G04 Matemáticas Undécimo
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El documento presenta una guía sobre límites en cálculo, incluyendo definiciones y ejemplos de funciones que demuestran indeterminaciones y restricciones. Se analizan diversos casos de límites utilizando tablas y gráficas, permitiendo a los estudiantes practicar la determinación de límites en diferentes escenarios. Además, se abordan límites unilaterales y se plantean ejercicios prácticos para el estudio.
G04 Matemáticas Undécimo
- 1. Límites_V1 Página 1 de 10 Escuela Normal Superior de Villavicencio NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________ ÁREA: CÁLCULO GRADO: UNDÉCIMO -__ FECHA: _______ DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: DOS GUÍA: 04 Introducción a límites Ejemplo 1 Definamos una función 𝑓( 𝑥) = 𝑥−1 𝑥−1 . Se puede simplificar, pues todo término dividido por su mismo término da 1. Pero de acuerdo la función esta no está definida para cuando 𝑥 = 1. 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑓(1) = 1 − 1 1 − 1 = 0 0 = ∞ Cualquier termino dividido entre cero, incluyendo el cero, no está definida (indeterminada). Simplifiquemos la expresión 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑓( 𝑥) = 1 Restricción 𝑥 ≠ 1 Vamos a graficarla Se dibuja con un circulo en 𝑥 = 1, un hueco. 𝑓(1) 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 Qué pasa con la función cuando me acerco cada vez a 1, tanto por el lado izquierdo como por el lado izquierdo. Me acerco tanto como más pueda, sin llegar a él. lim 𝑥→1 𝑓( 𝑥) = 1
- 2. Límites_V1 Página 2 de 10 Ejemplo 2 𝑔( 𝑥) = { 𝑥2 , 𝑥 ≠ 2 1 , 𝑥 = 2 Se grafica con un hueco en 𝑥 = 2. Se utiliza un punto en 𝑔(2) = 1. lim 𝑥→2 𝑔( 𝑥) = 4 𝒙 𝒈(𝒙) 1.9 3.61 1.99 3.9601 1.999 3.99601 2.1 4.41 2.01 4.0401 2.0001 4.00004 Practica (límites a partir de tablas) Para las tablas, que se muestra a continuación, contiene valores de 𝑔(𝑥) para valores de 𝑥 que se aproximan cada vez más a un número dado. Determine 1. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→0 8 cos (𝑥 + 𝜋 2 ) 𝑥2 − 𝑥 8 𝒙 𝒈( 𝒙) 0.1 8.87408 0.01 8.08067 0.001 8.00801 0 ? −0.001 7.99201 −0.01 7.92066 −0.1 7.26061
- 3. Límites_V1 Página 3 de 10 2. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→3 𝑥2 + 5𝑥 + 6 𝑥 + 3 𝒙 𝒈( 𝒙) −3.1 −1.1000 −3.01 −1.0100 −3.001 −1.0010 −3 ? −2.999 −0.9990 −2.99 −0.9900 −2.9 −0.9000 3. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→1 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 − 5) 𝑥 − 1 𝒙 𝒉( 𝒙) 1.1 4.79426 1.01 4.99792 1.001 4.99998 1 ? 0.999 4.99998 0.99 4.99792 0.9 4.79426 4. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→3 4𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 − 15) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 6) 𝒙 𝒈( 𝒙) 2.9 9.652734 2.99 9.996500 2.999 9.999965 3 ? 3.001 9.999965 3.01 9.996500 3.1 9.652734 5. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→1 3𝑥2 − 3 𝑥 − 1 𝒙 𝒇( 𝒙) 1.1 6.3000 1.01 6.0300 1.001 6.0030 1 ? 0.999 5.9970 0.99 5.9700 0.9 5.7000
- 4. Límites_V1 Página 4 de 10 6. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→0 cos (9𝑥 − 𝜋 2 ) 3 cos (3𝑥 + 𝜋 2 ) 𝒙 𝒈( 𝒙) −0.1 −0.883557 −0.01 −0.998800 −0.001 −0.999988 0 ? 0.001 −0.999988 0.01 −0.998800 0.1 −0.883557 7. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→5 𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑥 − 5 𝒙 𝒉( 𝒙) 5.1 4.1000 5.01 4.0100 5.001 4.0010 5 ? 4.999 3.9990 4.99 3.9900 4.9 3.9000 8. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→−1 40𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋𝑥 2 ) 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥 + 2𝜋) 𝒙 𝒈( 𝒙) −1.1 −1.1000 −1.01 −1.0100 −1.001 −1.0010 −1 ? −0.999 −0.9990 −0.99 −0.9900 −0.9 −0.9000 9. A partir de la tabla, cuál parece ser el valor de lim 𝑥→0 8 cos (𝑥 + 𝜋 2 ) 𝑥2 − 𝑥 𝒙 𝒈( 𝒙) 0.1 −2.5000 0.01 −2.9500 0.001 −2.9950 0 ? −0.001 −3.0050 −0.01 −3.0500 −0.1 −3.5000
- 5. Límites_V1 Página 5 de 10 Límites a partir de gráficas Práctica 10. 11. lim 𝑥→5 𝑔( 𝑥) = lim 𝑥→0 𝑔( 𝑥) = 12. 13. lim 𝑥→−1 ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→−4 𝑓( 𝑥) =
- 6. Límites_V1 Página 6 de 10 14. 15. lim 𝑥→−5 𝑔( 𝑥) = lim 𝑥→5 𝑔( 𝑥) = 16. 17. lim 𝑥→−2 ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→0 ℎ( 𝑥) =
- 7. Límites_V1 Página 7 de 10 18. 19. lim 𝑥→−3 𝑓( 𝑥) = lim 𝑥→7 𝑔( 𝑥) = 20. 21. lim 𝑥→−4 ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→5 𝑔( 𝑥) =
- 8. Límites_V1 Página 8 de 10 Limites unilaterales práctica 22. 23. lim 𝑥→−3− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→−3+ ℎ( 𝑥) = ℎ(−3) = lim 𝑥→6− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→6+ ℎ( 𝑥) = ℎ(6) = 24. 25. lim 𝑥→−1− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→−1+ ℎ( 𝑥) = ℎ(−1) = lim 𝑥→4− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→4+ ℎ( 𝑥) = ℎ(4) =
- 9. Límites_V1 Página 9 de 10 26. 27. lim 𝑥→3− 𝑓( 𝑥) = lim 𝑥→3+ 𝑓( 𝑥) = 𝑓(3) = lim 𝑥→2− 𝑓( 𝑥) = lim 𝑥→2+ 𝑓( 𝑥) = 𝑓(2) = 28. 29. lim 𝑥→1− 𝑔( 𝑥) = lim 𝑥→1+ 𝑔( 𝑥) = 𝑔(1) = lim 𝑥→−3− 𝑔( 𝑥) = lim 𝑥→−3+ 𝑔( 𝑥) = 𝑔(−3) =
- 10. Límites_V1 Página 10 de 10 30. 31. lim 𝑥→−4− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→−4+ ℎ( 𝑥) = ℎ(−4) = lim 𝑥→−2− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→−2+ ℎ( 𝑥) = ℎ(−2) = 32. 33. lim 𝑥→6− 𝑔( 𝑥) = lim 𝑥→6+ 𝑔( 𝑥) = 𝑔(6) = lim 𝑥→1− ℎ( 𝑥) = lim 𝑥→1+ ℎ( 𝑥) = ℎ(1) =