Estructura de Datos - árboles y grafos

ESTRUCTURA DE
DATOS
Representación de
Árboles y Grafos
Miguel Angel Martínez Rodríguez

ÁRBOLES
Descripción:
Es una estructura de datos no-lineal y dinámica que
almacena elementos.

¿POR QUÉ?
No-lineal:
Puesto que a cada elemento del árbol le pueden seguir o no
varios elementos.
Dinámica:
Puesto que la estructura del árbol puede cambiar durante la
ejecución del programa.

DEFINICIÓN
Es una estructura jerárquica aplicada sobre una colección de
elementos u objetos llamados nodos; uno de los cuales es
conocido como raíz y creando una referencia de parentesco.

REPRESENTACIÓN
DE GRÁFICAS
a) Diagrama de Venn
b) Anidación de paréntesis.
c) Notación decimal de Dewey.

REPRESENTACIÓN
DE GRÁFICAS
d) Notación Indentada
e) Grafos

CARACTERISTICAS
Árbol que no es vacío, tiene un único nodo raíz.
Un nodo X es hijo de Y, si es descendiente directo de este.
Un nodo X es padre de Y, si es antecesor directo de este.
Nodos hermanos, descendientes directos de un nodo padre.
Nodo terminal u hoja, aquel que no tiene ramificaciones.
Nodo interior, aquel que no es raíz, terminal u hoja.

CARACTERISTICAS
Grado, número de descendientes directos de un determinado
nodo.
Grado del árbol, es el máximo grado de todos los nodos.
Nivel, número de arcos que deben ser recorridos para llegar a
un determinado nodo.
Altura, máximo número de niveles del árbol.

LONGITUD DE
CAMINO INTERNO
Es la suma de las longitudes de camino de todos los
nodos del árbol.
FORMULA;
Donde;
i: representa el nivel del árbol.
h: representa la altura del árbol.
ni: representa el número de nodos en cada nivel.

MEDIA DE LA LONGITUD
DE CAMINO INTERNO
Se calcula dividiendo la LCI entre el número de
nodos del árbol.
FORMULA;
Donde;
n: representa el número total de nodos del árbol.

EJEMPLO
Determinar del siguiente árbol;
O Longitud del Camino Interno.
O Media de la Longitud de Camino Interno.
LCI= (1*1) + (2*2) + (2*3) + (2*4)
LCI= 1 + 4 + 6 + 8
LCI= 19
LCIM= 19/ 7
LCIM= 2.714

NODO ESPECIAL
Tienen como objetivo reemplazar las ramas vacías o nulas del
árbol, no pueden tener descendientes y normalmente se
representan con la forma de un “cuadrado”.
A continuación se presenta un árbol con nodos especiales:
Nodo Especial
Nodo Especial

CONCEPTO DE
ÁRBOL EXTENDIDO
Es aquel en el que el número de hijos de cada nodo es
igual al grado del árbol.
Si alguno de los nodos del árbol no cumple esta
condición entonces deben incorporarse al mismo nodos
especiales, tantos como sea necesario para satisfacer la
condición.

Es la suma de las longitudes de camino de todos los nodos
especiales del árbol.
FORMULA;
Donde;
i: representa el nivel del árbol.
h: representa la altura del árbol.
nei: representa el número de nodos especiales en el nivel i.
i comienza desde el nivel 2.
LONGITUD DE
CAMINO EXTERNO

MEDIA DE LA LONGITUD
DE CAMINO EXTERNO
Se calcula dividiendo la LCE entre el número de nodos
especiales del árbol.
FORMULA;
Donde;
ne: representa el número total de nodos especiales del
árbol.

EJEMPLO
Determinar del siguiente árbol;
O Longitud del Camino Externo.
O Media de la Longitud de Camino Externo.
LCE= (2*3) + (4*4)
LCE= 6 + 16
LCE= 22
LCEM= 22/ 6
LCEM= 3.666

ÁRBOLES BINARIOS
Son árboles ordenados de grado 2.
En un árbol binario cada nodo puede tener como
máximo dos subárboles y siempre es necesario distinguir
entre el subárbol izquierdo y el subárbol derecho.

ÁRBOLES BINARIOS
DISTINTOS
Son aquellos en los cuales, sus estructuras son diferentes.

ÁRBOLES BINARIOS
SIMILARES
Son aquellos en los cuales, sus estructuras son idénticas,
pero la información que contienen sus nodos difieren
entre sí.

ÁRBOLES BINARIOS
EQUIVALENTES
Se definen como aquellos que son similares y
además los nodos contienen la misma información.

ÁRBOLES BINARIOS
COMPLETOS
Árbol en el que todos sus nodos, excepto los del
ultimo nivel, tienen dos hijos: el subárbol izquierdo
y el subárbol derecho.

NODOS DE UN ÁRBOL
BINARIO COMPLETO
Se puede calcular el número de nodos de un árbol
binario completo de altura h.
FORMULA;
Donde;
ABC: significa Árbol Binario Completo.
h: es la altura del árbol.
NÚMERO DE
NODOSABC = (2^h)-1

EJEMPLO
Determinar el número de nodos del siguiente
árbol binario completo.
NN= (2^3) – 1
NN= 8 – 1
NN= 7

REPRESENTACIÓN DE
ÁRBOLES GENERALES
COMO BINARIOS
Existen tres pasos que se deben aplicar para la
conversión del árbol general al árbol binario.

PASO 1 Y 2
1) Enlazar los hijos de
cada nodo en forma
horizontal (los
hermanos).
2) Enlazar en forma
vertical el nodo padre
con el hijo que se
encuentra más a la
izquierda. Además,
debe eliminarse el
vinculo de ese padre
con el resto de sus
hijos.

PASO 3
Rotar el diagrama resultante, aproximadamente 45 grados
hacia la izquierda, y así se obtendrá el árbol binario
correspondientes.

CONDICIONES A CUMPLIR
Si la rama de la derecha de cada nodo, excepto el nodo raíz, es
distinta del vacío, se encuentra un nodo que era hermano de
este en el árbol.
Por ejemplo en la Figura A en comparación con la Figura C:
C era hermano de B.
D era hermano de C.
D era hermano de B.
E y F eran hermanos.
M y N eran hermanos.
H, I, J y K eran hermanos.

Si la rama izquierda de cada nodo (si esta es distinto del vacío),
se encuentra un nodo que era hijo de éste en el árbol general.
Por ejemplo en la Figura A en comparación con la Figura C):
E era hijo de B.
F era hijo de B.
F era hermano de E.
B, C y D era hijos de A.
M y N eran hijos de G.
G era hijo de C.
CONDICIONES A CUMPLIR

REPRESENTACIÓN DE UN
BOSQUE COMO ÁRBOL
BINARIO
Un bosque representa un conjunto normalmente
ordenado de uno o más árboles generales.

PASOS
1)Enlazar de forma horizontal las raíces de los distintos árboles
generales.
2)Enlazarse los hijos de cada nodo en forma horizontal.
3)Enlazarse en forma vertical el nodo padre con el hijo que se
encuentra más a la izquierda. Además se elimina el vinculo del
padre con el resto del sus hijos.
4)Por ultimo debe rotarse el diagrama resultante aproximadamente
45° hacia la izquierda.

GRÁFICAS
Es una estructura de datos que permite representar
diferentes tipos de relaciones entre los objetos.

ELEMENTOS DE LAS
GRÁFICAS
NODOS:
También conocidos como vértices; almacenan información del
objeto.
ARCOS:
También llamados aristas; conectan un vértice con otro y
representan la relación entre dicha información.

DEFINICIÓN
Una gráfica G consta de dos conjuntos: V(G) y A(G).
Gráfica= (V, A)
V: simboliza el conjunto de vértices.
A: es el conjunto de aristas.

CONCEPTOS
GRADO DE UN NODO
Es el número de aristas que apuntan al vértice.
Sino tiene aristas, es un vértice aislado.
LAZO O BUCLE
Es una arista que conecta a un nodo consigo.
CAMINO
Secuencia de n vértices que se debe seguir para llegar del nodo
origen al nodo destino.

CAMINO CERRADO
Es cerrado cuando el primer y último nodo son iguales.
CAMINO SIMPLE
Si todos sus nodos son distintos, con excepción del primero y el
segundo.
CICLO
Es un camino simple cerrado de longitud 3 o mayor.
CONCEPTOS

GRÁFICA CONEXA
Si existe un camino simple entre dos de sus nodos cualesquiera.
GRÁFICA ÁRBOL
Cuando es una grafica conexa sin ciclos.
GRÁFICA COMPLETA
Si cada vértice es adyacente a todos los demás vértices.
CONCEPTOS

GRÁFICA ETIQUETADA
Cuando sus aristas tienen un valor asignado.
MULTIGRÁFICA
Si al menos dos de sus vértices están conectados por dos aristas.
SUBGRÁFICA
Donde cada arista prima es incidente con el vértice primo.
G= (V, A); G`= (V`, A`)
CONCEPTOS

En la gráfica a existe un lazo o bucle en el
vértice d.
Es decir a = (d, d).
OTROS CONCEPTOS

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