Combinatoria
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El documento presenta conceptos básicos de análisis combinatorio como el principio fundamental del conteo, permutaciones y distribuciones. Explica que el número de posibles resultados de dos experimentos realizados en orden es el producto del número de posibles resultados de cada uno. Luego define permutaciones como arreglos ordenados de objetos de un conjunto y establece que el número de permutaciones de n objetos es n factorial (n!). Finalmente, introduce el concepto de permutaciones tomadas r a la vez.
Combinatoria
- 1. ANALISIS COMBINATORIO Parte I MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística I 2016 MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 1 / 16
- 2. Novena sección Análisis combinatorio1 Denición (Principio fundamental del conteo:) Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces, el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el orden indicado es m × n. Ejemplo En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse la selección? 1 Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010 MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 2 / 16
- 3. Novena sección Análisis combinatorio1 Denición (Principio fundamental del conteo:) Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces, el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el orden indicado es m × n. Ejemplo En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse la selección? 1 Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010 MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 2 / 16
- 4. Novena sección Análisis combinatorio1 Denición (Principio fundamental del conteo:) Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces, el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el orden indicado es m × n. Ejemplo En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse la selección? 1 Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010 MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 2 / 16
- 5. Novena sección Denición (Generalización del principio de conteo) Si r experimentos son realizados de tal forma que el primero tiene n1 posibles resultados, y si para cada uno de esos n1 posibles resultados hay n2 posibles resultados del segundo experimento, y si para cada uno de los posibles resultados de los dos primeros experimentos hay n3 posibles resultados del tercer experimento y así sucesivamente, entonces el número total de resultados de los r experimentos realizados en la forma indicada es n1 · n2 · . . . · nr Ejemplo Lanzamiento de una moneda corriente 4 veces consecutivas. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 3 / 16
- 6. Novena sección Ejemplo Supóngase que hay n bolas distinguibles y r urnas distintas, entonces, el número de maneras en que se pueden distribuir las bolas en las urnas es igual a rn, ya que la primera bola puede ser colocada en cualquiera de las r urnas, la segunda en cualquiera de las r urnas y así sucesivamente, por lo tanto hay r · r · r · . . . · r = rn formas de colocar las bolas en las urnas. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 4 / 16
- 7. Novena sección Denición (Permutaciones) Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres letras. supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n − 1) elementos restantes, para la tercera a cualquiera de los (n − 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total P(n, n) de permutaciones de los n elementos es: P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n factorial. Se dene 0! := 1. Luego P(n, n) = n! o nPn = n! En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
- 8. Novena sección Denición (Permutaciones) Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres letras. supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n − 1) elementos restantes, para la tercera a cualquiera de los (n − 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total P(n, n) de permutaciones de los n elementos es: P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n factorial. Se dene 0! := 1. Luego P(n, n) = n! o nPn = n! En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
- 9. Novena sección Denición (Permutaciones) Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres letras. supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n − 1) elementos restantes, para la tercera a cualquiera de los (n − 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total P(n, n) de permutaciones de los n elementos es: P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n factorial. Se dene 0! := 1. Luego P(n, n) = n! o nPn = n! En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
- 10. Novena sección Denición (Permutaciones) Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres letras. supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n − 1) elementos restantes, para la tercera a cualquiera de los (n − 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total P(n, n) de permutaciones de los n elementos es: P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n factorial. Se dene 0! := 1. Luego P(n, n) = n! o nPn = n! En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
- 11. Novena sección Denición (Permutaciones) Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres letras. supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n − 1) elementos restantes, para la tercera a cualquiera de los (n − 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total P(n, n) de permutaciones de los n elementos es: P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n factorial. Se dene 0! := 1. Luego P(n, n) = n! o nPn = n! En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
- 12. Novena sección Ejemplo ¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR? Denición Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12 permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 6 / 16
- 13. Novena sección Ejemplo ¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR? Denición Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12 permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 6 / 16
- 14. Novena sección Ejemplo ¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR? Denición Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12 permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 6 / 16
- 15. Novena sección Ejemplo ¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR? Denición Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12 permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 6 / 16
- 16. Novena sección El número total P(n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posición se puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquiera de los (n − 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para la r-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n − r + 1) objetos restantes.Esto es: P(n, r) = n(n − 1) . . . (n − r + 1) = n! (n − r)! ∴ MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 7 / 16
- 17. Novena sección El número total P(n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posición se puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquiera de los (n − 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para la r-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n − r + 1) objetos restantes.Esto es: P(n, r) = n(n − 1) . . . (n − r + 1) = n! (n − r)! ∴ MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 7 / 16
- 18. Novena sección El número total P(n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posición se puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquiera de los (n − 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para la r-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n − r + 1) objetos restantes.Esto es: P(n, r) = n(n − 1) . . . (n − r + 1) = n! (n − r)! ∴ MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 7 / 16
- 19. Novena sección Ejemplo Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una la. Si los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las niñas queden alternados entonces habría: Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces habría: MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
- 20. Novena sección Ejemplo Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una la. Si los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las niñas queden alternados entonces habría: Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces habría: MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
- 21. Novena sección Ejemplo Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una la. Si los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las niñas queden alternados entonces habría: Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces habría: MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
- 22. Novena sección Ejemplo Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una la. Si los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las niñas queden alternados entonces habría: Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces habría: MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
- 23. Novena sección Ejemplo Se desea calcular el número de maneras de acomodar a 3 mexicanos, 4 venezolanos, 3 argentinos y 5 colombianos alrededor de una mesa redonda si las personas de la misma nacionalidad insisten en sentarse juntas. En este caso se tienen cuatro grupos de personas: los mexicanos, los venezolanos, los argentinos y los colombianos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 9 / 16
- 24. Novena sección Ejemplo Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la palabra elefantes. Si todas las letras fueran distintas se tendría que el número total de permutaciones es 9!, como las tres e pueden permutarse entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es N = 9! 3! Denición (permutaciones con elementos repetidos) En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es: N = n! n1!n2! · · · nr! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 10 / 16
- 25. Novena sección Ejemplo Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la palabra elefantes. Si todas las letras fueran distintas se tendría que el número total de permutaciones es 9!, como las tres e pueden permutarse entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es N = 9! 3! Denición (permutaciones con elementos repetidos) En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es: N = n! n1!n2! · · · nr! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 10 / 16
- 26. Novena sección Ejemplo Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la palabra elefantes. Si todas las letras fueran distintas se tendría que el número total de permutaciones es 9!, como las tres e pueden permutarse entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es N = 9! 3! Denición (permutaciones con elementos repetidos) En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es: N = n! n1!n2! · · · nr! MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 10 / 16
- 27. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 28. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 29. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 30. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 31. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 32. Novena sección Ejemplo ¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia? Ejemplo (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}, esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
- 33. Novena sección Denición (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P(n, r) formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse entre si de r! formas, entonces: r! n r =n Pr n r = n! (n − r)!r! El número nCr se llama n combinado r. Por convención se dene: n r := 0 r 0 o r n MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
- 34. Novena sección Denición (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P(n, r) formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse entre si de r! formas, entonces: r! n r =n Pr n r = n! (n − r)!r! El número nCr se llama n combinado r. Por convención se dene: n r := 0 r 0 o r n MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
- 35. Novena sección Denición (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P(n, r) formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse entre si de r! formas, entonces: r! n r =n Pr n r = n! (n − r)!r! El número nCr se llama n combinado r. Por convención se dene: n r := 0 r 0 o r n MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
- 36. Novena sección Denición (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P(n, r) formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse entre si de r! formas, entonces: r! n r =n Pr n r = n! (n − r)!r! El número nCr se llama n combinado r. Por convención se dene: n r := 0 r 0 o r n MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
- 37. Novena sección Denición (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P(n, r) formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse entre si de r! formas, entonces: r! n r =n Pr n r = n! (n − r)!r! El número nCr se llama n combinado r. Por convención se dene: n r := 0 r 0 o r n MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
- 38. Novena sección Ejemplo De un grupo de 10 mujeres y 12 hombres se deben escoger cinco parejas, conformadas por hombre y mujer, para un baile. Se desea determinar el número de selecciones posibles. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 13 / 16
- 39. Novena sección Ejemplo De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité conformado por 3 personas, ¾cuántas selecciones son posibles? ¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer? ¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden pertenecer ambos al grupo? ¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer parte del comité si ambos pertenecen a éste?. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
- 40. Novena sección Ejemplo De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité conformado por 3 personas, ¾cuántas selecciones son posibles? ¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer? ¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden pertenecer ambos al grupo? ¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer parte del comité si ambos pertenecen a éste?. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
- 41. Novena sección Ejemplo De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité conformado por 3 personas, ¾cuántas selecciones son posibles? ¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer? ¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden pertenecer ambos al grupo? ¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer parte del comité si ambos pertenecen a éste?. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
- 42. Novena sección Ejemplo De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité conformado por 3 personas, ¾cuántas selecciones son posibles? ¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer? ¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden pertenecer ambos al grupo? ¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer parte del comité si ambos pertenecen a éste?. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
- 43. Novena sección Ejemplo Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo r1 + r2 + . . . + rm = n Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay n r1 formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del primer grupo, hay n−r1 r2 formas de seleccionar el segundo grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto hay: n r1 n − r1 r2 · · · n − r1 − r2 − · · · − rm−1 rm = n! r1! × r2! × · · · × rm! formas de seleccionar los grupos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 15 / 16
- 44. Novena sección Ejemplo Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo r1 + r2 + . . . + rm = n Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay n r1 formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del primer grupo, hay n−r1 r2 formas de seleccionar el segundo grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto hay: n r1 n − r1 r2 · · · n − r1 − r2 − · · · − rm−1 rm = n! r1! × r2! × · · · × rm! formas de seleccionar los grupos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 15 / 16
- 45. Novena sección Ejemplo Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo r1 + r2 + . . . + rm = n Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay n r1 formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del primer grupo, hay n−r1 r2 formas de seleccionar el segundo grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto hay: n r1 n − r1 r2 · · · n − r1 − r2 − · · · − rm−1 rm = n! r1! × r2! × · · · × rm! formas de seleccionar los grupos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 15 / 16
- 46. Novena sección Ejemplo Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo r1 + r2 + . . . + rm = n Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay n r1 formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del primer grupo, hay n−r1 r2 formas de seleccionar el segundo grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto hay: n r1 n − r1 r2 · · · n − r1 − r2 − · · · − rm−1 rm = n! r1! × r2! × · · · × rm! formas de seleccionar los grupos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 15 / 16
- 47. Novena sección Ejemplo Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo r1 + r2 + . . . + rm = n Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay n r1 formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del primer grupo, hay n−r1 r2 formas de seleccionar el segundo grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto hay: n r1 n − r1 r2 · · · n − r1 − r2 − · · · − rm−1 rm = n! r1! × r2! × · · · × rm! formas de seleccionar los grupos. MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 15 / 16
- 48. Novena sección Éste número se llama coeciente multinomial y se denota por: n r1, r2, . . . , rm MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 16 / 16