Esta udd-2012

Bioestadística aplicada

TM. Pedro Cortes Alfaro
Magister en Administración en Salud

¿Para qué sirve la estadística?

• La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables

• La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que
los explican y realizando experimentos para validar o rechazar
dichas leyes

• Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o
aleatorio (estocástico)
• La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las
ciencias donde la variabilidad y la incertidumbre forman parte de su
naturaleza
• “La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las
áreas de las Ciencias de la Vida donde la variablidad no es la
excepción sino la regla”
Carrasco de la Peña (1982)

Tema 1: Introdución 2

Definición
La Estadística es la Ciencia de la

• Sistematización, recogida, ordenación y
presentación de los datos referentes a un
fenómeno que presenta variabilidad o
incertidumbre para su estudio metódico, con
objeto de

• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,

• poder de esa forma hacer previsiones sobre los
mismos, tomar decisiones u obtener
conclusiones.

Pasos en un estudio estadístico
• Plantear hipótesis sobre una población
Tema 1: Introdución
• Los fumadores tienen bajo rendimiento que los no fumadores
• ¿En qué sentido? ¿Mayor número? ¿Tiempo medio?
• Decidir qué datos recoger (diseño de experimentos)
• Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras)
• Fumadores y no fumadores en edad laboral.
• Criterios de exclusión ¿Cómo se eligen? ¿Descartamos los que padecen
enfermedades crónicas?
• Qué datos recoger de los mismos (variables)
• Número de bajas
• Tiempo de duración de cada baja
• ¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores?
• Recoger los datos (muestreo)
• ¿Estratificado? ¿Sistemáticamente?
• Describir (resumir) los datos obtenidos
• tiempo medio de baja en fumadores y no (estadísticos)
• % de bajas por fumadores y sexo (frecuencias), gráficos,...
• Realizar una inferencia sobre la población
• Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media que los no
fumadores.
• Cuantificar la confianza en la inferencia
4
• Nivel de confianza del 95%

Método científico y
estadística

Plantear Diseñar
hipótesis experimento

Obtener Recoger datos
conclusiones y analizarlos


Población y muestra

• Población („population’) es el conjunto sobre el que
estamos interesados en obtener conclusiones (hacer
inferencia).
• Normalmente es demasiado grande para poder
abarcarlo.

• Muestra („sample’) es un subconjunto suyo al que tenemos
acceso y sobre el que realmente hacemos las
observaciones (mediciones)
• Debería ser “representativo”
• Esta formado por miembros “seleccionados” de la
población (individuos, unidades experimentales).


Variables
• Una variable es una característica observable que varía entre los
diferentes individuos de una población. La información que
disponemos de cada individuo es resumida en variables.

• En los individuos de la población Chilena, de
uno a otro es variable:

• El grupo sanguíneo
• {A, B, AB, O}  Var. Cualitativa
• Su nivel de felicidad “declarado”
• {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz}  Var. Ordinal
• El número de hijos
• {0,1,2,3,...}  Var. Numérica discreta
• La altura
• {1‟62 ; 1‟74; ...}  Var. Numérica continua


Tipos de variables
• Cualitativas
Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a
un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

• Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar
• Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)

• Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar
• Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor
• Cuantitativas o Numéricas
Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones
algebraicas con ellos)
• Discretas: Si toma valores enteros
• Número de hijos, Número de cigarrillos, Num. de “cumpleaños”
• Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios.
• Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad


• Es buena idea codificar las variables
como números para poder
procesarlas con facilidad en un
ordenador.
• Es conveniente asignar “etiquetas” a
los valores de las variables para
recordar qué significan los códigos
numéricos.
• Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)
• 1 = Hombre
• 2 = Mujer
• Raza (Cualit: Códigos arbitrarios)
• 1 = Blanca
• 2 = Negra,...
• Felicidad Ordinal: Respetar un orden
al codificar.
• 1 = Muy feliz
• 2 = Bastante feliz
• 3 = No demasiado feliz
• Se pueden asignar códigos a
respuestas especiales como
• 0 = No sabe
• 99 = No contesta...
• Estas situaciones deberán ser

• Aunque se codifiquen como números, debemos recordar
siempre el verdadero tipo de las variables y su significado
cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico.
• No todo está permitido con cualquier tipo de variable.


• Los posibles valores de una variable suelen denominarse
modalidades.
• Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos)
• Edades:
• Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años
• Hijos:
• Menos de 3 hijos, De 3 a 5, 6 o más hijos
• Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y
excluyente
• Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la
variable
– Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?
– Bien: ¿Cuál es su grupo sanguíneo?
• Excluyente: Nadie puede presentar dos valores
simultáneos de la variable
• Estudio sobre el ocio
– Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)
– Bien: Le gusta el deporte: (Sí, No)
– Bien: Le gusta el cine: (Sí, No)
– Tema 1: Introdución
Mal: Cuántos hijos tiene: (Ninguno, Menos de 5, Más de 2) 11

Presentación ordenada de datos

7
6
Género Frec.
5

Hombre 4 4
3
2
Mujer 6 1
0
Hombre Mujer

• Las tablas de frecuencias y las representaciones
gráficas son dos maneras equivalentes de
presentar la información. Las dos exponen
ordenadamente la información recogida en una
muestra.

Tablas de frecuencia
• Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada
de información (o poca).
• Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad

• Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total
• Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas
• Muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante)
– ¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8
– ¿Entre 4 y 6 hijos? Soluc 1ª: 8,4%+3,6%+1,6%= 13,6%. Soluc 2ª: 97,3% - 83,8% = 13,5%

Sexo del encuestado
Número de hijos
Porcentaje
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válidos Hombre 636 41,9 41,9
Válidos 0 419 27,6 27,8 27,8
Mujer 881 58,1 58,1
1 255 16,8 16,9 44,7
Total 1517 100,0 100,0
2 375 24,7 24,9 69,5
3 215 14,2 14,2 83,8
Niv el de felicidad
4 127 8,4 8,4 92,2
Porcentaje Porcentaje 5 54 3,6 3,6 95,8
Frecuencia Porcentaje válido acumulado 6 24 1,6 1,6 97,3
Válidos Muy feliz 467 30,8 31,1 31,1
7 23 1,5 1,5 98,9
Bastante feliz 872 57,5 58,0 89,0
Ocho o más 17 1,1 1,1 100,0
No demasiado feliz 165 10,9 11,0 100,0
Total 1509 99,5 100,0
Total 1504 99,1 100,0
Perdidos No contesta
Perdidos No contesta 8 ,5
13 ,9
Total 1517 100,0 Total 1517 100,0


Datos desordenados y
ordenados en tablas
• Variable: Género Géner Frec. Frec. relat.
o porcentaje
• Modalidades:
Hombr 4 4/10=0,4=40%
• H = Hombre
e
• M = Mujer
Mujer 6 6/10=0,6=60%

10=tamañ
o muestral
• Muestra:

MHHMMHMMMH

• equivale a
HHHH MMMMMM

Ejemplo
• ¿Cuántos individuos tienen Número de hijos
menos de 2 hijos?
Porcent. Porcent.
• frec. indiv. sin hijos Frec. (válido) acum.
+
frec. indiv. con 1 hijo 0 419 27,8 27,8
= 419 + 255 1 255 16,9 44,7
= 674 individuos 2 375 24,9 69,5 ≥50%
3 215 14,2 83,8
4 127 8,4 92,2
• ¿Qué porcentaje de
individuos tiene 6 hijos o 5 54 3,6 95,8
menos? 6 24 1,6 97,3
• 97,3% 7 23 1,5 98,9
Ocho+ 17 1,1 100,0
• ¿Qué cantidad de hijos es
tal que al menos el 50% de Total 1509 100,0
la población tiene una
cantidad inferior o igual?
• 2 hijos


Gráficos para v. cualitativas
• Diagramas de barras
• Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o
rel.)
• Se pueden aplicar también a variables
discretas

• Diagramas de sectores (tartas, polares)
• No usarlo con variables ordinales.
• El área de cada sector es proporcional a su
frecuencia (abs. o rel.)

• Pictogramas
• Fáciles de entender.
• El área de cada modalidad debe ser
proporcional a la frecuencia. ¿De los dos, cuál
es incorrecto?.


Gráficos diferenciales para variables
numéricas
419
400 375

• Son diferentes en función de que
300

255

Recuento
215

las variables sean discretas o 200

127

continuas. Valen con frec. absolutas 100

54

o relativas. 0 1 2 3 4 5
24

6
23 17

7 Ocho o más

Núme ro de hijos
• Diagramas barras para v. discretas
• Se deja un hueco entre barras para 250

indicar los valores que no son posibles 200

• Histogramas para v. continuas

Recuento
150

• El área que hay bajo el histograma 100

entre dos puntos cualesquiera indica la 50

cantidad (porcentaje o frecuencia) de
individuos en el intervalo. 20 40 60 80

Edad del encue stado


Diagramas integrales
• Cada uno de los anteriores diagramas tiene su correspondiente diagrama integral. Se
realizan a partir de las frecuencias acumuladas. Indican, para cada valor de la
variable, la cantidad (frecuencia) de individuos que poseen un valor inferior o igual al
mismo. No los construiremos en clase. Se pasan de los diferenciales a los integrales
por integración y a la inversa por derivación (en un sentido más general del que visteis
en bachillerato.)


¿Qué hemos visto?

• Definición de estadística
• Población
• Muestra
• Variables
• Cualitativas
• Numéricas
• Presentación ordenada de datos
• Tablas de frecuencias
• absolutas
• relativas
• acumuladas
• Representaciones gráficas
• Cualitativas
• Numéricas
– Diferenciales
– Integrales

Bioestadística

• Tema 2: Modelos probabilísticos

Tema 2: Modelos probabilísticos
20

Variable aleatoria
• El resultado de un experimento aleatorio puede ser
descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

• En estos casos aparece la noción de variable aleatoria
• Función que asigna a cada suceso un número.

• Las variables aleatorias pueden ser discretas o
continuas (como en el primer tema del curso).

• En las siguientes transparencias vamos a recordar
conceptos de temas anteriores, junto con su nueva
designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos
no. Tema 2: Modelos probabilísticos 21

Función de probabilidad (V. Discretas)

• Asigna a cada posible valor 40%

de una variable discreta su 35%

30%
probabilidad.
25%
• Recuerda los conceptos de
20%
frecuencia relativa y diagrama
15%
de barras.
10%
• Ejemplo 5%

• Número de caras al lanzar 3 0%
0 1 2 3
monedas.

Tema 2: Modelos probabilísticos 22

Función de densidad (V. Continuas)

• Definición
• Es una función no negativa de integral
1.
• Piénsalo como la generalización del
histograma con frecuencias relativas
para variables continuas.

• ¿Para qué lo voy a usar?
• Nunca lo vas a usar directamente.
• Sus valores no representan
probabilidades.


¿Para qué sirve la f. densidad?

• Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de
forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

• La integral definida de la función de densidad en dichos
intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

• Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el
área bajo la función de densidad.


Función de distribución

• Es la función que asocia a cada valor de una
variable, la probabilidad acumulada
de los valores inferiores o iguales.

• Piénsalo como la generalización de las
frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

• A los valores extremadamente bajos les corresponden valores
de la función de distribución cercanos a cero.

• A los valores extremadamente altos les corresponden valores
de la función de distribución cercanos a uno.
• Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de
“p-valor”, significación,…


¿Para qué sirve la f. distribución?

• Contrastar lo anómalo de una observación concreta.
• Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de
distribución en 210 es muy alta.
• Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala”
porque la función de distribución es muy baja para 140cm.

• Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña
pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.

• Relaciónalo con la idea de cuantil.
• En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar
unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos”
que son en conjunto con respecto a una hipótesis de
terminada.
• Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora
esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el
tema de contrastes de hipótesis.


Valor esperado y varianza de una v.a. X

• Valor esperado
• Se representa mediante E[X] ó μ
• Es el equivalente a la media

• Varianza
• Se representa mediante VAR[X] o σ2
• Es el equivalente a la varianza
• Se llama desviación típica a σ


Coeficiente de variación S
CV
Es la razón entre la desviación típica y la media.
 Mide la desviación típica en forma de
x
“qué tamaño tiene con respecto a la media”
 También se la denomina variabilidad relativa.
 Es frecuente mostrarla en porcentajes
 Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)

 Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes
variables.
 Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más
dispersión en peso que en altura.

 No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una
cantidad fijada arbitrariamente
 Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF
 Los ingenieros electrónicos hablan de la razón ‘señal/ruido’ (su inverso).

29

Algunos modelos de v.a.
• Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las
Ciencias de la Salud.
• Experimentos dicotómicos.
• Bernoulli

• Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:
• Binomial
• Poisson (sucesos raros)

• Y en otras muchas ocasiones…
• Distribución normal (gaussiana, campana,…)
• El resto del tema está dedicado a estudiar estas
distribuciones especiales.

Distribución binomial

• Función de probabilidad
n
P[ X k] pk qn k , 0 k n
k

• Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

• Media: μ =n p

• Varianza: σ2 = n p q

Distribución Binomial
• Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de
Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una
distribución binomial de parámetros (n,p).

• Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.
– Bin(n=10,p=1/2)

• Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.
– Bin(n=100,p=1/2)
– Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más
adecuado.

• El número de personas que enfermará (en una población de
500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de
cada 2000 personas.
– Bin(n=500.000, p=1/2000)
» Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson será
más adecuado.


“Parecidos razonables”
• Aún no conoces la
distribución normal, ni de
Poisson.

• De cualquier forma ahí tienes
la comparación entre valores
de p no muy extremos y una
normal de misma media y
desviación típica, para
tamaños de n grandes (n>30).

• Cuando p es muy pequeño es
mejor usar la aproximación
del modelo de Poisson.


Distribución de Poisson
• También se denomina de sucesos raros.
• Se obtiene como aproximación de una
distribución binomial con la misma
media, para „n grande‟ (n>30) y „p pequeño‟
(p<0,1).
• Queda caracterizada por un único
parámetro μ (que es a su vez su media y
varianza.)
k

• Función de probabilidad: P[ X k] e
k!
, k 0,1,2,...

Ejemplos de variables de Poisson
• El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de
urgencias del hospital clínico universitario.
• En Málaga hay 500.000 habitantes (n grande)
• La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es pequeña, pero no
nula. Supongamos que es 1/10.000
• Bin(n=500.000,p=1/10.000) ≈ Poisson(μ=np=50)

• Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de
traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos
que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil
compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes
(ciudades, pueblos,…)
• Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la
población que cubre el hospital.
• Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al
total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,…
• Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)


Distribución normal o de Gauss

• Aparece de manera natural:
2
• Errores de medida. 1
1 x
2
• Distancia de frenado.
f ( x) e
2
• Altura, peso, propensión al crimen…
• Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y „p ni
pequeño‟ (np>5) „ni grande‟ (nq>5).

• Está caracterizada por dos parámetros: La
media, μ, y la desviación típica, σ.
• Su función de densidad es:

N(μ, σ):
Interpretación
geométrica

• Pudes interpretar la
media como un
factor de traslación.

• Y la desviación
típica como un
factor de escala,
grado de
dispersión,… 2: Modelos probabilísticos
Tema 37

N(μ, σ): Interpretación probabilista

• Entre la media y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aprox. 68%

• Entre la media y dos
desviaciones típicas
aprox. 95%

Algunas características
• La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.
• Media, mediana y moda coinciden.

• Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ.

• Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
• a distancia σ, tenemos probabilidad 68%
• a distancia 2 σ,  tenemos probabilidad 95%
• a distancia 2‟5 σ  tenemos probabilidad 99%

• No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva
de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de
funciones „comunes‟.

• Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación
μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal
tipificada.
• Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos diferentes
obtenidos de sendas poblaciones normales.


Tipificación
• Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina
valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo)
con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

x
z

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a
todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la
misma probabilidad por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones
normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.


Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

Bioestadística. U. Tema 2: Modelos probabilísticos 41
Málaga.


Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295
Málaga.


Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673


Ejemplo: Cálculo con probabilidades
normales
• El colesterol en la población tiene
distribución normal, con media 200 y
desviación 10.

• ¿Qué porcentaje de indivíduos tiene
colesterol inferior a 210?

• Qué valor del colesterol sólo es superado
por el 10% de los individuos.


• Todas las distribuciones normales son similares
salvo traslación y cambio de escala:
Tipifiquemos.
x 210 200
z 1
10

P[Z 1,00] (ver tabla) 0,841

• El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil
90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.

x
z

x 200
1,28
10
x 200 10 1,28 212,8

Málaga.

Ejemplo: Tipificación
• Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de
sistemas educativos diferentes. Se asignará al que
tenga mejor expediente académico.
• El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(6,1).
• El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(70,10).
• Solución
• No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a
los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de
modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones
sobre una distribución de referencia N(0,1)

xA A 8 6
zA 2
A 1
xB B 80 70
zB 1
B 10

Como ZA>ZB, podemos decir que el
porcentaje de compañeros del mismo
sistema de estudios que ha superado
en calificación el estudiante A es mayor
que el que ha superado B.
Podríamos pensar en principio que A
es mejor candidato para la beca.

¿Por qué es importante la distribución normal?

• Las propiedades que tiene la distribución normal
son interesantes, pero todavía no hemos hablado
de por qué es una distribución especialmente
importante.

• La razón es que aunque una v.a. no posea
distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores
calculados sobre muestras elegidas al azar sí que
poseen una distribución normal.

• Es decir, tengan las distribución que tengan
nuestros datos, los „objetos‟ que resumen la
información de una muestra, posiblemente tengan
distribución normal (o asociada).

Aplic. de la normal: Estimación en muestras

• Como ilustración
mostramos una
variable que presenta
valores distribuidos de
forma muy asimétrica.
Claramente no normal.

• Saquemos muestras de
diferentes tamaños, y
usemos la media de
cada muestra para
estimar la media de la
población.


• Cada muestra ofrece un
resultado diferente: La media
muestral es variable
aleatoria.

• Su distribución es más
parecida a la normal que la
original.

• También está menos
dispersa. A su dispersión
(„desv. típica del estimador
media muestral‟… ¿os gusta
el nombre largo?) se le suele
denominar error típico.


• Al aumentar el
tamaño, n, de la
muestra:

• La normalidad de las
estimaciones mejora

• El error típico
disminuye.



• Puedo „garantizar‟
medias muestrales tan
cercanas como quiera
a la verdadera
media, sin más que
tomar „n bastante
grande‟

• Se utiliza esta
propiedad para
dimensionar el tamaño
de una muestra antes
de empezar una
investigación. 2 Modelos probabilísticos
Tema 53

Resumen: Teorema del límite central
• Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de
tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:

• dichos promedios tienen distribución
aproximadamente normal;

• La media de los promedios muestrales
es la misma que la de la variable original.

• La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error
estándar).

• Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

• Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

• Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande
(n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.

Distribuciones asociadas a la normal
• Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal
aparece de forma casi inevitable.

• Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas):
• X2 (chi cuadrado)
• t- student
• F-Snedecor

• Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales.
Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos.

• Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles
consultad el manual.

• Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”.
• Significación, p-valores,…


Chi cuadrado
• Tiene un sólo parámetro
denominado grados de
libertad.

• La función de densidad es
asimétrica positiva. Sólo tienen
densidad los valores positivos.

• La función de densidad se
hace más simétrica incluso
casi gausiana cuando aumenta
el número de grados de
libertad.

• Normalmente consideraremos
anómalos aquellos valores de
la variable de la “cola de la
derecha”.

T de student

• Tiene un parámetro denominado
grados de libertad.

• Cuando aumentan los grados de
libertad, más se acerca a N(0,1).

• Es simétrica con respecto al cero.

• Se consideran valores anómalos
los que se alejan de cero
(positivos o negativos).
Tema 2 : Modelos probabilísticos 57

F de Snedecor

• Tiene dos parámetros
denominados grados de
libertad.

• Sólo toma valores
positivos. Es asimétrica.

• Normalmente se consideran
valores anómalos los de la
cola de la derecha.


¿Qué hemos visto?
• En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas anteriores
• Función de probabilidad  Frec. Relativa.
• Función de densidad  histograma
• Función de distribución  diagr. Integral.
• Valor esperado  media, …
• Hay modelos de v.a. de especial importancia:
• Bernoulli
• Binomial
• Poisson
• Normal
• Propiedades geométricas
• Tipificación
• Aparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotómicas, Bernoulli) como
numéricas
• Distribuciones asociadas
– T-student
– X2
– F de Snedecor


Bioestadística

• Tema 3: Muestreo

Tema 3: Muestreo 60

• Parte de los conceptos de la teoría del muestreo han sido discutidos con
anterioridad. Aquí los repasaremos y ampliaremos. Por ejemplo, hemos
mencionado que las poblaciones están formadas por individuos, pero sería
mejor denominarlas unidades de muestreo o unidades de estudio:
• Personas, células, familias, hospitales, países…

• La población ideal que se pretende estudiar se denomina población objetivo.
• No es fácil estudiarla por completo. Aproximamos mediante muestras que den
idealmente la misma probabilidad a cada individuo de ser elegido.
• Tampoco es fácil elegir muestras de la población objetivo:
• Si llamamos por teléfono excluimos a los que no tienen.
• Si elegimos indiv. en la calle, olvidamos los que están trabajando...

• El grupo que en realidad podemos estudiar (v.g. los que tienen teléfono) se
denomina población de estudio.

Tema 3: Muestreo 61

Fuentes de sesgo
• Las poblaciones objetivo y de estudio pueden diferir en cuanto a las
variables que estudiamos.
• El nivel económico en la población de estudio es mayor que en la
objetivo,...
• Los individuos que se eligen en la calle pueden ser de mayor edad
(mayor frecuencia de jubilados p.ej.)…
• En este caso, diremos que las muestras que se elijan estarán sesgadas. Al tipo de
sesgo debido a diferencias sistemáticas entre población objetivo y población de
estudio se denomina sesgo de selección.
• Hay otras fuentes de error/sesgo
• No respuesta a encuestas embarazosas
• Consumo de drogas, violencia doméstica, prácticas poco éticas,…
• Mentir en las preguntas “delicadas”.

• Para evitar este tipo de sesgo se utilizan la técnica de respuesta
aleatorizada.

Tema 3: Muestreo 62

Técnicas de respuesta aleatorizada

• Reducen la motivación para mentir (o no responder) a las encuestas.
• ¿Si digo la verdad, se me verá el plumero…?

• ¿Cómo se hace?
Pídele que lance una moneda antes de responder y…
• Si sale cara que diga la “opción compremetida”
• (no tiene por qué avergonzarse, la culpa es de la moneda)
• Si sale cruz que diga la verdad
• (no tiene por qué avergonzarse, el encuestador no sabe si ha salido
cara o cruz)

• Aunque no podamos saber cuál es la verdad en cada
individuo, podemos hacernos una idea porcentual sobre la
población, viendo en cuánto se alejan las respuestas del 50%.

Tema 3: Muestreo 63

Ejemplo: ¿Ha tomado drogas alguna vez?
Sin respuesta 100% No Insinseros!!
aleatorizada

Con respuesa
aleatorizada Diferencia entre los que han dicho sí y los que debían hacerl
40% No por que así lo indicaba la moneda
60% Sí

¡No son mitad y mitad! * 0,6 0,5
p 0,2 20 %
El porcentaje estimado de ind. que tomó drogas 1 0,5
es:
Los que deben decir la verdad
Tema 3: Muestreo 64

Estimación
• Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una
muestra y que esperamos que sea una buena aproximación
de cierta cantidad con el mismo significado en la población
(parámetro).

• En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez
que hacíamos una práctica con muestras extraídas de una
población y suponíamos que las medias, etc… eran próximas
de las de la población.

• Para la media de una población:
• “El mejor” es la media de la muestra.

• Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable:
• “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.

Tema 3: Muestreo 65

¿Es útil conocer la distribución de un
estimador?

• Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que
ya tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).
• Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras
“grandes”, la media muestral es:
• aproximadamente normal,
EE
• con la misma media y, n
• desviación típica mucho menor (error típico/estándar)
• Es decir si por ejemplo μ=60 y σ=5, y obtenemos muestras de
tamaño n=100,
• La desv. típica de la media muestral (error estándar) es
EE=5/raiz(100)=0,5
• como la media muestral es aproximadamente normal, el 95% de los
estudios con muestras ofrecerían estimaciones entre 60 1
• Dicho de otra manera, al hacer un estudio tenemos una confianza del
95% de que la verdadera media esté a una distancia de 1.
Tema 3: Muestreo 66

• En el ejemplo anterior la situación no era muy
realista, pues como de todas maneras no conozco
σ desconoceré el intervalo exacto para μ.

• Sin embargo también hay estimadores para σ y
puedo usarlo como aproximación.

• Para tener una idea intuitiva, analicemos el
siguiente ejemplo. Nos servirá como introducción
a la estimación puntual y por intervalos de
confianza.

Tema 3: Muestreo 67

• Ejemplo: Una muestra de n=100 individuos de una
población tiene media de peso 60 kg y desviación 5kg.

• Dichas cantidades pueden considerarse como aproximaciones
(estimaciones puntuales)
• 60 kg estima a μ
• 5 kg estima a σ
• 5/raiz(n)= 0,5 estima el error estándar (típico) EE
– Estas son las llamadas estimaciones puntuales: un número concreto
calculado sobre una muestra es aproximación de un parámetro.

• Una estimación por intervalo de confianza es una que ofrece un intervalo
como respuesta. Además podemos asignarle una probabilidad aproximada
que mida nuestra confianza en la respuesta:

• Hay una confianza del 68% de que μ esté en 60 0,5
• Hay una confianza del 95% de que μ esté en 60 1.

Tema 3: Muestreo 68

Estimación puntual y por intervalos

• Se denomina estimación puntual de un parámetro al ofrecido por
el estimador sobre una muestra.
• Se denomina estimación confidencial o intervalo de confianza
para un nivel de confianza 1-α dado, a un intervalo que ha sido
construido de tal manera que con frecuencia 1-α realmente
contiene al parámetro.
• Obsérvese que la probabilidad de error (no contener al parámetro) es α.
• En el siguiente tema se llamará prob. de error de tipo I o nivel de
significación.
• Valores típicos: α=0,10 ; 0,05 ; 0,01

• En general el tamaño del intervalo disminuye con el tamaño muestral y
aumenta con 1-α.

• En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala:
• La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta.
• La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.
Tema 3: Muestreo 69

Aplicación
• Al final del tema 2 dejamos
Descriptiv os para Número de hijos
sin interpretar parte de los
resultados.
Estadístico Error típ.
Media 1,90 ,045
Intervalo de Límite
confianza para la inferior
1,81 • ¿Sabrías interpretar lo que
media al 95% Límite falta por sombrear?
superior 1,99

Media recortada al 5%
1,75 • ¿Puedes dar un intervalo de
confianza para la media al
Mediana 2,00 68% de confianza?
Varianza 3,114
Desv. típ. 1,765
Mínimo
Máximo
0
• Observa la asimetría.
8
Rango 8
¿Crees probable que la
Amplitud intercuartil asimetría en la población
3,00 pueda ser cero ya que la
obtenida en la muestra es
Asimetría 1,034 ,063
aprox. 1?
Curtosis 1,060 ,126
Tema 3: Muestreo 70

¿Qué hemos visto?
• Sesgo de selección
• Población objetivo
• Población de estudio
• Otros sesgos
• Técnica de respuesta aleatorizada
• Estimación
• Estimador
– Estimación puntual
– Error estándar
• Estimación confidencial
• Nivel de confianza 1-α

Tema 3: Muestreo 71

CONCEPTO DE ESTIMACIÓN

Un estimador puntual… Difiere del verdadero valor

Es deseable acompañar la estimación de
Por lo tanto…
alguna medida posible de error

DEFINICIÓN DE ERROR ESTÁNDAR

Diferencia entre el valor probable y los valores
reales de la variable dependiente

TIPOS DE ERROR ESTÁNDAR

 ALEATORIO
El error estándar puede
ser de dos tipos
 SISTEMÁTICO

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Un intervalo
Asociado a cada
estimación siempre
hay
Una medida de confianza

DEFINICIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA

Espacio que tiene una cierta probabilidad de
contener el verdadero valor del parámetro
desconocido

MEDIDA DE CONFIANZA

Coeficiente de
confianza = 1- α

Nivel de
confianza = 100*(1- α)%

FÓRMULA DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Factor relacionado
Parámetro: Media Poblacional Error Estándar
con la confianza

sn 1 sn 1
Estimo IC 95%
IC95% x tn 1 x tn 1
n n
Nivel de
confianza
Límites de confianza

FÓRMULA DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

Parámetro: Prevalencia Poblacional Error Estándar

p (1 p) p (1 p)
IC 95%
IC95% p z /2 p z /2
n n
Nivel de confianza
Límites de confianza

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a) P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

81

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a) P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

82

3 Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución
N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
p(µ−2σ ≤ X ≤ µ+2σ)
p(µ−σ ≤ X ≤ µ+σ)

83

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

84

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

85
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