Etnomatematica Modulo Inicial

Serie: Interculturalidad y Educación

Hugo Sierra Valdivia

Etnomatemática Andina en Educación Matemática

SUMARIO

Pág.

Prólogo 02

1. Etnomatemática y educación matemática
03

1.1 El enfoque intercultural en la reforma educativa del Perú.
03
1.2 Interculturalidad en el área de matemática.
04

2. Las ideas fundamentales de soporte a la etnomatematica en la naturaleza de la 06
matemática y las metas de la educación.

2.1 ¿Cómo conceptualizar etnociencia?, ¿y etnomatemática?
06
2.2 Relación Etnomatemática – Matemática.
07
2.3 Relación Etnomatemática – Educación Matemática.
09

3. Primero etnogeometría para seguir con etnomatemática
11
3.1 Introducción
11
3.2 ¿Qué es etnomatemática?
11
3.3 ¿Qué es la etnogeometría?
14
3.4 Conclusión
17

4. Conceptos claves del pensamiento matemático andino: Yupay – Número
19

4.1 Sistemas de numeración.
19
4.2 Sugerencias metodológicas.
24

5. Khipu – Signos 27

5.1 Introducción.
27
5.2 Numerología andina: sillares de la filosofía cosmológica andina 27
5.3 Génesis andino 28
5.4 Ley de relatividad andina.
30
5.5 Ley de analogía.
31

2


 Primera cualidad.
31
 Segunda cualidad.
32
 Tercera cualidad.
35
 Cuarta cualidad.
37
 Quinta cualidad.
37
5.6 Sugerencias metodológicas
39

6. El mundo de las Mandalas
41

6.1 La Mandala: un fenómeno multicultural 44
 Asia. 44
 Países árabes. 45
 Europa.
45
 Australia.
45
 América.
45
6.2 Sugerencias metodológicas.
46

PRÓLOGO
“El hombre calcula según su cultura”
White, 1947

No considerar esta memoria, equivaldría por un lado a negarnos la
posibilidad de pensar y de vivir de un modo distinto; y por el otro, a negar la
naturaleza de una lógica distinta en la que se desarrollan nuestras culturas.

Este trabajo es probablemente insólito y quizás logre una apertura a lo que
nosotros denominamos “la lógica del otro”, importante porque busca
conciliar la matemática occidental y la matemática andina entendidas
ambas como etnomatemáticas de pueblos y culturas distintas pero no
antagónicas. Aborda la etnomatematica andina desde una perspectiva
cosmológica, filosófica, antropológica y religiosa traducida en la dimensión
curricular, metodológica y didáctica de la misma.

Con esta antología se demuestra una rigurosidad poco usual en
publicaciones sobre etnomatematica, contiene ideas subversivas en el
pensamiento, contraviene lo que usualmente es aceptada como verdad
única y reconocida universalmente, se rechaza la hegemonía de la visión

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eurocéntrica del conocimiento matemático y busca el respeto y el diálogo
que debe existir entre dos culturas partir de los conocimientos regionales y
su forma de comprensión del mundo.

Se busca impregnar en las lógicas y juicios distintos, que existe una
matemática no “convencional” subyacente en las mentes de hombres y
mujeres, niñas y niños andinos. Se procura aceptar que si la cultura
occidental tiene científicos la cultura andina tiene sabios, si la madre de las
ciencias en la cultura occidental es la filosofía, en la concepción filosófica
andina es la etnomatematica entendida como etnociencia. Entender esos
principios naturales en la relación del hombre con el cosmos es y debe ser
el punto de partida de nuestra acción educativa en nuestra variada realidad
andina.

En esa línea de pensamiento, esta tentativa de aproximarnos e interpretar
la realidad andina a partir de la etnomatematica, está abierta, esperando
que mentes brillantes como las vuestras sigan investigando, profundizando
y proclamando este conocimiento sagrado y extraordinario denominado
etnomatematica andina.


ETNOMATEMÁTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA

1.1 EL ENFOQUE INTERCULTURAL EN LA REFORMA EDUCATIVA DEL PERÚ.

C
on los lineamientos de la
política nacional de
educación intercultural y
educación bilingüe intercultural
publicados en 1991, en el Perú se
puso en marcha un cambio de
perspectiva. Desde entonces la
educación intercultural no se
refiere únicamente a los grupos
indígenas, sino que se convierte
en un principio que guía la
educación de todos los peruanos:
“La interculturalidad deberá
constituir el principio rector de
todo el sistema educativo nacional. En tal sentido, la educación de todos los
peruanos será intercultural”. (Proyecto Educativo Nacional al 2021). El concepto se
ha ampliado de una orientación intercultural limitada al marco de la educación
bilingüe a una orientación intercultural general de la educación inicial y primaria.

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Los términos interculturalidad, multiculturalidad o pluriculturalidad se encuentran en
los objetivos generales de la educación de los programas de enseñanza de
primaria. Se emplean en tres sentidos:

• Descriptivo, como denominación de las condiciones sociales, culturales y
lingüísticas del país. El Perú es un país multicultural y multiétnico; diversidad
étnica, cultural y lingüística de la sociedad peruana.

• Normativo, para formular los objetivos generales de la educación. El
tratamiento de la interculturalidad nos lleva a preparar al niño y a la niña para
vivir en una sociedad dividida en numerosos estratos y a comprenderla a
través de la integración en la diferenciación; la educación debe concordar con
nuestra realidad de país multicultural y multiétnico; la diversidad cultural
debiéramos estimarla como una riqueza; el niño debe afianzar su sentido de
pertenencia a su cultura y al Perú colmo país diverso donde coexisten culturas
igualmente valiosas.

• Didáctico – metódico, como dimensión pedagógica (contenido transversal) o
como principio fundamental para todas las áreas, grados y ciclos de estudio: el
contenido transversal de interculturalidad constituye un principio rector del
sistema educativo, y se entiende como un proceso dinámico que permite
construir relaciones más equilibradas basadas en el respeto y el diálogo entre
los actores de diversos universos sociales y culturales coexistentes en el país.

El término general de interculturalidad se empleó en los términos de enseñanza tal
como se formula en la política nacional educativa: Perú se describe como un país
multicultural y multilingüe que se caracteriza por su variedad de culturas, y ello
deberá ser considerado en clase.

Sin embargo, no sólo se presenta un cuadro armónico de esta realidad, sino que se
pone énfasis en que la realidad social del Perú muestra varios problemas y
conflictos: pobreza, discriminación, desigualdad social, violencia, racismo
etnocentrismo, prejuicios, estereotipos, discriminación étnica. La meta de la
educación intercultural es contribuir a la solución de conflictos sociales y culturales,
contrarrestar actitudes racistas y discriminatorias que se dan en la vida cotidiana.

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Con esta concepción de la educación intercultural para todos los peruanos,
orientada a la solución de conflictos y problemas, los programas de enseñanza del
país son, en comparación con otros países latinoamericanos, notablemente
elaborados, innovadores y consecuentes.

1.2 INTERCULTURALIDAD EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA.

La adaptación de los contenidos y métodos de las lecciones de matemática al
contexto cultural usualmente abarca una amplia gama de aspectos:

• Aspectos socioculturales: las formas usadas en medidas y pesos, la
medición del tiempo y el entendimiento de éste, la forma como se percibe el
espacio y la distribución del espacio, la función del cálculo en la vida cotidiana.

• Aspectos lingüísticos: la construcción de conceptos numéricos y de palabras
para designar los números, la terminología matemática, el vocabulario
empleado para las medidas de masa y peso.

• Aspectos semióticos: la representación de cantidades en forma gráfica
icónica y numérica; la organización del tiempo y del espacio.

• Aspectos aritmético-geométricos: la forma de los números (conjuntos,
series, rangos), los métodos de apoyo para la representación de cantidades,
los algoritmos de las operaciones matemáticas, las formas de percepción y
reconstrucción de perspectivas.

• Aspectos de conceptualización: La teorías numéricas, la prototeorías
matemáticas, el desarrollo científico de sistemas matemáticos, entre otros.

Las intenciones interculturales se mencionan repetidas veces en los programas de
enseñanza y en lo relacionado con el área de matemática, así como en las bases
pedagógicas y los objetivos generales de la educación.

• Se espera también que los educandos reconozcan y valoren los conocimientos
matemáticos de los diferentes grupos socioculturales y a la vez se inicien en el
uso de las tecnologías modernas. (Fundamentación del área de matemática
en el DCN)

• Reconoce y valora los conocimientos matemáticos de los diferentes grupos
socioculturales y los de nuestra cultura ancestral.

C
on respecto a estos temas, en los
programas de enseñanza de
primaria hay pocas unidades
interculturales donde se cristalice
estas intenciones, aunque se pone
énfasis en el desarrollo de la clase,

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desde el punto de vista de la “vida diaria”, “situaciones concretas”, situaciones
problemáticas” y “contextualización”, así como en la utilización de la matemática
como un instrumento de comunicación.

Así podría lograrse una orientación intercultural de la clase a partir de estas bases
conceptuales, aunque sería recomendable detallar los contenidos, los temas
propuestos, y las sugerencias metodológicas para facilitar el trabajo docente.

En el contenido del programa de enseñanza para la formación docente también hay
pocas sugerencias sobre el traslado de la interculturalidad como un contenido
transversal en la clase de matemática. Debe resaltarse la incorporación de la
interculturalidad en el sentido de una orientación de la matemática a la pluralidad
lingüística y sociocultural como tema de formación docente continua. Se han
logrado muy buenas bases en la elaboración del programa correspondiente para
introducir una perspectiva intercultural en el área de matemática.

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LAS IDEAS FUNDAMENTALES DE SOPORTE A LA ETNOMATEMÁTICA EN LA
NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA Y LAS METAS DE LA EDUCACIÓN

(Ubiratan D’Ambrocio)

“Es un deber ineludible cooperar con el respeto, la solidaridad de
y, con todos los credos humanos que tienen los mismos derechos
para la preservación de todos éstos géneros. Éste es el ser de la
ética de la diversidad: el respeto para el otro (el diferente); la
solidaridad con el otro; la cooperación con el otro. Esto lleva a la
calidad de vida y dignidad por la humanidad entera.”

2.1 ¿CÓMO CONCEPTUALIZAR ETNOCIENCIA?
¿Y ETNOMATEMÁTICA?

Etnociencias son los cuerpos de conocimiento establecidos como sistemas de
explicaciones y como maneras de hacer, qué han sido acumulados a través de las
generaciones en ambientes naturales y culturales distintos.

Esto no difiere de los conceptos
actuales de Ciencia y Tecnología,
salvo el énfasis cedido
reconociendo la especificidad que
es el resultado del ambiente natural
y cultural.

Etnomatemáticas son estos cuerpos
de conocimiento derivados de las
prácticas cuantitativas y cualitativas,
de cómo se cuenta, pesa y mide,
compara, ordena y clasifica.

Los dos tienen obviamente una relación de simbiótica. El rechazo y exclusión de las
culturas de la periferia, tan común en el proceso colonial, todavía prevalece en la
sociedad moderna. Grandes sectores de la población no tienen acceso a una
completa ciudadanía. Algunos no tienen acceso a las necesidades básicas para la
supervivencia. Ésta es la situación en la mayor parte del mundo e incluso ocurre en
la mayoría de las naciones más desarrolladas y ricas.

Para construir una civilización que rechaza falta de equidad, arrogancia y fanatismo,
la educación debe prestar atención especial a la redención de las culturas que han
sido subordinadas durante mucho tiempo y deben dar prioridad al fortalecimiento de
los sectores excluidos de sociedades.

La Etnomatemática contribuye a restaurar la dignidad cultural y ofrece las
herramientas intelectuales para el ejercicio de ciudadanía. La Etnomatemática se
reconoce como una práctica escolar válida que refuerza la creatividad, los
esfuerzos, el mismo-respeto cultural y ofrece una visión amplia de la humanidad
con la tendencia creciente hacia el multiculturalismo o pluriculturalismo.

En la vida cotidiana, la Etnomatemática se reconoce cada vez más como sistemas
de conocimiento que ofrece la posibilidad de una relación más favorable y

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armoniosa en la conducta humana y entre los humanos y naturaleza. El rechazo del
conocimiento que afecta a las poblaciones es de la misma naturaleza que el
rechazo del conocimiento a los individuos, particularmente los niños. Proponer
direcciones para neutralizar prácticas inculcadas es el desafío mayor de los
educadores, particularmente de Educadores en Matemática.

Sobre la Historia de Matemática, hay necesidad de una historiografía más amplia.
La historia de Matemática apenas
puede distinguirse de la larga
historia de la conducta humana en
contextos regionales definidos y
puede reconocerse la dinámica de
intercambios de la población. Ésta
es una manera de identificar el
origen de exclusión de las
poblaciones y las civilizaciones
enteras a través del rechazo del
conocimiento que permite la
propuesta de medidas correctivas.
La Etnomatemática permite un
mejor entendimiento de la
dinámica cultural bajo la que el
conocimiento se genera. La historiografía propuesta puede verse como una
transdisciplinaridad y transculturalidad que se acerca a la Historia de Matemática.

2.2 Relación Etnomatemática – Matemática.

En este apartado nos ocuparemos de la relación entre etnomatemática y
matemática, entendida esta última como la disciplina académica, formal y
profesional, que en muchos artículos etnomatemáticos se llama matemática
occidental y que por abreviatura llamaremos simplemente Matemática. Según
Borba en un enfoque etnomatemático, la matemática académica es sólo una entre
muchas matemáticas. La matemática producida en la academia es también ethno
porque también es producida en un contexto académico con sus propios valores,
rituales y códigos especiales, de la misma manera que otras {etno} matemáticas.

Como vimos en la sección anterior, la matemática es calificada desde la
etnomatemática como un instrumento de opresión, con el que la cultura occidental
ha impuesto (muchas veces por la fuerza) su cosmovisión en gran parte del
planeta. Uno de los pilares claves de esta cosmovisión es el racionalismo, que
encuentra en la Matemática su paradigma.

A partir de registros históricos encontrados, la etnomatemática asegura que desde
la época griega el racionalismo lo ha sido usado como instrumento de dominación,
por ello hace una crítica a la visión imperante del pensamiento griego como único
tipo de racionalidad posible, no sólo porque existen otros tipos de racionalidad, sino
porque, según D'Ambrosio, crea una distinción entre la Matemática y las
matemáticas practicadas por grupos culturales identificables, estas últimas que no
responden al concepto de rigor y formalismo de las matemáticas académicas Las
matemáticas desde los griegos (y según D'Ambrosio a causa de ellos) han sido
reservadas para una elite selecta, que actualmente es europea, blanca y masculina,

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y que se dice poseedora del verdadero conocimiento, en desmedro de otras formas
de este, como los desarrollos matemáticos de Egipto, Mesopotamia, China y
América precolombina. Se considera entonces que las matemáticas griegas y el
racionalismo son intrínsecamente opresivos y eurocentristas, por lo que una lucha
(política) contra la opresión, debe contemplar una lucha (epistemológica) contra el
racionalismo.

Rowlands y Carson plantean una contradicción en el discurso etnomatemático, por
una parte se objeta la herencia griega porque desconoce otras formas de
conocimiento, pero en algunos estudios etnomatemáticos se reconocen
antecedentes de culturas como la egipcia y la babilónica en la propia matemática
griega, por lo que entonces el legado griego incluiría parte de esos desarrollos
supuestamente olvidados.

Si bien es cierto que la Matemática, como lo dice Borba, es una forma de
etnomatemática, no es cierto que sea una entre muchas y con el mismo valor. No
puede ser así, ya que es producto del intercambio entre muchas culturas a lo largo
de la historia. Rowlands y Carson anotan que el mundo ha adoptado las
convenciones Matemáticas por la misma razón que lo hizo occidente, porque han
sido examinadas, probadas y refinadas con el crisol de la experiencia práctica, que
no se entrega a la pasión o a la persuasión ideológica.

Aunque se acepta el interés de la etnomatemática por reconocer que las distintas
prácticas de cada cultura son realizadas con un grado de intencionalidad y
conciencia, es decir obedecen a un pensamiento matemático, estas prácticas están
inmersas dentro de un entramado mítico propio en el que no se puede reconocer
claramente una reflexión sobre el conocimiento matemático y su estructura; este
carácter de abstracción nos viene dado por los griegos y su estudio de la
geometría, realizado con el ánimo de inferir y no sólo como el desarrollo desde
necesidades prácticas de hacer frente a una situación cotidiana, este hecho no es
advertido por D'Ambrosio. Aclaramos que no estamos diciendo que culturas no-
occidentales carecieran de este carácter, sino que sólo tenemos pruebas
provenientes de los griegos.

Finalmente hay que hacer dos precisiones, el
estudio crítico que realizan Rowlands y
Carson se refiere exclusivamente a los usos
de la etnomatemática en la enseñanza de las
matemáticas, es decir, no habla (por lo
menos explícitamente) de la etnomatemática
como programa de investigación en
epistemología e historia. Es más, no niega su
pertinencia y reconoce que ha introducido
sensibilidad cultural y respeto por las
diferencias culturales.

De otra parte, los propios Ubiratan D'Ambrosio y Marcia Ascher niegan un interés
por desplazar a la Matemática, y afirman que se necesitan más y mejores
matemáticas. D'Ambrosio aclara que la etnomatemática no se preocupa tanto por la
matemática (él mismo no ve futuro en denegar los éxitos obtenidos en la tecnología
y ciencia desarrollada siguiendo el pensamiento griego), sino por la manera en que
el conocimiento es construido, reconociendo que el conocimiento matemático es

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universal. No importa en qué lugar ni en qué tiempo estemos ubicados, los
triángulos equiláteros tienen ángulos iguales, pero que su interés está en cómo se
producen y usan las matemáticas, siendo esto sí muy particular.

2.3 Relación Etnomatemática – Educación Matemática.

La aparición de los planteamientos etnomatemáticos generó y genera un remezón y
una reflexión en los terrenos de la educación matemática, por varios aspectos:

a) Son puestos en tela de juicio los métodos generalmente promovidos en la escuela
para la construcción de conceptos y realización de procedimientos; en distintos
estudios se documentan y analizan procedimientos alternativos en comunidades no
escolarizadas

b) Se ha venido considerando una invarianza cultural en la enseñanza de las
matemáticas, suponiendo que no había diferencias de aprendizaje atribuibles a la
cultura, por ello no importaba que existiese un único currículo con el cual abordar el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Estudios antropológicos sobre las
concepciones del espacio y del tiempo, así como investigaciones sobre errores en
el aprendizaje de las matemáticas han colaborado para reevaluar dicha invarianza.

Se plantea entonces la inclusión de elementos culturales en la enseñanza de las
matemáticas; esta inclusión se propone de diversas formas:

• La adecuación de contextos y situaciones de aplicación del conocimiento
matemático, de tal manera que se logre relacionar la vida diaria de los
estudiantes con la matemática.

• La inclusión de tópicos culturales en los temas a estudiar. Por ejemplo, el
tejido de canastos formaría parte de los contenidos del área de matemática de
cierta comunidad, siendo objeto de enseñanza y evaluación. Aquí surge
nuevamente la pregunta ¿Para qué enseñar en la escuela cosas que se
aprenden fuera de ella?

• El uso por parte del profesor de formas de enseñanza y lenguajes propios del
grupo cultural, también el uso de elementos autóctonos, por ejemplo la
yupana, que pueden enriquecer las acciones de enseñanza.

Todo lo anterior concluye en una consideración de la etnomatemática como una
propuesta pedagógica. Recordemos que, fundamentalmente la etnomatemática es
un programa de investigación en la historia y en la epistemología de las
matemáticas, y que como bien apunta René Thom Toda educación matemática
descansa en una filosofía de las matemáticas y en tanto esa filosofía valore el
trabajo matemático de distintas culturas a través del tiempo, la educación
relacionada se comportará igual.

La etnomatemática tiene discrepancias con la manera en que se ha presentado la
historia de la matemática en distintos escenarios, particularmente en la escuela. Por
lo que hace una fuerte crítica a la presentación del desarrollo histórico cultural, ya
que según Adán Pari generalmente se asume un modelo lineal, o uno jerárquico.

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En el primero se interpreta la diversidad del pensamiento como un proceso de
diferenciación, modernización y perfeccionamiento en el cálculo.

Desde esta perspectiva, las invenciones de una cultura se van sumando al acervo
matemático. El cero de la India, por ejemplo, llegó a Arabia, donde se unió con la
matemática griega. Esta matemática llegó a Europa y allí tomó su carácter
científico. Se puede pensar el conocimiento matemático como un único edificio, en
el que un piso fue colocado por una cultura, el siguiente por otra, y así hasta que
llegamos a un piso en el que se toma el método científico, de allí en adelante los
pisos son construidos por una sola comunidad: los matemáticos profesionales. El
desarrollo sería evolutivo, lineal y todos tendríamos la misma matemática, aunque
haya sido construida en un intercambio cultural.

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PRIMERO ETNOGEOMETRÍA
PARA SEGUIR CON ETNOMATEMÁTICA

Oscar Pacheco Ríos
cepdi@movinet-bo.com
Centro Pedagógico de
Informática
Santa Cruz de la Sierra - Bolivia

3.1 INTRODUCCIÓN

En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva
corriente del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su
cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros
como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemática. Después de leer a
los más prominentes impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen
razón, pero, nosotros consideramos que antes que la propia Etnomatemática esta la
Ethnogeometría como la antesala de la primera.

3.2 ¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA?

En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Etnogeometría,
consideramos que debemos ver, qué es Etnomatemática. Aunque hay una lista larga
de autores que intentan dar una definición exacta, lo haremos según lo señala el
Prof. D'Ambrosio, por ser uno de los precursores más activos y consecuentes y
según el resumen analítico del Prof. neozelandés Bill Barton. "Las diferentes formas
de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos
Etnomatemática".

Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se
encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los modos de matematización
que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las
puede denominar ETNOMATEMÁTICA.

El reconocido Ubiratan D'Ambrosio afirma que
"La ETNOMATEMÁTICA en mi concepción es
etno + matema + tica, eso es, SU ENTORNO
NATURAL y CULTURAL [=ETNO]
EXPLICAR, ENSEÑAR, COMPRENDER,
MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se
débrouiller" [=MATEMA] LAS ARTES,
TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS]”.

Según esta explicación, "ETNO" es el
"ENTORNO NATURAL y CULTURAL" del
hombre en una forma atemporal, es decir, no
se refiere al hombre primitivo en su condición
de cazador o recolector, se refiere al hombre

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de todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto
circundante y circunstancial.

Si, "MATEMA" está homologada con "LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS,
ESTILOS "To cope with" (para cubrir con o abarcar), “se débrouiller" (manejar o
dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión o
exultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético,
gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades.

"TICAS" es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir,
cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s)
persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevo
conocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograr
sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o
negativamente.

El mismo creador del concepto antes interpretado y según Eduardo Sebastiani
Ferreira dirá que la Matemática es una parte de la Etnomatemática, donde dentro de
la Educación, "la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática", por
tanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática.

Al parecer Bill Barton, se preocupa más con esto último y él, después de estudiar a
los autores citados en su trabajo, aunque observa que D'Ambrosio se ubica más en
la dimensión socio-antropológica, considera que son cuatro, los términos críticos
para la definición: Matemática, Matemático, Nosotros y Cultura.

• "La Matemática son los conceptos y las prácticas en el trabajo de esa gente
quiénes se llaman a sí mismos matemáticos."

• "El Matemático se refiere a esos conceptos y a las prácticas, que se
identifican como si estuvieran relacionadas en alguna manera a la
Matemática".

"El matemático y la Matemática ambos son culturalmente específicos porque
sus referentes dependen de quiénes usan los términos. Es posible, que por
ejemplo, que algunos matemáticos discrepen sobre lo qué es legítimamente
Matemática."

• "En el "Nosotros", usamos la definición como un grupo, quienes comparten
una comprensión de Matemática y quienes están interesados en
Etnomatemática. Que el grupo incluirá comúnmente matemáticos, quienes
toman su propia definición, pero incluirán también a otros, quienes han
experimentado Matemática como una categoría en su educación propia.
Cuando una Cultura étnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos
referimos a los miembros de una cultura, que contiene la categoría de
matemáticos. El uso puntual del pronombre hace que el etnomatemático tenga
un punto de vista particular".

• "Cultura” se toma para tener el significado usado por D'Ambrosio, que se
refiere al grupo de gente quien "desarrolló prácticas, conocimiento, y, en
particular, jergas y códigos, que claramente comprende la manera como ellos
matematizan, es decir: es la manera que ellos cuentan, miden, relacionan y

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clasifican, e infieren" (D'Ambrosio 1984). Tal grupo puede ser un grupo étnico,
un grupo nacional, un grupo histórico, o un grupo social dentro de una cultura
más amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de
comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de
Etnomatemática si el conjunto es descriptible con exactitud."

Habiendo definido los términos, hay cuatro implicaciones de la definición:

a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o
historia

b) La definición en sí misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es
específico.

c) La práctica que describe es también culturalmente específica.

d) Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática".

Ya no analizamos estas cuatro implicaciones, pues, ello equivaldría a elaborar un
tratamiento específico sólo de la Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo por
ahora.

"En la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático,
como los otros lo ven. "... la Etnomatemática crea un puente entre la Matemática y
las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas. La parte de un estudio
etnomatemático esclarecerá, por qué esas otras ideas se observan como
matemáticas, y por lo tanto por qué ellas podrían ser de interés a los matemáticos.
Tal estudio crea la posibilidad de ambas Matemáticas que provean una nueva
perspectiva sobre los conceptos o prácticas para ellas dentro de la otra cultura, y de
los matemáticos que ganan una nueva perspectiva sobre (y posiblemente nuevo
material), su propio tema...".

Consideramos que, aquí cabe como una síntesis del párrafo anterior lo que
manifiesta el mismo profesor Ubiratan D'Ambrosio: ". . .el carpintero definitivamente
trabaja con una idea Matemática; los matemáticos
quienes [arbitrariamente deciden trisecar un
ángulo usando únicamente la regla y el compás]
tratan con una idea. Para ambos es importante, y
aunque ellos son diferentes, ellos se vinculan por
una idea".

Haciendo un pequeño anticipo al siguiente
capítulo, queremos ampliar lo anterior y decir:
antes que la idea matemática, está la idea de la
forma y es esta forma la que obliga a buscar una
"unidad de medida" que luego permitirá realizar
cálculos en el caso del carpintero y en el del
geómetra de igual modo primero concibe la idea
de la abertura angular del ángulo original que
debe ser trisecado o triseccionado, luego determina la abertura del compás (usará
una medida) que le permitirá realizar el trazado respectivo. Sólo ahora podemos
decir que realizan distintos trabajos, pero vinculados por una misma idea.

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Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos
matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su
respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar,
ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir".

El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz,
relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende:

• El sistema de numeración propio.

• Las formas geométricas que se usan en la comunidad.

• Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo,
capacidad, longitud, superficie, volumen).

• Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de
inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales.

• Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos,
técnicas, e instrumentos matemáticos.".

Para finalizar este capítulo, queremos indicar que en todo lo visto hasta aquí, sólo
hemos querido tomar lo que consideramos de mayor relevancia en la
Etnomatemática, como una base para sustentar nuestra afirmación de "Primero ver
Etnogeometría para seguir con Etnomatemática", lo que intentaremos demostrar
enseguida.

3.1 ¿QUÉ ES LA ETNOGEOMETRÍA?

"... Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con
nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros
diferenciamos, entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y
entre los conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y
esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas. [Marcia Ascher].

Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular
a lo que se nos ha ocurrido llamar "Etnogeometría" y considerando que nuestra idea
tiene asidero, tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear,
el concepto semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría =
Etnogeometría como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto
cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y
de los lazos de civilización que los caracteriza".

Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos que
encierra la composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros
días, por tanto hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus
quehaceres.

Para aclarar aun más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto
biológico y natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen

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dentro de la Antropología. Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenómenos
histórico-culturales, además de los puramente naturales, se entra en la Etnología.
Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por ejemplo, Etnología vendría a ser, cada
reunión de los ICME, donde nos congregamos centenares de personas de diferentes
razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemática o su enseñanza,
lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respecto
de la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tan
numerosas tenemos, las de cada día en nuestras
comunidades e instituciones educativas, a los que
asisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fin
común, adquirir conocimientos. Esto implica que el
mundo actual tiende a hermanar a los hombres de y en
todos los confines de la Tierra, y está lejano el día en
que se discutió en las universidades de Europa, el
problema de sí los negros de África o los indios del
Nuevo Mundo tenían alma y si eran realmente
hombres.

Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticos
intentan describir el mundo matemático, como los otros
lo ven. Etnogeometría, no es el intento de describir,
cómo, las ideas se ven a través de los otros, muy al contrario, fue y es la generadora
no sólo de ideas que todos - etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanencia
permanente. Es el material que inspira a la Etnomatemática, estudiar la historia a
partir de la Geometría sea esta euclidiana o no-eucludiana.

La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puente
entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." La
universalidad de determinadas formas básicas que son parte de una Cultura también
universal. Realizar, un estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés a
los etnomatemáticos, porque partirían de realidades tangibles para luego realizar
abstracciones (formular conceptos, o crear teoremas, por ejemplo, sobre
equicomposición de poliedros, al observar, los muros de las fortalezas incaicas) con
una nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar los
conceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, por
ejemplo: que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del
Departamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá a
primera vista diremos la forma cónica de los techos y el material que los cubre.

A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar no
sólo los conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarlos
como su material de trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real con
la Matemática, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tiene
fundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más también, socio-culturales, que
han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometría, luego, a
la práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática.

Por otro lado, tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con
nuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo
esa óptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece ser
incoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos han
subyugado, que no le damos campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin

17


los símbolos numéricos que representan abstracciones (eso no implica que
prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan aparecido
detractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla, como la nueva aurora
para la enseñanza de la Matemática.

La Etnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y su entorno
natural , pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas de la civilización
antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas
(arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, de
otra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática o
Matemática, verá Etnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismo
será, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formas
anatómicas, complexión física, estatura o color, además su vestimenta, distinta y
variada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite, con diseños tejidos o
estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, pétalos o tallados
matriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas en bajorrelieve
con una policromía que muestra la riqueza espiritual de los artesanos.
Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la túnica
o el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienen
forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jóvenes
citadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones geométricas, vemos
flores de formas poligonales hojas cardioides que inspiran coordenadas polares o
helechos que generan fractales. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive,
ideológica por su aplicación), que nos
hace admirar. En todas esas
expresiones, no vemos ni percibimos
inmediatamente ideas, símbolos ni
conceptos matemáticos. Estas y éstos se
presentarán después, mediante las
abstracciones mentales que realicen, los
interesados (matemáticos o estudiosos),
es decir, se hará Etnomatemática y luego
Matemática, partiendo de la
Etnogeometría.

Tenemos otros ejemplos, en los que,
"forma, medida y cantidad" están en una
simbiosis a primera vista inseparable. Tal
el caso de la actividad comercial de los
mercados, en los que, las vendedoras
colocan sus productos formando
“montoncitos” semejantes a ortoedros, pirámides truncadas o conos, donde 2
montones (pirámides) de papa por 2 soles, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por
3 soles. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas?
Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos
singulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a
medir, pesar, contar, comparar y calcular - si, es que, a estas actividades se les
puede llamar Matemática.

La vendedora del mercado cuando está formando sus "montoncitos" crea las formas
que serán más atrayentes al posible comprador (etnogeometriza -si vale el término-),
luego determina el valor que tendrá en la venta el montoncito, a montoncitos más

18


grandes con mayor número de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos
ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades implica más ganancia
según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a pensar
si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o
de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales.

Y ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aun no conocían la simbología
numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron
sedentarios y comenzaron a tener noción del derecho
de propiedad y el academicismo no había nacido
aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la
semejanza entre dos culturas. ¿De dónde obtuvieron
los Quechuas, el concepto de "Pachatupuy"
(Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra
y, Tupuy = Medida ¿La tomarían de los egipcios?
Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de
"geometría" como resultado de su trabajo anual
empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas
al Río Nilo después de cada riada. Y como lo leímos,
nos admira, toda esa maravilla construida con unos
conocimientos básicos de Geometría y de
Arquitectura y además con una unidad de medida
arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori
podemos afirmar que, la concepción de las formas les
obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas
unidades de medida y realizar operaciones en ese
trabajo y no lo hacen partiendo de hipótesis. Parten de lo que está en su entorno.
Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos y con ellos mismos o sea la
Etnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos
entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los
egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino",
posiblemente dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y
con menos o más galerías.

Dicho de otro modo, el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre,
sin importar la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca
de la vida del hombre. Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras
palabras, luego, creemos que, es aquí donde la crítica ayudará a mejorar o retirar
esta concepción nuestra proposición. Luego, desde el punto de vista etnogeométrico.
Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global. ¿Quién podría pensar, en
la primera contemplación, en conceptos, reglas o axiomas matemáticos al visitar las
pirámides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglíficas del Valle de
Nazca? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku?

3.4 CONCLUSIÓN

Parangonando con la proposición del Prof. Ubiratan D'Ambrisio, diremos que dentro
de la Educación, la Matemática es parte de la Etnomatemática y Etnogeometría.

Para finalizar queremos manifestar que, quizá deberíamos haber puesto énfasis, sólo
en esta última parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemática a
profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometría como un primer paso. Es decir,

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partir del valor cultural que tienen las formas geométricas, para luego ir al valor
cultural de la matematización. Sin embargo como la vida continua y ella, está ligada a
los problemas no sólo socio-culturales, sino, a los socio-económicos, no podemos
quedarnos en el pasado, cuando la realidad del "sistema" nos golpea
inmisericordemente, tal como vemos en el ejemplo de la vendedora de hortalizas.

BIBLIOGRAFIA

• Ascher, Marcia. Mathematics of the Incas. Dover Publications Inc. New York 1981
• Barton, Bill. Teniendo el Sentido de la Etnomatemática. The University of
Auckland. New Zeland. 1997.
• Pacheco Ríos, Oscar. Enseñar Matemática Partiendo de Geometría. Ed. CEPDI
S.C.-Bolivia- 1993
• Santaló, L. A. Geometría No-Euclidiana. Eudeba Buenos Aires Argentina 1985

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CONCEPTOS CLAVES
DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO ANDINO

YUPAY – NÚMERO

4.1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

MONTALUISA CHASIQUIZA, Luís. 1988.
Comunidad, Escuela y Currículo.
Santiago de Chile. UNESCO / OREAL. p.
45 – 52.

Las primeras ideas desarrolladas en el campo matemático han sido la cantidad, la
proporción, la agrupación, el aumento, la disminución, la repetición, la distribución. A
partir de ellas se han tomado las medidas de tiempo, espacio y masa.

Según las circunstancias que le ha tocado vivir a cada cultura se han ido creando
términos para designar estos elementos de las matemáticas. Como ejemplo de la
manera específica de organizar las cantidades, se analizará el sistema de
numeración o la forma de numerar de algunas culturas. Ello mostrará que algunos
pueblos sólo han requerido contar hasta veinte o menos, mientras que otros han
llegado hasta millones.

Después, se presentarán algunos instrumentos utilizados por los indígenas para el
cálculo, la manera de calcular de los analfabetos y el reto que representa la
enseñanza de las matemáticas en la educación bilingüe.

Toda cultura ha
desarrollado un sistema
para cuantificar y medir los
elementos importantes para
ella.

En lo que respecta a los
números, los pueblos
indígenas han elaborado
sus sistemas de numeración
desde tiempos muy
antiguos. Para ello, han
creado palabras para cada
número, o se han ayudado
con las manos, con los pies,
y con el concepto de “veces”.

Hay culturas que han tenido un sistema de numeración de base 10 (decimal), como
la quechua; otras que han tenido un sistema de numeración de base 20 (vigesimal),
como la maya; y otras han combinado varios sistemas, tomando como referencia el
cuerpo humano.

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Es muy importante empezar a reflexionar como los números se expresan en la
lengua, para descubrir el sistema que los sustenta y así desarrollar un programa de
enseñanza de las matemáticas más adecuado.

Para ampliar la visión sobre las diferentes maneras de numeración, se harán a
continuación varios ejemplos extraídos de diferentes culturas.

Empezaremos con los números de 1 a 10 en la lengua Candoshi, pueblo indígena de
la amazonía peruana, en la lengua quechua del Ecuador y en castellano.

QUECHUA
Número CANDOSHI CASTELLANO
(Ecuador)
1 minamta shuc uno
2 tsibono ishcai dos
3 tochpa quimsa tres
4 iponponaro chuscu cuatro
5 zamiatpata pichca cinco
6 minam matayaro sucta seis
7 tsibon matayaro canchas siete
8 tochip matayaro pusac ocho
9 iponponaro matayaro iscun nueve
10 chunka o koviz iptaro chunca diez

Si analizamos los números de 1 a 10 de cada lengua, podemos notar lo siguiente: el
quechua y el castellano tienen una palabra diferente para cada número, mientras que
el candoshi llega hasta 5, después vuelve a repetir los números 1 – 2 – 3 – 4
añadiendo la palabra matayaro.

También se observa que el candoshi utiliza para el número 10 un préstamo de la
lengua quechua, u otra expresión que significa “con todos los dedos de la manos”.

La numeración maya es un sistema vigesimal, cuya base se refiere al mismo
hombre. El número 20 resulta del conteo de los 20 dedos que tiene el hombre;
podemos decir entonces, que es la base científica de la numeración maya, porque en
la mayoría de los idiomas mayas, hombre se dice winaq y el número 20 se dice
winaq también.

Como podemos notar en la siguiente tabla, la lengua aymara presente en Perú,
Bolivia y Chile, presentan algunos términos que son similares a los del quechua (tres,
cinco, seis, diez)

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AYMARA QUECHUA CHACHI WAO
Número
(Bolivia) (Perú) (Ecuador) (Ecuador)
1 maya huk main aruke
2 paya iskay pallu mea
3 kimsa kimsa pema meagoaruke
4 pusi tawa taapallu meagomea
5 pishqa pisqa manda emenpuke
6 suxta suqta manchismain emenpuke goaruke
7 paqallqu qanchis manchispallu emenpuke gomea
8 kimsaqallqu pusaq manchis pema emenpuke meagoaruke
9 llatunka Isqun manchis taapallu emenpuke meagomea
10 tunka chunka paitya tipenpuke

Otra particularidad de esta lengua es que el 7 y el 8 están formados sobre la base de
los números 2 y 3 (pa- y kimsa), seguidos por la palabra qallqu. Por eso, algunos
autores han opinado que tal vez antiguamente en esta lengua 5 se decía qallqu y
después, con la influencia del quechua se ha introducido el phisca. En realidad, esta
hipótesis no está demostrada, sin embargo se puede suponer que qallqu significaba
algo que expresaba las cinco unidades. Tendríamos así:

• 7 = paqallqu  2 + algo para expresar 5
• 8 = kimsaqallqu  3 + algo para expresar 5.
• El número 9 en cambio está formado de la partícula lla seguida de tunka
(diez). Es probable que llatunka quiera decir “casi diez” y que “lla” sea una
transformación de mya (que significa “casi”)

Estos detalles parecen mostrar que el idioma fue decimalizado sobre la base de
alguna forma antigua de organizar los números, que no fue precisamente la decimal
(posiblemente una de base cinco)

Ahora trataremos de explicar la numeración de la cultura wao de la amazonía
ecuatoriana.

WAO
Número
(Ecuador)
1 aruke 1
2 mea 2
3 meagoaruke 2+1
4 meagomea 2+2
5 emenpuke 5 (mano izquierda)
6 emenpuke goaruke 5+1
7 emenpuke gomea 5+2
8 emenpuke meagoaruke 5+2+1
9 emenpuke meagomea 5+2+2
10 tipenpuke 10 (mano derecha)
15 tipenwa 10 + 5 (dos manos y pie izquierdo)
20 emenwake 20 (dos manos y dos pies)

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Como se puede observar, el sistema de numeración está basado en las manos y los
pies, comenzando por los izquierdos en su orden. Existe también la idea del par
subyacente en el sistema.

En la lengua de la cultura chachi de la costa ecuatoriana se ha organizado el sistema
de la siguiente manera:

CHACHI
Número
(Ecuador)
1 main
2 pallu
3 pema
4 taapallu 2+2
5 manda
6 manchismain 5+1
7 manchispallu 5+2
8 manchis pema 5+3
9 manchis taapallu 5+4
10 paitya 5x2 (pai = 2; tyapa = pedazo, extremidad)
20 Mancha´lura 1x4x5 (man = 1; cha´ = persona; lura = bulto
La persona está constituida por cuatro
extremidades de 5 dedos cada una.

Estos pocos ejemplos nos dan una idea de las distintas formas como los indígenas
han organizado la numeración y de las dificultades que se pueden presentar para
manejar números con muchas cifras y cantidades muy altas. También nos dan idea
de la asociación entre conceptos numéricos y lengua.

En Costa Rica por ejemplo, en las lenguas bribri y cabecar, el número se asocia a la
forma, tamaño y masa del objeto. Así 5 casas, 5 palmeras, 5 naranjas se dice de
manera diferente, a pesar de ser siempre el número 5.

Trataremos ahora de analizar más detenidamente el sistema de numeración
quechua, que como ya afirmamos es estrictamente decimal.

En esta lengua hay nombres diferentes para cada uno de los números del 1 al 10. A
partir del 10 hay un nombre específico para cada una de las potencias de esta base.

101 = 10 chunka
102 = 100 pachak
103 = 1 000 huaranca
106 = 1 000 000 hunu

Este sistema decimal quechua facilita enormemente la enseñanza de la escritura de
los números a los niños y adultos, así como las operaciones matemáticas. En tanto
que el español, al igual que el inglés, el francés, el portugués, el alemán, etc. no
representan el sistema decimal de manera tan clara.

24


El castellano, para los números a partir de 10, no tiene regla de composición fija, sino
que presenta algunas irregularidades como se observa en la tabla siguiente:

Número CASTELLANO QUECHUA
11 once chunka hukniyuq (10 y 1)
12 doce chunka iskayniyuq (10 y 2)
13 trece chunka kimsayuq (10 y 3)
14 catorce chunka tawayuq (10 y 4)
15 quince chunka pisqayuq (10 y 5)
16 dieciséis chunka suqtayuq (10 y 6)
17 diecisiete chunka qanchisniyuq (10 y 7)
18 dieciocho chunka pusaqniyuq (10 y 8)
19 diecinueve chunka isqunniyuq (10 y 9)

Como se puede observar, en el idioma castellano hasta el quince nombramos
primero a las unidades y después las decenas. A partir del número dieciséis,
anteponemos las decenas y después nombramos las unidades.

Por el contrario, en quechua las unidades siempre siguen a las decenas para los
números del diez al diecinueve. Por eso, un niño o una niña quechua tiene mayor
dificultad con los números en castellano, que un niño o una niña castellano hablante.
De hecho, al comienzo, los niños y las niñas que hablan castellano se confunden y
dicen “diez y uno”, “diez y dos”, etc. En la cultura quechua no hay posibilidad de
confusión porque existe una sola regla para la composición de los números. Esta
regla es la siguiente:

Ejemplo:

29 = iskay chunka isconnyuc
2 x 10 + 9

El niño y la niña quechua distingue de inmediato que en 29 hay dos 10 (decenas) y
nueve unidades, mientras que el niño y la niña indígena no lo hace.

La misma regla se observa también en el aymara.

Ejemplo:

17 = tunka paqallquni
10 + 7

243 = pa patak pusi tunk kimsani
2 x 100 + 4 x 10 + 3

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A partir de estos ejemplos nos podemos dar cuenta de la conveniencia de enseñar
las matemáticas a niños y niñas a partir de su idioma materno, de otra manera se
obstaculiza el desarrollo del pensamiento matemático del niño o la niña, puesto que
los sistemas numéricos de su lengua materna y aquel del castellano pueden estar
basados sobre dos lógicas distintas.

4.2 SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.

En la siguiente propuesta didáctica se pone énfasis en ofrecer a las/los estudiantes la
posibilidad de reflexionar un poco sobre lo que es un sistema numérico y con qué
términos científicos (lingüísticos) se le puede describir. El texto básico previo se
puede utilizar como fuente de información y/o para elaborar una separata que esté a
su disposición y agregamos algunas hojas de trabajo como material complementario.
Es importante partir de los idiomas (los vernáculos o el castellano) que habla nuestro
alumnado, y siempre relacionarlos con nuestras reflexiones en el aula.

DESCRIPCIÓN Y COMPARACIÓN DE SISTEMAS NUMÉRICOS.

Se presenta a los estudiantes una hoja de trabajo que muestra los números del 1 al
10 en diferentes idiomas

1.- Escriben los números en su propia lengua materna y en castellano. (Hoja de
ejercicios 1)

2.- Observan los sistemas de numeración y articulan sus observaciones al
comparar estos sistemas diferentes.

3.- Tratan de formular reglas en cuanto a la estructura lingüística de cada uno de
los sistemas, en un trabajo grupal.

EJEMPLOS:

• En castellano hay diez palabras diferentes para los diez primeros números.
• El sistema wao tiene como base el cinco.

4.- Después formulan observaciones a la comparación de los sistemas entre sí.

EJEMPLOS:

• En el aymara y quechua las palabras para el 3, 5, 6 y 10 son parecidas.
• El candoshi utiliza un préstamo lingüístico del quechua para el 10.

5.- Se recogen los términos utilizados por los alumnos y las alumnas para la
descripción de los sistemas numéricos, se aclara su uso correcto y se explica
su significado.

(Trabajar el paso 5 en la hoja de ejercicios 2, considerando el nivel de
desarrollo de las capacidades lingüísticas y comunicativas de los niños/niñas)

26


27

Hoja de ejercicios 1

QuechuaNúmero en Castellano (Bolivia)Aymara (Perú)Candoshi (Ecuador)Wao (Ecuador)Chachi (Perú)Secaya

maya minamta aruke main teó moño

paya tsibono mea pallu cayaye

kimsa tochpa meagoaruke pema toasoñe

pusi iponponaro meagomea taapallu cajese

pishqa zamiatpata emenpuke manda te’ejete

suxta minam matayaro emenpuke goaruke manchismain yeque te’te ejatupe

ejatupe queno maca
paqallqu tsibon matayaro emenpuke gomea manchispallu
ayo

kimsaqallqu tochip matayaro emenpuke meagoaruke manchis pema jopoayo

llatunka iponponaro matayaro emenpuke meagomea manchis taapallu jopoayo quenomaca ayo

tunka chunka o koviz iptaro tipenpuke paitya si’ajena

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Hoja de ejercicios 2

vernáculaTérmino en lengua Análisis etimológico Aproximación significativa Estructura de formación

1 huk uno solo indivisibleel cosmos, la existencia, la unidad 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

29


KHIPU – SIGNOS

5.1 INTRODUCCIÓN.

La cosmovisión de las culturas andinas tiene su fundamento en una matemática ritual
o simbólica. La matemática está conceptuada como otro medio de representación y
recreación del orden cósmico. No hay sociedad sin creaciones mitológicas, prácticas
rituales y representaciones iconográficas. Mientras que el mito presenta el orden de
la sociedad, el rito lo actualiza y el icono lo ilustra. Enunciar el mito, celebrar el rito y
fijarlos gráficamente son formas de perpetuar el orden. Así, hacer operaciones de
cálculo y construcciones geométricas no tiene un sentido solamente funcional y
técnico, sino que también intenta expresar una particular visión del mundo.

En este acápite se presenta una introducción a la numerología andina y al significado
de algunos símbolos numéricos y se explica las formas de representar cantidades
gráficamente, lo que nos permite entrar al mundo de los números rituales andinos.

5.2 NUMEROLOGÍA ANDINA.

LUIZAGA, Jorge.
Filosofía andina. Fundamentos, alteridad
y perspectiva. La Paz. pp. 27 – 44. 1996.

Sillares de la filosofía cosmológica andina.

Nos preguntamos si la cultura andina conoció y utilizó un ordenamiento cósmico, si
creó una filosofía cosmológica; si los tuvo ¿Qué signos utilizó para documentar estos
conocimientos?

Los signos numéricos rituales fueron los
instrumentos con los cuales se registró este
conocimiento y está ampliamente documentado por
hallazgos arqueológicos de toda índole, por el arte
textil andino, arcaico y contemporáneo; además,
otras fuentes utilizaron y utilizan dichos signos.

El significado filosófico de estos signos es un
estudio que tiene que documentarse con otras
fuentes, que esta vez son: el idioma, sus
traducciones etimológicas, los mitos, la tradición oral
y las crónicas de la época colonial.

Un mito recopilado en la región del lago titicaca y
documentado fragmentariamente en diferentes
trabajos de investigación nos servirá de argumento
para demostrar los enunciados que emanan de la
filosofía numerológica, y lo presentaremos como fundamento de la temática del
presente trabajo.

30


Lamentablemente los mitos andinos han sido cercenados, arbitrariamente
fragmentados y sufrido la inquisición de la religión intolerante que los conquistó.
Entonces, lo deplorable de la recuperación de estos mitos es que se han rescatado
muchos, pero han sido depurados de todo lo que no les servía a los intereses
hegemónicos y a la “misión” imperialista envenenados de poder, de los
conquistadores. Eso significa que la mitología andina que conocemos es parcial y
fragmentada por intereses creados de destrucción cultural.

La tradición oral ha mantenido muchos mitos, pero sin los elementos fundamentales
de su esencia, cercenados no solo por la intolerancia religiosa, como ya lo dijimos,
sino también por el transcurso del tiempo.

Antropólogos, como Lévi y Strauss, han recuperado y estudiado los mitos, pero sin
llegar a la conformación de un corpus mítico, donde se puede integrar los fragmentos
para tener una mejor y total visión del contexto mítico andino y/o amazónico.

El trabajo que hizo Jorge Luizaga por más de cinco años tiende a la reconstrucción
de mitos a partir de los fragmentos existentes. El grueso de su trabajo se orientó a la
reconstrucción de un mito fundamental del génesis andino, que se pudo recuperar
fragmentariamente desde la región de la Patagonia hasta la amazonía, donde
encontramos diferentes acepciones pero el mismo mensaje.

El centro geográfico de este mito es el área del Lago Titicaca en sí y su periferia, la
zona circunlacustre. El mito del génesis andino que se pudo restaurar de forma
coherente reza de la siguiente manera.

GÉNESIS ANDINO

En la oscuridad de los tiempos, Ch’amak Pacha, era de tinieblas.

Allí donde todo cohabitaba un solo espacio ilimitado, Sol y Luna en la inmensidad de la
soledad que los acompañaba, buscaron en el fuego del amor, que nació ante la sola presencia
de ambos, saciar aquel anhelo que los acosaba.

Ese amor pasional tenía que ser fugaz, pues el ordenador del espacio sideral ( Pachakamac)
no permitirá generación alguna en un estado donde la efectividad del Sol y la melancolía de
la Luna iban a perturbar a un mismo tiempo a aquellos seres que poblarán un mundo futuro.

Ese mundo futuro: la tierra (Pachamama) se interpone al amor del Sol y la Luna, generando
así el día y la noche en un mundo que sentirá calor y frío, alegría y tristeza, vida y muerte,
a lo largo de su existencia cíclica en el devenir de los tiempos.

El Sol resignado a su destino busca solucionar la ausencia de su amada Luna con fortuitos
amores que se le presentan en el azar de la vida.

La Luna en ausencia perturbada, no concibe aquella separación y desconsoladamente llora
por muchas noches y días, ocasionando así el primer y único diluvio andino.

Las lágrimas cuajadas de cristalizan tristeza son albergadas en la Tierra y generan el lago
sagrado de los Andes: el Lago Titicaca.

31


Pasaron muchas décadas o quizás siglos que vivían para sí en soledad sentida: Sol y Luna.

Fue así como el Sol quiso dar fin a la oquedad que regía el universo y decidió encontrase con
ese primer amor que todavía quemaba sus entrañas: la Luna, y volver a sentir nuevamente el
calor que los había unido en el amanecer de los tiempos, aún, cuando ese encuentro sea solo
por algunos instantes.

La Luna, dolida aún, no podía concebir estar nuevamente frente a frente con aquel ser que
amaba todavía.

Ella evitaba ese encuentro recogiéndose lo más temprano posible a sus aposentos de
ausencia y desconsuelo.

El Sol buscaba a toda costa poder encontrarla, amaneciendo cada día más temprano, con la
esperanza de volver a reflejarse en aquellos ojos azabaches, donde la melancolía fue el
origen de esa necesidad de vida.

Por aquellos azares del destino, después de tanto tiempo de desesperada búsqueda y
encuentros fallidos, la Luna se atrasó unos instantes en el horizonte e esperanza que
dibujaban las montañas de la cordillera.

El Sol acababa de salir regalando luz a la Tierra, en un calor de entrega desinteresada.

En ese instante.

Aquel instante siempre soñado, aquel instante que ayer fuera imposible, hoy se convierte en
realidad.

Allí estaban nuevamente frente a frente, en el universo.

La Luna reflejaba su faz en las cristalinas aguas del lago, otras lágrimas de desconsuelo por
ella vertidas.

El Sol, embellecido por aquella imagen amada, logró por un instante detener su cotidiano
viaje por el firmamento.

Son sus imágenes reflejadas en el lago sagrado de los Andes (Lecho preconcebido) que, con
abrazo infinito logran en ese anhelado momento de unión fecundarse en inconmensurable
dicha.

Cuentan nuestros antepasados que cada que las imágenes del Sol y la Luna copulan en las
aguas sagradas del lago, se genera la fuerza vital ( Wira) que dio origen y hoy regenera y
consolida nuestras vidas en el devenir cíclico del génesis andino.

Volviendo al contexto filosófico, podemos decir que el ordenamiento de las especies
en el pensamiento andino se entiende como un ordenamiento basado en la reflexión.

Mediante ella todas las especies y objetos (individuales) obtienen un lugar en el
espacio–tiempo del mundo andino (Pacha).

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Esta reflexión del orden cósmico, utiliza signos matemáticos de ordenamiento, que
se diferencian fundamentalmente de la numeración arábiga utilizada hoy en día,
porque en sí son ya una construcción matemática. Además el ordenamiento
numérico andino, considera una compleja interrelación de contenidos:

• Principio cósmico.
• Contenido filosófico (concepto.)
• Signo cosmológico.

El sentido de la numeración cosmológica con progresión numérica del 1 al 5,
podemos considerarlo como la doctrina del génesis andino. Este génesis no es una
simple creación, sino una emanación progresiva e
infinita de generación de vida a partir de una
primera unidad.

Los números sacros del 1 al 5 son pasos
fundamentales de dicha emanación y cada
número manifiesta un plano de realización
concreta.

Todos estos planos juntos, por interrelación,
forman el concepto de “realidad andina” en si
concluida, pero no finalizada en el proceso
evolutivo de la humanidad. La realidad andina
está configurada por las cinco cualidades
numérico – filosóficas, que son los fundamentos
de la vida como tal.

Ahora bien, ¿en que relación se encuentran los
planos o esferas de la realidad? Estos planos o esferas se encuentran en una
relación análoga. Entonces, todo lo que existe en un plano será analógicamente
replicado en el plano subsiguiente, bajo dos conceptos fundamentales, y son la ley
de relatividad y la ley de analogía que se definen de la siguiente manera:

5.4 LEY DE RELATIVIDAD ANDINA:

Toda réplica entre planos y/o esferas se rige bajo el principio de relatividad, por el
cual nunca serán iguales sino únicamente similares en su contenido conceptual, bajo
un sistema simbólico sincrónico, en el que la energía potencial es representada por
el Sol, y que, a su vez, tiene sus correspondencias:

 La estelomorfa (la constelación de Orión),
 La zoomorfa (el cóndor),
 La fitomorfa (el maíz),
 La geomorfa (los achachila de las montañas), y
 La humanomorfa (hombre)

La energía dinámica es representada por la Luna, y sus correspondencias son:

 La estelomorfa (la constelación de Cuz del Sur),
 La zoomorfa (el puma),

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 La fitomorfa (el cactus),
 La geomorfa (la apachita de las montañas), y
 La humanomorfa (mujer)

5.5 LEY DE ANALOGÍA:

En consecuencia, esta ley, bajo ese principio de relatividad, considera al microcosmo
reflejo del macrocosmo, o en su versión esotérica, lo de abajo es como lo de arriba, y
viceversa.

Entonces, analogía en el pensamiento andino es el factor generador del sistema y no
entiende como atributo o estructura de formación lógica ni substancial en busca de
una causa final.

Por las razones anteriormente discutidas, los números rituales andinos comprenden
estados relativos a lo social, administrativo y económico, etc. No son simples
codificaciones numéricas sino una necesidad cultural para reflejar estados dinámicos
de procesos que transmiten el devenir del cosmos, expresado por el misterio de la
vida.

Bajo esa visión filosófica, es que ahora podemos dedicarnos a explicar los
contenidos filosóficos de números rituales andinos que devienen del mito genético
andino.

PRIMERA CUALIDAD.

La cualidad primera tiene el significado de “ser primogénito, causa única y el principio
del cosmos por excelencia” su signo es la abstracción de la espiral. La espiral es la
forma básica de todo movimiento cósmico, comprendiendo su sentido ascendente y
descendente, respectivamente, que cumple la categoría de complementariedad de
opuestos. Y es la espiral el signo para simbolizar el inicio primigenio.

La primera cualidad no es cuantificable, lo uno todavía no es un número. El uno
absoluto es incontable, indeterminable e irreconocible. Lo uno necesariamente solo
puede ser reconocido si existe “lo otro”. Pero mientras la primera unidad no se divida,
será la negación del todo y por ende de la vida.

El concepto de la primera unidad en sí es la representación del cosmos en su
totalidad y abarca la infinitud que se despliegan en todas las direcciones.

• Como Unidad en sí, su despliegue o dilatación es, en sí misma, hacia adentro.

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• Como unidad en la dualidad, su despliegue es la reflexión recíproca e invertida de
sí.
• Como unidad en la multiplicidad (en la trinidad, en la tetracidad, etc.), su
despliegue configura la concepción del espacio-tiempo en la cultura andina.

De esa manera, la primera cualidad es la pre-manifestación del génesis. A partir de
esta cualidad las subsiguientes están definidas por su posición en torno a la
emanación generada por ella. Las cualidades numéricas se encuentran
intrínsecamente unidas, pero mantienen su independencia y su posición con
valoración propia.

La primera cualidad como tal no es ni número ni cantidad, obedece a la característica
de blanco (jan-qu), que no es color. Jan-qu traducido etimológicamente del aymara,
significa sin energía, por ende si color.

Finalmente, se desprenden de esta cualidad dos axiomas fundamentales de la
filosofía andina.

• La unidad en sí únicamente se concibe en la multiplicidad (por lo menos en la
dualidad)
• La unidad es inseparable e inconcebible fuera de la dualidad. La importancia de
la primera unidad en sí reside en ser el motor energético en el proceso de
emanación que se autogenera a partir del despliegue de las cualidades
numéricas siguientes.

SEGUNDA CUALIDAD

La cualidad segunda es el impulso creador manifestado, que se originó en la causa
primera del ser primogénito y el cosmos como tal (comparar, en el mito del génesis
andino, con la metáfora del Sol y la Luna)

La filosofía europea, no considera esta categoría filosófica; lo más cercano a este
enunciado lo encontramos en Platón con su concepto de “dualidad indeterminada”, o
en algunas teorías metafísicas europeas que consideran al principio generador como
algo que tiene que volverse en sí para ser productor.

En la actualidad, el pensamiento netamente racional y las religiones monoteístas no
aceptan la concepción de dualidad, porque niega la omnipotencia de la unidad y
considera a la totalidad inherente a la dualidad.

Esto significa que el todo solo se expresa dentro de esta categoría como el par de
opuestos complementarios, no antagonistas (complementariedad de opuestos, no
antagonistas).

Profundizando en el pensamiento andino, diremos que esta cualidad representa el
movimiento generador de la partición primigenia de la unidad en sí; y se ha
simbolizado dentro de los números sacros andinos como la suma de la unidad en sí y
su imagen reflejada:

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La segunda unidad todavía no es la pluralidad, ella pertenece a la esfera de la
totalidad unitaria, pero introduce en el todo el movimiento. Mientras que la primera
cualidad expresa la totalidad en reposo e inercia, y la segunda es la manifestación y
el impulso. De ese impulso del estado inerte es que se genera la primera partición.

En una primera etapa se trata de una división interna (por esa razón se habla de
partición aparente), porque todavía no se separa de la unidad total. El impulso
primigenio genera la primera polarización interna de la primera unidad y ocasiona el
despliegue de la imagen reflejada de la totalidad.

El mito utiliza la metáfora del Sol, como imagen y de la Luna como imagen reflejada.
¿Qué, quién y cómo ocurre la reflexión? La totalidad busca auto reconocerse y lo
hace por medio de la reflexión, originando su imagen reflejada como la diferencia
complementaria de si.

El pensamiento andino utiliza una reflexión diferente y sui generis. Utiliza la reflexión
en un espejo cóncavo, donde la imagen reflejada es el opuesto inverso de la imagen
en sí. La reflexión no solamente produce la imagen reflejada, sino que también,
después de liberar a la imagen reflejada, deja espacio a la segunda fuerza cósmica:
la imagen y la imagen reflejada.

Por esa razón la primera unidad busca su auto sacrificio. Ese auto sacrificio tiene
gran significado, pues ocasiona un retorno a la oscuridad, a la muerte y provoca la
dualidad de contrarios (luz y no-luz; positivo y no-positivo; negativo y no negativo, el
ser y el no-ser; el estar y el no-estar, etc.)

Al retornar la primera unidad a lo inconmensurable, al vacío, (ch’usa), a un estado sin
contenido, sin determinación, esta se convierte en un punto de paso que rige lo estar
y lo no-estar y es el nexo neutro entre los opuestos complementarios (tinku). Ese
punto, donde retorna la primera cualidad, es un estado sin cuerpo, sin sombra, sin
atracción y sin límites.

Un aspecto importante del auto sacrificio de la primera unidad es también el
despliegue de los elementos primogénitos.

• El elemento fuego (nina)
• El elemento agua (yaco)
• El elemento aire (wayra)
• El elemento tierra (pachamama)

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Estos elementos energéticos, son energías o potencialidades de transformación y
por ello tienen un gran significado en la emanación a partir de la primera unidad.
Estos elementos primogénitos se encuentran en posición opuesta a la primera
unidad, porque carecen de neutralidad, allí donde se encuentran juegan un papel
decisivo, porque se confrontan, se conglomeran y aportan a la complementariedad
de los opuestos.

Observemos el papel que juega el elemento aire en la reflexión de la primera unidad.
El impulso primigenio de la primera unidad proita el despliegue de la imagen y su
imagen reflejada, ¿bajo que circunstancias se realiza esta reflexión?, ¿dónde,
cuando y en qué se reflejará la primera unidad?

En el Universo, en la inmensidad donde espacio y tiempo no existen, se encuentra el
escenario donde se genera la primera reflexión en el espejo – aire. Solo el elemento
aire puede cumplir con los requerimientos de esta primera reflexión que es a-espacial
y a-temporal y a-causal. Para el pensamiento racional, la presencia del elemento aire
antes de la reflexión es una contradicción, ya que los elementos se generan por la
participación de la totalidad, es decir por intermedio de la reflexión. Pero aquí
estamos frente a un problema a-lógico para el entendimiento racional propiamente
dicho. Y es la concepción de simultaneidad no secuencial, ni lineal, con el que opera
el pensamiento andino a-causal.

La simultaneidad es una noción que el pensamiento andino considera como un
proceso de auténtica simultaneidad, en el que origen, causa y efecto, se generan al
unísono. Además el despliegue de los elementos obedece a una secuencia pre-
concebida: el elemento aire aparece simultáneamente con los elementos fuego y
agua, generando el escenario propicio para la reflexión. Estos elementos (fuego,
agua y aire) conforman la primera trinidad andina, origen de la concepción filosófica
de la segunda cualidad.

Finalmente, la aparición del elemento tierra servirá para la reflexión de los elementos
fuego y agua (segunda trinidad generatriz), definiendo un espacio, es decir, que
generará la localización de la segunda reflexión de las imágenes del Sol y la Luna,
como reza en el mito del génesis andino.

Los elementos aire y tierra son energías de trans-substanciación intermediarias y los
elementos fuego y agua son energías de trans-substanciación determinantes o
consecuenciales que se encuentran en un estado de oposición complementaria,
formando dos pares de oposición: aire / tierra y fuego / agua.

Estos dos pares de oposición forman la tetra-complementariedad del pensamiento
andino. Se entiende por tetra-complementariedad al sistema lógico de pensamiento
no antagonista del pensamiento andino, que se basa y fundamenta en el manejo de
dos pares mínimos (uno intermediario y el otro determinante) para la conformación
de un instrumento con cuatro elementos diferentes, que sin aislar a ningún elemento
de análisis, logra consenso. Especialmente la lógica andina utiliza este tipo de
inferencia, donde no se elimina al tercero (tercero excluido) y se logra hacer
aseveraciones de verdad a partir de premisas dudosas o aparentemente no-ciertas,
para lo lógica formal.

Entonces, el origen de la imagen reflejada produce la diferenciación de la totalidad en
sus opuestos complementarios, este estado de diferenciación lo podemos considerar

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como la tendencia a la separación, al aislamiento, a la disolución, pero a la vez se
encuentra en re-sonancia, con una relación de tendencia a la re-unión, al re-
encuentro.

Las dos tendencias juntas (de separación y de unión) originan la tensión y la crisis
que precede a toda creación. El mito utiliza como metáfora el desconsuelo amoroso y
el momento de re-encuentro y unión.

En esta cualidad encontramos una expresión fundamental de la ley de analogía. El
proceso de reflexión de la totalidad se repite en todo lo creado, hasta la expresión
más ínfima de vida, es decir que todo se rige por esta categoría filosófica andina, ya
que esta reflexión es dinámica y el ser reside en la totalidad.

TERCERA CUALIDAD

La tercera cualidad representa la creación individualizada de la primera dualidad
generatriz complementaria. Representa la vida (terrenal), la fuerza, el sonido y la
manifestación material de todo lo creado; es por eso que cada forma y contenido
concretos son parte de la creación y representan la unidad en la trinidad.

Esta cualidad es la expresión de la vida en sí: la humana, la animal, la vegetal y la
mineral como género. Por analogía esa creación también es generatriz: vida material
es vida generadora de vida, que asume, a partir de la analogía por reflexión, las
características generatrices de la primera dualidad.

Su signo se constituye a partir del signo del dualismo generatriz como base y
fundamento, más el producto de éste como espiral simple que se adhiere, generando
así, todas las especies en lo femenino y masculino respectivamente.

Aquí nos encontramos con la tercera reflexión, donde lo masculino y/o femenino no
se refleja en su opuesto complementario para que después de su individuación por
género aseguren la vida. Esta reflexión es una paso a lo concreto y experimenta una
disminución energética que asegura la libertad de acción de los individuos para su
propio desarrollo.

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En otras palabras, la doble espiral en la tercera cualidad no solamente representa la
dinámica primigenia, sino también su capacidad de creación para asegurar el
desarrollo de la vida y la emanación cósmica.

La creación andina no es un acto de voluntad de un dios creador y aislado de la vida,
es un proceso de emanación. Por esa razón el pensamiento andino contiene un
concepto de convivencia implícita con la creación que se expresa con la categoría
filosófica de convivencia de símiles o desiguales.

La verdadera trinidad andina (como ente de transición de la dualidad a la
cuaternidad, es decir a momentos de equilibrio real) está profundamente arraigada
en el pensamiento andino, y a continuación presentamos algunos ejemplos:

 TRINIDAD DIVINA: Inti (Sol), Qilla (Luna) y Pachamama (Tierra)

 TRINIDAD HUMANA: Hatun Ayaju (gran espíritu), Jiska Ayaju (alma, espíritu
encarnado o espíritu menor) y Runa (cuerpo)

 TRINIDAD FONÉTICA: vocales I – A – U; consonantes: simples, aspiradas,
glotilizadas.

 TRINIDAD DE ESFERAS SACROCONCIENCIALES: las esferas
sacroconcienciales inician y fluyen de lo así llamado oscuro (no lumínico), estado
de frecuencias bajas, pasando por el estado vivencial momentáneo hasta el
estado lumínico de alta frecuencia:

 HANAQ PACHA: esfera, espacio-temporal lumínica

 KAY PACHA: esfera, espacio-temporal vivencial

 UKHU PACHA: esfera, espacio-temporal no lumínica

Estas esferas son eminentemente concienciales y no consideran limitación de
dimensión estática, ni localización geográfica (la localización geográfica que
comúnmente confunden con estos estados de conciencia tienen otra definición y a
saber son: urqusuyu, taypi y umasuyu.

No tenemos que localizar estas esferas ni arriba ni abajo; ellas son en realidad
esferas de la capacidad de captación de la conciencia y su experiencia en torno a la
naturaleza de la vida cósmica.

 TRINIDAD DIVISORIA SACROGEOGRÁFICA (división de SIQI)

 Siqi principal (Qullana)

 Siqi secundario (Payana)

 Siqi terciario (kallau)

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CUARTA CUALIDAD

La cualidad cuarta es el desenvolvimiento de la creación en la ida terrenal que
corresponde al reyno de la complementariedad luz y no-luz (juntamente a la
complementariedad espíritu – materia) y se expresa simbólicamente por el cruce de
los espirales dobles o la sobreposición de dos signos opuestos de la tercera
cualidad, que ya reúnen en sí ese par de complementariedades.

En esta cualidad se enfrentan los entes (creados) al mismo problema que se enfrentó
la primera dualidad: encontrar su opuesto complementario por medio de la reflexión,
expresada en la pro-creación de su especie, pero esta reflexión, en el sentido andino,
va más allá de solo asegurar la existencia de la especie, se enfrenta a la situación de
vida (y muerte) y a entablar dentro de la vida terrenal ordenamientos y estructuras
sociales, conjuntamente con estados de complementariedad de conciencia e
inconciencia (intuición). Es decir, la cuarta categoría considera la concepción social y
cultural esquemática de ordenamiento que rige hasta lo más insignificante de la vida
exterior e interior de una especie o del ser humano, en busca de una armonía de
relación con el todo.

Conocemos un gran número de manifestaciones de esta cualidad: el Puyisuyu con
sus cuatro provincias, las cuatro épocas cíclicas de evolución del pensamiento
andino:

 Ch’amal Pacha, época de inexperiencia y búsqueda.

 Thuru Pacha, época de consolidación sedentaria.

 Khana Pacha, época de apogeo cultural.

 Kaxa Pacha, época de expansión y decadencia.

Todas estas épocas se repiten en un proceso de ciclicidad y transformación de un
nuevo orden, el pensamiento andino lo denomina Pachakuti. Este ordenamiento
cuaternario de la sociedad y de la humanidad tiene un sinnúmero de expresiones.

QUINTA CUALIDAD.

En la cuarta cualidad nos hemos referido al proceso de la procreación de las
especies, pero el pensamiento andino a más allá de esta necesidad pragmática y
considera este proceso con mucho más profundidad, seriedad y cuidado. A esta
particularidad acerquémonos primeramente de forma analítica.

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La oposición contraria del par masculino / femenino se fundamenta en otra oposición
contradictoria del par mínimo de contenido estar / no-estar (ser / no-ser) donde
aparecen los elementos primogénitos, es decir, donde ya se expresa la vida; esta
mezcla de elementos está relacionada con la dualidad positivo / negativo

La oposición estar / no-estar no es un simple paso de una oposición a otra (Taqi tupu
ch’atana), porque la dimensión de la creación material no tiene la capacidad de
generar por sí misma un paso neutral de oposiciones. Entonces, se tiene que recurrir
al proceso de generación de la primera cualidad para realmente realizar este acto
trascendental de repetir la creación como tal. Este estado de trascendencia creativa
es la característica de esta cualidad.

Este signo se obtiene por medio de un corte transversal del símbolo de la doble
espiral atravesando pro el punto de unión de la doble espiral o, de una manera más
geométrica, del corte transversal de dos pirámides unidas por sus ápices. Estas
representaciones consideran la fuerza simétrica reflejada y concentrada en la unión
de ambas (tinku).

Este punto de unión, esa junta es el paso entre oposiciones contradictorias.
Entonces, tendremos que preguntarnos si esta quinta cualidad reúne las
características y las condiciones para transportarnos al estado de desindividuación
de la primera cualidad.

Previamente debemos hacer hincapié en que el pensamiento andino utiliza la
dualidad positivo – negativo sólo considerándola como la convergencia de fuerzas, y
no tiene nada que ver con estructuras lógicas ni morales. La dualidad positivo /
negativo en este sentido está íntimamente unida a las concepciones de vida material
temporal y de muerte material. Todo lo que vive en oposiciones vive junto con los
diferentes matices de estas dualidades contradictorias.

Vida terrenal – muerte material.
Claridad – no-claridad
Arriba – abajo
Derecha – izquierda.

Situación que es considerada y reflejada en esta cualidad como contenido y forma
del encuentro con la fuerza vital primigenia (Wira). Encontrase con el paso entre
oposiciones es una tarea que nos remonta a la partición primigenia, donde la primera
cualidad pasa al estado de no-ser, a la oscuridad; es decir, sacrifica su existencia y
cede la prioridad a las dualidades que regirán la vida. Ese es el estado que se trata

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de alcanzar cuando uno se encuentra en el nexo o convergencia esencial y
primigenia. En el pensamiento andino ese estado se conoce con la denominación
Usnu, como localización geográfica vivencial de ese punto.

La experiencia de ese estado vivencial es la máxima realización de la convivencia en
totalidad divina, es el misterio de transmutación y recomposición momentánea
(tukuyana) por medio del “éxtasis” (musphata). En ese proceso cada ser viviente
tiene que experimentar el efecto de la transmutación y recomposición momentánea
de la experiencia de la primera cualidad. El
instrumento para alcanzar ese estado es, como ya lo
dijimos, “el éxtasis” que dinamiza la vida y facilita el
paso entre oposiciones contradictorias. Sin ese
ejercicio la vida es estática y no se logra la
correlación entre lo positivo y lo negativo.

El éxtasis pasa por diferentes estados o etapas: la
crisis personal o individual, situaciones de duda,
pérdida de seguridad y, lo que es principal, la
pérdida del ego. Para ello se utiliza el baile, la
música, las abstinencias, el éxtasis sensual, y las
iniciaciones, entre otras técnicas más, como
vehículos para ampliar estados de conciencia que,
junto a las ofrendas y los ritos, constituyen la
hermenéutica de este proceso. Para llegar a ese
estado, que es la esencia de esta cualidad, se tiene
que pasar y/o llegar a una relación de conciencia y
propósito en la vida. La naturaleza en su totalidad
tiene mecanismos intrínsecos para llegar al estado
del Usnu.


El pensamiento andino toma el espiral como icono central para la descripción del
orden cósmico. Los números simbólicos que podemos encontrar en la artesanía o en
la arquitectura andina reflejan y expresan muy bien esa visión espacial.

Como lo muestra el texto básico antes abordado, es muy interesante la forma como
en la cosmovisión andina la lógica filosófica tiene su equivalente en una lógica
matemática. Por eso la visión del mundo, puede reconstruirse utilizando algunos
algoritmos de la geometría moderna.

1.- Dibuje por separado símbolos para los números 1, 2, 3, 4 y 5 en tarjetas de
cartón cartulina. Empiece con el 1, explique su significado simbólico y siga
hasta el 5.

2.- A continuación presentamos una tabla con las correlaciones simbólicas más
importantes de la mitología andina.

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cóndor puma serpiente guanaco encuentro
kuntur katari wanacu simbiosis
fuego agua tierra aire éter
nina yaco pacha wayra wira
este oeste norte sur centro
antisuyu qontisuyu qollasuyu chichaysuyu chawpi

3.- Si tiene un tejido o un vaso ornamental con los símbolos numéricos a su alcance,
úselo porque es más ilustrativo empezar la explicación con un objeto concreto.

4.- Elabore hojas de ejercicios para el aprestamiento de la representación gráfica o
escrita de los números andinos; la Hoja de Ejercicios Nº 3 muestra algunos
ejemplos para ello.

5.- De acuerdo al grado y nivel en el que laboramos presentamos a los alumn@s la
Hoja de ejercicios Nº 4 indicando que hagan las tareas señaladas en dicha hoja
de trabajo.

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Hoja de ejercicios Nº 3

1 huk Uno

iskay Dos

kimsa Tres

tawa Cuatro

pisqa Cinco

= 1
----------
1 =
-------------
huk

=
----------
2 =
-------------
iskay

=
----------
3 =
-------------
kimsa

=
----------
4 =
-------------
tawa

=
----------
5 =
-------------
pisqa

Hoja de ejercicios Nº 4

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Consigna
1.- Observen detenidamente el siguiente gráfico

2.- Tomen papel cuadriculado, un compás y una regla para la reconstrucción de los
números simbólicos andinos del 1 al 4

3.- Presenten sus resultados a sus compañeros y compañeras del aula explicando las
diferentes etapas de la construcción con términos de la geometría

4.- Comparen los algoritmos inventados por los diferentes grupos de trabajo
(verifiquen cuántos algoritmos diferentes existen para llegar al mismo resultado)

Construcción Geométrica de los números en los Andes

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EL MUNDO DE LAS MANDALAS

Joachim Schroeder
¿Cuántas perspectivas hay?
Ministerio de Educación de la
República del Perú – Fundación
GTZ

Una mandala es un diagrama simbólico. Normalmente es un círculo o un cuadrado en el
centro. Es un modelo del ser, de la vida, del mundo o de la cosmovisión. Pero es un
universo imaginado. Las mandalas intentan representar el orden del mundo en una figura
geométrica: así dan una imagen y un modelo del cosmos. Mandalas encontramos en
muchas culturas y pueblos del mundo: en la India y en los países árabes – islámicos, en
los pueblos indígenas de Australia o de los Estados Unidos y en el arte europeo. Por su
estructura geométrica, su multiculturalidad y su belleza, la mandala es un medio didáctico
hermoso y plurivalente. Primero presentamos un poco de la historia cultural de la
mandala, y luego se ofrece sugerencias para la práctica.

6.1 LA MANDALA: UN FENÓMENO MULTICULTURAL

La fascinación por el círculo como figura geométrica puede encontrarse a lo largo de
la historia humana, incluso en tiempos arcaicos. En muchas culturas, cosmovisiones
y religiones, el círculo es el símbolo del mundo entero y eterno. El nombre mandala,
que proviene del antiguo idioma sánscrito, significa “círculo”.

ASIA.

Las mandalas del budismo, una importante religión practicada en países del sur y
sudoeste asiático, se basan en un cuadrado de 8 x 8 ó de 9 x 9 cuadros. En ellos
están representados las cuatro direcciones, los cinco elementos, los cinco sabios,
etc. El círculo representa la rueda de la vida y simboliza el renacimiento.

Se pueden encontrar mandalas en los conventos de los frailes budistas. Las formas
en el piso con arena fina y coloreada hasta llegar a cuadros impresionantes. Tienen
una duración temporal: las mandalas serán destruidas por los frailes o por fuerzas
naturales (viento, lluvia). Así se repite el camino eterno del mundo en la repetición
de la elaboración de mandalas.

A veces se han construido templos (pagodas), barrios sacrales o jardines utilizando
como esquema básico una mandala. Por su gran tamaño no se puede ver la
mandala, pero caminando por el laberinto se la puede sentir como experiencia
corporal.

En India, las mujeres pintan mandalas en las telas o las elaboran con flores para la
celebración de sus festivales. También las dibujan sobre sus manos.

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PAÍSES ÁRABES.

El Islam no permite la representación de Dios (Alah) mediante una ilustración que
muestre a una persona. Así, los artistas han desarrollado un arte del ornamento. En
la vida cotidiana (tejidos) y en la religiosa (pisos y cerámicas con mosaicos finos en
las mezquitas) se emplean estos ornamentos. Durante la época colonial los
españoles llevaron elementos de la arquitectura y del arte árabe al Nuevo Mundo,
para integrarlos en la construcción de iglesias o palacios. Así, en algunos conventos
podemos encontrar por ejemplo, pisos, paredes o techos de cerámica con
ornamentos (mandalas) islámicos.

EUROPA

Quizás los rosetones de las catedrales son la mandalas más conocidas del arte
europeo. En el arte religioso de la Edad Media se perfeccionó el diseño y elaboración
de rosetones. Un rosetón grande normalmente está por encima de la puerta central
de una iglesia. A la entrada de la iglesia se aprecian rosetones de vidrios coloreados.
En la oscuridad de la iglesia esos vidrios producen una atmósfera muy especial. Casi
en cualquier iglesia del Perú se puede hallar un rosetón

El arte de los rosetones de vidrios coloreados fue redescubierto por el estilo estético
del art deco – desarrollado a inicios del siglo XX – que se puso muy de moda durante
aproximadamente 20 años en Europa. Ventanas y puertas, vasos, plásticos y hasta
losa para el uso cotidiano fueron confeccionados con ornamentos del tipo mandala –
rosetón. Se perdió su simbología religiosa y mística y se convirtió en un arte
exclusivamente ornamental

AUSTRALIA

Algunos pueblos aborígenes que viven en los desiertos de Australia graban grandes
mandalas en la arena de los desiertos. Para ellos, las mandalas tienen un sentido
religioso y ritual. Los artistas consumen drogas antes de empezar su trabajo y se
retiran a la soledad del desierto para dibujar durante semanas enteras sin comer. Las
mandalas australianas son muy bellas. En ellas, los artistas nativos utilizan colores
naturales muy fuertes.

También, se encuentran mandalas buriladas en objetos de madera: flechas y arcos,
los famosos bumeranes, las puertas de sus casas y hasta sus barcos tienen
ornamentos geométricos.

AMÉRICA

Muchos pueblos indígenas de las américas han desarrollado mandalas específicas.
El círculo es símbolo de eternidad y de l pensamiento holístico o cíclico. La piedra
calendario de los Aztecas es uno de los ejemplos más famosos. Esa piedra ha sido
dedicada a la diosa del Sol y contiene todos los conocimientos astronómicos y
matemáticos aztecas.

Los pueblos indígenas que viven en el Perú también unas mandalas como
ornamentos simbólicos en sus tejidos, cestos y cerámicas. Son famosas las Líneas
de Nazca, que en algunas de sus figuras (por ejemplo, el mono) llevan mandalas. En

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gran parte, la cosmovisión andina del mundo se expresa en lenguaje simbólico
utilizando el espiral como forma geométrica esencial.


Más adelante hemos integrado siluetas de diferentes tipos de mandalas. Vienen de
varias culturas de diferentes épocas históricas y se distinguen notablemente por sus
construcciones geométricas. Recomendamos utilizar estos dibujos para elaborar
materiales didácticos.

COLOREAR LAS MANDALAS

Se ofrecen copias de dos o tres de las siluetas a los alumnos. Ellos eligen la que más
les gusta y la colorean. Pueden pintar con varios colores o solamente con dos.
Cuando terminen, se expondrán las mandalas en el aula o en el patio del colegio.
También se pueden elaborar un libro con las mandalas pegadas o tarjetas de
felicitación para que los alumnos regalen a sus amigos o parientes.

COLOREAR TEMAS

El profesor/a entrega copias con las siluetas y pide a los estudiantes inventar un
título para la mandala elegida. Se recomienda trabajar con oposiciones y
contradicciones, por ejemplo: noche y día, invierno y verano, alegría y tristeza, suerte
y desgracia, etc. coloreándolas solo con dos colores se puede lograr trabajos
excelentes.

MANDALAS DE ARENA

Con esta técnica se recoge una antigua tradición de la India y de algunos pueblos
indígenas americanos. Se pega la arena encima de una superficie plana. Se necesita
una tabla de madera o cartón fuerte de 80 cm. de largo con tiza o lápiz se dibuja la
mandala. Se mezcla la arena con diferentes colores naturales para espolvorearla
encima de la tabla, previamente cubierta con pegamento. Una vez secas, la tablas
pueden colgarse en las paredes del aula.

ARPILLERAS CON MANDALAS

Los alumnos elaboran su silueta de una mandala. Con tiza se dibuja esa silueta en
una tela. Las líneas se bordan con hilo de diferentes colores.

MANDALAS TRANSPARENTES

Se recorta papel o cartón de color negro, de 20 cm. X 20 cm. se dobla dos o tres
veces el papel y luego se recortan líneas y figuras geométricas muy finas. El
resultado es una silueta filigrana que se pega en papel transparente de diferentes
colores y se cuelga en las ventanas.

MANDALAS DE CORDEL

Se prepara una tabla redonda de madera o de cartón, se dibuja con tiza o lápiz, la
silueta de la mandala. Se pega cordel o hilos de diferentes colores encima de las

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líneas. Se recomienda empezar en el centro de la figura y trabajar hacia los
márgenes. Es un trabajo difícil, se necesita mucha paciencia.

MANDALA CON HILOS

Es una tabla de madera y sobre la silueta de una mandala se clavan con un martillo
clavos a medio centímetro de distancia entre sí. Luego se tensan hilos para hacer
una figura geométrica. No es fácil, porque los hilos se pueden romper, pero el
producto es muy bello.

MANDALAS DECORATIVAS

Con esa técnica se recoge una antigua tradición árabe. Por medio de ellas se
elaboran complicados ornamentos para tejer tapices y alfombras o para hacer
azulejos de cerámica para decorar el piso o las paredes. También se fabrican cajas o
latas ornamentales. Se motiva a los niñ@s a colorear las tapas de latas o cajas. Así
pueden hacer un lindo regalo.

ESCRIBIR CON MANDALAS

Se pide a los niñ@s formular un texto que les parezca adecuado y adaptado a las
mandala coloreada. En el texto pueden expresar sus sentimientos (me gustan las
mandalas porque…, las mandalas me ayudan en…) o pueden inventar un cuento. El
texto podría escribirse dentro de la mandala en forma decorativa.

MANDALAS Y POEMAS

La figura geométrica ya tiene algo de lírico y poético. Así, las mandalas motivan y
estimulan a los alumnos a escribir poemas. La tarea es inventar un poema que
exprese la figura. Los alumnos también pueden seleccionar un tema: mi flor, mi
estrella, mi ventana encantada, para empezar y facilitar el trabajo poético.

CONSTRUIR MANDALAS

Para elaborar una mandala la geometría es un instrumento fundamental. La
construcción de ejes, el uso correcto y preciso de una regla y de compás y el dibujo
exacto son habilidades fundamentales para llegar a una silueta. Construyendo una
mandala los alumnos entrenan casi automáticamente en esas habilidades. A los
alumnos que no siempre tienen mucho éxito en sus dibujos libres, la construcción de
una mandala les permite lograr un buen resultado. El uso de papel cuadriculado
facilita el trabajo de construcción.

DIBUJAR CÍRCULOS SIN COMPÁS

Con objetos redondos de diferentes tamaños, como platos, latas, etc. los niños
pueden aprender a dibujar círculos ornamentales. Es un ejercicio sencillo para que
conozcan y trabajen mandalas a un nivel elemental.

IDENTIFICACIÓN DE FORMAS

¿Cuántos círculos, cuadrados, ángulos etc. hay en tal mandala? Otra técnica es
elaborar un juego de memoria. Se necesitan dos juegos completos de todas las

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siluetas copiadas en tarjetas de cartón. Los alumnos pueden jugar libremente para
identificar las parejas.

CALCULAR CON MANDALAS

La tarea puede ser calcular la superficie de una mandala. Como una figura se
compone de diferentes planos (círculo, cuadrados, triángulos etc.) los alumnos
pueden desarrollar e inventar algoritmos diferentes para calcular la figura.

MANDALAS EN NUESTRO BARRIO

Casi todas las iglesias o conventos tienen ventanas con vidrios ornamentales. Los
alumnos pueden buscar ejemplos en su comunidad o barrio. Así conocerán un poco
más de su entorno. Pueden sacar fotos o reproducir en un dibujo a mano la mandala
descubierta

MANDALAS EN LA NATURALEZA

Muchas flores, hojas de plantas, árboles y hasta animales contienen un dibujo
geométrico. Se pueden recopilar dibujos de las diferentes mandalas que se
encuentran en la naturaleza.

ÍNDICE DE LAS MANDALAS
1. Laberinto del piso. Notre dame en Chartres, Francia
2. Mandala de Piedra. Gotland, Suecia
5. Mandala de arena. Estados Unidos.
6. Mandala de un piso en una mezquita. Gadara. Jordania
7 Mandala de tela. Nepal
8. Piedra del Sol (calendario). Aztecas. México.
9. Rosetón de vidrios. Catedral de Estrasburgo. Francia
10. Mandala de tela. Nepal
11. Rosetón de Notre Dame. París. Francia
12. Rosetón de la Catedral de Milán. Italia
13. Caracol
14. Flor
15. Mandala de adobe. Convento de Maulbronn. Alemania
16. Árbol
17. Cristal de nieve
18. Rosetón de la Catedral de Tours, Francia.

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Nota:

Estos dos diseños le servirán para construir sus propias mandalas. Puede tomarlo como ejemplo y ampliarlo al tamaño
deseado.

WIRACOCHA

Tiqsi Wira Quchá, Qaylla Fuego de los
Wira Quchá, Pacha fundamentos, fuego
Kamáq, Runa Ruraq! que pone los límites,
principio del espacio
¿Maypim kanki? tiempo que hace la
¿Maypim kanki? ¡Yayá! realidad de los
hombres!
¡Tiqsi Qaylla Wira Quchá!
¿Dónde has estado?
¿Maypim kanki, hanaq ¿Dónde estarás?
pachapichu, kay Principio mío
pachapichu qaylla
pachapichu? Fuego que pones los
fundamentos y los
¡Kay pacha Kamáq, Runa límites!
Ruráq! Estilización cabeza andina – con ojos ¿Dónde estarás?
¿Maypim kanki? alados –, cuadrado mágico ¿Arriba, aquí, en lo
¡Uyariway! fundamental, tetraktis pitagórico y profundo, o en el
perspectiva de sistema de mundo recíproco?
inscripciones círculos en cuadrados.
Tu que haces la
realidad de los hombres

¡Óyeme!

Transcrito por Guamán
Poma de Ayala, año
1600

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