Formula de euler para columnas articuladas
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La fórmula de Euler describe el pandeo de una columna articulada en sus extremos. Se presenta la ecuación diferencial que rige el momento flector de la columna y se resuelve para tres casos posibles. La carga crítica se obtiene al igualar la solución a una función seno con las condiciones de frontera. Esto lleva a que la relación entre la carga crítica y las propiedades geométricas y mecánicas de la columna es proporcional a (EI/L2).
Formula de euler para columnas articuladas
- 1. FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS -Columna con extremos articulados. -Columna ideal. -P >Pcr , la columna se pandeara .
- 2. Determinando la carga crítica o pandeo de Euler -Sección transversal en el punto Q, -Momento flexionante y la fuerza P -Momento flexionante será: donde Y es la deflexión lateral y P es la carga sometida.
- 3. La carga crítica (Pcr) Para determinar las cargas críticas y la forma pandeada de la columna , se debe usar la curva de la flexión de una viga, Son aplicable a una columna pandeada debido a que la columna se flexiona como una viga, se elige la ecuación diferencial del momento flexionante que es : donde M: momento flector E: Módulo de elasticidad I : Momento de inercia EI: Es la rigidez a la flexión
- 4. Entonces reemplazando M quedaría Ecuación diferencial homogénea de 2 orden con coeficientes constantes Para resolver esto , se pueden dar 3 casos: - Cuando las raíces sean diferentes - Cuando las raíces son iguales - Cuando las raíces seas complejas conjugadas
- 5. haremos un cambio de variable Resolviendo : m1,2= −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 m1,2= ± 4ƿ2(−1) 2
- 6. Como las raíces son complejas conjugadas, estamos en el 3 caso, Donde se cumple que m1=α +β1 m2=α – βI en la ecuación general: y =C1 𝑒α𝑥 sen(βx) + C2 𝑒α𝑥 cos(βx) Analizamos con las condiciones de frontera del grafico en los extremos A y B En A (x=0, y=0) En B (x=L, y=0)
- 7. en A 0 =C1sen(0) + C2cos(0) 0 = C2 en B y =C1sen(ƿx) 0 = C1sen(ƿL) Analizando , pueden ocurrir 2 cosas En el 1er caso es que C1=0 , si ocurre eso , se reduce a y=0 y la columna es recta. En el 2do caso es que sen(ƿL)=0 , y eso implica que ƿL=0,𝜋, 2𝜋,etc. , equivalente a donde
- 8. Despejando ƿ : ƿ = 𝑛𝜋 L elevando al cuadrado Y lo comparamos con donde n=1
- 9. De la ecuación se deduce : Hallamos el esfuerzo crítico recordar I=A𝑟2 donde L/r es la relación de esbeltez 150> L/r > 30
- 10. CURVA DE EULER
- 11. Comentarios generales Cuando se va a elegir el I en el momento de inercia , se debe elegir el menor I dado que por ahí se pandeara la columna, los ingenieros tratan de lograr un equilibrio manteniendo los momentos de inercia en todas las direcciones así que figuras circulares o cuadradas harían columnas excelentes .
- 12. Ejemplo 1
- 13. solución De la tabla del acero
- 14. Ejemplo 2 Solución Usando la fórmula del FS Pcr = (2.5) .100kN = 250Kn I = a4/12 ,