Analisis combinatorio
- 1. - 1 - ANÁLISIS COMBINATORIO PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En los ejemplos siguientes, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos. Ejemplo 1 Ejemplo 2 1.- PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de "m + n" maneras. Observaciones: * En este principio, la ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento "A" o el evento "B"; pero no ambos a la vez. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.
- 2. - 2 - Ejemplo 3 Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Resolución: Ejemplo 4 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda? Resolución: 2.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de " m x n " maneras. Observaciones: * En este principio, la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. Ejemplo 5 Una persona puede viajar de "A" a "B" de 3 formas y de "B" a "C" de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin retroceder? Resolución: Ejemplo 6 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? Resolución: PERMUTACIÓN Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación, sí interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos: 1. PERMUTACIÓN LINEAL : Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. En general: El número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "K" en "K", se calcula como: Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir, K = n), se dice que es una permutación de "n" elementos y se denota por Pn
- 3. - 3 - Ejemplo 7 En una carrera participan 4 atletas, ¿de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro? Resolución: Ejemplo 8 Un grupo está formado por 6 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario, ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión? Resolución: 2. PERMUTACIÓN CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en línea cerrada. Ejemplo 9 ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Juan y sus cinco amigas? Resolución: 3. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos). Si se tienen "n" elementos donde hay: K1 elementos repetidos de una 1ra. clase. K2 elementos repetidos de una 2da. clase. …. K elementos repetidos de una r - ésima clase. El número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue: Ejemplo 10 Un estante tiene capacidad para 5 libros de R.M. que tienen pasta azul, 4 de R.V. de pasta roja y 3 de Historia del Perú de pasta amarilla. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores? Resolución: COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos. En general: El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K", se calcula como:
- 4. - 4 - Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinación de "n" elementos y : Ejemplo 10 ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas? Resolución: Ejemplo 10 Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Resolución: PROBLEMITAS ENUNCIADO "Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí". Problemita 01. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? a) 15 b) 240 c) 60 d) 120 e) 72 Problemita 02. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? a) 120 b) 60 c) 80 d) 12 e) 720 Problemita 03. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul? a) 95 b) 80 c) 120 d) 61 e) 91 Problemita 04. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? a) 11 b) 60 c) 12 d) 42 e) 51
- 5. - 5 - ENUNCIADO "De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes". Problemita 05. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? a) 9 b) 20 c) 12 d) 40 e) 625 Problemita 06. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 380 c) 240 d) 399 e) 401 Problemita 07. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical? a) 24 b) 120 c) 32 d) 256 e) 64 Problemita 08. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos? a) 864 b) 1728 c) 688 d) 892 e) 1700 Problemita 09. El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate? a) 210 b) 230 c) 240 d) 205 e) 180 Problemita 10. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales? a) 6934 b) 6912 c) 6780 d) 6512 e) 6936 Problemita 11. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? a) 420 b) 280 c) 288 d) 840 e) 168 Problemita 12. Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados?
- 6. - 6 - a) 120 b) 180 c) 140 d) 130 e) 117 Problemita 13. Una alumna tiene para vestirse : 4 blusas; 3 pantalones, 2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir convencionalmente? a) 120 b) 60 c) 144 d) 72 e) 288 Problemita 14. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera 6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en uno de los extremos? a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 72 Problemita 15. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)? Además, consideremos que las personas del mismo sexo no están juntas. a) 720 b) 360 c) 240 d) 8! e) 144 Problemita 16. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente, vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? a) 1428 b) 1716 c) 1628 d) 1718 e) 1728 Problemita 17. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B? a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 Problemita 18. Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? a) 48 b)12 c)16 d)14 e)NA Problemita 19. Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? a) 3 b) 2 c)1 d)7 e)6 Problemita 20. En una carrera de 400metros participan 10 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán
- 7. - 7 - ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro , plata y bronce? a)400 b)6000 c) 560 d)720 e)NA Problemita 21. Calcule el valor de ‘x’ en: 2x 1 ! 1! 2! 3! 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Problemita 22. Calcule: 13! 14! 15! E 13!x15 A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Problemita 23. Los distritos de Lima y San Isidro están unidas por seis caminos diferentes: San Isidro y Miraflores cuentan con 10 caminos diferentes, y el distrito de Miraflores con San Juan de Lurigancho por 8 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede trasladarse de Lima a San Juan de Lurigancho pasando por San Isidro y Miraflores? A) 480 B) 460 C) 440 D) 420 E) 400 Problemita 24. ¿Cuántos numerales de 5 dígitos diferentes tienen como sus 2 últimas cifras 2 y 5 en este orden? a) 450 b) 3 60 c) 900 d) 336 e) 1 800 Problemita 25. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda? a) 2 b) 12 c) 8 d) 13 e) 6 Problemita 26. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 niños en una fila, de manera que 3 niños en particular queden juntos? a) 120 b) 5040 c) 900 d) 720 e) 840 Problemita 27. ¿De cuántas maneras podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos (2 iguales), 5 pares de medias y 6 polos (3 iguales)? A) 360 B) 300 C) 280 D) 220 E) 180 Problemita 28. El aula de selección del centro preuniversitario consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? A) 3 B) 1 320 C) 120 D) 256 E) 310 Problemita 29. ¿Cuántas placas diferentes para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto) A) 676.103 B) 936.103 C) 642.103
- 8. - 8 - D) 468.103 E) 234.103 Problemita 30. Con 6 hombres y 6 mujeres, de cuantas maneras se puede formar una pareja? A) 12 B) 18 C) 26 D) 32 E) 36 Problemita 31. ¿Cuántos son los números abcde tres dígitos distintos? A) 899 B) 648 C) 900 D) 810 E) 720 Problemita 32. El código MORSE usa dos signos: punto y raya (. ; -) y las palabras tienen de 1 a 4 signos ¿Cuántas son las palabras del código MORSE? A) 40 B) 30 C) 36 D) 34 E) 20 Problemita 33. Si un club tiene 4 candidatos para Presidente, 3 candidatos para Secretario y 2 candidatos para Tesorero, ¿de cuántas maneras puede elegirse la mesa directiva? A) 3 B) 7 C) 12 D) 24 E) 32 Problemita 34. Un examen está formado por tres grupos de preguntas. El grupo A contiene 5 preguntas; el grupo B, contiene 7 y el grupo C, contiene 9. Se va contestar una pregunta de cada grupo, ¿de cuántas maneras diferentes puede un estudiante elegir sus preguntas? A) 270 B) 315 C) 413 D) 21 E) 120 Problemita 35. ¿De cuántas maneras puede elegirse un comité de cuatro personas en un club de nueve miembros? A) 86 B) 100 C) 120 D) 126 E) 130 Problemita 36. En un grupo de jóvenes hay 8 varones y 6 mujeres. Si se desea elegir un grupo de 5, donde haya 3 mujeres, de cuántas maneras se podrá obtener el grupo? a) 200 b) 280 c) 480 d) 760 e) 560 Problemita 37. Elías desea comprar 8 libros de cálculo y 10 libros de análisis. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger 8 libros de análisis y 5 libros de cálculo? a) 2520 b) 2530 c) 3620 d) 2730 e) 3520 Problemita 38. Al término de una reunión hubieron 28 estrechones de mano; suponiendo que cada de los participantes fue cortés con cada uno de los demás; el número de personas era de: a) 14 b) 56 c) 28 d) 9 e)8 Problemita 39. Si María dispones de 4 minifaldas y 5 blusas ¿de cuantas formas distintas puede vestirse, si la minifalda roja y la blusa verde, nunca las usa juntas? a) 20 b) 9 c) 18 d)19 e)8