Teoría Combinatoria
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El documento trata sobre calculo de probabilidades y combinatorias, explicando cómo determinar la probabilidad de seleccionar artículos defectuosos y no defectuosos de un conjunto. Se detallan conceptos como combinaciones, variaciones y permutaciones, incluyendo fórmulas para calcular cada caso, tanto con como sin repetición. Además, se proporciona ejemplos prácticos para ilustrar estos principios en situaciones cotidianas.
Teoría Combinatoria
- 1. Prof. Enely Freitez Enero, 2015
- 2. Sean dos artículos escogidos al azar de un grupo de 12 artículos, de los cuales cuatro son defectuosos a) La probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos. b) La probabilidad de que los dos artículos sean no defectuosos. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 AD1 AD2 AD3 AD4
- 3. La resolución de este ejemplo se hace un poco tediosa, puesto que existen infinitas maneras de seleccionar dos artículos de 12, así como también la cantidad de maneras de seleccionar dos artículos no defectuosos de 8 artículos defectuosos Por ello vamos a estudiar unas técnicas que nos facilitan el calculo de los mismos
- 4. Muestra Ordenada Muestra no Ordenada Remplazamiento Sin Remplazamiento nmVR , nmV , nmCR , nmCR ,
- 5. Factorial de un Número Número Combinatorio Se define como el producto sucesivo desde el 1 hasta n inclusive. n!= 1x2x3x….xn Lo denotamos por el símbolo n! Se lee n factorial El numero combinatorio de m en n, se define . 𝒎 𝒏 = 𝒎! 𝒏! 𝒎 − 𝒏 ! Sean m y n números enteros. Se lee “combinatorio m n”
- 8. Sin Remplazamiento, con Orden a b c d a ab ac ad b ba bc bd c ca cb cd d da db dc Sin Remplazamiento, sin Orden a b c d a ab ac ad b bc bd c cd d Con Remplazamiento, con Orden a b c d a aa ab ac ad b ba bb bc bd c ca cb cc cd d da db dc cc Con Remplazamiento, sin Orden a b c d a aa ab ac ad b bb bc bd c cc cd d cc a b c d
- 9. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación. Existen dos tipos de variaciones: variaciones sin repetición y variaciones con repetición
- 10. se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento, como si están situados en distinto orden . El número de variaciones que se pueden construir se pueden calcular mediante la formula Con n < m; )!( ! , nm m V nm
- 11. Variación sin Repetición De doce manzanas de una caja se desean escoger dos de ellas . ¿Cuántas maneras hay de hacerlo? Solución: 132 )!212( !12 2,12 V Interpretación: de 132 maneras se pueden seleccionar 2 manzanas de 12 que hay en la caja
- 12. se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento, como si están situados en distinto orden . El número de variaciones que se pueden construir se pueden calcular mediante la formula n nm mVR ,
- 13. Variación con Repetición Se desea colocar códigos a determinados productos en una compañía. ¿Cuántos códigos de exactamente cuatro cifras se pueden formar con los dígitos impares? Solución: Tenemos 5 dígitos impares 1,3, 5, 7 y 9, por lo tanto hay 62555555 4 xxx Interpretación: hay 625 códigos de 4 cifras todos impares
- 14. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan Se toman todos los elementos de que se disponen Serán permutaciones sin repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos. Serán permutaciones con repetición si disponemos de elementos repetidos También son llamadas ordenaciones
- 15. Se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación en los elementos. El número de permutaciones, se pueden calcular mediante la formula !mPm
- 16. Permutaciones sin Repetición ¿De cuantas maneras podemos colocar 6 envases de jugos en un estante? Solución El primero puede ser cualquiera de los 6, el segundo cualquiera de los 5, el tercero cualquiera de los 4 y así sucesivamente.. Esto es: 720!6123456 xxxxx Interpretación: Se pueden colocar 6 jugos en un estante de 720 maneras
- 17. Llamamos a las permutaciones con repetición de m elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc., cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc). El número de permutaciones, con términos a, b y c que se repiten son: !!! ! cba m PRm
- 18. Permutaciones con Repetición Se tienen 4 gaseosas de naranja, 3 gaseosas de uva, y 2 gaseosas de colita. ¿En cuantas maneras diferentes se puede ordenar en línea recta todos las gaseosas? Solución El primero puede ser cualquiera de los 6, el segundo cualquiera de los 5, el tercero cualquiera de los 4 y así sucesivamente.. Esto es: 1260 !2!3!4 !9 9 PR Interpretación: las gaseosas se pueden ordenar en línea recta de 1260 maneras.
- 19. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: No influye el orden en que se colocan Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación También son llamadas ordenaciones
- 20. Las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una combinación distinta de otra solo si difieren en algún elemento. El numero de combinaciones sin repetición se calcula mediante la formula: 𝑚 𝑛 = 𝑚! 𝑛! 𝑚−𝑛 !
- 21. Combinaciones sin Repetición ¿De cuantas maneras podemos escoger 5 personas de 10, para aplicarles una encuesta sobre la preferencia de un producto? 10 5 = 10! 5! 10−5 ! = 252 Interpretación Se pueden escoger 5 personas de 10 para aplicar la encuesta de 252 maneras
- 22. Supongamos que A y B son dos sucesos disjuntos, es decir, no se presentan al mismo tiempo. Si el suceso A se puede realizar de m maneras y el B de n maneras. Entonces el suceso A o el B se podrá realizar de m + n maneras distintas.
- 23. Ejemplo Un producto alimenticio se vende en 6 tiendas en Cabudare o en 8 tiendas en Barquisimeto. ¿De cuantas formas se puede adquirir el producto? 6 formas + 8 formas = 14 formas
- 24. Sea C un suceso que pueda descomponerse en dos etapas sucesivas A y B independientemente entre si. Supongamos que la etapa A se puede realizar de m maneras y que la B se puede realizar de n maneras, independientemente de cual sea el resultado obtenido en la etapa A. Entonces, el suceso C se podrá realizar de m.n maneras distintas.
- 25. Ejemplo Una bodeguera tiene tres tipos de arroz, cinco clases de azúcar, y ocho tipo de leche en polvo. ¿De cuantas maneras puede escoger un producto de cada tipo para conformar bolsas de comida para vender? Solución: 3x5x8= 120 maneras
- 27. Son Variaciones o Permutaciones Para formar las agrupaciones ¿Influye el orden de colocación de los elementos? ¿Vamos a usar todos los elementos de que disponemos? Son Permutaciones Son Variaciones ¿Existen elementos repetidos en el conjunto? Son Permutaciones CON repetición Son Permutaciones SIN repetición Son Combinaciones Serán con o sin repetición, si se pueden o no repetir los elementos, respectivamente SI NO SI NO NO SI
- 28. ARMAS, J. Estadística Sencilla, Teoría de Probabilidad. Universidad de los Andes. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. Dpto. de Estadística Mérida (1996). ORTEGA, J. Elementos de Probabilidad. Editorial CENAMEC. Caracas – Venezuela (1998)