Fernandez1

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no 30(2004), 115–141

El secreto de ´
y el Algebra lineal

´
P. Fernandez

Departamento de Matem´ticas, Universidad Autńoma de Madrid
a o

pablo.fernandez@uam.es

Resumen
En este art´
ıculo analizaremos algunos de los ingredientes matem´ticos
a
que fundamentan el algoritmo (PageRank) con el que Google ordena los
u o ´
resultados de las b´squedas: un sabroso cćtel de Algebra lineal, Teor´
ıa
de Grafos y Probabilidad que nos facilita la vida.
Clasificaciń por materias AMS:
o 05C50, 15A48, 60J20.
Palabras clave: Google, algoritmos de ordenaciń, matrices positivas, teor´
o ıa
de Perron-Frobenius.

1 Introducciń
o
Los editoriales de los principales peri´dicos del mundo se ocupan estos d´ de
o ıas
la noticia de la salida a Bolsa de Google, no s´lo por el volumen de negocio que
o
supone1 , sino por lo que de simb´lico tiene el ser la primera operaciń de este
o o
tipo en una empresa de tal envergadura desde la “exuberancia irracional” de
las llamadas “puntocom” de los aõs 90.
n
Pero hay algo m´s que explica este destacado inter´s, y tiene que ver con
a e
las caracter´ısticas propias de la empresa. Ya han pasado varios lustros desde
que se produjo una revoluciń en el campo de la tecnolog´ y de la informaciń
o ıa o
— y quiz´s (¿o sin duda?), una revoluciń cultural, sociol´gica, etc.—, como
a o o
Fecha de recepciń: 09/11/04
o
1 Sepondrń a la venta acciones por valor de 2700 millones de d´lares. Quiz´s por el
a o a
recuerdo de los excesos y escńdalos que rodearon la burbuja financiera de las empresas
a
tecnol´gicas en aõs pasados, la oferta se articular´ en forma de subasta on line, de manera
o n a
que muchos inversores tengan similares oportunidades de adquirir acciones. Se trata as´ de
ı
evitar grandes movimientos especulativos. . . pero nunca se sabe.

115

116 ´
P. Fernandez

fue la generalizaciń del acceso, uso y participaciń en la red de redes, Internet.
o o
La apariciń del buscador Google ha supuesto una revoluciń equiparable a la
o o
anterior, al convertirse en una herramienta capaz de poner orden en todo ese
(antes inabarcable) universo de informaciń.
o
El diseõ de un buscador en la red es un problema de ingenier´ matem´tica.
n ıa a
N´tese el adjetivo. Se necesita primero un buen conocimiento del contexto,
o
que permita traducirlo a modelos, a Matem´ticas. Pero tras ese proceso
a
de abstracciń, de matematizaciń, y una vez extra´
o o ıdas las conclusiones
pertinentes, se requiere tambiń una cuidadosa y eficiente implementaciń, un
e o
detallado diseõ de las cuestiones computacionales inherentes al problema.
n

2 El buscador Google
El origen del buscador Google es
ya bien conocido. Fue diseãdon
en 1998 por Sergei Brin y
Lawrence Page, dos estudiantes
de doctorado en Inform´tica de la
a
Universidad de Stanford: Brin se
hab´ graduado en Matem´ticas,
ıa a
y Page en Inform´tica. Los vemos
a
en las fotograf´ de la derecha2 .
ıas
Dos j´venes que hoy, en la
o
frontera de la treintena, se han
convertido en multimillonarios. Brin (a la izquierda) y Page
El curioso nombre del buscador
es una variaciń sobre el t´rmino googol, que alguien3 invent´ para referirse al
o e o
apabullante n´mero 10100 . Uno de esos n´meros que los matem´ticos manejamos
u u a
con comodidad pero que, quiz´s, sea mayor que el n´mero de part´
a u ıculas del
Universo.
Aunque sin llegar a esos extremos, las escalas de la cuestiń que nos
o
interesa son tambiń gigantescas. En 1997, cuando Brin y Page empezaban
e
a trabajar en el diseõ de Google, hab´ censadas en torno a los 100 millones
n ıa
de p´ginas web. Altavista, el buscador m´s popular por entonces, atend´ 20
a a ıa
millones de consultas diarias. Hoy, esas cifras se han multiplicado: el propio
buscador Google atiende 200 millones de consultas diarias e indexa varios miles
de millones de p´ginas web.
a
As´ que el diseõ de un buscador ha de resolver con eficacia ciertas cuestiones
ı n
computacionales, como la manera en que se almacena toda esa informaciń, o
c´mo se actualiza, c´mo se pueden gestionar las peticiones, c´mo buscar en las
o o o
gigantescas bases de datos, etc., problemas en los que, sin duda, las Matem´ticas
a
tienen mucho que decir.
2 Podemos jurar que no tenemos nada que ver con esa suerte de bolitas navide˜ as que
n
adornan las fotograf´ Estń extra´
ıas. a ıdas, tal cual, de la p´gina web de Google.
a
3 Se dice que un sobrino del matem´tico Edward Kasner. Kasner se anim´ y tambiń
a o e
defini´ el googolplex, que es 10googol . ¡Ooooh!
o

´
El secreto de Google y el Algebra lineal 117

Pero sobre ninguna de estas cuestiones, con ser interesantes, reflexionaremos
aqu´ El asunto que nos interesa se puede formular de manera sencilla:
ı.
supongamos que, a resultas de una consulta, tras el proceso de b´squeda en las
u
bases de datos, hemos determinado que, digamos, unas cien p´ginas contienen
a
informaciń que, de una manera u otra, puede resultar relevante para el usuario.
o
Ahora,
¿en qu´ orden mostramos esos resultados?
e

ıcita se plantearon4 Brin y Page (váse [6]),
El objetivo, como de manera expl´ e
es que, en un n´mero suficientemente grande de los casos, al menos una de,
u
digamos, las diez primeras p´ginas que se muestren contenga informaciń util
a o ´
para el que realiza la consulta.
Pedimos ahora al lector (que en un alto porcentaje ser´ sin duda a
googleadicto) que decida, a partir de su experiencia personal, si Google cumple
este objetivo. Estamos seguros de que la respuesta general es que s´ y de manera
ı,
asombrosa. Parece magia5 . . . pero son Matem´ticas.
a
Matem´ticas que, adem´s, no requieren conocimientos que vayan m´s all´ de
a a a a
cursos b´sicos de licenciatura, como veremos a lo largo de estas p´ginas.
a a
Para la tarea que queremos abordar, necesitamos un criterio de ordenaciń. o
Obs´rvese (y aqu´ ya nos hemos puesto en modo matem´tico) que si etiquetamos
e ı a
con los s´
ımbolos P1 , . . . , Pn cada una de las p´ginas de la red, todo lo que que nos
a
hace falta es asignar a cada Pj un n´mero xj , que llamaremos su importancia.
u
Estos n´meros podr´ ser, por ejemplo, n´meros entre 0 y 1.
u ıan u
Supongamos entonces que, tras un censo de los sitios de la red, hemos
conseguido construir la lista de p´ginas web, y que le hemos asignado a
a
cada una de ellas, de la manera que sea, una importancia. Esta ordenaciń o
queda a nuestra disposiciń para ser utilizada cada vez que contestemos a una
o
determinada consulta: las p´ginas seleccionadas se mostrarń en el orden que
a a
indique dicha lista.
Queda, por supuesto, explicar c´mo se construye esa lista. Vamos con ello.
o

4 No era el unico objetivo que se propusieron. Tambiń pretend´
´ e ıan que el buscador
fuera “resistente” a intentos de manipulaciń, a estrategias que, por ejemplo por intereses
o
comerciales, pretendieran situar ciertas p´ginas en los primeros puestos de la lista.
a
Curiosamente, hoy en d´ se ha hecho popular un “deporte”, el Google bombing, que consiste
ıa
precisamente en eso, en conseguir colocar una p´gina en esas primeras posiciones, aunque
a
generalmente con fines m´s l´dicos. Pruebe por ejemplo el lector a buscar en Google los
a u
t´rminos “miserable fracasado”. El resultado le sorprender´ (y quiz´s regocijar´).
e a a a
5 Por no hablar de la capacidad de la que hace gala el buscador para “corregir” los t´rminos
e
de la b´squeda y sugerir, ¡s´ la palabra que uno en realidad estaba pensando teclear. Lo que
u ı!,
le lleva a uno en ocasiones a imaginar intervenciones sobrenaturales. . . En fin, dej´moslo estar.
e

118 ´
P. Fernandez

Nota. Para completar la descripciń, y aunque no entraremos en los detalles,
o
deber´
ıamos decir que hay un par de ingredientes que, en cada consulta particular,
se combinan en el buscador Google con el criterio general que veremos aqu´ ı:
• por un lado, y como resulta razonable, Google no “puntá” por igual el
u
que un cierto t´rmino aparezca en el t´
e ıtulo de la p´gina, en negrita, en un
a
tipo de letra pequeã, etc.
n
• Para b´squedas combinadas, tampoco es lo mismo que los t´rminos
u e
buscados aparezcan, dentro del documento, “cerca” o “lejos” unos de otros.

3 El modelo
El primer paso consiste en describir, en forma manejable, los elementos
relevantes para la cuestiń que interesa, la asignaciń de importancias. Digamos
o o
que hemos recogido toda la informaciń sobre la red (sitios, contenidos, enlaces
o
de unas p´ginas a otras, etc.). De toda esta informaciń, y en este primer paso
a o
de la modelizaciń, vamos a rescatar unicamente la referida a cada una de las
o ´
p´ginas, a la que asignamos etiquetas P1 , . . . , Pn , y los enlaces entre ellas.
a
En estos t´rminos, la red puede ser descrita mediante un grafo (dirigido) G.
e
Cada p´gina Pj de la red es un v´rtice del grafo, y hay una arista (dirigida)
a e
entre los v´rtices Pi y Pj si desde la p´gina Pi hay un enlace a la p´gina Pj .
e a a
Es un grafo gigantesco, abrumador, sobre cuya estructura real reflexionaremos
m´s adelante (váse la Secciń 8).
a e o
Cuando tratamos con grafos, nos gusta siempre recurrir a los dibujos en el
papel, en los que los v´rtices son puntos del plano, mientras que las aristas son
e
flechas que unen esos puntos. Pero, a los efectos que aqu´ perseguimos, conviene
ı
considerar una interpretaciń alternativa, matricial. Vamos, pues, a formar una
o
matriz M, de dimensiones n × n, cuyas filas y columnas van etiquetados con los
s´
ımbolos P1 , . . . , Pn , y cuyas entradas son ceros y unos. La entrada mij de la
matriz ser´ un uno si es que hay un enlace de la p´gina Pj a la p´gina Pi ; y un
a a a
cero en caso contrario:

P1 Pj Pn

? ? ?
P1 -

Pi - mij - enlaces a la p´gina Pi
a

Pn -

?
enlaces desde la p´gina Pj
a

´

La matriz M es, salvo una trasposiciń, la matriz de adyacencia (o de
o
vecindades) del grafo. N´tese que no tiene por qu´ ser sim´trica, pues nuestro
o e e
grafo es dirigido. Obs´rvese tambiń que, tal como se seãla en el dibujo, la suma
e e n
de las entradas correspondientes a la columna de Pj es el n´mero de enlaces que
u
salen de la p´gina Pj , mientras que la suma de los registros de una fila coincide
a
con el n´mero de enlaces entrantes.
u
Vamos a postular que la importancia de una cierta p´gina de la red Pj “tiene
a
que ver” con las p´ginas desde las que hay enlaces a ella. Esto es muy razonable:
a
si muchas p´ginas enlazan con Pj , ser´ porque la informaciń que ´sta contiene
a a o e
ha sido considerada por muchos participantes de la red como “recomendable”.
Ese “tiene que ver” queda por ahora algo difuso. Un primer intento,
quiz´s algo ingenuo, consiste en suponer que la importancia xj de cada Pj es
a
proporcional al n´mero de p´ginas desde las que hay enlaces a Pj . Observemos
u a
que, una vez que disponemos de la matriz M, el c´lculo de cada uno de los x j
a
es sencillo, pues basta sumar las entradas correspondientes a la fila de P j .
Pero este modelo no recoge adecuadamente una situaciń que nos gustar´
o ıa
tener en cuenta, y es aqu´lla en la que una cierta p´gina es citada desde
e a
unas pocas p´ginas, pero muy relevantes. Digamos, por ejemplo, que desde
a
www.microsoft.com, o desde www.amazon.com, etc. El procedimiento anterior
le asignar´ baja importancia, algo que no parece razonable. As´ que necesitamos
ıa ı
afinar nuestro modelo de manera que asignemos alta importancia
• tanto a p´ginas muy citadas;
a
• como a p´ginas poco citadas, pero desde sitios “importantes”.
a
El segundo intento, ya en esta l´ ınea, consiste en decidir que la importancia x j
de cada p´gina Pj es proporcional a la suma de las importancias de las p´ginas
a a
que enlazan con Pj . N´tese que hemos cambiado, con respecto a nuestro primer
o
intento, “n´mero de p´ginas que enlazan con Pj ” por “suma de las importancias
u a
de las p´ginas que enlazan con Pj ”. Esta ligera variaciń cambia por completo,
a o
como veremos, las caracter´ ısticas del problema.
Supongamos, por ejemplo, que la p´gina P1 es citada desde las p´ginas P2 ,
a a
P25 y P256 , que P2 s´lo se cita desde P1 y P256 , etc., mientras que, digamos,
o
hay enlaces a la ultima p´gina, Pn , desde P1 , P2 , P3 , P25 y Pn−1 . En nuestra
´ a
asignaciń anterior, x1 deber´ ser proporcional a 3, x2 lo ser´ a 2, etc., mientras
o ıa ıa
que xn habr´ de ser proporcional a 5.
ıa
Pero ahora nuestra asignaciń x1 , . . . , xn debe cumplir que
o

x1 = K (x2 + x25 + x256 ) ,
x2 = K (x1 + x256 ) ,
.
.
.
xn = K (x1 + x2 + x3 + x25 + xn−1 ) ,

donde K es una cierta constante de proporcionalidad. Nos encontramos
as´ con un enorme sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las posibles
ı
asignaciones x1 , . . . , xn .

120 ´
P. Fernandez

Escribamos el sistema anterior en t´rminos m´s manejables, matriciales:
e a

P1 P2 P25 P256 Pn−1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    
x1 0 1 0 ··· 0 1 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0 x1
 x2   1 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0  x2 
    
 . =K  . . . . . . . . . . . . . .  . 
 .
.   .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.  .
. 
xn 1 1 1 ··· 0 1 0 ··· 0 0 0 ··· 1 0 xn

Hagamos ahora un alarde simb´lico al que tan aficionados somos los
o
matem´ticos: llamemos x al vector de importancias. La matriz de dimensiones
a
n × n del sistema es, justamente, la M asociada al grafo. As´ que podremos
ı
escribir que la asignaciń de importancias que perseguimos es una soluciń de
o o

Mx = λx .

Ya hemos escrito la constante de proporcionalidad con el s´ ımbolo λ. Y es que,
´
como cualquier estudiante de un curso de Algebra lineal reconoce al instante, la
cuestiń se ha transformado en un problema de autovalores y autovectores:
o
nuestro anhelado vector de importancias x no es sino un autovector de la
matriz M que, recordemos, recog´ la informaciń sobre la estructura de la
ıa o
red (v´rtices y relaciones de adyacencia).
e
Salvo por la cuestiń, casi sentimental, de comprobar que uno de los
o
´
ingredientes b´sicos de los cursos de Algebra lineal permite describir una
a
cuestiń tan “aplicada”, es posible que esto todav´ no haya despertado
o ıa
el entusiasmo del lector. S´ de acuerdo, un autovector, ¿pero cu´l? Hay
ı, a
tantos. . . Y adem´s, ¿c´mo podemos calcularlo?, la matriz es inimaginablemente
a o
grande: recordemos, varios miles de millones de filas (o columnas).
Paciencia.
Por ahora, parece razonable exigir que las entradas del vector (las
importancias de los p´ginas de la red) sean todas no negativas (o, al menos, del
a
mismo signo). Esto lo escribiremos, y perdńenos el lector el abuso de notaciń,
o o
como x ≥ 0.
Pero adem´s, si pretendemos que el m´todo sea util, necesitar´
a e ´ ıamos que ese
hipot´tico autovector de entradas no negativas fuera unico (si hubiera m´s de
e ´ a
uno, ¿con cu´l nos quedar´
a ıamos?).

4 El surfista aleatorio
A modo de interludio, vamos a enfocar el problema desde un nuevo punto
de vista. Imaginemos que un surfista se dedica a navegar por la red. En un
cierto instante de tiempo est´ en una p´gina, por ejemplo en P1 . En el instante
a a
siguiente, algo aburrido de los contenidos de P1 , va a saltar a una de las p´ginas
a
a las que enlaza P1 (digamos que hay N1 de ellas). Pero, ¿exactamente a cu´l? a
Nuestro intr´pido navegante es un surfista (adem´s de rubio y bronceado)
e a
aleatorio. As´ que, para decidir a cu´l de ellas va, efectá un sorteo. Y lo
ı a u

´

hace de la manera m´s simple posible: utilizando un dado regular (y virtual,
a
suponemos), que tenga tantas caras como enlaces salgan de la p´gina P 1 . En
a
t´rminos m´s tćnicos, la elecciń de la p´gina de destino sigue una distribuciń
e a e o a o
de probabilidad uniforme (discreta) en [1, N1 ].

Nuestro modelo no es determinista, sino probabil´
ıstico: no sabemos dńde
o
estar´ un instante de tiempo despu´s, pero s´ con qu´ probabilidad estar´ en
a e ı e a
cada uno de los posibles destinos. Y adem´s es un modelo din´mico, porque el
a a
mismo argumento se podr´ aplicar al segundo movimiento, y al tercero, etc.
ıa
Nuestro surfista sigue lo que se denomina un paseo aleatorio por el grafo.

En el dibujo de la derecha mostramos una
posible situaciń: de P1 parten tres aristas,
o
a los v´rtices P2 , P6 y P8 . As´ que el
e ı
navegante sortea entre estas tres p´ginas, con
a 1/4
1/41
probabilidad 1/3 para cada una de ellas. Si, P2
por ejemplo, el resultado del sorteo hubiera 1/4
j
sido la p´gina P2 , entonces volver´ a sortear,
a ıa 1/3 1/4
pero esta vez asignando probabilidad 1/4 a
P1
cada una de los cuatro posibles destinos desde 1/3
-W 1/2
-
P2 . P6 1/2

1/3
s
La formulaciń es muy sugerente, pero no
o 1/31
R
est´ claro c´mo podemos formalizarla: c´mo
a o o 1/3
P8
podemos calcular, por ejemplo, la probabilidad z
de que, partiendo de la p´gina P1 , el navegante
a 1/3
w
est´ en la p´gina P17 tras cinco instantes
e a
de tiempo. M´s ań, todav´ ni sospechamos
a u ıa
qu´ puede tener que ver con nuestro problema
e
de asignaciń de importancias.
o

Vamos poco a poco. Recordemos que M es la matriz del grafo de la red, y
que sus entradas mij son ceros o unos. Llamemos Nj al n´mero de enlaces desde
u
la p´gina Pj (esto es, la suma de las entradas de cada columna de M). Vamos
a
ahora a construir una nueva matriz M a partir de la M original sustituyendo
cada entrada mij por

mij
mij =
Nj

Los registros de la nueva matriz M son n´meros no negativos (entre 0 y 1)
u
tales que la suma de los registros de cada columna vale 1. En la siguiente figura
se muestra, para una cierta columna, el resultado de la transformaciń:
o

122 ´
P. Fernandez

p´gina Pj
a p´gina Pj
a
? ?
m1j m1j
Nj
.
. .
. .
.
mij
M= mij
M = Nj
.
. .
.
. .
mnj
mnj Nj

? ?
Nj 1

La matriz M as´ construida es lo que se llama una matriz estoc´stica (o de
ı a
Markov).
Supongamos que el surfista se encuentra, en el primer instante de tiempo, en
la p´gina (o v´rtice) Pk . Para poner en t´rminos probabil´
a e e ısticos esta situaciń de
o
por s´ tan determin´
ı ıstica, digamos que est´ en la p´gina Pk con una probabilidad
a a
del 100 %. Vamos a representar esta situaciń inicial con el vector cuyas entradas
o
son todas cero, excepto la de la posiciń k, que lleva un uno. El navegante sortea
o
entre los Nk destinos, asignando probabilidad 1/Nk a cada uno de ellos.
Pero si multiplicamos la matriz M por este vector inicial obtenemos
    
··· ··· m1k ··· 0 m1k
 .
. .. .
. .
.  .
.   . 
 . . . .  .   . 
    . 
 ··· ··· mkk ···  1  =  mkk .
    
 . . . ..  .   . 
 .
. .
. .
. .  .
.   . . 
··· ··· mnk ··· 0 mnk

El resultado sigue siendo un vector cuyas entradas (n´meros entre 0 y 1, pues los
u
mjk son, o bien 0, o bien 1/Nk ) suman 1, porque hay justamente Nk entradas
no nulas. Pero m´s ań: el vector que obtenemos describe exactamente con
a u
qu´ probabilidad estar´ el surfista, tras una unidad de tiempo, en cada una de
e a
las p´ginas de la red, si es que ha partido de Pk .
a
Lo que hace especialmente manejable este modelo es que, para conocer con
qu´ probabilidad estar´ en cada una de las p´ginas de la red tras dos instantes
e a a
de tiempo, basta repetir la operaciń. Esto es, multiplicar (M )2 por el vector
o
inicial. Y el an´logo para el transcurrir de tres instantes de tiempo, cuatro, etc.
a
Siguiendo la nomenclatura habitual, vamos a considerar una serie de
estados, que en este caso son los v´rtices del grafo G. La matriz M recibe
e
el (apropiado) nombre de matriz de transiciń del sistema: cada entrada m ij
o
es la probabilidad de pasar del estado (v´rtice) Pj al estado (v´rtice) Pi . Y los
e e
registros de las sucesivas potencias de la matriz, las probabilidades de pasar
de cada Pi a cada Pj tras varios instantes de tiempo.
Esto resuelve la primera de las cuestiones: c´mo calcular las probabilidades
o
de transiciń entre v´rtices para el transcurso de varias unidades de tiempo.
o e
Pero todav´ no hemos descubierto la relaciń con el problema de ordenaciń
ıa o o
de Google. Esto lo dejamos para m´s adelante (váse la subsecciń 9.1). Aunque
a e o

´

avanzamos, para aquel lector especialmente impaciente y versado en estas
cuestiones, que el vector de entradas no negativas que llevamos persiguiendo
ya un buen rato resulta ser, justamente, el estado estacionario de la cadena de
Markov que acabamos de construir.

Nota. Podr´ ocurrir que alguna p´gina no tuviera enlaces salientes (su columna
ıa a
tuviera s´lo ceros). No ser´ una matriz estoc´stica. La soluciń de Google: la
o ıa a o
sustituimos por una columna con valores 1/n. As´ que si el surfista llega a una
ı
p´gina de la que (antes) “no pod´ salir”, ahora sortea (uniformemente) entre
a ıa
todas las de la red. M´s sobre esto, en la Secciń 8.
a o

5 La clasificaciń para las eliminatorias por el t´
o ıtulo
Con tanta reinterpretaciń y reformulaciń, nos estamos olvidando de la
o o
cuestiń que nos interesa: el sistema de ordenaciń de Google. Disciplin´monos
o o e
y volvamos a ella. Empecemos precisando que las ideas que utiliza Google para
ordenar los resultados provienen de unos algoritmos desarrollados por Kendall
y Wei en los aõs 50 (uups, ¡del siglo pasado!, que siempre nos olvidamos de
n
recalcarlo), vánse [11] y [16].
e
Vamos a plantear una cuestiń muy similar a la que nos ha ocupado hasta
o
ahora, en un contexto algo m´s l´dico, que ilustraremos con un ejemplo sencillo
a u
que podremos resolver sin ayuda de grandes herramientas computacionales.
La estructura de los campeonatos deportivos, por ejemplo de baloncesto,
en Estados Unidos es algo diferente a la que suele seguirse en los europeos.
En las ligas europeas, cada equipo juega un cierto n´mero de partidos (dos,
u
generalmente) contra cada uno de los dem´s equipos de la competiciń. Al final
a o
de lo que se conoce con el (curioso) nombre de temporada regular, se disputan
unas eliminatorias por el t´ıtulo, en las que se intervienen los que han conseguido
mejores clasificaciones (por ejemplo, los ocho primeros).
Pero en Estados Unidos, debido a las grandes distancias que separan las
distintas ciudades, y para evitar un n´mero excesivo de viajes, la estructura no
u
es tan homogńea.
e
Lo vamos a ilustrar con la liga profesional de baloncesto, aunque la cuestińo
que vamos a explicar podr´ aplicarse tambiń a la Liga universitaria. En
ıa e
la NBA, los 29 equipos estń divididos en dos conferencias, cada una de las
a
cuales est´ a su vez formada por dos divisiones:
a

• Conferencia Este:

– Divisiń Atlńtico;
o a
– Divisiń Central;
o
• Conferencia Oeste:

– Divisiń Medio Oeste6 ;
o
6 Aqu´ andan los Memphis Grizzlies y los Utah Jazz, donde juegan nuestros Pau Gasol y
ı
Ra´l L´pez, respectivamente.
u o

124 ´
P. Fernandez

– Divisiń Pac´
o ıfico,
siguiendo (m´s o menos) criterios geogr´ficos. Todos los equipos juegan el mismo
a a
n´mero de partidos, 82, pero no disputan el mismo n´mero contra cada equipo;
u u
lo habitual es que se jueguen m´s partidos contra los de la propia conferencia.
a
Se plantea as´ la siguiente cuestiń: acabada la temporada regular, ¿qu´ 16
ı o e
equipos han de clasificarse para las eliminatorias? El sistema actual computa,
simplemente, el n´mero de victorias obtenidas por cada equipo, que determinan
u
las posiciones finales. Pero cabr´ preguntarse7 si ´ste es un sistema “justo”. Al
ıa e
fin y al cabo, podr´ ocurrir que un equipo hubiera acumulado muchas victorias
ıa
precisamente por estar encuadrado en una conferencia muy “d´bil”. ¿Qu´ debe
e e
valer m´s, el n´mero de victorias, o la “calidad” de las victorias obtenidas? De
a u
nuevo, la dicotom´ ante la que nos encontr´bamos en el diseõ de Google.
ıa a n
Digamos que en la competiciń hay n equipos, E1 , . . . , En . Los resultados
o
de la temporada regular los registramos en una matriz A cuyas entradas aij son
las victorias obtenidas por cada equipo:
# victorias de Ei sobre Ej
aij = .
# partidos de Ei
Como medida de normalizaciń, dividimos por ejemplo por el n´mero total de
o u
partidos que juega cada equipo.
Nuestro objetivo es asignar a cada equipo Ej un n´mero xj , que por analog´
u ıa
denominaremos importancia, de manera que la lista x1 , . . . , xn determine la
clasificaciń final.
o
El primer modelo, en el que xj es proporcional al n´mero total de victorias
u
conseguido por el equipo Ej , no recoge adecuadamente nuestro inter´s pore
valorar la calidad de las victorias.
En el segundo modelo, decidimos que la importancia xj sea proporcional
al n´mero de victorias obtenidas, pero ponderadas con la importancia que
u
asignemos a los dem´s equipos:
a
n
xj = K ajk xk .
k=1

Lo que nos conduce, otra vez, a
Ax = λx .
El inter´s, de nuevo, radica en encontrar un autovector de A con entradas no
e
negativas (y unico, a poder ser). Veamos un ejemplo concreto.
´

5.1 Para c´lculos serios: el ordenador
a
Tenemos seis equipos, E1 , . . . , E6 : los tres primeros forman una conferencia, los
siguientes la otra. Cada equipo juega 21 partidos en total: 6 contra los de su
propia conferencia, 3 contra cada uno de los de la otra. La informaciń sobre
o
las victorias conseguidas est´ contenida en la siguiente tabla:
a
7 Vánse
e las reflexiones al respecto en [10].

´

E1 E2 E3 E4 E5 E6
E1 − 3/21 0/21 0/21 1/21 2/21 → 6/21
E2 3/21 − 2/21 2/21 2/21 1/21 → 10/21
E3 6/21 4/21 − 2/21 1/21 1/21 → 14/21
E4 3/21 1/21 1/21 − 2/21 2/21 → 9/21
E5 2/21 1/21 2/21 4/21 − 2/21 → 11/21
E6 1/21 2/21 2/21 4/21 4/21 − → 13/21

A la derecha de la tabla hemos sumado el n´mero de victorias que ha
u
conseguido cada escuadra. Ese balance de victorias y derrotas sugiere que la
ordenaciń adecuada es
o

E3 → E 6 → E 5 → E 2 → E 4 → E 1 .

Pero observemos que, por ejemplo, el l´ıder de la competiciń, E3 , ha acumulado
o
muchas victorias contra E1 , que es el peor equipo.
¿Qu´ ocurre con el segundo enfoque? Tenemos que calcular, y en serio.
e
Incluso en un ejemplo tan sencillo como ´ste, necesitamos la ayuda del
e
ordenador. As´ que recurrimos a un paquete matem´tico de c´lculo, como por
ı a a
ejemplo8 Maple, para realizar los c´lculos. Al usuario experto, los comandos que
a
siguen le resultarń familiares. Al novicio tampoco le costar´ mucho trabajo
a a
entenderlos. Primero, cargamos un paquete necesario:

restart:with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Tras esta concisa (y quiz´s profunda) respuesta del programa, lo ponemos a
a
trabajar en serio. ¡Maple en acciń!:
o
A:=matrix(6,6,[0,3/21,0,0,1/21,2/21,3/21,0,2/21,2/21,2/21,1/21,6/21,
4/21,0,2/21,1/21,1/21,3/21,1/21,1/21,0,2/21,2/21,2/21,1/21,2/21,4/21,0,
2/21,1/21,2/21,2/21,4/21,4/21,0]);
 
1 1 2
0 0 0
 7 21 21 
 
 1 2 2 2 1 
 0 
 7 21 21 21 21 
 
 2 4 2 1 1 
 0 
 7 21 21 21 21 
A := 



 1 1 1 2 2 
 0 
 7 21 21 21 21 
 2 1 2 4 2 
 0 
 
 21 21 21 21 21 
 
1 2 2 4 4
0
21 21 21 21 21
autovects:=[evalf(eigenvectors(A))];
8 Sin ning´ n afń propagand´
u a ıstico. Matlab, Mathematica, Derive o incluso Excel tambiń
e
valdr´ıan.

126 ´
P. Fernandez

autovects := [[0.012, 1., {[−0.062, −0.916, −2.131, 0.873, 0.731, 1.]}],
[0.475, 1., {[0.509, 0.746, 0.928, 0.690, 0.840, 1.]}],
[−0.111 + 0.117 I, 1., {[−0.151 − 0.901 I, 0.123 + 0.451 I, −0.727 + 0.728 I,
−0.435 − 0.128 I, 0.192 + 0.377 I, 1.]}],
[−0.126, 1., {[0.008, −0.685, 1.434, −1.071, 0.032, 1.]}],
[−0.139, 1., {[1.785, −3.880, 3.478, −5.392, 4.415, 1.]}],
[−0.111 − 0.117 I, 1., {[−0.151 + 0.901 I, 0.123 − 0.451 I, −0.727 − 0.728 I,
−0.435 + 0.128 I, 0.192 − 0.377 I, 1.]}]]

Una vez acostumbrados a la manera en que Maple muestra los resultados (en
cada l´
ınea, primero el autovalor, luego la multiplicidad, y luego los autovectores
asociados), comprobamos que la matriz A tiene seis autovalores distintos, dos
complejos (conjugados) y cuatro reales. Si calculamos sus m´dulos,
o
autovals:=[evalf(eigenvalues(A))]: modulos:=[seq(abs(autovals[j]),j=1..6)];
modulos := [0.012, 0.475, 0.161, 0.126, 0.139, 0.161]

observamos que el mayor autovalor (en m´dulo) es λ = 0.475, cuyo autovector
o
asociado,
x = (0.509, 0.746, 0.928, 0.690, 0.840, 1) ,
es el unico cuyas entradas son todas n´meros reales y no negativos.
´ u
Ya tenemos la respuesta que busc´bamos: el orden que sugiere este c´lculo
a a
(vánse las entradas del autovector v) es
e

E6 → E 3 → E 5 → E 2 → E 4 → E 1 ,

que difiere del anterior en los dos primeros (ahora E6 es el mejor equipo).
Recapitulemos. En esta matriz particular (que bien pudiera servir de versiń
o
a pequeã escala de la de Internet), cuyas entradas son todas no negativas, se
n
ha dado la mejor de las situaciones posibles: hay un unico autovector cuyas
´
entradas son todas no negativas. Este autovector, que adem´s est´ asociado al
a a
autovalor de m´dulo m´ximo, nos sirve como soluciń al problema de ordenaciń
o a o o
que nos hab´ ıamos planteado.
¿Ha sido casualidad? ¿Ha sido simplemente un ardid de quien esto escribe,
una artera elecciń de matriz que busca convencer a los incautos de que las
o
cosas funcionan realmente?
El lector, que seguramente de incauto no tiene nada, y s´ mucho de curioso,
ı
sentir´ la necesidad de dar contundente respuesta a esta cuestiń. Y sabr´, sin
a o a
duda, que ha llegado el momento de dar paso a un nuevo actor en esta obra.

6 Las Matem´ticas entran en escena
a
Es la hora de las Matem´ticas, esa Ciencia que se ocupa de realidades abstractas,
a
virtuales, para, a trav´s de ellas, entender realidades concretas. Pong´monos,
e a
pues, matem´ticos, y destilemos la esencia comń a todas las cuestiones de las
a u
que nos hemos ocupado hasta ahora.

´

Si lo hacemos, descubriremos que la unica´
propiedad que comparten todas las matrices que
nos conciernen (sean estoc´sticas o no) es que
a
sus entradas son no negativas. No parece mucha
informaciń. Las matrices no tienen por qu´ ser
o e
sim´tricas, ni definidas positivas, ni. . .
e
Sin embargo, como mostrar´ Perron9 a
ıa
principios del siglo XX, es suficiente para empezar
a extraer buenos r´ditos:
e
Teorema 1 (Perron, 1907) Sea A una matriz
(cuadrada) con entradas positivas, A 0. Oskar Perron
Entonces,
a) existe un autovalor (simple) λ 0 tal que Av = λv, donde el autovector
correspondiente es v 0;
b) este autovalor es mayor, en m´dulo, que todos los dem´s autovalores;
o a
c) cualquier otro autovector positivo de A es un m´ltiplo de v.
u
Paremos un instante y reflexionemos: ahora tenemos un teorema. Ma-
ravill´monos: si usted logra comprobar que las hip´tesis se satis-
e o
facen (y aqu´ no admitiremos medias tintas, han de satisfacerse,
ı
sin excusas, sin excepciones), entonces la conclusiń es inapelable.
o
No albergue dudas, sea cual sea la matriz, mientras
que tenga entradas no negativas, existir´ un a
autovalor simple tal que. . . y un unico autovector
´
con. . . ¡Qu´ cosas!
e
Tras este rapto casi m´ ıstico, que el lector
sabr´ disculpar, volvamos a la realidad y
a
analicemos el resultado de Perron. Apunta en la
direcciń que buscamos, pero no es suficiente,
o
porque las matrices que manejamos pueden tener
ceros en ciertas posiciones. As´ que necesitamos
ı
algo m´s.a
El siguiente acto de esta obra lo escribe
F.G. Frobenius Frobenius10 , unos aõs despu´s, cuando se ocupa
n e
9 El alemń Oskar Perron (1880-1975), todo un ejemplo de longevidad matem´tica,
a a
o a ´
trabaj´ en campos tan diversos como el An´lisis, las Ecuaciones Diferenciales, el Algebra, la
Geometr´ la Teor´ de N´meros, etc., en los que public´ algunos textos que se convertir´
ıa, ıa u o ıan
en cl´sicos.
a
10 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) es uno de los m´s destacados integrantes de la
a
Escuela de Berlin, que lider´ el mundo de las matem´ticas durante el final del siglo XIX
o a
y principios del XX, junto con personajes de la talla de Kronecker, Kummer o Weierstrass
(quien fue su director de tesis). Estricta escuela prusiana: rigor, tradiciń, un matem´tico
o a
“puro”, sin concesiones a la Matem´tica aplicada. El caprichoso curso de la Historia har´ sin
a ıa,
embargo, que muchas de sus ideas sobre representaciones de grupos finitos acabaran sirviendo
como base de la Mecńica Cuńtica. Es sobre todo conocido por sus aportaciones a la Teor´
a a ıa
de Grupos, y sus trabajos sobre las matrices no negativas pertenecen a la ultima etapa de
´
su vida.

128 ´
P. Fernandez

del caso m´s general de las matrices no negativas. Frobenius observa que si
a
unicamente tenemos que A ≥ 0 entonces, aunque sigue habiendo un autovalor
´
λ 0 dominante (de valor absoluto m´ximo) asociado a un autovector v ≥ 0,
a
puede haber otros autovalores del mismo “tamaõ”. Ah´ va su resultado:
n ı

Teorema 2 (Frobenius, 1908-1912) Sea A una matriz (cuadrada) con
entradas no negativas, A ≥ 0. Si A es irreducible, entonces
(a) existe un autovalor (simple) λ 0 tal que Av = λv, donde el autovector es
v 0. Adem´s, λ ≥ |µ|, para cualquier otro autovalor µ de A.
a
(b) Cualquier autovector ≥ 0 es un m´ltiplo de v.
u
(c) Si hay k autovalores de m´dulo m´ximo, entonces son las soluciones de la
o a
ecuaciń xk − λk = 0.
o

Nota. ¿Qu´ quiere decir que una matriz A de dimensiones n×n sea irreducible?
e
Hay varias maneras de entenderlo.
1. No existe ninguna permutaciń (de filas y columnas) que transforma A en
o
una matriz del tipo
A11 A12
,
0 A22
donde A11 y A22 son matrices cuadradas.
2. La matriz (I+A)n−1 , donde I es la identidad n×n, tiene todas sus entradas
positivas.
3. Si A es la matriz de adyacencia de un grafo, entonces el grafo
est´ fuertemente conectado (váse la Secciń 8).
a e o

Observemos primero que el teorema de Frobenius generaliza realmente el de
Perron, pues si A 0, entonces es A ≥ 0 e irreducible.
Segundo, si la matriz A es irreducible (y sobre si ´ste es el caso o no de
e
la matriz de la red reflexionaremos m´s adelante), entonces la cuestiń queda
a o
completamente resuelta: existe un unico autovector con entradas no negativas,
´
que adem´s est´ asociado al autovalor positivo de m´dulo m´ximo (en un
a a o a
momento entenderemos las ventajas que supone esto ultimo).
´
Estos resultados, a los que a partir de ahora nos referiremos conjuntamente
como teorema de Perron-Frobenius, tienen una amplia utilidad en diversos
contextos (váse la Secciń 9). Tanto es as´ que hay quien habla de la “teor´
e o ı ıa
de Perron-Frobenius”, del que este teorema es el resultado fundamental.
Su demostraciń es algo complicada, y aqu´ nos limitaremos a pergeãr un
o ı n
argumento que contiene los ingredientes fundamentales de la prueba.

Una “demostraciń” del teorema de Perron-Frobenius (ilustrada en
o
el caso 3 × 3)
Como A tiene entradas no negativas, si partimos de un vector x ≥ 0, entonces
el vector Ax sigue teniendo entradas no negativas.

´

En t´rminos geom´tricos, la matriz
e e
A aplica el octante positivo en s´ mismo.
ı {x ≥ 0, x = 1}

Consideramos ahora la aplicaciń α o
dada por
Ax
α(x) = .
Ax
Obs´rvese que α(x) es siempre un
e
vector de longitud 1. Por la observaciń
o
anterior, α env´ el conjunto {x ∈ R3 :
ıa
x ≥ 0, x = 1}, esto es, la porciń o
de la esfera unidad que dibujamos a la
derecha, en s´ mismo.
ı
Ahora, aplicando el teorema del punto fijo de Brouwer, existe un cierto x
˜
tal que α(˜) = x. As´ que
x ˜ ı
A˜
x
α(˜) =
x =x
˜ =⇒ A˜ = A˜ x .
x x ˜
A˜
x
En resumen, x es un autovector de A con entradas no negativas asociado a un
˜
autovalor 0.
Quedan algunos detalles, como demostrar que ese autovector es
esencialmente unico, y los dem´s apartados del teorema. Remitimos al lector
´ a
interesado en estas cuestiones a las referencias [1], [4], [13] y [14].

7 ¿Y la cuestiń computacional?
o
El lector cr´
ıtico estar´ planteando ya una objeciń (seria): el teorema de Perron-
a o
Frobenius garantiza la existencia del autovector que es la respuesta a nuestro
problema de ordenaciń, pero nada nos dice sobre c´mo calcularlo. Obs´rvese
o o e
que la demostraciń que hemos exhibido no es constructiva. As´ que cabe todav´
o ı ıa
la posibilidad de que estos resultados no constituyan una respuesta satisfactoria.
Recordemos que la matriz que maneja Google es gigantesca. El c´lculo de a
nuestro anhelado autovector, ¿es realmente una cuestiń abordable desde el
o
punto de vista computacional?
Vamos a suponer que estamos en el mejor escenario posible, en las
condiciones que aseguran la existencia de un autovalor λ1 positivo estrictamente
mayor (en m´dulo) que todos los dem´s autovalores. Llamemos v1 al autovector
o a
(positivo) asociado.

Nota. Una matriz A ≥ 0 es primitiva si tiene un unico autovalor dominante
´
(mayor, en m´dulo, que todos los dem´s). Esto ocurre cuando, por ejemplo, si,
o a
para cierto entero positivo k, la matriz Ak tiene todas sus entradas positivas.

Podemos, por supuesto, calcular todos los autovectores y quedarnos con
el que nos interesa. Pero incluso aunque utiliz´ramos m´todos eficaces para
a e
calcular autovalores, la tarea ser´ excesiva.
ıa

130 ´
P. Fernandez

Pero de nuevo la propia estructura del problema sale en nuestra ayuda para
facilitarnos el c´lculo. Una feliz coincidencia. Todo arranca de la observaciń,
a o
hasta ahora inocente, de que el autovector que buscamos est´ asociado al
a
autovalor de m´dulo m´ximo.
o a
Supongamos, por simplificar el argumento, que A es diagonalizable.
Los autovectores {v1 , . . . , vn }, numerados de manera que los autovalores
correspondientes vayan en orden decreciente de tamaõs,n

λ1 |λ2 | ≥ |λ3 | ≥ · · · ≥ |λn | ,

son una base de Rn . Partimos, por ejemplo, de un v0 ≥ 0, que escribimos como

v0 = c 1 v1 + c 2 v2 + · · · + c n vn ,

donde los n´meros c1 , . . . , cn son las coordenadas de v0 en la base considerada.
u
En lo que sigue no va a ser necesario calcularlos expl´ ıcitamente, y de hecho no lo
haremos. Nos basta con saber que tales n´meros existen. Ahora multiplicamos
u
el vector v0 por la matriz A, para obtener

Av0 = c1 λ1 v1 + c2 λ2 v2 + · · · + cn λn vn ,

puesto que los vectores v1 , . . . , vn son autovectores de A. S´lo calculamos
o
el producto de la izquierda; de lo de la derecha nos basta, para nuestros
argumentos, con saber que ocurre. Perdone el lector la insistencia.
Cada vez m´s animados, repetimos la operaciń:
a o

A2 v0 = c1 λ2 v1 + c2 λ2 v2 + · · · + cn λ2 vn .
1 2 n

Y lo hacemos muchas m´s veces, digamos k de ellas:
a

Ak v0 = c1 λk v1 + c2 λk v2 + · · · + cn λk vn
1 2 n

Supongamos que c1 = 0. Entonces,
k k
1 k λ2 λn
A v0 = c 1 v1 + c 2 v2 + · · · + c n vn .
λk
1 λ1 λ1

Pero como |λj /λ1 | 1 para cada j = 2, . . . , n (recordemos que λ1 era el
autovalor dominante),
1 k k→∞
A v0 − − → c 1 v1 .
−−
λk
1

De manera que, al multiplicar reiteradamente el vector inicial por la matriz A,
vamos determinando, cada vez con mayor precisiń, la direcciń que nos
o o
interesa, la que determina el vector v1 . Este m´todo num´rico es el bien conocido
e e
m´todo de las potencias, y su velocidad de convergencia depende del cociente
e
entre el primer y el segundo autovalor (váse en [8] una estimaciń para el caso
e o
de la matriz de Google).

´

Con esta observaciń, nuestro problema queda resuelto, al menos si estamos
o
en las mejores condiciones posibles (una matriz de entradas no negativas
e irreducible). La respuesta que busc´bamos existe, es unica, y adem´s
a ´ a
disponemos de un m´todo eficaz11 para calcularla. Pero. . .
e

8 ¿Estamos realmente en una situaciń ideal?
o
Para que todo funcione, necesitamos que la matriz M asociada al grafo G de la
red sea irreducible. En otras palabras, que G sea fuertemente conexo.

Nota. Consideremos un grafo dirigido G (un conjunto de v´rtices y un conjunto
e
de aristas a las que asociamos un sentido). Si dados cualesquiera dos v´rtices u
e
y v del mismo podemos encontrar una sucesiń de aristas que lleven de uno a
o
otro, entonces el grafo es fuertemente conexo.
Si la misma conclusiń se obtiene cuando “borramos” los sentidos de las aristas,
o
entonces se dice que G es d´bilmente conexo. Por supuesto, un grafo dirigido
e
fuertemente conexo es d´bilmente conexo, pero no (necesariamente) al rev´s.
e e

Como el lector podr´ sospechar, no es ´ste el caso. Un estudio realizado en
a e
1999 (váse [7]) conclu´ que, de las 203 millones de p´ginas censadas, el 90 %
e ıa a
de ellas estaba en una gigantesca componente (d´bilmente) conexa, que a su
e
vez ten´ una estructura interna compleja (m´s, quiz´s, de lo que uno podr´
ıa a a ıa
sospechar), como se muestra en el siguiente dibujo, extra´ del citado [7]:
ıdo

Es una estructura peculiar, que nos recuerda a un organismo biol´gico,
o
una suerte de gigantesca ameba. La pieza central (SCC, strongly connected
component) es, como el nombre indica, una componente fuertemente conexa.
11 Seg´ n informaciń extra´
u o ıda de la propia p´gina de Google, es un c´lculo que no lleva m´s
a a a
que unas horas de trabajo computacional.

132 ´
P. Fernandez

Junto a ella aparecen otras dos piezas12 : la IN est´ formada por las p´ginas
a a
que tienen enlaces hacia las de SCC, y la OUT est´ constituida por las p´ginas
a a
a las que apuntan los de SCC. Adem´s aparecen una especie de dendritas,
a
que contienen p´ginas desde las que no se puede llegar a los nodos de SCC,
a
ni tampoco son accesibles desde ellos (que, en ocasiones, y para aumentar la
complejidad, pueden llegar a formar tubos).
Obs´rvese, de todas formas, que la organizaciń de la red es din´mica, y
e o a
cambia con el tiempo. Y no est´ claro si se habr´ mantenido, en l´
a a ıneas generales,
la estructura13 que aqu´ exhibimos.
ı
¿Qu´ podemos hacer (o m´s bien, ¿qu´ hace Google?) ante esto? Un truco
e a e
muy habitual: se trata de conseguir (de una manera razonable) estar en la mejor
situaciń posible. Por ejemplo, aãdiendo toda una serie de probabilidades de
o n
transiciń (de salida) a todos los v´rtices. Esto es, considerando la matriz
o e
 
p1
 . 
M = cM + (1 − c)  .  (1, . . . , 1) ,
.
pn

donde p1 , . . . , pn es una distribuciń de probabilidad (pj ≥ 0, j pj = 1) y c es
o
un cierto par´metro entre 0 y 1 (en los c´lculos de Google, del orden de 0.85).
a a
Por ejemplo, podr´ ıamos tomar una distribuciń uniforme, pj = 1/n para
o
cada j = 1, . . . , n (con lo que la matriz ya tendr´ todas sus entradas positivas).
ıa
Pero podr´ ıamos elegir otras, y este nuevo grado de libertad permitir´ hacer
ıa
b´squedas “personalizadas”.
u
En t´rminos del surfista aleatorio, estamos aãdiendo la posibilidad de que
e n
(con probabilidad 1 − c) se “aburra” de seguir los enlaces y opte por saltar a
otras p´ginas (con arreglo a cierta distribuciń de probabilidad).
a o

12 Los autores del estudio aventuran algunas explicaciones sobre estas partes: el conjunto IN

podr´ estar formado por p´ginas de nueva creaciń, tanto, que no habr´ dado tiempo a que
ıa a o ıa
los sitios del nćleo central hubieran establecido v´
u ınculos hacia ellas. Las de la componente
OUT podr´ ser p´ginas de webs corporativas, que s´lo contienen v´
ıan a o ınculos internos.
13 Hay muchas otras preguntas interesantes que podemos hacernos sobre la estructura del

grafo de la red. Por ejemplo, cu´l es el n´mero medio de enlaces que tiene una p´gina, cu´l
a u a a
es la distancia media entre dos p´ginas o cu´l es la probabilidad P(k) de que un p´gina
a a a
elegida al azar tenga exactamente k enlaces (por ejemplo, entrantes). Si el grafo de la red
fuera aleatorio (en el sentido preciso que establecieron Erd¨s y Rńyi), entonces esperar´
o e ıamos
que fuera una distribuciń binomial (o, en el l´
o ımite, una distribuciń de Poisson). Y que,
o
en media, la mayor parte de las p´ginas tuviera un n´mero similar de enlaces. Sin embargo,
a u
estudios emp´ ıricos (váse, por ejemplo, [2]) sugieren que el decaimiento de la distribuciń de
e o
probabilidad no es exponencial, sino como el de una potencia (power law ), k −β , donde β es del
orden de 2 y pico. Lo que implicar´ por ejemplo, que hubiera una gran mayor´ de p´ginas
ıa, ıa a
con muy pocos enlaces, al tiempo que una pequeã minor´ (pero muy significativa) tendr´
n ıa ıa
un gran n´mero de enlaces. M´s ań, si consideramos la red como un sistema en evoluciń,
u a u o
al que sucesivamente se van aãdiendo nuevas p´ginas, la conclusiń es que esta tendencia
n a o
se reforzar´ En t´rminos coloquiales, “los ricos se vuelven cada vez m´s ricos”. Conclusiń
ıa. e a o
habitual en sistemas competitivos (y, no nos enga˜emos, en la vida real). Recomendamos
n
aqu´ la lectura de la referencia [3].
ı

´

9 Matrices no negativas en otros contextos
No crea el lector que los resultados sobre matrices no negativas que hemos ido
repasando en las p´ginas anteriores tienen relevancia unicamente en el problema
a ´
de ordenaciń que nos incumbe. Su campo de aplicaciń es mucho m´s amplio.
o o a
Las siguientes dos observaciones pueden explicar su ubicuidad:
• En las situaciones “reales”, las interacciones que se miden son, muy
frecuentemente, positivas, o al menos no negativas. Y los objetos con que
codificamos estas medidas son matrices cuyas entradas son no negativas.
• Por otro lado, muchos modelos son procesos iterativos simples: de un
estado inicial x0 pasamos a uno general dado por xk = Ak x0 . La
convergencia del m´todo depende del tamaõ de los autovalores de A,
e n
o m´s bien de la razń entre los tamaõs de los autovalores (en particular,
a o n
del m´s grande a los dem´s). Y aqu´ por supuesto, el teorema de Perron-
a a ı,
Frobenius tiene mucho que decir, si es que la matriz es no negativa.
En lo que sigue revisaremos brevemente algunos modelos en los que resultan
imprescindibles (el lector podr´ encontrar otras aplicaciones en [13]). En la
a
subsecciń 9.4 mencionaremos algunas otras extensiones.
o

9.1 Modelos de evoluciń probabil´
o ıstica
Recordemos que una matriz A es estoc´stica (o de Markov) si A ≥ 0 y, para
a
cada columna, la suma de las entradas es 1. Para este tipo de matrices, λ = 1
es siempre un autovalor.

Nota. Razń: las columnas de A − I suman 0. Luego al sumar todas las filas
o
de A − I obtenemos el vector cero, as´ que las filas son linealmente dependientes.
ı
Esto quiere decir que A−I es singular. Por tanto, det(A−I) = 0. Lo que supone,
finalmente, que λ = 1 sea un autovalor.
Adem´s, no puede haber autovalores de m´dulo 1, pues A transforma vectores
a o
cuyas entradas sumen 1 (vectores de probabilidad) en vectores del mismo tipo.

Las cadenas de Markov son un modelo probabil´ ıstico bien conocido, aplicable
a situaciones muy diversas: la vista de Google es un buen ejemplo, pero tambińe
se utiliza como modelo de migraciones, de propagaciń de epidemias, etc.
o
Consideremos otra situaciń, que tal vez no le resulte tan familiar al lector.
o
Supongamos que tenemos algo de dinero y que hemos decidido invertirlo para
obtener un cierto rendimiento. Quiz´s debido a alguna experiencia reciente algo
a
desagradable, optamos por no invertirlo en Bolsa. En este plan decididamente
conservador, buscamos una inversiń “segura”: le prestaremos dinero al Estado.
o
Podr´ ser al Estado espaõl, quiz´ a la Reserva Federal estadounidense, pero
ıa n a
tambiń, ¿por qu´ no?, al Corte Ingl´s, a Repsol, etc. Hay multitud de formas de
e e e
hacerlo: Bonos del Tesoro, Obligaciones de empresas, emisiones de deuda, etc.,
aunque alguna de ellas no est´ al alcance del inversor particular. Es posible
a
que obtengamos un rendimiento medio menor que en la Bolsa, pero a cambio
tenemos la seguridad de que no perderemos, en ningń caso, el valor de nuestra
u

134 ´
P. Fernandez

inversiń. Y aunque no tengamos tanto pńico a la Bolsa, hemos o´ por ah´ que
o a ıdo ı
la regla b´sica del inversor es la de “diversificar”, y ´sta parece una buena opciń.
a e o
Pero no, las cosas no son tan de color de rosa. H´blenles de la seguridad
a
de este tipo de inversiones a aqu´llos que en su momento prestaron dinero al
e
Estado argentino, al ruso o, en casos m´s recientes, a los que aventuraron su
a
dinero en lo que parec´ s´lidas14 compa˜´ como Enron, Parmalat o Swiss
ıan o nıas
Air (si nos fallan hasta los suizos, ¡a dńde iremos a parar!).
o
No existen inversiones “seguras”, aunque algunas lo son m´s que otras.
a
As´ que el mercado se ocupa de determinar, con la m´xima precisiń posible, la
ı a o
solvencia de cada una de las empresas (entendidas con la mayor generalidad
posible, tambiń valen Estados) en las que uno puede invertir. Si una empresa
e
es muy segura, en el sentido de que con alt´ ısima probabilidad devolver´ el a
dinero (junto con los intereses) que los inversores le han prestado, entonces
podr´ permitirse ofrecer una baja rentabilidad. Pero si otra est´ catalogada
a a
como “dudosa” y pretende captar inversiones, entonces deber´ necesariamente
a
ofrecer intereses m´s altos que la hagan atractiva. Queda luego al arbitrio del
a
poseedor del dinero elegir una u otra, en funciń de sus caracter´
o ısticas (su
aversiń al riesgo, en t´rminos tćnicos, su vena especuladora, en lenguaje llano).
o e e
´
Este es todo un mundo, el llamado riesgo de cr´dito, en el que los modelos
e
matem´ticos, algunos muy sofisticados, desempeãn un papel fundamental.
a n
Describamos aqu´ uno de ellos, el modelo (de evoluciń probabil´
ı o ıstica) de la
solvencia de las empresas.
Tenemos n estados de solvencia, digamos S1 , . . . , Sn . En la jerga de las
empresas que se dedican a estos menesteres clasificatorios (las agencias de
calificaciń, Standard Poor’s, Moody’s, etc.), estos estados son AAA, BBB+,
o
CC, etc. (con un cierto soniquete de calificaciones escolares anglosajonas).
Tras un estudio detallado, se determina que la probabilidad de pasar del
estado Si al estado Sj es el n´mero aij . Toda esta informaciń se recoge en
u o
una matriz A, cuyas entradas, una vez m´s, son no negativas. Adem´s, es una
a a
matriz estoc´stica (por filas). Suele incluirse un estado especial, D (de default),
a
que en la jerga de las cadenas de Markov se dice que es absorbente (todos ceros,
menos el elemento de la diagonal). La siguiente matriz A es un ejemplo15 :

AAA AA A BBB BB B CCC D
AAA 90,58 8,36 0,84 0,09 0,13 0,00 0,00 0,00
AA 0,84 90,04 8,11 0,71 0,12 0,15 0,03 0,00
A 0,14 2,69 89,94 5,92 0,85 0,32 0,04 0,10
BBB 0,03 0,32 5,94 87,41 4,92 1,04 0,13 0,21
BB 0,02 0,12 0,62 7,49 81,93 7,88 0,92 1,02
B 0,00 0,09 0,29 0,65 6,96 81,60 4,43 5,98
CCC 0,17 0,00 0,36 1,09 2,35 10,37 64,06 21,60
D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,0

Que nos dice, por ejemplo, que el 90.58 % de las empresas con la m´xima
a
calificaciń siguen en la misma categor´ al aõ siguiente.
o ıa n
14 S´lidas,
o pero con productos l´ıquidos (Enron y Parmalat) ¡o gaseosos! (Swiss Air).
15 Es la matriz de Standard Poor’s correspondiente a las probabilidades de transiciń, en
o
tantos por ciento, entre estados de rating con los datos del periodo 1981-96.

´

Miramos la situaciń hoy, la proporciń de empresas que estń en cada uno
o o a
(0) (0)
de los estados de solvencia, para formar el vector inicial z(0) = (z1 , . . . , zn ).
Segń este modelo, el vector de proporciones vendr´ dado, tras k aõs, por
u a n
z(k) = z(0) Ak .
Puede interesarnos estudiar, por ejemplo si queremos hacer o valorar
inversiones a muy largo plazo (muchos de los bonos y obligaciones tienen
horizontes temporales de 20 aõs o m´s), el comportamiento asint´tico del
n a o
sistema. Esto es, calcular el vector de proporciones cuando k → ∞, lo que
llamar´ıamos z(∞) .
Lo sorprendente del caso es que, si λ = 1 es el unico autovalor dominante
´
(es decir, si la matriz es primitiva), entonces, sean cuales sean las proporciones
iniciales, el estado estacionario z(∞) es el autovector correspondiente a λ = 1.
Autovector, por cierto, que es el que la teor´ de Perron-Frobenius nos ofrec´
ıa ıa.
Como estas cosas m´s vale verlas antes de creerlas, recurrimos de nuevo a
a
Maple para los c´lculos, con la matriz estoc´stica (por columnas) siguiente:
a a
 
0.4 0.1 0.1 0.2
 0.4 0.6 0.3 0.1 
A := 
 0.15 0.2 0.4 0 


0.05 0.1 0.2 0.7
Ahora, amablemente, solicitamos a Maple que nos calcule los autovalores y
los autovectores:
eigenvectors(A);
[1.0000000, 1, {[−0.37822566, −0.78653745, −0.35673556, −0.56304047]}],
[0.4999999982, 1, {[−0.2962451280, 0.4443676920, 0.4443676932, −0.5924902550]}],
[0.2292893218, 1, {[.2060703913, −0.7035683205, .6432117000, −.1457137708]}],
[0.3707106784, 1, {[−1.587596362, 0.9299924275, 1.780204107, −1.122600167]}]

A estas alturas, el resultado ya no nos sorprende: el autovector asociado al
autovalor λ = 1 es el unico que tiene todas las entradas con el mismo signo.
´
Maple nos ofrece una versiń del autovector cuyas entradas son todas negativas,
o
pero esto no nos importa mucho, porque basta cambiarlas de signo (y seguiremos
teniendo un autovector).
Para la comparaciń que haremos en un momento, conviene reescribir el
o
autovector de manera que todas sus entradas sean positivas y que adem´s a
sumen 1. El resultado es el siguiente:
v = (0.1814432986, 0.3773195881, 0.1711340205, 0.2701030929) .
Vamos ahora con la evoluciń probabil´
o ıstica. Partimos de un cierto vector v 0
(que incluso podr´
ıamos sortear) y dejamos que la matriz haga el resto:
v0:=matrix(4,1,[0.2,0.2,0.4,0.2]);
 
0.2
 0.2 
v0 :=  
 0.4 
0.2

136 ´
P. Fernandez

seq(evalm(A^n * v0), n=1..20);
         
0.18 0.1790 0.18010 0.1808450 0.18119850
 0.34   0.3700   0.37610   0.3772100   0.37735750 
         
 0.230  ,  0.1870  ,  0.175650  ,  0.1724950  ,  0.171566750  ,
0.250 0.2640 0.268150 0.2694500 0.269877250
       
0.1813472750 0.1814064925 0.1814293771 0.1814380744
 0.3773516500   0.3773356025   0.3773264713   0.3773223566 
       
 0.1712779750  ,  0.1711836113  ,  0.1711515388  ,  0.1711403163  ,
0.2700231000 0.2700742937 0.2700926128 0.2700992527
       
0.1814413475 0.1814425722 0.1814430288 0.1814431987
 0.3773206638   0.3773199980   0.3773197423   0.3773196455 
       
 0.1711363090  ,  0.1711348585  ,  0.1711343288  ,  0.1711341344 
0.2701016795 0.2701025713 0.2701029001 0.2701030214
       
0.1814432617 0.1814432852 0.1814432937 0.1814432970
 0.3773196092   0.3773195957   0.3773195905   0.3773195887 
       
 0.1711340626  ,  0.1711340361  ,  0.1711340263  ,  0.1711340226 
0.2701030663 0.2701030830 0.2701030891 0.2701030913
     
0.1814432982 0.1814432987 0.1814432988
 0.3773195881   0.3773195878   0.3773195877 
     
 0.1711340214  ,  0.1711340209  ,  0.1711340207  .
0.2701030923 0.2701030926 0.2701030927

S´lo hemos incluido 20 pasos porque, como el lector puede comprobar, la
o
convergencia al vector v es vertiginosa. Una ultima prueba, por si alguien sigue
´
desconﬁando. Partimos ahora de otro vector inicial (muy poco “probabil´ ıstico”,
en verdad):
v0:=matrix(4,1,[1,0,0,0]);
 
1
 0 
v0 :=  
 0 
0
seq(evalm(A^n * v0), n=1..20);
           
0.4 0.225 0.1800 0.172375 0.1738750 0.17654812
 0.4   0.450   0.4325   0.411000   0.3962125   0.38748000 
 ,  ,  ,  ,  ,  ,
 0.15   0.200   0.20375   0.195000   0.18605625   0.17974625 
0.05 0.125 0.18375 0.221625 0.24385625 0.25622562
         
0.17858700 0.17986435 0.18059809 0.18100007 0.18121405
 0.38265368   0.38007828   0.37873234   0.37803822   0.37768341 
         ,
 0.17587671  ,  0.17366947  ,  0.17246310  ,  0.17182142  ,  0.17148622 
0.26288259 0.26638787 0.26820645 0.26914027 0.26961630
         
0.18132584 0.18138352 0.18141302 0.18142801 0.18143560
 0.37750316   0.37741199   0.37736601   0.37734288   0.37733126 
 ,  ,  , ,  ,
 0.17131328   0.17122482   0.17117985   0.17115710   0.17114562 
0.26985770 0.26997965 0.27004110 0.27007199 0.27008750
       
0.181439432 0.181441358 0.181442325 0.181442811
 0.377325439   0.377322518   0.377321054   0.377320321 
       
 0.171139842  ,  0.171136939  ,  0.171135483  ,  0.171134753  .
0.270095285 0.270099184 0.270101136 0.270102113

No hay trampas, ¡sale siempre el mismo resultado! Magia matem´tica.
a

´

9.2 Modelos de din´mica de poblaciones
a

En una cierta especie, los individuos se agrupan por grupos de edad C1 , . . . , Cn .
(0) (0)
La poblaciń inicial es z(0) = (z1 , . . . , zn ). Planteamos las siguientes hip´tesis:
o o

• cada individuo pasa al siguiente grupo en cada unidad de tiempo.
• en la etapa i, cada individuo da lugar a mi descendientes.
• si es la fracciń que sobrevive de la edad i − 1 a la edad i.
o

Este modelo, muy utilizado en Biolog´ es una generalizaciń del modelo de
ıa, o
cunicultura (vamos, la cr´ de conejos) que se plante´ en su d´ Fibonacci (y lo
ıa o ıa
que han dado de s´ los dichosos conejos16 ).
ı
La din´mica de la poblaciń viene determinada por el siguiente sistema
a o
matricial:
 k
s 1 m1 s 1 m2 ··· s1 mn−1 s 1 mn    
  (0) (k)
 s2 0 ··· 0 0   z1 z1
   .   . 
 0 s3 ··· 0 0   . = . .
 . . .. . .  .   . 
 .
. .
. . .
. .
.  (0) (k)
zn zn
0 0 ··· sn 0

Si la matriz anterior (conocida como matriz de Leslie) es “buena”, entonces

z(k) ≈ K λk v1
1 cuando k → ∞,

donde λ1 es “el” autovalor dominante y v1 es su autovector asociado. De
donde se deduce que el comportamiento asint´tico (crecimiento, extinciń o
o o
quiz´ oscilaciń) de la poblaciń depende de si λ1 es 1, 1 o = 1.
a o o ´

9.3 Modelos econ´micos
o

Una econom´ (muy simplificada) consta de tres sectores, digamos agricultura,
ıa
industria y servicios, cuyas producciones respectivas son x1 , x2 y x3 (en las
unidades que sean).
La hip´tesis fundamental es que el consumo que de la producciń xi hace
o o
´
el sector j es proporcional a xj (la producciń de j). Este es un modelo bien
o
conocido en Econom´ el modelo input-output de Leontief 17 .
ıa,

16 No los conejos en s´ sino la sucesiń de n´ meros de Fibonacci que surge del an´lisis de
ı, o u a
la cuestiń. Tanto es as´ que, quiz´ como caso unico en las Matem´ticas, existe una revista,
o ı a ´ a
Fibonacci Quarterly, ´ ıntegramente dedicada a la sucesiń y sus conexiones.
o
17 En la exposiciń de motivos del Premio Nobel en Econom´ concedido a Leontief en 1973
o ıa
se lee: “[. . . ] por el desarrollo del m´todo input-output y por sus aplicaciones a importantes
e
problemas econ´micos”. El modelo que Leontief utiliz´ para analizar la econom´ de Estados
o o ıa
Unidos en 1958 constaba de 81 sectores.

138 ´
P. Fernandez

Podr´ıamos estar, por ejemplo, en una situaciń como la que se describe en
o
la siguiente tabla:

Agricultura Industria Servicios Consumidor total producido
Agricultura 0.3 x1 0.2 x2 0.3 x3 4 x1
Industria 0.2 x1 0.4 x2 0.3 x3 5 x2
Servicios 0.2 x1 0.5 x2 0.1 x3 12 x3

De las x1 unidades producidas por el sector agrario, el 30 % son
“autoconsumidas”, 0.2 x2 utilizadas por la industria, 0.3 x3 por el sector de
servicios, mientras que 4 unidades lo son por los consumidores finales.
Ahora, la cuestiń, escrita en t´rminos matriciales, adopta la forma
o e

Ax + b = x .

Y la pregunta es: dado un vector de consumo b ≥ 0, ¿tiene el sistema anterior
una soluciń x ≥ 0?
o
Desde luego, ser´ el caso si la matriz I − A tiene una inversa no negativa,
a
pues entonces
x = (I − A)−1 b ≥ 0 .
Una condiciń suficiente para garantizar la existencia de esta inversa no negativa
o
es que el autovalor dominante de A sea18 1.

9.4 Extensiones de la teor´ de Perron-Frobenius
ıa
La clave del teorema de Perron-Frobenius reside en que una matriz n × n
de entradas por ejemplo positivas conserva el “octante” Rn . Una versiń
+ o
m´s general de este resultado trata con conos en Rn . El lector con
a
especiales inclinaciones hacia la geometr´ del espacio eucl´
ıa ıdeo n-dimensional
disfrutar´ leyendo las definiciones de la siguiente nota y comparando el
a
enunciado habitual del teorema de Perron-Frobenius con la generalizaciń que
o
escribimos m´s adelante.
a
Nota. Un conjunto C ⊂ Rn es un cono si ax ⊆ C para todo x ∈ C y para todo
escalar a ≥ 0. Ser´ un cono convexo si λx + µy ∈ C para cualesquiera x, y ∈ C
a
y λ, µ ≥ 0. Por ultimo, diremos que el cono es propio si (a) C ∩ (−C) = {0}, (b)
´
int(C) = Ø; y (c) span(C) = Rn .

Teorema 3 (Perron-Frobenius, versiń general) Sean A una matriz n×n
o
y C un cono convexo propio. Si AC ⊆ C (esto es, si A conserva el cono C),
entonces

a) el radio espectral ρ(A) es un autovalor de A, de grado mayor al de los
autovalores de igual m´dulo.
o
b) C contiene un autovector de A correspondiente al autovalor ρ(A).
18 La razń es que, en este caso, I + A + A2 + · · · = (I − A)−1 .
o

´

c) Si adem´s A(C {0}) ⊆ int(C), entonces ρ(A) es un autovalor simple
a
de A, mayor en m´dulo que cualquier otro, y su autovector asociado
o
est´ en int(C).
a
Aquellos otros lectores que gusten m´s del an´lisis funcional y la teor´
a a ıa
espectral apreciarń la siguiente versiń en dimensiń infinita debida a Krein
a o o
y Rutman ([12]), que aqu´ enunciamos tal como aparece en los comentarios al
ı
cap´
ıtulo VI de [5]:
Teorema 4 (Krein-Rutman) Sea E un espacio de Banach y C un
cono convexo de v´rtice 0. Supongamos que C es cerrado, int(C) = Ø y
e
C ∩ (−C) = {0}. Sea T : E → E un operador compacto tal que
T (C {0}) ⊂ int(C).
Entonces existe un autovalor λ 0 de T simple, de m´dulo m´ximo y cuyo
o a
autovector asociado est´ en C.
a
Pero si su especialidad son las ecuaciones en derivadas parciales, le seducir´ el
a
siguiente desaf´ sea Ω un abierto regular, conexo y acotado de Rn y
ıo:
consideremos el problema de Dirichlet para el laplaciano:
−∆u = f ∈ L2 (Ω) ,
1
u ∈ H0 (Ω) .

Compru´bese19 , utilizando el teorema de Krein-Rutman, que la primera
e
autofunciń del laplaciano −∆ en el problema de Dirichlet (la asociada al menor
o
autovalor, que resulta ser simple) es positiva. Para los detalles, váse el apńdice
e e
del cap´
ıtulo VIII de [9] .

Coda
De un reto tecnol´gico formidable, como es el diseõ de un buscador en la red,
o n
descubrimos que, al final, la clave son las Matem´ticas: la astuta aplicaciń
a o
de teoremas y el cuidadoso an´lisis de la convergencia de los algoritmos. Una
a
nueva comprobaciń de la unreasonable effectiveness de las Matem´ticas en
o a
las Ciencias Naturales, que dec´ Eugene Wigner, y en tantos campos, que
ıa
podr´ıamos aãdir nosotros.
n
Confiamos en que estas p´ginas, adem´s de haber servido como
a a
entretenimiento para el lector, le animen a indagar por su cuenta en los
numerosos problemas que aqu´ apenas hemos esbozado.
ı
Y nos despedimos con especial cariõ del teorema de Perron-Frobenius, que
n
desempeã un papel tan destacado en tan variadas cuestiones. Lo hacemos con
n
una coplilla, manriqueã y jocosa:
n
19 Algunas pistas: el cono que conviene considerar es
C = {u ∈ L2 (Ω) : u ≥ 0 en casi todo punto}.
El operador T es (−∆)−1 ,que es compacto de L2 (Ω) en L2 (Ω) y conserva el cono C. La clave
es que si f ≥ 0 en casi todo punto, entonces tambiń u ≥ 0 en casi todo punto.
e

140 ´
P. Fernandez

Un hermoso resultado
que adem´s se nos revela
a
indiscreto;
y un tanto desvergonzado,
porque de Google desvela
. . . su secreto.

Para saber m´s
a
[1] Bapat, R. B. y Raghavan, T. E. S.: Nonnegative matrices and
Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 64.
Cambridge University Press, 1997.
´
[2] Barabasi, A.-L.: The Physics of the web. Physics World (julio 2001).
Se puede obtener en la p´gina web del autor, http://www.nd.edu/~alb.
a
´
[3] Barabasi, A.-L.: Linked, the new Science of Networks. How everything
is connected to everything else and what it means. Plume Books, 2003.
[4] Berman, A. y Plemmons, R. J.: Nonnegative matrices in the
Mathematical Sciences. Classics in Applied Mathematics 9. Academic
Press, 1979.
´
[5] Brezis, H.: An´lisis funcional. Teor´ y aplicaciones. Alianza Editorial,
a ıa
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