Análisis+combinatorio

Universidad Autónoma de Santo
Domingo (UASD)
MAETRIA DE LA DIDATICA DE
LA MATEMATICA

PRESENTACION GRUPO #10
• AMPARO GUICHARDO
JOSEFINA RIVERA
WILLIAN ALBURQUERQUE GONZALEZ
• .
PROFESOR :MANUEL GUARDADO
• ASIGNATURA: MATEMATICA DISCRETA Y
ESTADITICA
• Fecha :06/09/2014

Análisis Combinatorio
• Analizar los principios fundamentales del análisis
combinatorio.
• Resolver situaciones problemáticas aplicando el análisis
combinatorio con y sin uso de la calculadora.
• Valorar la importancia del uso de la calculadora para la
resolución de problemas matemáticos.
• Reconocer la importancia de las variaciones, permutaciones
y combinaciones como técnicas para resolver problemas
científicos.
propósito

Teoría Combinatoria
La Combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto
es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que podemos
llevar a cabo de un modo rápido teniendo en cuenta las
relaciones que deben existir entre ellas.
Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge
en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre
Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que
formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad,
contenían asimismo los principios para determinar el número
de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se
estableció la tradicional conexión entre combinatoria y
probabilidad.

El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente
fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de
Arte Combinatoria. De gran importancia para la
consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars
Conjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este
trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de
probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un
buen número de nociones básicas de combinatoria pues se
usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de
probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de
Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la
combinatoria como una nueva e independiente rama de las
matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a
principios del siglo XVIII una auténtica escuela de
matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición
y descomposición de enteros positivos en sumandos,
estableció las bases de uno de los métodos fundamentales
para el cálculo de configuraciones combinatorias.

• Aplicaciones del análisis combinatorio

2) Cuantas combinaciones de 2 números diferentes podemos hacer
con los números del sistema decimal.
3) si tu numero telefónico es 829-920-6656, y alteramos el orden:
829-920-5666, es el mismo numero telefónico?
Como pudimos observar en los ejemplos, las teorías
combinatorias nos pueden ayudar a resolver
múltiples problemas de la vida diaria.
L R Y
Por ejemplo:
1) Con 3 colores diferentes ¿cuántas banderas tricolores podemos
hacer colocando los colores horizontalmente? Una bandera de otra
se diferencia en tener un color diferente o en el orden de colocación
de los colores.

Teorema Fundamental del Análisis
Combinatorio
• Si un evento A ocurre de m manera diferentes, y un
segundo evento B de n manera diferentes, entonces A
seguido de B ocurre de m x n manera diferentes.
• Ejemplo 1:
Para ir de Santo Domingo a Santiago hay 3 maneras:
Carro, Avion y Guagua. Para ir de Santiago a Puerto
Plata hay 2 maneras: Guagua y Tren. De cuantas
manera puede ir un ciudadano de Santo Domingo a
Puerto Plata?
• 3 x 2 = 6 de seis manera distintas.

• En general la teoria combinatoria es de gran
utilidad en aquellas áreas donde distintas
maneras de agrupar un numero finito de
elementos tenga importancia.
• En el análisis combinatorio se distinguen las
variaciones, las permutaciones y las
combinaciones.

Las Variaciones
Llamamos variaciones a los distintos grupos de
elementos que podemos formar tomados de n en n de
un total de m elementos.
Hay dos tipos de variaciones: sin repetición y con
repetición.
Variaciones sin repetición: los elementos no pueden
repetirse en el grupo dado.
Las variaciones de m elementos tomados de n en n, se
detona así: m V n = m(m-1) (m-2) … (m-2+1)
Ejemplo:
¿Cuántos grupos de 2 cifras (n) podemos formar con las
cifras 1, 2 y 3 (m)?
m V n = 3(3-1)
3 V 2 = 3 x 2 = 6

Variaciones
¿Cuántos grupos de 3 cifras (n) podemos formar
con las cifras 1, 2, 3, y 4 (m)?
n = 3 y m = 4 elementos
m V n = m(m-1)(m-2)
4 V 3 = 4 x 3 x 2= 24 cifras
Con la letras {a,b,c,d,e}. Cuantos grupos diferentes
se pueden formar tomado de 3 en 3?

VariacionesPara hallar el números de variaciones de cualquier
caso dado, también lo podemos hacer mediante la
formula:
m!: Significa factorial un
número.
Para hallar el factorial de un numero se utiliza la
formula m! = m x (m-1) x (m-2) x …. x 1
Así el factorial de 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Probar los ejemplos anteriores con la formula.
)!(
!
nm
m
mVn



Variaciones con Repetición
En estos casos los elementos pueden repetirse en la
formación de los grupos.
Ejemplo: cuantos grupos diferentes de 2 en 2
puemos formar con la palabra AMOR:
m = 4 y n = 2
=
AA, AM, AO, AR,
MM, MA, MO,
MR
OO, AO, OM, OR
RR, RA, RM, RO
1642
n
m
n
mVR

• 2) Cuantas variaciones con repetición podemos
hacer con las 5 vocales tomadas de 2 en 2?
• 3) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar
con los dígitos: 1, 2, 3, 4 ?
• m = 4 n = 3
• No entran todos los elementos. De 4 dígitos entran
sólo 3.
• Sí importa el orden. Son números distintos el 123,
231, 321.
• Sí se repiten los elementos.

Las permutaciones
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
•
Partiendo de un número m de elementos, llamamos
permutaciones a los distintos grupos que podemos formar
con los m elementos entrando todos los elementos en
cada grupo.
Un grupo de otro se diferencia en el orden de colocación de
sus elementos.
Tiene cierto parecido con las variaciones, su diferencia es
que m y n son iguales.
Según lo que acabas de leer podemos escribir:
• Vemos que las permutaciones de m elementos es igual al
producto de m factores decrecientes a partir de m de
unidad en unidad hasta llegar a 1.(Factorial de un numero)

Permutaciones
• Cuantas permutaciones se pueden hacer con la
palabra AMOR?
• Cuantas permutaciones se pueden hacer con la
palabra SAL?

Permutaciones con repetición
• En el caso de repetir algún elemento, dos veces, como
en el caso de la palabra ala, en la que el
elemento a se repite dos veces, escribiríamos:
• Para saber las permutaciones que podemos hacer
cuando un elemento, como en el caso de la
palabra ala se repite dos veces, tenemos que dividir
el total de las permutaciones de los n elementos entre
las permutaciones del número del elemento que se
repite.
En este caso, como el elemento a se repite 2 veces
tendremos:
• Los grupos que podemos formar son: ala, aal, laa

Permutaciones con repetición
• Las permutaciones que podemos hacer con la
palabra masa serán:
• masa, maas, msaa, amsa, amas, asma, asam,
aams, aasm, smaa
sama, saam
• Las permutaciones que podemos hacer con la
palabra banana

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