G03 Matemáticas Undécimo
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El documento es una guía educativa sobre sucesiones finitas e infinitas, presentando ejemplos y fórmulas para determinar los términos de sucesiones aritméticas, utilizando tanto notaciones explícitas como recursivas. Incluye ejercicios prácticos para que los estudiantes calculen términos específicos de sucesiones y se familiaricen con la notación sigma para la suma de términos. También se abordan problemas verbales y la introducción a series aritméticas finitas.
G03 Matemáticas Undécimo
- 1. Sucesiones Página 1 de 11 Escuela Normal Superior de Villavicencio NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________ ÁREA: CÁLCULO GRADO: UNDÉCIMO -__ FECHA: _______ DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: DOS GUÍA: 03 Sucesiones finitas Ejemplo Empiezo con 1, y luego voy sumando tres. 1 1 + 3 = 4 4 + 3 = 7 7 + 3 = 10 {1,4,7,10} Sucesiones infinitas Ejemplo Empiezo con 3, luego voy sumando continuamente tres. 3 3 + 4 = 7 7 + 4 = 11 11 + 4 = 15 {3,7,11,15, … } Notación de las sucesiones { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 4 = {1,4,7,10} 4 términos de la sucesión { 1, 4, 7, 10, } 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 Regla de sucesión. Forma explícita { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 4 Con 𝑎 𝑘 = 1 + 𝟑( 𝑘 − 1) Revisión de términos. 𝒂 𝒌 = 𝟏 + 𝟑(𝒌 − 𝟏) 1 2 3 4 1 4 7 10
- 2. Sucesiones Página 2 de 11 Tenemos una función de 𝒌. 𝑎(𝑘) = 1 + 3(𝑘 − 1) Y para la sucesión infinita tenemos: { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 ∞ = {3,7,11,15, … } Regla de sucesión. Forma explícita { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 ∞ Con 𝑎 𝑘 = 3 + 𝟒( 𝑘 − 1) { 1, 4, 7, 10, } 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 Tenemos una función de 𝒌. 𝑎(𝑘) = 1 + 4(𝑘 − 1) Forma recursiva Se define el primer término. { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 4 Con 𝑎1 = 1 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑘−1 + 𝟑 { 𝑎 𝑘} 𝑘=1 ∞ Con 𝑎1 = 3 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑘−1 + 4 Sucesiones aritméticas La característica principal es que tiene un número fijo en la diferencia entre cada uno de sus términos. Esta cantidad puede ser positiva o negativa. Ejemplo 1 { −5, −3, −1, 1, … } Notación en forma explicita Regla de sucesión. { 𝑎 𝑛} 𝑛=1 ∞ Con 𝑎 𝑛 = −5 + 𝟐( 𝑛 − 1) Notación en forma recursiva { 𝑎 𝑛} 𝑛=1 ∞ Con 𝑎1 = −5 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2
- 3. Sucesiones Página 3 de 11 Ejemplo 2 { 100, 107, 114, 121, … } Notación en forma explicita Regla de sucesión. { 𝑎 𝑛} 𝑛=1 ∞ Con 𝑎 𝑛 = 100 + 𝟕( 𝑛 − 1) Notación en forma recursiva { 𝑎 𝑛} 𝑛=1 ∞ Con 𝑎1 = 100 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 Forma general Explicita { 𝑎 𝑛} 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑟( 𝑛 − 1) Recursiva 𝑎1 = 𝑘 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 Ejemplo 3 { 1, 3, 6, 10, … } No es aritmética. Práctica formulas recursivas para sucesiones aritméticas Ejercicios 1. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) − 5 11 − 2 11 1 11 4 11 2. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) − 12 19 − 9 19 − 6 19 − 3 19 𝑓( 𝑛) = ൜ −5/11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓( 𝑛 − 1) + 3/11 𝑠𝑖 𝑛 > 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1
- 4. Sucesiones Página 4 de 11 3. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑔( 𝑛) 1 2 0 − 1 2 −1 4. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) −10 −7.5 −5 −2.5 5. La función 𝒉 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 ℎ( 𝑛) −1 1 2 2 3 1 2 6. La función 𝒉 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 ℎ( 𝑛) 0.5 −0.25 −1 −1.75 7. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑔( 𝑛) 6 1 9 6 5 9 7 7 4 9 8. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión: 𝑛 1 2 3 4 𝑔( 𝑛) −3 1 3 −4 −4 2 3 −5 1 3 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑓(𝑛) = ە ۖ ۔ ۖ ۓ− 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1 − 5 11 𝑠𝑖 𝑛 = 1
- 5. Sucesiones Página 5 de 11 Práctica usa fórmulas de sucesiones aritméticas Ejercicios La sucesión aritmética 𝑎(𝑛) está definida por la siguiente expresión: 9. Calcula el duodécimo término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = −3 − 4( 𝑛 − 1) 10. Calcula el décimo término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = 3 + 2( 𝑛 − 1) 11. Calcula el decimotercer término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = −7 + 6( 𝑛 − 1) 12. Calcula el noveno término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = −3 − 4( 𝑛 − 1) 13. Calcula el quinto término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = −7 − 2( 𝑛 − 1) 14. Calcula el duodécimo término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = −4 − 2( 𝑛 − 1) 15. Calcula el quinto término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = 6 − 4( 𝑛 − 1) 16. Calcula el segundo término de la sucesión. 𝑎( 𝑛) = 7 + 3( 𝑛 − 1) Práctica extiende sucesiones aritméticas Ejercicios Se dan algunos términos de una sucesión aritmética: 17. Calcula el quinto término de la sucesión. −6, −3,0,3, … 18. Calcula el sexto término de la sucesión. −7, −5, −3, −1,1, … 19. Calcula el sexto término de la sucesión. 8,5,2, −1, −4, … 𝑎(12) = −3 − 4(12 − 1) = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 3 + 3 = 6 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47
- 6. Sucesiones Página 6 de 11 20. Calcula el sexto término de la sucesión. −2,3,8,13,18, … 21. Calcula el sexto término de la sucesión. −3,0,3,6,9, … 22. Calcula el quinto término de la sucesión. −3, −7, −11, −15, … 23. Calcula el cuarto término de la sucesión. 3,9,15, … 24. Calcula el sexto término de la sucesión. −7, −3,1,5,9, … Práctica fórmulas explícitas para sucesiones aritméticas Ejercicios 25. 𝒇 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A continuación, están los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) 10 −10 −30 −50 26. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo se muestran los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 ℎ( 𝑛) 79 71 63 55 Se les pidió a José y a Luisa que encontraran una fórmula explícita para la sucesión: • José dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = 79 − 8(𝑛 − 1). • Luisa dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = 87 − 8𝑛 ¿Quién tiene razón? a) Solo José b) Solo Luisa c) Tanto José como Luisa d) Ni José ni Luisa 27. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A continuación, están los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) −31 −27 −23 −19 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 𝑎 = −3 − 4 = −47 Expresión explícita 𝑓( 𝑛) = 10 − 20( 𝑛 − 1) Expresión explícita 𝑓 = 10 − 20
- 7. Sucesiones Página 7 de 11 28. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A continuación, están los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 𝑔( 𝑛) −31 −27 −23 −19 29. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A continuación, están los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 ℎ( 𝑛) 81 54 27 0 30. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo se muestran los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 𝑔( 𝑛) 26 10 −6 −22 Se les pidió a Laura y a Andrés que encontraran una fórmula explícita para la sucesión: • Laura dijo que la expresión es 𝑔(𝑛) = 26 − 16(𝑛 − 1). • Andrés dijo que la expresión es 𝑔(𝑛) = 42 − 16𝑛 ¿Quién tiene razón? a) Solo Laura b) Solo Andrés c) Tanto Laura como Andrés d) Ni Laura ni Andrés 31. 𝒇 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A continuación, están los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 𝑓( 𝑛) 170 85 0 −85 32. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo se muestran los primeros términos de la sucesión. 𝑛 1 2 3 4 ℎ( 𝑛) −51 −34 −17 −0 Se les pidió a Rosa y a Jaime que encontraran una fórmula explícita para la sucesión: • Rosa dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = −51 + 17𝑛. • Jaime dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = −68 + 17𝑛. ¿Quién tiene razón? a) Solo Rosa b) Solamente Jaime c) Tanto Rosa como Jaime d) Ni Rosa ni Jaime Expresión explícita 𝑓 = 10 − 20 Expresión explícita 𝑓 = 10 − 20 Expresión explícita 𝑓 = 10 − 20
- 8. Sucesiones Página 8 de 11 Problemas verbales de sucesiones: patrón de crecimiento ¿Qué ecuación describe el crecimiento del patrón de esta secuencia de bloques? 1 2 3 4 Pequeña tabla para saber que sucede. Término # de bloques 33. ¿Cuántos bloques habrá en el nivel 50? Notación sigma básica Se quiere calcular la suma de los primeros diez enteros positivos. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 + 10 O la suma del uno al cien. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 Vamos a utilizar una notación para saber cuál es la suma. Se va utilizar la letra sigma mayúscula. ∑ 𝑖 10 𝑖=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 + 10 ∑ 𝑖 100 𝑖=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 Ejemplo 1 ∑ 𝜋𝑖2 50 𝑖=0 = Práctica introducción a la notación sigma Ejercicios 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 = 1 + ( 𝑥 − 1) ⋅ 4 = 1 + 4𝑥 − 4 = 4𝑥 − 3 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 = 4𝑥 − 3 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑠 = 4𝑥 − 3
- 9. Sucesiones Página 9 de 11 34. ∑( 𝑥 + 5) 2 𝑥=0 = 35. ∑( 𝑘 − 4) 3 𝑘=1 = 36. ∑(2𝑗 − 4) 1 𝑗=0 = 37. ∑( 𝑛) 2 𝑛=0 = 38. ∑(4𝑥) 3 𝑥=1 = 39. ∑(3 − 𝑘) 2 𝑘=1 = 40. ∑( 𝑗2) 2 𝑗=0 = 41. ∑(6𝑥) 2 𝑥=1 = 42. ∑( 𝑗2 + 1) 2 𝑗=1 =
- 10. Sucesiones Página 10 de 11 Introducción a las series aritméticas finitas Se va a calcular la suma de los primeros 𝒏 términos de una sucesión aritmética. {1,2,3, … , 𝑛} La suma de los primeros 𝒏 término de una sucesión aritmética o geométrica se llama serie. 𝑆 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑛 + ( 𝑛 − 1) + ( 𝑛 − 2) + ⋯ + 1 2𝑆 𝑛 = ( 𝑛 + 1) + ( 𝑛 + 1) + ( 𝑛 + 1) + ⋯ ( 𝑛 + 1) 2𝑆 𝑛 = 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑆 𝑛 = 𝑛( 𝑛 + 1) 2 43. Calcule la suma de los primeros 10 números enteros positivos. 𝑆 𝑛 = 𝑛( 𝑛 + 1) 2 𝑆10 = 10(10 + 1) 2 = 55 𝑆10 = 55 44. Calcule la suma de los primeros 100 números enteros positivos. 𝑆 𝑛 = 𝑛( 𝑛 + 1) 2 𝑆10 = 10(10 + 1) 2 = 55 𝑆10 = 55 Se puede generalizar para cualquier suma de sucesiones aritméticas. 𝑆 𝑛 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 Series aritméticas finitas Comencemos con una suma. Encuentra la suma de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = . ¡Fantástico! Acabas de encontrar la suma de una pequeña serie aritmética. Solo tenía 𝟓 términos. Pero, ¿y si tuviera un millón de términos? De seguro querríamos una fórmula. Afortunadamente, ya hemos aprendido esa fórmula. 𝑆 𝑛 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 Ahora utilice la expresión para la suma.
- 11. Sucesiones Página 11 de 11 𝑆5 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 Muy bien. Vamos a intentar usar la fórmula para encontrar la suma de una serie aritmética que podría ser tedioso calcular a mano. Considera la serie 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟏. Complete: 𝒂 𝟏 = 𝒂 𝒏 = La sucesión aumenta por 𝟒𝟎𝟏 − 𝟑 = 𝟑𝟗𝟖 desde el primer hasta el último término. Dado que la sucesión aumenta en 𝟐 cada vez, le toma 𝟑𝟗𝟖 𝟐 = 𝟏𝟗𝟗 términos para ir del primero al último. Todavía nos falta contar el primer término, así que hay 𝟏𝟗𝟗 + 𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 términos de la sucesión. En otras palabras, 𝒏 = 𝟐𝟎𝟎. Calcule la suma de 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟏 𝑆 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 ¡Wow! Muy bien, parece que ya lo tienes. Prueba tú mismo Problema 1: encuentra la suma de 𝟏𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟐𝟗 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟓𝟐. 𝑆 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 Problema 2: encuentra la suma de 𝟏𝟎 + (−𝟏) + (−𝟏𝟐) + ⋯ + (−𝟏𝟎𝟗𝟕𝟗). 𝑆 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 Practica evaluar series aritméticas 45. ∑(−5𝑘 + 12) 275 𝑘=1 = 46. Halle la suma de −𝟓𝟎 + (−𝟒𝟒) + (−𝟑𝟖) + ⋯ + 𝟐𝟎𝟑𝟖 + 𝟐𝟎𝟒𝟒. 𝑆 = 𝑛 ⋅ ( 𝑎 𝑛 + 𝑎1) 2 47. ∑(1 − 7𝑘) 625 𝑘=1 =