Funciones

Concepto de función Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda que llamamos imagen .

La variable que se fija previamente se llama variable independiente y se denota frecuentemente por x . La variable cuyo valor se deduce a partir de la variable independiente se denomina variable dependiente y suele denotarse por y= f(x).

Formas de definir una función Una función puede venir dada: 1.- Por una regla o fórmula que asocia a cada valor de la primera magnitud el valor que le corresponde de la segunda magnitud. Ejemplos: y = 3x 2 +5 f(x) =

2.- Por una tabla. Ejemplo: x f(x) -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

Elementos de una función El dominio o campo de existencia de la función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable independiente. Se designa Dom(f) . El recorrido de la función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable dependiente.

Simetrías Una función f es par o simétrica respecto al eje de ordenadas cuando, para cualquier valor x de su dominio, se verifica que f(-x)= f(x).

Una función f es impar o simétrica respecto del origen cuando, para cualquier valor x de su dominio, se verifica que f(-x) = - f(x) .

Periodicidad Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo T, llamado período , es decir, se cumple que f (x+T) = f (x).

Continuidad Una función es continua en un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo, es decir, si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Los puntos donde la función no es continua se llaman puntos de discontinuidad .

Monotonía Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de puntos, x 1 y x 2, se cumple: x 1 < x 2  f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de puntos, x 1 y x 2, se cumple: x 1 < x 2  f(x 1 ) ≥ f(x 2 )

Función creciente: Función decreciente:

Acotación Una función f está acotada superiormente si existe un número real M tal que para todo x es f(x) ≤ M . El número M se llama cota superior . Una función f está acotada inferiormente si existe un número real m tal que para todo x es f(x)≥m . El número m se llama cota inferior . Una función está acotada si lo está superior e inferiormente.

Función acotada inferiormente y no acotada superiormente

Máximos y mínimos Una función f tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en donde la función toma valores menores o iguales a f(a). Una función f tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en donde la función toma valores mayores o iguales a f(a).

Una función f tiene un máximo absoluto en x=a si el valor de la ordenada, f(a), es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. Una función f tiene un mínimo absoluto en x=a si el valor de la ordenada, f(a), es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo absoluto: Mínimo absoluto:

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