Figuras planas-01
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Este documento presenta información sobre el teorema de Pitágoras. Explica qué es un triángulo rectángulo y cómo se pueden construir cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo. Luego enuncia el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El documento proporciona ejemplos para aplicar el teorema y calcular los lados desconocidos de triá
Figuras planas-01
- 1. 10 OBJETIVO 1 COMPRENDER EL TEOREMA DE PITÁGORAS NOMBRE: CURSO: FECHA: TRIÁNGULO RECTÁNGULO • Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). b a • Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c. El lado mayor se llama hipotenusa, a. • Ejemplos de triángulos rectángulos son la escuadra y el cartabón. c CUADRADOS SOBRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO A • Sobre los lados de un triángulo rectángulo construimos cuadrados, B C como se ve en la figura. • La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos es igual al área del cuadrado + = construido sobre la hipotenusa. 1 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm. a) Forma el ángulo recto con ambos catetos y comprueba que mide 90º. b) Mide la longitud del lado mayor: hipotenusa. c) Nombra sus elementos: ángulo recto y lados. 2 Traza una diagonal sobre el siguiente rectángulo e indica. a) ¿Qué polígonos se han formado? b) Nombra sus elementos. 356 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 2. 10 TEOREMA DE PITÁGORAS • Pitágoras fue un científico de la época griega, que enunció el teorema que lleva su nombre y que afirma: «En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos». b a a2 = b2 + c2 Despejando F a = b2 + c2 c • Se pueden hallar los valores de los catetos en función de los otros valores: b2 = a2 − c2 Despejando F b = a2 − c 2 c2 = a2 − b2 Despejando F c = a2 − b 2 3 Calcula el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos. a) b) a a 4 cm 15 cm 10 cm 8 cm 4 Obtén el valor de los catetos que faltan en cada triángulo rectángulo. a) b) 13 cm 6 cm 10 cm 12 cm 5 Una escalera que mide 6 m se apoya en una pared. Desde la base de la escalera a la pared hay una distancia de 2 m. Halla la altura marcada en la pared por la escalera. (En la figura, la distancia AC.) A ADAPTACIÓN CURRICULAR 6m C B 2m 6 Pedro y Elisa quieren sujetar con una cuerda un poste de 2 m de altura a una estaca que está situada a 3,5 m de la base del poste. Calcula la longitud de la cuerda que necesitan. 2m l 3,5 m MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 357
- 3. 10 OBJETIVO 2 CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE. CALCULAR PERÍMETROS NOMBRE: CURSO: FECHA: UNIDADES DE LONGITUD • El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro son: UNIDAD MÚLTIPLOS DEL METRO SUBMÚLTIPLOS DEL METRO PRINCIPAL 10.000 m 1.000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m metro miriámetro kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro m mam km hm dam dm cm mm • Cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 F F F F F F F mam km hm dam m dm cm mm F F F F F F F : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 1 Expresa cada longitud en la unidad indicada. a) 34 km = 34 ⋅ 1.000 = .................. m d) 7 cm = 7 : 10 = .................. dm b) 348 m = .................. = .................. hm e) 4,3 hm = .................. = .................. m c) 0,8 hm = .................. = .................. km f) 7,5 dm = .................. = .................. cm 2 Ordena, de mayor a menor (>), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro y transforma todas las medidas en esa unidad. 0,34 km – 45 dm – 5 m – 678 cm – 12 m – 0,25 km – 9,5 dam – 5.500 mm – 0,01 km – 2,83 dam 3 Dibuja con tu regla cuatro segmentos de longitudes 5, 7, 12 y 14 cm, respectivamente. Nómbralos y completa la tabla adjunta. LONGITUD DEL SEGMENTO EQUIVALENCIA (m) EQUIVALENCIA (dm) SEGMENTO (cm) 358 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 4. 10 4 Completa la siguiente tabla. km hm m dm cm 5m 2,3 km 153 dm 6,5 hm 2.000 cm 5 Completa la tabla. LONGITUD (km) LONGITUD (hm) LONGITUD (m) 2.850.000 11.200 9.270 913 743.000 680 535.000 3.410 336 UNIDADES DE SUPERFICIE 1m • El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. • Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. 1m 1 m2 • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro cuadrado son: ADAPTACIÓN CURRICULAR UNIDAD SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO PRINCIPAL DEL METRO CUADRADO 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 metro kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado m2 km2 hm2 dam2 dm2 cm2 mm2 • Cada unidad es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior. ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 F F F F F F km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 F F F F F F : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 359
- 5. 10 Para medir extensiones de campo, fincas, bosques, etc., se utilizan otras unidades: UNIDADES SÍMBOLO EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA EN m2 Hectárea ha 1 hm2 10.000 m2 Área a 1 dam2 100 m2 Centiárea ca 1 m2 1 m2 ⋅ 100 ⋅ 100 F F ha a ca F F : 100 : 100 6 Completa las siguientes igualdades. a) 90 m2 = 950 ⋅ 100 = ............... dm2 d) 54 dm2 = 54 : 100 = ............... m2 b) 43,2 cm2 = ............... = ............... dm2 e) 0,463 km2 = ............... = ............... hm2 c) 0,67 m2 = ............... = ............... cm2 f) 82 dam2 = ............... = ............... m2 7 Si 1 m2 es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado, expresa lo que sería: a) 1 cm2 c) 1 km2 b) 1 mm2 d) 1 dam2 8 Expresa las siguientes unidades de superficie en su correspondiente equivalencia. EXPRESIÓN (ha) EQUIVALENCIA (a) EQUIVALENCIA (m2) Un campo de girasoles de 3 hectáreas Un bosque de 250 hectáreas Una finca de 10 hectáreas Un terreno de cultivo de 2,4 hectáreas 9 Ordena, de menor a mayor (< ), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro cuadrado y transforma todas las medidas en esta unidad. 0,024 dm2 – 32 m2 – 8.400 dm2 – 0,75 hm2 – 0,0024 km2 – 12 dam2 – 865.271 mm2 – 50 m2 360 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 6. 10 PERÍMETRO DE UN POLÍGONO El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Para calcularlo sumamos sus lados. Lo expresamos con la letra P. EJEMPLO Halla el perímetro de un campo de fútbol de lados 100 m y 70 m. 100 m P = 100 + 70 + 100 + 70 = 340 m 70 m 70 m El perímetro es una medida de longitud. 100 m 10 Calcula el perímetro del tablero de tu pupitre y de una baldosa del suelo de tu aula. Realiza un dibujo significativo. Tablero del pupitre Baldosa 11 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares. Realiza un dibujo a escala de cada figura. a) Pentágono, de 5 cm de lado. c) Hexágono, de 7 cm de lado. ADAPTACIÓN CURRICULAR b) Triángulo equilátero, de 3 cm de lado. d) Cuadrado, de 10 cm de lado. MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 361
- 7. 10 OBJETIVO 3 CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS NOMBRE: CURSO: FECHA: ÁREA DE UNA FIGURA • El área de una figura es la medida de su superficie, e indica el número de veces que contiene la unidad de superficie. • El valor del área depende de la unidad de medida que tomemos. • Lo expresamos con la letra A. EJEMPLO Tomando como unidad de superficie un cuadradito , calcula el área de la siguiente figura. • La figura contiene 15 . 362 • Su área es: A = 15 unidades de superficie. F • Si cada cuadradito tuviera 1 cm de lado, su área sería 1 cm2. 1 cm G • Y el área de la figura sería 15 cm2. 1 Tomando como unidad de medida un cuadrado, expresa el área de cada figura. a) c) b) d) ÁREA DEL RECTÁNGULO • El rectángulo de la figura realizada a escala tiene 28 cuadrados de 1 cm2 cada uno. Altura = 4 cm • Son 7 columnas y 4 filas. • Para hallar el área del rectángulo se multiplica la longitud de la base por la longitud de la altura. Base = 7 cm Área rectángulo = base ⋅ altura → A = b ⋅ h = 7 cm ⋅ 4 cm = 28 cm2 ÁREA DEL CUADRADO • El cuadrado de la figura realizada a escala tiene 25 cuadrados de 1 cm2. • Son 5 columnas y 5 filas. • Para hallar el área del cuadrado se multiplica la longitud Lado = 5 cm de un lado por la longitud del otro lado. Área cuadrado = lado ⋅ lado → A = l ⋅ l = 5 cm ⋅ 5 cm = 25 cm2 Lado = 5 cm 362 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 8. 10 2 Obtén el área de estos rectángulos y realiza un dibujo representativo. a) Base = 10 cm Altura = 4 cm b) Base = 12 cm Altura = 6 cm 3 Determina el área de los cuadrados y realiza un dibujo representativo. a) Lado = 4 cm b) Lado = 8 cm 4 Un rectángulo tiene 36 cm2 de área y 12 cm de base. Calcula. a) La altura del rectángulo. b) El perímetro del rectángulo. ADAPTACIÓN CURRICULAR 5 Si un cuadrado tiene 64 cm2 de área, halla. a) El lado del cuadrado. b) El perímetro del cuadrado. MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 363
- 9. 10 6 Halla el área de esta figura, compuesta por dos cuadrados iguales y un rectángulo. 14 cm G F F 8 cm G F 4 cm G d ÁREA DEL ROMBO El área del rectángulo es el producto de la base por la altura. D El rombo ocupa la mitad de la superficie del rectángulo. diagonal mayor ⋅ diagonal menor D ⋅d Área rombo = = 2 2 ÁREA DEL ROMBOIDE El romboide lo podemos transformar en rectángulo. a a El área de un romboide es el área de un rectángulo de igual base y altura. b b Área romboide = base ⋅ altura = b ⋅ h 7 Obtén el área de los siguientes rombos y realiza un dibujo representativo a escala. a) Diagonal mayor = 7 cm b) Diagonal mayor = 10 cm Diagonal menor = 3 cm Diagonal menor = 5 cm 8 Calcula el área de estos romboides y haz un dibujo representativo a escala. a) Base = 8 cm b) Base = 12 cm Altura = 2 cm Altura = 5 cm 364 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 10. 10 ÁREA DEL TRIÁNGULO • Al trazar la diagonal del romboide, este queda dividido en dos triángulos. • El triángulo gris y el triángulo blanco ocupan la misma superficie. a área de romboide b ⋅h • Área triángulo = = 2 2 b ⋅h G G F Área triángulo = b 2 9 Calcula el área y el perímetro de los triángulos. a) b) Triángulo equilátero Lado = 6 cm 10 cm 6 cm Altura = 5,2 cm 8 cm 10 Obtén el área de la siguiente figura. 5 cm 15 cm G FG F F 15 cm G ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR El siguiente hexágono regular se descompone en 6 triángulos iguales cuya altura es la apotema, a. ADAPTACIÓN CURRICULAR l base ⋅ altura lado ⋅ apotema l⋅a • Área de cada triángulo = = = 2 2 2 a a a a a a a l l l l l l l⋅a perímetro ⋅ apotema P ⋅a • Área de los 6 triángulos = 6 ⋅ = = 2 2 2 Perímetro del hexágono = 6 ⋅ l perímetro ⋅ apotema Área polígono regular = 2 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 365
- 11. 10 11 Calcula el perímetro y el área de los siguientes polígonos. a) Pentágono regular Lado = 5 cm Apotema = 3,44 cm b) Hexágono regular Área del triángulo = 15,6 cm2 Lado = 6 cm 12 Determina el perímetro y el área de las figuras. a) Octógono regular Apotema = 2,41 cm Lado = 2 cm b) Cuadrado Lado = 10 cm Área del triángulo = 25 cm2 13 Halla lo que mide el lado de estos polígonos. a) Octógono regular Área del octógono = 1.920 cm2 Apotema = 24 cm b) Hexágono regular Área del hexágono = 345 cm2 Apotema = 10 cm 366 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
- 12. OBJETIVO 4 CALCULAR EL ÁREA Y EL PERÍMETRO DE FIGURAS CIRCULARES 10 NOMBRE: CURSO: FECHA: CONCEPTOS DE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Circunferencia La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia del centro. Círculo El círculo es la figura plana formada por la circunferencia y su interior. RELACIÓN ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y SU DIÁMETRO • Imagina que extendemos el contorno completo de la circunferencia y lo comparamos con el diámetro. L La longitud de la circunferencia d es un poco mayor que el triple d d d de la longitud de su diámetro. • Al dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro se obtiene siempre el mismo número, que se representa por la letra griega π, y se lee pi. Longitud circunferencia • El número siempre es el mismo valor: π = ᎏᎏᎏ ≈ 3,14 Diámetro L = π, de donde se obtiene la expresión d d de la longitud de una circunferencia L = d⋅π= 2⋅π⋅r r r 1 Comprueba la obtención de π con los siguientes ejemplos. LONGITUD CIRCUNFERENCIA DIÁMETRO LONGITUD DIVIDIDA ENTRE DIÁMETRO ADAPTACIÓN CURRICULAR RELOJ 78,5 cm 25 cm ARO DE GIMNASIA 226,1 cm 72 cm RUEDA COCHE 168 cm 53,5 cm PAPELERA 157 cm 50 cm 2 Dibuja una circunferencia de diámetro 4 cm y calcula su longitud. (Utiliza el compás con un radio de 2 cm.) MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 367
- 13. 10 3 La rueda de una bicicleta tiene un radio de 29 cm. a) ¿Qué distancia recorre la bicicleta cada vez que la rueda da una vuelta? b) ¿Y si da tres vueltas? ÁREA Y PERÍMETRO DEL CÍRCULO • El círculo es un polígono regular con muchos lados. El perímetro del círculo es igual perímetro ⋅ apotema P ⋅a a la longitud de la circunferencia. Área = = P = 2π r 2 2 Perímetro · El perímetro es 2π r •G La apotema es el radio r Círculo P ⋅a 2π ⋅ r ⋅ r Área círculo = = = πr 2 2 2 4 Realiza un dibujo a escala y calcula el área de estos círculos. a) Radio = 3 cm b) Radio = 5 cm 5 Quiero sembrar un terreno circular que tiene un diámetro de 140 dm. ¿Cuántos metros cuadrados son? 6 Halla la superficie de las zonas sombreadas. a) Lado del cuadrado: 4 cm b) Radio del círculo mayor: 5 cm Radio del círculo: 1,3 cm Radio del círculo menor: 3 cm 368 MATEMÁTICAS 2.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.