Examen admision 2012

Maestría en Física
Examen Admisión
Enero 2012
TIEMPO: 120 minutos
50 preguntas
1

INDICACIONES: Cada pregunta o declaración incomple-
ta es seguida por cinco opciones de respuesta o terminacio-
nes. Elija la mejor respuesta para cada pregunta.
Sección Física
1. Las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza, ordenadas desde la más débil a
la más fuerte son:
A) gravitacional, débil, nuclear, electromagnética
B) electromagnética, débil, gravitacional, nuclear
C) gravitacional, débil, electromagnética, nuclear
D) nuclear, electromagnética, débil, gravitacional
E) débil, gravitacional, nuclear, electromagnética
2. Una masa esférica se deja caer con velocidad inicial 0. Determinar la posición y = y(t) si
la masa experimenta una fuerza de rozamiento Fr = −bv . Considerar que y(0) = 0 .
A) y =
1
2
gt2
B) y =
m
b
gt
C) y =
mg
b
(1 − ebt/m
)
D) y =
mg
b
t
m2
b2
g (1 − e−bt/m
)
E) y = −
m2
b2
g (1 − ebt/m
)
3. En una máquina de Atwood, una de las masas colgantes es cuatro veces la masa de la otra.
Encuentre la aceleración.
A)
3
5
g
B)
2
3
g
C)
4
5
g
D)
3
4
g
E)
g
2
2

4. Una bola metálica se deja caer en la parte superior de un pozo de profundidad h . El sonido
que resulta de la llegada de la bola al fondo del pozo llega al observador en 8, 021 s , medido
desde el momento en que se liberó la bola. Calcular la profundidad del pozo suponiendo que
la velocidad del sonido es 330 m/s
A) 250 m
B) 257 m
C) 127 m
D) 357 m
E) 201 m
5. Un disco con un momento de inercia I0 rota con velocidad ω0 . Un segundo disco; inicial-
mente en reposo, se coloca sobre el primer disco y los dos alcanzan la misma velocidad angular
ﬁnal ωf . El momento de inercia del segundo disco es:
A) ω =
ω0 − ωf
ω0
I0
B) ω =
ω0 − 2ωf
ωf
I0
C) ω =
ω0 + ωf
ωf
I0
D) ω =
ω0 − ωf
ωf
I0
E) ω =
ωf − ω0
ωf
I0
6. Calcule la fuerza vectorial debido a la energía potencial U = k rn
A) + kn rn−2
r
B) − kn rn−2
r
C) + kn rn−1
r
D) + kn rn
r
E) − kn rn−1
r
7. Dos masas iguales m1 = m2 = m están conectadas por un resorte de constante elástica k. El
resorte descansa en una superﬁcie horizontal sin fricción de modo que realiza oscilaciones uni-
dimensionales. Si δ es la diferencia entre las posiciones de las masas con respecto al equilibrio,
encontrar la ecuación del movimiento
3

A) mδ + kδ = 0
B) mδ + 2kδ = 0
C) 2mδ − 2kδ = 0
D) mδ − 2kδ = 0
E) 2mδ + kδ = 0
8. Un bloque de masa m moviéndose con velocidad v sobre una superﬁcie sin rozamiento
choca con un resorte de constante elástica k de modo que lo comprime. Encontrar la máxima
contracción del resorte.
A)
k
m
v
B)
k
m
1
v
C)
m
k
1
v
D)
m
k
v
E)
1
k
mv
9. Considerar un péndulo balístico, compuesto por un bloque suspendido por una cuerda
inextensible, el cual se usa para determinar la velocidad de una bala midiendo la altura h a la
que el bloque se eleva después de que la bala se ha incrustado en él. Si m es la masa de la bala
y M la masa del bloque, la velocidad de la bala está dada por:
A)
(m + M)
M
2gh
B) (m + M) 2gh
C)
(m + M)
m
2gh
D)
(M)
m + M
gh
E)
(m + M)
M
gh
10. Un asteroide esférico de radio Ro rota con velocidad angular ωo . Con el pasar del tiempo
su masa se incrementa hasta alcanzar un radio 2Ro . Asumiendo que su densidad permane-
ce constante y que la masa adicional estaba en reposo con respecto al asteroide, encontrar la
velocidad angular ﬁnal del asteroide.
4

A)
ωo
2
B)
ωo
8
C)
ωo
16
D)
ωo
4
E)
ωo
32
11. Encuentre el campo magnético de un anillo circular de radio r situado en el plano xy para
un punto arbitrario a lo largo del eje z. El anillo lleva una corriente I.
A)
µ0 Ir2
2 (r2 + z2)
3
2
B)
µ0 I
2r
C)
µ0 I
4r
D)
µ0 Ir2
(r2 + z2)
3
2
E)
µ0 Ir2
4 (r2 + z2)
1
3
12. Se conecta una batería de fuerza electromotriz V y resistencia interna despreciable en
serie con una resistencia R y un capacitor descargado de capacitancia C . La carga acumulada
en el capacitor luego de cerrar el circuito es:
A)
1
2
V C (1 − e− t
RC )
B) V C (1 + e− t
RC )
C) V C (1 − e
t
RC )
D) V C (1 − e− t
RC )
E)
1
2
V C (1 + e− t
RC )
13. Un protón que tiene una energía cinética de 0.3 GeV se mueve perpendicularmente a un
campo magnético de 1.55 T. Encontrar el radio de la trayectoria.
5

A) 1.74 m
B) 1.2 m
C) 1.51 m
D) 2.8 m
E) 2.21 m
14. Un átomo neutro de hidrógeno puede ser visto como un protón orbitado por un electrón.
Suponga que la densidad de carga del electrón es ρ(r) = e(δ(r) − (α2/π)e−2αr) . Calcular el
campo eléctrico radial Er .
A) Er =
e
4πε0
(2α2
+ 2α/r)e−2αr
B) Er =
e
4πε0r2
C) Er =
e
4πε0r2e−2αr
D) Er =
e
4πε0
(2α2
+ 2α/r + 1/r2
)e−2αr
E) Er =
e
4πε0r2
(2α2
+ 2α/r + 1/r2
)2
e−2αr
15. El campo eléctrico en una onda plana, está descrita por la expresión: E = E0ycos(ωt +
kx + α)uy + E0zsen(ωt + kx + β)uz . ¿En qué condiciones tendremos una onda polarizada cir-
cularmente?
A) α = β y E0y = E0z
B) α − β = π
C) β + α = ±π/2
D) β − α = ±π/2 y E0y = E0z
E) α = β y E0y = E0z
16. Considerar el circuito de la ﬁgura, el capacitor c se tiene inicialmente una carga q0 cuando
el circuito se cierra. El proceso de la descarga hace que la carga del capacitor varíe con el tiempo
según:
6

A) q0 e−RCt
B) q0 e−Rt/C
C) q0 e−t/RC
D) q0 e−2t/RC
E) q0 e−Ct/R
17. Considerar una onda electromagnética cuyo campo magnético está en la dirección Z, es
decir B = Bz(x, y, z)µz . Indicar cuál es la ecuación de onda para Bz .
A) ∂2Bz
∂x2 = ∂2Bz
∂t2
B) ∂2Bz
∂z2 = ∂2Bz
∂t2
C) ( ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 )Bz = µ0 0
∂Bz
∂t
D) ∂2Bz
∂x2 = µ0 0
∂2Bz
∂t2
E) ( ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 )Bz = µ0 0
∂2Bz
∂t2
18. El campo eléctrico de una distribución de cargas está dada por la expresión: E = A
e−λr
r2
µr
donde A y λ son constantes. La densidad de carga de la distribución es: (δ(r) es la función
delta de Dirac)
A) εo A(4πδ(r) + λ
e−λr
r2
)
B) εo A(4πδ(r) − λ
e−λr
r2
)
C) εo A(4πδ(r) − λe−λr
)
D) 4πεo Aδ(r)
E) 4πεo Aλ
e−λr
r2
19. Un circuito RLC ligeramente amortiguado tiene los siguientes componentes R = 10Ω , L =
10−3
H , C = 1µF . ¿Cuál es la fracción de la carga en el capacitor, con respecto a la carga má-
xima, al tiempo t = 2 × 10−4
s ? Suponer que el capacitor estaba totalmente cargado a t = 0
7

A) 0.379
B) 0.236
C) 0.366
D) 0.266
E) 0.329
20. Considerar un plano inﬁnito que posee una densidad de carga σ . El campo eléctrico a
una distancia d medida desde el plano es:
A)
σ
ε0
1
d
B)
σ
ε0
C)
σ
2ε0
D) 2ε0σ
E)
σ
2ε0
1
d
21. El mesón µ tiene la misma carga que el electrón, pero una masa mayor mµ = 207 me .
Use la teoría de Bohr para encontrar el radio de un átomo µ -mesónico con núcleo de carga Ze
orbitado por el µ−
en comparación al radio de un átomo hidrogenoide.
A) rµ = 2072
rH
B) rµ = rH/2072
C) rµ = 207rH
D) rµ = rH/207
E) rµ = rH
22. Determine la energía cinética umbral para producir pares protón-antiprotón en colisiones
positrón-electrón. La energía cinética del positrón es T+
e y los electrones blanco están en reposo.
A) 0.938 GeV
B) 0.86 TeV
C) 1.72 TeV
D) 1.876 GeV
E) 3.44 TeV
8

23. Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto a la unidad llamada electrón-
voltio (ev)
A) Es la energía cinética de un electrón que es emitido por efecto fotoeléctrico bajo una diferencia de
potencial de 1 voltio
B) Es la energía que adquiere un electrón que es acelerado con una diferencia de potencial de 1 voltio
entre dos puntos separados por 1 metro
C) Es la energía cinética de un electrón que ha sido acelerado desde el reposo con una diferencia de
potencial de 1 voltio
D) Es la cantidad de electrones necesarios para generar un potencial de 1 voltio a 1 metro de distancia
E) Es el potencial generado por 1 electrón a 1 metro de distancia
24. Calcular la velocidad de un protón con energía cinética de 1TeV
A) 0.99999996 c
B) 0.9999 c
C) 0.999 c
D) 0.9999996 c
E) c
25. Un átomo tiene tres electrones de valencia en una capa p. Determine el número total de
estados en esta conﬁguración. Es decir ¿cuántos estados distintos de tres electrones se pueden
construir en una capa p?
A) 4
B) 8
C) 3
D) 12
E) 20
26. En el efecto fotoeléctrico, se hace incidir radiación electromagnética de frecuencia ν sobre
la superﬁcie de un metal. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es verdadera sobre el efecto
fotoeléctrico?
9

A) No se emiten electrones a menos que ν > νu
B) El potencial de frenado V0 es proporcional a ν2
C) El potencial de frenado es independiente de la intensidad
D) Vu es característico del material del cátodo
E) Por sobre la frecuencia umbral, el ﬂujo de electrones aumenta con la intensidad de la luz
incidente
27. En el efecto Zeeman, cada línea espectral de un átomo con un electrón expuesto a un
campo magnético suﬁcientemente fuerte se desdobla en tres líneas muy próximas. Los niveles
de energía asociados a estas líneas están separados por una magnitud:
A)
e¯h
2me c
B
B)
e¯h
me c
B
C)
e¯h
2me
B
D) 2e¯h B
E)
e¯h
2
B
28. Calcular la longitud de onda de los fotones emitidos por la aniquilación electrón-positrón.
Considerar al electrón y al positrón en reposo
A) 0.12 nm
B) 2.4 nm
C) 0.024 nm
D) 0.0024 nm
E) 0.0012 nm
29. La función de onda completa para un estado particular de un átomo hidrogenoide es
Ψ(r, θ, φ) = Nr2
e−Zr/3a0
sen2
θe2iφ
. Determine el valor propio del operador momento angular
ˆLz
A) ¯h
B) 4 ¯h
C) 3 ¯h
D) 2 ¯h
E) ¯h
10

30. Un cuerpo negro con temperatura T, emite radiación de tal manera que se tiene un máxi-
mo para λ = 650 nm. Si la temperatura se incrementa de tal forma que la rapidez de la emisión
de radiación total se duplica, ¿a qué longitud se tiene el nuevo máximo en la distribución es-
pectral de radiación?
A) 680.6 nm
B) 546.6 nm
C) 500 nm
D) 446.7 nm
E) 580.1 nm
31. ¿Cuál es la longitud de onda de Broglie de neutrones en equilibrio térmico con el medio
a temperatura 300o
K .
A) 1.46
B) 0.02 ˙A
C) 0.15 ˙A
D) 2 ˙A
E) 0.1 ˙A
32. Un oscilador armónico unidimensional se encuentra en su estado base, para el cual la
función de onda es Ψ0 = ce−αx2
. Encontrar el valor de c
A)
√
2α
π
B) π
C)
√
α
π
D) 1
E)
2α
π
1
4
33. Una persona desea ver objetos separados 1 m a una distancia de 10000 m . Asumiendo que
la longitud de onda de la luz utilizada es 6000 ˙A , ¿Cuál es el diámetro mínimo de los lentes
circulares que se necesitan?
11

A) 0.7 cm
B) 1.4 cm
C) 2.9 cm
D) 0.3 cm
E) 0.1 cm
34. Una fuente luminosa puntual emite luz con una potencia de 100W . Encontrar la distancia
desde la fuente a la cual la intensidad sea de 1
W
m2
A) 0.5 m
B) 2.82 m
C) 10 m
D) 3.2 m
E) 1 m
35. Considerar dos ondas electromagnéticas planas polarizadas linealmente de la misma lon-
gitud de onda que se superponen en un punto dado. Los campos eléctricos son E1 y E2. La
irradiancia resultante de la superposición para el caso en que las ondas son incoherentes, es:
A) E1
2
+ E2
2
+ 2E1E2 cos δ
B) < E1
2
> + < E2
2
> + < E1 >< E2 > cos δ
C) E1
2
+ E2
2
D) E1
2
+ E2
2
+ E1E2 cos δ
E) < E1
2
> + < E2
2
>
36. Considerar un gas que se describe con la estadística clásica. ¿Cuál es la velocidad cuadrá-
tica media de las partículas de masa m que forman parte de un gas a temperatura T ?
A)
3kBT
m
B)
3
2
kBT
m
C)
πkBT
m
D)
3
4
kBT
m
E)
kBT
m
12

37. La energía total de un oscilador unidimensional E =
p2
2m
+
1
2
kx2
. A la temperatura T,
el valor medio de la energía total es:
A) kBT
B)
1
2
kBT
C)
3
4
kBT
D)
7
4
kBT
E)
3
2
kBT
38. Considere un sistema de dos estados con energías 0, con degeneraciones g1 , g2 respec-
tivamente. Determine la energía total promedio de N partículas en este sistema a temperatura
T .
A)
g2 N
[g2e /kBT + g1]
B)
(g1 + g2) N
2
C)
g2 N
[g1e /kBT + g2]
D)
g1 N
[g2e /kBT + g1]
E)
g1 N
[g1e /kBT + g2]
39. Un oscilador armónico simple uni-dimensional tiene niveles energéticos En = (n + 1
2 )¯hω,
donde ω es la frecuencia característica del oscilador y el número cuántico n toma valores
n = 0, 1, 2, .... Suponer que tal oscilador está en contacto térmico con un reservorio de calor
a temperatura T tal que kBT
¯hω << 1. La relación de probabilidad de que el oscilador esté en el
primer estado excitado con respecto a la probabilidad de que esté en el estado base es:
A) e
− ¯h ω
2 kBT
B) e
¯h ω
kBT
C) e
− ¯h ω
kBT
D) e
− ¯h ω
3 kBT
E) e
− ¯h ω
4 kBT
13

40. La figura muestra el comportamiento de la función de distribución de un sistema de par-
tículas a la temperatura T . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta?
A) La función describe la dependencia del número medio de partículas con la energía
B) La función describe un sistema de partículas con espin
1
2
C) A temperaturas lo suficientemente bajas las partículas empiezan a condensarse de forma que
tienen la misma energía
D) µ es el potencial químico del gas
E) A temperaturas lo suficientemente altas el sistema se describe con la distribución de Boltzmannn
Sección Matemáticas
41. La densidad espectral de energía para un cuerpo negro está dada por: ρT(λ) =
8πhc
λ5
1
ehc/λkBT − 1
la condición del máximo de esta función puede utilizarse para encontrar una ecuación que
permita determinar la temperatura del cuerpo negro, con ayuda de datos experimentales, si
x =
hc
λkBT
dicha ecuación es:
A) ex
(4 − x) = 4
B) ex
(5 − x) = 5
C) ex
(2 − x) = 2
D) ex
(3 − x) = 3
E) ex
(x − 5) = 1
42. La ecuación del movimiento para un oscilador amortiguado es
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ ω2
0x = 0 . La
solución para un oscilador ligeramente amortiguado es:
14

A) x = Ae−γt/2
cos(ω0
2
+ δ)
B) x = (A + Bt)e−γt
C) x = A cos( ω2
0 − (γ2/4)t + δ)
D) x = Ae−γt/2
cos( ω2
0 − (γ2/4)t + δ)
E) x = At cos(ω0
t
+ δ)
43. Evaluar la integral
C
(5 − 2xy − y2
)dx − (2xy − x2
)dy , donde C es la frontera del cua-
drado cuyos vértices son (0, 0) , (1, 0) , (1, 1) , (0, 1) recorrido en sentido antihorario
A) 1
B) 3
C) 0
D) 0.5
E) 2
44. Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción negativa debido a la inyección
de cierta vacuna es 0, 001 . Determinar la probabilidad de que de un total de 2000 personas
más de dos tengan una reacción negativa. (Sugerencia: Utilizar la distribución de Poisson)
A) 1.1x10−3
B) 0.323
C) 0.35
D) 0.05
E) 0.032
45. Considerar la función f (x) = x . ¿Cuál de las siguientes aproximaciones en series de
Fourier es la correcta?
A) x ≈ senx + cosx +
1
2
sen2x +
1
2
cos2x
B) x ≈ 2senx + cos2x +
2
3
sen3x +
1
4
sen4x
C) x ≈ senx +
1
2
sen2x +
1
3
sen3x +
1
4
sen4x
D) x ≈ senx −
1
2
sen2x +
1
3
sen3x −
1
4
cos4x
E) x ≈ 2senx − sen2x +
2
3
sen3x −
1
4
sen4x
15

46. Si la transformada de Fourier de una función f (x) es g(w) =
1
√
2π
∞
−∞
f (x)eiwx
dx, la
transformada de su derivada es:
A) iw2
g(w)
B) iwg(w)
C) −iw2
g(w)
D) −iwg(w)
E) −wg(w)
47. Dada la función f (x) = ex
lnx − x2
, encontrar numéricamente su raiz.
A) 1.6986
B) 1.5213
C) 2.1391
D) 1.6234
E) 1.1002
48. Utilizar la identidad
x
0
dx
√
1 − x2
= arcsen x y un desarrollo en series para encontrar una
fórmula para el cálculo de π
A)
π
2
= 1 +
1
2
·
1
3
−
1
2
·
3
4
·
1
5
+
1
2
·
3
4
·
5
6
·
1
7
+ · · ·
B)
π
2
= 1 +
1
2
·
1
3
+
1
2
·
1
4
−
1
2
·
1
3
·
1
5
+ · · ·
C)
π
2
= 1 −
1
2
·
1
3
+
1
2
·
3
4
·
1
5
−
1
2
·
3
4
·
5
6
·
1
7
+ · · ·
D)
π
2
= 1 +
1
2
·
1
3
+
1
2
·
3
4
·
1
5
+
1
2
·
3
4
·
5
6
·
1
7
+ · · ·
E)
π
2
= 1 +
1
2
+
1
2
·
3
4
+
1
2
·
3
4
·
5
6
+ · · ·
49. Considere el problema de valores propios de átomos hidrogenoides: un electrón orbita
un núcleo de carga Zr. La función de onda general es Ψnlml
(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylml
(θ, φ) , donde
R0 = 2(
Z
a0
)
3
2 e
−Zr
a0 . Determine el valor de r donde la probabilidad radial P(r)dr = R2
0r2dr es
máxima para el estado estacionario.
16

A)
a0
Z
B)
a0
2Z
C) a0
D)
a0
4Z
E)
a0
3Z
50. La expresión relativista de la energía cinética es: Ec = mc2
((
1
1 − (v/c)2
− 1) donde
m y v son la masa y velocidad de la partícula respectivamente, c es la velocidad de la luz.
Encontrar el primer término que debe añadirse como corrección a la expresión de la energía
cinética clásica cuando se tienen efectos relativistas (Para el comportamiento clásico v << c ).
A)
1
2
mv4
c2
B)
3
8
mv4
c2
C)
1
2
mv2
1 − (v2/c2)
D)
1
2
m2v4
c2 1 − (v2/c2)
E)
3
4
mv4
c2
17

Sección Física
1. Respuesta: C
Solución:
La interacción fuerte es la responsable de mantener los núcleos de los átomos a pesar de la
repulsión eléctrica de los protones. La interacción débil gobierna el decaimiento beta y las
interacciones que involucran neutrinos, es más débil que la interacción electromagnética. La
interacción gravitacional es la más débil de las cuatro interacciones, esto suele apreciarse en el
hecho de que la interacción gravitacional no inﬂuye en el comportamiento a nivel nuclear.
2. Respuesta: D
Solución:
Ecuación del movimiento:
m
dv
dt
= mg − bv , con v =
dy
dt
,
entonces:
m
mg − bv
dv = dt
integrando y considerando que v(0) = 0 :
ln
mg−bv
mg = − b
m t
v =
mg
b
[1 − e−bt/m
]
integrando nuevamente y considerando la condición inicial, tenemos
y =
mg
b
t −
m2
b2
g[1 − e−bt/m
]
3. Respuesta: A
Solución:
Ecuación para la masa m1 = 4m
4m ¨x = 4mg − T
donde T : tensión de la cuerda
Ecuación para la masa m2 = m
m ¨x = T − mg
sumando las ecuaciones
5m ¨x = 3mg
entonces
¨x =
3
5
g
19

4. Respuesta: B
Solución:
Tiempo de llegada de la señal: T
tiempo de viaje de la bola: tb
tiempo de viaje del sonido: ts
para la bola: h = 1
2 gt2
b
para el sonido: h = vsts
⇒ vsts = 1
2 gt2
b
como ts + tb = T
⇒ −vsT + vstb + 1
2 gt2
b = 0
reemplazando valores tenemos:
4.9t2
b + 330tb − 2646.93 = 0
resolviendo la ecuación
tb = 7.242s
entonces
h = 257.002 m
5. Respuesta: D
Solución:
Momentum total angular inicial ω0I0.
Momentum total ﬁnal (I0 + I1) ωf
Conservación del momentum angular total: ω0 I0 = (I0 + I1) ωf
entonces:
I =
ω0 − ωf
ωf
I0
6. Respuesta: B
Solución:
F = − U= −∂U
∂r µr
F = −nkrn−1 µr
F = −nkrn−2 r
7. Respuesta: B
Solución:
Sean x1 y x2 las posiciones de las masas 1 y 2 con respecto a sus posiciones de equilibrio,
entonces:
mx1 = − kδ (1)
mx2 = + kδ (2)
20

Efectuando (1) - (2) tenemos
m(x1 − x2 ) = m(x1 − x2) + 2kδ = 0
entonces:
mδ + 2kδ = 0
8. Respuesta: D
Solución:
Conservación de la energía:
1
2 mv2 = 1
2 kx2
x = m
k v
9. Respuesta: C
Solución:
Antes de la colisión:
Energía: 1
2 mv2
Momentum: mv
Después de la colisión:
Energía: 1
2 (m + M) v2
1
Momentum: (m + M) v1, ⇒ v1 = m
m+M v
Energía ﬁnal: (m + M)gh
⇒ 1
2 (m + M)v2
1 = (m + M)gh
( m
m+M v)2 = 2gh
⇒ v = m+M
m 2gh
10. Respuesta: D
Solución:
Momentum angular inicial: I0w0 , I0 es el momento de inercia inicial del asteroide
Momentum angular ﬁnal: If wf
Conservación del momentum angular: I0w0 = If wf , ⇒ wf = I0
If
w0
En el caso de una esfera: IαR2
⇒ I0
If
=
R2
0
R2
f
= 1
4
⇒ wf = w0
4
11. Respuesta: A
Solución:
Ley de Biot - Savart: dB = µ0
4π
Idl x µR
R2
21

donde: dl = rdφµφ
R2 = r2 + z2
µR = cos θµz − sen θµr
⇒ dB = µ0 I
4πR2 ∗ r dφ [cos θµr + sen θµz]
Por simetría, la componente radial total es cero
⇒ B = µ0 I
4πR2 r senθ
2π
0
dφ
⇒ B = µ0 I
2R2 r senθ , senθ = r
R
⇒ B = µ0 I r2
2R3
12. Respuesta: D
Solución:
Según la segunda Ley de Kirchoff:
V = RI + q
c , I = dq
dt
V C = RC
dq
dt + q
⇒ dq
dt = 1
RC (V C − q)
Integrando y teniendo en cuenta que q = 0, para t = 0
ln
V C−q
V C = − 1
RC t
1 − q
V C = e
t
RC
⇒ q = V C(1 − e− t
RC )
13. Respuesta: A
Solución:
Fuerza sobre el protón: F = qv x B (Fuerza de Lorentz)
como son perpendiculares, entonces F = qvB
Además la fuerza es perpendicular a la velocidad y determina el movimiento circular,
entonces: qvB = mv2
r
donde: r: es el radio de la trayectoria
⇒ r = mv
qB = p
qB
Para el caso relativista
p2c2 = E2 − (m0 c2)2 , donde E = K + m0 c2
⇒ p2c2 = K2 + 2m0 c2K
⇒ pc = K 1 + 2m0 c2
K
Para el protón m0 c2 = 0.938GeV
y reemplazando valores obtenemos la respuesta: 1.74 m
22

14. Respuesta: D
Solución:
Ley de Gauss E = 1
E0
ρ(r) o Edr = 1
E0
ρ(r)dr
usando el teorema de la divergencia Edr = E · da = Er 4πr2 (para una superﬁcie
esférica)
⇒ Er = 1
4 π ε0 r2 ρ(r)dV
= e
4 π ε0 r2 [ δ(r)dV − α3
π e−2αrdV]
= e
4 π ε0 r2 [1 − α3
π
r
0
4πr2
e−2αr
dr] (1)
r
0
r2
e−2αr
dr = −
1
2α
r2
e−2αr
+
1
α
r
0
r e−2αr
dr
= − 1
2α r2 e−2αr − 1
2α2 r e−2αr + 1
2α2
r
0
e−2αr
dr
= − 1
2α r2 e−2αr − 1
2α2 r e−2αr + 1
2α2 [− 1
2α e−2αr + 1
2α ]
⇒
r
0
r2
e−2αr
dr =
1
4α3
− (
1
4α3
+
r
2α2
+
r2
2α
) e−2αr
Reemplazando en (1)
Er = e
4π ε0 r2 [1 − 1 + (1 + 2αr + 2α2r2) e−2αr]
= e
4π ε0
[2α2 + 2α
r + 1
r2 ] e−2αr
15. Respuesta: E
Solución: Para tener una onda polarizada circularmente, es necesario que las amplitudes de
los componentes del campo en y y en z sean iguales
es decir: E0y = E0z
Además se debe satisfacer la ecuación E2
x + E2
y = E2 con E2 constante, para esto α = β
16. Respuesta: C
Solución:
q(t)
c + RI(t) = 0 I(t) = dq
dt
para la resistencia: V(t) = RI(t)
⇒ dq
q = − dt
RC
q = q0e− t
RC
17. Respuesta: E
Solución:
La ecuación de onda para el campo magnético es:
2B = µ0 ε0
∂2B
∂t2
como B = Bz(x, y, z)µz
2Bz = µ0 ε0
∂2Bz
∂t2
23

18. Respuesta: B
Solución:
Ley de Gauss:
· E = 1
ε0
ρ(r)
⇒ ρ(r) = ε0A · e−λr µr
r2
utilizando la identidad · (aV) = a · V + a · V
(e−λr) · µr
r2 + e−λr( · µr
r2 )
= −λe−λrµr · µr
r2 + e−λr4πδ(r)
· (e−λr) = −λe−λr
r2 + 4πδ(r)e−λr
⇒ ρ(r) = ε0A(4πδ(r) − λe−λr
r2 )
19. Respuesta: C
Solución:
RI + LdI
dt + Q
C = 0
⇒ d2Q
dt2 + R
L
dQ
dt + 1
LC Q = 0
Sea γ = R
L , ω2
0 = 1
LC
⇒ d2Q
dt2 + γdQ
dt + ω2
0Q = 0
Si el oscilador es ligeramente amortiguado, la solución es:
Q = Qm e− γ
2 t cos(ωt) (Q = Qm para t = 0 ) , ω = ω2
0 − r2
4
reemplazando valores obtenemos para t = 2 x 10−4s:
Q
Qm
= 0.366
20. Respuesta: C
Solución:
Por la Ley de Gauss:
E · da = 1
ε ρdV
Si consideramos un volumen deﬁnido por un cilindro que corta el plano de modo que su
superﬁcie lateral es perpendicular al plano y sus bases están a una distancia d del plano,
tenemos:
E · da = 2EA ; ρdV = σ · A
⇒ E = σ
2ε0
24

21. Respuesta: D
Solución:
Para una partícula con carga e y masa m, moviéndose en una órbita circular estable de radio r
mv2
r = kze2
r2
Según la teoría de Bohr: L = mvr = n¯h
⇒ m( n¯h
mr )2 = kze2
r
⇒ r = ¯h2
n2
kze2m
para el electrón rH = ¯h2
n2
kze2me
para el mesón u ru = ¯h2
n2
kze2mu
⇒ ru
rH
= me
mu
= 1
207
22. Respuesta: E
Solución:
La energía en reposo más la energía cinética del par electron - positrón debe ser al menos
igual a la energía en reposo (con respecto al centro de masa) del par protón - antiprotón
EF = 2mp c2
Antes del choque:
E2
0 = 2(me c2)2 + 2Ee E+
e
Ee = me c2
E+
e = T+
e + m+
e c2
⇒ E2
0 = 2(me c2)2 + me c2(T+
e + me c2)
= 4(me c2)2 + 2T+
e me c2
Como E0 = EF entonces:
4(mpc2)2 = 4(me c2)2 + 2T+
e me c2
Sabemos que: mp c2 = 0.938 GeV
me c2 = 0.00051 GeV
⇒ T+
e = 3.44 TeV
23. Respuesta: C
Solución:
El electrón - voltio (eV) es una unidad de energía deﬁnida como energía cinética de un
electrón que ha sido acelerado desde el reposo con una diferencia de potencial de 1 voltio.
25

24. Respuesta: D
Solución:
E2 = (m0c2)2 + p2c2 y E = k + m0c2
⇒ pc = k 1 + 2m0c2
k
para el protón: m0c2 = 0.938 GeV
⇒ pc = 1.0009TeV
p = mu√
1−( u
c )2
⇒ u2
c2 = p2c2
p2c2+(m0c2)2 = p2c2
E2
u
c = 1
1+(
m0c2
pc )2
= 0.9999996
⇒ u = 0.9999996 c
25. Respuesta: E
Solución:
Para una capa p l = 1 por lo tanto ml = −1, 0, 1
Se debe identiﬁcar todas las posibles formas de distribuir los 3 electrones en los tres
suborbitales
Estados con electrones apareados: 12
Estados con electrones no apareados: 8
Total: 20
26. Respuesta: B
Solución:
En el efecto fotoeléctrico, los electrones son expulsados del metal sólo si la energía ¯hν de los
fotones incidentes es mayor o igual que la energía de ligadura de los electrones en el metal.
Para frecuencias mayores que la frecuencia umbral, el aumento en la intensidad de luz
provoca un aumento en el ﬂujo de electrones. Independientemente de la intensidad, el voltaje
de frenado es proporcional a ν
27. Respuesta: C
Solución:
El desdoblamiento en tres líneas está asociado a la interacción entre el campo magnético B y
el momento magnético orbital µ
La energía correspondiente es:
∆E = −µ · B = −µz B
para el electrón
µz = − e
me
Lz = − e
2me
m¯h
26

m es el número cuántico magnético
⇒ ∆E = −m e¯h
2me
B
entonces para líneas adyacentes
∆E = e¯h
2me
B
28. Respuesta: D
Solución:
Considerando al e− y al e+ en reposo
2hν = 2m0 c2
hc
λ = m0 c2
⇒ λ = h
m0 c = 0.0024
6.625x10−34
9.11x10−31·3x108 m = 0.0024nm
29. Respuesta: D
Solución:
Ecuación de los valores propios:
ˆLzΨ = LzΨ, ˆLz = −˙i¯h ∂
∂φ
ˆLzΨ = −˙i¯h ∂
∂φ (Nr2 e−Zr/3a0 sen2θ e2iφ)
= 2 ¯hNr2 e−Zr/3a0 sen2θ e2iφ
⇒ Lz = 2 ¯h
30. Respuesta: B
Solución:
Según la Ley de Wien: λm2 = λm1
T1
T2
(1)
Según la Ley de Stephan-Boltzman: P1 = σT4
1 y P2 = σT4
2
como P1 = 1
2 P2, entonces: T1
T2
= 2−1/4
reemplazando en (1) y como λm1 = 650nm
λm2 = 2−1/4 650 = 546.6 nm
31. Respuesta: A
Solución:
La energía cinética de media de los neutrones es 3
2 kBT
⇒ p2
2m = 3
2 kBT
⇒ p =
√
3 mkBT
Longitud de onda De Broglie:
λ = h
p = 1.46 ˙A
27

32. Respuesta: E
Solución:
Condición de normalización:
∞
−∞
ΨΨ∗dx =
∞
−∞
c2 e−2αx2
dx = 1
⇒ c2 ∞
−∞
e−2αx2
dx = 1
∞
−∞
e−2αx2
dx =
√
π√
2α
⇒ c = (2α
π )1/4
33. Respuesta: A
Solución:
Para un lente circular la resolución angular está dada por:
sen θ = 1.22 λ
D
Si los objetos están a 10000m de distancia del lente y están separados 1m , entonces:
sen θ ∼ 1
10000 = 10−4
⇒ D = 1.22 x 104 x 6 x 10−7 m
= 7.3 x 10−3m
34. Respuesta: B
Solución:
A la distancia r la luz se distribuye sobre la superﬁcie esférica 4πr2 , entonces la intensidad es:
I = 100
4πr2
W
m2
para I = 1 W
m2 , tenemos r = 100
4π
= 2.82 m
35. Respuesta: E
Solución
La irradiencia de una onda es el valor medio del cuadrado del campo: < E2 >
Para el caso de la superposición de dos ondas en un punto: E = E1 + E2
⇒ E2 = E2
1 + E2
2 + E1E2cos δ
⇒ < E2 >=< E2
1 > + < E2
2 > +2 < E1E2 cos δ >
Si las ondas son incoherentes, entonces
< E1 E2 cos δ >= 0
Finalmente
< E2 >=< E2
1 > + < E2
2 >
28

36. Respuesta: A
Solución:
La energía cinética media es 3
2 kBT
es decir:
1
2 mv2 = 3
2 kBT
⇒ v2 = 3 kBT
m
37. Respuesta: A
Solución:
Según el teorema de la equipartición de la energía, el valor medio de un componente
cuadrático de la energía es igual a 1
2 kBT
Entonces: E = kBT
38. Respuesta:
Solución:
La probabilidad de que una partícula esté en un estado con energía εi es e
−
εi
kBT
entonces
E =
∑
i
εigie−εi/kBT
∑
i
gie−εi/kBT
Para nuestro caso
E = 0 x g1 x e0+ εg2 e−ε/kBT
g1 e0+g2 e−ε/kBT = ε g2
g1 eε/kBT+g2
para N partículas:
g2 N
[g1e /kBT + g2]
39. Respuesta: C
Solución:
La probabilidad de un estado con energía En es A e
− En
kBT
donde A es una constante de
normalización
Para el estado base: E0 = 1
2 ¯hω
Para el primer estado excitado E1 = 3
2 ¯hω ⇒ P1
P0
= e
− ¯hω
kBT
40. Respuesta: C
Solución:
La función de contribución describe el comportamiento de un gas de partículas con espin 1
2.
Este tipo de partículas no presentan condensación
29

Sección Matemáticas
41. Respuesta: B
Solución:
La condición del máximo es:
∂
∂λ ρr(λ) = 0
derivando con respecto a λ e igualando a cero tenemos:
− 5
λ6
8π hc
ehc/λkBT−1
− 8π hc ehc/λkBT
λ5 (ehc/λkBT)2 · (− hc
λ2kBT
) = 0
simpliﬁcando:
−5 + ehc/λkBT
ehc/λkBT−1
hc
λkBT = 0
si x = hc
λkBT
⇒ ex (5 − x) = 5
42. Respuesta: D
Solución:
Suponemos que la solución tiene la forma x = Aeαt
⇒ α2 + αγ + ω2
0 = 0
α =
−γ ±
√
γ2−4ω2
0
2
Si el oscilador es ligeramente amortiguado γ2 < 4ω2
0
⇒ α = −γ
2 ± i ω2
0 − γ2
4
Solución general
x = A1 e− γ
2 t+i ω2
0− γ2
4 t
+ A2 e− γ
2 t−i ω2
0− γ2
4 t
43. Respuesta: E
Solución:
C
[(5 − 2xy − y2)dx − (2xy − x2)dy]
=
1
0
5dx +
1
0
−(2y − 1)dy +
0
1
(4 − 2x)dx +
0
1
0dy
= 5 − 0 − 3 + 0
⇒ = 2
30

44. Respuesta: B
Solución:
Distribución de Poisson P(n) = µn e−µ
n!
µ : valor medio
Para nuestro caso µ = 0.001 x 2000 = 2
P(n>2) = 1 − P(0) − P(1) − P(2)
= 1 − e−2 − 2e−2 − 2e−2
= 1 − 5e−2
= 0.323
45. Respuesta: E
Solución
Forma general de una serie de Fourier
f (x) = a0 +
∞
∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)]
como la función f (x) = x es impar , a0 = an = 0 y bn = 1
π
π
−π
x sen(nx)dx
entonces:
bn = −2
n cos(nπ) + 2
nπ2 sen(nπ) = 2
n (−1)n+1
⇒ x ≈ 2senx − sen2x +
2
3
sen3x −
1
4
sen4x
46. Respuesta: D
Solución:
Transformada de la derivada
D(w) = 1√
2π
∞
−∞
f (x) eiwx
dx
Integrando por partes tenemos:
D(w) = 1√
2π
[f (x) eiwxdx|∞
−∞ − iw
∞
−∞
f (x)]
D(w) = −iw 1√
2π
∞
−∞
f (x)eiwx
dx = −iwg(w)
47. Respuesta: A
Solución:
Debe encontrarse el cero de la función f (x) = exlnx − x2
Sabemos que: f (x) = ex lnx + ex
x − 2x
Método de Newton - Raphson
xn+1 = xn − f (xn)
f (xn)
x0 = 1 ⇒ f (x0) = −1 y f (x0) = 0.71828
31

x1 = 1 − −1
0.71828 = 2.39221
⇒ f (x1) = 3.81734 y f (x1) = 9.32779
x2 = 2.3892 − 3.81734
9.32779 = 1.98296
⇒ f (x2) = 1.04091 y f (x2) = 4.67047
x3 = 1.98296 − 1.04091
9.32779 = 1.7601
x4 = 1.69866
48. Respuesta: D
Solución:
Como arcsin(1) = π
2
⇒
1
0
dx
√
1 − x2
=
π
2
Desarrollando en series de Taylor alrededor de x = 0
1√
1−x2
=
∞
∑
n=0
f n(0)
n!
xn
entonces:
dx√
1−x2
=
∞
∑
n=0
f n(0)
n!
1
0
xn
dx
⇒ π
2 =
∞
∑
n=0
f n(0)
n!
·
1
n + 1
= 1 +
1
2
·
1
3
+
1
2
·
3
4
·
1
5
+ · · ·
49. Respuesta: A
Solución:
P(r)dr = 4( z
a0
)3 e
− 2 zr
a0 r2dr
Es necesario encontrar el máximo de la función f (r) = r2 e
− −2 zr
a0
∂ f
∂r = 2r e
− 2zr
a0 − 2z
a0
e
− 2zr
a0 r2 = 0
⇒ 1 − z
a0
r = 0 ⇒ r = a0
z
50. Respuesta: B
Solución:
Ec = mc2 ( 1√
1−(v/c)2
− 1)
32

Considerando el desarrollo en series de Taylor de la función: 1√
1−x2
≈ 1 + 1
2 x2 + 3
8 x4 + · · ·
tenemos
Ec ≈ mc2[1 + 1
2 (v
c )2 + 3
8 (v
c )4 − 1] para v
c < 1
⇒ Ec ≈ 1
2 mv2 + 3
8 mv4
c2
Entonces la correción relativista es:
3
8 m v4
c2
33

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Campus Politécnico "José Rubén Orellana Ricaurte"
Teléfono 2507144 Ext.2287/2388
Apartado 17-01-2759
Fax: Internacional (593 2)567847/8; Nacional 2567846
e-mail: investigacion.ﬁsica@epn.edu.ec
Quito - Ecuador
34

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