Clase de Combinatoria
- 1. Combinatoria Prof. Andrea Suertegaray
- 2. En muchos problemas, no sólo nos piden que encontremos sus posibles soluciones, sino también CUÁNTAS son éstas. O sea, que indiquemos la cantidad de soluciones diferentes que podemos brindar, agrupando los elementos (datos) del problema dado.
- 3. Mariano, Ramiro y Ezequiel corren una carrera de 100 metros llanos.. ¿Cuántos resultados diferentes puede tener la carrera, si nos interesa en qué lugar termina cada uno? Escríbelos. Tenemos cuatro lugares libres en la biblioteca, y allí podemos ubicar cuatro libros de: Física, Biología, Matemática e Historia. ¿De cuántas formas los podemos ubicar si no hay preferencias? Nicolás tiene siete autitos de colección y generalmente los ubica como si cada uno tuviera asignado un orden de largada. ¿Cuántas largadas diferentes puede realizar? (Pista: ¿Cuántos autos puede ubicar en la primera posición?.. ¿en la segunda? …, continua así hasta la última posición? Veamos unos ejemplos:
- 4. Las diferentes soluciones de estos tres problemas surgen por la forma en que se ordenan sus elementos. Es decir, una solución es distinta de otra porque sus elementos están solo cambiados de orden o están permutados. Una forma gráfica de resolver estos problemas es la llamada: diagrama de árbol Para el primer problema: P 3 = 3 . 2 . 1 que se lee permutaciones de tres elementos . La cantidad de permutaciones de 3 elementos se simboliza: P 3 = 3! P 3 = 6 Busca la tecla ! Ésta te informa el FACTORIAL DE UN NÚMERO y significa P4= 4! 4! = 4.3.2.1 M R R E E R M M E E E R R M M 3 OPCIONES 2 OPCIONES 1 OPCIONES
- 5. Qué permuta!! ¿Cuántos números de cinco cifras distintas pueden formarse con los dígitos impares? ¿De cuántas formas puedes ordenar seis compac en un estante?
- 6. Sigamos variando!! En el centro de estudiantes hay cinco alumnos: Pablo, Alberto, Jorge, Rodrigo y Matías, para ocupar tres cargos: presidentes, ice y secretario .¿Cuántas elecciones deferentes hay? Grafica la situación, teniendo en cuenta cuántas opciones tienes para ocupar cada cargo. La solución: Matías, Pablo, Alberto; ¿es la misma que: Alberto, Matías, Pablo? ……………………. ¿Por qué? La solución: Matías, Pablo, Alberto; ¿es la misma que: Matías, Jorge, Pablo? ……………………. ¿Por qué? Esto quiere decir que, una solución es diferente de otra porque Varia el orden o algún elemento en el grupo elegido.
- 7. Simbólicamente: V 5,3 = 5.4.3 esta expresión nos dice que hay 5 personas para ocupar el cargo de presidente, 4 para ser vice y 3 para secretario Se lee: variación de cinco elementos agrupados de a tres Anímate con estos!! ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos de 1 al 9? ¿Cuántas palabras de tres letras pueden formarse, tengan sentido o no, con las letras de la palabra LIBRETA?
- 8. Pero…¿siempre interesa el orden en que ubicamos a los elementos del grupo? Analicemos lo siguiente: Con los números 8,9,11,12,26 y 38 ¿cuántas sumas diferent4es podemos obtener de dos términos distintos cada una? Escríbelas. Habrás notado que la solución : 8+9, es igual a la solución 9+8; es decir aquí cambiando el orden de los números, el resultado es el mismo. Por ello, ala cantidad de variaciones que podemos realizar con los 6 elementos agrupándolos de a 2 (V6,2) se la divide por las permutaciones de los 2 elementos del grupo (P2), para anular la influencia del orden. Simplemente decimos que hemos COMBINADO 6 elementos en grupos de 2. En símbolos:
- 9. Veamos si nos entendemos ¿Cuántas tarjetas de LOTO distintas se pueden realizar? Antes contesta: ¿importa el orden en que ubiques los 6 números elegidos? Ahora si, todo tuyo!! Si juegas una tarjeta, ¿qué PROBABILIDAD tienes de ganar?................ Te pinchamos una ilusión?? Bueno, pero hay algo que la Matemática no puede controlar: la suerte!!
- 10. Para resumir: Escribe diferencias y/o similitudes entre: PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ...