Franci
- 1. SINTESIS I (Matemática... ¿Estás ahí?...Episodio 3.14159...) Materia: Matemáticas III Nombre: Mendoza Castillo Franciomar Grupo: 3°”C” CICLO ESCOLAR: 2012-2013 1
- 2. INDICE Introducción 3 La Matemática y sus problemas 4 Números y Matemática 7 Conclusión 9 Referencias Bibliográficas 10 2
- 3. INTRODUCCION Aquel día viernes 7 de enero de 2005. Suena el teléfono de la casa de Adrián en Chicago. Es Diego Golombek desde Buenos Aires. Diego le hace una propuesta que deja un tanto sorprendido a Adrian haciéndole la propuesta de escribir un libro de Matemáticas. Al principio Adrián pensaba que aburriría a todos con ese libro pero Diego lo convence de hacerlo, llego el día del contrato y Adrián donde conoció al el director de Siglo XXI, “Carlos Díaz”. Adrián solicito que el libro se pudiera bajar gratuitamente de Internet y que figurara en la página del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, pronto Carlos y Adrian se volvieron muy buenos amigos. Paenza explica que el libro no contiene material inédito y muy pocas cosas son ideas de él, y también menciona que lo que le pertenece en eso sus opiniones, la selección de los problemas, la forma de la comunicación y algunas anécdotas e historias de su vida. Adrián cuenta una de sus anécdotas en febrero de 1988, el periodista Carlos Ulanovsky era uno de los jefes de editoriales del diario Clarín. Este le propuso escribir una nota a Adrián y lo hizo, pero el resultado no fue satisfactorio, la nota paso inadvertida y si él hubiera sabido que los libros iban a tener una respuesta como los primeros tomos los habría escrito hace veinte años. 3
- 4. LA MATEMATICA Y SUS PROBLEMAS 1. Dos pintores y una pieza::En una casa hay una habitación grande que hay que pintar. Un pintor, llamémoslo A, tarda 4 horas en pintarla solo. El otro, a quien llamaremos B, tarda 2 horas. ¿Cuanto tardarían si los dos se pusieran a pintarla juntos? (Antes de avanzar: la respuesta no es 3 horas) Solución: Para este problema decimos que A pintaría ¼ de la habitación en 1 hora mientras que B en 1 hora pintaría la mitad de la habitación, de esta manera dibujamos la habitación con los correspondientes colores. Con este dato podemos decir que en 1 hora A Y B pintan ¾ de la habitación, ya sabiendo esto podemos calcular por regla de tres cuanto tardarían en pintar la habitación completa. Entonces decimos: H HRS Por lo tanto el resultado de esta operación seria ¾ 1 80 minutos o también 1 hora con 20 minutos. 1 x Comentario: En este problema es muy importante utilizar la lógica ya que todos nos vamos con la “finta” de que la respuesta es 3 horas aun sin pensarlo bien y es importante utilizar el recurso si es necesario de dibujar 2. Problema de los seis fósforos: Se tienen seis fósforos iguales. ¿Es posible construir con ellos cuatro triángulos equiláteros cuyos lados sean iguales al largo del fosforo? Nota 1: No conteste rápido si no se le ocurre la solución. Piense. Nota 2: Triángulo equilátero quiere decir que tiene los tres lados iguales. De hecho, “equi”= “igual”, “latero”=”lado”. En este caso, lados iguales y, además, de igual longitud que la del fósforo. Solución: Construir una pirámide con base triangular, es decir poner tres fósforos de base y después los otros tres fósforos que serian las caras y también serian los otros 3 triángulos. Comentario: Para estos problemas es importante verlos desde otra perspectiva, ya que yo me tarde bastante en resolverlo porque nunca se me ocurrió la idea de la pirámide sino hasta después de un rato. 4
- 5. 3. Las cuatro mujeres y el puente: Hay cuatros mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Solo tienen 17 minutos para llegar al otro lado. Es de noche y solo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna. Siempre. La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la otra. Eso sí: como las caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento. Los datos que faltan son los siguientes Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar Mujer 4: tarde 10 (diez) minutos en cruzar Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto. Con estos elementos, ¿Qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas- en 17 minutos- de un lado del rio al otro? Solución: Para este problema es necesario tener una hoja y lápiz a la mano. Básicamente se llega al resultado intentando de diferentes maneras, pero la “clave” esta en hacer que la mujer 3 y la mujer 4 crucen juntas. La solución sería: NUMERO DE VIAJES TOTAL DE MINUTOS 1er viaje: Mujeres 1 y 2. 2 2do viaje: Vuelve la mujer 1 3 3er viaje: Van las mujeres 3 y 4 13 4to viaje: Vuelve la mujer 2 15 5to viaje: Van las mujer 1 y 2 17 Comentario: En este problema es muy importante tener un poco de destreza y sobre todo tener paciencia, el resultado sale haciendo que la mujer 1 se quede en una orilla, de esta manera se ahorra tiempo. 5
- 6. 4. Problema de las 10 monedas: Se tiene 10 monedas arriba de una mesa. ¿Es posible distribuirlas, de manera tal que queden exactamente cuatro en cada uno de ellos? Si se puede exhiba una forma de hacerlo. Si no se puede, explique por qué. Solución: Si se puede y se puede mediante una estrella pentagonal. Los puntos amarillos son las monedas. Comentario: Para este problema yo utilice Geogebra, en mi parecer se me hizo muy fácil ya que solo fue de hacer varias pruebas con la función de “segmentos” 5. Problema de las ocho monedas: Se tienen ocho monedas en apariencia iguales, aunque se sabe que una de ellas es más liviana que las otras siete. Además, hay una balanza con dos platillos y lo único que se puede hacer con ellos es poner monedas a uno y otro lado, y pesar solamente dos veces. Luego de esas dos pesadas, se supone que uno tiene que estar en condiciones Solución: De las 8 monedas elijo dos grupos de 3 monedas de poder decir cuál es y las peso en la balanza, si los pesos coindicen, implica que la moneda diferente de las 2 monedas restantes con una segunda pesada puedo (más liviana). determinar cuál es la moneda más liviana. Si de los dos grupos de 3 monedas no coinciden los pesos implican que tomemos el grupo de 3 monedas menos pesado, y realizar un segunda pesada con dos monedas, una moneda en cada balanza, si coinciden la moneda restante es la más liviana, si no coinciden automáticamente sabremos cual es la más liviana. Comentario: En este tipo problemas es necesario tener una hoja y un lápiz para dibujar o hacer algunas cuentas y tomar siempre en cuenta que no siempre es necesario dividir el número de monedas entre dos para llegar al resultado y tomar siempre en cuenta una solución alternativa. 6
- 7. NUMEROS Y MATEMATICA Menos por menos es más… ¿Seguro? Una de las cosas que más angustian a los jóvenes estudiantes es escuchar: “Menos por menos es más”, ellos anotan, no entienden y finalmente no les interesa. La idea es tratar de encontrar alguna explicación de Comentario: Me gusto que menos por menos es más. mucho este ejemplo, ya que de esta manera se “Si usted viene manejando su auto a 40 km por hora marcha “comprueba” que menos atrás y le preguntaran, ¿Donde estaba hace 3 horas? Usted por menos es más de contestaría: estaba 120 km más delante de donde estoy ahora. una manera muy sencilla y clara. Si usamos símbolos tenemos que escribir: (-40) (-3)= 120. Escribimos (-40) porque estoy marcha atrás, y escribo (-3) porque pregunto qué pasó hace 3 horas. Es decir, hace 3 horas estaba 120 km más adelante del punto donde está ahora. Y eso explica porque menos por menos es más ¿Es verdad que 0,99999…=1? Está claro que: x= 0,9999… (*) Comentario: Esta lectura enseña lo magnifico que son Es un número real. Por otro lado, el numero 1 también los números y nos demuestra es un numero real. ¿Qué relación hay entre ambos? por que 0.999... es igual a 1 de Veamos: una manera muy buena. Multiplicando (*) por 10 de ambos lados, se tiene: 10x= 9,99999… x= 0, 99999… 9x= 9 Luego, dividiendo por 9 en ambos términos, se tiene: x= 1. Comparando (*) con (**) se concluye que 0, 99999…=1. Lo que esto sugiere es que el numero 1 admite dos escrituras distintas, pero, obviamente, es un solo numero. La invitación al lector es que trate de descubrir que este no es el único caso dentro del conjunto de numero reales, sino que sucede con infinitos otros casos. ¿Puede dar algunos ejemplos? Velocidad del crecimiento del pelo Piense en la última vez que se corto el Comentario: Es increíble y fascinante como pelo. ¿Hace cuanto fue? ¿Cuánto más las Matemáticas influyen en nuestra vida largo tiene el pelo ahora? En mi caso cotidiana. He aquí otro gran ejemplo, el personal, me lo corte hace un mes y crecimiento del pelo, un dato matemático que ahora (después haberlo medido, aunque está presente en nuestro diario acontecer. 7
- 8. usted no lo crea) el pelo esta 1, 5 centímetros mas largo. Con esta información, usted puede estimar la velocidad de crecimiento diario (aproximada, claro está). En todo caso, la solución: como en treinta días creció 1,5 centímetros, o sea 15 milímetros, cada día, en promedio, el pelo creció medio milímetro. Es decir, el pelo de una persona normal crece- en forma aproximada, claro- 1 centímetro cada tres semanas. Más sobre el infinito. La paradoja de Tristram Shandy John Barrow presenta una paradoja que adjudica al Comentario: Esta increíble como escritor Tristram Shandy. La historia plantea una esta paradoja nos lleva más allá de nueva perspectiva de mirar “al infinito”. lo real y lo irreal. Esta paradoja sobre el infinito nos lleva a la Tristram Shandy decidió escribir su “diario de vida”. posibilidad que Tristram Shandy Pero Shandy era tan detallista que le llevaba un escribiera en su diario siempre es año relatar cada día que había vivido. Por ejemplo, decir infinitamente. dedico todo el año 1760 a escribir solo lo que le había paso el 1° de enero de ese año. Es decir, solo el 31 de diciembre termino la historia del 1° de enero. A ese paso, Shandy estaba cada vez más lejos de escribir su vida completa. Sin embargo, si en un salto imaginativo uno pudiera imaginar a Shandy viviendo infinitos días, Si así fuera, si Shandy viviera eternamente, no habrá día de su vida que no hubiera quedado descrito en su diario. Tirar 200 veces en una moneda El doctor Theodore P. Hill pidió a sus estudiantes de Matemática del Instituto de Tecnología de Georgia que hicieran el siguiente trabajo: “Tomen una moneda, arrójenla al aire 200 veces y anoten los resultados que obtuvieron. Si no tienen ganas de hacerlo, pretendan que lo hicieron, y anoten lo que les parece que podría darles.” Comentario: Creo que esto es muy interesante y asombroso a la vez ya que El profesor pudo saber quien había inventado todo pensamos que el Azar son cosas “ a los datos y quienes hicieron el trabajo. En lo loco” pero en este ejemplo nos enseñan realmente que es el “Azar” una entrevista Hill dijo que lo que sucedía era que la gente no tenía idea de lo que era el “Azar”. Ya que La probabilidad de que aparezcan seis o más caras consecutivas es muy alta. Eso fue lo que comprobó Hill, de esta manera pudo saber quien no había hecho el experimento y lo escribió en un artículo que apareció en la revista American Scientist hace casi diez años, esto también es consecuencia de la Ley de Bedford que permite permitir datos impositivos. 8
- 9. CONCLUSION La mayoría de las personas piensan que las matemáticas no son tan útiles como lo son, uno piensa que va a estudiar y no aplica lo que aprendió sino en raras ocasiones. Sin embargo las matemáticas está presente todos los aspectos de nuestra vida, y se puede decir que hay una alejamiento entre el entorno social y esta ciencia, ya que los chicos que se gradúan hoy del colegio secundario, tienen casi 400 años atrasados con relación a lo que es la matemática de punta hoy, es decir aprenden lo que ya se sabía hace 400 años, por eso son “aburridas” o peor “difíciles”. ¿Quien dijo que ya se sabía “todo”? Todo esto demuestra lo lejos que estamos con la “matemática real”, la que investiga porque no sabe, la que es curiosa y atractiva, la que es seductora y sutil. 9
- 10. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Libro: Matemática… ¿Estás Ahí? …Episodio 3.14159... Autor: Adrian Paenza Editorial: Siglo XXI Número de páginas: 236 pp. 10