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- 1. Análisis Combinatorio Nivel: 2° medio
- 2. Análisis Combinatorio El análisis combinatorio es la rama de la matemática que estudia las diferentes maneras de formar ordenaciones y agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente el número de éstas.
- 3. Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo son 2. Principio Aditivo Ì Principio Multiplicativo Ó
- 4. Principio Aditivo Si un evento A se puede realizar de a maneras diferentes, un evento B se puede realizar de b maneras diferentes y un evento C se puede realizar de c maneras diferentes, entonces uno de ellos (solo uno) se puede realizar de: (a + b + c) maneras diferentes. Ì
- 5. Novelas románticas Libros autoayuda Libros de acción Ejemplo de Principio Aditivo: Fernanda desea leer un libro el fin de semana. Para ello dispone de 4 novelas románticas, 2 libros de autoayuda y 3 libros de acción. ¿De cuántas maneras puede hacer la elección del libro? 4 2 3 + + = 9 maneras
- 6. Principio Multiplicativo Si un evento se realiza por etapas, la etapa 1 se puede hacer de x maneras diferentes, la etapa 2 de y maneras diferentes y la etapa 3 de z maneras diferentes, entonces todas ellas, en conjunto se pueden realizar de: (x ● y ● z) maneras diferentes. Ó
- 7. Principio Multiplicativo Pantalón Polera Zapatillas Pablo desea escoger la vestimenta que usará para salir. Para ello dispone de 6 pantalones, 6 poleras y 5 zapatillas, todos diferentes. ¿De cuántas maneras puede hacer la elección si debe usar uno de cada tipo? 6 6 5 x x = 180 vestimentas diferentes
- 8. Factoriales Propiedades: 0! = 1 n! = n(n – 1)! Propiedades: 0! = 1 n! = n(n – 1)! El factorial del número n se define como el producto de los n primeros números naturales. n! =1× 2 × 3 × 4 × × × × × × × × × n n! n (n 1) (n 2) 3 2 1
- 9. Factoriales 6! 6 5 4 3 2 1 720 5! 7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5! 3! 3 2 1 6 2! 2 1 2 1! 1 4! 4 3 2 1 24 5! 5 4 3 2 1 120 6! 7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6!
- 10. Estudiaremos 3 tipos de permutaciones. Permutaciones lineales (elementos iguales) ●●● Permutaciones circulares o cadenas cerradas ○ Permutaciones lineales (elementos distintos) $ ? & Permutaciones Se denomina permutación a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.
- 11. Permutaciones de elementos distintos Las permutaciones de n elementos distintos (simples o lineales) se calculan por la relación: Pn =n!
- 12. Permutaciones ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 autos en fila en un estacionamiento? 5 P 5! 5 4 3 2 1 120
- 13. Permutaciones con elementos iguales Si se tienen n elementos, de los cuales hay uno que se repite a veces, otros b veces…........el número de maneras de ordenarlos se determina por la relación: n a,b,c,... n! P a! b! c!......
- 14. Permutaciones con elementos iguales ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las 6 esferas en una sola hilera? ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabra OSORNO? 6 3,2 6! P 3! 2! 6 3 6! P 3! 6 5 4 3! 3! 2 1 6 5 4 3! 3! 60 120
- 15. En las permutaciones circulares si todos los elementos se giran no es una ordenación diferente. Permutaciones circulares
- 16. Para evitar contar estas ordenaciones que serían iguales, se fija un elemento. Permutaciones circulares cir P (n 1)!
- 17. Permutaciones circulares ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 8 integrantes alrededor de una mesa con 8 sillas? cir P (8 1)! 7! 5.040
- 18. Subconjunto ordenado : Variaciones Se denominan variaciones o arreglos a diferentes ordenaciones que se pueden formar con r elementos de un total de n elementos. Presidente Vice-presidente Tesorero ¿Cuál es el número de directivas que se puede formar en este grupo?
- 19. Variaciones (sin repetición) Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de k elementos que se pueden obtener, sin repetir, está dado por: n k n! V (n k)!
- 20. Variaciones sin Repetición Si en un autobus hay disponible sólo 3 asientos y 7 personas están de pie, ¿de cuántas maneras distintas podrían ocupar esos asientos? En un campeonato de fútbol participan 8 equipos. ¿De Cuántas maneras distintas pueden ser ocupados los tres primeros lugares? 7 3 7! V 4! 7 6 5 4! 4! 7 6 5 210 8 3 8! V 5! 8 7 6 5! 5! 8 7 6 336
- 21. Variaciones (con repetición) Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de k elementos que se pueden obtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos, está dada por: Si se lanza un dado común 3 veces consecutivas y en cada ocasión se anota el resultado, ¿cuál es la cantidad de resultados posibles? k n k VR n 6 3 3 VR 6 6 6 6 216
- 22. El procedimiento por el cual se sabe el número total de maneras de escoger a estos dos alumnos, corresponde a lo que en análisis combinatorio se llama Combinaciones. Subconjunto sin orden
- 23. Combinaciones (sin repetición) Las combinaciones son subconjuntos en los cuales el orden no es importante. Cada subconjunto se diferencia de otro solo por los elementos que lo componen. n k n! C (n k)! k!
- 24. Combinaciones sin Repetición En un jardín infantil hay 5 cupos para 8 niños que postulan. ¿De cuántas formas se pueden ocupar esas vacantes? ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras? 8 5 8! C 3! 5! 8 7 6 5! 3 2 1 5! 8 7 56 6 11 66 12 2 12! C 2! 10! 12 11 10! 2 1 10!
- 25. Combinaciones (con repetición) Sea A un conjunto que tiene n elementos. Llamamos combinación con repetición de orden k, con k n, a todo subconjunto de A formado por k elementos , sin orden con repetición. El número total de combinaciones de orden k lo denotamos por: n n k 1 k k n k 1 (n k 1)! CR C (n 1)! k! k
- 26. Combinaciones con Repetición Si tenemos una cantidad de monedas de $10, $50, $100 y $500, donde hay mas de tres monedas de cada una, ¿cuántas selecciones de tres monedas se pueden hacer? 4 4 3 1 6 3 3 3 CR C C 6 5 4 3! 3 2 1 3! 5 4 20 6! 3! 3!