑥(1 − 𝑥)(0.263064306303+ 0.108158857401𝑥)
Gráfica de las funciones
--------- Grafica de solución analítica.
--------- Grafica de colocación 3 puntos.
--------- Grafica de colocación 9 pintos.
Cuadro de tabulación
X
SOLUCION
EXACTA
COLOCACION
3P
COLOCACION
9P
0 0.0000 0.00000 0.0000
0.1 -0.0983 0.01892 0.0246
0.2 -0.1965 0.03638 0.0456
0.3 -0.2948 0.05136 0.0621
0.4 -0.3930 0.06283 0.0735
0.5 -0.4913 0.06975 0.0793
0.6 -0.5895 0.07109 0.0787
0.7 -0.6878 0.06581 0.0711
0.8 -0.7860 0.05290 0.0559
0.9 -0.8843 0.03130 0.0324](https://image.slidesharecdn.com/elementosfinitosgabriel-170331133654/85/Elementos-finitos-gabriel-4-320.jpg)
Elementos finitos gabriel
- 1. MÉTODOSNUMÉRICOSAPLICADOSALA INGENIERÍA INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) CÁTEDRA : METODO NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA CATEDRATICO : MSc. Ing. Iván Arturo Ayala Bizarro. ESTUDIANTE : QUISPE SANES, Gabriel David. ______________________________________________________________________________________________________________ EJERCICIO RESUELTO 1. Calcular 𝜇 de la ecuación diferencial 𝜇′′ + 𝜇 + 𝑥 = 0, para 0 < 𝑥 < 1 y las condiciones de borde: 𝜇(0) = 𝜇(1) = 0 y la solución exacta. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN ANALÍTICA: 𝜇( 𝑥) = sin(𝑥) cos(𝑥) − 𝑥 SOLUCIÓN NUMÉRICA: Método de colocación: A. Planteamos una función con dos constantes: 𝜇 ≈ 𝜇̂ = 𝑥(1 − 𝑥)(𝑎1 + 𝑎2 𝑥) B. Transformando la ecuación original: 𝜇 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 − 𝑎1 𝑥2 − 𝑎2 𝑥3 𝜇′ = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 − 2𝑎1 𝑥 − 3𝑎2 𝑥2 𝜇′′ = 2𝑎2 − 2𝑎1 − 6𝑎2 𝑥 C. Calculamos el residuo reemplazando la segunda derivada (𝜇′′ ) y la función (𝜇) en la ecuación original: 𝜇′′ + 𝜇 + 𝑥 = 0
- 2. 𝑅( 𝑥) = 𝜇′′ + 𝜇 + 𝑥 𝑅( 𝑥) = (2𝑎2 − 2𝑎1 − 6𝑎2 𝑥) + (𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 − 𝑎1 𝑥2 − 𝑎2 𝑥3 ) + 𝑥 = 0 𝑅( 𝑥) = 𝑥 + (−2 + 𝑥 − 𝑥2) 𝑎1 + (2 − 6𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 )𝑎2 D. Calculamos las constantes 𝑎1 y 𝑎2 para 3P(Colocación 3 puntos): 𝑥 = 1 4⁄ ; 𝑥 = 1 2⁄ ; 𝑥 = 3 4⁄ 𝑅(1 4⁄ ) = −29 16 𝑎1 + 35 64 𝑎2 = −1 4 𝑅(1 2⁄ ) = −7 4 𝑎1 − 7 8 𝑎2 = −1 2 𝑅(3 4⁄ ) = −29 16 𝑎1 − 151 64 𝑎2 = −3 4 Formamos y desarrollamos la matriz: [ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐵] [ −29 16 35 64 −7 4 −7 8 −29 16 −151 64 ] [ 𝑎1 𝑎2 ] = [ −1 4 −1 2 −3 4 ] [ 𝐴] 𝑇 = [ −29 16 −7 4 −29 16 35 64 −7 8 −151 64 ] [ 𝐴] 𝑇[ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐴] 𝑇[ 𝐵] [ −29 16 −7 4 −29 16 35 64 −7 8 −151 64 ] ∗ [ −29 16 35 64 −7 4 7 8 −29 16 −151 64 ] ∗ [ 𝑎1 𝑎2 ] = [ −29 16 −7 4 −29 16 35 64 −7 8 −151 64 ] ∗ [ −1 4 −1 2 −3 4 ]
- 3. [ 𝑎1 𝑎2 ] = [ 0.19297282 0.17204301 ] E. Finalmente la ecuación aproximada quedaría : 𝜇 ≈ 𝜇̂ = 𝑥(1 − 𝑥)(0.19297282+ 0.17204301𝑥) F. Ahora calculamos para 9P (Colocación 9 puntos ): Evaluamos los valores en la función residuo: 𝑅(0.1) = −0.91𝑎1 + 1.409𝑎2 = −0.1 𝑅(0.2) = −1.84𝑎1 + 0.832𝑎2 = −0.2 𝑅(0.3) = −1.79𝑎1 + 0.263𝑎2 = −0.3 𝑅(0.4) = −1.76𝑎1 − 0.304𝑎2 = −0.4 𝑅(0.5) = −1.75𝑎1 − 0.875𝑎2 = −0.5 𝑅(0.6) = −1.76𝑎1 − 1.456𝑎2 = −0.6 𝑅(0.7) = −1.79 − 2.053𝑎2 = −0.7 𝑅(0.8) = −1.84 − 2.672𝑎2 = −0.8 𝑅(0.9) = −1.91 − 3.319𝑎2 = −0.9 Formamos y desarrollamos la matriz: [ −0.91 1.409 −0.84 0.832 −0.79 −1.76 −1.75 −1.76 −1.79 −1.84 −1.91 0.263 −0.304 −0.875 −1.456 −2.053 −2.672 −3.319] [ 𝑎1 𝑎2 ] = [ −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.6 −0.7 −0.8 −0.9] [ 𝐴] 𝑇 = [ −0.91 −0.84 −0.79 −1.76 −1.75 −1.76 −1.79 −1.84 −1.91 1.409 0.832 0.263 −0.304 −0.875 −1.456 −2.053 −2.672 −3.319 ] x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
- 4. [ 𝐴] 𝑇[ 𝐴][ 𝑥] = [ 𝐴] 𝑇[ 𝐵] [ 𝑎1 𝑎2 ] = [ 0.263064306303 0.108158857401 ] Finalmente la ecuación nos quedaría: 𝜇 ≈ 𝜇̂ = 𝑥(1 − 𝑥)(0.263064306303+ 0.108158857401𝑥) Gráfica de las funciones --------- Grafica de solución analítica. --------- Grafica de colocación 3 puntos. --------- Grafica de colocación 9 pintos. Cuadro de tabulación X SOLUCION EXACTA COLOCACION 3P COLOCACION 9P 0 0.0000 0.00000 0.0000 0.1 -0.0983 0.01892 0.0246 0.2 -0.1965 0.03638 0.0456 0.3 -0.2948 0.05136 0.0621 0.4 -0.3930 0.06283 0.0735 0.5 -0.4913 0.06975 0.0793 0.6 -0.5895 0.07109 0.0787 0.7 -0.6878 0.06581 0.0711 0.8 -0.7860 0.05290 0.0559 0.9 -0.8843 0.03130 0.0324