Factor común
- 1. TUTORIAL DE FACTORIZACION Factor común: ma + mb + mc =(a + b + c) El producto notable nos dice que cuando los términos de un polinomio tienen un factor común m, el polinomio es igualal producto de este factor por el polinomio cuyos términos se obtiene dividiendo por m los términos del polinomio: Ej. 2x2 + 4xy + 6xy = 2x(x + 2y + 3z) Por agrupación: En algunas expresiones los términos pueden ser agrupados de tal manera que factorizandocada grupo quede un factor común: Ej. Si la expresión dada es de la forma Ac + bc + ad +bd Y se agrupa el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto, se tiene (ac + bc) + (ad + bd) Y sacando factor común en cada grupo: c(a + b) + d(a + b) Como ahora la expresión contiene el factor común (a + b), sacando el factor se obtiene finalmente (a + b) (c + d). Trinomios cuadrados perfectos: Es igual al cuadrado de un binomio cuando dos de sustérminos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raíces cuadradas de dichos términos. El trinomio es el cuadrado de una suma de una diferencia según que el signo del doble producto sea positivo o negativo. 25x2 – 20xz + 4z2
- 2. Es un cuadrado perfecto, pues contienen dos términos cuadrados perfectos (25x2) y (4z2). Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 5x y 2z, y su doble producto es 2(5x)(2z)=20xz El cual coincide con el término medio del trinomio (exceptuando el signo). Como dicho término medio tiene signo negativo. 25x2 – 20xz + 4z2 = (5x – 2z)2 Diferencia de cuadrados: La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados. 852 - 152 = (85 + 15)(85 – 15) = 100 * 70 = 700 Cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencia de cuadrados si se agrupan convenientemente los términos q forman cuadrados prefectos. 4a 2 - c2 – 6cd + b2 – 9d2 - 4ab =(4a 2 – 4ab + b2 ) – ( c2 +6cd + 9d2) = (2a – b)2 – (c + 3d)2 = (2a – b + c + 3d) (2a – b – c – 3d) Trinomio de la forma: El cociente del 1ro término es la unidad El 1ro término debe ir cuadrado prefecto Ej: X2 +6x+5 (X+5)(X+1) Trinomio de la forma mx2 +px + q : se separa el término medio en dos sumandos de modo que el polinomio resultante puede descomponerse por agrupamiento. Ej
- 3. 8x2 + 37x – 15 = 8x2 – 40x + 3x – 15 = =8x (x – 5) + 3 (x – 5) = = (x – 5) (8x + 3) Suma de potencias de exponentes impar. La Suma de dos potencias con el mismo exponente impar se descompone en la suma de las bases por un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes +1 y -1 alternativamente. Ej 243x5 +1= (3x)5 + 1= = (3x + 1)(81x4 – 27x3 + 9x2 – 3x + 1) Diferencia de potencias de exponente impar. Se descompone en la diferencia de las bases por un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes +1. Ej 32c5 – d5 = (2c)5 – d5 = = (2c – d) 16c4 + 8c3d + 4c2d2 +2cd3 + d4) Suma o diferencia de potencias de exponente par. Es descomponible en factores cuando los exponentes contienen el mismo factor impar, en cuyo caso dicha suma puede expresar como suma de potencias con el mismo exponente impar. Ej X6 +y6 = (x2)3 + (Y2)3 = (x2 + Y2) (x4 – x2 + y4) Polinomios que contiene factores de la forma x + a* Si un polinomio contiene factores de la forma x + a, el numero habrá que buscarlo entre los divisores positivos y negativos. Ej X3 - 8x2 + 16x – 5 Los divisores de -5 son: +1;- 1;+5;-5. Por tanto los posibles divisores de primer grado de polinomio dado son los siguientes:
- 4. X+1, x-1, x+5, x-5 Ensayando las divisiones correspondientes tendremos; 1- 8 + 16 - 5 -5 -5 +65 – 405 1 – 13 + 81 – 410 Por r consiguiente, el polinomio resulta divisible por x-5 y el cociente exalto es x2 – 3x +; es decir X3 – 8x2 + 16x – 5 = (x – 5)(x2 – 3x + 1)