FLUIDOS.pdf
- 1. FLUIDOS Densidad 1. Un cilindro de cobre tiene una longitud de 6 cm y un radio de 2 cm. Hallar su masa. Utilizando la densidad del cobre: 𝝆𝝆 = 𝟖𝟖, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌 2. Hallar la masa de una esfera de plomo de 2 cm de radi. La densidad del plomo: 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 3. Hallar la masa del aire contenido en una habitación de 4 m por 5 m por 4 m. Utilizando la densidad del aire: 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟒𝟒 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 4. Una puerta de roble maciza posee una altura de 200 cm, una anchura de 75 cm y un espesor de 4 cm. ¿Cuál es su peso? Utilizando como densidad del roble el valor medio: 𝝆𝝆 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟒𝟒, 𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 5. Se llena un recipiente de 60 mL con mercurio a 0ºC (figura). Cuando se eleva la temperatura a 80ºC, se salen 1,47 g de mercurio del recipiente. Suponiendo que el volumen del recipiente permanece constante, calcular la densidad del mercurio a 80º C si su densidad a 0º C es de 13 645 kg/m3 . A 0º C: 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟑𝟑 � = 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 A 80º C: 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌
- 2. Suponiendo que el volumen del recipiente se mantiene: 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 �𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝟑𝟑 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 Presión 6. Si la presión manométrica se duplica, la presión absoluta a) Se reduce a la mitad. b) Se duplica. c) No se modifica. d) Se eleva al cuadrado. e) Falta información para determinar el efecto. Respuesta correcta la e. 7. Las lecturas barométricas en los países de habla inglesa suelen venir dadas en pulgadas de mercurio (pulHg). Hallar en pulHg la presión de 101 kPa. 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 Utilizando la equivalencia m/pulgada: 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 8. La presión sobre la superficie de un lago es la presión atmosférica Pat=101 kPa. a) ¿A qué profundidad la presión es el doble de la atmosférica? b) Si la presión en la superficie de un recipiente profundo que contiene mercurio es Pat. ¿a qué profundidad la presión es igual a 2 Pat? a) Usando la densidad del agua: 103 kg/m3 . 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ ∆𝒉𝒉 = ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) Usando la densidad del mercurio: 13,6 103 kg/m3 . 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ ∆𝒉𝒉 = ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 c) ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 9. a) Calcular la presión absoluta en el fondo de una piscina de agua de 5,0 m de profundidad. b) Calcular la presión manométrica a la misma profundidad. a) 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 b) 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ; 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 − 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 10. Cuando una mujer con tacones altos da un paso, momentáneamente descarga todo su peso sobre el tacón de uno de sus zapatos, que tiene un radio de 0,4 cm. Si su masa es de 56 kg, ¿Cuál es la presión que su tacón ejerce sobre el suelo? 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 11. Se utiliza un elevador hidráulico para levantar un automóvil de 1500 kg de masa. El radio del eje del elevador es 8 cm y el del pistón es de 1 cm. ¿Cuánta fuerza deberá aplicarse al pistón para levantar el automóvil?
- 3. 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 𝑺𝑺𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟏𝟏 ∗ 𝑺𝑺𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑵𝑵 12. La sangre entra en a aorta a través de una abertura circular de 0,9 cm de radio. Si la presión de la sangre es 120 torr, ¿Cuánta fuerza deberá ejercer el corazón? 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 � ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵 13. ¿Qué presión se necesita para reducir el volumen de 1 kg de agua desde 1,00 L a 0,99 L? Utilizando el módulo de compresibilidad: 𝑩𝑩 = − ∆𝑷𝑷 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 ∆𝑷𝑷 = −𝑩𝑩 ∗ ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 Utilizando 𝑩𝑩𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷. ∆𝑷𝑷 = −𝟐𝟐,𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗−𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 14. Un coche de 1500 kg está apoyado sobre cuatro ruedas, que se encuentran infladas a una presión manométrica de 200 kPa. ¿Cuál es el área de contacto de cada rueda con el suelo, suponiendo que las cuatro ruedas soportan el peso por igual? 𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝑨𝑨 ; 𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑷𝑷∗𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟒𝟒 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐𝟐 15. En el siglo XVII, Pascal realizó el experimento indicado en la figura. Se llenó con agua un barril de vino al que se le conectó luego un tubo largo y se fue añadiendo agua por el tubo hasta que reventó el barril. a) Si el radio de la tapa del barril era de 20 cm y la altura del agua en el tubo era de 12 m, calcular la fuerza ejercida sobre la tapa. b) Si el tubo tenia un radio interior de 3 mm, ¿qué masa de agua en el tubo produjo la presión que reventó el barril? a) 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 b) 𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅 ∗ �𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑� 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝒅𝒅 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲𝑲𝑲 16. El plasma sanguíneo fluye desde una bolsa a través de un tubo hasta la vena de un paciente, en un punto en que la presión de la sangre es de 12 mm de Hg. La densidad
- 4. específica del plasma a 37º C es 1,03. ¿Cuál es la altura mínima a la que deberá estar la bolsa del plasma cuando se introduce en la vena sea al menos de 12 mm de Hg? 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ;𝒉𝒉 = 𝑷𝑷 𝝆𝝆∗𝒈𝒈 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 17. Mucha gente cree que si se hace flotar la parte superior de un tubo “snorkel” (tubo de respiración) fuera del agua (figura), podrían respirar con él mientras están paseando bajo el agua. Sin embargo, la presión del agua se opone a la dilatación del pecho y al inflado de los pulmones. Supóngase que apenas se puede respirar si se está tumbado en el suelo con un peso de 400 N sobre el pecho. ¿A qué profundidad por debajo de la superficie del agua podría estar el pecho para poder respirar aún, si se supone que la superficie del pecho es de 0,09 m2 ? 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ 𝑨𝑨 𝒉𝒉 = 𝑭𝑭 𝝆𝝆∗𝒈𝒈∗𝑨𝑨 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 18. Cuando el suelo se satura de agua durante las inundaciones, se desarrolla en el suelo una presión semejante a la que aparece en un recipiente con agua de igual volumen. Esta presión fuerza al agua a penetrar por las junturas de los bloques de hormigón que constituyen las paredes de los sótanos. Si esto ocurre con rapidez suficiente para llenar la bodega con agua, no se produce ningún otro daño. En otro caso, la presión ejercida hacia arriba sobre el suelo de la bodega puede hacer que la casa flote como un barco. ¿Qué fuerza ascendente se ejercerá sobre el suelo de un basamento de 10 m por 10 m, si está 2 m por debajo de la superficie del agua? 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐 𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑵𝑵 19. Una fuerza de 147 N se aplica a un pequeño pistón para levantar un coche que pesa 14700 N. Demostrar que este hecho no viola la ley de conservación de la energía mecánica observando que cuando el coche se eleva una distancia h, el trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el pequeño pistón es igual al trabajo realizado por el pistón grande sobre el coche.
- 5. En la prensa hidráulica: 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 El volumen desplazado en los dos pistones es el mismo: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 El trabajo hecho por la fuerza 1: 𝑾𝑾𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 = 𝑾𝑾𝟐𝟐 20. Un cubo hueco de arista a está medio lleno de agua de densidad ρ. Determinar la fuerza ejercida por el agua sobre una cara del cubo. La presión varía con la profundidad, no la podemos considerar constante. Consideramos la franja del dibujo a una profundidad h y con una anchura dh. En ella la presión será: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 La fuerza sobre la franja: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = (𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉) ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 Para obtener la fuerza integramos la expresión anterior: 𝑭𝑭 = ∫ (𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉) ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂/𝟐𝟐 𝟎𝟎 = �𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒉𝒉 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 𝒂𝒂/𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒂𝒂𝟑𝟑 𝟒𝟒 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟖𝟖 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒂𝒂𝟑𝟑 21. El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉. Se llena con agua un recipiente cónico de 25 cm de altura que se apoya sobre su base de radio 15 cm. a) Hallar el volumen y el peso del agua contenida en el recipiente. b) Hallar la fuerza ejercida por el agua sobre la base del recipiente. Explicar cómo puede ser mayor esta fuerza que el peso del agua.
- 6. a) 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟓𝟓, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓.𝟖𝟖 𝑵𝑵 b) 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 La fuerza sobre la base dependerá únicamente de la altura de la columna del agua y del área de esta, no de su masa. Fuerza ascensional 22. ¿Se cumple el principio de Arquímedes en un satélite que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular? Razonar la respuesta. No, en el satélite se cumple gef=𝑭𝑭𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 , no hay fuerza de flotación, no hay arriba y abajo. 23. Una roca de masa M con una densidad doble a la del agua está en el fondo de un acuario lleno de agua. La fuerza normal ejercida sobre la roca por el fondo del tanque es a) 2Mg b) Mg c) Mg/2 d) Cero La fuerza de flotación es: 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 La fuerza resultante sobre el fondo, será igual a la normal: 𝑵𝑵 = 𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒓𝒓 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝑵𝑵 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝑴𝑴∗𝒈𝒈 𝟐𝟐 Respuesta c. 24. Una roca se lanza a una piscina llena de agua a temperatura uniforme. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) La fuerza ascensional sobre la roca es nula cuando ésta se hunde. b) La fuerza ascensional sobre la roca crece cuando ésta se hunde. c) La fuerza ascensional sobre la roca disminuye cuando ésta se hunde. d) La fuerza ascensional sobre la roca es constante cuando ésta se hunde. e) La fuerza ascensional sobre la roca cuando ésta se hunde es distinta de cero al principio, pero se anula cuando se alcanza la velocidad límite. El empuje, que es la fuerza ascensional depende de la densidad del líquido, del volumen de cuerpo sumergido y de la gravedad, por ello la respuesta correcta es la b. 25. Una pecera descansa sobre una balanza. Súbitamente el pez nada hacia arriba para tomar alimento. ¿qué ocurre con la lectura de la balanza? No variará, las fuerzas que actúan sobre el pez son el empuje y su peso, pero la balanza marca la fuerza que hace el conjunto pez pecera sobre ella, y este conjunto es siempre el mismo. 26. Dos objetos están equilibrados como indica la figura. Los objetos tienen volúmenes idénticos, pero masas distintas. ¿Se perturbará el equilibrio si el sistema está completamente sumergido en agua? Razonar la respuesta.
- 7. Al sumergirlos en agua el empuje de los dos objetos no será el mismo que en el aire, de forma que el que tenga más volumen tendrá un empuje mayor. El peso aparente de cada uno será diferente, de forma que el sistema no estará en equilibrio. 27. Un bloque de 200 g de plomo y otro de 200 g de cobre descansan sobre el fondo de un acuario lleno de agua. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La fuerza ascensional es mayor en el plomo que en el cobre. b) La fuerza ascensional es mayor en el cobre que en el plomo. c) La fuerza ascensional es la misma en ambos bloques. d) Se necesita más información para decidir entre les anteriores. La densidad del plomo es mayor que la del cobre, por ello el volumen del bloque de plomo será menor que el del bloque de cobre. Esto hará que el empuje experimentado pr el bloque de plomo sea menor que el experimentado por el bloque de cobre. Respuesta b. 28. UN bloque de 20 cm3 de plomo y otro de 20 cm3 de cobre descansan sobre el fondo de un acuario lleno de agua. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La fuerza ascensional es mayor en el plomo que en el cobre. b) La fuerza ascensional es mayor en el cobre que en el plomo. c) La fuerza ascensional es la misma en ambos bloques. d) Se necesita más información para decidir entre les anteriores. El volumen es el mismo en los dos bloques la fuerza ascensional es la misma para los dos. Respuesta c. 29. Una pieza de cobre (densidad específica 9,0) de 500 g se sumerge en agua y se suspende de un dinamómetro (figura). ¿qué fuerza indicará el índice del dinamómetro? 𝑬𝑬 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝟗𝟗.𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑵𝑵 La fuerza F que marcará el dinamómetro: 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 � = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟗𝟗 � = 𝟒𝟒. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵 30. Cuando se ata una piedra de 60 N a un dinamómetro y se sumerge en el agua, el índice de la escala marca 40 N. Calcular la densidad específica de la piedra. 𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 � 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝑷𝑷−𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈−𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒈𝒈
- 8. 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 − 𝒎𝒎∗𝒈𝒈−𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = 𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 ; 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝑬𝑬 = 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 La densidad de la piedra es: 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 31. Un bloque de un material desconocido pesa 5 N en aire y 4,55 N cuando se sumerge en agua. a) ¿Cuál es la densidad del material? b) ¿De qué material está hecho el bloque? a) 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝑬𝑬 = 𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 b) Mirando una tabla de densidades concluimos que el material es el plomo. 32. Un trozo de metal pesa 90 N en aire y 56,6 N cuando se sumerge en agua. Determinar la densidad específica de este metal. 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝑬𝑬 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟗𝟗𝟗𝟗−𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟔𝟔 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 33. Un objeto flota en el agua con el 80 % de su volumen por debajo de la superficie. El mismo objeto situado en otro líquido flota con el 72 % de su volumen por debajo de la superficie. Determinar la densidad del objeto y la densidad específica del líquido. 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 𝒅𝒅 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 En el otro líquido: 𝒅𝒅 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒅𝒅 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓,𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 34. Se ata un bloque de 5 kg de hierro a un dinamómetro y se sumerge a un fluido de densidad desconocida. El índice del dinamómetro marca 6,16 N. ¿Cuál es la densidad del fluido? 𝑬𝑬 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒎𝒎 𝒅𝒅 ∗ 𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝑬𝑬∗𝒅𝒅 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = �𝑷𝑷−𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂�∗𝒅𝒅 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = (𝟓𝟓∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟔𝟔,𝟏𝟏𝟏𝟏)∗𝟕𝟕.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟓𝟓∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟔𝟔,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 35. Un trozo de corcho pesa 0,285 N en aire. Cuando se le mantiene sumergido bajo el agua mediante un dinamómetro, como se ve en la figura, se lee en la escala del mismo 0,855 N. Hallar la densidad del corcho.
- 9. El dinamómetro marca la fuerza resultante, dirigida hacia arriba: 𝑭𝑭 = 𝑬𝑬 − 𝑷𝑷 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝑭𝑭 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎 𝒅𝒅 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = � 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏� ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝑭𝑭 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 + 𝟏𝟏 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅 ; 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝑭𝑭+𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 36. Un astronauta en el interior de un vehículo espacial, “Icaro”, desea medir correctamente su peso, pero olvida tener en cuenta la fuerza ascensional ejercida por la atmósfera terrestre. Estimar la corrección que debe realizarse a la lectura de la balanza de resorte para obtener el peso real. En principio tendrá que añadir al peso registrado (Peso aparente) el empuje realizado por la atmósfera. El valor de este empuje es 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 Donde g será la aceleración de la nave. (¿?) 37. En condiciones estándar, la densidad del aire es 1,29 kg/m3 y la del helio es 0,178 kg/m3 . Un globo lleno de helio levanta una barquilla con carga de peso total 2000 N. ¿Cuál deberá ser el volumen del globo? 𝑷𝑷 = 𝑬𝑬 ; 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 + 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝒈𝒈∗(𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂−𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗(𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟑𝟑 38. Una muchacha planea realizar un viaje fluvial para pasar unos días en la choza de una amiga. En una balsa cuadrada de madera de 3 m de lado y 11 cm de espesor quiere cargar varias cajas de libros que pesan cada una 20 kg. La madera de la balsa tiene una densidad específica de 0,6. ¿Cuántas cajas de libros pueden situarse sobre la balsa sin que estos se mojen? Se supone que el agua está en calma. Suponemos que la balsa puede hundirse como a máximo 11 cm. 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟑𝟑 En equilibrio: 𝑷𝑷 = 𝑬𝑬 ; 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒙𝒙 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝒙𝒙 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝑽𝑽∗𝒈𝒈 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟓𝟓 Prescindiendo del peso de la muchacha 49 cajas. Considerando una masa mc de la muchacha: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒙𝒙 + 𝒎𝒎𝒄𝒄 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝒙𝒙 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝑽𝑽∗𝒈𝒈+𝒎𝒎𝒄𝒄∗𝐠𝐠 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝑽𝑽+𝒎𝒎𝒄𝒄 𝒎𝒎 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟓𝟓 + 𝒎𝒎𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟐𝟐
- 10. 39. Un objeto posee una fuerza ascensional neutra cuando su densidad se iguala a la del líquido en donde se encuentra sumergido, de forma que ni flota i se hunde. ¿qué masa de plomo debería añadirse a un nadador de 85 kg y de densidad media 0,96 kg/L que bucea en agua dulce para que su fuerza ascensional fuese neutra? 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷𝒏𝒏 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷; 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ �𝑽𝑽𝒂𝒂𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝑽𝑽𝒏𝒏� ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒏𝒏 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ �𝑽𝑽𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝑽𝑽𝒏𝒏� = 𝒎𝒎𝒏𝒏 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ � 𝒎𝒎𝒏𝒏 𝝆𝝆𝒏𝒏 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑷𝑷𝑷𝑷 � = 𝒎𝒎𝒏𝒏 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 Despejando la masa del plomo: 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝒏𝒏∗𝝆𝝆𝑷𝑷𝑷𝑷∗(𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂−𝝆𝝆𝒏𝒏) 𝝆𝝆𝒏𝒏∗(𝝆𝝆𝑷𝑷𝑷𝑷−𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂) = 𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑∗(𝟏𝟏−𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗) 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗∗(𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟑𝟑−𝟏𝟏) = 𝟑𝟑. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 40. Un vaso de masa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre una balanza. Un bloque de 2 kg de aluminio (densidad específica 2,70) suspendido de un dinamómetro se sumerge en agua. Determinar las lecturas de ambas balanzas (figura). La balaznza superior medirá el peso aparente del aluminio. Balanza superior: 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 = �𝟏𝟏 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 � ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 = �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 � ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵 La balanza inferior mide la reacción de la fuerza resultante sobre la base. Actúan por tanto el peso del agua, el peso del vaso y la reacción del empuje: 𝑵𝑵 = �𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗� ∗ 𝒈𝒈 + 𝑬𝑬 = �𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗� ∗ 𝒈𝒈 + 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 𝑵𝑵 = �𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒐𝒐� ∗ 𝒈𝒈 + 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝒈𝒈 𝑵𝑵 = (𝟐𝟐 + 𝟏𝟏) ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕 𝑵𝑵 41. Un barco que navega por agua de mar (densidad específica 1,03) se encuentra de repente navegando por agua dulce dónde lógicamente se hunde levemente. Cuando en
- 11. un puerto descarga 600 000 kg, vuelve a su posición original. Suponiendo que los laterales del barco son verticales en la línea de flotación, calcular la masa del barco antes de la descarga. En el mar: 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 En el agua dulce, una vez descargado: �𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 − 𝒎𝒎𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅� ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 �𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 − 𝒎𝒎𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅� = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 Dividiendo las dos ecuaciones: 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕− 𝒎𝒎𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 Despejando la masa total: 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎∗𝒎𝒎𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎−𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌 42. El hidrómetro que se muestra en la figura es un dispositivo para medir la densidad de los líquidos. El depósito contiene perdigones de plomo, y la densidad del líquido se puede leer directamente a partir del nivel del líquido en la escala calibrada. El volumen del depósito es de 20 mL, la longitud del vástago de la escala 15 cm, su diámetro 5,0 mm y la masa del vidrio 6,0 g. a) ¿Qué masa de perdigones de plomo debe añadirse para que el líquido de menor densidad que pueda medirse sea de 0,90 kg/L? b) ¿Cuál es la máxima densidad de un líquido que pueda medirse? a) Para el hidrómetro, en el caso de densidad mínima el volumen sumergido será máximo, depósito y columna: 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ 𝒈𝒈 El volumen es: 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = (𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗) ∗ 𝒈𝒈 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 − 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝑳𝑳 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌
- 12. b) En este caso el volumen sumergido será mínimo, el bulbo. c) 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷+𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = (𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎)𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝑳𝑳 Principio de continuidad y ecuación de Bernoulli 43. En unos almacenes se exhibe una pelota de playa que se sostiene en el aire de una corriente que procede de un tubo conectado al escape de un aspirador doméstico. ¿Cómo debe soplar el aire sobre la pelota: por encima o por debajo de la pelota? Razonar la respuesta. Sopla por debajo de la pelota, de forma que según la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 Si aumenta la velocidad del fluido disminuye la presión de forma que la menor presión dentro respecto de la presión atmosférica fuera mantiene la pelota en el chorro. 44. Un tubo horizontal se estrecha en una conducción pasando de un diámetro de 10 cm a otro de 5 cm. Un fluido circula por su interior desde el diámetro mayor al menor. a) La velocidad y la presión se incrementan. b) La velocidad crece y la presión disminuye. c) La velocidad disminuye y la presión crece. d) La velocidad y la presión decrecen. e) La velocidad o la presión cambian, pero no ambas a la vez. Por la ecuación de continuidad: 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 Si el área disminuye la velocidad aumenta. Por la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 Al aumentar la velocidad la presión deberá disminuir. Respuesta b. 45. Cuando el agua sale de un grifo, la corriente vertical se estrecha al caer el agua. ¿ Por qué? En la caída la velocidad del agua aumenta, la presión interna disminuye, la presión externa del aire produce su estrechamiento. 46. El agua fluye a través de una manguera de 3 cm de diámetro a una velocidad de 0,65 m/s. El diámetro de la boquilla es de 0,30 cm. a) ¿A qué velocidad pasa el agua a través de la boquilla? b) Si la bomba situada en un extremo de la manguera y la boquilla en el otro extremo tienen la misma altura, y si la presión en la boquilla es la presión atmosférica, ¿Cuál es la presión en la bomba? a) Por la ecuación de continuidad: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) Por la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐
- 13. Donde 1 indica la manguera y 2 la boquilla. 𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 � Tomamos para la presión atmosférica 101 kPa: 𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ �𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐� = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 47. Está fluyendo agua a 3 m/s por una tubería horizontal bajo una presión de 200 kPa. La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro original. a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en la sección estrecha? b) ¿Cuál es la presión en la sección más estrecha de la tubería? c) ¿Qué relación existe entre el volumen de agua que fluye por la sección estrecha cada segundo con el que circula a través de la sección más ancha? a) 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝟑𝟑 � 𝒓𝒓 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ �𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐� 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 c) El flujo ha de ser igual en todos los tramos de la tubería, por el principio de continuidad. 48. La presión en una sección de 2 cm de diámetro de una tubería horizontal es de 142 kPa. El agua fluye a través de la tubería con un caudal de 2,80 L/s, ¿Cuál deberá ser el diámetro de una sección más estrecha de la tubería para que la presión se reduzca a 100 kPa? 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 ;𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑰𝑰 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟐𝟐,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑳𝑳 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑷𝑷𝟏𝟏−𝑷𝑷𝟐𝟐+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝝆𝝆∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝝆𝝆 = � 𝟐𝟐∗(𝑷𝑷𝟏𝟏−𝑷𝑷𝟐𝟐) 𝝆𝝆 + 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 = �𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Por la continuidad: 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝟏𝟏 ∗ � 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ � 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟖𝟖 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒄𝒄 49. Por una aorta de 9 mm de radio fluye sangre a 30 cm/s. a) Calcular el flujo volumétrico en litros por minuto. b) Aunque el área de la sección recta de un capilar es mucho menor que la de la aorta, existen muchos capilares, de forma que el área total de sus secciones rectas es mucho mayor. Si toda la sangre procedente de la aorta pasa a los capilares en donde la velocidad de flujo es de 1,0 mm/s, calcular dicha área total. a) 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ �𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅� 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑,𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳/𝒔𝒔 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳 𝒔𝒔 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟒𝟒. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑳𝑳 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 b) 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐
- 14. 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝝅𝝅∗(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗)𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎/𝒔𝒔 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎𝟐𝟐 50. Una muchacha se encuentra en el tejado de su casa de dimensiones 15 m x 15 m. Súbitamente, un fuerte viento derriba la escalera por la que ha subido al tejado y la muchacha no tiene otro medio para descender. Ella sabe que un fuerte viento reduce la presión del aire sobre el tejado y que existe el peligro de que la presión atmosférica dentro de la casa vuele el tejado. Calcular la fuerza que actúa sobre el tejado cuando el viento sopla a la velocidad de 30 m/s. 𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando para la densidad del aire 1,225 kg/m3 . ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑭𝑭 = ∆𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑵𝑵 51. Un deposito grande de agua tiene, a una profundidad h respecto a la superficie libre del agua, un orificio prolongado por un pequeño tubo, como puede verse en la figura. Hallar la distancia x alcanzada por el flujo de agua que sale por el tubo. Aplicamos la ecuación de Bernoulli al punto a y al punto b. 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒃𝒃 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 En el punto a la velocidad se pude considerar nula, las presiones en a y b son la presión atmosférica. 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒃𝒃 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 Buscamos el tiempo que tarda en caer el agua en caída libre: 𝑯𝑯 − 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐 ;𝒕𝒕 = � 𝟐𝟐∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) 𝒈𝒈 𝒙𝒙 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ 𝒕𝒕 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ � 𝟐𝟐∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) 𝒈𝒈 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) 52. El gran oleoducto de Alaska (800 millas de longitud y 8000 millones $ de inversión) tiene una capacidad de 240 000 m3 de crudo por día. Su radio externo es de 60 cm. Determinar la presión P’ en un punto donde la tubería tiene un radio igual a la mitad de su valor estándar. Tomar como presión estándar el valor de P= 180 kPa y para la densidad del crudo, 800 kg/m3 .
- 15. 𝑷𝑷𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹/𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 � Usando la ecuación de continuidad: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅í𝒂𝒂 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹; 𝒗𝒗𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝑰𝑰 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 �𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = −𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 53. A través de un venturímetro como el siguiente Fluye agua a lo largo de una tubería de diámetro 9,5 cm que en el estrechamiento se reduce a 5,6 cm. El manómetro en U está parcialmente lleno de mercurio. Determinar la velocidad de flujo del agua en la tubería de 9,5 cm de diámetro si la diferencia en los niveles de mercurio del tubo en U es de 2,40 cm. Aplicamos la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 � La diferencia de presiones viene indicada por el tubo en U: 𝑷𝑷𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ � 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟒𝟒 − 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ � 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟒𝟒 − 𝟏𝟏� 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯∗𝒈𝒈∗𝒉𝒉 𝝆𝝆∗� 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟒𝟒−𝟏𝟏�
- 16. 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗� 𝟗𝟗.𝟓𝟓𝟒𝟒 𝟓𝟓.𝟔𝟔𝟒𝟒−𝟏𝟏� = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 /𝒔𝒔 54. Un bombero sujeta una manguera con un codo como se indica en la figura. De la manguera sale el agua en un chorro de 1.5 cm de radio y con una velocidad de 30 m/s. a) ¿Qué masa de agua sale de la manguera en 1 s? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento horizontal de esta agua? c) Antes de llegar al codo, el agua tiene una cantidad de movimiento hacia arriba, mientras que después es horizontal. Dibujar un diagrama vectorial de los vectores cantidad de movimiento inicial y final y hallar la variación de dicha cantidad de movimiento del agua en el codo en 1 s. A partir de este valor hallar la fuerza ejercida sobre el agua por la manguera. a) 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔 Massa en 1 s= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 b) 𝒑𝒑𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) ∆𝒑𝒑 � �⃗ = 𝒑𝒑 � �⃗𝒇𝒇 − 𝒑𝒑 � �⃗𝒊𝒊 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒋𝒋 ⃗ ∆𝒑𝒑 = �𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑭𝑭 ���⃗ ∗ ∆𝒕𝒕 = ∆𝒑𝒑 � �⃗ ; 𝑭𝑭 ���⃗ = ∆𝒑𝒑 � �⃗ ∆𝒕𝒕 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒋𝒋 ⃗ ;𝑭𝑭 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 55. Una fuente diseñada para lanzar una columna de agua de 12 m de altura al aire, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del suelo. La tubería que la conecta a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe suministrar la bomba. Siendo a el punto inicial, salida de la bomba, y b el punto final de la boquilla.. 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒃𝒃 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 En el punto b la presión es la atmosférica y la altura en a será cero.
- 17. 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝒂𝒂 𝟐𝟐 ) Usando la ecuación de continuidad podemos hallar la relación de velocidades: 𝑨𝑨𝒂𝒂 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝒃𝒃 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 ; 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝒃𝒃 𝑨𝑨𝒂𝒂 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 ; 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝒅𝒅𝒃𝒃 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒂𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 Para el agua que sale de la boquilla tenemos un lanzamiento vertical, en el punto más alto velocidad nula: 𝟎𝟎𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ; 𝒗𝒗𝒃𝒃 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 Volviendo a Bernoulli: 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉) 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝒉𝒉𝒃𝒃 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉) 𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ �𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏� = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 56. En la figura del problema 51, a) Hallar la distancia x a la que el agua incide sobre el suelo en función de h y H. b) Demostrar que existen dos valores de h que son equidistantes del punto h=1/2H que dan la misma distancia x. c) Demostrar que x es máxima cuando h=1/2H. ¿Cuál es el valor de esta distancia máxima x? a) Aplicando Bernoulli a los puntos a y b: 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒃𝒃 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 En el punto a la velocidad se pude considerar nula, las presiones en a y b son la presión atmosférica. 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯 = 𝒈𝒈 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒃𝒃 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒃𝒃 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 Para el agua que sale tenemos un tiro horizontal. ∆𝒚𝒚 = 𝑯𝑯 − 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ ∆𝒕𝒕𝟐𝟐 ∆𝒕𝒕 = � 𝟐𝟐∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) 𝒈𝒈 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉:
- 18. 𝒙𝒙 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ ∆𝒕𝒕 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ � 𝟐𝟐∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) 𝒈𝒈 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) b) 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) = 𝟒𝟒 ∗ 𝒉𝒉 ∗ 𝑯𝑯 − 𝟒𝟒 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 − 𝟒𝟒 ∗ 𝑯𝑯 ∗ 𝒉𝒉 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 𝒉𝒉 = 𝟒𝟒∗𝑯𝑯±�𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑯𝑯𝟐𝟐−𝟒𝟒∗𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟒𝟒 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯 ± 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ √𝑯𝑯𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 El valor medio de las dos soluciones es: 𝒉𝒉𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑯𝑯+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗�𝑯𝑯𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑯𝑯− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗�𝑯𝑯𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯 c) 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉) Derivando la expresión: 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ ��𝒉𝒉 ∗ (𝑯𝑯 − 𝒉𝒉)� −𝟏𝟏 ∗ (𝑯𝑯 − 𝟐𝟐𝟐𝟐) = (𝑯𝑯−𝟐𝟐𝟐𝟐) �𝒉𝒉∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) Para imponer la condición e máximo: (𝑯𝑯−𝟐𝟐𝟐𝟐) �𝒉𝒉∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) = 𝟎𝟎 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯 ∗ �𝑯𝑯 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯� = 𝑯𝑯 Flujo viscoso 57. Por un tubo horizontal con un diámetro interior de 1,2 mm y una longitud de 25 cm circula agua con un flujo de 0,30 mL/s. Hallar la diferencia de presiones que se necesita para impulsar el agua si su velocidad es de 1,00 mPa s. Tomamos como viscosidad 1 mPa s ∆𝑷𝑷 = 𝟖𝟖∗𝜼𝜼∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 = 𝟖𝟖∗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒔𝒔∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑)𝟒𝟒 ∗ � 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 � = 𝟏𝟏, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 58. Hallar el diámetro de un tubo que daría un flujo de agua doble del indicado en el problema 57, si la diferencia de presiones ha de ser la misma. ∆𝑷𝑷 = 𝟖𝟖∗𝜼𝜼∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒓𝒓′𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 = 𝟖𝟖∗𝜼𝜼∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝒓𝒓′𝟒𝟒 = 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟒𝟒 𝒓𝒓′ = √𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓 = √𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎𝒎𝒎 59. La sangre tarda aproximadamente 1,0 s en fluir por un capilar del sistema circulatorio humano de 1 mm de longitud. Si el diámetro del capilar es de 7 µm y la caída de presión de 2,60 kPa, calcular la viscosidad de la sangre. ∆𝑷𝑷 = 𝟖𝟖∗𝜼𝜼∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 𝜼𝜼 = 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒∗∆𝑷𝑷 𝟖𝟖∗𝑳𝑳∗𝑰𝑰𝒗𝒗 𝑰𝑰𝒗𝒗 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝜼𝜼 = 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒∗∆𝑷𝑷 𝟖𝟖∗𝑳𝑳∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒗𝒗 = 𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝑷𝑷 𝟖𝟖∗𝑳𝑳∗𝒗𝒗 = (𝟑𝟑.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑷𝑷𝑷𝑷
- 19. Problemas generales 60. Verdadero o falso: La fuerza ascensional sobre un objeto sumergido depende de la forma del mismo. La fuerza ascensional dependerá del volumen de cuerpo sumergido en el fluido. Falsa. 61. Sobre el agua de un vaso flotan unos cubitos de hielo. ¿Qué ocurre con el nivel del agua al fundirse el hielo? La fuerza ascensional dependerá del volumen de hielo sumergido, cuando el hielo se derrite el agua ocupará el volumen que antes ocupaba el hielo, el nivel permanece constante. 62. ¿Por qué es más fácil flotar en agua salada que en agua dulce? La densidad del agua salada es mayor que la del agua dulce, por tanto, la fuerza de flotación será mayor en el agua salada que en la dulce. 63. Normalmente el humo asciende al salir de una chimenea, pero en un día muy húmedo puede descender. ¿Qué podemos concluir respecto a las densidades relativas del aire húmedo y del aire seco? La densidad del aire húmedo es menor que la del aire seco, eso puede hacer descender el humo. 64. Un objeto tiene una densidad ligeramente inferior a la del agua, de modo que flotas casi totalmente sumergido. Sin embargo, el objeto es más comprensible que el agua. ¿Qué ocurre si se da al objeto un ligero impulso para sumergirlo totalmente? Al ser deformable, al hundirse, aumenta la presión a la que está sometido, disminuye su volumen y se reduce la fuerza ascensional, por tanto, se hundirá. 65. En el venturímetro el fluido acelera a una mayor velocidad cuando pasa a través de la parte estrecha del tubo. Identificar las fuerzas que actúan sobre el fluido para producir la aceleración. La causa es la diferencia de presiones, esto produce la fuerza. 66. Un vaso de agua acelera hacia la derecha a lo largo de una superficie horizontal. ¿Cuál es el origen de la fuerza que produce la aceleración sobre un pequeño elemento de agua en medio del vaso? Explicarlo mediante un esquema. La superficie del agua no está nivelada:
- 20. Esto causa una diferencia de presión en el elemento, y por tanto, una fuerza hacia la derecha. 67. Una masa de plomo de 0,5 kg está sumergida en un recipiente lleno de agua hasta los bordes y sobre la cual flota un bloque de madera. La masa de plomo se eleva lentamente mediante un alambre delgado y, cuando se extrae del agua, se observa que el nivel del líquido desciende un poco. La masa de plomo se sitúa sobre el bloque de madera y éste sigue flotando. Cuando el plomo se sitúa sobre el bloque de madera, a) Un poco de agua se derrama por el borde del recipiente. b) El nivel del agua asciende exactamente hasta el borde, como estaba anteriormente. c) El nivel del agua asciende, pero no alcanza el borde del recipiente. d) No hay suficiente información para decidir entre las tres opciones. Para compensar el peso de la madera y el plomo se necesitará un volumen sumergido de madera mayor que el del plomo, su densidad es menor, por tanto la respuesta a es la correcta. 68. Una persona está sentada en un bote que flota en un estanque muy pequeño. Toma el ancla y la echa al agua. ¿Se modifica el nivel de agua en el estanque? Cuando el ancla está dentro, el bote estará más hundido que cuando el ancla está fuera, por tanto, el volumen del agua descenderá. 69. El tablero de una mesita de juego mide 80 cm por 80 cm. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre su parte superior por la atmósfera? ¿Por qué no se rompe la mesa? 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎.𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎.𝟖𝟖 = 𝟔𝟔,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑵𝑵 La fuerza actúa en la cara superior y inferior, está compensada. 70. Una pelota de ping-pong está sujeta mediante una cuerda al fondo de una vasija. Cuando la vasija se llena con agua, de modo que la pelota está totalmente sumergida, la tensión de la cuerda es 2,8 10-2 N. Determinar el diámetro de la pelota. 𝑬𝑬 = 𝑻𝑻 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 + 𝑻𝑻
- 21. 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 + 𝑻𝑻 𝒓𝒓 = � 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎∗𝒈𝒈+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟑𝟑 Usamos como masa de la pilota m=4 g. 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ � 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎∗𝒈𝒈+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟑𝟑 = �𝟔𝟔 ∗ 𝒎𝒎∗𝒈𝒈+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟑𝟑 = �𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟐𝟐,𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 71. El agua de mar tiene un módulo de compresibilidad de 2,3 109 N/m2 . Hallar la densidad del agua de mar a una profundidad en donde la presión vale 800 atm si la densidad en la superficie es de 1025 kg/m3 . 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 Como la masa es constante: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽 𝒐𝒐 ∆𝝆𝝆 𝝆𝝆 = − ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 El módulo de compresibilidad es: 𝑩𝑩 = − ∆𝑷𝑷 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 = ∆𝑷𝑷 ∆𝝆𝝆 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∆𝝆𝝆 = 𝝆𝝆 − 𝝆𝝆𝒐𝒐 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗∆𝑷𝑷 𝑩𝑩 ; 𝝆𝝆 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 �𝟏𝟏 + ∆𝑷𝑷 𝑩𝑩 � 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟐𝟐,𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝑵𝑵 𝒎𝒎𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 72. Un coche se sale de la carretera en una curva y se hunde en un lago hasta una profundidad de 8 m. el conductor piensa que la única solución es salir del coche y nadar hasta la superficie. Si embargo, aunque la puerta no está deteriorada, no hay forma de abrirla. Si la superficie exterior del coche es 0,9 m2 . a) ¿Qué fuerza ejerce el aire sobre la parte interior de la puerta? b) ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la parte interior de la puerta, suponiendo que allí se encuentra a la presión atmosférica? c) ¿Qué deberá hacer el ocupante del coche para abrir la puerta y salvar su vida? a) 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟎𝟎,𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑵𝑵 b) 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟖𝟖 𝒎𝒎 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵 c) Bajar la ventanilla, dejar entrar el agua y salir cuando el coche está lleno de agua. De esta forma la presión actuará dentro y fuera del coche. 73. Un bloque sólido cúbico de arista 0,6 m está suspendido de una balanza de muelle. Si el bloque se sumerge en agua, la balanza marca una lectura que es el 80 % de la correspondiente al bloque en el aire. Determinar la densidad de del bloque.
- 22. 𝑬𝑬 + 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎 𝑬𝑬 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒄𝒄 = 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟎𝟎,𝟐𝟐 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 74. Cuando se sumerge en agua, un bloque de cobre tiene un peso aparente de 56 N. ¿qué fracción del bloque de cobre se sumergirá al flotar sobre mercurio en una cubeta? En el mercurio: 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒈𝒈 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 % 75. Un bloque de 4,5 kg de cierto material flota sobre etanol con el 10 % de su volumen por encima de la superficie del líquido. ¿qué fracción de este bloque se sumergirá si flota sobre agua? En el etanol: 𝝆𝝆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 En el agua: 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎,𝟗𝟗∗𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 Volumen sumergido 72,54 %. 76. ¿Cuál es la fuerza ascensional que actúa sobre el cuerpo de una persona cuando flota a) En un lago de agua dulce (densidad específica=1,0). b) En el océano (densidad específica= 1,03). Como está flotando en los dos casos el empuje es el valor del peso. Cambia en cada caso el volumen de persona sumergido, en el océano el volumen sumergido será menor dado que la densidad es mayor. En el lago el volumen sumergido aumentará. 77. Cuando una persona flota en agua dulce, el 96 % de su cuerpo está sumergido ¿Cuál es el volumen de agua desplazado por esta persona cuando está totalmente sumergido? 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝑽𝑽 ; 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗 78. Un bloque de madera de masa 1,5 kg flota sobre el agua con el 68 % de su volumen sumergido. Un bloque de plomo se sitúa sobre la madera y ésta se sumerge completamente. Determinar la masa del plomo. Para el bloque de madera: 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝑽𝑽 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 En el caso de tener el plomo encima: 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽
- 23. 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = �𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 − 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎� ∗ 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 − 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 − 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟏𝟏� ∗ 𝟏𝟏,𝟓𝟓 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌 79. Un cubo de material plástico espumoso, de 25 cm de arista, se pesa mediante una balanza de brazos iguales. La balanza está equilibrada cuando una masa de latón de 20 g se sitúa en el platillo opuesto de la balanza. Determinar la masa real del cubo de plástico. La balanza se encuentra en equilibrio, en un lado el cubo “sumergido en aire”, en el otro la masa de latón, las dos a igual distancia del centro: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 + 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 Utilizando para la densidad del aire 1,293 kg/m3 : 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 80. Una corteza esférica de cobre con un diámetro exterior de 12 cm flota sobre agua con la mitad de su volumen por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro interior de la corteza. 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟑𝟑 � = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟎𝟎,𝟓𝟓 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎,𝟓𝟓 ∗ 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑹𝑹𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒄𝒄 81. Un vaso de agua está equilibrado en el platillo izquierdo de una balanza. Un cubo de arista 4 cm se ata a una cuerda y se sumerge en este vaso de agua totalmente. El cubo no toca el fondo del vaso. Se añade un peso m al sistema para recuperar el equilibrio. ¿Cuánto vale m y en que platillo de la balanza debe situarse? 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑵𝑵 En masa equivalente: 𝒎𝒎 = 𝑬𝑬 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 Hemos de poner 64 g en el lado derecho de la balanza. 82. El petróleo crudo tiene una viscosidad aproximada de 0,8 Pa s a la temperatura normal. Un oleoducto de 50 km ha de construirse desde un yacimiento de petróleo hasta la terminal de buques petroleros. El oleoducto ha de distribuir petróleo a la terminal a razón de 500 L/s y el flujo debe ser laminar para minimizar la presión necesaria para impulsar el fluido a través de la tubería. Estimar el diámetro que el oleoducto debe tener. Suponer densidad del petróleo de 700 kg/m3 . Usando el número de Reynolds: 𝑵𝑵𝑹𝑹 = 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆∗𝒗𝒗 𝜼𝜼 Para el flujo tenemos: 𝑰𝑰𝒗𝒗 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ; 𝒗𝒗 = 𝑰𝑰𝒗𝒗 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑵𝑵𝑹𝑹 = 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝜼𝜼 = 𝟐𝟐∗𝝆𝝆∗𝑰𝑰𝒗𝒗 𝜼𝜼∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝝆𝝆∗𝑰𝑰𝒗𝒗 𝜼𝜼∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵𝑹𝑹
- 24. Usamos para el número de Reynolds un valor de 1000 (flujo laminar): 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑳𝑳 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 Utilizamos la ley de Poiseuille: 𝚫𝚫𝑷𝑷 = 𝟖𝟖∗𝜼𝜼∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒗𝒗 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝟖𝟖∗𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟖𝟖,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑷𝑷𝑷𝑷 Esta variación depresión es demasiado grande. Si hacemos un radio mayor, r=0,5 m obtendremos un incremento de presión menor: 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝟖𝟖∗𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑵𝑵𝑹𝑹 = 𝟐𝟐∗𝝆𝝆∗𝑰𝑰𝒗𝒗 𝜼𝜼∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟖𝟖∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 El flujo es laminar. 83. A través del tubo de la figura fluye agua que sale a la atmosfera por C. El diámetro del tubo es 2,0 cm en A , 1,0 cm en B y 0,8 cm en C. La presión manométrica en el tubo A es 1,22 atm y la velocidad de flujo 0,8 L/s. Los tubos verticales están abiertos al aire. Determinar el nivel de las interfases líquido aire en los dos tubos verticales. 𝑷𝑷𝑨𝑨,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝑨𝑨 ; 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 𝝆𝝆∗𝒈𝒈 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Usando la ecuación de Bernouilli y la ecuación de continuidad: 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑩𝑩 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑩𝑩 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 Obtenemos: 𝒗𝒗𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑨𝑨∗𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝒓𝒓𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑩𝑩 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝒗𝒗𝑨𝑨 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑩𝑩 𝟐𝟐 ) 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐� ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝑩𝑩 ; 𝒉𝒉𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝆𝝆∗𝒈𝒈
- 25. 𝒉𝒉𝑩𝑩 = (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓) 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟓𝟓, 𝟎𝟎 𝒎𝒎 ?? 84. Repetir el problema 83 con la velocidad de flujo reducida a 0,6 L/s y el tamaño de la abertura en C reducido de modo que la presión del tubo en A permanezca invariable. 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍,𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝑨𝑨 ; 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 𝝆𝝆∗𝒈𝒈 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑨𝑨∗𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝒓𝒓𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑩𝑩 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝒗𝒗𝑨𝑨 𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑩𝑩 𝟐𝟐 ) 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐� ∗ 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝑩𝑩 ; 𝒉𝒉𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝆𝝆∗𝒈𝒈 𝒉𝒉𝑩𝑩 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓�𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟖𝟖,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 85. La figura es un esquema de un aspirador, un aparato simple que puede utilizarse para conseguir un vacío parcial en un recinto conectado al tubo vertical en B. Un agitador conectado al extremo de una manguera de riego puede utilizarse para suministrar un fertilizante dispuesto Enel recinto. Supongamos que el diámetro en A es 2,0 cm y el diámetro en C, donde el agua se vierte a la atmosfera, es de 1,0 cm. Si la velocidad de flujo es de 0,5 L/s y la presión manométrica en A es de 0,187 atm, ¿qué diámetro del estrechamiento en B es necesario para conseguir una presión de 0,1 atm en el recinto? Con la ecuación de continuidad: 𝑰𝑰𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟑𝟑/𝒔𝒔 (𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐)𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Usando la ecuación de Bernouilli:
- 26. 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑩𝑩 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑩𝑩 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑩𝑩 = � 𝟐𝟐 𝝆𝝆 ∗ (𝑷𝑷𝑨𝑨 − 𝑷𝑷𝑩𝑩) + 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑩𝑩 = � 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓) + 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Con la ecuación del flujo: 𝑰𝑰𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑩𝑩 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝑩𝑩 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑩𝑩 = � 𝑰𝑰𝑩𝑩 𝒗𝒗𝑩𝑩∗𝝅𝝅 = � 𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 86. Una boya cilíndrica a la entrada de un puerto tiene un diámetro de 0,9 m y una altura de 2,6 m. La masa de la boya es 600 kg. Está sujeta al fondo del mar con un cable de nailon de masa despreciable. La densidad específica del agua de mar es 1,025. a) ¿Qué parte de la boya es visible cuando el cable está flojo? b) Si una onda de marea sumerge completamente la boya, ¿Cuál es la tensión en el cable rígido? c) Si el cable se rompe, ¿Cuál sería la aceleración inicial hacia arriba de la boya? a) 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃∗𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝝅𝝅∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗𝒉𝒉∗𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝝅𝝅∗ 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ; 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 % 𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟔𝟔 % b) 𝑻𝑻 = 𝑬𝑬 − 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐. 𝟔𝟔 − 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔� ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 c) 𝑬𝑬 − 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒂𝒂 ;𝒂𝒂 = 𝑬𝑬−𝑷𝑷 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 87. Dos vasos comunicantes contienen un líquido de densidad ρo (figura). Las áreas de las secciones rectas de las vasijas son A y 3 A. Determinar el cambio de altura del nivel del líquido si un objeto de masa m y densidad ρ’=0,8 ρo se introduce en una de las vasijas. Para el cuerpo introducido: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒐𝒐 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = ∆𝑽𝑽𝑨𝑨 + ∆𝑽𝑽𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒉𝒉 + 𝟑𝟑 ∗ 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒉𝒉
- 27. ∆𝒉𝒉 = 𝒎𝒎 𝟒𝟒∗𝑨𝑨∗𝝆𝝆𝒐𝒐 88. Si un manómetro lleno de aceite (ρo=900 kg/m3 ) puede leerse con precisión de ±0,05 mm, ¿Cuál es el cambio de presión más pequeño que puede detectarse? ∆𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ ∆𝒉𝒉 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑷𝑷 89. Un dique rectangular de 30 m de ancho soporta un volumen de agua hasta una altura de 25 m. a) Despreciando la presión atmosférica, determinar la fuerza total debida a la presión del agua que actúa sobre una banda delgada de altura delgada dy localizada a la profundidad y. b) Integrar el resultado de la parte (a) para determinar la fuerza horizontal total debida a la acción del agua sobre el dique. c) ¿Por qué es razonable despreciar la presión atmosférica? a) 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝑭𝑭 = ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒉𝒉 𝟎𝟎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟐𝟐 Usando L=30 m, h=25 m y 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 . 𝑭𝑭 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 c) La presión atmosférica actúa sobre las dos partes del dique, por tanto, está compensada. 90. Un tubo en U se llena de agua hasta que el nivel líquido esté a 28 cm por encima del fondo del tubo. En una de las ramas del tubo se vierte ahora un aceite de densidad específica 0,78 hasta que el nivel del agua en la otra rama se encuentra a 34 cm por encima del fondo del tubo. Determinar el nivel de las interfases aceite-aire y aceite-agua en la rama donde se hizo el vertido del aceite. 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 Por igualdad de presión en las dos ramas: 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆𝑾𝑾 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝝆𝝆𝑾𝑾 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝑾𝑾∗(𝒉𝒉𝟐𝟐𝟐𝟐−𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏) 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 La altura de la rama izquierda: 𝒉𝒉𝒐𝒐 = 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
- 28. 91. Un tubo en U contiene un líquido de densidad específica desconocida. En una de las ramas del tubo se vierte aceite de densidad 800 kg/m3 hasta que la columna de aceite alcanza la altura de 12 cm. La interfase aceite-aire se encuentra entonces a 5,0 cm por encima del nivel del líquido en la otra rama del tubo en U. Determinar la densidad específica del líquido. 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝒉𝒉 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝒉𝒉𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 𝝈𝝈 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 92. Un bloque de plomo se suspende de la cara inferior de un bloque de madera de 0,5 kg de densidad específica 0,7. Cuando este sistema se introduce en un recipiente con agua, la superficie superior de la madera está al mismo nivel que el líquido. ¿Cuál es la masa del bloque de plomo? 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝑽𝑽𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ (𝑽𝑽𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ � 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 � 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = � 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 −𝟏𝟏�∗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏− 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝝆𝝆𝑷𝑷𝑷𝑷 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 −𝟏𝟏�∗𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 93. Un globo de helio puede levantar justamente una carga de 750 N. La capa externa del globo tiene una masa de 1,5 kg. a) ¿Cuál es el volumen del globo? b) Si el volumen del globo fuese el doble del calculado en (a), ¿Cuál sería la aceleración inicial del globo si transporta una carga de 900 N? a) 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 = 𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 = 𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 + 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒈𝒈 𝑽𝑽 = 𝑷𝑷+𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈∗𝒈𝒈 (𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂−𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯)∗𝒈𝒈 𝑽𝑽 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕+𝟏𝟏.𝟓𝟓∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 (𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟑𝟑 b) 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑽𝑽 − 𝑷𝑷 − 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 − 𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝒈𝒈 = � 𝑷𝑷 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯� ∗ 𝒂𝒂
- 29. 𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝒈𝒈∗𝑽𝑽−𝑷𝑷−𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈∗𝒈𝒈−𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯∗𝒈𝒈 � 𝑷𝑷 𝒈𝒈 +𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈+𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯� 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟏𝟏.𝟓𝟓 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 𝒂𝒂 = 𝟓𝟓. 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 94. Una esfera hueca de radio interior R y radio exterior 2 R está formada por un material de densidad ρo y flota en un líquido de densidad 2 ρo. El interior se llena ahora de material de densidad ρ’ de tal modo que la esfera flota totalmente sumergida. Determinar ρ’. 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 = 𝒎𝒎𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒈𝒈 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟖𝟖 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝟑𝟑� ∗ 𝒈𝒈 + 𝝆𝝆′ ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒈𝒈 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 = 𝟕𝟕 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 + 𝝆𝝆′ 𝝆𝝆′ = 𝟗𝟗 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 95. Un globo se llena de helio a la presión atmosférica. La cubierta del globo tiene una masa de 2,8 kg y el volumen del globo es 16 m3 . ¿Cuál es el peso máximo que este globo puede soportar? �𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 + 𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� ∗ 𝒈𝒈 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 �𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑽𝑽𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 − 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 − 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑽𝑽𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐. 𝟖𝟖 − 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 96. Como mencionábamos al tratar la ley de las atmósferas, la disminución relativa de la presión atmosférica es proporcional al cambio de altura. En términos matemáticos tenemos 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑷𝑷 = −𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 En donde C es una constante. a) Demostrar que 𝑷𝑷(𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒆𝒆−𝑪𝑪𝑪𝑪 es una solución de la ecuación diferencial. b) Demostrar que si h≪ 𝒉𝒉𝒐𝒐 entonces 𝑷𝑷(𝒉𝒉 + ∆𝒉𝒉) = 𝑷𝑷(𝒉𝒉)(𝟏𝟏 − ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒐𝒐 � ), en donde 𝒉𝒉𝒐𝒐 = 𝟏𝟏/𝑪𝑪. c) Sabiendo que la presión a la altura h=5,5 km es la mitad que al nivel del mar, determinar la constante C. a) Utilizamos la solución propuesta y la derivamos: 𝑷𝑷(𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒐𝒐 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑷𝑷𝒐𝒐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗𝒉𝒉 = −𝑪𝑪 ∗ 𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑷𝑷 = −𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝑷𝑷(𝒉𝒉 + ∆𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒐𝒐 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗(𝒉𝒉+∆𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒐𝒐 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗𝒉𝒉 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗∆𝒉𝒉 = 𝑷𝑷(𝒉𝒉) ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗∆𝒉𝒉 En las condiciones indicadas h≪ 𝒉𝒉𝒐𝒐: ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒐𝒐 ≪ 𝟏𝟏 Usando 𝒉𝒉𝒐𝒐 = 𝟏𝟏/𝑪𝑪. ∆𝒉𝒉 𝟏𝟏/𝑪𝑪 ≪ 𝟏𝟏 ; 𝑪𝑪 ∗ ∆𝒉𝒉 ≪ 𝟏𝟏 Con esto:
- 30. 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗∆𝒉𝒉 ≈ 𝟏𝟏 − 𝑪𝑪 ∗ ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 − ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒐𝒐 𝑷𝑷(𝒉𝒉 + ∆𝒉𝒉) = 𝑷𝑷(𝒉𝒉) ∗ �𝟏𝟏 − ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒐𝒐 � c) 𝑷𝑷(𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒐𝒐 ∗ 𝒆𝒆−𝑪𝑪∗𝒉𝒉 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝑷𝑷𝒐𝒐 − 𝑪𝑪 ∗ 𝒉𝒉 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏 𝒉𝒉 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝑷𝑷𝒐𝒐 𝑷𝑷 � 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝑷𝑷𝒐𝒐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑷𝑷𝒐𝒐 � = 𝟏𝟏 𝟓𝟓,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎−𝟏𝟏 97. Un submarino tiene una masa total de 2,4 106 kg, incluyendo la tripulación y el equipo. La nave consta de dos partes: el tanque de presión que tiene un volumen de 2 103 m3 y los tanques de inmersión que tienen un volumen de 4 102 m3 . Cuando el submarino navega sobre la superficie, los tanques de inmersión se llenan de aire, cuando navega en el seno del mar, estos tanques se llenan de agua marina. a) ¿Qué fracción del volumen del submarino está por encima de la superficie cuando os tanques están llenos de aire? b) ¿qué cantidad de agua debe admitirse en los tanques para que el submarino neutralice exactamente su peso con la fuerza ascensional? Despreciar la masa del aire en los tanques y utilizar el valor 1.025 para la densidad específica del agua de mar. a) 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝑻𝑻 = 𝝆𝝆𝑻𝑻 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝑻𝑻 𝑽𝑽𝟏𝟏+𝑽𝑽𝟐𝟐 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝑻𝑻 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗(𝑽𝑽𝟏𝟏+𝑽𝑽𝟐𝟐) 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐.𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗(𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑+𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐) = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 %𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇:𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟗𝟗𝟗𝟗,𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 % 98. Una tripulación de salvamentos marinos levanta del fondo del mar un cajón que mide 1,4 m X 0,75 m X 0,5 m. La densidad media del cajón vacío es igual a la del agua de mar, 1025 103 kg/m3 , y su masa cuando está vacío es 32 kg. El cajón contiene lingotes de oro que llena el 36 % de su volumen; el volumen restante está lleno de agua de mar. a) ¿Cuál es la tensión del cable que eleva el cajón con los lingotes mientras está por debajo de la superficie del agua? b) ¿Cuál es la tensión del cable mientras el cajón se eleva a la cubierta del barco si (1) el cajón no pierde agua en el ascenso?, y (2) si el cajón se eleva tan lentamente que pierde toda el agua que contenía en su interior? a) 𝑻𝑻 + 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 + 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 − 𝑬𝑬 𝑻𝑻 = (𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝑽𝑽 + 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽 − 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽) ∗ 𝒈𝒈 𝑻𝑻 = �𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 � ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵 b) Sin perdida de agua: 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = �𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝑽𝑽 + 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ 𝑽𝑽� ∗ 𝒈𝒈 𝑻𝑻 = (𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑) ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵 Con perdida de agua: 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨 = �𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 + 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝑨𝑨 ∗ 𝑽𝑽� ∗ 𝒈𝒈
- 31. 𝑻𝑻 = �𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵 99. Cuando el hidrómetro del problema 42 se sitúa en un líquido cuya densidad específica es mayor que cierto valor mínimo, el instrumento flota con una parte del tubo de vidrio por encima del nivel de líquido. Consideremos un hidrómetro que tiene un bulbo esférico de 2,4 cm de diámetro. El tubo de vidrio unido al bulbo tiene 20 cm de longitud y un diámetro de 7,5 mm. La masa del hidrómetro antes de que se introduzcan en su interior bolitas de plomo y se suelde el vástago es de 7,28 g. a) ¿Qué masa de plomo debe introducirse en el bulbo para que el hidrómetro flote justamente en un líquido de densidad específica 0,78? b) Si el hidrómetro se introduce ahora en agua, ¿qué longitud del vástago aparece por encima de la superficie del agua? c) El hidrómetro se introduce en un líquido de densidad desconocida y la longitud del tubo por encima de la superficie es de 12,2 cm. Determinar la densidad específica del líquido. a) 𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅 ∗ � 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 Con la condición de flotar en el líquido: 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒈𝒈 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 Consideramos que el hidrómetro está totalmente sumergido: 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ (𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕) − 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ (𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖) ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 − 𝟕𝟕. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 b) 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ (𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕) = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ �𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉� = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒉𝒉 = � 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗+𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 − 𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃� ∗ 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉 = � 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑+𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔� ∗ 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗� 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Por encima del agua la longitud será: 𝒉𝒉𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒉𝒉𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 − 𝒉𝒉𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒄𝒄 c) 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ �𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉� = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗+𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷 (𝑽𝑽𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃+ 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒉𝒉) 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑+𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔+𝝅𝝅∗� 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 ∗(𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 La densidad específica es 1.174 100. Un barril grande de cerveza de altura H y área A1 se llena con cerveza. La parte superior está abierta a la presión atmosférica. En la parte inferior existe una espita abierta de área A2, mucho menor que A1. a) Demostrar que la velocidad de la cerveza que sale por la espita es aproximadamente �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 cuando la altura de la cerveza es h. b) Demostrar que en la aproximación según la cual 𝑨𝑨𝟐𝟐 ≪ 𝑨𝑨𝟏𝟏, la variación de altura h por unidad de tiempo de la cerveza viene dada por
- 32. 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 (𝟐𝟐 𝒈𝒈 𝒉𝒉)𝟏𝟏/𝟐𝟐 c) Calcular h en función del tiempo si h=H para t=0. d) Hallar el tiempo total necesario para vaciar la cuba si H=2 m, A1= 0,8 m2 , y A2= (10-4 ) A1. a) Utilizamos la ecuación de Bernouilli, los puntos son el superior i la espita. 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 En la parte superior, 𝒗𝒗𝟏𝟏 ≈ 𝟎𝟎 ; tomamos 𝒉𝒉𝟐𝟐 ≈ 𝟎𝟎; las presiones son las atmosféricas y h1=h. 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 b) Usamos la ecuación de continuidad: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 −𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 c) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 √𝒉𝒉 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒈𝒈 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 √𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝑯𝑯 = ∫ 𝒅𝒅 𝒕𝒕 𝟎𝟎 𝒕𝒕 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒈𝒈 ∗ �√𝑯𝑯 − √𝒉𝒉� = 𝒕𝒕 √𝒉𝒉 = − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕 + √𝑯𝑯 𝒉𝒉 = (√𝑯𝑯 − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 d) 𝒉𝒉 = (√𝑯𝑯 − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 Usamos h=0 𝟎𝟎 = √𝑯𝑯 − 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕 𝒕𝒕 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒈𝒈 ∗ √𝑯𝑯 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟖𝟖∗√𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ �√𝟐𝟐� = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏 √𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ √𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔