Folleto elementos julio 2011

1
CAPÍTULO 1
GENERALIDADES
1.1 OBJETIVO
Diseñar, dimensionar y seleccionar elementos de máquinas que funcionen de
manera segura en forma individual o dentro de una máquina.
1.2DISEÑAR
Es formular un plan para satisfacer una necesidad, mediante principios científicos,
métodos técnicos como matemáticos, conocimientos físicos o químicos, etc.
1.3ASPECTOS DE DISEÑO
• Resistencia
• Confiabilidad
• Condiciones térmicas
• Corrosión
• Desgaste
• Utilidad
• Costo, tamaño y forma
• Seguridad
• Acabado superficial
• Mantenimiento
• Etc.
1.3.1 RESISTENCIA
Es una propiedad intrínseca del elemento y depende de la clase y procesamiento del
material. Por ejemplo, un resorte con una resistencia S, el esfuerzo en este resorte
es cero hasta que se monte en un dispositivo o máquina, en el cual se aplicará
fuerzas externas al resorte, las cuales originaran esfuerzos, si se desmonta el
resorte de la máquina sin que hubiese sufrido daño alguno su esfuerzo volvería a ser
cero; pero su resistencia seguirá siendo S.
1.4 ELEMENTO A TENSIÓN
Con carga F Carga máxima o última
Figura 0.1. Elemento a Tensión
F = Carga aplicada
Fu = Carga última hasta la rotura

2
1.4.1 MATERIALES
Los materiales se clasifican en dos grandes grupos: los dúctiles y los frágiles.
DÚCTIL FRÁGIL
Material que puede deformarse, moldearse,
malearse o extenderse con facilidad.
Ejemplo: acero de bajo carbono
Material que se rompe o quiebra
con facilidad.
Ejemplo: Hierro Gris
Figura 1.2 Figura 1.3
Figura 1.2: Curva Esfuerzo-Deformación para Material Dúctil
Figura 1.3: Curva Esfuerzo-Deformación para Material Frágil
A = Límite de proporcionalidad
B = Límite de elasticidad
C = Punto de fluencia
D = Esfuerzo último o límite de resistencia
σ = Esfuerzo
ε = Deformación unitaria
Sut = Esfuerzo de rotura
Sy = Esfuerzo de fluencia
1.4.2 DEFORMACIÓN ELÁSTICA
La elasticidad es la propiedad por la que un material puede recobrar su forma y
dimensiones cuando se anula la carga que lo deformaba. La ley de Hooke establece
que, dentro de ciertos límites, el esfuerzo en un material es directamente
proporcional a la deformación que lo produce (no todos los materiales elásticos
obedecen a la ley de Hooke).
σ D
σ

3
En el diagrama esfuerzo – deformación, la pendiente de la recta es la relación entre
el esfuerzo y la deformación, se llama módulo de elasticidad (E).
Donde:
ε
σ
=E
L
δ
ε =
δ deformación total de una barra de longitud original L
Para la condición de que el esfuerzo se a proporcional a la deformación, se tiene:
G
E
⋅=
⋅=
γτ
εσ
Donde: G Módulo de elasticidad al cortante
τ Esfuerzo cortante
γ Deformación angular
La ley de Hooke expresa que el esfuerzo es proporcional a la deformación.
E
L
EA
LP
L
E
A
P
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅==
σ
δ
δ
σ
Donde:
P Fuerza total aplicada
A Sección del elemento
1.5 FACTOR DE DISEÑO
En elementos de máquinas la resistencia no es uniforme a lo largo de los mismos,
debido a varios factores, como la variación de la sección, acabado superficial, etc.
El factor de diseño es la relación que existe entre la carga última y la carga aplicada.
F
F
n u
=
Si n = 1 => Fu = F (FALLA)
Si n < 1 => F > Fu (FALLA)
Si n > 1 => Fu > F (NO EXCLUYE LA FALLA), debido a que la resistencia de un
elemento es una cantidad que varia estadísticamente, y el esfuerzo también es
variable.
1.5.1 MARGEN DE SEGURIDAD
El margen de seguridad (m) se define por la ecuación:
1−= nm

4
1.5.2 CASOS PARA EL FACTOR DE DISEÑO
Existen tres casos para aplicar el factor de diseño y depende de si un factor de
diseño se determina con una sola cantidad o como un conjunto de componentes.
1.5.2.1 Caso 1
El factor de diseño se aplica a la resistencia, donde S y SS son las resistencias y τσ,
son los esfuerzos de diseño normales y a corte, respectivamente.
σ
S
n =
ó
τ
SS
n =
1.5.2.2 Caso 2
El factor de diseño se aplica a la carga o a los esfuerzos, donde PPF σ, , Pτ , son
cargas y esfuerzos permisibles, σ,F ,τ son cargas y esfuerzos de diseño.
F
F
n P
=
τ
τ
σ
σ
P
P
n
n
=
=
1.5.2.3 Caso 3
El factor de diseño es total o global, que puede descomponerse en varias
componentes, y se utilizarán factores individuales para la resistencia y para las
cargas, o bien para los esfuerzos producidos por esas cargas. Donde nS es el factor
referente a la resistencia del material, n1, n2, n3,….. ni, corresponde a las
incertidumbres de las cargas.
iS nnnnnn ....321= ;
1
1
1
F
Fp
n = ,
2
2
2
F
Fp
n = , …
i
i
i
F
Fp
n =
1.6 CÓDIGOS Y NORMAS
• AA Sociedad del Aluminio
• AGMA Sociedad de engranes
• AISC Sociedad del acero
• AISI Sociedad del hierro y acero
• ASTM Sociedad de métodos de ensayo
• AWS Sociedad de soldadura
• SAE Sociedad de lubricación.
• Etc.

5
CAPÍTULO 2
ESFUERZOS
2.1ESFUERZO TRIAXIAL (elemento general)
zxxz
zyyz
yxxy
ττ
ττ
ττ
=
=
=
Figura 2.1: Elemento General sometido a Esfuerzos Triaxiales
2.2ESFUERZO BIAXIAL (elemento general)
Figura 2.2: Elemento General sometido a Esfuerzos Biaxiales
2.3ESFUERZO UNIAXIAL (elemento general)
Figura 2.3: Elemento General sometido a Esfuerzo Uniaxial

6
2.4ELEMENTOS ORDINARIOS PARA UNA VIGA A FLEXIÓN
Figura 2.4: Viga sometida a Flexión
A => Compresión Simple
B => Corte Simple
C => Tensión Simple
Figura 2.5: Elementos Ordinarios para una Viga a Flexión
2.5CÍRCULO DE MOHR
Sirve para determinar en base a los esfuerzos ordinarios los esfuerzos principales
que son los que nos interesan para el diseño.
321 σσσ
σσ
>>
> yx
Figura 2.6: Círculo de Mohr
A
B β2

7
1
2στ
2στ
Del círculo de MOHR se definen las siguientes fórmulas:
2
2
22
, xy
yxyx
BA τ
σσσσ
σσ +




 −
±




 +
=
2
2
21
2
, xy
yx
τ
σσ
ττ +




 −
±=
221
yx σσ
σσ ττ
+
==
2.5.1 ELEMENTO PRINCIPAL DE ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES
Figura 2.7: Elemento principal normal Figura 2.8: Elemento principal de corte

8
2.6EJERCICIOS RESUELTOS
2.6.1 EJERCICIO 1 (Círculo de Mohr)
Dados los siguientes datos: Mpax 70=σ , Mpay 30=σ y Mpaxy 50=τ .
Determinar: a) los esfuerzos principales
b) los ángulos de los esfuerzos principales
c) la ubicación de los esfuerzos principales
Solución: a)



−=
=
=+




 −
±=
+




 −
±=





=∴
−==
==
=+




 −
±




 +
=
+




 −
±




 +
=
MPa
MPa
MPa
MPa
xy
yx
B
A
xy
yxyx
BA
85.53
85.53
50
2
3070
2
,
0
85.3
85.103
50
2
3070
2
3070
22
,
2
12
2
2
2
21
2
3
1
2
2
2
2
τ
τ
τ
σσ
ττ
σ
σσ
σσ
τ
σσσσ
σσ
MPa
yx
50
221
=
+
==
σσ
σσ ττ
Figura 2.9: Gráfico del ejercicio de Círculo de Mohr
3

9
b) ( )
( ) 3070
5022
2
−
⋅
=
−
=
yx
xy
tg
σσ
τ
θ
º9.10º8.212
º1.34º2.682
=⇒=∴
=⇒=
ββ
θθ
c) Elemento principal de esfuerzos normales y cortantes.
Figura 2.10. Elemento principal normal Figura 2.11. Elemento principal de corte
10.9º

10
2.6.2 EJERCICIO 2 (Esfuerzos Combinados)
Un eje de acero como el que se indica en la figura debe transmitir 100 CV a 500 rpm
desde la polea D a la polea C. Con base en los datos indicados junto al gráfico,
determinar el diámetro adecuado del eje de sección uniforme.
Figura 2.12: Gráfico del ejercicio de Esfuerzos Combinados
Datos:
cma
mL
cmR
cmR
correapolearozamientof
rpmn
CVPot
cmKg
cmKg
c
d
p
p
30
2.1
20
18
)/(22.0
500
100
/420
/400
2
2
=
=
=
=
−=
=
=
=
=
σ
τ
Relación de transmisión: 1:1 ( πβ = )
β
β
f
f
ePP
eQQ
21
21
=
=
Reemplazando f y β =>
21
21
2
2
QQ
PP
=
=

11
P1+P2
MD
MC
Procedimiento general a seguir para la solución de problemas:
1) Diagrama de cuerpo libre del elemento a diseñarse
2) Calculo de las reacciones y demás incógnitas.
3) Gráficos, fuerzas, momentos cortantes, torques, etc.
4) Determinar la sección crítica o las secciones críticas.
5) Determinar el punto crítico.
6) Cálculo de esfuerzos ordinarios y principales de la sección y punto crítico.
7) Determinar la resistencia de la sección crítica.
8) Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el parámetro
requerido (usar teorías de falla).
1) Diagrama de cuerpo libre del eje
Figura 2.13: Diagrama de cuerpo libre del eje
2) Calculo de reacciones
225000
.. πnT
H =
Donde:
H = Potencia [CV]
T = Torque [kg-cm]
n = velocidad angular [RPM]
cmkgTT
RQQRPP
M
CD
CD
x
−==
−=−
=∑
2.14331
)()(
0
2121
cmKgT .2,14331=
( )
( )ππ 500
100225000
.
.225000
==
n
H
T =>

12
P1+P
M
M
Si P1 = 2P2 y Q1 = Q2
P1 = 1592.4 Kg
P2 = 796.2 Kg
Q1 = 1433 Kg
Q2 =716.5 Kg
4
)(
0
)(
4
5
0
2
)(
2
)(
0
21
21
21
21
PP
R
F
PPR
M
QQ
R
QQ
R
M
Az
z
Bz
y
Ay
By
Z
+
=
=
+=
=
+
=
+
=
=
∑
∑
∑
3) Diagrama de momentos flectores
Figura 2.14: Diagrama de Momentos

13
4) Determinación de la sección crítica
La posible sección crítica C o B.
( )
cmKgM
aPPM
B
B
.71652
21
=
+=
( ) ( )22
' ccc MMM ′′+=
( )
22
21 QQL
Mc
+
=
′
( )21
8
PP
L
Mc +=′′
cmKgMc .73774=
La sección crítica es C porque Mc > MB
El momento torsor afecta a las 2 secciones de igual manera
5) Determinación del punto crítico
I
cM ⋅
=σ
b
QV ⋅
=τ
J
rT ⋅
=τ
Figura 2.15: Elementos Ordinarios
3
3
16
32
d
T
J
Tr
d
Mc
I
Mc
xy
π
τ
π
σ
==
==

14
El elemento B está sometido a la suma de esfuerzos cortantes; pero el esfuerzo
cortante debido a la fuerza es despreciable frente a los esfuerzos cortantes de
torsión, este esfuerzo de corte aparece en los elementos A y C, los mismos que
están combinados con esfuerzos normales, por lo que se desprecia el elemento B,
entonces quedarían por decidir entre el elemento A y C, por lo que se asegura que
los materiales resisten más a compresión que a tensión por lo tanto el elemento
crítico es el A.
6.- Cálculo de esfuerzos de la sección y punto crítico
22
,
22
xy
xx
BA τ
σσ
σ +





±=
Esfuerzos principales a corte:
2
3
2
31
22
1
16
2
32
2






+





=
+





=
d
T
d
M
xy
x
ππ
τ
τ
σ
τ
Esfuerzos principales normales:
2
3
2
331
2
3
2
331
161616
16
2
3216






+





+=






+





+=
d
T
d
M
d
M
d
T
d
M
d
M
πππ
σ
πππ
σ
7. Determinar la resistencia de la sección crítica
•
2
/400 cmKgp =τ
•
2
/420 cmKgp =σ

15
8. Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el
parámetro requerido
8.1 Diseño por esfuerzos principales cortantes:
3
22
22
3
2
3
2
3
2
*
16
*
16
1616
TMd
TM
d
d
T
d
M
p
p
p
+







=
+





=






+





=
πτ
π
τ
ππ
τ
///10
85.9
2.1433173774*
*400
16
*
16
3
22
3
22
cmd
cmd
d
TMd
p
≈
=
+





=
+








=
π
πτ
8.2 Diseño por esfuerzos principales normales:
( )
cmd
d
TMMd
TMM
d
p
p
17.12
)2.143317377473774(*
*420
16
)(*
*
16
16
3
22
3
22
22
31
=
++





=
++








=
=++=
π
πσ
σ
π
σ

16
CAPÍTULO 3
DISEÑO ESTÁTICO
El diseño estático de los elementos mecánicos se aplica para cuando están
sometidos a cargas estáticas, entendiéndose como cargas estáticas aquellas que no
varían en el tiempo: en magnitud, en su punto de aplicación y en su dirección.
3.1TEORÍAS DE FALLA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO
Para el estudio de las teorías de falla para el diseño estático se establecen dos
grupos de materiales: los dúctiles (con la resistencia a la fluencia, Sy) y los frágiles
(con las resistencias de rotura a la tracción y compresión, Sut y Suc).




→
=→
)()(
:
ucut
ycyt
ScompresiónayStracciónaroturalaaesistenciaRFrágiles
SSfluencialaaesistenciaRDúctiles
Materiales
DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO
Para determinar las propiedades de los elementos mecánicos se debe realizar
pruebas de tensión simple a una probeta en un equipo de pruebas.
Probeta.- Es un elemento estandarizado con medidas, con acabados, material
determinado y que está sometido a tensión simple.
Figura 3.1: Probeta de Tracción según Norma ASTM E8M
Úsese para materiales dúctiles (Aceros).
Figura 3.2: Elemento sometido a tensión simple

17
Figura 3.3: Circulo de Mohr para tensión simple
Para material Dúctil:
2
y
máx
S
=τ
Para material Frágil:
2
u
máx
S
=τ
Elemento Mecánico.- Es el que está sometido a diseño y sus cargas son menores a
la resistencia del elemento, y puede estar sometido a: tensión simple, a torsión, a
flexión, a compresión o a la combinación de ellas.
Figura 3.4: Elemento sometido a flexión y torsión (Eje)
3.1.1 CASOS COMUNES BIAXIAL Y UNIAXIAL
A continuación se indica un elemento general de esfuerzos combinados para el caso
biaxial, de los elementos, de acuerdo al caso se establece el elemento apropiado.
L/2
L/2
a

1
2
2
22
, xy
yxyx
BA τ
σσσσ
σσ +




 −
±
+
=
321 σσσ >>
3.1.2 TEORÍAS DE LOS MATERIALES DÚCTILES
El diseño estático de los materiales dúctiles cuenta con tres teorías, que son: del
esfuerzo normal máximo, del esfuerzo cortante máximo y de la energía de la
distorsión. La teoría del esfuerzo normal máximo ya no es utilizada actualmente
porque e insegura en el cuarto cuadrante. La teoría del esfuerzo cortante máximo es
conservadora, y se utiliza para cálculo aproximado. La teoría de la energía de la
distorsión es la más utilizada en el diseño por su mayor precisión.
Figura 3.5: Teorías de Falla para los Materiales Dúctiles
'
Aσ y '
Bσ , son los calculados con la fórmula:
2
2
''
22
, xy
yxyx
BA τ
σσσσ
σσ +




 −
±
+
=

2
3.1.3 TEORÍAS DE LOS MATERIALES FRÁGILES
El diseño estático de los materiales frágiles cuenta con tres teorías, que son: del
esfuerzo normal máximo, de Coulomb-Mohr y Coulomb-Mohr modificada. La teoría
del esfuerzo normal máximo ya no es utilizada actualmente porque e insegura en el
cuarto cuadrante, la teoría de Coulomb-Mohr es conservadora, y se utiliza para
cálculo aproximado, la teoría de Coulomb-Mohr modificada es la más utilizada en el
diseño por su mayor precisión.
Figura 3.6. Teorías de Falla para los Materiales Frágiles
'
Aσ y '
Bσ , son los calculados con la fórmula:
2
2
''
22
, xy
yxyx
BA τ
σσσσ
σσ +




 −
±
+
=

3
3.2EJERCICIOS RESUELTOS
3.2.1 EJERCICIO 3 (Diseño Estático)
Si KpsiSSS ycyty 100=== ; determinar el factor de diseño utilizando las 3 teorías,
para los casos siguientes:
a) b) c) d)
Kpsi
Kpsi
Kpsi
0
70
70
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
0
30
70
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
30
0
70
3
2
1
−=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
70
30
0
3
2
1
−=
−=
=
σ
σ
σ
SOLUCIÓN:
El material es dúctil debido a la fluencia
Caso (a)
T.E.N.M = T.E.C.M. = T.E.D.
43.1
70
100
1
21
=
==
===
n
S
n
SS
OA
OB
n
yt
ytyt
σ
σσ
Figura 3.7: Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (a)
Caso (b)
T.E.N.M. = T.E.C.M.
43.1
70
100
1
21
=
==
===
n
S
n
SS
OA
OB
n
yt
Byt
σ
σσ

4
T.E.D.
1
21
σ
σσ
A
BA
S
n
SS
OA
OC
n
=
===
Cálculo de SA
2.
1.
222
1
2
EcSSSSS
EcSS
BBAAy
AB
=>+⋅−=
=>⋅=
σ
σ
Ec.1 en Ec.2
64.1
70
08.115
08.115
1
2
1
2
1
2
=
==>
=






+





−
=
n
n
S
S
S
A
y
A
σ
σ
σ
σ
Figura 3.8: Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (b)
Caso (c)
T.E.N.M.
43.1
70
100
1
31
=
==
===
n
S
n
SS
OA
OD
n
yt
Byt
σ
σσ
T.E.C.M.
31 σσ
BA SS
OA
OB
n ===
Cálculo de SA
2.1
1.
1
3
EcSSS
EcSS
ycAB
AB
=>−⋅=
=>⋅−=
σ
σ
Figura 3.9: Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (c)

5
Ec.1 en Ec.2 =>
70
1
1
3
=
+
=
A
yc
A
S
S
S
σ
σ
1
70
70
1
=
==
n
S
n A
σ
T.E.D.
31 σσ
BA SS
OA
OC
n ===
Cálculo de SA
2.
1.
222
1
3
EcSSSSS
EcSS
BBAAy
AB
=>+⋅−=
=>⋅−=
σ
σ
Ec.1 en Ec.2:
75.78
1
2
1
3
1
3
=






+





+
=
A
y
A
S
S
S
σ
σ
σ
σ
12.1
1
==
σ
AS
n
Caso (d)
T.E.N.M. = T.E.C.M
T.E.D.
32 σσ
BA SS
OA
OC
n ===
Figura 3.10: Gráfico del ejercicio 3 de Diseño Estático Caso (d)
43.1
70
100
3
23
=
==
===
n
S
n
SS
OA
OB
n
yc
Ayc
σ
σσ

6
Cálculo de SA
2.
1.
222
2
3
EcSSSSS
EcSS
BBAAy
AB
=>+⋅−=
=>⋅=
σ
σ
Ec.1 en Ec.2
32.49
1
2
2
3
2
3
=






+





−
=
A
y
A
S
S
S
σ
σ
σ
σ
64.1
30
32.49
2
=
==
n
S
n A
σ
Tabla 3.1. Resumen de resultados del ejercicio 3 de Diseño Estático
Teoría (a) (b) (c) (d)
T.E.N.M. 1.43 1.43 1.43 1.43
T.E.C.M. 143 1.43 1.0 1.43
T.E.D 1.43 1.64 1.12 1.64

7
Determinar el factor de diseño utilizando las 3 teorías, para los casos siguientes. El
material es un ASTM 60, donde KpsiSut 5.62= KpsiSuc 5.187=
a) b) c) d)
Kpsi
Kpsi
Kpsi
0
50
50
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
0
30
50
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
30
0
50
3
2
1
−=
=
=
σ
σ
σ
Kpsi
Kpsi
Kpsi
50
30
0
3
2
1
−=
−=
=
σ
σ
σ
Caso (a)
T.E.N.M = T.C.M.M.= T.C.M.
25.1
50
5.62
1
21
=
==
==
n
S
n
SS
n
ut
utut
σ
σσ
Figura 3.11: Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (a)
Caso (b)
T.E.N.M. = T.C.M.M= T.C.M.
25.1
50
5.62
1
21
=
==
==
n
S
n
SS
n
ut
But
σ
σσ
Figura 3.12: Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (b)

8
Caso (c)
T.E.N.M.=T.C.M.M.
25.1
50
5.62
1
31
=
==
==
n
S
n
SS
n
ut
But
σ
σσ
T.C.M.
31 σσ
BA SS
n ==
Cálculo de SA
2.
1.
1
3
EcSS
S
S
S
EcSS
ucA
ut
uc
B
AB
=>−⋅=
=>⋅−=
σ
σ
Figura 3.13: Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (c)
Ec.1 en Ec.2
52
1
3
=
+
=
A
ut
uc
uc
A
S
S
S
S
S
σ
σ
04.1
1
==
σ
AS
n
Caso (d)
T.E.N.M. = T.C.M.M.= T.C.M.
75.3
50
5.187
3
32
=
==
==
n
S
n
SS
n
uc
ucA
σ
σσ
Figura 3.14: Gráfico del ejercicio 4 de Diseño Estático Caso (d)

9
Tabla 3.2: Resumen de resultados del ejercicio 4 de Diseño Estático
Teoria (a) (b) (c) (d)
T.E.N.M. 1.25 1.25 1.25 3.75
T.E.C.M.M. 1.25 1.25 1.25 3.75
T.C.M. 1.25 1.25 1.04 3.75

10
El eje de la figura es de un acero UNS G10350 estirado a 800 ºF, el factor de diseño
sugerido para este caso es mayor o igual a 2; se pide determinar el diámetro estático
del eje de sección constante.
Ver figura y datos.
Figura 3.15: Gráfico del ejercicio 5 de Diseño Estático
Datos:
Factor de diseño ≥ 2
Pot= 100CV
n= 500 rpm
β
β
f
f
ePP
eQQ
21
21
=
=
reemplazando f y β =>
21
21
2
2
QQ
PP
=
=

11
SOLUCIÓN:
Los pasos del 1 al 5 son los mismos del ejercicio 2.
6) Cálculo de esfuerzos de la sección y punto crítico
22
,
22
xy
xx
BA τ
σσ
σ +





±=
( )22
3,
16
TMM
d
BA +±=
π
σ
Datos:
cmKgT
cmKgM
·2.14331
·73774
=
=
Diseño por esfuerzos principales normales:
2
3
2
33,
2
3
2
33,
161616
16
2
3216






+





±=






+





±=
d
T
d
M
d
M
d
T
d
M
d
M
BA
BA
πππ
σ
πππ
σ
( )
0
71.7023
5.758479
2.143317377473774
16
2
233
231
22
3,
=






−==






==
+±⋅=
σ
σσ
σσ
π
σ
cm
kg
d
cm
kg
d
d
B
A
BA
7) Determinar la resistencia de la sección crítica
Acero de UNS G10350 estirado a 800 ºF, según la tabla A-17 del Manual de Shigley
se tiene:
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm2

12
8) Relacionar esfuerzos principales con resistencias para determinar el
parámetro requerido
Se usa la teoría de la Energía de la Distorsión para material Dúctil.
Figura 3.16: Aplicación de la Teoría de la Distorsión para el ejercicio 4 de Diseño Estático
SA = 5668 Kg/cm2
Si n≥2
d=6.44 cm≈6.5cm

13
3.3CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO
Es difícil diseñar una máquina sin cambios en las secciones transversales de los
elementos; los ejes deben tener hombros, resaltes, ranuras; los pernos tienen rosca
y cabeza; esto implica cambios bruscos en la sección transversal y las ecuaciones
de esfuerzo no consideran estos cambios. Estas discontinuidades se denominan
concentradores de esfuerzos.
Hay un factor de concentración de esfuerzo, teórico o geométrico: Kt o Kts para
relacionar el esfuerzo máximo con el esfuerzo nominal, así:
o
máx
tK
σ
σ
= ;
o
máx
tsK
τ
τ
=
donde: Kt → factor de concentración de esfuerzos normales
Kts → factor de concentración de esfuerzos cortantes
Figura 3.17: Gráfico de distribución de esfuerzos cuando existe un concentrador.






+=
a
b
omáx
2
1σσ 





+=⇒
a
b
Kt
2
1
Para el caso de un círculo se tiene que ba = , de donde se tiene que: 3=tK
Los valores de teóricos de concentración de esfuerzos kt, se encuentran en el
apéndice del manual de SHIGLEY, en la TABLA A-26.

14
CAPÍTULO 4
DISEÑO DINÁMICO (FATIGA)
Cuando las cargas en los elementos varían en el tiempo, el problema para
diseñarlos es distinto, para que resistan con seguridad tales efectos.
Ejemplo 1: Eje sometido a flexión pura y que gira (eje de una polea).
Figura 4.1: Diagrama de Momentos de una Viga sometida a Flexión
Figura 4.2: Fibra cero que pasa por esfuerzos de tensión y compresión en cada revolución del eje.
Por ejemplo en el eje de un motor que gira a 1750 rpm, la fibra es esforzada en
tensión y compresión 1750 veces por minuto.

15
Ejemplo 2: Cargas combinadas. Eje sometido a flexión y compresión (caso en que
el eje esté con un engrane helicoidal o de tornillo sinfín).
Figura 4.3: Gráfico de Esfuerzos Combinados en la Sección Crítica de un elemento
La falla por fatiga no se ve a simple vista o con instrumentos, comienza en una
diminuta grieta que se origina en una discontinuidad o concentrador de tensión del
material (cambio de sección) hasta la falla repentina.
4.1RESISTENCIA A LA FATIGA
Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las
probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes especificadas y
se cuentan los ciclos hasta la falla.
El dispositivo más usado para ensayos de fatiga es la máquina de viga rotatoria de
alta velocidad. Esta somete a la probeta a flexión pura por medio de pesos. La
probeta se labra a máquina y se pule cuidadosamente, recibiendo un pulimiento final
en dirección axial para evitar rayaduras circunferenciales.
Además, existen otras máquinas que permiten ensayos con esfuerzos combinados
tipo fluctuantes.
Figura 4.4: Probeta Normalizada para Ensayo de Fatiga

16
Para poder observar la resistencia se necesita un gran número de pruebas, la
primera prueba con un esfuerzo menor a la resistencia última Sut, y así
sucesivamente.
Los resultados se grafican obteniendo un diagrama llamado S-N en papel
semilogarítmico o log-log.
Figura 4.5: Gráfico S vs N en papel log-log
'eS = Limite de resistencia de la fatiga para vida infinita (para la probeta).
eS = Limite de resistencia de la fatiga para vida infinita (para el elemento).
Deducción de la fórmula para determinar la resistencia a la fatiga, fS , para vida
finita:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]eSSeSN
eSS
S tu
tu
f ′−+′+
−
′−
−= log.8.0log2loglog*
10log10log
log.8.0log
log 36
eS
eS
S
N
eS
S
S tu
tu
f ′+





′
+












′
−= log
.8.0
log2log*
10
10
log
.8.0
log
log
3
6
( )
( )
cb
f
cb
f
f
tutu
f
NS
NS
CNbS
eS
S
N
eS
S
S
10.
10.loglog
log.log
8.0
loglog*
.8.0
log
3
1
log
2
=
=
+=








′
+





′
−=
donde:
( )








′
=






′
−=
eS
S
c
eS
S
b
tu
tu
2
8.0
log
8.0
log
3
1
log-log

17
• Vida finita: Cuando el esfuerzo > Se´
• Vida infinita: Cuando el esfuerzo < Se´
Para el elemento se cambia Se´ por Se en la ecuación deducida.
Para los materiales no ferrosos y sus aleaciones nunca llegan hacer horizontales no
se distingue el Se. Ejemplos de estos: aluminio, magnesio, aleaciones de cobre,
latón, zinc, bronce.
La relación del límite de resistencia a la fatiga de la probeta Se´ con la resistencia a
la tensión Sut se indica en el gráfico siguiente según pruebas realizadas.
Figura 4.6: Gráfico de la Relación entre Se´vs Sut
Para los materiales dúctiles y frágiles, se determina en base a la media estadística
(50% de confiabilidad), como se indica en la siguiente Tabla:
Tabla 4.1: Se´, Sut para Material Dúctil y Frágil
MATERIAL RELACIÓN CONDICIÓN
Dúctil
SuteS 5.0=′
KpsieS 100=′
KpsiSut 200≤
KpsiSut 200>
Frágil
SuteS 45.0=′
KpsieS 40=′
KpsiSut 88≤
KpsiSut 88>
4.2 LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA DEL ELEMENTO
Se ha expresado que toda probeta para ensayo en una máquina de viga rotatoria,
utilizada para determinar límites de resistencia a la fatiga, se elabora con mucho
cuidado y es ensayada en condiciones controladas en forma precisa. No es realista
esperar que el límite de fatiga de un elemento mecánico o estructural resulte igual a
uno de los valores obtenidos en el laboratorio, sino que se encuentra afectada por
ciertos factores, como se indica en la fórmula siguiente:
fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= '

18
Donde: eS → Limite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico
'eS → Limite de resistencia a la fatiga de la probeta
ka → Factor de superficie
kb → Factor de tamaño
kc → Factor de confiabilidad
kd → Factor de temperatura
ke → Factor de modificación por concentración de esfuerzo
kf → Factor de efectos diversos
4.2.1 FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL ka
Este factor se determina en la Fig. 7-10 (pág. 309 de Shigley), el cual se muestra a
continuación.
Figura 4.7. ak vs. ],[ GPaKpsiSut
4.2.2 FACTOR DE CORRECCIÓN POR TAMAÑO kb
4.2.2.1 Flexión, Torsión o ambos
097.0
.869.0 −
= dkb Si "10"3.0 << d
1=bk Si "3.0≤d
097.0
.189.1 −
= dkb Si mmdmm 2508 <<
Para elementos rectangulares, se determina un diámetro equivalente:
Pulido Esmerilado
Maquinado o estirado en frío
Laminado en caliente
Forjado
Resistencia a la tensión Sut [Kpsi]
Resistencia a la tensión Sut [Gpa]

19
0766.0
05.0 bh
d
⋅⋅
=
097.0
869.0 −
⋅= dkb Si "10"3.0 << d
1=bk Si "3.0≤d
097.0
.189.1 −
Para elementos de otras secciones ver la Fig. 7.15 del Manual de Shigley.
4.2.2.2 Carga Axial
Realizando pruebas en viga axial:
uce SS ⋅+= 314.02.19' si 60≥ucS
Si se emplea esta fórmula, entonces kb = 1
Realizando pruebas de viga rotatoria:
kb =



)(6.0
71.0
tablasdevalorespruebashacensenocuando
pruebashacensecuando
Para este caso el valor de 'eS se determina según la siguiente Tabla:
Tabla 4.2. Se’, Sut para Material Dúctil y Frágil, cuando se realiza pruebas de viga rotatoria
MATERIAL RELACIÓN CONDICIÓN
Dúctil
ute SS ⋅= 5.0'
KpsiSe 100'=
KpsiSut 200≤
KpsiSut 200>
Frágil
ute SS ⋅= 45.0'
KpsiSe 40'=
KpsiSut 88≤
KpsiSut 88>
4.2.3 FACTOR DE CONFIABILIDAD kc
Se determina según la siguiente Tabla:
Tabla 4.3: Factor de Confiabilidad kc (Tabla 7-7 de Shigley)
Confiabilidad
Factor de
Confiabilidad kc
0.50 1.000
0.90 0.897
0.95 0.868
0.99 0.814
0.999 0.753
0.999 9 0.702
0.999 99 0.659
0.999 999 0.620
0.999 999 9 0.584
0.999 999 99 0.551
0.999 999 999 0.520
Si el problema no especifica alguna confiabilidad, se asume R = 50% y Kc = 1
h
b

20
4.2.4 FACTOR DE CORRECCIÓN POR TEMPERATURA kd
Se determina según las siguientes fórmulas:
( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºsi840103.2-1
C550ºTC450ºsi450105.8-1
F)(840ºC450ºTsi1
3-
3-
≤<−⋅⋅=
≤<−⋅⋅=
≤=
4.2.5 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ke
Los elementos mecánicos tienen: agujeros, ranuras, muescas u otras clases de
discontinuidades, los cuales aumentan el esfuerzo, de acuerdo a las fórmulas
siguientes:
otK σσ .max = y otsK ττ .max =
Los valores de Kt y Kts se determinan en la Tabla A - 26 del anexo del Manual de
Shigley.
En diseño estático los materiales dúctiles no experimentan concentrador de
tensiones; pero, los aceros de alta resistencia y baja ductilidad, aceros endurecidos
superficialmente, y los materiales frágiles si les afecta el concentrador de tensiones.
No se aplica el valor total de Kt ó Kts directamente, sino un valor reducido de Kt ó Kts
igual a Kft ó Kfs.
( )11 −+= tf KqK , ó ( )11 −+= tssfs KqK
donde:
f
e
K
k
1
= , ó
fs
es
K
k
1
=
4.2.5.1 A flexión o carga axial:
( )11
11
−+
==
tf
e
KqK
k
Donde, q = sensibilidad a la ranura o entalles a flexión
Si q = 0 => Kf = 1
Si q = 1 => Kf = Kt
4.2.5.2 A torsión:
( )11
11
−+
==
tssfs
es
KqK
k
Donde, qs = sensibilidad a la ranura o entalles a torsión
Si qs = 0 => Kfs = 1
Si qs = 1 => Kfs = Kts
En el caso de flexión y torsión, el factor sería: esefe kkk ·= .
El valor de q se obtiene de las figuras: Fig. 7-18 (cargas axial y flexión) y Fig. 7-19
(torsión) del Manual de Shigley.

21
Figura 4.8. Diagrama de sensibilidad a las
ranuras para aceros y aleaciones de aluminio y
hierro forjado sometidos a cargas flexionantes o
axiales invertidas alternativamente.
Nota:
Para los materiales frágiles la sensibilidad es baja: 2.00 ≤≤ q
Para hierros fundidos: 2.0=q
4.2.6 FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS kf
No se dispone de valores reales de kf de efectos residuales remanentes, corrosión,
recubrimiento electrolítico, metalizado por aspersión, etc. Se considera este valor
solo en el caso de análisis de engranes, como un mejoramiento al límite de
resistencia a la fatiga ( 1>fK ), por lo tanto, en general se considera 1=fK .
4.3 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS FLUCTUANTES
Para el diseño dinámico, es conveniente descomponer los esfuerzos, tanto normales
como cortantes, de la siguiente manera:
cos,
int,
,
,
,
,
minmin
maxmax
estátiesfuerzos
esfuerzodeltotalervalo
mediosesfuerzos
esfuerzosdelamplitud
mínimosesfuerzos
máximosesfuerzos
ss
rr
mm
aa
→
→
→
→
→
→
στ
στ
στ
στ
στ
στ
Estos esfuerzos se calculan así:
( )
( )
ar
mínmáx
a
mínmáx
m
σσ
σσ
σ
σσ
σ
2
2
2
=
−
=
+
=
( )
( )
ar
mínmáx
a
mínmáx
m
ττ
ττ
τ
ττ
τ
2
2
2
=
−
=
+
=

22
Ubicación de los componentes de los esfuerzos en los gráficos:
Figura 4.9: Esfuerzo alternante senoidal con inversión completa
Figura 4.10: Esfuerzo fluctuante
Figura 4.11: Esfuerzo repetitivo
Figura 4.12: Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga)

23
4.4 RESISTENCIA EN ESFUERZOS FLUCTUANTES NORMALES
Se han realizado pruebas con probetas a las cuales se han aplicado esfuerzos
fluctuantes normales y se han obtenido los datos de los componentes de esfuerzos,
como es la amplitud del esfuerzo y el esfuerzo medio, aσ y mσ , respectivamente; y
estos valores se han graficado, obteniéndose tres diagramas lineales y cuatro no
lineales:
4.4.1 LINEALES
a) Diagrama de Goodman Modificado (no es adecuada para el diseño)
b) Diagrama en el que se indica la línea modificada de Goodman (es el que más
se usa en el diseño).
c) Soderberg
















−⋅=
y
m
ea
S
S
SS 1
4.4.2 NO LINEALES
d) Relación parabólica de Gerber














−⋅=
2
1
ut
m
ea
S
S
SS
e) Ecuación cuadrática o elíptica
2/12
1














−⋅=
ut
m
ea
S
S
SS
f) Kececioglu
[ ]750.2606.2;1
/12
→=














−⋅= a
S
S
SS
a
ut
m
ea
g) Bagci
















−⋅=
4
1
y
m
ea
S
S
SS
A continuación se presenta el diagrama en el que se indica la línea modificada de
Goodman, para esfuerzos normales puros: tensión y compresión.

24
Figura 4.13: Línea modificada de Goodman, para esfuerzos normales puros de tensión y compresión
ModificadoGoodmandeLíneaSS
S
S
SEc em
ut
e
a +⋅−=1.
EsfuerzosdeLíneaSSEc m
m
a
a ⋅=
σ
σ
2.
Este diagrama es el que se empleará para fines de diseño; tanto para vida finita
como para vida infinita.
En este caso el factor de seguridad será:
ut
e
m
a
e
m
S
S
S
SEcenEc
+
=
σ
σ
1.2.
Fatiga
SS
n
m
m
a
a
⇒==
σσ
Estático
S
n
máx
y
⇒=
σ
4.5 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN
La predicción de falla más precisa en diseño estático a torsión es la que proporciona
la teoría de la energía de distorsión donde Ssy=0.577·Sy, según pruebas los resultados
demuestran que esta teoría también sirve para predecir el límite de fatiga al corte
(Sse, Ssf), cuando se conoce el límite de fatiga a la tensión (Se), por lo tanto la energía
de la distorsión señala que Sse = 0.577 Se.
Según las pruebas realizadas con la amplitud del esfuerzo cortante aτ , un esfuerzo
cortante medio torsional mτ , las resistencias correspondientes son el límite de fatiga
por cortante Sse, la resistencia de fluencia al corte Ssy y el módulo torsional de rotura
Ssu. Cuando se utiliza estas resistencias es posible elaborar un diagrama de fatiga
torsional como se indica en la figura siguiente, donde se establece el factor de
diseño con la siguiente relación:

25
Fatiga
SS
n
a
sf
a
se
⇒==
ττ
Estático
S
n
máx
sy
⇒=
τ
Figura 4.14: Diagrama de fatiga para esfuerzo torsional
A continuación se indica el gráfico de la resistencia a la fatiga por cortante Vs
número de ciclos, tanto para vida finita como para vida infinita y las fórmulas para
determinar la resistencia a la fatiga.
Figura 4.15: Diagrama de resistencia a la fatiga por cortante vs. número de ciclos.
cb
sf NS 10⋅=
Dúctiles:
( )
se
su
se
su
S
S
c
S
S
b
2
8.0
log
8.0
log
3
1 ⋅
=




 ⋅
−=
Frágiles:
( )
se
fs
su
tssfs
se
fs
su
S
K
S
cKqK
S
K
S
b
2
8.0
log11;
8.0
log
3
1 






 ⋅
=−+=











 ⋅
−=

26
4.6 ESFUERZOS DEBIDO A CARGAS COMBINADAS
Lo más común en elementos de máquinas es el diseño de elementos sometidos a
cargas combinadas, para este caso se aplica la teoría de la energía de la distorsión,
donde se encuentran esfuerzos equivalentes tanto para la amplitud esfuerzos como
para los esfuerzos medios, y con estos esfuerzos determinar el factor de diseño en
el diagrama que contiene la línea de Goodman modificada, como se indica a
continuación:
4.6.1 CASO BIAXIAL
Figura 4.16: Elemento general biaxial
Esfuerzos equivalentes (según teoría de la energía de distorsión)
2
221
2
1 mmmmm σσσσσ +−=′
2
221
2
1 aaaaa σσσσσ +−=′
En función de los componentes de esfuerzos ordinarios:
xym
ymxmymxm
mm
2
2
21
22
, τ
σσσσ
σσ +




 −
±
+
=
Operando:
xymymymxmxmm
22
3
2
τσσσσσ ++−=′
xya
yaxayaxa
aa
2
2
21
22
, τ
σσσσ
σσ +




 −
±
+
=
Operando:
xyayayaxaxaa
22
3
2
τσσσσσ ++−=′

27
4.6.2 CASO UNIAXIAL
Figura 4.17: Elemento general uniaxial
Si 0=yσ , entonces 0,0 == yaym σσ
xymxmm
2
3
2
τσσ +=′
xyaxaa
2
3
2
τσσ +=′
Con las componentes de esfuerzos equivalentes calculadas anteriormente se va al
gráfico de la línea de Goodman modificada, indicada a continuación:
Figura 4.18: Gráfico de la línea de Goodman modificada
ModificadoGoodmandeLíneaSS
S
S
SEc em
ut
e
a +⋅−=1.
EsfuerzosdeLíneaSSEc m
m
a
a ⋅=
'
'
2.
σ
σ
ut
e
m
a
e
m
S
S
S
SEcenEc
+
=
'
'
1.2.
σ
σ
Fatiga
SS
n
m
m
a
a
⇒==
'' σσ

28
Estático
S
n
máx
y
⇒=
'σ
Donde:
máxxymáxxmáx
2
3
2
τσσ +=′

29
4.7 EJERCICIOS RESUELTOS
4.7.1 EJERCICIO 5 (Diseño Dinámico)
Para una barra de acero de Sut = 700 MPa, Sy = 500 MPa y Se = 200 MPa, encuéntrese
el factor de seguridad ns y nd, para prevenir la falla estática y por fatiga para cada
uno de los siguientes casos.
a) MPam 140=τ
b) MPam 140=τ ; MPaa 70=τ
c) MPaxym 100=τ ; MPaxa 80=σ
d) MPaxm 60=σ ; MPaxa 80=σ
MPaxym 70=τ ; MPaxya 35=τ
SOLUCIÓN:
a)
Diseño Estático:
Torsión pura
1σττ == xym
06.2
140
500577.0
140
577.0
=
⋅
=
⋅
==
y
m
sy
s
SS
n
τ

30
b)
MPaammáx 21070140 =+=+= τττ
Diseño Estático:
max1 τσ =
11
577.0
σσ
yy
s
SSs
n
⋅
==
37.1
210
500577.0
=
⋅
=sn
Diseño Dinámico:
MPaSS ees 115200577.0577.0 =⋅=⋅=
64.1
70
115
===
a
es
d
S
n
τ
c)
Esfuerzos combinados, esfuerzos normales a fatiga

31
Diseño Estático:
( )
Mpa
xymáxxmáx
191
100380
3
max
22
max
22
max
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ
El elemento se encuentra sometido a tensión simple
62.2
191
500
max
==
′
=
σ
y
s
S
n
Diseño Dinámico:
( )
Mpam
m
xymxmm
173
1003)0(
3
22
22
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ
( )
Mpaa
a
xyaxaa
80
03)80(
3
22
22
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ
56.1
173
270
'
===
m
m
d
S
n
σ

32
d)
Diseño Estático:
MPa
MPa
xyaxymxymáx
xaxmxmáx
1053570
1408060
=+=+=
=+=+=
τττ
σσσ
MPa
xyx
229
)105(360
3
max
22
max
max
2
max
2
max
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ
Teoría de la distorsión
18.2
229
500
===
máx
y
s
S
n
σ
Diseño Dinámico:
( )
MPam
m
xymxmm
135
703)60(
3
22
22
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ
( )
MPaa
a
xyaxaa
100
353)80(
3
22
22
=′
+=′
+=′
σ
σ
τσσ

33
45.1
100
145
==
′
=
a
a
d
S
n
σ

34
4.7.2 EJERCICIO 6 (Diseño Dinámico), las condiciones son similares al ejercicio 5
planteado en el capítulo anterior en donde se diseñó estáticamente, en este
ejemplo se diseñará dinámicamente.
Datos:
Acero de UNS G10350 estirado a 800 ºF, según la tabla A-17 del Manual de Shigley
se tiene:
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm2
n dinámico ≥ 2
β
β
f
f
ePP
eQQ
21
21
=
=
Reemplazando f y β =>
21
21
2
2
QQ
PP
=
=

35
P1+P2
M
D
M
C
Configuración del eje
Diagrama de momentos

36
CONDICIONES
• Que las poleas están fijas al eje. Esto se logra colocando pines.
• Deben tener cojinetes de rodamiento.
Análisis de la sección B y C para determinar la sección crítica; porque estas
secciones se encuentran a esfuerzos combinados de flexión y torsión, y tienen
momentos de flexión máximos. Se desprecia la secciones A y D porque sus
momentos son pequeños.
SECCIÓN B C UBICACIÓN
xσ 3
32
d
M
⋅
⋅
π
632
2
1
3
ddd
M
⋅
−
⋅π
FIG. A-26-11
(SHIGLEY)
xyτ 3
16
d
T
⋅
⋅
π
616
2
1
3
ddd
T
⋅
−
⋅π
FIG. A-26-10
(SHIGLEY)
Donde: d → diámetro del eje
d1 → diámetro del pasador (d1 = 1 cm)
T = 14331.2 cmkg ⋅
MB = 71652 cmkg ⋅
MC = 73774 cmkg ⋅

37
SECCIÓN B SECCIÓN C
3
32
d
M B
xx máxa
⋅
⋅
==
π
σσ
632
2
1
3
ddd
MC
xx máxa
⋅
−
⋅
==
π
σσ
0=mxσ ; 0=axyτ 0=mxσ ; 0=axyτ
3
16
d
T
máxm xyxy
⋅
⋅
==
π
ττ
616
2
1
3
ddd
T
máxm xyxy
⋅
−
⋅
==
π
ττ
( ) ( ) aaa xxyxa στσσ =+=
22
3' ( ) ( ) aaa xxyxa στσσ =+=
22
3'
( ) ( ) 33'
22
⋅=+= mmm xyxyxm ττσσ ( ) ( ) 33'
22
⋅=+= mmm xyxyxm ττσσ
MÉTODO ITERATIVO: d=20cm
'/27.91 2
ax cmkga
σσ == '/7.102 2
ax cmkga
σσ ==
2
/12.9 cmkgmxy =τ 2
/53.9 cmkgmxy =τ
2
/79.15' cmkgm =σ 2
/5.16' cmkgm =σ
fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ' fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= '
RESISTENCIAS
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm
RESISTENCIAS
Sy = 81 Kpsi = 81x70.3= 5694 Kg/cm2
Sut = 110 Kpsi =110x70.3= 7733 Kg/cm
Material dúctil: kpsiSut 200<
Se´=0.5 Sut=3866.5 Kg/cm2
Material dúctil: kpsiSut 200<
Se´=0.5 Sut=3866.5 Kg/cm2
F 7-10 → 7.0=ak 4 F 7-10 → 7.0=ak 4
( ) 711.0200189.1189.1
097.0097.0
===
−−
dkb ( ) 711.0200189.1189.1
097.0097.0
===
−−
dkb
T 7-7: no existe información,
suponer confiabilidad de 50 %
1=→ ck
T 7-7: no existe información, suponer
confiabilidad de 50 % 1=→ ck
CT o
450< 1=→ dk CT o
450< 1=→ dk
No existen discontinuidades en la
sección 1=→ ek
( )11
11
−+
==
⋅=
tf
ef
eTefe
KqK
k
KKk
05.0
20
11
==
d
d
; F A-26.11 5.2=→ tk

38
F 7-18: r=0.16”
Sut=110 kpsi
( )11
11
−+
==
tssf
eT
KqK
K
No existe sq porque no existe
variación de la torsión. 1=→ eTK
ke=0.45z1=0.45
1=fk (efectos varios) 1=fk (efectos varios)
Se=3866.5x0.74x0.71
Se =2031 Kg/cm2
Se=3866.5x0.74x0.71x0.45
Se =914 Kg/cm2






+





=
'
'
m
a
ut
e
e
m
S
S
S
S
σ
σ
Sm =336 Kg/cm2






+





=
'
'
m
a
ut
e
e
m
S
S
S
S
σ
σ
Sm =144 Kg/cm2
n =21 n =9
Conclusión: sección crítica C→ ; porque BC nn <
Recalculando con d=9cm, únicamente para la sección crítica C.
q=0.82

39
ebaee kkkSS ⋅⋅⋅= ' (los demás factores valen 1)
ak no varía porque no depende del diámetro 7.0=→ ak 4
( )
( )11
11
1;
−+
==
==
tf
ef
eTefe
KqK
k
KKk
083.0
12
11
==
d
d
; F A-26.11 3.2=→ tK
F 7-18: r=0.16”
Sut=110 kpsi
Se=3866.5x0.74x0.77x0.48
Se =1057 Kg/cm2
q=0.82

40
Como se tiene que ea S>'σ se concluye que el eje tiene vida finita y falla antes de los
106
ciclos. Entonces se procede a calcular el número de ciclos al cual se produce la
falla:
( )
( )





 ⋅
−=







 ⋅
=
⋅=→⋅=
−−
e
tu
e
tu
bc
f
bc
f
S
S
b
S
S
c
SNNS
8.0
log
3
1
8.0
log
1010
2
1
1

41
Se tiene que fallará a los 7·105
ciclos; esto nos da una idea de que tenemos que
cambiar el eje a un número menor de ciclos, antes de que ocurra la falla. A manera
de ejemplo se procederá a cambiar a los 104
ciclos.
Con este valor se procede a calcular el factor de seguridad con el que se estará
trabajando para este caso:
Las constantes c y b no varían, porque utS y eS no varían. Entonces:

43
CAPÍTULO 5
DISEÑO DE ELEMENTOS ROSCADOS
5.1 INTRODUCCIÓN
La finalidad de este capítulo es estudiar el diseño estático y dinámico (fatiga), para
seleccionar y especificar los tamaños normalizados y materiales los mismos que
están expresados en tablas, para buscar los más adecuados de acuerdo a las
cargas requeridas.
Para sujetadores (pernos y tornillos), se encuentran en las Tablas A-28, A-29 y A-30
y para tuercas en la Tabla A-31, del Manual de Shigley.
Para tornillos de potencia no existen especificaciones en tablas, ya que cada
aplicación es un caso especial. Sin embargo existen algunas sugerencias, según el
cuadro siguiente:
Tabla 5.1: Paso (hilos/plg) del Tornillo de Potencia en función del Diámetro (plg)
Diámetro (plg) Paso (hilos/plg)
2/1 10
8/5 8
4/3 6
1 5
1½ 4
Para diferenciar entre tornillos, pernos y espárragos; se deben tomar en cuenta las
siguientes características:
Tornillos: Entra en un agujero roscado y el torque es aplicado en la cabeza o en
el elemento.
Pernos: Entra en un agujero roscado, denominado tuerca, y el torque es
aplicado en la tuerca.
Espárragos: Es un elemento roscado por los dos extremos. Es la combinación de
perno y tornillo.
5.1.1 ELEMENTOS DE LA ROSCA
La terminología usada para las roscas de tornillos se muestra en el siguiente gráfico.
Figura 5.1: Terminología para roscas de tornillos

44
Donde:
→p Es la distancia entre dos hilos adyacentes y está dado en pulgadas
→N Es el recíproco del paso p y esta dado en hilos por pulgada
→l Avance: es la distancia que se desplaza una tuerca paralelamente al eje
del tornillo cuando da una vuelta
pnl ⋅=
→n Número de entradas. Si n>1 se tiene una rosca múltiple.
5.1.2 TIPOS DE ROSCAS PARA ELEMENTOS ROSCADOS
Se tiene tres tipos de roscas: la rosca American Nacional o Unificada, la rosca
cuadrada y la rosca Acme. Estos tipo de roscas se grafican a continuación.
Figura 5.2: Rosca Americana Nacional o Unificada (se utiliza en elementos de sujeción y tornillos de
potencia).
Figura 5.3: Rosca cuadrada (se utiliza en tornillos de potencia)
Figura 5.4: Rosca Acme o trapezoidal (se utiliza en tornillos de potencia)

45
5.2 TORNILLOS DE POTENCIA
Son elementos que se utilizan en las maquinarias para convertir un movimiento
angular en movimiento lineal y transmitir así fuerza o potencia. Estos tornillos se
utilizan generalmente en husillos de avance de tornos, tornillos de bancos, prensas y
gatos.
A continuación se indica la aplicación en una prensa.
Figura 5.5: Prensa operada por tornillos de potencia
5.2.1 DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA
PARA TORNILLO DE ROSCA CUADRADA
A continuación se indica el procedimiento para determinar el torque para subir o
bajar la carga en la prensa indicada en la figura anterior.
Figura 5.6: Tornillo, tuerca y collarín

46
Ts’ => Torque para subir la carga (vencer rozamiento de la rosca)
Tb’ => Torque para bajar la carga (vencer rozamiento de la rosca)
Ts => Torque para subir la carga + torque para vencer rozamiento del
collarín
Tb => Torque para bajar la carga + torque para vencer rozamiento del
collarín
5.2.1.1 Torque para vencer rozamiento de la rosca (subir la carga)
md
l
⋅
=
π
λtan PdT ms ⋅=
2
1
'
Figura 5.7: Diagrama de cuerpo libre de un filete completo Figura 5.8: Gráfico tornillo - tuerca.
( )
( )2
cos
0cos
0
1
cos
0cos
0
λµλ
λλµ
λµλ
λλµ
⋅+
=→=⋅−⋅⋅−
=
⋅−
=→=⋅−⋅⋅+
=
∑
∑
sen
P
NsenNNP
F
sen
F
NNsenNF
F
hori
vert
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
( )
( )
( )
( )
( )3
cos
cos
22
'
cos
cos
λµλ
λµλ
λµλ
λµλ
sen
send
F
d
PT
sen
sen
FP mm
s
⋅−
⋅+
⋅=⋅=→
⋅−
⋅+
=
Dividiendo la ecuación (3) entre λcos y reemplazando
md
l
⋅
=
π
λtan
( )
( )






⋅
⋅−






+
⋅
⋅=→
⋅−
+
⋅=
m
mm
s
m
s
d
l
d
l
d
FT
d
FT
π
µ
µ
π
λµ
µλ
1
2
'
tan1
tan
2
'
( )
( )ld
lddF
T
m
mm
s
⋅−⋅
+⋅⋅⋅
=⇒
µπ
πµ
2
'

47
5.2.1.2 Torque para vencer rozamiento de la rosca (bajar la carga)
Figura 5.9: Diagrama de cuerpo libre de un filete completo Figura 5.10: Gráfico tornillo - tuerca
( )
( )2
cos
0cos
0
1
cos
0cos
0
λλµ
λλµ
λµλ
λλµ
sen
P
NsenNNP
F
sen
F
NNsenNF
F
hori
vert
−⋅
=→=⋅+⋅⋅−
=
⋅+
=→=⋅−⋅⋅−
=
∑
∑
Igualando las ecuaciones (1) y (2), dividiendo la ecuación resultante entre λcos y
reemplazando
md
l
⋅
=
π
λtan se tiene:
( )
( )ld
lddF
T
m
mm
b
⋅+⋅
−⋅⋅⋅
=⇒
µπ
πµ
2
'
5.2.1.3 Torque para vencer rozamiento del collarín (Tc)
Figura 5.11: Fuerza de Rozamiento en el Collarín
Donde:
Frc => Fuerza de rozamiento del collarín
dc => Diámetro medio del collarín
FF crc ⋅= µ
2
c
cc
d
FT ⋅⋅=→ µ

48
5.2.1.4 Torques totales (para subir y bajar la carga)
cbb
css
TTT
TTT
+=
+=
'
'
( )
( )
( )
( ) 22
22
c
c
m
mm
b
c
c
m
mm
s
d
F
ld
ldd
FT
d
F
ld
ldd
FT
⋅⋅+
⋅+⋅
−⋅⋅
⋅⋅=→
⋅⋅+
⋅−⋅
+⋅⋅
⋅⋅=→
µ
µπ
πµ
µ
µπ
πµ
5.2.2 AUTOBLOQUEO
Si el avance es grande y la fricción es pequeña; la carga puede descender por sí
sola y el tornillo gira sólo, sin la acción externa. Entonces el torque sería menor o
igual a cero y para algunos casos esto sería peligroso, entonces el autobloqueo se
daría cuando el torque sea mayor que cero. Para este análisis se desprecia el
rozamiento del collarín.
→≤ 0'bT la carga se baja sola, sin acción externa
→> 0'bT el tornillo es autobloqueante o autoasegurante
( )
( )
00
2
' >−⋅⋅→>
⋅+⋅
−⋅⋅
⋅= ld
ld
ldd
FT m
m
mm
b πµ
µπ
πµ






=
⋅⋅
> λ
ππ
µ tan;
mm d
l
d
l
λµ tan>→ Condición para autoaseguramiento
5.2.3 EFICIENCIA DE LOS TORNILLOS (e)
Una expresión de la eficiencia para evaluar los tornillos de potencia se obtiene como
la relación entre un torque ideal y el torque real.
El torque ideal ( )oT se obtiene al no considerar la fricción de la rosca, es decir: 0=µ
( )
( )ld
lddF
T
m
mm
s
⋅−⋅
+⋅⋅⋅
=
µπ
πµ
2
' ; si 0=µ
π2
lF
To
⋅
=→
T
lF
T
T
e o
⋅
⋅
==→
π2
5.2.4 DETERMINACIÓN DEL TORQUE PAR ELEVAR Y BAJAR LA CARGA
PARA TORNILLOS DE ROSCA TRAPEZOIDAL ACME Y ROSCA
TRIANGULAR
Para las roscas cuadradas se tiene que º90=α . Pero en el caso de las roscas Acme
y las roscas triangulares, este ángulo es diferente de 90º y esto afecta a las
ecuaciones deducidas anteriormente.

49
El efecto del ángulo α es aumentar la fuerza de fricción, por lo tanto; la ecuación
debe dividirse entre αcos , en aquellos términos que hay rozamiento así:
( )
( )
( )
( ) 2sec
sec
2
2sec
sec
2
c
c
m
mm
b
c
c
m
mm
s
d
F
ld
ldd
FT
d
F
ld
ldd
FT
⋅⋅+
⋅⋅+⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅=→
⋅⋅+
⋅⋅−⋅
+⋅⋅⋅
⋅⋅=→
µ
αµπ
απµ
µ
αµπ
απµ
5.2.5 DISEÑO ESTÁTICO
Figura 5.12: Tornillo-Tuerca de Potencia
Tabla 3.2: Esfuerzos de Corte y Compresión en la Tuerca y el Tornillo
TUERCA TORNILLO
Corte
2
h
dA ⋅⋅= π
hd
F
A
F
⋅
==
π
τ
2
2
h
dA r ⋅⋅= π
hd
F
A
F
r ⋅
==
π
τ
2
Compresión
( )p
h
ddA r
22
4
1
−= π
( )
( ) hdd
Fp
A
F
r ⋅−
⋅
==− 22
4
π
σ
( )p
h
ddA r
22
4
1
−= π
( )
( ) hdd
Fp
A
F
r ⋅−
⋅
==− 22
4
π
σ
Las secciones críticas son diferentes, es por eso que se debe separar los efectos de
compresión y corte en los hilos de la tuerca y el tornillo.
A continuación se determina el factor de diseño para materiales dúctiles en cada
caso:

50
Tabla 3.3: Factor de Diseño para Materiales Dúctiles para Tuerca y Tornillo
ELEMENTO TEORÍA TUERCA TORNILLO
Corte T.E.D.
hd
F
SS
n
y
xy
sy
⋅
⋅
==
π
τ 2
577.0
hd
F
SSs
n
r
y
xy
y
⋅
⋅
==
π
τ 2
577.0
Compresión T.E.D.
( ) hdd
Fp
SS
n
r
y
x
y
⋅−
⋅
==
22
4
π
σ
( ) hdd
Fp
SS
n
r
y
x
y
⋅−
⋅
==
22
4
π
σ
CONDICIÓN: Para cuando se estudia el efecto de corte o de compresión, si 2<n ,
el elemento falla. Entonces se diseña para 2>n , y solo para materiales dúctiles.
5.2.6 DISEÑO DINÁMICO
El diseño dinámico no se puede considerar en este caso porque no hay ninguna
información sobre los factores de tamaño ( )bk y el factor de concentrador de
esfuerzos ( )ek .
5.2.7 SELECCIÓN DE LA TUERCA
Hilo
Fuerza
Tuerca Tornillo
1 ( )F− ( )F+
2 ( ) F
3
2
− ( ) F
3
2
+
3 ( ) F
3
1
− ( ) F
3
1
+
Figura 5.13: Tornillo-Tuerca de Potencia con carga
Para seleccionar la tuerca se debe considerar que el material es de menor
resistencia que del tornillo, con el objeto de que tenga mayor desgaste la tuerca que
el tornillo; y ésta sea la que se remplaza. De acuerdo al gráfico anterior, los tres
primeros hilos son los que soportan carga y la distribución de la carga se indica en la
Tabla 5.13.

51
5.3 SUJETADORES
5.3.1 INTRODUCCIÓN
Los sujetadores son elementos roscados que se utilizan como su palabra la indica
en la sujeción de elementos, y estos se clasifican en: tornillo, perno y espárrago.
• Tornillo: Se aprieta aplicando un par de torsión en su cabeza.
• Perno: Reaplica el par de torsión a la tuerca.
• Espárrago: Es un perno con doble rosca en sus dos extremos.
En las Tablas: A-28 y A-31, está determinado los tamaños de pernos, tornillos y
tuercas.
Figura 5.14: Tornillo o perno Figura 5.15: Tuerca
Figura 5.16: Espárrago
En las Tablas: 8-1 y 8-2, se especifican los diámetros y áreas de roscas métricas de
paso fino y de paso basto (en mm), y características de roscas unificadas UNC y
UNF, respectivamente.
=tA Área de tracción
4
·
2
t
t
d
A
π
=
2
rm
t
dd
d
+
=
Donde:
pdd
pdd
m
t
⋅−=
⋅−=
649519.0
226869.1
tA
F
=σ ; y
t
u
ut
A
F
S =

52
5.3.2 JUNTAS ATORNILLADAS
(p)
Arandela
Elemento de unión (tapa)
Elemento de unión (base)
Tuerca
Sello
Arandela
Perno
PRESIÓN
Figura 5.17: Cilindro empernado sometido a presión
Figura 5.18: Junta empernada con carga axial
Terminología
=P Carga externa sobre la unión del perno
=p Presión total en el cilindro
=iF Precarga del perno debido al apriete y que existe antes de aplicar P
=bk Constante de rigidez del perno
=mk Constante de rigidez de los elementos
=bδ Deformación del perno por iF
=mδ Deformación de los elementos por iF
=∆=∆ bm δδ Deformación debido a la carga P
=bP Fracción de P tomado por el perno

53
=mP Fracción de P tomado por los elementos unidos
=bF Carga resultante sobre el perno (tensión)
=mF Carga resultante sobre los elementos (compresión)
=RmF Fuerza de rozamiento de los elementos
=N Número de sujetadores
Figura 5.19: Gráfico de la Fuerza vs. Deformación
La constante de rigidez de un elemento elástico es la relación de la fuerza aplicada
al elemento a la deformación total producida por dicha fuerza.
δ
F
k =
Si elementosperno δδ > mb kk <⇒
Deducción de fórmulas:
Del gráfico anterior, se tiene que:
bib PFF += → (Tensión)
mim PFF −=−)( → (Compresión)
bm PPP += (1)
Además: msRm FF ⋅= µ
k
FF
k =→= δ
δ
Las deformaciones del elemento y del perno son iguales:
m
m
b
b
bm
k
P
k
P
=→∆=∆ δδ

54
Despejando: b
b
m
m P
k
k
P 





= (2)
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1):
P
kk
k
PPP
k
k
P
mb
b
bbb
b
m
⋅





+
=→+





=
Análogamente se obtiene: P
kk
k
P
mb
m
m ⋅





+
=→
Sea C
kk
k
mb
b
=
+ ( ) PCP
PCP
m
b
⋅−=→
⋅=→
1
Reemplazando en las ecuaciones del cálculo de cargas, se tiene:
bib PFF += → PCFF ib ⋅+=
→ ( ) PCFF im ⋅−−=− 1)(
Determinación de fórmulas para calcular mk y bk :
Figura 5.20: Gráfico de Distribución de Presión de la Junta

55
Determinación de bk
δ
F
kb =
EA
lF
⋅
⋅
=δ
l
EA
kb
⋅
=
Determinación de mK
Se tiene troncos de cono que representan dos resortes en serie.
nm kkkkk
1
.........
1111
321
+++= → Constante resultante para varios resortes en
serie.
Para este caso particular, considerando que se trata del mismo material y la misma
geometría, se tiene:
2
11111
21
k
k
kkkkk
m
m
=→+=+=
A continuación se muestra el esquema de un tronco de cono y se realiza el análisis
de un elemento diferencial del mismo:
Figura 5.21: Tronco de cono de Presión
De acuerdo a la Ley de Hooke:
EA
lF
⋅
⋅
=δ
En término diferenciales:
EA
Pdx
d
⋅
=δ
F Fuerza
L Longitud del perno sometido
A Sección del perno
E Módulo de elasticidad

56
( )











 −
+




 +
+=→














−





+=−=
22
22
22
22
dd
x
dd
xA
dd
xrrA
ww
w
io
π
ππ
∫





 −
+




 +
+
⋅
=
2/
0
22
l
ww dd
x
dd
x
dx
E
P
π
δ
Resolviendo esta ecuación se llega a la siguiente relación:
( )( )
( )( )





−++
+−+
⋅⋅
=
ddddl
ddddl
dE
P
ww
ww
ln
π
δ
Donde ddw 5.1≈ ; entonces:
( )
( )





+
+
⋅⋅
=
dl
dl
dE
P
5.2
5.0
5ln
π
δ
En
δ
F
k =
( )
( )





+
+
⋅⋅
=→
dl
dl
dE
k
5.2
5.0
5ln
π
; donde: E → E de los elementos
( )
( )





+
+
⋅⋅
=→=
dl
dl
dE
k
k
k mm
5.2
5.0
5ln2
2
π
Si 21 kk ≠
( )
( )





+
+
⋅⋅
=
dl
dl
dE
k
5.2
5.0
5ln
1
1
1
1
π
;
( )
( )





+
+
⋅⋅
=
dl
dl
dE
k
5.2
5.0
5ln
2
2
2
2
π
21
21
kk
kk
km
+
⋅
=⇒
Precarga (Fi): según pruebas realizadas, se sugiere esté dentro del intervalo:
pip FFF 9.06.0 ≤≤ ; donde: =pF carga de prueba
ptp SAF ⋅= ; Donde:
5885.0
28
18
−→⋅≈



−
−
→
TablaSS
Tabla
Tabla
A
yp
t
(SHIGLEY)
Cuando el sujetador va a trabajar a fatiga se debe elegir el iF más alto dentro del
rango establecido y una rosca muy fina para evitar que se afloje.

57
Torque para subir la carga (apretar)
( )
( ) 2sectan1
sectan
2
c
c
m
s
d
F
d
FT ⋅⋅+
⋅⋅−
⋅+
⋅⋅= µ
αλµ
αµλ
i
i
FF
aprietedetorqueT
→
→
d
dd
dc 25.1
2
5.1
=
+
=
( )
( )






+





⋅⋅−
⋅+
⋅





⋅⋅=
⋅⋅+
⋅⋅−
⋅+
⋅⋅=⇒
c
m
i
ic
m
is
d
d
dF
d
F
d
FT
µ
αλµ
αµλ
µ
αλµ
αµλ
625.0
sectan1
sectan
2
2
25.1
sectan1
sectan
2
Si se iguala la expresión entre corchetes a una constante;
Kcte
d
d
c
m
==+





⋅⋅−
⋅+
⋅





µ
αλµ
αµλ
625.0
sectan1
sectan
2
Entonces se tiene: dFKT ii ⋅⋅=
Se ha determinado, mediante pruebas, que un valor promedio de K es de 0.2, para
15.0== cµµ . Entonces, finalmente se tiene:
dFT ii ⋅⋅= 2.0
5.3.2.1 Diseño Estático
Consideraciones: material → acero dúctil
teoría → energía de la distorsión
esfuerzo → tensión simple
Figura 5.22: Elemento Ordinario Figura 5.23: Círculo de Mohr para Tensión Simple
tt
i
t
i
t
b
x
x
y
A
PC
A
F
A
PCF
A
F
S
n
⋅
+=
⋅+
==
=
σ
σ

58
Donde uty SS , , se encuentran en la Tabla A-17 (Shigley).
PCnASFn
A
PC
A
F
S
n tyi
tt
i
y
⋅⋅−⋅=⋅→





 ⋅
+
=
En la expresión iFn⋅ de la ecuación anterior el valor del factor de seguridad es 1=n ,
porque se considera que se usa torcómetro y por lo tanto no hay incerteza.
Entonces, finalmente se obtiene la ecuación para calcular el factor seguridad para
diseño estático:
PC
FAS
nPCnASF ity
tyi
⋅
−⋅
=→⋅⋅−⋅=
5.3.2.2 Diseño Dinámico
Figura 5.24: Elemento Ordinario
Figura 5.25: Variación de la Carga Externa Vs Tiempo (Carga Repetida)
Figura 5.26: Variación del Esfuerzo Vs Tiempo (Esfuerzo Fluctuante con Precarga)

59
Para el sujetador se tiene: PCFFFF imáxbimínb ⋅+== ;
( )
t
a
t
ii
a
t
mínmáx
a
t
a
a
A
PC
A
FPCF
A
FF
A
F
2
2
2
⋅
=
−⋅+
=
−
=
=
σ
σ
σ
σ
( )
t
i
m
t
ii
m
t
mínmáx
m
t
m
m
A
FPC
A
FPCF
A
FF
A
F
2
2
2
2
+⋅
=
+⋅+
=
+
=
=
σ
σ
σ
σ
Figura 5.27: Gráfico de la Línea de Goodman Modificada
ut
e
m
a
e
m
m
m
S
S
S
S
S
n
+
==
σ
σσ
;





 ⋅+
⋅+
⋅
=
⋅+
=
+
=
t
i
ut
e
t
e
m
ut
e
a
e
m
ut
e
m
a
e
A
PCF
S
S
A
PC
S
S
S
SS
S
S
n
2
2
2
σσσ
σ
σ
e
t
i
ut
e
t
S
A
PCF
S
S
n
A
PC
n =




 ⋅+
⋅⋅+
⋅
⋅→
2
2
2






+⋅⋅⋅−⋅=⋅→ 1
2
1
e
ut
utti
S
S
PCnSAFn
En la expresión iFn⋅ de la ecuación anterior el valor del factor de seguridad es 1=n ,
porque se considera que se usa torcómetro y por lo tanto no hay incerteza.
Finalmente se tiene: 





+⋅⋅⋅−⋅= 1
2
1
e
ut
utti
S
S
PCnSAF

60
Por lo tanto, el factor de diseño sería:
( )






+⋅⋅
−⋅
=
1
2
e
ut
iutt
S
S
PC
FSA
n
El límite de resistencia a la fatiga para un elemento sometido a esfuerzos axiales es:
Donde: uce SS 314.02.19' += si KpsiSuc 60≥ (fatiga axial)
ak → Figura 7-10 (Manual de Shigley)
bk → 1=bk (se considera en el cálculo de Se’)
ck → Tabla 7-7 (Manual de Shigley)
dk → 1=dk (si CT º450≤ )
ek →
f
e
K
k
1
= ; fK : Tabla 8-6 (Manual de Shigley)
fk → 1=fk (no se tiene información)
5.3.3 JUNTAS CON EMPAQUETADURA
El empaque no confinado de una junta esta sujeto a la carga de compresión total
entre las piezas, su rigidez predomina y por lo tanto las características de la
empaquetadita gobierna el diseño de la conexión. La Tabla 8-7 (Manual de Shigley)
proporciona el módulo de elasticidad necesario para evaluar algunos tipos de
materiales de empaquetaduras. Como los valores del módulo de elasticidad de estos
empaques son en general pequeños en comparación con los de los metales, esto
significa que la rigidez de las partes de metal (de dichos elementos) se puede
considerar infinito, por lo que solo necesita utilizarse la rigidez del empaque como km,
como se indica a continuación:
Figura 5.28: Empaque que recibe toda la carga de compresión de los elementos.
Figura 5.29: Empaque confinad, no recibe toda la presión de los elementos.
PCFF ib ⋅+=
( ) PCFF im ⋅−+−= 1

61
Donde: pip FFF 9.06.0 ≤≤ ; =pF carga de prueba
ptp SAF ⋅= ;
5885.0
28
18
−→⋅≈



−
−
→
TablaSS
Tabla
Tabla
A
yp
t
(SHIGLEY)
mb
b
kk
k
C
+
=
l
EA
kb
⋅
=
321
1111
kkkkm
++=
Como
23
21
kk
kk
>>
>>







≈
≈
⇒
0
1
0
1
3
1
k
k
22
1
0
1
0
1
kkkm
=++= 2kkm =⇒
Además, ya se dedujo que:
( )
( )





+
+
⋅⋅
=
dl
dl
dE
km
5.2
5.0
5ln2
π
En las juntas con empaquetadura se utilizan las mismas ecuaciones que se
dedujeron para el caso de juntas con empaquetaduras confinadas, que se indican a
continuación:
5.3.3.1 Diseño Estático
PC
FAS
nPCnASF ity
tyi
⋅
−⋅
=→⋅⋅−⋅=
5.3.3.2 Diseño Dinámico






+⋅⋅⋅−⋅=⋅→ 1
2
1
e
ut
utti
S
S
PCnSAFn
( )






+⋅⋅
−⋅
=
1
2
e
ut
iutt
S
S
PC
FSA
n
5.3.3.3 Condiciones de empaques
Una junta con empaque debe satisfacer las condiciones de precarga de presión
mínima de sellado, y de distribución de la presión del empaque con los sujetadores.
a) La precarga debe ser grande para satisfacer la relación:
0pAF git ⋅≥
itF Precarga total de los sujetadores
gA Área de empaquetadura
0p Presión mínima de sellado (dato del fabricante)

62
b) La compresión del empaque debe ser lo suficientemente grande para
satisfacer la relación:
pmAF gmt ⋅⋅≥
mtF Compresión total del empaque
gA Área de empaquetadura
m Factor, varía entre 2 y 4
p Presión total del cilindro
c) Distancia entre sujetadores, la distribución de los sujetadores debe estar
separada de acuerdo a la distancia S.
dN
D
S
dS
e
⋅
⋅
=
≤
π
10
Figura 5.30: Vista de la Distribución de los Sujetadores
5.3.4 RESISTENCIA A LA FATIGA PARA LOS SUJETADORES
fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,
Según pruebas en la máquina de carga axial se determina el límite de resistencia a
la fatiga de la probeta como se indica:
160314.02.19,
=→>→+= be kKpsiSucSiSucS
Para material dúctil: SutSuc ≈
)(107. ShigleyFigka −→
)(77 ShigleyTablakc −→
( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840*103.2-1
C550ºTC450ºSi450*105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅=
≤<−⋅=
≤=
f
e
K
k
1
= ; )(68 ShigleyTablaK f −→
1=fk

63
5.3.5 CORTANTE EN PERNOS Y REMACHES
En el presente tema se estudiará los sujetadores que están sometidos a cargas
cortantes y momentos flexionantes, a continuación se presenta una viga sometida a
carga excéntrica y flexionante, se fija a un miembro vertical por medio de pernos, es
estáticamente indeterminada, empotrada con reacciones M y V, en el centroide O del
grupo de sujetadores, y se supondrá que todos los pernos son del mismo diámetro.
Figura 5.31: Esquema del conjunto viga y el soporte
Figura 5.32: Diagrama de cuerpo libre de la viga
La carga total tomada por cada uno de los pernos se calculará en tres pasos:
Primer paso.- La carga cortante total V, se divide en partes iguales entre los pernos
como se indica en la siguiente fórmula:
n
V
FFFFF nDCBA ====== ,,,,,
........
n Número de pernos.
Segundo paso.- La carga del momento total se relaciona de la siguiente manera:
• ...,,,,,,,,
++++= DDCCBBAA rFrFrFrFM
• La carga que recibe cada perno depende de la distancia al centroide, a
mayor distancia mayor carga, por lo tanto se puede relacionar de la siguiente
manera; la carga con su radio:
...
,,,,,,,,
+++=
D
D
C
C
B
B
A
A
r
F
r
F
r
F
r
F

64
• Resolviendo :
...2222
,,
++++
=
DCBA
rn
n
rrrr
M
F
Figura 5.33: Diagrama de cuerpo libre de los pernos
Tercer paso.- Las cargas de cortante y de momento de cada perno se suman
vectorialmente para obtener la resultante individual de estos, y así obtener la carga
crítica que será la que sirva para el diseño.
Figura 5.34: Diagrama de cuerpo libre de las resultantes

65
CENTROIDE
∑
∑
=
++++
++++
= n
i
n
ii
A
xA
AAAA
xAxAxAxA
x
1
1
4321
44332211
__
....
.....
∑
∑
=
++++
++++
= n
i
n
ii
A
yA
AAAA
yAyAyAyA
y
1
1
4321
44332211
__
....
.....
Figura 5.35: Centroide de Grupos de Pernos
5.3.6 UNIONES ATORNILLADAS Y REMACHADAS CON CARGA DE
ESFUERZO CORTANTE
Las uniones atornilladas y las juntas remachadas con carga cortante se tratan
exactamente igual al diseñarlas y analizarlas, en la figura se indica una unión con un
remache cargado al cortante, el remache puede fallar por flexión, por corte directo y
por aplastamiento.
Figura 5.36: Junta Remachada con carga cortante
a) Carga de flexión:
cI
tF
tF
M
cI
M
/2
2
/
⋅
=
⋅
=
=
σ
σ

66
b) Carga cortante:
A
F
=τ
A Área trasversal de todos los remaches del grupo.
c) Aplastamiento del remache:
dtA
A
F
⋅=
=σ
Donde:
t Espesor de la placa más delgada
5.3.6.1 Diseño Estático y Diseño Dinámico
Para diseñar estáticamente y dinámicamente los sujetadores que se utilizan en
uniones atornilladas y remachadas, deberá seguirse las reglas para estos tipos de
diseño, como esfuerzos individuales y no como combinados, estudiados en los
capítulos anteriores.

67
5.4.1 EJERCICIO 7 (Tornillo de Potencia)
Un tornillo de potencia de rosca cuadrada tiene 6 hilos por pulgada, es de doble filete.
Su diámetro mayor es de 1 pulg, y su aplicación es similar a una prensa. Además se
conoce que
gplhtornillolbFgpldm tuercacollaríncollarínfilete 3/2;/1500;25.1;08.0 ===== µµ ; y que los
materiales son acero UNS G10100HR y ASTM No. 20, para el tornillo y para la tuerca
respectivamente.
Se pide determinar:
a) El paso, la profundidad de rosca, el ancho de la rosca, el diámetro menor, el
diámetro medio y el avance.
b) El torque para subir la carga.
c) El torque para bajar la carga.
d) La eficiencia mínima.
e) El factor de diseño.
SOLUCIÓN:
lg
6
11
lg
6
pu
N
p
pu
hilos
N
==
=

68
a)
Ancho= Profundidad= lg
12
1
2
pu
p
=
lg9167.0
12
1
1
2
pu
p
ddm =−=−=
gpulpnl
gpulpddr
333.0
6
1
2
8333.0
6
1
1
=⋅=⋅=
=−=−=
b)
( )
( )
( )
( )
)(21175136
2
25.1
150008.0
333.008.09167.0
333.09167.008.0
2
9167.0
1500
22
gpullbT
T
d
F
ld
ldd
FT
s
s
c
c
m
mm
s
⋅=+=
⋅⋅+
⋅−⋅
+⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅+
⋅−⋅
+⋅⋅
⋅⋅=
π
π
µ
µπ
πµ
c)
( )
( )
( )
( )
)(6.50754.24
2
25.1
150008.0
333.008.09167.0
333.09167.008.0
2
9167.0
1500
22
gpullbT
T
d
F
ld
ldd
FT
s
s
c
c
m
mm
b
⋅=+−=
⋅⋅+
⋅+⋅
−⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅+
⋅+⋅
−⋅⋅
⋅⋅=
π
π
µ
µπ
πµ
El tornillo no es autobloqueante ya que el torque para vencer el rozamiento de la
rosca es negativo (-24.4 lb·pulg).
d)
377.0
2112
333.01500
2
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
π
π
e
T
lF
e
e)
Esfuerzos:
TUERCA TORNILLO
Corte
)lg(05.1
6
2
1 2
puA =⋅⋅= π
)(6.1428
05.1
1500
psi==τ
)lg(87.0
6
2
8333.0 2
puA =⋅⋅= π
)(1724
87.0
1500
psi==τ
Compresión
)lg(96.0
6/1
3/2
)8333.01(
4
1 222
puA =−⋅= π
( ) )(5.1562
96.0
1500
psi==−σ
)lg(96.0 2
puA =
( ) )(5.1562 psi=−σ

69
Resistencias:
Tornillo
T-A17 (Shigley)
UNS G10100HR: Sy= 26 (Kpsi), Sut= 47 (Kpsi)
Tuerca
T-A21 (Shigley)
ASTM No. 20: Sut= 22 (Kpsi), Suc= 83 (Kpsi)
DISEÑO ESTÁTICO (Relación esfuerzo-resistencia)
ELEMENTO TUERCA TORNILLO
Corte
TEORÍA
4.15
6.1428
22000
==
=
n
Sut
n
xyτ
TEORÍA
7.8
1724
26000577.0
577.0
=
⋅
=
⋅
=
n
S
n
xy
y
τ
T.C.M.M. T.E.D.
Compresión
12.53
5.1562
83000
==
=
n
Suc
n
xσ
64.16
5.1562
26000
==
=
n
S
n
x
y
σ
Conclusión:
El tornillo y la tuerca están sobre dimensionados, y como puede verse la tuerca tiene
factores de diseño más alto que el tornillo, lo que no es común en este tipo de
diseño.

70
5.4.2 EJERCICIO 8 (Sujetadores)
La figura es un cilindro resistente a presión y debe utilizarse un total de N pernos
para resistir una fuerza de separación de 0 a 36 (Klb), utilícese un n=3, y determine
la Fi apropiada del perno y el N mínimo requerido para una confiabilidad del 50%, y
una rosca pulida.
Datos:
n = 3
Confiabilidad = 50%
Rosca pulida
KlbPt 36=
Fi = ?
N mínimo de pernos = ?
Solución:
Determinación del límite de resistencia del elemento:
fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅= ,
Tabla 8-5: para Grado SAE 4 KpsiSut 115= ; KpsiSp 65= ; KpsiSy 100=
Según pruebas axiales:
( ) KpsiSucSe 31.5511534.02.19314.02.19,
=+=+= → 1=bk
SucSut = , para materiales dúctiles
Figura 7-10: 1=ak , (pulido)
1=ck , (50% de confiabilidad)
1=dk , (T<450ºC)
Tabla 8-6: Roscas laminadas→ 3=fK
333.0
1
==
f
e
K
k
1=fk , (No hay información)
( ) KpsikSS eee 4.1831.55333.0,
==⋅=

71
Determinación de la relación de rigidez C:
mb
b
KK
K
C
+
=
Rigidez de los pernos:
Tabla A-18, Acero de alta resistencia
PsiE 6
1030×=
lg5.1
4
3
4
3
pul =+=
lg625.0 pud =
( )
( ) lg
1013.6
5.14
1030625.0
4
6
622
pu
lb
l
Ed
l
EA
Kb ×=
×⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅
=
ππ
Rigidez de los elementos:
Tabla A-21, Hierro fundido Núm. 25
KpsiE 8.145.11 −=
PsiE 6
1012×≈
lg
1086.10
625.05.25.1
625.05.05.1
5ln2
625.01012
5.2
5.0
*5ln2
6
6
pu
lb
dl
dl
dE
Km ×=












⋅+
⋅+
⋅
⋅×⋅
=




+
+
⋅⋅
=
ππ
361.0
86.1013.6
13.6
=
+
=C
Tabla 8-2: Para 2
lg226.011lg
8
5
puAUNCpu t =→−
Por lo tanto:
)(1
4.18
115
2
336361.0
115226.0
1
2
Klb
N
F
Se
Sut
N
nPC
SutAF
i
t
ti






+
⋅⋅
−⋅=






+
⋅⋅
−⋅=
)(
3.141
99.25 Klb
N
Fi −=
Tabla de valores:
N 6 8 9 10 12
Fi (klb) 2.44 8.32 10.29 11.86 14.21
Los valores de la tabla se contrastan con el rango que establece la precarga:
pip FFF 9.06.0 ≤≤
( ) KlbSAF ptp 69.1465226.0 ==⋅=
( ) ( )
( ) ( ) KlbFmáxF
KlbFmínF
pi
pi
22.1369.149.09.0
81.869.146.06.0
===
===
KlbFklb i 22.1381.8 ≤≤

72
Se elige una solución:
KlbF
pernosN
i 86.11
10
=
=
pernoporKlb
N
P 6.3
10
3636
===
Torque de apriete:
lg)(1475625.086.112.02.0 pulbdFT ii −=⋅⋅=⋅⋅=

73
5.4.3 EJERCICIO 9 (Sujetadores)
Un recipiente de presión debe sellarse empleando un empaque de asbesto con una
presión mínima de sellado de 11 MPa. Empleando tornillos de maquinaria de 14 mm
de diámetro y se sabe que solo la mitad de la profundidad del agujero entran los
tornillos, el cilindro tiene presión interior de 2000 KPa, y un factor de seguridad de
1,5.
a) Cuantos tornillos N de maquinaria ASTM A-325 tipo 2 deben utilizarse para
impedir una falla por fatiga con confiabilidad del 90%.
b) Comprobar los requisitos de sellado.
Datos:
MPap 110 =
KPap
mmd
2000
14
=
=
5.1=n
SOLUCIÓN:
a) Cuantos tornillos N de maquinaria ASTM A-325 tipo 2 deben utilizarse para
impedir una falla por fatiga con confiabilidad del 90%.






+
⋅⋅
−⋅= 1
2 Se
Sut
N
nPC
SutAF t
ti
• Rigidez del tornillo
mmlAgarre 5.255.7315 =++==
( )
( ) m
MN
l
Ed
l
EA
Kb 1250
5.254
20714
4
22
=
⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅
=
ππ
• Rigidez del empaque
mmlAgarre 3==
Tabla 8-7: Para empaque de asbesto → MPaE 480=

74
m
MN
dl
dl
dE
Km 5.38
145.23
145.03
5ln2
)10(14480
5.2
5,0
5ln2
3
=












⋅+
⋅+
⋅
⋅⋅⋅
=




+
+
⋅
⋅⋅
=
−
ππ
97.0
5.381250
1250
=
+
=
+
=
mb
b
KK
K
C
Cálculo de la carga total:
KNpAPT 7.15
)10(4
2000)100(
6
2
=
⋅
=⋅=
π
Determinación del límite de resistencia del elemento:
fedcbaee kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,
Tabla 8-5 para ASTM A-325 tipo 2
( ) MPaKpsiSut 82789.6120120 ===
MPaKpsiSp 586)89.6(8585 ===
MPaKpsiSy 88.633)89.6(9292 ===
Según pruebas axiales:
( ) ( ) MpaKpsiSucSe 39212088.5688.56120314.02.19314.02.19,
===+=+= → 1=bk
Figura 7-10: 1=ak , (pulido)
Tabla 7-7: → %90897.0 == Rparakc
1=dk , (T<450ºC)
Tabla 8-6: Roscas laminadas→ 3=fK
333.0
1
==
f
e
K
k
1=fk , (No hay información)
( )( ) MpakkSS ecee 117333.0897.0392,
==⋅⋅⋅=
Tabla 8-1 → 2
115mmAt = para paso 2mm






+
⋅⋅
−⋅= 1
2 Se
Sut
N
nPC
SutAF T
ti
Reemplazando en la fórmula los datos:
( )( )
( )KN
N
F
KN
N
F
i
i
2.92
1.95
)(1
117.0
827.0
2
7.155.197.0
827.0115
−=






+−⋅=
Tablas de valores:
N 8 6 4 3 2
Fi (KN) 83.6 79.7 72.4 64.4 49
Los valores de la tabla se contrastan con el rango que establece la precarga:
pip FFF 9.06.0 ≤≤
( ) KNSAF ptp 4.67586.0115 ==⋅=

75
( ) ( )
( ) ( ) KNFmáxF
KNFmínF
pi
pi
7.604.679.09.0
4.404.676.06.0
===
===
KNFKN i 7.604.40 ≤≤
Se elige una solución:
La solución por resistencia sería suficiente con dos tornillos, pero resulta absurda ya
que no se puede distribuir adecuadamente la presión para el empaque, además
debe cumplir con las tres condiciones de empaque.
Por consiguiente se utiliza un método iterativo de prueba con N= 6 tornillos y se elige
del rango una precarga KNFi 50= :
a)
0pAF git ⋅≥
( ) KNFNF iit 300506 ==⋅=
( )
( ) 23
2
22
2
22
109.25
4
146
100210
4
44
mmA
dN
DDA
g
ig
×=
⋅⋅
−−=
⋅⋅
−−=
ππ
ππ
( ) KNpAg 9.284011.0109.25 3
0 =×=⋅
Por lo tanto se cumple la primera condición, ya que 300KN>284.9KN.
b)
pmAF gmt ⋅⋅≥
( ) itTmt FCPF −−= 1
( ) KNFmt 5.29930097.017.15 −=−−=
Si 2=m
( )( ) KNpmAg 6.1031020002109.25 63
=××=⋅⋅ −
Por lo tanto se cumple la segunda condición, ya que 299.5KN>103.6KN.
c)
dN
D
S
dS
e
⋅
⋅
=
≤
π
10
dS 99.5
146
160
=
⋅
⋅
=
π
Por lo tanto se cumple la tercera condición, ya que 5.99d<10d.
CONCLUSIÓN: La solución es satisfactoria para N=6 y KNFi 50= .

76
Recalculando los factores de diseño:
Fatiga:






+
⋅⋅
−⋅= 1
2 Se
Sut
N
nPC
SutAF T
ti
( )
( )
4.4
1
117.0
827.0
62
7.1597.0
827.011550
=






+
⋅
−⋅=
n
n
Estático:
( )
( )
49.1
7.1597.0
50633.0115
=
−
=
⋅
−⋅
=
⋅⋅−⋅=
PC
FSA
n
nPCSAF
iyt
yti

77
5.4.4 EJERCICIO 10 (sujetadores-ménsula)
La figura muestra una ménsula soldada de acero que soporta una carga F de 1250
lb, con los sujetadores de 516
8
3
,,
gradoSAEUNC −− , los sujetadores superiores
absorben toda la carga del momento flector y los sujetadores inferiores toda la carga
del cortante directo, la ménsula se fijará a una superficie vertical de acero liza que
proporciona a los sujetadores un agarre de "
2
1
. Se pide determinar El factor de
diseño de los sujetadores superiores e inferiores.
SOLUCIÓN:
Diagrama de cuerpo libre de la ménsula.
Cálculo de las cargas en cada sujetador:
0=Σ CM
lbFT
TF
2000
5
8
58
==
⋅=⋅
Carga cada tornillo superior lb
T
1000
2
==
0=ΣFv
lbFV 1250==
Carga cada tornillo inferior lb
V
625
2
==

78
Diseño estático de los tornillos superiores:
Los sujetadores superiores están sometidos a tensión simple, por lo tanto se
diseñará con el procedimiento de la teoría de falla en tensión simple.
nPCSAF yti ⋅⋅−⋅=
Rigidez del tornillo
lg1"
2
1
"
2
1
pulAgarre =+==
Tabla A-18, para acero → PsiE 6
1030×≈
( )
( ) lg
10313.3
"14
1030"8/3
4
6
622
pu
lb
l
Ed
l
EA
Kb ×=
×⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅
=
ππ
Rigidez de los elementos:
lg1pul =
Tabla A-18, para acero → PsiE 6
1030×≈
lg
1078.15
375.05.21
375.05.01
5ln2
375.01030
5.2
5.0
*5ln2
6
6
pu
lb
dl
dl
dE
Km ×=












⋅+
⋅+
⋅
⋅×⋅
=




+
+
⋅⋅
=
ππ
174.0
78.15313.3
313.3
=
+
=C
Selección de la precarga iF :
Tabla 8-5 para 516
8
3
,,
gradoSAEUNC −− :
KpsiSut 120=
KpsiSp 85=
KpsiSy 92=
Tabla 8-2 → 2
lg0775.0 puAt =
pip FFF 9.06.0 ≤≤
( ) KlbSAF ptp 588.6850775.0 ==⋅=
( ) ( )
( ) ( ) KlbFmáxF
KlbFmínF
pi
pi
929.5588.69.09.0
953.3588.66.06.0
===
===
KlbFKlb i 929.5953.3 ≤≤
Precarga elegida KlbFi 5=

79
( )
( )
24.12
1174.0
5920775.0
=
−
=
⋅
−⋅
=
⋅⋅−⋅=
PC
FSA
n
nPCSAF
iyt
yti
Diseño estático de los tornillos inferiores:
Los sujetadores inferiores están sometidos a corte directo, aplastamiento y flexión,
por lo que se utilizará las teorías individuales para esfuerzos puros.
Corte puro
( )
( )
psi
d
F
A
F
xy 2122
375.0
62544
22
==
⋅
⋅
==
ππ
τ
( ) 25
2122
92000577.0577.0
====
xy
y
xy
SSsy
n
ττ
Aplastamiento
( )
psi
dt
F
A
F
x 3333
375.05.0
625
==
⋅
==σ
6.27
3333
92000
===
x
yS
n
σ
Flexión
( )( )
( )
psi
d
tF
cI
tF
I
Mc
x 60361
375.0
5.06253232
/ 33
==
⋅
⋅
=
⋅
==
ππ
σ
52.1
60361
92000
===
x
yS
n
σ

80
La ménsula de acero indicada soporta una carga F como se indica en la figura, que
varía de 0 a 1000 Kg, la ménsula se sujeta sobre una superficie vertical de acero con
un coeficiente de fricción a determinar, con cuatro pernos. Se pide seleccionar los
pernos para un factor de seguridad dentro del siguiente rango 2 ≤ n ≤3, los pernos
son montados con holgura como se indica.

81
B
B
A
A
Y
T
Y
T
=
)1(5
50250
BA
BA
TT
TT
=→=
KgFV
Fy
1000
0
==
=∑
∑ ozM =0
)1000(105
)500()250()50(
=+
=+
AB
AB
TT
FTT
)2(100005 =+ AB TT
)2()1( en
10000)5(5 =+ BB TT
1000025 =+ BB TT
1000026 =BT
Kg
T
KgT B
B 3.192
2
615.384
26
10000
=→==
Kg
T
KgT A
A 5.961
2
1923)3.192(5 =→==
mmr 27.180100150 22
=+=
º69.33
150
1001
=





= −
tgα

82
Kg
V
F 250
4
1000
4
´ ===
º31.56º69.33º90 =−=β
KgF
KgSenF
KgCosF
C
Cy
Cx
60.13891.7631.115
91.-76250)º31.56(02.208
31.115)º31.56(02.208
2
=+=
=−=
==
2
Kg
r
M
r
rM
rrrr
rM
F 02.208
)27.180(4
150000
44
" 22222
===
⋅
=
+++
⋅
=

83
KgF
Sen (56.31º) -F
CosF
C
Ay
Ax
53.43808.42338.115
-423.08250.-208.02
.-115.38 Kg)º31.56(.02.-208
22
=+=
==
==
Kg
KgF
KgCosF
KgSenF
C
By
Bx
53.43808.423.38.115
.-423.08250)º69.33(.02.-208
38.115)º69.33(02.208
22
=+=
=-=
==

84
CONCLUSIÓN
Los pernos críticos están cargados con 438.53Kgx9.8=4.29KN, esta fuerza debe ser
soportada por la fuerza de rozamiento originada por la fuerza de compresión de los
elementos y el rozamiento µ⋅= mr FF .
FATIGA A TENSIÓN
Los pernos críticos a tensión se encuentran en la parte superior con una carga
KNKg
T
P A
42.98.95.961
2
=×==
( )






+⋅⋅
−⋅
=
1
2
e
ut
iutt
S
S
PC
FSA
n
KgF
KgCosF
KgSenF
C
Dy
Dx
60.13891.7938.115
91.-79250)º69.33(02.208
38.115)º69.33(02.208
22
=+=
=−=
==

85
Primer intento
Se prueba con un perno M14x2 Grado SAE 5.2
2
115)(18
92
85
120
)(58
mmAShigleyTabla
KpsiS
KpsiS
KpsiS
ShigleyTabla
t
y
p
ut
=→−





=
=
=
→−
mb
b
kk
k
C
+
=
( ) ( )( )
( ) m
KN
l
d
l
EA
Kb 82.795474
404
89.63000014
4
22
==
⋅
=
⋅
=
ππ
( )
( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
m
KN
dl
dl
dE
km 92.980019´3
145.240
145.040
5ln2
1489.630000
5.2
5.0
5ln2
=






+
+
=






+
+
⋅⋅
=
ππ
17.0
92.980019´382.795474
82.795474
=
+
=C
pi FFFp 9.06.0 ≤≤
( )( ) KNSAF ptp 35.671011589.685 3
=×=⋅= −
KNFKN i 61.6041.40 ≤≤
KNFSi i 61.60= , la máxima precarga para que haya una mayor fuerza de
compresión en los elementos y por lo tanto mayor rozamiento.
( ) ( ) KNPCFF im 79.5242.917.0161.601 −=−+−=⋅−+−=
17.094.879.52 >→>⋅ µµ KN
ecbaee kkkkSS ⋅⋅⋅⋅= ,
160314.02.19,
=→>→+= be kKpsiSutSiSutS
( ) ( ) MpaKPsiSe 9.39189.688.56120314.02.19,
==+=
72.0)(107. =→− akShigleyFig
1)(77 =→− ckShigleyTabla
f
e
k
k
1
=
3
1
3)(68 =→=→− ef kkShigleyTabla
( ) KPsiSe 65.13
3
1
72.088.56 =





=
( ) 4.4
1
65.13
120
42.917.0
61.601089.61201152 3
=






+⋅⋅
−×⋅⋅
=
−
n

86
Segundo intento
Se prueba con un perno M14x2 Grado SAE 2
2
115)(18
57
55
74
)(58
mmAShigleyTabla
KpsiSy
KpsiSp
KpsiSut
ShigleyTabla
t =→−





=
=
=
→−
mb
b
kk
k
C
+
=
( ) ( )( )
( ) m
KN
l
d
l
EA
Kb 82.795474
404
89.63000014
4
22
==
⋅
=
⋅
=
ππ
( )
( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
m
KN
dl
dl
dE
km 92.980019´3
145.240
145.040
5ln2
1489.630000
5.2
5.0
5ln2
=






+
+
=






+
+
⋅⋅
=
ππ
17.0
92.980019´382.795474
82.795474
=
+
=C
pi FFFp 9.06.0 ≤≤
( )( ) KNSAF ptp 58.431011589.655 3
=×=⋅= −
KNFKN i 22.3915.26 ≤≤
( ) ( ) KNPCFF im 4.3142.917.0122.391 −=−+−=⋅−+−=
28.094.84.31 >→>⋅ µµ KN
160314.02.19,
( ) ( ) MpaKPsiSe 38.29289.644.4274314.02.19,
==+=
f
e
k
k
1
=
2.2
1
2.2)(68 =→=→− ef kkShigleyTabla
( ) KPsiSe 05.15
2.2
1
78.044.42 =





=
( ) 1.4
1
05.15
74
42.917.0
22.391089.6741152 3
=






+⋅⋅
−×⋅⋅
=
−
n

87
Tercer intento
Se prueba con un perno M10x1.5 Grado SAE 2
2
58)(18
57
55
74
)(58
mmAShigleyTabla
KpsiSy
KpsiSp
KpsiSut
ShigleyTabla
t =→−





=
=
=
→−
mb
b
kk
k
C
+
=
( ) ( )( )
( ) m
KN
l
d
l
EA
Kb 5.405854
404
89.63000010
4
22
==
⋅
=
⋅
=
ππ
( )
( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
m
KN
dl
dl
dE
km 63.614803´2
105.240
105.040
5ln2
1089.630000
5.2
5.0
5ln2
=






+
+
=






+
+
⋅⋅
=
ππ
13.0
63.614803´25.405854
5.405854
=
+
=C
pi FFFp 9.06.0 ≤≤
( )( ) KNSAF ptp 98.21105889.655 3
=×=⋅= −
KNFKN i 78.1919.13 ≤≤
( ) ( ) KNPCFF im 58.1142.913.0178.191 −=−+−=⋅−+−=
Debe ser: 77.094.858.11 >→>⋅ µµ KN , por lo que este rozamiento es imposible y
el montaje también, en conclusión se debe adoptar otro sistema de montaje.
160314.02.19,
( ) ( ) MpaKPsiSe 38.29289.644.4274314.02.19,
==+=
f
e
k
k
1
=
2.2
1
2.2)(68 =→=→− ef kkShigleyTabla
( ) KPsiSe 05.15
2.2
1
78.044.42 =





=

88
( ) 7.2
1
05.15
74
42.913.0
78.191089.674582 3
=






+⋅⋅
−×⋅⋅
=
−
n
DISEÑO ESTÁTICO
PC
FAS
n ity
⋅
−⋅
=
45.2
42.913.0
78.19105889.657 3
=
⋅
−×⋅⋅
=
−
n
CONCLUSIÓN FINAL
Se aconseja el siguiente montaje para la ménsula, en los pernos superiores con
holgura (a tensión) y en los inferiores sin holgura (a corte). El cálculo queda como
ejercicio propuesto para el estudiante.

89

90
CAPÍTULO 6
DISEÑO DE RESORTES
6.1INTRODUCCIÓN
Los resortes mecánicos se utilizan en las máquinas para ejercer fuerzas,
proporcionar flexibilidad, almacenar o absorber energía.
Clasificación
( )

















⋅
⋅
⋅
⋅
⋅



⋅
⋅
⋅
)(
cos
,:
bellevillemuellearandeladeForma
relojtipoMuelles
Elípti
Cantilever
Planos
cuadradayngularrectaSección
circularSección
torsiónytensióncompresióngascarparaalambredeesHelicoidal
ESORTESR
En el presente capítulo se estudiarán los resortes helicoidales de compresión, de
tensión y de torsión.
6.2RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN
6.2.1 ESFUERZOS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN
La figura que se encuentra a continuación indica un resorte helicoidal de compresión
hecho de alambre redondo cargado con una fuerza axial F.
Figura 6.1: Resorte helicoidal con carga axial.
Figura 6.2: Diagrama de cuerpo libre que indica
que el alambre queda sometido a cortante
directo y a cortante torsional.

91
Definición de términos
resortedelnteConstak
WahldecorreccióndeFactorK
ntecortaesfuerzodelaciónmultliplicdeFactorK
resortedelÍndiceC
resortedelalambredelDiámetrod
resortesobregaCarF
resortedelinactivasespirasdeNúmeroN
resortedelespirasdetotalNúmeroN
resortedelactivasespirasdeNúmeroN
resortedellibreLongitudL
resortedelmedioDiámetroD
resortedelnterioriDiámetroD
resortedelexteriorDiámetroD
s
D
T
f
i
e
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
A continuación se indica cualquier sección del resorte de compresión, en la cual se
representan los esfuerzos existentes debido a la fuerza axial F de compresión.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.3: Esfuerzos en cualquier sección del resorte de compresión debido a la fuerza axial de
compresión.
a) Esfuerzos debido a la torsión (T)
b) Esfuerzos debido al corte directo (F)
c) Suma de esfuerzos en el interior y el exterior de la sección
d) Resultante total de los esfuerzos sin concentración y con concentración de esfuerzos

92
6.2.2 Deducción de Fórmulas
Punto Crítico.- De acuerdo a la sección crítica analizada anteriormente con sus
respectivos esfuerzos, se puede establecer que el punto crítico es en el interior del
alambre, donde se presenta el máximo esfuerzo cortante.
Figura 6.4: Elemento ordinario de esfuerzo
4
32
2
2
2
4
d
A
d
J
d
r
DF
T
π
π
=
=
=
⋅
=






+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
dDd
DF
d
F
d
DF
d
F
d
T
xy
xy
xy
5.0
1
8
48
416
3
23
23
π
τ
ππ
τ
ππ
τ
3
3
8
5.0
1
5.0
1
8
126
d
FD
k
C
K
Cd
DF
C
d
D
C
sxy
s
xy
π
τ
π
τ
⋅
⋅=
+=






+
⋅
⋅
=
≤≤
=
Esfuerzo por el efecto de curvatura.- El efecto de curvatura origina un
concentrador de tensiones en el interior del alambre del resorte, el mismo que
aumenta los esfuerzos, como puede verse en la figura siguiente.
Figura 6.5: Resultante total de los esfuerzos sin concentración y con concentración de esfuerzos
)( fatigahaycuandoexisteCurvaturaporFactorK
WahldecorreccióndeFactorK
ntecortaesfuerzodelaciónmultliplicdeFactorK
c
s
=
=
=

93
s
c
s
cs
K
K
K
C
K
CC
C
K
d
D
C
KKK
=
+=
+
−
−
=
=
⋅=
5.0
1
615.0
44
14
Constante del resorte K
γ
F
K =
Donde:
cortearesortedelMóduloG
corteandeformaciódeEnergíaU
resortedelnDeformació
=
=
=γ
ND
Gd
K
d
J
Gd
NDF
F
U
D
FT
Gd
NDF
U
NDl
JG
lT
U
⋅
⋅
=⇒
⋅
=
⋅
⋅⋅
=
∂
∂
=
⋅=
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅=
⋅
⋅
=
3
44
4
3
4
32
2
832
8
2
4
2
π
γ
π
Tipos de asientos para resortes
Figura 6.6: Tipos de asientos para resortes
a) Extremos Simples. ND = ½
b) Extremos Cerrados. ND = 1
c) Extremos Cerrados y Aplanados. ND = 2
d) Extremos Simples y Aplanados. ND = 1
DT NNN −=

94
6.2.3 CÁLCULO DE RESISTENCIAS PARA MATERIALES DE LA TABLA 10-1
(SHIGLEY)
Los resortes se manufacturan mediante procesos de trabajo en frío o en caliente,
dependiendo del tamaño del material, se dispone de muy diversos materiales para
diseños de resortes, incluso los aceros al carbono simples, aleados y resistentes a la
corrosión, así como materiales no ferrosos, como bronce fosforado, latón para
resortes, cobre, berilio y diversas aleaciones de níquel. En la Tabla 10-1 de Shigley
se tienen descripciones de los aceros más comúnmente utilizados, los cuales para
determinar su resistencia se utiliza las siguientes fórmulas:
m
d
A
Sut =
Los valores de mA, se encuentran en la Tabla 10-2 de SHIGLEY.
SutSy ⋅= 75.0
Aplicando la teoría de la energía de la distorsión: SySsy 577.0=
utu SSs ⋅= 6.0
Donde: cortealúltimaesistenciaRSsu =
Nota: Las resistencias para los demás materiales se encuentran en las tablas del
apéndice (Shigley).
El resorte helicoidal de compresión se encuentra sometido a esfuerzos cortantes
puros.
Cálculo de esfuerzos
Figura 6.8: Según el círculo de Mohr para corte puro

95
Según el círculo de Mohr para corte puro, se tiene:
331
8
d
DF
Ksxy
π
τσσ
⋅
⋅===
Cálculo de resistencias:
mut
d
A
S = ; uty SS ⋅= 75.0
Relación esfuerzos resistencia
Figura 6.9: Gráfico de la teoría de falla (Energía de la distorsión)
τ
ySs
n =
Para elementos de material dúctil, con la Teoría de la energía de la distorsión se
tiene:
3
8
577.0
d
DF
K
SSs
sxy
yy
π
τ
⋅
⋅=
⋅=
Entonces, el factor de seguridad para diseño estático es:
3
8
577.0
d
DF
K
S
n
s
y
⋅
⋅
⋅
⋅
=
π
Para el diseño dinámico se tiene básicamente dos posibilidades de variar el
esfuerzo. A continuación se indica el elemento ordinario de esfuerzos y las posibles
variaciones del esfuerzo.

96
( )
( )
2
2
mínmáx
a
mínmáx
m
ττ
τ
ττ
τ
−
=
+
=
Cálculo de resistencias.
fedcbaee kkkkkkSsSs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= '
Donde: MPakpsiSse 31045' == para resortes graneados.
MPakpsiSse 4655.67' == para resortes no graneados.
Estos resultados son válidos para todos los aceros de resorte de la Tabla 10-2 de
Shigley. No se corrigen por acabado de superficie y tamaño, pero sí por
confiabilidad, temperatura o concentración de esfuerzos.
1=== fba kkk edcee kkkSsSs ⋅⋅⋅=⇒ '

97
Los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
ck → Tabla 7-7 de Shigley
dk → ( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840103.2-1
C550ºTC450ºSi450105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅⋅=
≤<−⋅⋅=
≤=
ek →
C
CC
C
K
K
K
K
k
s
c
c
e
5.0
1
615.0
44
14
;
1
+
+
−
−
===
Es necesario utilizar el diagrama S-N cuando los resortes han de diseñarse para una
vida finita.
Figura 6.13: Diagrama S-N
( )
( )
e
f
e
f
bc
f
cb
f
Ss
Ss
c
Ss
Ss
b
NSsN
NSs
2
63/1
8.0
log
8.0
log
3
1
1010;10
10
=






−=
≤≤⋅=
=
−
Relación Esfuerzo-Resistencia (Teoría de falla)
a
eSs
n
τ
=
Figura 6.14: Teoría de falla

98
6.2.6 FRECUENCIA CRÍTICA
El efecto de la frecuencia crítica se asemeja a la acción de una ola en una piscina,
una perturbación en un extremo se desplaza sobre la superficie hasta que cese esto
ocurre también en un resorte y se denomina oscilación elástica en el resorte, lo cual
podría ocurrir una resonancia que da origen a esfuerzos perjudiciales, debido al
material del resorte, que tiene una baja amortiguación interna, de esta manera se
han establecido las siguientes relaciones para calcular la frecuencia en los distintos
resortes.
gravedadg
específicoPeso
activasespirasdeNúmeroN
alambredelmedioDiámetroD
alambredelDiámetrod
resortedelcteK
NDd
w
LAw
libreotroelyplanaplacaunaconextremounelenapoyadoesorteR
w
gK
f
paralelasplanasplacasdosentreapoyadoesorteR
w
gK
f
seg
ciclos
Fórmula
=
=
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅=
⋅
=
⋅
=






→
ρ
ρπ
ρ
4
4
1
2
1
2
La frecuencia calculada con la fórmulas anteriores debe ser de 15 a 20 veces la
frecuencia real del resorte en caso contrario se debe rediseñar el resorte
resonanciahaynocumplesiresortedelrealfrecuencia
f
;
20
≤
6.2.7 PANDEO
Los resortes helicoidales largos que tengan una longitud libre de más de 4 veces su
diámetro puede fallar por pandeo; puede corregirse si se monta el resorte sobre una
barra redonda o un tubo, la Figura 10-4 (Shigley), sirve para verificar si un resorte de
compresión puede fallar por pandeo.

99
Figura 6.15: Gráfico para verificar el pandeo en resortes helicoidales de compresión cuyos extremos
son cerrados y aplanados, la curva A está entre una superficie plana y una redondeada, la curva B
está entre dos superficies planas y paralelas.
6.3 RESORTES DE TENSIÓN O DE EXTENSIÓN
Los resortes helicoidales de tensión son construidos con ganchos en sus extremos
que sirven para transmitir la carga, esto hace que el costo aumente, además debe
considerarse el efecto de concentración del esfuerzo debido al doblez agudo en el
gancho, además los experimentos indican que aquí hay un concentrador de
tensiones cuyo factor se calcula con la fórmula siguiente:
i
m
r
r
K = . En la figura que
se indica a continuación se representa un resorte de tensión con sus espiras en
contacto que son de tipo cerrado y que en el momento del enrollado se importa
cierta tensión inicial.
Figura 6.16: Resorte de tensión
A continuación se representa el resorte de tensión cargado con una fuerza F, esta
fuerza debe exceder a “Fi” antes de que experimente una deformación “y”, como se
indica en la figura:

100
Figura 6.17: Resorte de tensión y el gráfico F Vs y
6.3.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN RESORTES DE TENSIÓN
En este tipo de resorte se encuentran tres zonas importantes de verificación:
Zona uno en el cuerpo del resorte, zona dos y tres en el gancho del resorte.
6.3.1.1 Esfuerzos en el cuerpo del resorte.
Los esfuerzos en el cuerpo del resorte de tensión se realiza de la misma manera
que en los resortes de compresión, como se indica en la siguiente figura:

101
Figura 6.18: Esfuerzos en el cuerpo del resorte
3
8
d
DF
ksxy
π
τ
⋅
⋅=
Rigidez en el cuerpo del resorte
Para determinar la rigidez en el cuerpo del resorte de tensión se deduce de la
misma manera que los resortes de compresión, por lo que tiene la misma relación.
ND
Gd
K
⋅
⋅
= 3
4
8
6.3.1.2 Esfuerzos en el gancho (sección B-B)
En la sección B-B los esfuerzos que predominan son los de torsión por lo que se
utilizará la misma fórmula definida para el cuerpo del resorte, con la única variación
que el ks se reemplaza por el factor de concentrador de tensiones 





=→
'
'
i
m
s
r
r
kk ,
por lo tanto se obtiene la siguiente fórmula: 3
8
'
'
d
DF
r
r
i
m
π
τ
⋅
=
Figura 6.19: Esfuerzos en el gancho (sección B-B)

102
6.3.1.3 Esfuerzos en el gancho (sección A-A)
En la sección A-A del gancho se encuentran esfuerzos normales debido al momento
flector y a la fuerza de tensión, como se indica en las siguientes figuras:
Figura 6.20: Esfuerzos en el gancho (sección A-A)
El esfuerzo crítico se encuentra en el interior de la sección A-A cuya fórmula es la
siguiente:
23
432
d
F
d
rF
r
r m
i
m
ππ
σ +
⋅
=

103
6.3.2 RESISTENCIAS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE TENSIÓN
Las resistencias para los resortes helicoidales de tensión, para los materiales de la
Tabla 10-1 de Shigley, se determina de la misma manera que para los resortes de
compresión.
mut
d
A
S = ; uty SS ⋅= 75.0
Los valores de mA, se encuentran en la Tabla 10-2 de Shigley.
6.3.2.1 Resistencia a la fatiga (para el cuerpo y la sección B-B del gancho)
fedcbaee kkkkkkSsSs ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= '
Donde: MPakpsiSse 31045' == para resortes graneados.
MPakpsiSse 4655.67' == para resortes no graneados.
Estos resultados son válidos para todos los aceros de resorte de la Tabla 10-2 de
Shigley. No se corrigen por acabado de superficie y tamaño, pero sí por
confiabilidad, temperatura o concentración de esfuerzos.
1=== fba kkk ; edcee kkkSsSs ⋅⋅⋅=⇒ '
Los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
dk → ( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840103.2-1
C550ºTC450ºSi450105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅⋅=
≤<−⋅⋅=
≤=
ek → 1=ek ; porque ya está considerado en el factor 





=
i
m
r
r
k (solo para el gancho)
vida finita.

104
( )
( )
e
f
e
f
b
f
c
cb
f
Ss
Ss
c
Ss
Ss
b
NSsN
NSs
2
63/1
8.0
log
8.0
log
3
1
1010;10
10
=






−=
<≤⋅=
=
−
6.3.2.2 Resistencia a la fatiga (para la sección A-A del gancho).
Los esfuerzos en esta sección son normales y el material es dúctil, por lo tanto:
Donde, los factores se obtienen de las siguientes Tablas y fórmulas:
'eS →
ute SS ⋅= 5.0' ; si kpsiSut 200≤
kpsiSe 100'= ; si kpsiSut 200>
ak → Fig. 7-10 de Shigley
bk →
097.0
.869.0 −
= dkb si "10"3.0 << d
1=bk si "3.0≤d
097.0
.189.1 −
= dkb si mmdmm 2508 <<
dk → ( )( )
( )( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840103.2-1
C550ºTC450ºSi450105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅=
≤<−⋅=
≤=
ek → 1=ek
fk → 1=fk ; porque no existe información.
Nota: Las resistencias estáticas se determinan de la misma manera que para los
casos anteriores
6.3.3.1 En el cuerpo

105
3
8
d
DF
ks
π
τ
⋅
=
Según la teoría de la Energía de la Distorsión:
yy SSs ⋅= 557.0
3
8
557.0
d
DF
k
S
n
Ss
n
máx
s
y
máx
y
π
τ ⋅
⋅
⋅
=→=
6.3.3.2 En el gancho: sección B-B.
3
8
'
'
d
DF
r
r
i
m
π
τ
⋅
=

106
yy SSs ⋅= 557.0
3
8
'
'
557.0
d
DF
r
r
S
n
Ss
n
máx
i
m
y
máx
y
π
τ ⋅
⋅
⋅
=→=
6.3.3.3 En el gancho: sección A-A
231
432
d
F
d
rF
r
r m
i
m
x
ππ
σσ +
⋅
==
Figura 6.27: Gráfico de la teoría de falla para material dúctil
23
1
432
d
F
d
rF
r
r
S
n
SS
n
máxmmáx
i
m
yy
máx
y
ππ
σσ +
⋅
=→==
6.3.4.1 En el cuerpo
En el cuerpo existe un precarga debido al enrollamiento, es por eso que el esfuerzo
mínimo es diferente de cero. En este caso se tienen dos posibles gráficos que
indican la variación del esfuerzo en el tiempo.
A continuación se indica el elemento de esfuerzos y la variación de estos esfuerzos.

107
Figura 6.29: Esfuerzo fluctuante con precarga de enrollado y sin precarga de montaje
Figura 6.30: Esfuerzo fluctuante con precarga de enrollado y con precarga de montaje
( )
( )
2
2
mínmáx
a
mínmáx
m
ττ
τ
ττ
τ
−
=
+
=
Figura 6.31: Teoría de falla
edcSeSe kkkSS ⋅⋅⋅= '
33
88
d
DF
d
DF
K aa
sa
ππ
τ
⋅
=
⋅
= ;
C
Ks
5.0
1+= y
d
D
C =
a
eSs
n
τ
=⇒
6.3.4.2 En el gancho: sección B-B
El análisis es similar que para el cuerpo, excepto que se cambia k por sk .

108
edcSeSe kkkSS ⋅⋅⋅= '
3
8
d
DF
k a
a
π
τ
⋅
⋅= ;
'
'
i
m
r
r
k =
a
eSs
n
τ
=⇒
6.3.4.3 En el gancho: sección A-A
Figura 6.35: Esfuerzo fluctuante senoidal (con precarga).
El esfuerzo normal xσ varía entre un valor mínimo y un valor máximo

109
xσ : máxmín σσ → ⇒
( )
( )
23
23
432
2
432
2
d
F
d
rF
r
r
d
F
d
rF
r
r
ama
i
mmínmáx
a
mmm
i
mmínmáx
m
ππ
σσ
σ
ππ
σσ
σ
+
⋅
=
−
=
+
⋅
=
+
=
Figura 6.36: Línea de Goodman
Donde, según la línea de Goodman, se establece que:
m
a
ut
e
e
m
S
S
S
S
σ
σ
+
=
m
mS
n
σ
=⇒
6.4 RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN
Los resortes helicoidales de torsión están diseñados para transmitir momento
torsionante a través de sus extremos, durante el enrollado se proporcionan
esfuerzos residuales que están en el mismo sentido que los esfuerzos de trabajo.
Estos esfuerzos remanentes se utilizan para hacer más fuerte el resorte por
oposición, siempre que la carga aplicada produzca un efecto de enrollado, es por
esta razón que este tipo de resortes se diseñan con factor de diseño igual a uno (n =
1), se usan en bisagras de puertas, arrancadores de automóviles, binchas para el
pelo de las damas, etc.
Figura 6.37: Muestras de resortes helicoidales de torsión
6.4.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS
A continuación se representa el diagrama de cuerpo libre de un resorte helicoidal de
torsión y la determinación de sus esfuerzos.

110
Resultante sin concentrador de tensiones Resultante con concentrador de tensiones
Figura 6.38: Gráficos para determinar los esfuerzos
La sección crítica está determinada que es la A-A, pero el punto crítico no es tan
evidente de acuerdo al gráfico final de esfuerzos, debe realizarse el cálculo de Ki y
Ko, el que tenga mayor valor será el que determina el punto crítico. A continuación
se da la relación de estos puntos:
d
D
C
Donde
CC
CC
K
CC
CC
K
o
i
=
+
−+
=
−
−−
=
:
)1(4
14
)1(4
14
2
2
Constante de rigidez del resorte helicoidal de torsión K
Para determinar la rigidez del resorte helicoidal de torsión se debe recordar que la
fuerza aplicada es para enrollar al resorte, por consiguiente aumentar el número de
espiras, a continuación se determina la constante de rigidez en base al gráfico
indicado.

111
Figura 6.39: Gráfico que indica la deformación θ



 ⋅
==
rad
gpullbFrM
K
θθ
,
; θ= Deformación angular del resorte en radianes.



 ⋅⋅
=
vueltas
gpullbrF
K
θ
π ,
2
Determinación de la deformación angular θ
Teorema de Castigliano
F
U
rS
∂
∂
=⋅= θ,
Donde: U= Energía de deformación en la flexión
dx
EI
M
U ∫=
2
2
Por lo tanto:
( )∫ ∂
∂
=
∂
∂
==
DN
EIF
dxrF
F
U
rS
π
θ
0
2,2
,
2
*
Donde:
N= Número de espiras del resorte
E= Módulo de elasticidad del resorte
I= Momento de inercia
Ed
NDrF
EI
NDrF
EI
dxrF
F
U
rS
DN
*
***64*****
* 4
2,2,
0
2,
,
=
Π
==
∂
∂
== ∫
Π
θ

112
64
4
d
I
π
=
Ed
NDrF
*
***64
4
,
=θ



 ⋅
==⇒
vueltas
pulb
ND
EdFr
K
lg
*2.10
2 4,
θ
π
Por el efecto de curvatura



 −
=
vueltas
pulb
ND
Ed
K
lg
*8.10
*4
Determinación del diámetro de la guía del resorte
ii D
N
N
D ,
,
=
Donde:
N= Número de vueltas o espiras en el resorte sin carga
Di= Diámetro interior del resorte sin carga
N´= Número de vueltas o espiras en el resorte con carga
D´i= Diámetro interior del resorte con carga
6.4.2 DETERMINACIÓN DE RESISTENCIAS
Las resistencias para los resortes helicoidales a torsión, para los materiales de la
Tabla 10-1 de Shigley, se determina de la misma manera que para los resortes de
compresión.
mut
d
A
S = ; uty SS ⋅= 75.0
Resistencia a la fatiga (para el cuerpo y la sección B-B del gancho).
Donde:
'eS →
KpsiSutsiSutSe 2005.0' ≤=
KpsiSutsikpsiSe 200100' >=
ak → Tabla 7-10 de Shigley
bk →
097.0
.869.0 −
= dkb Si "10"3.0 << d
1=bk Si "3.0≤d
097.0
.189.1 −
dk → ( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840103.2-1
C550ºTC450ºSi450105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅⋅=
≤<−⋅⋅=
≤=

113
ek → 1=ek ; porque ya está considerado en los factores oi KK ,
fk → 1=fk
vida finita.
( ) 63/1
101010
10
<≤⋅=
=
−
NSN
NS
b
f
c
cb
f
( )
e
f
e
f
S
S
c
S
S
b
2
8.0
log
8.0
log
3
1
=






−=
El efecto predominante como se pudo ver en el análisis de esfuerzos es debido a la
flexión, por lo tanto se diseñará a tensión simple o compresión simple.
Figura 6.41: Gráficos que indican el elemento, círculo de Mohr y teoría de falla para diseño estático
en tensión simple
1σ
yS
n =

114
Figura 6.42: Elemento ordinario de esfuerzos
( )
( )
3
,
,
3
,
,
32
2
32
2
d
rF
K
d
rF
K
a
oi
mínmáx
a
m
oi
mínmáx
m
π
σσ
σ
π
σσ
σ
⋅
=
−
=
⋅
=
+
=
Donde, según la línea de Goodman, se establece que:

115
m
a
ut
e
e
m
S
S
S
S
σ
σ
+
=
m
mS
n
σ
=⇒

116
6.5.1 EJERCICIO 13 (Resorte de Compresión)
Un resorte de compresión de alambre para Instrumento musical calibre número 13
(0.091”), diámetro exterior
16
"9
=eD ,
8
"1
3=fL , espirasNT 23= , lbFgaprecar i 10= ,
lbFmáx 50= , confiabilidad 99%, extremos escuadrados y esmerilados. Se pide:
a) Resistencia a la fluencia a torsión.
b) La carga máxima estática que soporta.
c) Constante del resorte.
d) La deformación originada con la carga del literal b.
e) Calcular la longitud maciza del resorte.
f) Cual debe ser la longitud del resorte para que se produzca cambio
permanente en la longitud libre.
g) Verifique el pandeo para el literal f.
h) Determinar el factor de diseño para ciclosN 3
1050×= .
a)
"091.0; == d
d
A
S mut
Tabla 10-2 (alambre para instrumento musical):



=
=
146.0
196
m
kpsiA
kpsiSS utut 278
091.0
196
146.0
=⇒=

117
kpsiSsSSs
kpsiSSS
ututut
yuty
1672786.06.0
5.20827875.075.0
=→⋅=⋅=
=→⋅=⋅=
Según la Teoría de la energía de la distorsión:
5.208577.0577.0 ⋅=⋅= yy SSs
kpsiSsy 116=⇒
b)
Si 1=→= nFF máx
3
8
1
d
DF
k
SsSs
n
máx
s
y
máx
y
π
τ
===
y
máxs
máx Ss
DFk
d
F ⋅=⇒
8
3
π
( )
096.1
19.5
5.0
1
5.0
1
19.5091.0/4715.0/
4715.0091.016/9
=→+=+=
=→==
=→−=−=
ss
e
k
C
k
CdDC
gplDdDD
lbFF máxmáx 4.66116000
4715.0096.18
091.0 3
=⇒⋅
⋅⋅
⋅
=→
π
c)
DT NNN
ND
Gd
K −=
⋅⋅
⋅
= ;
8 3
4
Extremos escuadrados y esmerilados: 2=→ DN
espirasN 21223 =−=

118
( ) gpllbKK /78.44
214715.08
105.11091.0
3
64
=⇒
⋅⋅
⋅⋅
=
d)
78.44
4.66
==
K
F
y máx
gply 48.1=⇒
e)
091.023⋅=⋅= dNL Tmaciza
gplLmaciza 093.2=⇒
f)
gplLLyL FmacizaF 573.3093.248.1 =⇒+=+=
g)
gplD
gply
gplLF
472.0
48.1
753.3
=
=
=



=
=
⇒
4.0/
96.7/
F
F
Ly
DL
En el gráfico (Figura 10-4 de Shigley), este punto queda fuera de la curva, entonces:
Si existe pandeo y por lo tanto se debe colocar guías.

119
h)
lbFF
lbF
míni
máx
10
50
==
=



=
=
⇒
lbF
lbF
m
a
30
20
kpsi
d
DF
K
kpsi
d
DF
K
m
m
sm
a
a
sa
4.52
091.0
4715.0308
096.1
8
9.34
091.0
4715.0208
096.1
8
33
33
=→
⋅⋅
=
⋅
=
=→
⋅⋅
=
⋅
⋅
=
τ
ππ
τ
τ
ππ
τ
ecee kkSsSs ⋅⋅= '
'eSs → kpsiSse 45'=
ck → %99=R ; Tabla 7-7: 814.0=ck
ek →
c
e
K
k
1
=
( )
( ) 186.1
096.1
19.5
615.0
419.54
119.54
096.1
615.0
44
14
=
+
−⋅
−⋅
=
+
−
−⋅
== CC
C
K
K
K
s
c
843.0
186.1
1
=⇒= ee kk
kpsiSsSs ee 9.30843.0814.045 =⇒⋅⋅=
finitavidaTienen
Ss
n
a
e
∴=⇒== 885.0
9.34
9.30
τ

120
Ciclos a los que ocurre la falla:
( ) bc
sf
cb
sf SNNS
/1
1010 −
⋅=→=
( ) ( ) 764.2
9.30
1678.0
log
8.0
log
212.0
9.30
1678.0
log
3
18.0
log
3
1
22
=→




 ⋅
=





=
−=→




 ⋅
−=





−=
c
S
S
c
b
S
S
b
se
su
se
su
( ) ciclosNN 5212.0/1764.2
1076.5109.34 ⋅=⇒⋅=
−−
Cálculo del factor de seguridad para una vida de ciclosN 3
1050⋅=
( ) kpsiSS sfsf 6.581050000 764.2212.0
=→=
−
68.1
9.34
6.58
=⇒== n
Ss
n
a
f
τ
; (en vida finita)

121
6.5.2 EJERCICIO 14 (Resorte de Tensión)
Un resorte de tensión D = 10mm, d = 1.8mm, N = 122 espiras, longitud sin carga
entre ganchos = 244mm, mmrm 5= , mmrm 5.2,
= , precarga del enrollado NFi 25= ,
material del resorte es de alambre estirado duro. Se pide:
a) El Sy y Ssy.
b) El esfuerzo de la precarga del enrollado iτ .
c) La constante del resorte K.
d) La fuerza máxima de fluencia en el cuerpo del resorte.
e) La fuerza máxima de fluencia al corte en el gancho.
f) La fuerza máxima de fluencia normal en el gancho.
g) La distancia entre ganchos que tendría al aplicarse la Fmax menor de los
anteriores.
h) Factor de diseño estático ns y dinámico nd para una fuerza externa F que
varía de 30 a 60 Newton.
Datos:
NF
mmr
mmr
mmL
espirasN
mmd
mmD
i
m
m
f
25
5.2'
5
244
122
8.1
10
=
=
=
=
=
=
=
Material del resorte = alambre estirado duro
NaF 6030=
Solución:
a)
Tabla 10-2 192.0;1750 ==→ mMpaA
( )
Mpa
d
A
S mtu 1560
8.1
1750
192.0
===

122
( )
( ) MpaSSs
MpaSS
yy
uty
6751170577.0577.0
1170156075.075.0
===
===
b)
56.5
8.1
10
===
d
D
C
3
.
..8
d
DF
K i
si
π
τ =
09.1
56.5
5.0
1
5.0
1 =+=+=
C
Ks
( )( )( )
( )
MPa
d
DF
K i
i
si 119
8.1
1025809.1
·
8
33
=⇒=
⋅
= τ
ππ
τ
c)
GpaMpsiG 3.795.11 ==
( )
( ) ( ) m
N
ND
Gd
K 853
122108
8.1103.79
8 3
46
3
4
=
⋅
==
d)
N
DK
Ssyd
F
s
máx 8.141
)10)(09.1(8
675)8.1(
8
33
===
ππ
(en el cuerpo)
e)
56.1
6.1
5.2
'
'
6.1
2
8.1
5.2'
5.2'
===
=−=
=
i
m
i
m
r
r
k
r
r
N
Dk
Ssd
F y
máx 1.99
)10)(56.1(8
675)8.1(
8
33
==
⋅
=
ππ
(en la base del gancho)
f)
22.1
2
8.1
5
5
=
−
==
i
m
r
r
k
ySn =→= σ1
2
max
3
max
23
4.32432
d
F
d
rF
r
r
d
F
d
rF
kS m
i
mmáxmmáx
y
ππππ
σ +
⋅






=+==
N
dd
rk
S
F
m
y
máx 106
)8.1(
4
)8.1(
)5)(22.1(32
1170
432
2323
=
+
=
+
⋅
=
ππππ
; (esfuerzos normales en el
gancho)

123
g)
NF
NF
i
máx
25
1.99
=
=
mm
K
F
y 9.8610
853
251.99 3
=
−
==
mmlyll i 3319.86244 =→+=+=
h)
Cuerpo del resorte.
Diseño estático
xyxy
y SySs
n
ττ
577.0
==
( )( )
( )
MPa
d
DF
K máx
Sxy 578.166
8.1
10358
09.1
8
33
=⋅=
⋅
=
ππ
τ
052.4
578.166
675
=→= nn
Diseño dinámico
( )( ) MPa
d
DF
k a
sa 39.71
)8.1(
10158
09.1
8
33
=⋅=
⋅
=
ππ
τ

124
edcee kkkSsSs ⋅⋅⋅= ' ; ( 1=== fba kkk )
'eSs → KpsiSse 45'=
ck → R = 90% Tabla 7-7 (Shigley) ⇒ 897.0=ck
dk → 1C450ºT =→< dk
ek →
855.0
17.1
1
17.1
)56.5(
5.0
1
)56.5(
615.0
4)56.5(4
1)56.5(4
5.0
1
615.0
44
14
;
1
==
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
===
e
s
c
c
e
k
C
CC
C
K
K
K
K
k
( )( ) MpaKpsiSse 7.2373.34855.0897.045 ===
( )finitainvidatienen
Ss
n
a
e
133.3
39.71
7.237
>=⇒==
τ
Gancho del resorte
Diseño estático (sección A-A)
MPa
d
F
d
rF
r
r
x
máxmmáx
i
m
x
818.662
)8.1(
604
)8.1(
56032
22.1
432
123
231
==→
⋅
+
⋅⋅
⋅=
+
⋅
==
σσ
ππ
ππ
σσ
765.1
818.662
1170
=⇒== n
S
n
x
y
σ

125
Diseño dinámico (sección A-A)
MPa
d
F
d
rF
r
r
MPa
d
F
d
rF
r
r
m
mmm
i
m
m
a
ama
i
m
a
11.479
)8.1(
454
)8.1(
54532
22.1
432
7.165
)8.1(
154
)8.1(
51532
22.1
432
2323
2323
=→
⋅
+
⋅⋅
⋅=+
⋅
=
=→
⋅
+
⋅⋅
⋅=+
⋅
=
σ
ππππ
σ
σ
ππππ
σ
cbee kkSS ⋅⋅= '
'eS → MPakpsiSKpsikpsiMPaS eut 689100'2002261560 ==→>==
bk → 188.1 =→<= bkmmmmd
ck → R=90%: Tabla 7-7 (Shigley) 897.0=→ ck
MPaSe 033.618897.0689 =⋅=⇒
MPaSS mm 8.780
11.419
7.165
1560
033.618
033.618
=→
+
=
63.1
11.479
8.780
=⇒= nn
Diseño estático (sección B-B)
xyxy
y SySs
n
ττ
577.0
==
( )( )
( )
MPa
d
DF
Kxy 35.409
8.1
10608
6.1
5.2
·
8
33
=⋅=
⋅
=
ππ
τ
649.1
35.409
675
=→= nn

126
Diseño dinámico (sección B-B)
( )( )
( )
MPa
d
DF
K a
a 34.102
8.1
10158
6.1
5.2
·
8
33
=⋅=
⋅
=
ππ
τ
cbee kkSsSs ⋅⋅= ' ( 1=fk porque ya se consideró k en el cálculo de esfuerzos)
'eSs → MPakpsiSse 05.31045' ==
bk → 188.1 =→<= bkmmmmd
ck → R=90%: Tabla 7-7 (Shigley) 897.0=→ ck
MPaSse 12.278897.005.310 =⋅=
72.2
34.102
11.278
=⇒== n
Ss
n
a
e
τ

127
6.5.3 EJERCICIO 15 (Resorte de Torsión)
Un resorte de torsión, como se ilustra en la figura, está hecho de alambre para
instrumento musical de 0.070” de diámetro. Tiene un total de 4¼ vueltas y, según el
fabricante del resorte, un momento de 7.5 lb/plg. Se pide:
a) Obtener el momento máximo de torsión efectivo y la rotación o
desplazamiento angular.
b) Calcular el diámetro interior correspondiente al resultado anterior.
c) El momento máximo de torsión efectivo y desplazamiento para número
indefinido de ciclos.
a)
"523.007.0593.0 =→−= DD
47.707.0/523.0/ =→== CdDC
( )
K
rF
K
Mmáx
vueltas
⋅
==θ
Diseño estático con seguridad: 1=n
3,
32
;1
d
rF
KS
S
n oiy
y
π
σσ
σ
⋅
⋅==→==
( )
( )
903.0
)1(47.74
147.747.74
)1(4
14
111.1
)147.7(47.74
147.747.74
)1(4
14
22
22
=→
+⋅⋅
−+
=
+⋅
−+
=
=→
−⋅⋅
−−
=
−⋅
−−
=
oo
ii
K
CCC
CC
K
K
CC
CC
K
( )ioi KternoinpuntoelescríticoPuntoKK ∴>



=
=
→−
146.0
196
210:
m
kpsiA
TablamusicaloinstrumentparaAlambre
kpsiSSS
kpsiS
d
A
S
yuty
utmut
21728975.075.0
289
07.0
196
146.0
=→⋅=⋅=
=→==
y
máx
i
máx
i S
d
M
K
d
rF
K =⋅=
⋅
⋅= 33
3232
ππ
σ

128
( ) gpllbMS
K
d
M máxy
i
máx ⋅=⇒⋅
⋅
== 577.6217000
11.132
07.0
·32
33
ππ
( ) vueltagpllbK
ND
Ed
K /30
25.4523.08.10
103007.0
8.10
644
⋅=→
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
=
( ) º84.78219.0
30
577.6
==⇒== vueltas
K
Mmáx
vueltas θθ
lbF
r
M
FrFM
máx
máx
máxmáx 2.5
2
523.0
1
577.6
=⇒
+
==→⋅=
b)
( ) ( ) gacarnsiigacarconi NDND ⋅=⋅ ''
( ) "453.007.02593.02
469.4'219.025.4'
=→−=−=
=→+=+=
iei
vueltas
DdDD
vueltasNNN θ
"431.0'
469.4
25.4453.0
'
' =⇒
⋅
=
⋅
= i
i
i D
N
ND
D
c)
máxam
xmáam MMM
σσσ
2
1
2
1
==
==
( ) ( )
( )
( )máxam
máxmáx
iam rF
rF
d
rF
K ⋅⋅==⇒




 ⋅
⋅=




 ⋅
⋅== 16496
07.0
32
11.1
2
132
2
1
33
σσ
ππ
σσ
'eS → kpsiSKpsikpsiS eut 100'200289 =→>=
ak → Suponer alambre estirado en frío: Tabla 7-10 (Shigley) 63.0=→ ak
bk → 1"3.0"07.0 =→<= bkd
ck → Suponer R=50%: Tabla 7-7 (Shigley) 1=→ ck
dk → 1º450 =→< dkCT
ek → 1=ek ; porque ya está considerado en el factor ik
fk → 1=fk
; porque no existe información.

129
kpsiSe 6363.0100 =⋅=⇒
kpsiS
S
S
S
S m
ut
e
e
m 72.51
289
63
1
63
1
=→
+
=
+
=
( ) ( ) gpllbrFrF
S
S
n
máxmáx
mm
m
m
⋅=⋅⇒⋅⋅=
=→==
1348.31649672.51
1 σ
σ
( )
( ) º6.371045.0
30
1348.3
==⇒=
⋅
= vueltas
K
rF máx
vueltas θθ

130
CAPÍTULO 7
ENGRANES RECTOS
7.1INTRODUCCIÓN
Las ruedas dentadas de diente recto al engranarse en pares forman los engranes
rectos, los cuales sirven para dar movimiento de rotación de eje a otro, en el
presente capítulo el estudio de estos elementos se la hará de la siguiente manera:
Nomenclatura de las ruedas dentadas, análisis cinemática de los dientes, relación de
velocidades, sistema de dientes, análisis de fuerzas, determinación de los esfuerzos,
diseño estático (flexión), diseño dinámico (flexión) y diseño a fatiga superficial.
7.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS
En la Figura 7.1 se muestran los elementos importantes en la nomenclatura de las
ruedas dentadas de dientes rectos.
7.2.1 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS
Circunferencia de paso.- Es aquella en la que se basa los cálculos, las
circunferencias de paso de los engranes rectos conectados son tangentes como se
indica en la figura.
Paso circular (p).- Es la medida del arco sobre la circunferencia de paso entre puntos
homólogos entre dos dientes consecutivos.
m
N
d
p ⋅=
⋅
= π
π
Donde: d Diámetro de paso de la rueda
N Número de dientes por pulgada
m Módulo, que se define como el diámetro de paso expresado en
milímetros para el número de dientes
Paso diametral (P).- Es la relación del número de dientes al diámetro de paso
expresado en pulgadas.
d
N
P =
7.2.1.1 Relación del p y P:
π
πππ
=⋅
==
⋅
=
pP
P
d
NN
d
p

131
Figura 7.1: Nomenclatura de la rueda de diente recto
Figura 7.2: Gráfico que indica la línea de presión y la tangente común
7.2.1.2 Forma del diente
El perfil del diente de las ruedas dentadas de diente recto para su mejor contacto
entre dientes tiene un perfil definido por la curva de la evolvente del círculo que se
indica en la siguiente figura, imaginase que enrolla una cuerda en sentido antihorario
alrededor del cilindro base del engrane y se traza la evolvente empezando en “a”
luego en “b” y terminando en el punto “c”, la circunferencia sobre la que se genera la
evolvente se llama circunferencia de base (Ver Figura 7.3).

132
Figura 7.3: Generación de una evolvente
7.3 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE LOS DIENTES
En la figura siguiente se indica el contacto que ocurre entre un par de dientes del
piñón y engrane a lo largo de la línea de presión, el contacto inicia en el flanco del
diente del piñón con la punta del diente del engrane y se va realizando el contacto a
lo largo de la línea de presión para finalmente abandonar el contacto en la punta del
diente del piñón con el flanco del diente del engrane.

133
Figura 7.4: Contacto entre dientes a través de la línea de acción

134
7.3.1 RADIO BASE
Figura 7.5: Gráfico que indica el radio base
7.3.2 RELACIÓN DE CONTACTO
El contacto entre dientes principia y termina en las interacciones de la dos
circunferencias de adendo con la línea de presión “a” inicial y “b” final, el arco AB es
igual al arco de acción “qt” donde, si tqp = , significa que un diente y su espacio
ocupan todo el arco AB, cuando un par de dientes comienza se contacto en “a”, el
inmediato anterior termina simultáneamente su contacto en “b”, entonces siempre
hay un par en contacto.
Si pqt 2.1= , es que un par entra en contacto mientras que otro par ya en contacto no
llega aún al punto de abandono “b”, en un corto lapso hay dos pares de dientes en
contacto.
Si Cm es la relación de contacto
p
q
m t
C = , los engranes de diente recto se debe
diseñarse con la siguiente relación: 2.1≥Cm , para que siempre haya en contacto dos
pares de dientes y no se produzca impacto en los dientes.

135
Figura 7.6: Gráfico que indica el arco de acción
7.3.3 INTERFERENCIA
Se produce interferencia entre el diente del engrane y el diente piñón. Debajo de las
circunferencias bases por cuanto la curva no es una evolvente, este problema se
elimina mediante la construcción de los dientes con proceso de generación lo que
hace más débil al diente de la rueda más pequeña.
7.4 RELACIÓN DE VELOCIDADES
Cuando se embonan dos ruedas dentadas, las circunferencias de paso ruedan una
sobre otra sin resbalar, por lo tanto tienen velocidad tangencial común.
Figura 7.7: Gráfico que indica la velocidad tangencial común

136
G
P
P
G
G
P
G
P
P
G
PPGG
N
N
n
n
d
d
r
r
rrV
====
⋅=⋅=
ω
ω
ωω
El piñón y la rueda de un engrane deben tener el mismo paso diametral o el mismo
módulo.
P
N
d
P
N
d
G
G
P
P
=
=
Donde:
PG ωω , = Velocidades angulares del engrane-piñón
PG rr , = Radios de paso engrane-piñón
PG dd , = Diámetros de paso engrane-piñón
PG nn , = Número de revoluciones por tiempo engrane-piñón
PG NN , = Número de dientes engrane-piñón
7.5 TREN DE ENGRANES
Figura 7.8: Tren de engranes
2
6
5
4
3
3
2
6 n
N
N
N
N
N
N
n ⋅⋅⋅=
7.6 SISTEMA DE DIENTES
El sistema de dientes para los engranes rectos constituye una norma, lo que
especifica las relaciones entre: adendum, dedendum, paso diametral, altura de
trabajo, grueso del diente y ángulo de presión, con el fin de que haya
intercambiabilidad de engranes de cualquier número de dientes, con igual paso
diametral y ángulo de presión, en el sistema inglés Shigley trae la Tabla 13-1 que se
puede utilizar para la selección de estos engranes, para los pasos diametrales de
uso común Shigley trae la Tabla 13-2.

137
7.7 ANÁLISIS DE FUERZAS EN LOS ENGRANES DE DIENTES RECTOS
Para el estudio de las fuerzas en los engranes de dientes rectos se le asigna el
número 1 al bastidor, el 2 al engrane de entrada y por el número 3,4,…etc, a los
demás engranes, los ejes con las letras a,b,c,…,etc, las fuerzas F23, fuerza del
engrane 2 contra el engrane 3, la fuerza Fa2, fuerza del árbol contra el engrane 2,
Torque Ta2, es el torque del eje “a” sobre el engrane 2, etc, las reacciones entre
dientes ocurren a lo largo de la línea de presión, como se indica en las figuras
siguientes:
Figura 7.9: Diagramas de cuerpo libre en engranes rectos
7.8 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS (FLEXIÓN)
Los esfuerzos en una rueda de diente recto se lo estudia en el diente como se indica
a continuación, se desprecia los esfuerzos producidos por la fuerza radial, y solo se
diseña el diente a flexión, a cambio de esto se eleva el factor de diseño, se
establece una fórmula para el diseño estático a flexión y otra expresión para el
diseño dinámico.

138
Fig. a) Fig. b)
Figura 7.10: Diagramas de cuerpo libre para un diente de un engrane recto
Según Fig. b)
)1(
6
6
/
/
2
2
Ft
M
Ft
CI
CI
M
=
=
=
σ
σ
Según Fig. a)
)2(4
2/
2/
2
lxt
l
t
t
x
⋅⋅=
=
(2) en (1)
xF
W
lxF
lW
lWMSi
lxF
M
tt
t
3
2
3
2
3
2
=
⋅
⋅
=
⋅=
⋅
=
σ
σ

139
Multiplicando el numerador y el denominador por el paso diametral P:
PxF
PWt
⋅
⋅
=
3
2
σ
Sea: PxY ⋅=
3
2
YF
PWt
⋅
⋅
=⇒ σ
Donde: Y Factor de forma de Lewis (Tabla 13-3, Manual de Shigley).
Debido a los efectos dinámicos que generan los engranes por las velocidades
variadas que emiten ruido, se debe considerar un factor vK por efectos dinámicos en
la fórmula del esfuerzo anterior, donde:
V
Kv
+
=
1200
1200
;
12
nd
V
⋅
=
π
V → [ ]nutomipies/
d → [ ]gpl
n → [ ]rpm
Así:
YFk
PW
v
t
⋅⋅
⋅
=σ
Esta fórmula es utilizada para engranes cortados o fresados, sin mucha exactitud,
para diseño estático.
7.9 ESFUERZOS DINÁMICOS
Debido a la concentración de esfuerzos en la base del diente se aumenta el esfuerzo
a un esfuerzo máximo, que en este caso se le va a considerar en al fórmula de los
esfuerzos, como se indica a continuación:
J → Factor geométrico de concentración de esfuerzos, determinado en base a la
geometría del diente del engrane.
fk
Y
J =
Donde:
Y → Factor de forma de Lewis
fk → Concentrador de esfuerzo
J Tablas 13-4 a 13-7 del Manual de Shigley.
Por lo tanto:
JFK
PW
v
t
⋅⋅
⋅
=σ (Fórmula utilizada para diseño a fatiga)

140
Donde:










+
=
+
=
=
apreciabledinámicagacarconsesmeriladooalisadospresiónaltadedientesconengranespara
V
alisadosocremalleranfínsiasherramientporacabadosdientesconengranespara
V
apreciabledinámicagacarexistenoqueysesmeriladooalisadospresiónaltadeengranespara
Kv
,,
78
78
,
50
50
,1
V → [ ]nutomipies/
7.10 DISEÑO ESTÁTICO
Figura 7.11: Elemento ordinario de esfuerzos y círculo de Mohr
Considerando un material dúctil y la Teoría del la Energía de la Distorsión, se tiene:
x
yS
n
σ
= ;
v
t
x
KYF
PW
⋅⋅
⋅
=σ
v
t
y
KYF
PW
S
n
⋅⋅
⋅
=→
vy
t
KYS
PWn
F
⋅⋅
⋅⋅
=→
F → Ancho de cara
3>n → Factor de seguridad
pFp 53 ≤≤ ; ( )π=⋅ Pp

141
7.11 DISEÑO DINÁMICO A FLEXIÓN
Figura 7.13: Elemento ordinario de esfuerzos
2
máx
ma
σ
σσ ==
x
e
G
S
n
σ
= ; →Gn Factor de diseño para engranes
nkkn moG ⋅⋅=
ok → Factor de sobrecarga (Tabla 13-12 de Shigley)
mk → Factor de la distribución de la carga (Tabla 13-13 de Shigley)
n → Factor ordinario de seguridad
Considerando material dúctil:
'eS →
KpsiSutsiSutSe 2005.0' ≤=
KpsiSutsikpsiSe 200100' >=
ak → Tabla 7-10 de Shigley
bk →
097.0
.869.0 −
= dkb Si "10"3.0 << d
1=bk Si "3.0≤d
097.0
.189.1 −
pdeq =
121
12)913(
>=
≤−
Psik
PsiTablak
b
b
ck → Tabla 7-7 ó 13-10 de Shigley

142
dk → ( ) ( )
( ) ( ) FTk
Tk
k
d
d
d
º1020TF840ºSi840103.2-1
C550ºTC450ºSi450105.8-1
F)(840ºC450ºTSi1
3-
3-
≤<−⋅⋅=
≤<−⋅⋅=
≤=
ek →
1=ek ; porque ya está considerado en el concentrador de esfuerzos J para
determinar el esfuerzo normal.
fk → Tabla 13-11 de Shigley ( )1>fk
Determinación de fk
Para determinar fk
será en base a la probeta.
2
máx
ma
σ
σσ ==
1==
m
mS
n
σ
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
SSut
SutS
S
SSut
SutS
Sut
S
S
Sut
S
S
S
máx
mm
m
a
m
+
⋅
===
+
⋅
=
+
=
+
=
σ
σ
σ
σ
Si ute SS 5.0'= para KpsiSut 200≤
Entonces '2 eut SS =

143
Reemplazando
( )
( )
,,
,,
,,
33.1
3
4
2
22
ee
ee
ee
SS
SS
SS
máx ==
+
⋅
=σ
Entonces 33.1=fk (Tabla 13-11, Manual de Shigley)
Factor de diseño dinámico Gn para engranes
σ
e
G
S
n =
nKKn mG ⋅⋅= 0
Donde:
n Factor ordinario de seguridad
K0 Factor de sobrecarga Tabla 13-12 de Shigley
Km Factor de distribución de carga Tabla 13-13 de Shigley
7.12 DURABILIDAD DE LA SUPERFICIE (fatiga superficial)
Figura 7.17: Contacto entre un par de ruedas dentadas
[ ] [ ]
21
2
2
21
2
1
/1/1
/)1(/)1(2
dd
EE
l
F
b
+
−+−
×=
µµ
π
2121 ,,, EEµµ Constantes elásticas
21, dd Diámetros de los cilindros
Para engranes.
φCos
Wt
F →
rd 2→
Fl → Ancho de cara
Hmáxp σ= Esfuerzo de compresión

144
[ ] [ ]2
2
21
2
1
212
/)1(/)1(
)/1()/1(
EECos
rr
F
Wt
H
µµφπ
σ
−+−
+
×=
Operando
velocidaddelación
dp
d
N
N
m
m
mSenCos
EE
Fdp
Wt
G
P
G
G
G
G
G
G
P
p
H
Re
12
11
1
22
==
+






 −
+
−
×=
φφµµ
π
σ







 −
+
−
=
G
G
P
p
EE
Cp
22
11
1
µµ
π
1413−→ TCp de Shigley, Coeficiente elástico
geométricaiónconfiguracdeFactor
m
mSenCos
I
G
G
12 +
=
φφ
IdpF
Wt
CpH
⋅⋅
−=σ
IdpFCv
Wt
CpH
⋅⋅⋅
−=σ
7.13 RESISTENCIA SUPERFICIAL
[ ] cicloskPsiHBSC
8
10104.0 →−=
=HB Dureza Brinell de la superficie más suave en contacto
C
RT
HL
H S
CC
CC
S ⋅
⋅
⋅
=
ShigleydeTdaconfiabilideFactorC
CTsiCatemperaturdeFactorC
rectosengranesparaCdurezaderelacióndeFactorC
ShigleydeTvidaoduracióndeFactorC
erficialfatigadeLímiteS
S
CC
CC
S
R
TT
HH
L
H
C
RT
HL
H
1513
º2501
1
1513
sup
−→=
<=→=
=→=
−→=
=
⋅
⋅
⋅
=
Wt
Wtp
nG = Factor de seguridad de los engranes
=Wtp Carga tangencial permisible
=Wt Carga tangencial

145
nCCn moG ⋅⋅=
ShigleydeTCK oo 1213−→=
ShigleydeTKC mm 1313−→=
La ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera:
IdpFCv
Wtp
CpSH
⋅⋅⋅
=
IdpFCv
Cp
S
Wtp H
⋅⋅⋅×





=
2

146
7.14.1 EJERCICIO 16 (Engranes Rectos)
Un sistema de transmisión de engranes rectos, tiene un par de ruedas conectadas
con una relación de transmisión de 4:1, los dos son de acero UNS G10400 tratados
térmicamente y estirados a 1000 ºF, con un ángulo de presión de Ф=20º, un juego
entre dientes
p
c
25.0
= , los dientes se generan con cortador cremallera, con
condiciones medias de montaje y choque ligero en la máquina impulsada y una
confiabilidad del 95%, la potencia suministrada al piñón es de 100 HP a 1120 rpm.
Se pide determinar el tipo de diseño (Calcular el factor de diseño).
SOLUCIÓN:
T 13-1 Npmín= 18 dientes para





=
<
º20
20
φ
completaAltura
P
dientesN
N
N
Rt
G
P
G
72)18(4 ==
=
El piñón y engrane son de igual material, el diente del piñón es el más débil por el
mayor rebaje para evitar la interferencia, por lo tanto el diseño se lo realiza
únicamente para el piñón.







=
=
=
=
−
dientesN
b
a
T
P 18
25.1
1
º20
313
φ
29327.0=y

147
KpsiSutKpsiSTA y 113,8617 ==→−
Tabla para cálculo iterativo mediante Diseño Estático, para determinar F y P
Datos:
Factor de diseño estático n= 4
Np= 18
n2= 1120rpm
H= 100HP
Cantidades Resultados Fórmulas
P 





gpul
dientes
3 4 5
[ ]lgpudp 6 4.5 3.6
P
N
d P
P =




min
pies
V 1759 1319 1056
12
nd
V P ⋅⋅
=
π
[ ]lbWt 1876 2501 3126
V
H
Wt
33000
=
Kv 0.4055 0.47038 0.5319
V
Kv
+
=
1200
1200
[ ]gpulF 2.2 3.33 4.66
n
S
yKv
PWt
F
y
⋅⋅
⋅
=
[ ]lg3 pupFmín = 3.14 2.36 1.88 





=
P
F
π
3
[ ]lg5 pupFmáx = 5.24 3.93 3.14 





=
P
F
π
5
Conclusión:
La solución adecuada es
lg
4lg33.3
pu
dientes
PypuF ==
Redondeando
lg
4lg5.3
pu
dientes
PypuF ==
La solución anterior es para el sistema inglés, pero no contamos con herramientas
en este sistema sino en el sistema internacional por lo tanto se puede realizar una
transformación al sistema internacional, como se indica en el cuadro siguiente:

148
Cuadro de equivalencia del sistema Ingles con el sistema Internacional
Diseño a fatiga (flexión)
nKKn
S
n
mG
e
G
⋅⋅=
=
0
σ
JFKv
PWt
⋅⋅
⋅
=σ
Generado con cortador cremallera →
V
Kv
+
=
50
50
579.0
131950
50
=
+
=Kv





=
=
=
−→
dientesN
a
dientesN
TJ
P
P
72
1
18
513
Interpolando 34810.0=J
KPsi18.14
)34810.0)(5.3(579.0
10)4(2501 3
==σ
fcbaee kkkkSS ⋅⋅⋅⋅= '
KPsiSutSe 5.56)113(5.05.0' ===
2513.725.0 −→= Figka
491389.0 =→−→= PTkb
Cantidades
Fórmulas
(Sistema Inglés)
SISTEMA INGLÉS
P= 4.23
(dientes/pulg)
≈
SISTEMA
INTERNACIONAL
m = 6
(mm/diente)
pd
P
N
d P
P = [ ]gpul25.4 [ ]mm95.107
V
12
nd
V P ⋅⋅
=
π




min
17.1246
pies




min
8.379
m
tW
V
H
Wt
33000
= [ ]lb2684 [ ]kg1220
Kv
V
Kv
+
=
1200
1200
0.49 --
F
n
S
yKv
PWt
F
y
⋅⋅
⋅
=
[ ]gpul6.3 [ ]mm44.91
pFmín 3= 





=
P
F
π
3 [ ]gpul2.2 [ ]mm88.55
pFmáx 5= 





=
P
F
π
5 [ ]gpul7.3 [ ]mm98.93

149
%95868.0 =→= Rkc
111333.1 −→= Tk f
kpsiSe 087.42)33.1)(868.0)(890.0)(725.0(5.56 ==
Choque moderado, impulsado uniforme en la motriz 25.11213 0 =→−→ KT
7.11313 =→− mKT
nnnG 125.2)7.1(25.1 ==
97.2
125.2
09.42
===
σ
e
G
S
n
4.1
125.2
97.2
125.2
=== Gn
n
Según las recomendaciones debe ser 2≥n para un buen funcionamiento a vida
infinita, en este se caso se puede rediseñar los engranes mejorando el material.
Diseño a fatiga superficial
Datos:
lbWt
piesV
gpuld
gpuld
gpuldientesP
G
P
2501
min/1319
18
5.4
/4
=
=
=
=
=
º20
"5.3
50
50
579.0
=
=
+
===
φ
F
V
KvCv
Material de ambos engranes es acero UNS G10400, tratado térmicamente y estirado
a 1000ºF 23517 =→−→ HBTA
Wt
Wtp
nG =
mo
G
CC
n
n
⋅
=
IdFCv
Cp
S
Wtp p
H
⋅⋅⋅×





=
2
ShigleydeTCK oo 121325.1 −→==
ShigleydeTKC mm 13137.1 −→==
KpsiHBSC 8410)235(4.0104.0 =−=−=





==
=→−
%998.0
1.1
10
1513
6
RdedadconfiabiliunahastaC
C
ciclos
T
R
L
1== HT CC

150
kpsiSH 5.11584
8.01
11.1
=⋅
⋅
⋅
=
4
5.4
18
===
dp
d
m G
G
129.0
14
4
2
º20º20
12
=
+
⋅=
+
⋅=
SenCos
m
mSenCos
I
G
Gφφ
Acero sobre acero: 230001413 =→− CpT
lbWtp 2967)129.0)(5.4)(5.3(579.0
2300
105.115
23
=




 ×
=
19.1
2501
2967
===
Wt
Wtp
nG
560.0
7.125.1
19.1
=
⋅
=
⋅
=
mo
G
CC
n
n
Como se puede ver los engranes son más críticos a fatiga superficial ya que el factor
de diseño es menor a uno, se puede mejorar el diseño eligiendo un material de
mayor resistencia.

151
CAPÍTULO 8
ENGRANES HELICOIDALES
8.1INTRODUCCIÓN
Los engranes helicoidales, que se estudiarán en este capítulo, se utilizan para
transmitir movimientos entre ejes paralelos. En el anterior capítulo, el análisis de las
fuerzas en los engranes rectos actúan en un solo plano, en este tema se estudiarán
las fuerzas que actúan en las tres dimensiones, la razón es que los engranes
helicoidales, los dientes ya no son paralelos al eje de rotación.
El análisis presentado en este capítulo se apoyará básicamente en los principios
fundamentales expuesto para el capítulo de engranes rectos, en cuanto se refiere a
Tablas, Diagramas y Gráficas; y se empleará el mismo plan general de presentación.
8.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS HELICOIDALES
Tabla 8.1: Nomenclatura de las ruedas dentadas helicoidales
Denominación Símbolo
H. Rectos H. Helicoidales
Forma del diente → Evolvente Helicoide de la evolvente
Ángulo de la hélice → --- ψ
Ángulo de presión → φ
→tφ Ángulo de presión tangencial
→nφ Ángulo de presión normal
Paso circular → p
→tp Paso circular tangencial
→np Paso circular normal
→Xp Paso circular axial
Paso diametral → P
→tP Paso diametral tangencial
→nP Paso diametral normal
Número de dientes → N N
Figura 8.1: Esquema de un par de engranes helicoidales

152
A continuación se ilustra como se forma el perfil de los engranes helicoidales. Este
perfil se conoce como helicoide de evolvente y se forma así: si se enrolla una tira de
papel cortada en forma de paralelogramo oblicuo o bien se le aplica alrededor de un
cilindro, entonces el borde inclinado de la tira se convierte en una hélice. Al
desenrollar la tira, cada punto del borde mencionado genera la helicoide de
evolvente.
Figura 8.2: Helicoide de evolvente
La siguiente figura representa una fracción de la cremallera obtenida al “abrir” un
engrane helicoidal (vista superior).
Figura 8.3: Vista y cortes de una cremallera Helicoidal
Del triángulo obtenido de la cremallera de un engrane helicoidal (Figura 8.3) se
puede deducir las siguientes relaciones:
ψ
ψ
cos
cos
⋅=
⋅=
xt
tn
pp
pp
ψtg
p
p t
x =

153
Muchos estudiosos sugieren que el ancho de cara sea al menos dos veces el paso
axial xpF 2= ; excepto:



>
<
x
x
pFmarinosengranes
pFvehículosdecambiodecaja
2*
2*
FÓRMULAS:
( )
( )
( ) ψ
π
π
cos3
2
1
⋅=
=⋅
=⋅
tn
nn
tt
pp
Pp
Pp
ψ
ππ
ψ
π
cos(1)de
cos(3)y(2)igualando
⋅=→
⋅==⇒
tn
t
n
n
PP
p
P
p
Finalmente se obtiene:
ψcos
t
n
P
P =
Para el cálculo del paso diametral tangencial se tiene las siguientes fórmulas:







=
=
→=
G
G
t
P
P
t
t
d
N
P
d
N
P
d
N
P
8.3 ENGRANES HELICOIDALES, DIMENSIONES DE LOS DIENTES
Los engranes helicoidales se utilizan en forma intercambiable, como guía general las
dimensiones de los dientes se basan en ángulo de presión normal de 20º. Entonces
puede utilizarse la mayor parte de las proporciones tabuladas en la Tabla 13-1. Las
dimensiones deben calcularse el paso diametral normal. Estas proporciones son
adecuadas para ánulos de hélice de 0 a 30º y todos pueden cortarse con la misma
herramienta. El paso diametral normal de piñón y el engrane deben ser iguales. Otra
consideración para los engranes helicoidales es que el ángulo de hélice puede tomar
valores de 15º, 23º, 30º ó 45º, no son recomendables ángulos mayores.
8.4 FUERZAS EN LOS ENGRANES HELICOIDALES
Figura 8.4: Fuerzas sobre un diente de engrane helicoidal

154
W → Carga total
tW → Carga transversal
rW → Carga radial
aW → Carga axial
222
33000
tra
t
WWWW
V
H
W
++=
⋅
=
Del gráfico anterior se obtienen los siguientes triángulos, en cada uno de los planos:
(1) (2) (3)
Figura 8.5: Triángulos de fuerzas
Del triángulo (1):
t
r
t
W
W
φtan
= (1)
Del triángulo (2):
n
r
at
W
W
φtan
= (2)
Del triángulo (3):
at
t
W
W
=ψcos (3)
Sustituyendo las fórmulas (1) y (2) en (3), se tiene:
t
n
n
r
t
r
at
t
W
W
W
W
φ
φ
ψ
φ
φ
ψ
tan
tan
cos
tan
tan
cos =⇒==
8.5 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA A FLEXIÓN
Para el diseño dinámico de los engranes helicoidales, se considera, el
comportamiento de los esfuerzos, del mismo modo, que para los engranes de
dientes rectos, esto es a flexión simple, por tanto se indica a continuación.
JFK
PW
v
tt
⋅⋅
⋅
=σ
Donde:



⋅
=
+
=
min12
;
78
78 piesnd
V
V
K p
v
π
xpF 2=
→J factor geométrico
Si dientesNn 75;º20 ==φ : →J Figura 14-8a (Shigley)
Si dientesN 75≠ : factor de corrección → Figura 14-8b (Shigley)

155
El factor de diseño para los engranes helicoidales, se indica a continuación:
σ
e
G
S
n =
Donde:
JFK
PW
v
tt
⋅⋅
⋅
=σ
Límite de resistencia a la fatiga:
Donde: 'eS → kpsiSsiSutS ute 2005.0' ≤=
kpsiSsikpsiS ute 200100' >=
ak → Figura 13-25 de Shigley
bk →
neq Pd =
121
12)913(
>=
≤−→
nb
nb
Psik
PsiTablak
fk → Tabla 13-11 de Shigley
Factor de diseño ordinario n
mo
G
KK
n
n
⋅
=
Donde: oK → Factor de sobrecarga (Tabal 13-12 de Shigley)
mK → Factor de la distribución de la carga (Tabal 14-1 de Shigley)
n → Factor ordinario de seguridad
8.6 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA SUPERFICIAL
La fatiga superficial para los engranes helicoidales, se analiza de idéntica forma que
para los engranes rectos, con pequeñas variaciones, que se indican a continuación:
IdFC
W
C
pv
t
pH
⋅⋅⋅
−=σ
Cambiando esta relación con las resistencias del esfuerzo y de la fuerza se tiene la
siguiente fórmula:
IdFC
W
CS
pv
tp
pH
⋅⋅⋅
=
IdFC
C
S
W pv
p
H
tp ⋅⋅⋅⋅








=
2
c
RT
HL
H S
CC
CC
S ⋅
⋅
⋅
=
[ ]kpsiHS Bc 104.0 −⋅=
Donde: pC → Constante elástica (Tabla 13-14 de Shigley)
LC → Tabla 13-15 de Shigley

156
HC → Figura 14-9 de Shigley
TC → 1=TC si CT º250≤
RC → Tabla 13-15 de Shigley
vC → 


⋅
=
+
==
min12
;
78
78 piesnd
V
V
KC p
vv
π
F → xpF 2=
pd → Diámetro de paso del piñón:
t
P
p
p
N
d =
I → Factor geométrico de durabilidad de la superficie
( ) ( )
12
cos
+
⋅
⋅
=
G
G
N
tt
m
m
m
sen
I
φφ
Donde: Nm → Relación de compartición de carga:
195.0 Z
p
m N
N
⋅
=
Gm Relación de diámetros:
p
G
G
d
d
m =
Np → Paso circular base normal: nnN pp φcos⋅=
np → Paso circular normal
( ) ( ) ( ) tGpbGGbpp senrrrarrarZ φ⋅+−−++−+=
2222
CBAZ −+=
Si CBóA > → CZ =
Donde: Gp rr , → Radios de paso del piñón y del engrane, respectivamente
bGbp rr , → Radios bases del piñón y del engrane, respectivamente
A → ( ) 22
bpp rarA −+=
B → ( ) 22
bGG rarB −+=
C → ( ) tGp senrrC φ⋅+=
A continuación se determina el factor de diseño a fatiga superficial para engranes
helicoidales:
W
W
n tp
G =
y el factor ordinario para engranes helicoidales:
mo
G
CC
n
n
⋅
=

157
Conclusión
Los factores de modificación de los engranes helicoidales son iguales a los engranes
rectos excepto en Km y Cm que se obtienen de la Tabla 14-1 y CH en la Figura 14-9
de Shigley.

158
8.7.1 EJERCICIO 17 (Engranes Helicoidales)
El banco de pruebas que se indica en la figura entre sus elementos, consta con un
sistema de transmisión de ruedas helicoidales, el piñón tiene 18 dientes y el
engrane 36 dientes. Los engranes tiene un ángulo de hélice de 30º, un ángulo de
presión normal de 20º, un paso diametral normal de 12 dientes por pulgada. El
motor proporciona una potencia de 1HP a 1800 rpm. El eje del piñón está soportado
en cojinetes en los puntos A y B. Los engranes son de acero UNS G10400, estirado
a 1000ºF. Se ha detectado que hay choque moderado en la rueda impulsada y
uniforme en la rueda impulsora. Las condiciones de montaje son de tipo medio. Se
pide determinar las reacciones en el eje del piñón y los factores de diseño para una
confiabilidad del 90% y para una vida de 108
ciclos.
Datos:
• Material: acero UNS G10400, estirado a 1000ºF
• Choque moderado en impulsada, uniforme en impulsora
• Condiciones medias de montaje
• Confiabilidad = R = 90%
Calcular:
• Fuerzas en los puntos Ay B del eje
• nnG ,
Figura 8.6: Banco de pruebas con tornillos de potencia

159
Figura 8.7: Motor y engranes helicoidales del banco de pruebas
SOLUCIÓN:
A continuación se indica el DCL del eje del motor:
V
H
Wt
⋅
=
33000
gpldtePPP tnt /4.10º30cos12cos =→⋅=⋅= ψ
gpld
P
N
d p
t
p
p 73.1
4.10
18
=→==
inmpieV
nd
V /815
12
180073.1
12
=→
⋅⋅
=
⋅
=
ππ

160
lbWW tt 5.40
815
133000
=→
⋅
=
º8.2242.0
º30cos
º20tan
cos
tan
tan
tan
tan
cos =→===→= t
n
t
t
n
φ
ψ
φ
φ
φ
φ
ψ
lbWWW rttr 1.1742.05.40tan =→⋅== φ
lbWWW ata 4.23º30tan5.40tan =→⋅== ψ
lbWWWWW tra 8.495.401.144.23 222222
=→++=++=
∑ = 0xF → lbWF aAx 4.23==
∑ = 0AzM → lbFBy 20=
∑ = 0yF → lbFAy 9.2=
∑ = 0AyM → lbFBz 6.52=
∑ = 0zF → lbFAz 1.12=
∑ = 0AxM → gpllbT ⋅= 35
Fatiga a flexión:
JFK
PW
v
tt
⋅⋅
⋅
=σ
σ
e
G
S
n =
mo
G
kk
n
n
⋅
=
8536.0
81578
78
78
78
=→
+
=
+
= vv K
V
K
"3.0
4.10
=→== t
t
t p
P
p
ππ
"52.0
º30tan
3.0
tan
=→== x
t
x p
p
p
ψ
"1"04.152.022 ≈=→⋅== FpF x
º30=ψ → Figura 14.8a (Shigley): 43.075 =J ; (para º20;75 == nG dtesN φ )
º20
36
=
=
n
G dtesN
φ
→ Figura 14.8b (Shigley): 97.0=Factor
417.097.0*43.0* 367536 =→== JFactorJJ
kpsi18.1
417.018536.0
4.105.40
=⇒
⋅⋅
⋅
= σσ

161
Acero UNS G10400, estirado a 1000ºF → Tabla A-17



=
=
BB
ut
HH
kpsiS
235
113
'eS → kpsiSSkpsiS uteut 5.565.0'200113 =⋅=→≤=
ak → kpsiSut 113= → Figura 13-25: 73.0=ak
bk → →= 12nP Tabla 13-9: 99.0=bk
ck → →= %90R Tabla 13-10: 897.0=ck
fk → kpsiSut 200< ; laminada → Tabla 13-11: 33.1=fk
ok →
Choque moderado en impulsada, uniforme en impulsora
Tabla 13-12: 25.1=ok
mk → Montaje tipo medio, 1=F → Tabla 14-1: 5.1=mk
kpsiSS ee 7.4833.1897.099.073.05.56 =→⋅⋅⋅⋅=
3.41
18.1
7.48
=→= GG nn
22
5.125.1
3.41
=→
⋅
= nn
→>>>1n El elemento está sobredimensionado.
Fatiga superficial:
IdFC
C
S
W pv
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅








=
2
,
c
RT
HL
H S
CC
CC
S ⋅
⋅
⋅
=
kpsiSHS cBc 84102354.0104.0 =→−⋅=−⋅=
pC → Contacto: acero sobre acero → Tabla 13-14: 2300=pC
LC → →= 8
10N Tabla 13-15: 1=LC
HC → →<== 2.11
BG
Bp
H
H
k Figura 14-9: 1=HC
TC → CT º250≤ 1=→ TC
RC → →= %90R Tabla 13-15: 8.0=RC
KPsiS
CC
CC
S C
RT
HL
H 10584
)8.0(1
)1(1
=⋅=⋅
⋅
⋅
=
IdpFCv
Cp
S
Wtp H
⋅⋅⋅×





=
2

162
12 +
=
G
G
N m
m
m
SenCos
I
φφ
"8.0º8.22
2
73.1
=== CosCosrr tpbp φ
"6.1º8.22
)4.10(2
36
2
==== CosCos
Pt
N
Cosrr t
G
tGbG φφ
"73.1
)4.10(2
36
2
"865.0
2
73.1
===
==
Pt
N
r
r
G
G
p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
346.0
1846.050.0
8.2273.1865.06.108.073.18.008.0865.0
2222
=
<
−+=
⋅+−−++−+=
Z
CByA
Z
senZ
246.0º20
12
=== CosCospp nnN
π
φ
7484.0
)346.0(95.0
246.0
·95.0
===
Z
p
m N
N
16.0
12
2
)7484.0(2
º8.22º8.22
=
+
=
SenCos
I
IdpFCv
Cp
S
Wtp H
⋅⋅⋅×





=
2
lb6.493)16.0)(73.1)(1)(8536.0(
2300
10105
23
=




 ×
=
2.12
5.40
6.493
==Gn
5.6
)5.1(25.1
2.12
==n

163
8.7.2 EJERCICIO 18 (Engranes Helicoidales)
La figura indica un engrane helicoidal de doble reducción se impulsa a través del eje
“a” y recibe 7.5 HP, a una velocidad de 900 rpm. Las ruedas 2 y 3 tienen un Pt = 10
dte/pulg, el º30=ψ , y un º20=tϕ . El piñón 2 se forma con 16 dientes, sesgo a la
izquierda, la rueda 3 tiene 80 dientes. Cada engrane del segundo par del tren, 4 y 5,
tiene un Pt = 6 dte/pulg, un º23=ψ , y un º20=tϕ . El engrane 4 es de sesgo a la
izquierda y tiene 20 dientes, mientras que el 5 tiene 60. Los engranes están
sostenidos por cojinetes localizados como se indica en la figura. El buen diseño
establece que el cojinete de empuje debe situarse de manera que la carga sobre el
eje sea de compresión. Luego ese cojinete resistirá la carga radial y axial, en tanto
que el segundo cojinete del eje está sometido a carga radial pura. Utilizando este
supuesto, determínese la magnitud y la dirección de las cargas radiales y axiales
que los cojinetes C y D ejercen sobre el eje b.
Datos:
rpmn
gpuldtePt
N
HPHN
yRueda
t
900
º20
º30
/10
80
5.716
32
2
3
2
=
=
=
=
=
==
φ
ψ
º20
º23
/6
54
=
=
=
t
gpuldtePt
yRueda
φ
ψ

164
SOLUCIÓN:
Diagrama de cuerpo libre del eje “a”
Diagrama de cuerpo libre del eje “b”
Diagrama de cuerpo libre para el cálculo del torque

165
Cálculo de las cargas:
12
33000
2
2
nd
V
V
H
Wt
π
=
⋅
=
"6.1
10
162
2 ===
Pt
N
d
( )( )
min
377
12
9006.1 pies
V ==
π
( )
32 5.656
377
5.733000
WtlbWt ===
322 379º305.656 WalbtgtgWtWa ==⋅=⋅= ψ
322 239º205.656 WrlbtgtgWtWr t ==⋅=⋅= φ
"8
10
803
3 ===
Pt
N
d
( ) lg262645.656
0
3343 pulbrWtTT
Mx
−==⋅==
=∑
5
4
4
4
4
4
4
6.1575
67.1
2626
666.1
333.3
6
20
Wtlb
r
T
Wt
r
Pt
N
d
====
=
===
lbtgtgWtWrWr t 5.573º206.1575454 =⋅=⋅== φ
lbtgtgWtWaWa 8.668º236.1575454 =⋅=⋅== ψ
"10
6
605
5 ===
Pt
N
d
rpm
N
N
N
N
nn 60
80
16
60
20
900
3
2
5
4
25 =⋅⋅=⋅⋅=
( )( )
min
157
12
6010
5
pies
V ==
π
HPH 5.7
33000
)157(6.1575
== , aquí se indica que la potencia transmitida es la misma, no
se consideran pérdidas.

166
Cálculo de reacciones
∑ = 0Mz
lbR
R
Dy
Dy
4.931
)4(5.656)2(5.573)67.1(8.668)25.5(
=
++=
∑ = 0Fy
lbRCy 6.2984.9315.6565.573 =−+=
∑ = 0My
lbR
R
Dz
Dz
1071
)4(239)4(379)2(6.1575)25.5(
=
++=
∑ = 0Fz
lbRCz 6.74310712396.1575 =−+=
∑ = 0Fx
lbRDx 8.9072398.668 =+=
lbRRF CzCyrc 3.801)6.743()6.298( 2222
=+=+=
lbRRF DzrD Dy
3.1419)1071()4.931( 2222
=+=+=

167
CAPÍTULO 9
COJINETES DE RODAMIENTO
9.1INTRODUCCIÓN
Un cojinete, también denominado rodamiento, es un elemento mecánico que reduce
la fricción entre un eje y las piezas conectadas a éste, sirviéndole de apoyo y
facilitando su desplazamiento.
De acuerdo al tipo de contacto que exista entre las piezas, este es principalmente de
rodadura.
El elemento rotativo que puede emplearse en la fabricación pueden ser: bolas,
rodillos o agujas.
Los rodamientos de movimiento rotativo, según el sentido del esfuerzo que soporta,
los hay radiales, axiales, y axiales-radiales.
Un rodamiento radial es el que soporta cargas radiales, que son cargas de dirección
normal a la dirección que pasa por el centro de su eje, como por ejemplo una rueda,
es axial si soporta cargas en la dirección de su eje, ejemplo de axial-radial, es
generada por ejes que contienen engranes helicoidales.
9.2 NOMENCLATURA DE COJINETES
Figura 9.1: Nomenclatura de cojinetes

168
9.3 TIPOS DE COJINETES
Cada tipo de cojinete muestra propiedades características, que dependen de su
diseño y que lo hace más o menos apropiado para una aplicación dada, de acuerdo
al tipo de carga, como se detalla a continuación:
















−
−
−
→
→





−
−
−
→
barriletesde
scónicorodillosde
bolasde
COJINETECOMBINADAS
BOLASDEAXIALCOJINETEAXIALES
barriletesoagujasde
cóniyscilíndricorodillosde
bolasde
COJINETERADIALES
CARGADETIPOS
*
*
cos)(*
9.4 CLASIFICACIÓN DE COJINETES
Los cojinetes se clasifican por sus elementos rodantes en cojinetes de bolas,
cojinetes de rodillos y cojinetes de agujas.
9.4.1 COJINETES DE BOLAS
Figura 9.2: Clasificación de cojinetes de bolas
a) Ranura profunda
Son cojinetes estandarizados son de ranura profunda y una sola hilera de bolas,
soportan carga radial y cierta carga axial. Para introducir las bolas en las ranuras
se desplaza el anillo interior a una posición excéntrica, luego se separan,
después de ponerlas todas y se coloca el separador.

169
b) Con ranura de entrada para las bolas
Cuando se emplea una ranura de llenado, se logra introducir un mayor número
de bolas aumentando la capacidad de carga radial pero disminuyendo la
capacidad de carga axial.
c) De contacto angular
Este tipo de rodamiento tiene mayor capacidad de carga axial. Pueden obtenerse
con cubiertas de protección en uno o ambos lados, para proteger del polvo y la
suciedad.
d) y e) Protegido y sellado
Muchos cojinetes se fabrican con sellos en uno o ambos lados, en este caso se
lubrican en la fábrica, pero a veces se cuenta con un medio de relubricación.
f) Auto alineación externa
Los cojinetes resisten cierto grado de desalineamiento o desviación del eje, pero
si tal el efecto es muy intenso deben usarse cojinetes autoalineantes.
g) Con doble fila
Estos cojinetes deben obtenerse en diferentes tipos y tamaños para soportar
mayores cargas radiales y axiales.
h) Autoalineante
Estos cojinetes permiten mayores cargas y además absorber las desalineaciones
de los ejes.
i) De empuje
Son para soportar carga axial, y se fabrican en muchos tipos y tamaños.
j) De empuje, autoalineante
Son para soportar carga axial y además absorben las desalineaciones de los
ejes.
A continuación se indica el montaje completo de los cojinetes de rodamiento de
bolas.
Figura 9.3: Montaje de cojinetes de bolas en un eje

170
9.4.2 Cojinetes de Rodillos
Figura 9.4: Clasificación de cojinetes de rodillos
a) Rodillos Cilíndricos
Soportan más carga que los cojinetes de bolas del mismo tamaño por su mayor
área de contacto, pero no aceptan cargas axiales, su montaje debe ser sin
mayores desalineaciones.
b), c) Rodillos Esféricos, y Cónicos de empuje
Sirven para cargas grandes y para desalineamiento, al aumentar la carga
aumenta el área de contacto.
d) Rodillos de agujas
Son muy útiles cuando se cuenta con espacio radial limitado, tiene gran
capacidad de carga cuando llevan separadores.
e) , f) Rodillos Cónicos ordinarios y Contacto angular
Estos pueden aceptar cargas radiales o axiales o una combinación de ambos.
9.5 DURACIÓN O VIDA DE LOS COJINETES
9.5.1 LA VIDA
Es el número total de revoluciones u horas de trabajo a una velocidad constante
requeridas para que se desarrollen los criterios de falla.
La norma de asociación de fabricantes de cojinetes de rodamiento AFBMA establece
que el criterio de falla es la primera manifestación de la fatiga.
Según C. Timken la picadura de una área (agrietamiento o descascarado de una
superficie), de 0.01 pulg2
es la manifestación para indicar que a fallado el cojinete,
sin embargo la vida útil puede ser algo mayor.

171
9.5.2 VIDA NOMINAL
El concepto autorizado por AFBMA de vida nominal, es el número de horas de
trabajo o (número de revoluciones) a una velocidad constante que pueda completar
el 90% del grupo de cojinetes antes que se desarrolle el criterio de falla (área de
0.01 pulg2
), también se le define como vida mínima o vida 10L .
Mischke establece la confiabilidad con la fórmula:
17.1
84.6 10






−
=
L
L
eR
Donde:
=R Confiabilidad en decimal
=L Vida requerida para el diseño
=10L Vida nominal con la confiabilidad del 90%
9.6 CARGAS EN LOS COJINETES
Mediante pruebas para dos grupos idénticos de cojinetes probados con cargas 1F y
2F tienen vidas 1L y 2L .
a
F
F
L
L






=
1
2
2
1
3=a , si es cojinete de bolas
3
10
=a , si es cojinete de rodillos
9.7 RESISTENCIA EN LOS COJINETES
Si C es la capacidad básica de carga radial, y se define como la carga radial
constante que puede soportar un grupo de cojinetes, aparentemente idénticos, para
una vida nominal de un millón de revoluciones del anillo interior (carga estacionaria y
anillo exterior fijo).
Relación de la resistencia con las cargas y la vida de diseño
6
10×





=
a
F
C
L
1LL = Vida deseada FF =1
6
2 10=L Ciclos (Fatiga) CF =2
Si L en millones de revoluciones:
a
a
LFC
F
C
L /1
⋅=⇒





=
Los fabricantes acostumbran a especificar la carga radial nominal o capacidad
básica de carga de un cojinete en correspondencia con una cierta velocidad (rpm) o
cierta vida 10L en horas.
Timken tabula las capacidades de carga a horasL 300010 = y rpmn 500= . A
continuación se indica las ecuaciones para calcular la capacidad de carga, con la
cual se va al catálogo de Timken para seleccionar el cojinete adecuado, la primera

172
ecuación posee la confiabilidad del 90%, en la segunda ecuación la confiabilidad se
puede mejorara a partir del 90%.
a
R
D
R
D
R
n
n
L
L
FC
1






×=
a
a
R
D
R
D
R
R
n
n
L
L
FC
17.1
1
1
1
ln
1
84,6
1












⋅























⋅=
Para una confiabilidad del 90% Para una confiabilidad mayor que 90%
A las ecuaciones anteriores se les puede mejorar al considerar la carga F como una
carga equivalente radial y aplicar un factor de diseño que a continuación se indica:
a
R
D
R
D
eR
n
n
L
L
FnC
1






×⋅=
Donde:
RC Capacidad de carga radial
RL Vida nominal = 3000horas
Rn Velocidad = 500rpm
DL Vida nominal en horas para el diseño
Dn Velocidad en rpm para el diseño
eF Fuerza radial equivalente
n Factor de diseño (Tabla 11-7; Manual de SHIGLEY)
La siguiente ecuación se utiliza para mejorar la confiabilidad, a partir del 90%:
a
a
R
D
R
D
eR
R
n
n
L
L
FnC
17.1
1
1
1
ln
1
84,6
1












⋅























⋅⋅=
Donde:
R Confiabilidad en decimal
9.8 SELECCIÓN DE COJINETES DE BOLAS Y DE RODILLOS
9.8.1 COJINETES DE BOLAS Y RODILLOS CILÍNDRICOS
Para definir la carga radial equivalente eF , las cargas radial y axial que tengan los
cojinetes y que den el mismo efecto, la AFBMA recomienda las fórmulas siguientes
en el caso de cojinetes de bolas y de rodillos:
re FVF ⋅=
are FYFVXF ⋅+⋅⋅=
Donde:
eF Carga equivalente
rF Carga radial aplicada
aF Carga axial aplicada
X Factor radial
Y Factor de empuje axial

173
X e Y dependen de la configuración geométrica del cojinete, esto es: número de
bolas y diámetros de estas, en la Tabla 11-2 de SHIGLEY se obtiene los valores de
X e Y para cojinetes de bolas, se usa el par que dá la mayor carga equivalente.
=V Factor de rotación





=
=
=
girequeanilloelimportarntesautoalineacojinetesParaV
rotatorioexteriorAnilloV
rotatorioeriorAnilloV
sin1
2.1
int1
Los cojinetes se designan con códigos o llamado clave o símbolo de series de
dimensiones, que cada fabricante establece según su criterio, Shigley trae un
extracto de las tablas de Timken para cojinetes de bolas y de rodillos cilíndricos y
rodillos cónicos (Tablas 11-3, 11-4, 11-5 y Fig. 11-11).
9.8.2 COJINETES DE RODILLOS CÓNICOS
Para determinar la carga equivalente eF en los cojinetes de rodillos cónicos, primero
se establece un estudio previo de estos cojinetes que soportan cargas radiales o
axiales o la combinación de las dos, estos cojinetes aún cuando no actúe ninguna
carga externa de empuje, la carga radial induce una reacción de empuje dentro del
cojinete a causa de la conicidad, por lo tanto para evitar la separación entre pistas y
rodillos debido a este empuje tiene que haber otra fuerza opuesta, es así que se
monta los ejes con pares de cojinetes de rodillo cónico, a continuación se indica el
montaje de estos cojinetes.
Figura 9.5: Figura para indicar el montaje de los cojinetes de rodillos cónicos, elementos y cargas

174
En la figura anterior se indica el montaje de los cojinetes de rodillo cónico donde se
distingue el Cojinete A y el Cojinete B, en este caso, el Cojinete A soporta la carga
radial “FrA” y la carga de empuje “Te” que son originadas por el engrane helicoidal de
dicho eje, en cambio el Cojinete B únicamente esta cargado por la carga radial “FrB”,
en los cojinetes de rodillo cónico la carga radial induce a una carga axial dentro del
cojinete
K
F
F r
a
47.0
= , donde 0.47 es la suma de los componentes de empuje de los
rodillos, K toman valores de 1.5 y 0.75, normalmente se usan el 5.1=K y para
cojinetes de gran ángulo 75.0=K , los valores de K se usan en el cálculo preliminar
para verificar si corresponden a los valores exactos, se contrasta con el valor de K
de la Fig.11-11.
FrA y FrB se ubican en el diagrama de cuerpo libre en el centro de carga efectivo “G” a
una distancia “a” del frente del cojinete como se indica en la figura. De esta manera
se obtienen las cargas equivalentes radiales para la figura indicada.






−+=






++=
e
A
rA
BrBeB
e
B
rB
ArAeA
T
K
F
KFF
T
K
F
KFF
47.0
4.0
47.0
4.0
Condición especial:
Si en el cálculo resulta que: rAeArAeA FFFF =⇒<
Si en el cálculo resulta que: rBeBrBeB FFFF =⇒<
Donde:
eAF Carga radial equivalente del cojinete A
eBF Carga radial equivalente del cojinete B
rAF Carga radial exterior del cojinete A
rBF Carga radial exterior del cojinete B
eT Carga axial exterior dirigida al cojinete A
75.05.1 óKK BA == Para el cálculo preliminar
Luego de determinar las cargas radiales equivalentes se procede a determinar la
capacidad básica de carga “CR” para luego con este valor entrar en la Fig.11-11 del
Manual de Shigley y determinar el cono y la copa.
a
R
D
R
D
eR
n
n
L
L
FnC
1






×⋅=
a
a
R
D
R
D
eR
R
n
n
L
L
FnC
17.1
1
1
1
ln
1
84,6
1












⋅























⋅⋅=
Para una confiabilidad del 90% Para una confiabilidad mayor que 90%
9.8.3 SELECCIÓN DE COJINETES SEGÚN CATALOGO 41 250 SA DE LA FAG
Según el catálogo de la FAG para determinar el tamaño de cojinete en las tablas se
debe previamente determinar la capacidad de carga estática si el rodamiento va a
estar en reposo o ejecuta movimientos muy lentos y/o la capacidad de carga
dinámica si el cojinete va a estar sometido a movimientos rápidos.

175
9.8.3.1 Rodamientos solicitados estáticamente
El tamaño del rodamiento se calcula mediante la fórmula:
[ ]KgPfC OSO ⋅=
Donde:
OC Capacidad de carga estática (kg) indicada en las tablas para cada
rodamiento. Esta es, en los rodamientos radiales una carga radial, en
los axiales, una carga axial tal, que la deformación permanente
producida en los puntos de contacto en los cuerpos rodantes y los
caminos de rodadura se igual a 1/10.000 del diámetro de dichos
cuerpos rodantes.
Sf Factor de esfuerzos estáticos. Los valores usuales son:
5.22.1 hastafS = Para solicitaciones elevadas
2.18.0 hastafS = Para solicitaciones normales
8.05.0 hastafS = Para solicitaciones pequeñas
OP Carga estática equivalente (Kg). Esta, es en los rodamientos radiales,
una carga radial ficticia, en los rodamientos axiales, una carga axial
ficticia que, referida a la deformación permanente, tiene el mismo
efecto que la carga realque actúa sobre el rodamiento.
Se calcula mediante la fórmula:
[ ]KgFYFXP aOrOO ⋅+⋅=
rF Carga radial (kg)
aF Carga axial (kg)
OX Factor radial, ver Tablas (catálogo FAG)
OY Factor axial, ver Tablas (catálogo FAG)
9.8.3.2 Rodamientos solicitados dinámicamente
El tamaño de un rodamiento se determina con ayuda de la fórmula:
[ ]KgP
ff
f
C
Hn
L
⋅
⋅
=
Donde:
C Capacidad de carga dinámica (kg), que se indica para cada rodamiento
en las tablas.
Lf Factor de esfuerzos dinámicos. Si reinan condiciones de servicio
análogas a la de un banco de pruebas y se conocen exactamente las
cargas que actúan, puede deducirse de este factor el tiempo probable
de funcionamiento a la fatiga. Para los diversos casos de aplicación
práctica, este factor tiene que incluir la seguridad necesaria y tener en
cuenta las características propias de la máquina (pag. 262 y 263 del
catálogo FAG)
nf Factor de velocidad. Este factor depende únicamente del número de
revoluciones, pero es distinto para rodamientos de bolas (pág. 264,
Catálogo FAG) y para rodamientos de rodillos (pág. 265, Catálogo

176
FAG).
Hf Factor de dureza, que depende de la temperatura de servicio (pag.
249, Catálogo FAG)
P Carga dinámica equivalente (kg). Esta carga es, en los rodamientos
radiales, una carga radial ficticia, en los rodamientos axiales, una carga
axial ficticia, que produce los mismos efectos respecto a la fatiga que la
carga combinada. La carga dinámica equivalente se determina con
ayuda de la fórmula:
[ ]KgFYFXP ar ⋅+⋅=
Donde:
rF Carga radial (Kg)
aF Carga axial (Kg)
X Factor radial, ver Tablas (catálogo FAG)
Y Factor axial, ver Tablas (catálogo FAG)
Si en un eje van montados dos rodamientos de bolas de contacto angular o dos
rodamientos de rodillos cónicos y está cargado radialmente, aparecen fuerzas
axiales de reacción que han de tenerse en cuenta al calcular la carga dinámica
equivalente. Para el cálculo, se denomina con A el rodamiento que absorbe la carga
axial exterior, con B el otro rodamiento. YA es el factor axial del rodamiento A, YB el
del rodamiento B. Se toma:
Para rodamientos de bolas de contacto angular de la serie 173: Y = 0.87
Para rodamientos de bolas de contacto angular de las series 72B y 73B: Y = 0.57
Para rodamientos de rodillos cónicos: Y, según Tablas (catálogo FAG)

177
9.9.1 EJERCICIO 19 (Cojinetes)
Un rodillo de impresión movida por engranes gira a 300 rpm impulsado por F = 200
lb, sobre la superficie inferior del rodillo 3 actúa una carga uniformemente distribuida
W = 20 lb/pulg en dirección positiva de “y”, seleccione cojinetes de bolas de la serie
02, que se instalarán en “O” y en “A”, el factor de diseño o aplicación es 1.2, L10 = 30
kh, determinar el tamaño de los cojinetes de rodamiento, que deben ser iguales.

178
lbF
CosF
Mox
R
R
141
)5.1(º20200)2(
0
=
=
=∑
lbA
FCosFA
Moy
Z
RZ
4.303
0)25.14(º20)75.5()5.11(
0
=
=−−
=∑
lbO
FCosAFO
Fz
Z
ZRZ
54.25
0º20
0
=
=−+−
=∑
blA
FSenAR
Moz
y
y
8.4
0)25.14(º20)5.11()75.5(
0
=
=−+
=∑
lbO
FSenARO
Fy
y
yy
4.96
0º20
0
=
=+−−
=∑
lbF
lbF
A
O
44.3034.3038.4
10054.254.96
22
22
=+=
=+=
La fórmula adecuada para este caso es con confiabilidad del 90%.
a
R
D
R
D
eR
n
n
L
L
FnC
1






×⋅=
Se seleccionará el cojinete de rodamiento de bolas para el que tiene carga mayor.
KNlbCR 95.27.661
500
300
3000
30000
)44.303(2.1
3
1
==





×=
SEGÚN T11-3 SHIGLEY
SERIE 02
mmB
mmD
mmD
KNC
e
i
R
9
30
10
58.3
=
=
=
=

179
SEGÚN FAG
Para carga dinámica
[ ]KgP
ff
f
C
Hn
L
⋅
⋅
=
lbFP A 44.303==
Pág. 262 FAG, engranes universales de tipo medio 5.3=Lf
Pág. 264 FAG, para cojinete de bolas y n= 300 rpm 481.0=nf
Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC 1=Hf
[ ]kglbC 6.100398.220744.303
1481.0
5.3
==⋅
⋅
=
Pág. 14 FAG, Rodamientos FAG rígidos de bola.
Rodamientos en ejecución normal, lubricación con grasa 62 04
mmB
mmD
mmd
kgC
14
47
20
1000
=
=
=
=

180
La figura muestra un contraeje engranado, provisto de un piñón en voladizo en C .
Se pide seleccionar un cojinete de bolas simple de contacto radial para mantenerlo
en O , y un cojinete de rodillos cilíndricos para instalarlo en B .
Datos: lbFA 600=
rpmn 480=
( )lbkjRO
ρρ
471388 +−=
( )lbkjRB
ρρ
1620317 −=
4.1=n
khL 5010 =
02Serie
lbFF rOrO 610471388 22
=→+=
lbFF rBrB 7.16501620317 22
=→+=
Para el punto O :
kNC
n
n
L
L
FnC RO
a
R
D
R
D
eRO 6.9
3000
50000
500
480
6104.1
3
11
=→





⋅⋅⋅=





⋅⋅=
Tabla 11-3 (Shigley):





=
=
=
=→
mmB
mmd
mmd
kNC e
i
15
52
25
8.10

181
Para el punto B :
kNC
n
n
L
L
FnC RB
a
R
D
R
D
eRB 6.26
3000
50000
500
480
7.16504.1
10
31
=→





⋅⋅⋅=





⋅⋅=
Tabla 11-5 (Shigley):















=
=
=
=→





=
=
=
=→
mmB
mmd
mmd
kNCSERIE
mmB
mmd
mmd
kNCSERIE
e
i
e
i
19
72
30
3.3003*
17
72
35
2602*

182
La figura muestra un eje utilizado en un reductor de velocidad con engrane
helicoidal, en el que se aplica una fuerza ( )[ ]lbkjiF
ρρρρ
230064001700 −+−= al engrane
B , como se ilustra. Las fuerzas AF y CF , de igual magnitud, oponen resistencia a la
fuerza aplicada. Las direcciones de ambas indican los vectores unitarios
( )[ ]lbkjiFA
ρρρ
814.0342.047.0ˆ +−= y ( )[ ]lbkjiFC
ρρρ
814.0342.047.0ˆ +−−= . La notación Fˆ
significa FF /
ρ
. En este problema se desea determinar las capacidades radiales que
se requieren de cojinetes de rodillos cónicos que se montarán en los alojamientos O
y D . Las dimensiones del árbol mostrado en la figura sitúan los centros de carga
efectiva de los engranes y de los cojinetes. Estos últimos deben tener una vida 10L
de kh60 . Empléese un factor de aplicación unitario y una 5.1=K . La velocidad de
árbol es de 1200 rpm y el diámetro del cojinete es de 3.5 plg, aproximadamente.
Datos: ( )[ ]lbkjiFB
ρρρρ
230064001700 −+−=
( )[ ]lbkjiFA
ρρρ
814.0342.047.0ˆ +−=
( )[ ]lbkjiFC
ρρρ
814.0342.047.0ˆ +−−=
CA FF =
khL 6010 =
rpmNárbol 1200=
gplDcojinete 5.3=
Cojinetes de rodillos 3/10=→ a

183
∑
∑
∑
∑
∑
==→=
=→=
=→=
=→=
=→=
lbTFF
lbFF
lbFM
lbFF
lbFM
eOxx
Ozz
Dzy
Oyy
Dyz
17000
52500
52500
1.5110
1.5110
lbFFFF rDrOrDrO 28.527452501.511 22
==→+==
Para el punto 0:
a
R
D
R
D
eORO
n
n
L
L
FnC
1






⋅⋅=
klblbF
T
K
F
KFF
eO
e
O
rO
OrOeO
14.77138
1700
5.1
28.527447.0
5.128.52744.0
47.0
4.0
==→






+
⋅
⋅+⋅=





+
⋅
+⋅=
klbFFF eOrOeO 138.7=→>
klbCC RORO 8.22
3000
1200
500
60000
138.7
10
3
=→





⋅⋅=
La Figura 11-11 de Shigley, no cuenta con esta carga como se puede ver.
Para el punto D:
a
R
D
R
D
eDRD
n
n
L
L
FnC
1






⋅⋅=
klblbF
T
K
F
KFF
eD
e
D
rD
DrDeD
04.26.2038
1700
5.1
28.527447.0
5.128.52744.0
47.0
4.0
==→






−
⋅
⋅+⋅=





−
⋅
+⋅=
klbFFF eDrDeD 27.5=→>
klbCC RDRD 83.16
3000
1200
500
60000
27.5
10
3
=→





⋅⋅=
La Figura 11-11 de Shigley, no cuenta con esta carga como se puede ver.

184
SEGÚN FAG
Para carga dinámica
[ ]kgP
ff
f
C
Hn
L
⋅
⋅
=
Selección de cojinete de rodillos cónicos para punto “O”.
Datos:
klbF
klbF
a
r
7.1
27.5
=
=
323.0=
r
a
F
F
Pág. 97 26.0=e , 3.2=Y entonces e
F
F
r
a
>
KgFYFP ar 5.2735)7.1(3.2)27.5(4.04.0 =+=⋅+=
Pág. 262 FAG, grandes engranajes para barcos 3.3=Lf
Pág. 264 FAG, para cojinete de rodillos y n= 1200rpm 341.0=nf
Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC 1=Hf
[ ]KgC 264735.2735
1341.0
3.3
=⋅
⋅
=
Por lo tanto de tablas [ ]KgC 35500= , si cumple.
Denominación 303 22
mmB
mmD
mmd
KgC
50
240
110
35500
=
=
=
=
mma
mmr
mmr
mmT
mmc
47
5.1
4
5.54
42
1
=
=
=
=
=
Selección de cojinete de rodillos cónicos para punto “D”.
Datos:
klbF
klbF
a
r
0
27.5
=
=
0=
r
a
F
F
kgklbFP r 5.239527.5 ===
Pág. 262 FAG, grandes engranajes para barcos: 3.3=Lf

185
Pág. 264 FAG, para cojinete de rodillos y n = 1200 rpm: 341.0=nf
Pág. 249 FAG, Temperatura de servicio menor a 120ºC: 1=Hf
[ ]kgC 3.231825.2395
1341.0
3.3
=⋅
⋅
=
Por lo tanto de tablas [ ]kgC 24000= .
Denominación 323 13A
mma
mmr
mmr
mmT
mmc
mmB
mmD
mmd
kgC
33
2.1
5.3
51
39
48
140
65
24000
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=

186
CAPÍTULO 10
COJINETES DE DESLIZAMIENTO
(LUBRICACIÓN EN LOS COJINETES)
10.1INTRODUCCIÓN
En un soporte de muñón (o chumacera) el extremo de un eje, o muñón, gira u oscila
dentro de un buje (o cojinete), el movimiento relativo es deslizante, el desgaste y el
calentamiento de estos es evidente, esto hace necesario la lubricación para reducir
el rozamiento, desgaste y el calentamiento.
El área de aplicación de los cojinetes de deslizamiento es muy amplia. Los cojinetes
de cigüeñal y las bielas de un motor de automóvil tienen que trabajar durante miles
de kilómetros de recorrido a temperaturas elevadas y en condiciones de cargas
variables. Los cojinetes de deslizamiento de las turbinas de vapor de las plantas
generadoras de energía deben tener confiabilidades próximas al ciento por ciento.
En definitiva hay miles de aplicaciones en las que las cargas son ligeras y el servicio
relativamente de poca importancia. Se requiere un cojinete simple, fácil de instalar y
que utilice poco o nada de lubricante. En tales casos citados anteriormente el
cojinete de rodamiento puede ser una solución inadecuada por su alto costo, los
alojamientos muy elaborados, las tolerancias estrechas, el espacio radial, las altas
velocidades o los más intensos efectos de inercia. En vez de ello puede lograrse una
solución satisfactoria con cojinetes de fricción lubricados o cojinetes que no
requieren lubricación.
10.2 TIPOS DE LUBRICACIÓN
Para los cojinetes de fricción se utilizan cinco tipos de lubricación que son:
• Hidrodinámica.- Aquella en que la superficie del cojinete y el eje están
separadas por una capa de lubricante gruesa a manera de impedir el contacto
entre metal y metal. Puede introducirse lubricante a presión o no, por lo tanto
existen dos tipos de lubricación hidrodinámica: LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA
SIN PRESIÓN Y LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA CON PRESIÓN.
• Hidrostática.- Esta lubricación se obtiene introduciendo el lubricante (aire o
agua) en el área de soporte de la carga a una presión suficientemente elevada
para separar las superficies con una capa suficientemente gruesa, no se requiere
del movimiento de una superficie con respecto a otra.
• Elastohidrodinámica.- Se introduce el lubricante entre las superficies que
están entre contacto rodante como los engranes y los cojinetes de rodamiento.
• De película mínima o a límite.- En esta lubricación se impide la formación de
una película de lubricante suficientemente gruesa para que haya lubricación

187
fluida o de película completa debido a la insuficiente área de contacto que reduce
la cantidad de lubricante suministrado al cojinete.
• Con material sólido.- Cuando los cojinetes tienen que trabajar a
temperaturas extremas debe usarse un lubricante de película sólida, como el
grafito o el disulfuro de molibdeno, porque los aceites ordinarios de origen
mineral no dan resultados satisfactorios.
10.3 VISCOSIDAD
La figura muestra dos placas: la placa fija B y la placa móvil A, que se mueve con
una velocidad U, sobre una película de lubricante de espesor h, la cual se considera
que está formada por una serie de capas horizontales, en las que la fuerza F
ocasiona su deformación o deslizamiento de una sobre otras, como lo hacen los
naipes de una baraja. También se supondrá que las capas que están en contacto
con la placa móvil tienen la velocidad U y que las que están en contacto con la
superficie fija, tienen velocidad nula (0). La ley de Newton para el movimiento de un
fluido viscoso establece que el esfuerzo cortante que se genera en el fluido es
proporcional al régimen de variación de la velocidad con respecto a y; en
consecuencia:
dy
du
A
F
µτ ==
Donde:
µ es la constante de proporcionalidad que define la llamada viscosidad ( viscosidad
absoluta), en consecuencia la viscosidad µ es una medida de la resistencia al
rozamiento interno en fluidos. La unidad de medida de la viscosidad en el Sistema
Inglés es 2
/ gplsegllbf − , lo cual es esfuerzo por tiempo. Esta unidad se conoce
como reyn. La viscosidad en el Sistema Internacional se expresa en sPa − , que
equivale a 2
/1 msegNewton − ; sPareyn ⋅=16890
Figura 10.1: Deslizamiento entre una placa fija y otra móvil y una película de lubricante.

188
10.4 RELACIÓN DE LA TEMPERATURA CON LA VISCOSIDAD DE
ALGUNOS FLUIDOS
A continuación se indica el gráfico de la variación de los, lubricantes más utilizados
versus la temperatura.
Figura 10.2: Comparación de las viscosidades de diversos fluidos
10.5 RELACIÓN DE PARÁMETROS DE UN COJINETE CON
LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA
A continuación se indica el gráfico con los parámetros que intervienen en un cojinete
con lubricación hidrodinámica, también se determina el coeficiente de rozamiento en
función de estos parámetros.
Figura 10.3: Parámetros que intervienen en un cojinete con lubricación hidrodinámica
Donde: c → Holgura radial ( )gpl
r → Radio del eje ( )gpl
U → Velocidad periférica: ( )seggplNrU /2 ⋅⋅= π
τ → Esfuerzo de corte:
c
Nr
h
U ⋅⋅
==
π
µµτ
2
W → Fuerza sobre el cojinete ( )lbf

189
P → Presión (fuerza por unidad de superficie): )(
2
psi
lr
W
P
⋅
=
f Coeficiente de rozamiento
rF Fuerza de rozamiento: ( )lbfWfFr ⋅=
T Torque de rozamiento: ( )gpllbfrWfrFT r ⋅⋅⋅=⋅=
Torque debido a la viscosidad del fluido
Si
A
F
=τ AF ⋅=→ τ ;
( ) rlr
c
Nr
rArFT ⋅⋅⋅⋅




 ⋅⋅
⋅=⋅⋅=⋅=→ π
π
µτ 2
2
c
lNr
T
⋅⋅⋅⋅
=⇒
µπ 32
4
Torque debido al rozamiento
( ) rPlrfrWfrFT r ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= 2
PlfrT ⋅⋅⋅=⇒ 2
2
Como los torques son iguales:
Plfr
c
lNr
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅ 2
32
2
4 µπ
P
N
c
r
f
⋅
⋅⋅=⇒
µ
π 2
2
10.6 LUBRICACIÓN ESTABLE
La lubricación hidrodinámica o de película gruesa se puede explicar observando la
siguiente figura. Esta gráfica indica la variación del coeficiente de rozamiento en
función de la característica
P
N⋅µ
, del cojinete; la cual define estabilidad en la
lubricación y ayuda a entender la lubricación de película delgada. Supóngase que se
analiza lo que está a la derecha de la ordenada BA y que, por ejemplo; ocurre un
aumento en la temperatura del lubricante. Esto da origen a un descenso de la
viscosidad y, por lo tanto, a un valor menor de
P
N⋅µ
. El coeficiente de rozamiento
disminuye, no se genera tanto calor por el esforzamiento del lubricante y, en
consecuencia, desciende si temperatura. Por lo tanto, la región situada a la derecha
de la ordenada de A define la lubricación estable porque las variaciones se corrigen
por sí solas.
A la izquierda de la ordenada de A una adisminucion de la viscosidad haría aumentar
la fricción. Por consiguiente, se produciría un aumento de temperatura y la
viscosidad se reduciría aún más. En consecuencia, esta región representa la
lubricación inestable de película delgada y habrá posibilidad de que exista cierto
contacto directo metal-metal.

190
Figura 10.4: Variación del coeficiente de fricción con
P
N⋅µ
10.7 LUBRICACIÓN DE PELÍCULA GRUESA
La figura que se indica a continuación representa el muñón de un eje que está a
punto de comenzar a girar en sentido horario. En las condiciones iniciales del
movimiento el cojinete estará seco o, por lo menos parcialmente, de manera que el
muñón ascenderá o rodará en sentido ascendente sobre el lado derecho del
cojinete, como se ilustra en la figura.
Ahora, supóngase que se introduce un lubricante en la parte superior del lubricante
como se indica en la figura. La acción del muñón giratorio es impulsar el lubricante
alrededor del cojinete en sentido horario. El lubricante es introducido a un espacio en
forma de cuña y empuja al muñón hacia el otro lado. Se forma una película de
espesor mínimo oh , no en la parte inferior del muñón sino desplazado en el sentido
de la rotación. Esto se explica por el hecho de que, en la mitad convergente de la
película, la presión alcanza un máximo en un punto situado a la izquierda del centro
del cojinete.
Figura 10.5: Formación de la película

191
10.8 TEORÍA DE LA LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA
La teoría para la lubricación hidrodinámica está basada en la ecuación de Reynolds
que a continuación se indica.
Figura 10.6: Gráfico de la lubricación hidrodinámica (Diagrama de cuerpo libre de un elemento)
Consideraciones que deben tomarse en cuenta para la deducción de la
ecuación de Reynolds.
• Las películas de fluido son tan delgadas en comparación con el radio del cojinete,
que su curvatura se desprecia. Esto permite sustituir al cojinete con un plano
llamado plano de deslizamiento.
• El lubricante obedece a la Ley de Newton de un fluido viscoso. Las fuerzas
debido a la inercia del lubricante son despreciables.
• El lubricante es incompresible.
• La viscosidad es constante en toda la película.
• La presión no varía en la dirección axial.
• El cojinete y el muñón se prolongan indefinidamente en la dirección z (no hay flujo
en esa dirección).
• La presión solo varía en el eje x

192
• La velocidad de un partícula cualquiera del lubricante en el seno de la película
depende solo de las coordenadas x e y.
• Para el análisis se determina un elemento de lubricante de dimensiones
dzdydx ,, .
∑ ∂
∂
=→=
ydx
dp
Fx
τ
0
Como
y
u
∂
∂
= µτ 2
2
y
u
dx
dp
∂
∂
⋅=→ µ
Realizando las operaciones del caso se llega a determinar la ecuación de la
velocidad:
( ) y
h
U
hyy
dx
dp
u ⋅−−⋅⋅= 2
2
1
µ
El caudal Q se define como el volumen del lubricante que fluye en la dirección x:
( )∫∫ ⋅





⋅−−⋅⋅=⋅=
hh
dyy
h
U
hyy
dx
dp
dyQ
0
2
0
2
1
µ
µ
Operando se llega a la siguiente expresión para el flujo del lubricante:
dx
dphhU
Q ⋅−
⋅
−=
µ122
3
Como el fluido es incompresible:
0
122
0
3
=





⋅−
⋅
−=
dx
dphhU
dx
d
dx
dQ
µ
Operando:
dx
dh
U
dx
dph
dx
d
6
3
−=





⋅
µ
; Ecuación de Reynolds para flujo unidimensional sin fugas
laterales.
x
h
U
z
ph
zx
ph
x ∂
∂
−=





∂
∂
⋅
∂
∂
−





∂
∂
⋅
∂
∂
6
33
µµ
; Ecuación de Reynolds para flujo unidimensional
considerando las fugas laterales.
Una de las soluciones a la ecuación anterior es la denominada ecuación de
Sommerfield:







 ⋅






==
P
N
c
r
f
c
r
S
µ
φ
2
Donde φ indica una relación funcional.

193
10.9 FACTORES DE DISEÑO
Parámetros independientes (valores dados o controlados por el diseñador).
Nombre Símbolo Observación
Viscosidad µ Se puede elegir el lubricante
Presión P Se puede calcular las cargas sobre unidad de área
rpm N Se conoce las revoluciones a las que va a girar el eje
Dimensiones β,,, lcr Estas dimensiones son conocidas
Parámetros dependientes (valores que el diseñador no puede controlar
directamente)
Nombre Símbolo Observación
Coeficiente de rozamiento f Resulta del cálculo
Diferencia de temperaturas T∆ Se puede medir la temperatura de entrada pero
no de salida
Caudal de lubricante Q Resulta del cálculo
Espesor mínimo de película 0h Resulta del cálculo
10.10 RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES
A través de la técnica de la iteración se resuelve la ecuación de Reynolds, mediante
una computadora digital, obteniéndose datos extensos que se encuentran a
disposición. Los investigadores Raimondi y Boyd, han publicado tres partes, 45
diagramas y 6 tablas, Shigley trae algunos gráficos para una relación de la longitud
del cojinete al diámetro del eje ( )dl / , para los siguientes valores: ¼, ½, 1 y ∞ ; para
cojinete completo ( )º360=β , estos gráficos tienen como abscisa el número
característico del cojinete de Sommerfield:
P
N
c
r
S
⋅






=
µ
2
, y como ordenadas los
parámetros dependientes que se van a determinar. También se tiene los gráficos de
la viscosidad vs la temperatura en las figuras 12-11, 12-12 y 12-13 (Shigley) para los
diferentes aceites lubricantes. La figura 12-14 sirve para optimizar el sistema de
lubricación y determinar el espesor mínimo de película. La figura 12-15 sirve para
determinar la posición del espesor mínimo de película. La figura 12-16 indica la
distribución y posición de la presión en el lubricante. La figura 12-17 sirve para
determinar el coeficiente de rozamiento. La figura 12-18 trae los valores del caudal
total. La figura 12-19 determina los valores del flujo lateral. La figura 12-20 determina
el valor de la presión, máxima del lubricante. La figura 12-21 determina la posición
de las presiones que hay en el lubricante.

194
Fórmula para interpolar












−





−+





−





−−





−





−+





−





−





−−






= ∞ 4/12/113
211
24
1
411
4
1
4121
3
1
41211
8
11
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
d
l
d
l
y
Donde y es la variable deseada dentro del intervalo ∞<<
d
l
4
1
; y 4/12/11 ,,, yyyy∞
son las variables correspondientes a relaciones 





d
l
de
4
1
,
2
1
,1,∞ ; respectivamente.
10.11 ELEVACIÓN DE TEMPERATURA
El eje efectúa trabajo sobre el lubricante. Esto produce calor, el cual se disipa por
conducción, convección y radiación y es tomado por el flujo de aceite, el cual
absorbe y transporta todo el calor generado. A continuación se presenta un enfoque
analítico para la determinación del aumento de temperatura del lubricante.
Parámetros y fórmulas utilizados:
J → Equivalente mecánico del calor: [ ]BtugpllbfJ /9336 ⋅=
HC → Calor específico del lubricante: [ ]FlbfBtuCH º/42.0 ⋅=
γ →
Densidad del lubricante para una densidad relativa media de 0.86:
[ ]3
/0311.0 gpllbf=γ
FT∆ → Incremento de temperatura [ ]Fº
X → Variable de fricción: f
c
r
X 





=
Y → Variable de flujo:
lNcr
Q
Y
⋅⋅⋅
=
El calor generado es:
J
NrWf
J
NT
H
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
ππ 22
(1)
Pero también se puede determinar en función de T∆ : ( ) TQCH H ∆⋅⋅⋅= γ
Consideraciones:
• El flujo lateral sQ absorbe [ ]FT º
2
1
∆⋅
• El flujo ( )sQQ − absorbe [ ]FT º∆
Por lo tanto el calor total generado en todo el flujo es:
( )[ ] 




 ∆
⋅⋅⋅+∆⋅−⋅⋅=
2
T
QCTQQCH sHsH γγ












⋅−⋅⋅
=∆→
Q
Q
QC
H
T
s
H
2
1
1γ
(2)

195
Reemplazando (1) en (2):












⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=∆→
Q
Q
QJC
NrWf
T
s
H
2
1
1
2
γ
π
(3)
X
r
c
ff
c
r
X 





=→





=
( ) YlNcrQ
lNcr
Q
Y ⋅⋅⋅⋅=→
⋅⋅⋅
=
Reemplazando en (3):












⋅−⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
=∆
Q
Q
YJC
X
lr
W
T
s
H
2
1
1
2
4
γ
π
Reemplazando X e Y y los valores de γ , HC y J , y operando se tiene:
( )
lNcr
Q
f
c
r
Q
Q
P
FT
s
⋅⋅⋅






⋅






⋅−
⋅
=∆
2
1
1
103.0
º ; [ ]psiP →
( )
lNcr
Q
f
c
r
Q
Q
P
FT
s
⋅⋅⋅






⋅






⋅−
⋅
=∆
2
1
1
3.8
º ; [ ]MPaP →
10.12 OPTIMIZACIÓN EN EL SISTEMA DE LUBRICACIÓN
HIDRODINÁMICA
En el diseño de un cojinete por lubricación de película gruesa, el diseñador debe
seleccionar el grado de aceite y lcNrP ,,,, . Una selección impropia de estos
valores o un control no adecuado de los mismos da origen a valores de 0h
demasiado delgado, el cojinete se sobrecalienta y falla. Además es difícil mantener
exacta la holgura radial, y puede aumentar por desgaste. A continuación se índica el
rango adecuado de valores de c para el diseño.

196
Figura 10.7: Gráfica de algunas de las características de funcionamiento del cojinete
10.13 COJINETES CON LUBRICACIÓN A PRESIÓN
Cuando un flujo normal se calienta demasiado se necesita aceite adicional
suministrado a presión, para que todo el flujo pase por el cojinete y se consiga el
máximo enfriamiento y además el mayor soporte de carga sin que haya
sobrecalentamiento. A continuación se indica este tipo de sistema.
Figura 10.8: Cojinete con canal para lubricación

197
Figura 10.9: Cojinete y eje con lubricación a presión
dx
dp
y
dxpydppy
Fx
=
=−−+
=∑
τ
τ 022)(2
0
Figura 10.10: Gráfico para determinar el flujo lateral
=SQ Flujo lateral total
( )2
3
5.11
´3
ε
µ
π
⋅+
⋅
⋅⋅
=
l
crP
Q S
S
Donde:
c
e
=ε
´4´2
2/
lr
W
lr
W
P
⋅
=
⋅
=

198
SH QC
H
T
⋅⋅
=∆
γ
(1)
J
NrWf
H
⋅⋅⋅⋅
=
π2
(2)
(2) en (1) y SQ
( ) ( )23
2
3
5.11
´6
5.11
´3
22
º
εγ
µ
ε
µ
π
γ
π
γ
π
⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅+
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=∆
cPCJ
NWfl
l
crP
CJ
NrWf
QCJ
NrWf
FT
SHS
H
SH
Reemplazando los valores de : HCJ ,,γ
( )23
5.11
´
0492.0º
ε
µ
⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅=∆
cP
NWfl
FT
S
(3)
P
N
c
r
S
⋅






=
µ
2
Si
´4 lr
W
P
⋅
=
W
Nlr
c
r
S
⋅⋅⋅






=
µ´4
2
r
c
r
WS
Nl
4
´
2






⋅
=⋅⋅µ (4)
Reemplazando (4) en (3)
( )[ ]
4
2
2
/
5.11
0123.0
º
rP
WSfcr
FT
S ⋅
⋅
⋅
⋅+
=∆
ε
lgpur
PsiP
lbW
S
→
→
→
( )[ ]
4
2
2
6
/
5.11
)10(978
º
rP
WSfcr
CT
S ⋅
⋅
⋅
⋅+
=∆
ε
Donde:
mmr
KPaP
KNW
S
→
→
→
Para la lubricación a presión se utilizan las Fig. 12-14 a Fig. 12-17 y Fig. 12-20 de
SHIGLEY, a la presión máxima de película dada por la Fig. 12-20, debe sumarse la
presión de suministro SP , con el fin de obtener la presión total de la película,
SmáxT PPP += , para entrar dentro de estas figuras se utiliza
d
l´
, y
W
Nlr
c
r
S
⋅⋅⋅






=
µ´4
2
,
la Fig. 12-18 y Fig. 12-19 de SHIGLEY no se utilizan para este tipo de lubricación por
obvias razones.

199
10.14.1 EJERCICIO 22 (Cojinetes deslizamiento)
Un cojinete de lubricación un soporte de muñón completo ( )º360=β tiene RPS30 ,
una carga lbW 500= , un radio "75.0=r , la holgura "0015.0=c , la longitud "5.1=l ,
se ha medido que FT º1001 = , el aceite utilizado es un 20SAE . Se pide determinar si
es un sistema óptimo, y de serlo se pide determinar cuáles son los valores de la
temperatura de salida, el coeficiente de rozamiento, el torque, la pérdida de
potencia, la pérdida de calor, el caudal de lubricante, la presión máxima en el
lubricante, la posición de la presión máxima y la posición de la presión cero ( )Poθ ;
para el diseño del sistema de lubricación.
Datos Incógnitas
º360=β Temperatura de salida: 2T
RPSN 30= Coeficiente de rozamiento: f
lbW 500= Torque: rT
"75.0=r Pérdida de potencia: H
"0015.0=c Pérdida de calor: H
"5.1=l Caudal de lubricante: Q
FT º1001 = Presión máxima en el lubricante: máxP
Aceite 20SAE Posición de la presión máxima: Pmáxθ
Posición de la presión cero: Poθ
Solución: (Sin presión de entrada)
• 1
5.1
5.1
=→=
d
l
d
l
• psiP
lr
W
P 222
5.175.02
500
2
=→
⋅⋅
=
⋅
=
• µµ
µ
⋅=→





=
⋅






= 33780
222
30
0015.0
75.0
22
S
P
N
c
r
S
Primera suposición (A):
• Suponer FT º30=∆ ( ) FTTTm º11530
2
1
100
2
1
1 =+=∆+=⇒
• FTm º115= : Figura 12-11 (Shigley) reyn6
108.5 −
⋅=→ µ
• ( ) 196.0108.533780 6
=→⋅⋅= −
SS
•
196.0
1
=
=
S
d
l









=→−
=
⋅⋅⋅
→−
=→−
⇒
57.01912.
1.41812.
5.41712.
Q
Q
Fig
lNcr
Q
Fig
f
c
r
Fig
s

200
• ( ) ( ) FFT
lNcr
Q
f
c
r
Q
Q
P
FT
s
º19.35º
1.4
5.4
57.0
2
1
1
222103.0
2
1
1
103.0
º =∆→⋅






⋅−
⋅
=
⋅⋅⋅






⋅






⋅−
⋅
=∆
• ( ) ( ) ( ) ( )puestosumAmAm TFTTTT ≠=→+=∆+= º6.11719.35
2
1
100
2
1
1
Los valores de µ y de mT determinados constituyen el punto A de la figura 12-11.
Para determinar los valores reales de µ y de mT se procede a suponer una valor de
µ para el cual se puede determinar la mT (punto B de la figura). Los valores
requeridos se encuentran en la intersección de la recta formada por los puntos A y B
y la curva de la figura para el aceite 20SAE .
Según figura 12-11 (Shigley)
Nueva suposición (B):
• Suponer reyn6
104 −
⋅=µ
• ( ) 135.010433780 6
=→⋅⋅= −
SS
•
135.0
1
=
=
S
d
l









=→−
=
⋅⋅⋅
→−
=→−
⇒
66.01912.
28.41812.
2.31712.
Q
Q
Fig
lNcr
Q
Fig
f
c
r
Fig
s
• ( ) ( ) FFT
lNcr
Q
f
c
r
Q
Q
P
FT
s
º5.25º
28.4
2.3
66.0
2
1
1
222103.0
2
1
1
103.0
º =∆→⋅






⋅−
⋅
=
⋅⋅⋅






⋅






⋅−
⋅
=∆
• ( ) ( ) ( ) ( )puestosumBmBm TFTTTT ≠=→+=∆+= º75.1125.25
2
1
100
2
1
1

201
La solución se obtienen en la intersección de AB con la curva:
( )



=
⋅= −
FT
reyn
realm º117
105.5 6
µ
• ( ) ( ) FTTTT m º3410011722 1 =∆→−=−=∆
• FTTTTT º13434100 2212 =→=−=−=∆
• ( ) 185.0105.533780 6
=→⋅⋅= −
SS
•
185.0
1
=
=
S
d
l
( )











=→−
=→−
=→
=→
→−
⇒
15.41712.
º581512.
0.51
0.51
sombreadaáreadeldentroÓPTIMOESDISEÑOEL1412.
0
f
c
r
Fig
Fig
c
h
Fig
φ
ε
• "000765.00015.051.051.0 0
0
=⋅=→= h
c
h
• "000735.00015.049.0 =→⋅=⋅= ece ε
• 0083.0
75.0
0015.0
15.415.4 =⋅=→= ff
c
r
• [ ]gpllbTrfWT ⋅=→⋅⋅=⋅⋅= 11.375.00083.0500
• Pérdida de potencia: [ ]HPH
NT
H 089.0
1050
3011.3
1050
=→
⋅
=
⋅
=
• Pérdida de calor: [ ]sBtuH
NT
H /063.0
9336
3011.32
9336
2
=→
⋅⋅
=
⋅⋅
=
ππ
•
185.0
1
=
=
S
d
l















=→
=→−
=→−
=→−
=
⋅⋅⋅
→−
⇒
º82
º75.172112.
45.02012.
58.01912.
13.41812.
Po
Pmáx
máx
s
Fig
P
P
Fig
Q
Q
Fig
lNcr
Q
Fig
θ
θ
• ( ) [ ]sgpllNcrQ
lNcr
Q
/208.05.1300015.075.013.413.413.4 3
=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=→=
⋅⋅⋅
• [ ]sgplQQ
Q
Q
s
s
/12.0208.058.058.058.0 3
=⋅=⋅=→=

202
• [ ]psi
P
P
P
P
máx
máx
3.493
45.0
222
45.0
45.0 ===→=
10.14.2 EJERCICIO 23 (Cojinetes deslizamiento)
Un cojinete de casquillo de ¾” de diámetro y 2” de largo tiene una ranura
circunferencial central de ¼” de ancho por la que suministra aceite 10SAE a Fº120 y
psi30 . La holgura radial es de 0.0015”, el muñón gira a RPM3000 y la carga media
es de psi600 de área proyectada. Calcúlese el aumento de temperatura, el espesor
mínimo de película y la presión máxima en ésta.
Datos Incógnitas
"875.08/11' =−=l Aumento de temperatura: T∆
"747.0)0015.0(275.0 =−=d Espesor mínimo de película: 0h
"3735.05.0 == dr Presión máxima: máxP
Aceite 10SAE
FT º1201 =
psips 30=
"0015.0=c
RPMN 3000=
psiP 600=
"5.1=l
Solución: (Con presión de entrada)
• 17.1
'
747.0
875.0'
=→=
d
l
d
l
• ( ) ( ) [ ]lblrPW
lr
W
P 35.784875.03735.04600'4
'4
=⋅⋅=⋅=→
⋅
=
• µµ
µ
⋅=→





=
⋅






= 75.5166
600
50
0015.0
3735.0
22
S
P
N
c
r
S
• Fórmula para interpolar:












−





−+





−





−−





−





−+





−





−





−−






= ∞ 4/12/113
211
24
1
411
4
1
4121
3
1
41211
8
11
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
y
d
l
d
l
d
l
d
l
y
Sustituyendo 





d
l
por 17.1
'
=





d
l
:
( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) 











⋅−−
+⋅−−−⋅−⋅−+⋅−⋅−−−
=
∞
4/1
2/11
3
17.12117.11
24
1
17.14117.11
4
1
17.14117.121
3
1
17.14117.12117.11
8
1
17.1
1
y
yyy
y
( )4/12/1117.1 0095.01564.0644.11048.06244.0 yyyyy +−+=⇒ ∞

203
Primera suposición (A):
• Suponer FT º30=∆ ( ) FTTTm º13530
2
1
120
2
1
1 =+=∆+=⇒
• FTm º135= : Figura 12-11 (Shigley) reyn6
1038.2 −
⋅=→ µ
• ( ) 0125.01038.275.5166 6
=→⋅⋅= −
SS
• Resumen de los valores de 4/12/11 ,,, yyyy∞ determinados de los gráficos,
para 0125.0=S
Denom.
Figura
12-14
Figura
12-17
Observación
ε f
c
r
∞y 0.89 0.8
Valores que se encuentran en los gráficos respectivos
1y 0.93 0.88
2/1y 0.945 1.05
4/1y 0.965 1.15
17.1y 0.926 0.86
Valor calculado mediante la ecuación (22a), con los
valores de 4/12/11 ,,, yyyy∞ determinados.
• 4
2
24
2
2
3735.030
35.7840125.086.0
926.05.11
0123.0
5.11
0123.0
º
⋅
⋅⋅
⋅
⋅+
=
⋅
⋅











⋅
⋅+
=∆
rp
WSf
c
r
FT
Sε
( ) FFFT º61º94.60º ≈=∆→
• ( ) ( ) ( ) ( )puestosumAmAm TFTTTT ≠=→+=∆+= º5.15061
2
1
120
2
1
1
Según figura 12-11 (Shigley)
Nueva suposición (B):
• Suponer reyn6
106.1 −
⋅=µ

204
• ( ) 00827.0106.175.5166 6
=→⋅⋅= −
SS
• Resumen de los valores de 4/12/11 ,,, yyyy∞ determinados de los gráficos, para
00827.0=S
Denom.
Figura
12-14
Figura
12-17
Observación
ε f
c
r
∞y 0.918 0.59
1y 0.94 0.63
2/1y 0.95 0.66
4/1y 0.97 0.69
17.1y 0.938 0.625
• 4
2
24
2
2
3735.030
35.78400877.0625.0
938.05.11
0123.0
5.11
0123.0
º
⋅
⋅⋅
⋅
⋅+
=
⋅
⋅











⋅
⋅+
=∆
rp
WSf
c
r
FT
Sε
( ) FFFT º31º625.30º ≈=∆→
• ( ) ( ) ( ) ( )puestosumBmBm TFTTTT ≠=→+=∆+= º5.13531
2
1
120
2
1
1
La solución se obtienen en la intersección de AB con la recta:
( )



=
⋅= −
FT
reyn
realm º145
102 6
µ
• ( ) ( ) FTTTT m º9010014522 1 =∆→−=−=∆
• FTTTTT º21090120 2212 =→=−=−=∆
• ( ) 01033.010275.5166 6
=→⋅⋅= −
SS
01033.0=S
Denom.
Figura
12-14
Figura
12-17
Observación
ε f
c
r
∞y 0.92 0.64
1y 0.942 0.78
2/1y 0.96 0.82
4/1y 0.97 0.86
17.1y 0.939 0.768

205
• 4
2
24
2
2
3735.030
35.78401033.0768.0
939.05.11
0123.0
5.11
0123.0
º
⋅
⋅⋅
⋅
⋅+
=
⋅
⋅











⋅
⋅+
=∆
rp
WSf
c
r
FT
Sε
( ) FFFT real º44º27.44º ≈=∆→
01033.0=S
Denom.
Figura
12-14
Figura
12-20
Observación
c
h0
máxP
P
∞y 0.08 0.323
1y 0.057 0.202
2/1y 0.04 0.143
4/1y 0.03 0.102
17.1y 0.06 0.215
• 00009.00015.006.006.006.0 0
0
=⋅=⋅=→= ch
c
h
• psi
P
P
P
P
máx
máx
7.2790
215.0
600
215.0
215.0 ===→=
psiPpPP TsmáxT 7.2820307.2790 =→+=+=

206
CAPÍTULO 11
CABLES DE ALAMBRE METÁLICOS1
11.1INTRODUCCIÓN
Se fabrican con alambre de acero estirado en frío que enrollan primero en torones;
luego se enrollan los torones en hélices alrededor de un elemento central o núcleo,
que usualmente es de cáñamo, pulpa o alma de cable metálico que puede ser
(IWRC), en este último, el cable es mucho más resistente al aplastamiento, alta
temperatura que puede destruir un núcleo de cáñamo, la resistencia es un 7.5%
mayor, y menor alargamiento bajo carga.
Figura 11.1: Gráfico de cables que indica las secciones con núcleo y sin núcleo central
Figura 11.2: Tipos de cables metálicos
El cable se fabrica con torcido normal, en que los alambres y los torones se
retuercen en sentidos contrarios y torcidos lang, en que los alambres y los torones
se retuercen en el mismo sentido. Actualmente la mayoría de cables metálicos son
preformados, dándose en primer lugar mecánicamente a los torones individuales la
forma de hélice que tiene en el cable. Los cables preformados son más flexibles y su
1
Todo el Capítulo es tomado del texto “Diseño de Máquinas de FAIRES”

207
bobinado más fácil. Cuanto mayor es el número de alambres en el torón, más
flexible es el cable y cuanto menor es el número de alambres más rígido es el cable.
Los cables construidos por alambres delgados son adecuados para dobleces
pronunciados, sin embargo los alambres exteriores están sometidos a desgaste
cuando rozan superficies (pasando sobre una polea), y los alambres pequeños se
desgastan más rápidamente que los grandes, la disposición de construcción está
indicada por dos números, de los cuales el primero da el número de torones, y el
segundo el número de alambres de cada toron, por ejemplo un calble de 6x19 tiene
6 torones de 19 alambres cada uno. Existen muchos tipos de secciones
transversales como se indica en la figura siguiente, y de acuerdo a esta las
aplicaciones.

208
Figura 11.3: Cables de acero estandard fabricados bajo normativa DIN/ISO
11.2 RESISTENCIAS
Los materiales corrientes para los cables metálicos son acero de alto contenido de
carbono y la mayoría son de acero mejorado para arados, a continuación se indican
las resistencias de las distintas calidades de los alambres para los cables.
IPS tienen una máxima resistencia a la tracción “ Su ”
2
1968016870
cm
Kg
Su ≤≤
KPsiSu 280240 ≤≤
Acero para arado (PS)
2
1687014760
cm
Kg
Su <<
KPsiSu 240210 <<
Acero dulce para arado (MPS)
2
1476012650
cm
Kg
Su <<
KPsiSu 210180 <<
Hierro con bajo contenido de carbono (0.1%), para situaciones no peligrosas.
2
7030
cm
Kg
Su <
KPsiSu 100<
Acero de may alta resistencia (VHS), para situaciones peligrosas.
2
2390019680
cm
Kg
Su <<
KPsiSu 340280 <<
También se usa cables de alambre galvanizado, bronce fosforoso y acero
inoxidable.
La resistencia del cable es siempre menor que la suma de las resistencias de los
alambres.
Se ha elaborado una tabla para algunos tipos de cables con los valores de los
parámetros siguientes:
=W Peso por longitud de cable
=sD Diámetro de la polea

209
=wD Diámetro del alambre (para el tipo de cable en que todos los alambres
tienen el mismo diámetro).
=mA Sección transversal de metal en cada cable
=rE Módulo de elasticidad del cable
=rD Diámetro del cable
Tabla 11.1: Tabla de Propiedades de los Cables Metálicos (Unidades Métricas)
Diámetro
del cable
[ ]cmDr
Cable metálico 6x7
[ ]
[ ]cmDdeseableD
cmDmínD
mKgDw
rS
rS
r
72
42
/35.0 2
=
=
=
Cable metálico 6x19
[ ]
[ ]cmDdeseableD
cmDmínD
mKgDw
rS
rS
r
45
30
/37.0 2
=
=
=
Cable metálico 6x37
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]mKgDw
IWRC
cmKgE
cmDA
cmDD
cmDdeseableD
cmDmínD
mKgDw
r
r
rm
rW
rS
rS
r
/394.0
:
/843700
4.0
048.0
27
18
/357.0
2
2
22
2
=
≈
≈
≈
=
=
=
[ ]
[ ]
[ ]2
22
/914000
38.0
111.0
cmKgE
cmDA
cmDD
r
rm
rW
≈
≈
≈
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]mKgDw
IWRC
cmKgE
cmDA
cmDD
r
r
rm
rW
/405.0
:
/843700
4.0
067.0
2
2
22
=
≈
≈
≈
RESISTENCIA NOMINAL A LA ROTURA EN TONELADAS MÉTRICAS, uF
... SPI ..SP ... SPM ... SPI ..SP ... SPM ... SPI ..SP
11.1
95.0
79.0
63.0
19.7
31.5
71.3
39.2
25.6
62.4
22.3
08.2
44.5
01.4
81.2
81.1
51.7
53.5
86.3
48.2
52.6
81.4
36.3
16.2
66.5
18.4
92.2
87.1
09.7
24.5
65.3
35.2
16.6
56.4
17.3
04.2
90.1
59.1
43.1
27.1
59.20
42.14
79.11
10.9
96.17
61.12
25.10
12.8
60.15
88.10
90.8
06.7
59.21
16.15
24.12
71.9
77.18
14.13
71.10
47.8
32.16
42.11
25.9
37.7
47.20
32.14
70.11
25.9
78.17
42.12
15.10
03.8
17.3
86.2
54.2
22.2
3.55
17.45
01.36
85.27
0.48
28.39
29.31
22.24
7.41
20.34
21.27
05.21
6.58
71.47
90.37
20.29
1.51
45.41
01.33
40.25
3.44
1.36
6.28
1.22
7.55
4.45
1.36
7.27
5.48
4.39
3.31
1.24
44.4
13.4
81.3
49.3
1.78
3.66
0.68
6.57
1.59
1.50
4.112
1.97
4.83
4.70
0.98
6.84
5.72
2.61
9.84
6.73
1.63
3.53
9.107
4.93
6.79
2.67
5.93
9.80
2.69
5.58
71.5
40.5
08.5
76.4
4.181
3.162
1.145
9.127
8.157
4.141
1.126
6.111
8.109
0.97
0.175
9.156
7.139
2.123
3.152
0.136
5.121
0.107
98.6
35.6
8.264
3.221
2.230
2.192
6.257
0.214
0.224
9.185

210
11.3 CARGAS EN EL CABLE
Hay numerosas aplicaciones en que el proyectista deberá atenerse a un código y
frecuentemente a requisitos o especificaciones legales, por ejemplo ascensores.
Siendo así el proyectista cumple los requisitos del código, pero aquí se indica las
consideraciones básicas partiendo del diagrama de cuerpo libre; que se indica
=Ft Fuerza de tracción debido a la carga que soporta (incluyendo la inercia). A
demás como lo frecuente es que el cable se doble sobre una polea, el esfuerzo se
incrementó por esta causa.
Ecuación del momento para doblar elásticamente un alambre.
r
IE
M
⋅
=
Esfuerzo de flexión en el alambre.
I
cM ⋅
=σ
c
I
M b ⋅
=
σ
Donde:
=rE Módulo de elasticidad del cable
=E Módulo de elasticidad del alambre (30MPsi) 2´109000 kg/cm2
=I Momento de inercia
=r Radio de doblez del cable
2
SD
r =
=bσ Esfuerzo sobre el alambre
=c Distancia entre eje neutro a la fibra más alejada
2
wD
c =
[ ]Psi
cm
Kg
D
DE
D
DE
r
cE
c
I
r
IE
M
S
w
S
w
b
b
,
2/
2/
2 


⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
σ
σ
mbb AF ⋅= σ
Donde:
=bF Carga equivalente de flexión del cable
Para determinar el alargamiento del cable se utiliza
[ ] [ ]lg, pucm
EA
LF
E
L
rmr ⋅
⋅
=
⋅
=
σ
δ
Donde:
=L Longitud del cable
EEr <<

211
11.4 DISEÑO ESTÁTICO
t
bu
aplicadat
admisiblet
F
FF
F
F
n
−
==
Donde:
buadmisiblet FFF −=
=uF Fuerza de resistencia a la rotura en el cable (Tablas).
=tF Carga de tensión máxima aplicada al cable.
Según el manual de Roebling recomienda los siguientes factores de diseño:
Tabla 11.2: Factores de diseño recomendados
APLICACIÓN n
Tensores o vientos 3.5
Equipo diverso de elevación 5
Cables de tracción (grúas y cabrias) 6
Polipastos pequeños 7
Grúas de colada 8
11.5 DISEÑO A FATIGA
La rotura a la fatiga puede ser pronosticada mediante la relación
Su
p
en función del
número de ciclos de flexión, y se determina en la figura que se indica a continuación:
Donde:
=p Presión de apoyo por unidad de superficie de área proyectada de cable sobre la
polea, su ángulo de contacto es 180º.
=Su Resistencia máxima de los alambres.
Sr
t
DD
F
p
⋅
=
2
aplicada
admisible
p
p
n =
Donde:
Su
Su
p
p admisible 





=
Sr
t
aplicada
DD
F
p
⋅
=
2
t
Sr
Sr
t F
DDSu
Su
p
DD
F
Su
Su
p
n
22
⋅⋅





=
⋅






=

212
Figura 11.4: Gráfico para determinar la presión de apoyo p del cable sobre la polea
Figura 11.5: Gráfico para determinar
Su
p
Vs Número de ciclos para vida finita e infinita, para 4
diferentes cables
En el gráfico anterior observa
Su
p
Vs Número de ciclos se observa que puede
obtenerse una vida infinita cuando 0015.0≤
Su
p
, y 0015.0>
Su
p
tendrá una duración
limitada.
La garganta de la polea deberá ser suficientemente ancha para no oprimir el cable, y
así evitar un excesivo desgaste debido a la presión. También debe tomarse en
cuenta las siguientes presiones recomendadas, para cable de 6x19 y una polea de
hierro fundido la presión es de 35kg/cm2
, y con polea de acero moldeado la presión
es 63kg/cm2
, y con polea de acero al manganeso la presión es de 75 kg/cm2
.
Es importante también realizar todos los procedimientos de mantenimiento
adecuados para evitar el deterioro prematuro del cable, así como si se descubre
alambres rotos debe ser el cable reemplazado inmediatamente.

213
11.6.1 EJERCICIO 24 (Cables metálicos)
Un montacargas de cajón destinado a una mina, pesa 900Kg y debe elevar una
carga máxima de 1370Kg desde una profundidad de 300 metros. Se alcanza en 5
segundos la máxima velocidad de 6 m/s. Se pide:
a) Qué tamaños de cable IPS 6x19 y de poleas se deben utilizar para vida
infinita y para n=1.3 a base de la resistencia estática.
b) Cuál es el factor de diseño estático.
c) Cuáles son las dimensiones del cable y de la polea que se necesitan si el
número de ciclos (flexión y enderezamiento) durante el tiempo de vida útil que
se desea es 200 000 ciclos. Cuál es el correspondiente factor de diseño
estático.
d) Cuál es el alargamiento del cable hallado según el literal c) si se añade la
carga de 1370Kg mientras el gancho del cabrestante cuelga libre en el fondo.
Solución:
a) Diseño a Fatiga
2
2
2
6.1242548
2.1
8.9
1112270
1112270
rt
r
rt
DF
D
DF
maF
+=





 +
=−−
=∑
3.1
)(16870 2
=
=
n
mínimo
cm
Kg
SuSi
)inf(0015.0 initavida
Su
p
=
t
Sr
F
DDSu
Su
p
n
2
⋅⋅





=

214
( )
( )168700015.0
6.1242548)3.1(22 2
rt
Sr
D
Su
Su
p
Fn
DD
+
=






⋅
=⋅
Usando el valor deseable rS DD 45= cable largo (Tabla)
( )
"
8
1
185.2
2.32
798.261
798.2612.32
798.2618.1245
8.12798.26145
2
22
2
≈==
=
=−
+=
cmD
D
DD
DDD
r
r
rr
rrr
cmDcmD SS 130128)85.2(45 =→==
Recalculando n
( )( )( )
( )[ ]
31.1
85.26.12425482
13085.2168700015.0
2
=
+
=
n
n
Se utiliza un cable
cmDr 85.2"
8
1
1 ==
Una polea de cmDS 130=
b) Diseño Estático
t
bu
F
FF
n
−
=
Tabla
ToneladasFu 71.47=
cmDr 86.2=
2
4.0
067.0
196
rm
rW
DA
DD
IPS
=
=
×
S
W
bmbb
D
DE
AF
⋅
=→⋅= σσ
( )( )
KgF
DD
A
D
DE
F
b
rr
m
S
W
b
10150
130
4.0067.02109000 2
=
=
⋅
=
( )[ ] KgFt 3560857.26.1242548
2
=+=
5.10
3560
1015047710
=
−
=
n
n

215
Este resultado indica que si se hubiese efectuado el cálculo a base de la condición
estática con un factor de diseño de la tabla (por ejemplo 5), podría esperarse que la
resistencia no fuese suficiente para soportar un número indefinido de ciclos.
c)
Para este caso se supone que el cable va a tener 6 ciclos de trabajo por hora y que
trabaja durante las 8 horas diarias y durante 300 días por año y que el cable se
diseña para una vida útil de 7 años por lo tanto el número de ciclos totales sería
igual a ( )( )( ) ciclosN 100800730086 == , pero hay que prevenir los casos en que se
acelera la velocidad de casos de operaciones con circunstancias no usuales como el
doble de ciclos que sería en total ( ) ciclosNT 2016001008002 == , por lo que
redondeando se tendría el diseño para ciclos000200 .
En la figura correspondiente con 200 000 ciclos, hallamos 0028.0=
Su
p
y sustituimos
este valor y rS DD 45= .
( )[ ]
( )168700028.0
6.12425483.122
45
2
2 rt
r
D
Su
Su
p
FN
D
+
=






⋅
=
Donde:
"
4
3
905.191.1 =→= cmadoptamoscmDr
( ) cmcmDS 857.85905.145 ≈==
Probamos por medio de la tabla
KgoToneladasFu 2159059.21
( )( )
( ) KgDF
Kg
DD
D
ADE
F
rt
rr
S
mW
b
3000905.16.12425486.1242548
4595
85
4.0067.02109000
22
2
=+=+=
==
⋅⋅
=
66.5
3000
459521590
=
−
=
−
=
t
bu
F
FF
n
Este valor está más cercano con el de la tabla que es 5.
d)
( )( )
( )[ ] cm
EA
LF
rm
5.33
843700905.14.0
1003001370
2
==
⋅
⋅
=δ

216
CAPÍTULO 12
TORNILLO SIN FIN
12.1INTRODUCCIÓN
La siguiente figura muestra un mecanismo de tornillo sin fin (engrane-tornillo o
gusano), los ejes se cortan a un ángulo de 90º lo cual es muy usual en los
mecanismos, y el estudio se realizará para este tipo de sistema, entornillo puede ser
de una o más entradas. Un gusano de un diente se asemeja a un hilo de rosca de
tronillo ACME.
Los mecanismos de tornillo sin fin son de simples o doblemente evolventes, la
diferencia más importante que hay entre los dos es el tipo de contacto, los de simple
evolvente el contacto es una línea, los de doble evolvente el contacto es una
superficie.
Tanto el tornillo como el engrane tienen el mismo sesgo de hélice, pero los ángulos
de hélice suelen ser completamente diferentes. Generalmente el ángulo de hélice
del tornillo es bastante grande y el de la rueda muy pequeño. Debido a esto es usual
especificar el ángulo de avance para el gusano λ y el ángulo de hélice Gψ para el
engrane; estos dos ángulos son iguales para este diseño.
Figura 12.1: Mecanismo de Tornillo Sin Fin
En la siguiente figura se indica la nomenclatura de un mecanismo de tornillo sin fin,
al especificar el paso en mecanismos de tornillo sin fin se acostumbra a enunciar el
paso axial xp del tronillo, y el paso circular transversal del engrane conectado tp .
Estos pasos son iguales en el caso presente xp = tp . El diámetro de paso del

217
engrane es el diámetro medido sobre un plano que contiene al eje del gusano como
se indica en la figura y vale:
π
tG
G
pN
d =
Donde:
Gd Diámetro de paso del engrane
GN Número de dientes del engrane
tp Paso circular transversal del engrane
El diámetro de paso del tornillo sin fin puede tener cualquier diámetro porque no
tiene relación con el número de dientes, sin embargo este debe ser igual al diámetro
de paso de la fresa utilizada para formar los dientes del engrane. Por lo general se
establece un rango para este diámetro, como se indica:
7.10.3
875.0875.0
C
d
C
W ≤≤
Donde:
Wd Diámetro de paso del sin fin
C Distancia entre centros
2
GW dd
C
+
=
Figura 12.2: Mecanismo de Tornillo Sin Fin-Nomenclatura
El avance “L” tiene las siguientes relaciones:
Wx NpL =
Wd
L
tg
π
λ =

218
Los ángulos de presión normales nφ empleados dependen de los ángulos de avance
λ. Una altura de dientes satisfactoria puede obtenerse dando a la altura un valor en
proporción al del paso circular axial, como se indica en la siguiente tabla:
Tabla 12.1: Relación de parámetros para mecanismos de tornillo sin fin
El ancho de cara GF de la rueda debe ser igual a la longitud de una tangente a la
circunferencia de paso de sin fin como se indica en la figura:
Figura 12.3: Gráfico del tornillo sin fin que indica el ancho de cara del engrane
12.2 ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN
En la siguiente figura se indica el diagrama de cuerpo libre del sin fin que tiene tres
componentes ortogonales que son: la tangencial, radial y axial, y además el
movimiento relativo entre los dientes del gusano y la rueda es un deslizamiento puro
que genera fricción produciendo una fuerza de fricción adicional, a continuación se
determina las ecuaciones para las distintas componentes de las fuerzas:
Figura 12.4: Diagrama de cuerpo libre del tornillo sin fin
Ángulo de λ= Gψ ,
Avance grados
Ángulo de presión
nφ , grados
Adendo
a
Dedendo
Gb
0-15
15-30
30-35
35-40
40-45
14 1/2
20
25
25
30
0.3683px
0.3683 px
0.3683 px
0.3683 px
0.3683 px
0.3683 px
0.3683 px
0.3314 px
0.2947 px
0.2578 px

219
En las siguientes fórmulas se desprecia la fricción:
λφ
φ
λφ
CosWCosW
WSenW
SenWCosW
n
z
n
y
n
x
=
=
=
z
GtWa
y
GrWr
x
GaWt
WWW
WWW
WWW
=−=
=−=
=−=
Donde:
=x
W Fuerza tangencial
=y
W Fuerza radial
=z
W Fuerza radial
El subíndice w es para el tornillo sin fin, y el subíndice G es para el engrane.
La fricción tiene una función importante en un mecanismo de sinfín, la fuerza tota W,
normal al perfil del diente del sinfín, produce una fuerza de fricción WWf ⋅= µ , que
tiene una componente en el eje de las x λµ CosWWfx ⋅⋅= y en el eje y
λµ SenWWfy ⋅⋅= , por lo tanto las ecuaciones se convierten en:
)(
)(
λµλφ
φ
λµλφ
SenCosCosWW
WSenW
CosSenCosWW
n
z
n
y
n
x
−=
=
+=
La fuerza de fricción tiene la relación:
λφλµ
µ
µ
CosCosSen
W
WW
n
Gt
f
−
==
Una relación útil puede ser la siguiente:
λφλµ
λµλφ
CosCosSen
CosSenCos
WW
n
n
GtWt
−
+
=
La eficiencia del tornillo se obtiene de la siguiente manera:
)(
)(
fricciónConW
fricciónSinW
Wt
Wt
=η
λµφ
λµφ
η
CotCos
tgCos
n
n
+
+
=
La ecuación anterior se puede resolver para los datos: un valor típico 05.0=µ ,
ángulos de presión y avance de la Tabla 12.1, cuyos resultados se indican en la
siguiente tabla:

220
Tabla 12.2: Eficiencia de mecanismos de tornillo sin fin para 05.0=µ
Ángulo de hélice
Gψ =λ,
grados
Eficiencia η,
%
1.0
2.5
5.0
7.5
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
25.2
46.8
62.6
71.2
76.8
82.7
86.0
88.0
89.2
En la figura siguiente se indica vectorialmente las velocidades en la línea de paso
del engrane GV , del sin fin WV y la velocidad relativa o de deslizamiento SV , donde
vectorialmente se tiene: SGW VVV += , por lo tanto:
λCos
V
V W
S =
Figura 12.5: Componentes de velocidad en un mecanismo de sin fin
El diagrama que se indica a continuación sirve para determinar el coeficiente de
fricción para mecanismos de sin fin en función de la velocidad de deslizamiento.

221
Figura 12.6: Valores representativos del coeficiente de fricción para mecanismos de sin fin basados
en la existencia de una buena lubricación, la curva B para materiales de alta calidad (un sin fin con
temple de superficie conectado a un engrane de bronce fosforado), la curva A se emplea es de
esperar mayor fricción (en sin fin y engrane de hierro colado)
12.3 EFUERZOS EN UN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN
Buckingham adapta la ecuación de Lewis para el esfuerzo de flexión en
el engrane del mecanismo de tornillo sin fin y se tiene:
yFp
W
Gn
Gt
⋅⋅
=σ
λCospp xn =
Donde:
σ Esfuerzo por flexión, Psi
GtW Carga transmitida, lb
np Paso circular normal, pulg
xp Paso circular axial, pulg
GF Ancho de cara de la rueda, pulg
y Factor de forma de Lewis relacionado con el paso circular
λ Angulo de avance
Para el tornillo sin fin es difícil determinar el esfuerzo por flexión porque sus dientes
son gruesos y cortos en los bordes de la cara y delgados en el plano central.
12.4 DISEÑO ESTÁTICO EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN
La resistencia a la flexión de los dientes del engrane puede llegar a ser el factor de
diseño principal, la ecuación del esfuerzo es una aproximación no se considera
concentración de esfuerzos y no existe información al respecto, solo se diseñará
estáticamente. Los dientes del sin fin son intrínsicamente más resistentes que los de
su engrane.

222
Diseño estático para el engrane
Figura 12.7: Elemento ordinario de esfuerzos y círculo de Mohr
x
yS
n
σ
= ;
yFp
W
Gn
Gt
x
⋅⋅
=σ
yFp
W
S
n
Gn
Gt
y
⋅⋅
=→
Tabla 12.3: Valores de factor de forma y para mecanismos de tronillos sin fin
12.5 CAPACIDAD DE POTENCIA DE UN MECANISMO DE TORNILLO SIN
FIN
La ecuación de la AGMA para la potencia nominal de entrada en HP de un
mecanismo de tornillo sin fin es:
33000126000
fS
G
WGGt
WV
m
ndW
H
⋅
+
⋅
⋅⋅
=
Donde:
G
WGGt
m
ndW
⋅
⋅⋅
126000
Potencia de salida
33000
fS WV ⋅
Pérdida de potencia
Angulo de presión
normal nφ , grados
Factor de
forma y
14 ½
20
25
30
0.100
0.125
0.150
0.175

223
vmeGSGt KKFdKW 8.0
=
GtW Carga a transmitir, lb
Gd Diámetro de paso del engrane, pulg
Wn Velocidad de tornillo, rpm
Gm Relación de transmisión
W
G
N
N
=
SV Velocidad de deslizamiento en el diámetro medio
del tornillo, pie/min
fW Fuerza de fricción, lb
SK Factor de corrección por tamaño y materiales
(Tabla 12.4)
eF Ancho de cara efectivo. Esta dimensión es el ancho
de cara del engrane o dos tercios del diámetro de
paso del sinfín. Se usa el menor de estos dos
valores.
mK Factor de corrección de la relación de velocidades
(Tabla 12.5)
vK Factor de velocidad (Tabla 12.6)
Tabla 12.4: Factor de materiales sK para mecanismos de tornillo sinfín cilíndricos
Ancho de cara del
engrane GF , pulg
Bronce de colado
en arena
Bronce de colado frío
estático
Bronce de colado
centrifugo
Hasta 3
4
5
6
7
8
9
700
665
640
600
570
530
500
800
780
760
720
680
640
600
1000
975
940
900
850
800
750
Tabla 12.5: Factor de corrección de la relación de velocidades mK
Relación Relación Relación
Gm mK Gm mK Gm mK
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
6.0
7.0
0.500
0554
0.593
0.620
0.645
0.679
0.706
8.0
9.0
10.0
12.0
14.0
16.0
20.0
0.724
0.744
0.760
0.783
0.799
0.809
0.820
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
100.0
0.825
0.815
0.785
0.745
0.687
0.622
0.490

224
Tabla 12.6: Factor de velocidad vK
Velocidad
sV , pie/min vK
Velocidad
sV , pie/min vK
Velocidad
sV , pie/min vK
1
1.5
10
20
30
40
60
80
100
150
200
250
0.649
0.647
0.644
0.638
0.631
0.625
0.613
0.600
0.588
0.558
0.528
0.500
300
350
400
450
500
550
600
700
800
900
1000
1200
0.472
0.446
0.421
0.398
0.378
0.358
0.340
0.310
0.289
0.269
0.258
0.235
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
4000
5000
6000
0.216
0.200
0.187
0.175
0.165
0.156
0.148
0.140
0.134
0.106
0.089
0.079

225
12.6 EJERCICIO RESUELTO
12.6.1 EJERCICIO 25 (Tornillo sin fin)
Un tornillo sin fin de material acero ASSAB 705 tratado térmicamente de sesgo a la
derecha y 2 entradas transmite 1HP a 1200 rpm a un engrane con 30 dientes. Este
tiene un diámetro de paso transversal de 6 dientes por pulgada y un ancho de cara
de 1 pulg y su material es bronce fosfórico ( )KPsiSKPsiS yut 9.14,4.22 == . El sin fin
tiene un diámetro de paso de 2 pulg y una anchura de cara de 2 ½ pulg. El ángulo
de presión normal es de 14 ½ º. Determine:
a) Hállese el paso axial, la distancia entre centros, el avance y el ángulo de
avance.
b) El esquema del ejercicio es un croquis del mecanismo con respecto al
sistema de coordenadas descrito en esta sección. A la rueda del sinfín la
soportan los cojinetes A y B. Calcúlese las fuerzas que ejercen los cojinetes
sobre el eje del engrane y el momento de torsión de salida.
c) Calcule el factor de diseño.
d) Determine la capacidad de potencia a transmitir.
Figura 12.9: Mecanismo de tornillo sin fin
SOLUCIÓN:
a)
tX pp =
Xt ppu
p
p ==== lg5236.0
6
ππ
5
6
30
===
t
G
G
p
N
d
lg5.3
2
52
2
pu
dd
C GW
=
+
=
+
=
lg0472.1)2)(5236.0( puNpL WX ===

226
b)
min/628
12
)1200)(2(
12
pie
nd
V WW
w ===
ππ
( ) RPMnG 801200
30
2
==
min/105
12
)80)(5(
12
pie
nd
V GG
G ===
ππ
min/638
47.9cos
628
cos
pie
V
V W
S =
°
==
λ
Según la Figura 12.6. se halla 03.0=µ
lb
V
H
W
W
Wt 5.52
628
)1)(33000(33000
===
λµλφ coscos +
=
sen
W
W
n
x
)cos(cos λµλφ senWW z
−=
lbWW x
Ga 5.52=−=
Cálculo de reacciones:
Figura 12.10: Diagrama de cuerpo libre del eje de la rueda
WW z
Gt 266.9−=−=
lbWW y
Gr 6.69=−=
sen 266.9)47.903.047.9cos5.14(cos278 =°+°°=
lbsenWsenW n
y
6.695.14278 =°== φ
sen 47.9cos03.047.95.14cos
5.52
=
°+°°
= 278 lb
°=== −−
47.9
)2(
0472.111
ππ
λ tg
d
L
tg
W
lb
lb

227
Se considerará que B es el cojinete de empuje para que el eje de la rueda esté en
compresión.
lbF
Fx
x
B 5.52
0
−=
=∑
lbF
F
Mz
y
B
y
B
6.58
04)5.1)(6.68()5.2)(5.52(
0
=
=+−−
=∑
lbF
F
My
z
B
z
B
99
04)5.1)(264(
0
=
=−
=∑
lbF
F
Fy
y
A
y
A
10
06.586.68
0
=
=++−
=∑
lbF
F
Fz
z
A
z
A
165
099264
0
=
=++−
=∑
lg660
0)5.2)(264(
0
pulbT
T
Mx
−=
=+−
=∑
c)
Diseño estático para el engrane

228
→=
x
yS
n
σ Gt
Gny
W
yFpS
n
⋅⋅⋅
=
Datos:
3.121.0º5.14
lg1
264
9.14
=→=→=
=
=
=
Tablay
puF
lbW
kpsiS
n
G
Gt
y
φ
lg5236.0
º47.9
pup
Cospp
X
Xn
=
=→⋅= λλ
lg52.0)º47.9(5236.0 puCospn =⋅=
93.2
264
1.0152.0109.14 3
=
⋅⋅⋅×
=n
d)
33000126000
fS
G
WGGt
WV
m
ndW
H
⋅
+
⋅
⋅⋅
=
vmeGSGt KKFdKW 8.0
=
λφλµ
µ
µ
CosCosSen
W
WW
n
Gt
f
−
==
Datos:
min
638
1200
lg1
lg5
pie
V
RPMn
puF
pud
S
W
e
G
=
=
=
=
º47.9
º5.14
03.0
=
=
=
λ
φ
µ
n
15
2
30
===
W
G
G
N
N
m
700=SK para 1=GF (Bronce de colado en arena) →Tabla 12.4
8.0=mK para 15=Gm →Tabla 12.5
33.0=vK para
min
638
pie
VS = →Tabla 12.6
lbWGt 7.669)33.0)(8.0)(1)(5(700 8.0
==

229
lb
CosCosSen
Wf 15.21
)47.9()5.14()º47.9(03.0
)7.669(03.0
−=
−
=
Potencia de salida: HP
m
ndW
G
WGGt
13.2
)15(126000
)1200)(5(7.669
126000
==
⋅
⋅⋅
Pérdida de potencia: HP
WV fS
41.0
33000
)15.21(638
33000
==
⋅
HPH 54.241.013.2 =+=

i
INDICE:
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................1
1.1 OBJETIVO .....................................................................................................................................................1
1.2 DISEÑAR....................................................................................................................................................1
1.3 ASPECTOS DE DISEÑO...............................................................................................................................1
1.3.1 RESISTENCIA....................................................................................................................................1
1.4 ELEMENTO A TENSIÓN..............................................................................................................................1
1.4.1 MATERIALES .........................................................................................................................................2
DÚCTIL ...........................................................................................................................................................2
FRÁGIL............................................................................................................................................................2
1.4.2 DEFORMACIÓN ELÁSTICA ...............................................................................................................2
1.5 FACTOR DE DISEÑO...................................................................................................................................3
1.5.1 MARGEN DE SEGURIDAD................................................................................................................3
1.5.2 CASOS PARA EL FACTOR DE DISEÑO...............................................................................................4
1.5.2.1 Caso 1 .........................................................................................................................................4
1.5.2.2 Caso 2 .........................................................................................................................................4
1.5.2.3 Caso 3 .........................................................................................................................................4
1.6 CÓDIGOS Y NORMAS ................................................................................................................................4
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................5
2.1 ESFUERZO TRIAXIAL (ELEMENTO GENERAL)...................................................................................................5
2.2 ESFUERZO BIAXIAL (ELEMENTO GENERAL)..................................................................................................... 5
2.3 ESFUERZO UNIAXIAL (ELEMENTO GENERAL)..................................................................................................5
2.4 ELEMENTOS ORDINARIOS PARA UNA VIGA A FLEXIÓN ...........................................................................6
2.5 CÍRCULO DE MOHR...................................................................................................................................6
2.5.1 ELEMENTO PRINCIPAL DE ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES ................................................7
2.6 EJERCICIOS RESUELTOS.............................................................................................................................8
2.6.1 EJERCICIO 1 (CÍRCULO DE MOHR).............................................................................................................8
2.6.2 EJERCICIO 2 (ESFUERZOS COMBINADOS)..................................................................................................10
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 16
3.1 TEORÍAS DE FALLA PARA EL DISEÑO ESTÁTICO ......................................................................................16
3.1.1 CASOS COMUNES BIAXIAL Y UNIAXIAL..............................................................................................17
3.1.2 TEORÍAS DE LOS MATERIALES DÚCTILES .............................................................................................1
3.1.3 TEORÍAS DE LOS MATERIALES FRÁGILES..............................................................................................2
3.2 EJERCICIOS RESUELTOS.............................................................................................................................3
3.2.1 EJERCICIO 3 (DISEÑO ESTÁTICO)...............................................................................................................3
3.2.2 EJERCICIO 4 (DISEÑO ESTÁTICO)...............................................................................................................7
3.2.3 EJERCICIO 5 (DISEÑO ESTÁTICO).............................................................................................................10
3.3 CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO...........................................................................................................13
CAPÍTULO 4 ........................................................................................................... 14
4.1 RESISTENCIA A LA FATIGA.......................................................................................................................15
4.2.1 FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL ka..........................................................................................18
4.2.2 FACTOR DE CORRECCIÓN POR TAMAÑO kb ..................................................................................18
4.2.2.1 Flexión, Torsión o ambos ..........................................................................................................18
4.2.2.2 Carga Axial ...............................................................................................................................19
4.2.3 FACTOR DE CONFIABILIDAD kc .................................................................................................... 19
4.2.4 FACTOR DE CORRECCIÓN POR TEMPERATURA kd ........................................................................20
4.2.5 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ke .........................................................................20
4.2.5.1 A flexión o carga axial:.............................................................................................................20
4.2.5.2 A torsión: ..................................................................................................................................20
4.2.6 FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS kf.................................................................................................21
4.3 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS FLUCTUANTES...............................................................................21
4.4 RESISTENCIA EN ESFUERZOS FLUCTUANTES NORMALES.......................................................................23
4.4.1 LINEALES........................................................................................................................................23

ii
4.4.2 NO LINEALES..................................................................................................................................23
4.5 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN..................................................................................................24
4.6 ESFUERZOS DEBIDO A CARGAS COMBINADAS.......................................................................................26
4.6.1 CASO BIAXIAL ................................................................................................................................26
4.6.2 CASO UNIAXIAL .............................................................................................................................27
4.7 EJERCICIOS RESUELTOS...........................................................................................................................29
4.7.1 EJERCICIO 5 (DISEÑO DINÁMICO) ...........................................................................................................29
4.7.2 EJERCICIO 6 (DISEÑO DINÁMICO), LAS CONDICIONES SON SIMILARES AL EJERCICIO 5 PLANTEADO EN EL CAPÍTULO
ANTERIOR EN DONDE SE DISEÑÓ ESTÁTICAMENTE, EN ESTE EJEMPLO SE DISEÑARÁ DINÁMICAMENTE. ...................................34
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 43
5.1 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................43
5.1.1 ELEMENTOS DE LA ROSCA..................................................................................................................43
5.1.2 TIPOS DE ROSCAS PARA ELEMENTOS ROSCADOS .............................................................................44
5.2 TORNILLOS DE POTENCIA .......................................................................................................................45
5.2.1 DETERMINACIÓN DEL TORQUE PARA ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLO DE ROSCA
CUADRADA ..................................................................................................................................................45
5.2.1.1 Torque para vencer rozamiento de la rosca (subir la carga) .................................................. 46
5.2.1.2 Torque para vencer rozamiento de la rosca (bajar la carga).................................................. 47
5.2.1.3 Torque para vencer rozamiento del collarín (Tc) ....................................................................47
5.2.1.4 Torques totales (para subir y bajar la carga) ..........................................................................48
5.2.2 AUTOBLOQUEO.............................................................................................................................48
5.2.3 EFICIENCIA DE LOS TORNILLOS (e)................................................................................................48
5.2.4 DETERMINACIÓN DEL TORQUE PAR ELEVAR Y BAJAR LA CARGA PARA TORNILLOS DE ROSCA
TRAPEZOIDAL ACME Y ROSCA TRIANGULAR..............................................................................................48
5.2.5 DISEÑO ESTÁTICO..........................................................................................................................49
5.2.6 DISEÑO DINÁMICO........................................................................................................................50
5.2.7 SELECCIÓN DE LA TUERCA.............................................................................................................50
5.3 SUJETADORES .........................................................................................................................................51
5.3.1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................51
5.3.2 JUNTAS ATORNILLADAS................................................................................................................52
5.3.2.1 DISEÑO ESTÁTICO ..............................................................................................................................57
5.3.2.2 DISEÑO DINÁMICO.............................................................................................................................58
5.3.3 JUNTAS CON EMPAQUETADURA.......................................................................................................60
5.3.3.1 DISEÑO ESTÁTICO ..............................................................................................................................61
5.3.3.2 DISEÑO DINÁMICO.............................................................................................................................61
5.3.3.3 CONDICIONES DE EMPAQUES................................................................................................................61
5.3.4 RESISTENCIA A LA FATIGA PARA LOS SUJETADORES.........................................................................62
5.3.5 CORTANTE EN PERNOS Y REMACHES ................................................................................................63
5.3.6 UNIONES ATORNILLADAS Y REMACHADAS CON CARGA DE ESFUERZO CORTANTE.........................65
5.3.6.1 DISEÑO ESTÁTICO Y DISEÑO DINÁMICO .................................................................................................66
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS...........................................................................................................................67
5.4.1 EJERCICIO 7 (TORNILLO DE POTENCIA)..................................................................................................... 67
5.4.2 EJERCICIO 8 (SUJETADORES) ..................................................................................................................70
5.4.3 EJERCICIO 9 (SUJETADORES) ..................................................................................................................73
Tablas de valores:...........................................................................................................................................74
5.4.4 EJERCICIO 10 (SUJETADORES-MÉNSULA) ..................................................................................................77
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................. 90
6.1 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................90
6.2 RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN...........................................................................................90
6.2.1 ESFUERZOS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN................................................. 90
6.2.2 Deducción de Fórmulas.................................................................................................................92
6.2.3 CÁLCULO DE RESISTENCIAS PARA MATERIALES DE LA TABLA 10-1 (SHIGLEY)............................94
6.2.4 DISEÑO ESTÁTICO..........................................................................................................................94
6.2.5 DISEÑO DINÁMICO........................................................................................................................95
6.2.6 FRECUENCIA CRÍTICA.....................................................................................................................98

iii
6.2.7 PANDEO.........................................................................................................................................98
6.3 RESORTES DE TENSIÓN O DE EXTENSIÓN...............................................................................................99
6.3.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN RESORTES DE TENSIÓN.............................................100
6.3.1.1 Esfuerzos en el cuerpo del resorte. ........................................................................................100
6.3.1.2 Esfuerzos en el gancho (sección B-B).....................................................................................101
6.3.1.3 Esfuerzos en el gancho (sección A-A).....................................................................................102
6.3.2 RESISTENCIAS EN LOS RESORTES HELICOIDALES DE TENSIÓN...................................................103
6.3.2.1 Resistencia a la fatiga (para el cuerpo y la sección B-B del gancho)....................................103
6.3.2.2 Resistencia a la fatiga (para la sección A-A del gancho). .....................................................104
6.3.3 DISEÑO ESTÁTICO........................................................................................................................104
6.3.3.1 En el cuerpo ............................................................................................................................104
6.3.3.2 En el gancho: sección B-B.......................................................................................................105
6.3.3.3 En el gancho: sección A-A ......................................................................................................106
6.3.4 DISEÑO DINÁMICO......................................................................................................................106
6.3.4.1 En el cuerpo ............................................................................................................................106
6.3.4.2 En el gancho: sección B-B.......................................................................................................107
6.3.4.3 En el gancho: sección A-A ......................................................................................................108
6.4 RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN............................................................................................109
6.4.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS ........................................................................................109
6.4.2 DETERMINACIÓN DE RESISTENCIAS ...........................................................................................112
6.4.3 DISEÑO ESTÁTICO........................................................................................................................113
6.4.4 DISEÑO DINÁMICO......................................................................................................................114
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS.........................................................................................................................116
6.5.1 EJERCICIO 13 (RESORTE DE COMPRESIÓN) .............................................................................................116
6.5.2 EJERCICIO 14 (RESORTE DE TENSIÓN)....................................................................................................121
6.5.3 EJERCICIO 15 (RESORTE DE TORSIÓN)....................................................................................................127
CAPÍTULO 7 ...........................................................................................................130
7.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................130
7.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS.....................................................................................130
7.2.1 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS..........................................................................................................130
7.2.1.1 Relación del p y P: ..................................................................................................................130
7.2.1.2 Forma del diente ....................................................................................................................131
7.3 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE LOS DIENTES...............................................................................................132
7.3.1 RADIO BASE.................................................................................................................................134
7.3.2 RELACIÓN DE CONTACTO............................................................................................................134
7.3.3 INTERFERENCIA ...........................................................................................................................135
7.4 RELACIÓN DE VELOCIDADES.................................................................................................................135
7.5 TREN DE ENGRANES..............................................................................................................................136
7.6 SISTEMA DE DIENTES ............................................................................................................................136
7.7 ANÁLISIS DE FUERZAS EN LOS ENGRANES DE DIENTES RECTOS...........................................................137
7.8 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS (FLEXIÓN).................................................................................137
7.9 ESFUERZOS DINÁMICOS .......................................................................................................................139
7.10 DISEÑO ESTÁTICO ............................................................................................................................140
7.11 DISEÑO DINÁMICO A FLEXIÓN.........................................................................................................141
7.12 DURABILIDAD DE LA SUPERFICIE (FATIGA SUPERFICIAL).......................................................................143
7.13 RESISTENCIA SUPERFICIAL...............................................................................................................144
7.14 EJERCICIOS RESUELTOS....................................................................................................................146
7.14.1 EJERCICIO 16 (ENGRANES RECTOS) ..................................................................................................146
CAPÍTULO 8 ...........................................................................................................151
8.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................151
8.2 NOMENCLATURA DE LAS RUEDAS DENTADAS HELICOIDALES.............................................................151
8.3 ENGRANES HELICOIDALES, DIMENSIONES DE LOS DIENTES ................................................................153
8.4 FUERZAS EN LOS ENGRANES HELICOIDALES ........................................................................................153
8.5 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA A FLEXIÓN ...............................................................................................154
8.6 DISEÑO DINÁMICO: FATIGA SUPERFICIAL............................................................................................155
8.7.1 EJERCICIO 17 (ENGRANES HELICOIDALES)...............................................................................................158

iv
8.7.2 EJERCICIO 18 (ENGRANES HELICOIDALES)...............................................................................................163
CAPÍTULO 9 ...........................................................................................................167
9.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................167
9.2 NOMENCLATURA DE COJINETES ..........................................................................................................167
9.3 TIPOS DE COJINETES .............................................................................................................................168
9.4 CLASIFICACIÓN DE COJINETES ..............................................................................................................168
9.4.1 COJINETES DE BOLAS...................................................................................................................168
9.4.2 Cojinetes de Rodillos...................................................................................................................170
9.5 DURACIÓN O VIDA DE LOS COJINETES..................................................................................................170
9.5.1 LA VIDA........................................................................................................................................170
9.5.2 VIDA NOMINAL ...........................................................................................................................171
9.6 CARGAS EN LOS COJINETES...................................................................................................................171
9.7 RESISTENCIA EN LOS COJINETES...........................................................................................................171
9.8 SELECCIÓN DE COJINETES DE BOLAS Y DE RODILLOS ...........................................................................172
9.8.1 COJINETES DE BOLAS Y RODILLOS CILÍNDRICOS.........................................................................172
9.8.2 COJINETES DE RODILLOS CÓNICOS .............................................................................................173
9.8.3 SELECCIÓN DE COJINETES SEGÚN CATALOGO 41 250 SA DE LA FAG.........................................174
9.8.3.1 Rodamientos solicitados estáticamente................................................................................175
9.8.3.2 Rodamientos solicitados dinámicamente..............................................................................175
9.9.1 EJERCICIO 19 (COJINETES)...................................................................................................................177
CAPÍTULO 10.........................................................................................................186
10.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................186
10.2 TIPOS DE LUBRICACIÓN ...................................................................................................................186
10.3 VISCOSIDAD .....................................................................................................................................187
10.4 RELACIÓN DE LA TEMPERATURA CON LA VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS..............................188
10.5 RELACIÓN DE PARÁMETROS DE UN COJINETE CON LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA ...................188
10.6 LUBRICACIÓN ESTABLE ....................................................................................................................189
10.7 LUBRICACIÓN DE PELÍCULA GRUESA ...............................................................................................190
10.8 TEORÍA DE LA LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA...............................................................................191
10.9 FACTORES DE DISEÑO ......................................................................................................................193
10.10 RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES ................................................................................................193
10.11 ELEVACIÓN DE TEMPERATURA........................................................................................................194
10.12 OPTIMIZACIÓN EN EL SISTEMA DE LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA..............................................195
10.13 COJINETES CON LUBRICACIÓN A PRESIÓN ......................................................................................196
10.14.1 EJERCICIO 22 (COJINETES DESLIZAMIENTO)........................................................................................199
10.14.2 EJERCICIO 23 (COJINETES DESLIZAMIENTO)........................................................................................202
CAPÍTULO 11.........................................................................................................206
11.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................206
11.2 RESISTENCIAS...................................................................................................................................208
11.3 CARGAS EN EL CABLE........................................................................................................................210
11.4 DISEÑO ESTÁTICO ............................................................................................................................211
11.5 DISEÑO A FATIGA.............................................................................................................................211
11.6.1 EJERCICIO 24 (CABLES METÁLICOS) ..................................................................................................213
CAPÍTULO 12.........................................................................................................216
12.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................216
12.2 ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN......................................................218
12.3 EFUERZOS EN UN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN ..................................................................221
12.4 DISEÑO ESTÁTICO EN MECANISMOS DE TORNILLO SIN FIN............................................................221
12.5 CAPACIDAD DE POTENCIA DE UN MECANISMO DE TORNILLO SIN FIN...........................................222

v
12.6 EJERCICIO RESUELTO........................................................................................................................225
12.6.1 EJERCICIO 25 (TORNILLO SIN FIN).....................................................................................................225

Folleto elementos julio 2011

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Folleto elementos julio 2011 (20)

Último (20)

Folleto elementos julio 2011