G02 Matemáticas Décimo
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El documento aborda las funciones trigonométricas inversas, explicando cómo se utilizan para determinar ángulos a partir de razones de lados en triángulos. Se presentan ejemplos y problemas prácticos para que los estudiantes apliquen estas funciones en situaciones como el cálculo de la altura de figuras en relación con distancias horizontales. Además, se incluyen ejercicios que refuerzan el aprendizaje de los conceptos presentados.
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- 1. Funciones trigonométricas inversas Página 1 de 9 Escuela Normal Superior de Villavicencio NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________ ÁREA: TRIGONOMETRÍA GRADO: DÉCIMO -__ FECHA: _______ DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: 2 GUÍA: 02 Observemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 En el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo 𝐿? Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 ∠𝐿 = 𝑥 𝑜𝑝 = 35 𝑎𝑑 = 65 Valor de ∠𝑳. Razón trigonométrica a utilizar tan(∠𝐿) = 𝑜𝑝 𝑎𝑑 Reemplazo de valores tan 𝐿 = 35 65 Necesitamos nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas como este. Las razones seno, coseno y tangente no dan la talla. Estos toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto. ¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas! Las funciones trigonométricas inversas Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace lo opuesto de su inversa. La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo: 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑛−1 Hace lo opuesto del seno 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑠−1 Hace lo opuesto del coseno 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑡𝑎𝑛−1 Hace lo opuesto de la tangente En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa matemáticamente en los siguientes enunciados: Ángulos de entrada en funciones trigonométricas y razones de lados resultantes Razones de lados de entrada en funciones trigonométricas inversas y ángulos resultantes sen(𝜃) = 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝 ⇒ sin−1 ( 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝 ) = 𝜃 cos(𝜃) = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ⇒ cos−1 ( 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ) = 𝜃 tan(𝜃) = 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ⇒ tan−1 ( 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ) = 𝜃
- 2. Funciones trigonométricas inversas Página 2 de 9 Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝑚∠𝐿 = 𝑥 𝑜𝑝 = 35 𝑎𝑑 = 65 Valor de 𝑚∠𝑳. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐿 = tan−1 ( 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐿 = tan−1 ( 35 65 ) 𝑚∠𝐿 ≈ 28.300 Problemas de práctica 1. Dado ∆𝐾𝑀𝑆, determina 𝑚∠𝐾. Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝑚∠𝐾 = 𝑥 𝑜𝑝 = 8 ℎ𝑖𝑝 = 10 Valor de 𝑚∠𝑲. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐾 = sen−1 ( 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐾 = sen−1 ( 8 10 ) 𝑚∠𝐾 ≈ 53.130 2. Dado ∆𝐴𝑀𝑆, determina 𝑚∠𝑀. Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝑚∠𝑀 = 𝑥 𝑜𝑝 = 4 𝑎𝑑 = 6 Valor de 𝑚∠𝑴. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝑀 = tan−1 ( 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝑀 = sen−1 ( 4 6 ) 𝑚∠𝑀 ≈ 33.690 3. Dado ∆𝐻𝑇𝑍, determina 𝑚∠𝑍. Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝑚∠𝑍 = 𝑥 𝑎𝑑 = 3 ℎ𝑖𝑝 = 10 Valor de 𝑚∠𝒁. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝑍 = cos−1 ( 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝑍 = cos−1 ( 3 10 ) 𝑚∠𝑍 ≈ 72.540
- 3. Funciones trigonométricas inversas Página 3 de 9 4. Resuelve el triángulo completamente. Es decir, determina todos los lados y ángulos no conocidos. Redondea tus respuestas a la centésima más cercana. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝐵 = 𝑥 𝑜𝑝 = 4 ℎ𝑖𝑝 = 9 𝑎𝑑 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑩. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐵 = sen−1 ( 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐵 = sen−1 ( 4 9 ) = 26.390 2) Valor de 𝑚∠𝑳: 900 − 26.390 = 63.610 3) Lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑥2 = 92 − 42 = 65 𝑥 = √65 = 8.01 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑚∠𝐵 𝑚∠𝐿 8.01 26.390 63.610 Ejercicios Resuelve el triángulo completamente. Es decir, determina todos los lados y ángulos no conocidos. Redondea tus respuestas a la centésima más cercana. 5. 𝑀𝑆̅̅̅̅ 𝑚∠𝑲 𝑚∠𝑴 4.90 44.410 45.590 Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝐾 = 𝑥 ℎ𝑖𝑝 = 7 𝑎𝑑 = 5 𝑜𝑝 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑲. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐾 = cos−1 ( 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐾 = cos−1 ( 5 7 ) = 44.410 2) Valor de 𝑚∠𝑴: 900 − 44.410 = 45.590 3) Lado 𝑀𝑆̅̅̅̅ 𝑥2 = 72 − 52 = 24 𝑥 = 2√6 = 4.90 6. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝑃 = 𝑥 𝑎𝑑 = 2 ℎ𝑖𝑝 = 6 𝑜𝑝 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑷. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝑃 = cos−1 ( 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝑃 = 𝑐𝑜𝑠−1 ( 2 6 ) = 70.530 2) Valor de 𝑚∠𝑸: 900 − 70.530 = 19.470 3) Lado 𝑺𝑸̅̅̅̅ 𝑥2 = 62 − 22 = 32 𝑥 = 4√2 = 5.66 𝑆𝑄̅̅̅̅ 𝑚∠𝑷 𝑚∠𝑸 5.66 70.530 19.470
- 4. Funciones trigonométricas inversas Página 4 de 9 7. 𝐷𝐹̅̅̅̅ 𝑚∠𝑯 𝑚∠𝑭 4.58 66.420 23.580 Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝐻 = 𝑥 ℎ𝑖𝑝 = 5 𝑎𝑑 = 2 𝑜𝑝 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑯. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐻 = cos−1 ( 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐻 = cos−1 ( 2 5 ) = 66.420 2) Valor de 𝑚∠𝑭: 900 − 66.420 = 23.580 3) Lado 𝐷𝐹̅̅̅̅ 𝑥2 = 52 − 22 = 21 𝑥 = √21 = 4.58 8. Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝑁 = 𝑥 𝑎𝑑 = 7 𝑜𝑝 = 4 ℎ𝑖𝑝 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑵. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝑁 = tan−1 ( 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝑁 = tan−1 ( 4 7 ) = 29.740 2) Valor de 𝑚∠𝑰: 900 − 29.740 = 60.260 3) Lado 𝐼𝑁̅̅̅̅ 𝑥2 = 72 + 42 = 65 𝑥 = √65 = 8.06 𝐼𝑁̅̅̅̅ 𝑚∠𝑵 𝑚∠𝑰 8.06 29.740 60.260 9. 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑚∠𝑨 𝑚∠𝑩 7.81 39.810 50.190 Declaración de variables. Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿𝑎𝑑𝑜 1 𝐿𝑎𝑑𝑜 2 𝐿𝑎𝑑𝑜 3 𝑚∠𝐴 = 𝑥 𝑜𝑝 = 5 𝑎𝑑 = 6 ℎ𝑖𝑝 = 𝑥 1) Valor de 𝑚∠𝑨. Razón trigonométrica inversa 𝑚∠𝐴 = tan−1 ( 𝑜𝑝 𝑎𝑑 ) Reemplazo de valores 𝑚∠𝐴 = tan−1 ( 5 6 ) = 39.810 2) Valor de 𝑚∠𝑩: 900 − 39.810 = 50.190 3) Lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑥2 = 62 + 52 = 61 𝑥 = √61 = 7.81
- 5. Funciones trigonométricas inversas Página 5 de 9 Problema verbal sobre el triángulo rectángulo Ejemplo 1 Una escalera apoyada sobre una pared, forma con el suelo un ángulo de 740 . Calcula el tamaño de la escalera si se sabe que desde su pie a la pared hay una distancia de 1.4 𝑚. ángulos de elevación y depresión Cuando observas un objeto arriba de ti, hay un ángulo de elevación entre el plano horizontal y tu línea de visión hacia el objeto. Similarmente, cuando observas un objeto abajo de ti, hay un ángulo de depresión entre el plano horizontal y tu línea de visión hacia el objeto. 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables Declaración de variables 𝜃 = 740 𝑎𝑑 = 1.4 ℎ𝑖𝑝 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 ℎ𝑖𝑝 = 𝑎𝑑 cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = 1.4 cos(740) = 5.07 𝑥 = 5.07 𝑚 soh cah toa
- 6. Funciones trigonométricas inversas Página 6 de 9 Ejercicios de aplicación 10. Una persona observa, en un ángulo de 540 , lo alto que es un edificio; si la persona mide 1.72 𝑚 y está ubicada a 18 𝑚 de la base del edificio. ¿Cuál es la altura en metros del edificio? 11. Un poste tiene pegado en su punta un cable de 13.75 𝑚 de largo que va hasta el suelo, formando un ángulo entre el poste y el cable de 540 . Calcule la altura del poste. 12. ¿Cuál es la altura de una palmera cuya sombra generada por los rayos del sol es de 10 𝑚 y estos caen con un ángulo de 250 ? 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 𝑎𝑑 = 18 𝑜𝑝 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: tan 𝜃 = 𝑜𝑝 𝑎𝑑 𝑜𝑝 = 𝑎𝑑 ⋅ tan 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (18) ⋅ tan(54) = 24.77 𝑥 ≈ 24.77 𝑚 Altura del edificio: 24.77 + 1.72 ≈ 26.49 5. Respuesta: la altura del edificio es de 26.49 𝑚. 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________
- 7. Funciones trigonométricas inversas Página 7 de 9 13. Una persona ve estacionado su automóvil desde un edificio con un ángulo de depresión de 300 , si se encuentra a 7 𝑚 del suelo, ¿a qué distancia se encuentra el edificio del automóvil? 14. José, con una estatura de 1.5 𝑚, desea medir la asta de una bandera, por lo que se coloca a 6.5 𝑚 del pie de la asta y se encuentra que el ángulo de elevación es de aproximadamente 580 . ¿Cuál es la altura de la asta? 15. La cometa de Jaime está sujeto por una cuerda de 10 𝑚 de longitud y vuela a 8 𝑚 de altura sobre el nivel de sus ojos. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la cometa? 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________
- 8. Funciones trigonométricas inversas Página 8 de 9 16. En la cima de un edificio, de 25 𝑚, una persona ve que el mismo edificio proyecta una sombra de 32 𝑚. Calcule el valor de depresión con que la persona percibe la sombra 17. Carlos mira un punto en un edificio, bajo un ángulo de elevación de 200 . El piso es horizontal. El ojo de Carlos está a 1.8 𝑚 por encima del piso y a 100 𝑚 del edificio. Calcule la altura del edificio. 18. Desde la cima de un faro de 120 𝑚 de altura, un vigía observa un barco con un ángulo de depresión de 420 . Calcule la distancia desde el barco hasta el faro. 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________
- 9. Funciones trigonométricas inversas Página 9 de 9 19. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? 20. Desde un observatorio, ubicado en la parte más alta de una torre vertical de 16 𝑚, se observa un conejo con un ángulo de depresión de 580 . ¿A qué distanciaaproximada se encuentra el conejo del punto de observación? 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________ 1. Identificamos primero los datos en el dibujo. 2. Declaración de variables 𝜃 = 540 ℎ𝑖𝑝 = 13.75 𝑎𝑑 = 𝑥 3. Elegir razon trigonometrica a utilizar, y despeje de variable: cos 𝜃 = 𝑎𝑑 ℎ𝑖𝑝 𝑎𝑑 = ℎ𝑖𝑝 ⋅ cos 𝜃 4. Reemplazo de valores y resultado. 𝑥 = (13.75) ⋅ cos(540) 𝑥 ≈ 8.08 𝑚 5. Respuesta: __________________________________________