Física Capítulo 1

INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán
1
Capitulo 1. INTRODUCCIÓN AL CURSO
¿QUE ES LA FÍSICA?
La física es una ciencia dedicada a la comprensión de
los fenómenos naturales que ocurren en el universo.
El objetivo principal del estudio científico es
desarrollar teorías físicas basadas en leyes
fundamentales que permitan predecir los resultados
de algunos experimentos. Las leyes de la física tratan
de describir los resultados de observaciones
experimentales y de mediciones cuantitativas de los
procesos naturales.
La física es la ciencia más simple porque estudia los
sistemas más simples. La física es la base de todas las
demás ciencias.
La relación entre la física y la ingeniería es más
directa que la que existe entre la física y cualquier
otra ciencia. En la ingeniería se trabaja con sistemas a
los que se aplica inmediatamente los principios de la
física. Cualquiera sea la rama de la ingeniería o de la
ciencia a la que uno se dedique, va a encontrar a cada
paso la aplicación de las nociones que aprendió en la
física. Siempre se encontrarán útiles los conceptos
específicos de la física, las técnicas que se emplean
para resolver los problemas, la forma de pensar que
se adquiere en el estudio de la física.
METODOLOGIA DE LA FISICA
La metodología que se usa tiene tres formas
características.
La primera forma es el análisis de un sistema físico
que se realiza en base a las propiedades de sistemas
más sencillos, estos sistemas están relacionados de
algún modo importante con el sistema original, pero
poseen un número menor de factores en su
comportamiento. Siendo estos más sencillos se
pueden investigar hasta entender bien sus
propiedades, una vez que se obtenga el conocimiento
de cada sistema se puede hacer una reconstrucción
hasta lograr entender las propiedades del sistema
original.
La segunda forma parte del principio de que la física
se fundamenta necesariamente en la experimentación.
A veces la teoría sugiere el experimento, pero más
frecuentemente un experimentador realiza el trabajo
inicial en un área particular de la física y luego el
físico teórico sintetiza los resultados de los
experimentos y perfecciona el entendimiento de su
significado.
La tercera se refiere al uso frecuente de las
matemáticas. La física estudia las interacciones entre
objetos. Los objetos interaccionan de acuerdo a
ciertas leyes, sean estas conocidas o no. Como las
leyes físicas son casi siempre cuantitativas, es
esencial poder establecer relaciones lógicas
cuantitativas al estudiar los sistemas físicos. Las
reglas que gobiernan todas estas relaciones son objeto
de las matemáticas. Por eso se dice que la matemática
es el lenguaje de la física.
PARTES DE LA FISICA
Actualmente la física se divide en dos clases: Física
Clásica y Física Moderna.
La física clásica se ocupa de los fenómenos y las
leyes que se conocían hasta la final del siglo XIX. La
física moderna se ocupa de los descubrimientos
hechos desde entonces.
La física clásica se subdivide en cierto número de
ramas que originalmente se consideraban autónomas:
la mecánica, el electromagnetismo, la óptica, la
acústica y la termodinámica.
La mecánica se ocupa del estudio del movimiento
efectos físicos que pueden influir sobre este.
El electromagnetismo se ocupa del estudio de los
fenómenos eléctricos y magnéticos y las relaciones
entre ellos.
La óptica se ocupa de los efectos físicos que se
asocian a la luz visible.
La acústica al estudio de los efectos físicos
relacionados con los sonidos audibles.
La termodinámica se ocupa de la generación, el
transporte y la disipación del calor.
Estas disciplinas que originalmente se desarrollaron
independientemente, están enlazadas por medio de la
mecánica y el electromagnetismo.
La física moderna se inició a fines del siglo XIX, con
el descubrimiento de cierto número de fenómenos
físicos que entraban en conflicto con algunos
conceptos de la física clásica.
Básicamente, esas alteraciones conceptuales fueron
de dos tipos. Una de ellas estableció el límite superior
para las velocidades de las partículas a las que se
aplicaban las leyes de la física clásica, esto se asocia
a la Teoría de la Relatividad de Einstein. El segundo
se puede considerar como el establecimiento de un
límite inferior para las dimensiones lineales y de
masa de los sistemas físicos, para los que son válidas
las leyes clásicas, esto se asocia a la Teoría de la
Mecánica Cuántica. Para poder comprender estas dos
teorías modernas y los fenómenos de que se ocupan,
es necesario estudiar primeramente las leyes de la
física clásica.
MAGNITUDES FÍSICAS: ESCALARES Y
VECTORES.
En la descripción y estudio de los fenómenos físicos
se han desarrollado (y se desarrollan) conceptos
abstractos muy especiales llamados magnitudes
físicas. Estas magnitudes se definen por medio de un
conjunto de operaciones experimentales que permiten
obtener un número como medida de la magnitud en
cualquier situación.
Esta definición comprende dos pasos esenciales:
1) La elección de una unidad de medida con
múltiplos y submúltiplos y
2) un proceso para comparar la magnitud a medir con
la unidad de medida y establecer un número (entero o
fraccionario) como medida de la magnitud. Son
ejemplos de magnitudes físicas: la longitud, el área, el
volumen, el tiempo, la masa, la energía, la

2
temperatura, la fuerza, la potencia, la velocidad, la
aceleración, etc.
Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un
cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la
velocidad o la temperatura son todas magnitudes
físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden
medirse, no son magnitudes físicas. Las medidas de
las magnitudes se realizan mediante las unidades de
medida, establecidas por la Unión Internacional de
Pesas y Medidas (UIPM), que forman el Sistema
Internacional de unidades (S. I.), aunque existen otras
unidades que se siguen usando por tradición (como el
kilate, que se emplea para medir la masa de las
piedras preciosas).
Magnitud escalar. Para muchas magnitudes físicas
basta con indicar su valor para que estén
perfectamente definidas. Así, por ejemplo, si decimos
que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC,
sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa
mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está
claro que es sumamente delgada. Cuando una
magnitud queda definida por su valor recibe el
nombre de magnitud escalar.
Magnitudes vectoriales. Otras magnitudes, con su
valor numérico, no nos suministran toda la
información. Si nos dicen que Daniel corría a 20
km/h apenas sabemos algo más que al principio.
Deberían informarnos también desde dónde corría y
hacia qué lugar se dirigía. Estas magnitudes que,
además de su valor precisan una dirección se llaman
magnitudes vectoriales, ya que se representan
mediante vectores. En este tema estudiaremos los
vectores y sus propiedades.
UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES.
MEDICIÓN. La física es una ciencia experimental.
Los experimentos requieren mediciones cuyos
resultados suelen describirse con números. Cualquier
número empleado para describir cuantitativamente un
fenómeno físico se denomina cantidad física. Dos
cantidades físicas que describen a una persona son su
peso y su altura. Algunas cantidades físicas son tan
básicas que sólo podemos definirlas describiendo la
forma de medirlas, es decir, con una definición
operativa. Ejemplos de esto son medir una distancia
con una regla, o un intervalo de tiempo con un
cronómetro. En otros casos definimos una cantidad
física describiendo la forma de calcularla a partir de
otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la
velocidad media de un objeto como la distancia
recorrida (medida con una regla) dividida por el
tiempo de recorrido (medido con un cronómetro).
UNIDADES. Al medir una cantidad, siempre la
comparamos con un estándar de referencia. Si
decimos que un automóvil mide 4,29 m, queremos
decir que es 4,29 veces más largo que una regla de
medir, que por definición tiene 1m de largo. Este
estándar define una unidad de la cantidad. El metro es
una unidad de distancia, y el segundo, de tiempo. Al
describir una cantidad física con un número, siempre
debemos especificar la unidad empleada; describir
una distancia como "4,29" no significa nada.
Las mediciones exactas y fiables exigen unidades
inmutables que los observadores puedan duplicar en
distintos lugares. El sistema de unidades empleado
por los científicos e ingenieros se denomina
comúnmente "sistema métrico", pero desde 1960 su
nombre oficial es Sistema Internacional, o SI.
Las definiciones de las unidades básicas del sistema
métrico han evolucionado con los años. Cuando la
Academia Francesa de Ciencias estableció el sistema
métrico en 1791, el metro se definió como una
diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo
Norte y el Ecuador (ver figura). El segundo se definió
como el tiempo que tarda un péndulo de 1m de largo
en oscilar de un lado a otro. Estas definiciones eran
poco prácticas y difíciles de duplicar con precisión,
por lo que se han sustituido por otras más refinadas y
por acuerdo internacional.
Unidades fundamentales
Las fuerzas, velocidades, presiones, energías, en
realidad todas las propiedades mecánicas, pueden
expresarse en términos de tres cantidades básicas:
masa, longitud y tiempo. En el sistema SI, las
unidades correspondientes son:
Masa Kilogramo
Longitud Metro
Tiempo Segundo
Estas unidades se conocen como unidades
fundamentales.
TIEMPO
Desde 1889 a 1967, la unidad de tiempo se definió
como una cierta fracción del día solar medio (el
tiempo medio entre llegadas sucesivas del Sol al
cenit). El estándar actual, adoptado en 1967, es
mucho más preciso; se basa en un reloj atómico que
usa la diferencia de energía entre los dos estados
energéticos más bajos del átomo de cesio. Cuando se
bombardea con microondas de una determinada
frecuencia, los átomos de cesio sufren una transición
entre dichos estados. Se define un segundo como el
tiempo requerido por 9 192 631 770 ciclos de esta
radiación.
LONGITUD

3
En 1960 se estableció también un estándar atómico
para el metro, usando la longitud de onda de la luz
naranja emitida por átomos de kriptón (86
Kr) en un
tubo de descarga de luz. En noviembre de 1983 el
estándar se modificó de nuevo, esta vez de forma más
radical. Se definió que la velocidad de la luz en el
vacío es exactamente 299 792 458 m/s. Por
definición, el metro es consecuente con este número y
con la definición anterior del segundo. Así, la nueva
definición de metro es la distancia que recorre la luz
en el vacío en 1/299 792458 s. Éste es un estándar de
longitud mucho más preciso que el basado en una
longitud de onda de la luz.
MASA
El estándar de masa, el kilogramo, se define como la
masa de un determinado cilindro de aleación platino-
iridio que se guarda en la Oficina Internacional de
Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Un
estándar atómico de masa, sería más fundamental,
pero aún no podemos medir masas a escala atómica
con tanta exactitud como a escala macroscópica.
Unidades derivadas
Las cantidades que interesan a los científicos no se
limitan a masa, longitud y tiempo. A menudo el
comportamiento de objetos se describe en términos
de sus velocidades; hay que identificar las fuerzas que
actúan sobre los cuerpos; se paga por la energía que
consumen los aparatos domésticos y nos interesa la
potencia que pueda desarrollar un motor; la presión
atmosférica es un indicador útil de las condiciones del
tiempo. Todas las anteriores propiedades,
aparentemente dispares, que se miden en metros por
segundo (velocidad), newton (fuerza), joules
(energía), watts (potencia) y pascales (presión),
finalmente se pueden expresar como productos de
potencias de masa, longitud y tiempo. Esas unidades,
por tanto, se conocen como unidades derivadas, para
distinguirlas de las tres unidades fundamentales.
Prefijos comúnmente encontrados. Utilizamos con
frecuencia prefijos para obtener unidades de un
tamaño más conveniente. Ejemplos de prefijos
comúnmente encontrados:
1 manómetro = 1 nm = 10-9
m (un poco más grande
que el diámetro del átomo)
1 micrómetro = 1 μ m =10-6
m (una célula de sangre
humana es aproximadamente de 7 μ m)
1 milímetro = 1 mm =10-3
m (el carbón del lápiz es
aproximadamente de 0,5 milímetros en diámetro)
1 centímetro = 1 cm =10-2
m (el diámetro de un
bolígrafo)
1 kilómetro = 1 km = (1000 m)
1 microgramo = 1 μ g =10-6
g = 1-9
kg (masa de una
partícula pequeña de polvo)
1 miligramo = 1 mg = 10-3
g = 10-6
kg (una gota de
agua es aproximadamente 2 mg)
1 gramo = l g = 10-3
kg (la masa de un clip para papel
es de aproximadamente 1 g)
1 nanosegundo = 1 ns =10-9
s (tiempo en el que la luz
viaja 30 m)
1 microsegundo = 1 μ s = 10-6
s (tiempo en el que
una bala del rifle viaja 1 μ m)
1 milisegundo = 1 ms = 10-3
s (cerca de 14 ms entre
los latidos del corazón)
CONVERSION DE UNIDADES
Algunas veces encontramos los datos dados en
unidades distintas al sistema SI. En este caso
debemos convertir las unidades al sistema SI usando
los factores conocidos de conversión.
La tabla siguiente muestra tales factores.
Factores de Conversión
Longitud
1 pulgada (in) = 2,54 centímetros (cm)
1 pie (ft) = 0,3048 metro (m)
1 milla (mi) = 5280 ft = 1,609 kilómetros (km)
1 m = 3,281 ft
1 km= 0,6214mi
1 ángstrom ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ o
A = 10-10
m
1 año luz = 9,461 x 1015
m
1 unidad astronómica (AU) = 1,496 x 1011
m
1 pársec (pc) 3,09 x 1016
m
Masa
1 slug = 14,59 kilogramos (kg)
1 kg = 1000 gramos = 6,852 x 10-2
slug
1 unidad de masa atómica (amu) = 1,6605 x 10-27
kg
(1 kg tiene un peso de 2,205 lb donde la aceleración
de la gravedad es 32,174 ft/s2
)
Tiempo
1 dia =24 h= 1,44 x 103
min = 8,64 x 104
s
1 año = 365,24 días = 3,156 x 107
s
1 hora (h) =60min =3600s
Velocidad
1 mi/h = 1,609 km/h = 1,467 ft/s 0,4470 m/s
1 km/h = 0,6214 mi/h = 0.2778 m/s 0,9113 ft/s
Volumen
1 litro (L) = 10 m3
= 1000 cm3
= 0,353 1 ft3
1 ft3
= 0,02832 m3
= 7,481 U.S. galones (gal)
1 U.S. gal = 3,785 x 10 m3
= 0,1337 ft3
Fuerza
1 pound (lb) = 4,448 Newton (N)
1 N = 10 Dinas = 0,2248 lb
Trabajo y Energía
1 joule (J) = 0,7376 ft.lb = 107
ergios
1 kilogramo-caloría (kcal) = 4186 J
1 Btu (60°F) = 1055 J
1 kilowatt-hora (kWh) = 3,600 x 106
J
1 electron volt (eV) = 1,602 x 10-19
J
Angulo
1 radian (rad) = 57,30°
1° = 0,0 1745 rad
Presión
1 pascal (Pa) 1 N/m2
= 1,450 x 104
lb/in2
1 lb/in2
= 6.895 x 10-5
Pa

4
l atmósfera (atm)= 1,013 x 10 Pa= 1,013 bar = 14,70
lb/in2
= 760 torr
Potencia
1 horsepower (hp) = 550 ft.lb/s = 745,7 W
1 watt (W) = 0,7376 ft.lb/s
ANALISIS DIMENSIONAL
La especificación numérica de una cantidad física
depende de las unidades que se empleen. Por
ejemplo, aunque una distancia se mida en unidades de
metros o pies o millas siempre será una distancia. Se
dice que su dimensión es de longitud, la
denominación no depende del sistema de unidades
empleado.
Los símbolos usados para especificar la 1ongitud, la
masa y el tiempo son L, M y T, respectivamente.
Para denotar las dimensiones de una cantidad se usan
corchetes, por ejemplo de distancia [ ]
l = L, de
velocidad [ ]
v = L/T, de área [ ]
A = L2
.
Entre sus aplicaciones tenemos:
a) Verificación de una fórmula específica. El
análisis dimensional utiliza el hecho de que las
dimensiones se pueden tratar como cantidades
algebraicas (se pueden sumar y restar sólo si se tienen
las mismas dimensiones).
Si una ecuación se lee
A = B + C
Los términos A, B, y C deben tener las mismas
dimensiones.
Ejemplo 1. Verificar la fórmula siguiente
2
0
2
1
at
vt
x
x +
+
= , donde x y x0 representan
distancias, v es velocidad, a es aceleración y t es un
intervalo de tiempo.
Solución.
Como
[ ] [ ] [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
= 2
0
2
1
at
vt
x
x = L
Y las dimensiones de la velocidad son L/T y de la
aceleración L/T2
, tenemos:
[ ] ( )
T
T
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
vt = L
( )
2
2
2
T
T
L
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
at = L
Podemos ver que esta fórmula es correcta porque
todos los términos tienen la dimensión de longitud.
b) Desarrollo de ecuaciones. Esto lo podemos ver en
el ejemplo de encontrar la distancia recorrida por un
cuerpo en caída libre.
Pongamos que esta caída puede depender de la masa,
la aceleración de la gravedad y del tiempo.
( )
t
g
m
f
x ,
,
=
El procedimiento para el análisis dimensional es
poner la expresión en la forma
c
b
a
t
g
m
x ∝
Donde a, b y c son exponentes que deben ser
determinados y el símbolo ∝ indica
proporcionalidad. Esta ecuación es correcta
únicamente si las dimensiones de ambos lados son
iguales, como la dimensión de x es de longitud, la
dimensión, del lado izquierdo también debe ser de
longitud.
[ ] L
=
c
b
a
t
g
m
L
T
T
L
M c
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b
a
L
T
L
M 2b
-
c
b
=
a
Igualando exponentes en ambos miembros
obtendremos
a = 0, b =1, c-2b = 0
De aquí a = 0, b = 1 y c = 2
Por lo tanto la expresión debe tener la forma
2
gt
x ∝ o
2
kgt
x =
El análisis dimensional puede describir la forma de la
ecuación pero no indica el valor de la constante k.
Ejemplo 2. Mediante el análisis dimensional
determinar la expresión para la aceleración centrípeta
de una partícula que describe un movimiento circular
uniforme.
Solución.
Supongamos que la aceleración centrípeta depende de
la velocidad, del radio de curvatura y el peso
c
b
a
c W
R
kv
a =
aceleración centrípeta [ ] 2
T
L
=
c
a
velocidad [ ]
T
L
=
v
radio [ ] L
=
v
peso [ ] 2
T
ML
=
W
Reemplazando
( )
c
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 2
2
T
ML
L
T
L
T
L
⇒ c
c
a
c
b
a
M
T
L
LT 2
-2 −
−
+
+
=
Igualando exponentes para L: c
b
a +
+
=
1
para T: c
a 2
2 −
−
=
−
para M: c
=
0
de donde obtenemos 2
=
a , 1
−
=
b y 0
=
c
por lo tanto
R
v
k
R
kv
ac
2
1
2
=
= −
c) Convertir un sistema de unidades a otro. Si
tenemos una fórmula en un sistema de unidades
podemos convertirlo a una fórmula en otro sistema de
unidades. Sean L1, M1, T1 y L2, M2, T2 sus unidades.

5
Si la cantidad G de una ecuación tiene dimensiones G
= La
Mb
Tc
. Se mide g1 con la unidad G1, y mide g2
con la unidad G2, la relación es:
2
2
1
1 G
g
G
g = ⇒
2
1
1
2
G
G
g
g =
c
b
a
g
g ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M
L
L
Ejemplo 3. Si en el sistema MKS la fórmula para el
cálculo de la variable R de unidades kg/ms aparece
como
2
1
782
,
1
5
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
p
A
p
R
Donde. p tiene unidades de m/s y A de km/m3
.
Hallar la fórmula en el Sistema Inglés.
1 kg = 2,2 1b l m = 3,28 pie
Solución.
Sean en el sistema MKS, L1, M1, T1, y en el sistema
Inglés, L2, M2, T2.
Las relaciones entre estos sistemas son;
2
,
2
M
M
2
1
= , 28
,
3
L
L
2
1
= , 1
T
T
2
1
=
En la ecuación
2
1
782
,
1
5
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
p
A
p
R
[ ]
LT
M
=
R , [ ]
T
L
=
p , [ ] 3
L
M
=
A
La cantidad l,782 A tiene las mismas unidades que p
[ ] [ ][ ] [ ]
T
L
L
M
1,782
1,782
1,782 3
=
=
= A
A
Las unidades de 1,782 son
[ ]
MT
L
1,782
4
=
Observando la ecuación de R, concluimos que las
unidades de 5 son las correspondientes a (R)2
.
[ ] 2
2
2
T
L
M
5 =
Para obtener el valor correspondiente a 1,7132 en el
sistema Inglés
2
2
4
2
2
1
1
4
1
1
T
M
L
T
M
L
g
g = ⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
4
2
1
1
2
T
T
M
M
L
L
g
g
⇒
( )
( )( )
75
,
95
1
2,2
3,28
1,7132
4
2 =
=
g
Para obtener el valor correspondiente a 5 en el
sistema Inglés
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
T
L
M
T
L
M
g
g =
⇒ 2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
T
T
L
L
M
M
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= g
g
⇒
( )
( ) ( )
25
,
2
1
3,28
2,2
5 2
2
2
2 =
=
g
Luego en el Sistema Inglés la ecuación
correspondiente es
2
1
75
,
95
25
,
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
p
A
p
R
Para comprobar esta expresión evaluemos
R1 para
s
m
1
1 =
p , 3
1
m
kg
1
=
A y R2 para
s
pie
28
,
3
2 =
p ,
( ) 3
2
3
2
pie
lb
10
23
,
6
pie
3,28
lb
2,2 −
×
=
=
A
Operando en las ecuaciones respectivas obtenemos
m.s
kg
34
,
1
1 =
R y
pie.s
lb
899
,
0
2 =
R
Realizando la conversión de unidades R1 encontramos
que es equivalente a R2.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando e realizan mediciones, los valores medidos se
conocen únicamente dentro de los límites de la
incertidumbre experimental, 1o datos medidos
inherentemente no son exactos y si se registran en
notación decimal consisten de un conjunto finito de
dígitos llamados cifras significativas, la última de las
cuales es conocida como cifra dudosa.
Cuando se mide una longitud mediante una regla se
observa la lectura de un instrumento en el cual hay
una escala, el punto de observación para la lectura
llega a una posición como la que se indica en la
figura siguiente.
Se puede leer exactamente hasta 11 y apreciar un
dígito más, este último depende de cada persona
puede ser 11,6 , 11,5 ó 11,7.
Si suponemos que nuestros instrumentos están
adecuadamente construidos, entonces las lecturas que
tomemos tendrán significado y serán reproducibles,
excepto el último digito, el de los décimos de la

6
división más pequeña, será aunque con significado un
poco incierto.
Por lo que no hay objeto en añadir una segunda cifra
incierta. Una cifra significativa es cualquier dígito
que denota la magnitud de la cantidad según el lugar
que ocupa en un número. Por ejemplo si escribimos
S/. 10,52, todas las cifras son significativas, el uno
representa el número de decenas en soles, el 0
representa que no hay unidad de sol y es significativo
y finalmente sabemos que tenemos 52 céntimos. En
la expresión 0,01052 gr. el primer cero de la
izquierda sirve para llamar la atención hacia la coma,
el segundo cero muestra que el 1 ocupa el segundo
lugar después de la coma. Estos ceros no son
significativos, sin embargo el 0 entre 1 y 5 es
significativo.
10,52 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2)
0,01052 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2)
La incertidumbre más pequeña posible con cualquier
aparato de medición es mitad del límite de la lectura.
Sin embargo, la mayoría de las investigaciones
generan una incertidumbre mayor que esto. La tabla
siguiente enumera la incertidumbre de algunos
equipos comunes del laboratorio.
Regla de metro ± 0,05 cm
Calibrador vernier ± 0,005 cm
Micrómetro ± 0,005 mm
Reloj de segundos ± 0,5 s
Cronómetro ± 0,0005 s
Dinamómetro ± 0,1 N
Cuando se anotan y se manipulan números obtenidos
por medidas, serán de mucha ayuda las siguientes
reglas:
Regla 1: Redondeo de un número -
En el proceso de rechazo de uno o varios de los
últimos dígitos. La última cifra retenida se
incrementará en 1 si la cifra rechazada es 5 o mayor.
Ejemplo.
Redondeo a
Número
dado Cuatro
cifras
Tres
cifras
Dos
cifras
62,578 62,58 62,6 63
10 232 10 230 10 200 10 000
329 350 329 400 329 000 330 000
Regla 2: Suma y Resta
El número de cifras significativas de la suma o
diferencia será redondeado desechando todas las
cifras a la derecha del lugar ocupado por la cifra
incierta en cualquiera de las cantidades que esté más
hacia la izquierda, como se muestra en el ejemplo:
Regla 3: Multiplicación y División
El número de cifras significativas del producto
cociente será redondeado a un número de
Significativas igual a aquel componente de
aproximación como se muestra en los ejemplos:
3,14159 x 21,13 = 66,38179 = 66,38
3,14159 / 21,13 = 0,14868 = 0,1487
Esto es porque 21,13 tiene sólo cuatro cifras
significativas, el resultado se redondea a cuatro cifras
significativas
Regla 4. Potencias y raíces
La potencia o raíz de un número de n cifras
significativas se redondea a n cifras significativas.
como se muestra en los ejemplos:
58
,
4
5796
,
4
14
,
2 2
=
= 80
,
9
800344
,
9
14
,
2 3
=
=
46
,
1
46287
,
1
14
,
2 =
= 29
,
1
288658
,
1
14
,
2
3
=
=
Ejemplo 4. ¿Cuáles son los resultados en las cifras
correctas de las siguientes operaciones indicadas?
a) 2,5 x 10-2
x 20
b) 3,32 x 103
+ 3,2 x 10
c) 4,52 x 108
+ - 4,2 x 103
d) 2,801 x 4 x 10-3
e) 6,2 x 104
/ 3,0 x 10
Solución.
Aquí todos los números están expresados en notación
científica.
Por ejemplo:
0,025 = 2,5 x10-2
= 2,5(-02), tiene 2 cifras
significativas
20 = 2 x 10 = 2(+1), tiene una cifra significativa.
a) 2,5 x 10-2
x 20 = 5 x 10-1
b) 3,32 x 103
+ 3,2 x 10 = 3,35 x 103
c) 4,52 x 108
- 4,2 x 103
= 4,52 x 108
d) 2,801 x 4 x 10-3
= 11 x 10-3
e) 6,2 x 104
/ 3, 0 x 10 = 2,1 x 103
Ejemplo 5. Para determinar la densidad de un líquido
se toman 10 cm3
de éste. La masa del líquido medida
en una balanza es 15,38g. ¿Cuál es la expresión
correcta de la densidad?
Solución.
La densidad del líquido es
3
cm
g
538
,
1
10
38
,
15
=
=
=
V
m
ρ
Siendo 10 el número con menos cifras significativas
(2), el resultado se redondea a 2 cifras significativas.
La expresión correcta de la densidad es
3
cm
g
5
,
1
=
ρ
ERRORES
Como hemos indicado las mediciones físicas
involucran incertidumbre. El valor exacto de una
magnitud medida es algo a lo cual intentamos
aproximarnos pero que nunca conocemos. Un número
de lecturas cuando se promedia se considera como el

7
mejor acercamiento al verdadero valor de una lectura,
y la diferencia entre una lectura y la verdadera lectura
o lectura exacta se llama error. Aquí la palabra error
no significa equivocación sino una incertidumbre.
Error absoluto es la diferencia entre el valor
aceptado N (asumimos conocido) y el valor
aproximado N , obtenido por mediciones o cálculos.
N
-
N
=
e
Error relativo es la relación entre el error absoluto e
y el valor aceptado N
N
N
1
N
−
=
=
e
e
Porcentaje de error es el número de partes por cada
100 en que un número está errado
( ) %
N
N
1
%
100
% ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
= e
e
Cuando calcule el porcentaje de error en física
elemental no use más de dos cifras significativas.
Por ejemplo si una pista para carreras de 3500 metros
tiene 17 metros más.
El error absoluto o simplemente error es
m
17
=
e
El error relativo es
3500
17
=
e
El porcentaje de error es
%
49
,
0
%
100
3500
17
% =
×
=
e
Clasificación de errores.
En los cálculos numéricos pueden ocurrir cinco tipos
de errores básicos.
a) Error inherente ( )
i
e . Es el error en los datos
iniciales debido a mediciones, observaciones o
registros inexactos.
b) Error de truncado t
e . Es el error creado por
representar una función con sólo unos cuantos
términos de una serie. Por ejemplo:
El valor correcto de 000
,
1
2
sen
N =
=
π
El valor aproximado de N computado por expansión
de series es:
...
!
7
2
!
5
2
!
3
2
2
N
7
5
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
π
π
π
π
Si se usa solo el primer término.
2
00000
,
1
N
-
N
π
−
=
=
t
e = -0,57080 (-57%)
Si se usan los dos primeros términos.
07516
,
0
!
3
2
2
00000
,
1
N
-
N
3
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
=
π
π
t
e
(+7,5%)
Si se usan los tres primeros términos.
!
5
2
!
3
2
2
00000
,
1
N
-
N
5
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
=
π
π
π
t
e
= -0,00453 (-0,5%)
Si se usan los cuatro primeros términos.
0,00015
=
t
e , el error de truncado ya es
insignificante.
c) Error de redondeo ( )
r
e , es el error introducido
por redondeo de un decimal. Por ejemplo.
Si π = 3,14159
Si redondeamos a π = 3,14, entonces:
0,00159
3,14
-
3,14159 =
=
r
e y
%
05
,
0
100
3,14159
0,00159
=
×
=
r
e
d) Error de interpolación ( )
p
e , es el error
introducido por la aproximación de un valor por su
equivalente interpolado. Por ejemplo:
Si conocemos la circunferencia de un círculo de l0
metros de diámetro y de otro circulo de 11 metros.
m
42
,
31
10
10 =
= π
C y
m
56
,
34
11
11 =
= π
C
Por interpolación lineal la circunferencia de un
círculo de 10,6 metros es:
( ) m
30
,
33
6
,
0
10
11
10
6
,
10 =
×
−
+
= C
C
C
C
Pero el valor exacto es
m
31
,
33
6
,
10
6
,
10 =
×
= π
C
De aquí
m
01
,
0
30
,
33
31
,
33 =
−
=
p
e
o 3%
0
,
0
100
31
,
33
01
,
0
% =
×
=
p
e
e) Error de aproximación ( )
a
e , es el error
introducido por la aproximación de una constante o
una función por un valor elegido. Por ejemplo:
La aceleración debido a la gravedad g = 9,80665
m/s2
puede aproximarse por:
2
s
m
80769
,
9
10
52
51
=
×
=
g ⇒ %
01
,
0
% =
a
e
mejor por
2
s
m
80658
,
9
10
517
507
=
×
=
g ⇒
%
00
,
0
% =
a
e
(El error aparece en el cuarto decimal)

8
Error cuadrático medio o desviación normal o
estándar
En general cuando se realiza una medición cualquiera
siempre se comete error, cuando repetimos las
mediciones varias veces, encontramos casi siempre
resultados diferentes para cada una, aunque
empleemos el mismo método y el mismo aparato.
Las mediciones sucesivas de un objeto determinado
presentan discrepancias debido a los errores al azar o
aleatorios de las medidas. Si la longitud verdadera de
una varilla es 0
l la media aritmética de un gran
número de medidas sucesivas será un número que
representa la longitud media m
l . Una medida
Individual cualquiera tendrá una desviación de la
media m
e l
l −
= , cantidad que puede ser positiva o
negativa según l sea mayor o menor que m
l , es
decir
e
m ±
= l
l
Si elevamos al cuadrado cada uno de los valores de e
y tomamos la media de todos los
2
e , obtenemos
2
m
e que es la varianza de las medidas.
n
e
e
n
i
m
∑
=
= 1
1
2
2
A la raíz cuadrada de esta medía se la conoce como el
error cuadrático medio o desviación normal o
estándar σ .
2
m
e
=
σ
Cuanto mayor sea el número n de medidas, menor
será la diferencia entre su media m
l y la longitud
verdadera 0
l , es decir el error estándar de la media,
n
σ
, será menor. Por esto el mejor valor estimado
de 0
l es:
l
l
l
l Δ
±
=
±
= m
m
n
σ
En donde l
Δ es la incertidumbre o error absoluto
determinado a partir de n mediciones. En el caso de
verdaderos errores aleatorios, la media m
l cae en un
68 por ciento de las veces dentro de una distancia l
Δ
del valor verdadero pero desconocido 0
l .
De esta forma podemos presentar el resultado final de
un experimento en el cual se mide varias veces una
magnitud. Sin embargo, muchas veces realizamos
sólo una medición de la magnitud. En este caso se
considera generalmente que la incertidumbre o error
absoluto es igual a la mitad de la división menor de la
escala del instrumento. Por ejemplo: si para medir
longitudes se usa una regla cuya división minina es 1
mm el error absoluto o incertidumbre de la medida es
l
Δ = 0,05 mm.
Ejemplo 6. Un estudiante realiza varias mediciones
de la masa de un cuerpo, obteniendo los siguientes
resultados: 35,73 g , 35,76 g , 35,80 g, 35,76 g, 35,70
g
¿Cuál es el mejor valor estimado de la masa del
cuerpo?
Solución.
La masa media es:
5
35,70
35,76
35,80
35,76
35,73 +
+
+
+
=
m
m
= 35,75 g
La desviación de la media de cada medición es:
02
,
0
75
,
35
73
,
35
1 −
=
−
=
− m
m
m
01
,
0
75
,
35
76
,
35
2 =
−
=
− m
m
m
05
,
0
75
,
35
80
,
35
3 =
−
=
− m
m
m
01
,
0
75
,
35
76
,
35
4 =
−
=
− m
m
m
05
,
0
-
75
,
35
70
,
35
5 =
−
=
− m
m
m
La varianza de las medidas es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
05
,
0
01
,
0
05
,
0
01
,
0
02
,
0
2
2
2
2
2
2 −
+
+
+
+
−
=
m
e
= 0,0112
La desviación normal
0112
,
0
2
=
= m
e
σ = 0,0334
La incertidumbre o error estándar de la medida es:
5
0334
,
0
=
=
Δ
n
m
σ
= 0,01496 = 0,02
El mejor valor estimado es:
02
,
0
75
,
35 ±
=
Δ
±
= m
m
m m
( )g
02
,
0
75
,
35 ±
=
m
Si hubiéramos realizado una sola medición con una
balanza cuya menor división es de 0,1 g la
incertidumbre seria 0,05 y el resultado de la medición
podría expresarse así:
( )g
05
,
0
75
,
35 ±
=
m
Observemos que en ambos casos la incertidumbre
corresponde al segundo orden decimal (0,02 y 0,05
respectivamente) incidiendo por lo tanto en la cifra 5,
que es la cifra dudosa.
PROPAGACIÓN ERRORES
La determinación experimental de algunas cantidades
físicas tales como densidad o volumen se obtienen
por medición directa. Generalmente, la cantidad a
determinar se re1aciona de alguna manera conocida a
una o más cantidades medibles. El procedimiento es
medir estas cantidades y con estas calcular por medio
de relaciones conocidas la cantidad original. Por
ejemplo el volumen de un cilindro puede conocerse si
tenemos su longitud y Su diámetro. Estas pueden
medirse directamente, cada una con su intervalo de

9
error asociada, Estos intervalos de error determinan el
Intervalo de error de la cantidad calculada. Es
importante saber como hacer esta determinación de la
propagación de errores.
A continuación determinemos los errores para
diferentes situaciones.
a) Suma de dos o más variables.
Consideremos y
x
z +
= .
( ) ( )
y
y
x
x
z
z Δ
±
+
Δ
±
=
Δ
±
Puesto que x e y tienen las incertidumbres x
Δ y
y
Δ , ¿cuál es la incertidumbre z
Δ en z?
Los mayores valores posibles para x e y son x
x Δ
+
e y
y Δ
+ , respectivamente, dando un valor superior
de y
x
z Δ
+
Δ
=
Δ .
Los menores valores posibles para x e y son x
x Δ
−
e y
y Δ
− , respectivamente, dando un valor inferior
de ( )
y
x
z Δ
+
Δ
−
=
Δ .
Es decir, los valores límites para z son
( ) ( )
y
x
y
x
z Δ
+
Δ
±
+
=
Sin embargo, no utilizamos los ( )
y
x Δ
+
Δ como la
incertidumbre.
La razón es que para que z realmente valga
( ) ( )
y
x
y
x
z Δ
+
Δ
±
+
= se necesita que la
incertidumbre en la medición, tanto de x como de y,
sea tal que los dos resultados experimentales sean
subestimaciones.
Más probable es que uno de los resultados sea un
poco bajo y el otro un poco alto. Si éste es el caso, la
incertidumbre en una de las mediciones puede
compensar, en parte, la incertidumbre en la otra.
Para tomar en cuenta esta posibilidad, lo que hacemos
no es sumar las incertidumbres, sino que calculamos
2
2
y
x
z Δ
+
Δ
=
Δ
Esta manera de combinar las incertidumbres,
sumándolas elevadas al cuadrado, se llama suma en
cuadratura.
La incertidumbre z
Δ calculada de esta manera es
siempre mayor que las a x
Δ y y
Δ por separado,
pero menor que la suma y
x Δ
+
Δ . La diferencia
entre simplemente sumar las incertidumbres y
sumarlas en cuadratura es que la suma simple da la
incertidumbre máxima en el resultado, mientras que
la suma en cuadratura da la incertidumbre más
probable.
b) Diferencia de dos variables
Consideremos y
x
z −
= .
( ) ( )
y
y
x
x
z
z Δ
±
−
Δ
±
=
Δ
±
La incertidumbre que queremos es la incertidumbre
más probable, que viene a ser la raíz cuadrada de la
suma en cuadratura de las incertidumbres
2
2
y
x
z Δ
+
Δ
=
Δ
Por lo tanto, tenemos una regla para la propagación
de incertidumbres Cuando sumamos o restamos dos
magnitudes la incertidumbre en el resultado es la raíz
cuadrada de la suma en cuadratura de las
incertidumbres en las magnitudes.
Ejemplo 7. Medimos la masa de un tomillo y
obtenemos ( )g
5
253
1
1 ±
=
Δ
± m
m , luego
medimos también la masa de una tuerca,
( )g
5
48
2
2 ±
=
Δ
± m
m . ¿Cuánto vale la masa M
del tornillo y la tuerca juntos?
Solución.
Evidentemente, la masa M es
g
301
48
253
2
1 =
+
==
+
= m
m
M
La Incertidumbre en la suma es
2
2
2
1
2
m
m
M Δ
+
Δ
=
Δ = 50 = 7 g
y el resultado final es
( )g
7
301±
=
M
Ejemplo 8. ¿Cuál es la diferencia M’ entre las masas
1
m y 2
m del tornillo y la tuerca respectivamente?
Solución.
Evidentemente, la masa M’ es
g
205
48
253
' 2
1 =
−
==
−
= m
m
M
La Incertidumbre en la diferencia también es
2
2
2
1
2
' m
m
M Δ
+
Δ
=
Δ = 50 = 7 g
y el resultado final es
( )g
7
205
' ±
=
M
c) Producto de dos o más variables.
Supongamos xy
z =
( )( )
y
y
x
x
z
z Δ
±
Δ
±
=
Δ
±
= y
x
y
x
x
y
xy Δ
Δ
+
Δ
±
Δ
±
el error de z es y
x
x
y
z Δ
+
Δ
=
Δ
considerando el mayor valor posible y no tomando en
cuenta y
xΔ
Δ por se el producto de dos cantidades
pequeñas.
El significado de esto se más claramente en el error
relativo.
y
y
x
x
xy
y
x
x
y
z
z Δ
+
Δ
=
Δ
+
Δ
=
Δ
Ejemplo 9. ¿Cuál es el producto de ( )
5
,
0
6
,
2 ± cm
y ( )
5
,
0
8
,
2 ± cm?
Solución.
Primero, determinamos el producto de 2,6cm x 2,8cm
= 7,28 cm2
Error relativo 1 =
6
,
2
5
,
0
= 0,192
Error relativo 2 =
8
,
2
5
,
0
=0,179
Suma de los error relativos = 0,371 o 37,1 %

10
Error absoluto = 0,37l x 7,28 cm2
o 3,71 % x 7,28
cm2
= 2,70cm2
Los errores son expresados con una cifra significativa
= 3 cm2
El producto es igual a 7,3 ± 3 cm2
d) Potencias y raíces.
Sea
n
x
z =
Donde n es el número entero o fracción positivo o
negativo.
( )n
x
x
z
z Δ
±
=
Δ
±
Esto se puede escribir
n
n
x
x
x
z
z ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
±
=
Δ
± 1
Haciendo la expansión binomial de
n
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
1
n
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
1 =
( ) ( )( ) ...
!
3
2
1
!
2
1
1
3
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
−
+
Δ
+
x
x
n
n
n
x
x
n
n
x
x
n
ignorando las potencias mayores que 1 de x
Δ
n
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
1 =
x
x
n
Δ
+
1
De aquí
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
±
=
Δ
±
x
x
n
x
z
z n
1
El error de z es x
nx
z n
Δ
=
Δ −1
Y el error relativo es
x
x
n
z
z Δ
=
Δ
Ejemplo 10. Encontrar el error en el cálculo de
2
x
z =
Solución.
x
x
x
x
z Δ
=
Δ
=
Δ −
2
2 1
2
E error relativo es
x
x
z
z Δ
=
Δ
2
2
1
x
x
z =
=
Solución
x
x
x
x
z
Δ
=
Δ
=
Δ
−
2
1
2
1 1
2
1
E error relativo es
x
x
z
z Δ
=
Δ
2
1
3
3
1 −
=
= x
x
z
Solución.
4
4
1
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
z
Δ
−
=
Δ
−
=
Δ
−
=
Δ −
−
−
Como los errores son indeterminados debemos elegir
el signo de tal manera que éste sea el máximo, por
esto:
4
3
x
x
z
Δ
=
Δ
y el error relativo es
x
x
x
x
x
z
z Δ
=
Δ
=
Δ
3
1
3
3
4
e) Cocientes.
Supongamos
y
x
z =
( )
( )
y
y
x
x
z
z
Δ
±
Δ
±
=
Δ
±
Esto se puede escribir como:
( )( ) 1
−
Δ
±
Δ
±
=
Δ
± y
y
x
x
z
z
=
1
1
1
1
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δ
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
±
y
y
y
x
x
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
±
≈
y
y
x
x
y
x
m
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δ
Δ
+
Δ
±
Δ
±
≈
y
y
x
x
y
y
x
x
y
x
1
Ignorando el último término por se muy pequeño y
tomando el valor máximo para z
Δ .
El error de z es:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δ
+
Δ
=
Δ
y
y
x
x
y
x
z = 2
y
y
x
x
y Δ
+
Δ
El error relativo es:
y
x
y
y
x
x
y
z
z 2
Δ
+
Δ
=
Δ
=
xy
y
x
x
y Δ
+
Δ
=
y
y
x
x Δ
+
Δ
Ejemplo 13. Supongamos que queremos calcular la
densidad ρ de un cilindro de metal habiendo
medido su masa M, su longitud L y su diámetro D. Al
mismo tiempo queremos calcular el error relativo
resultante de los errores en las cantidades medidas.
Sabemos que la densidad está dada por la ecuación

11
( ) L
D
M
L
D
M
2
2
4
2 π
π
ρ =
=
Solución.
1
2
2
4
4 −
−
=
= L
MD
L
D
M
π
π
ρ
Como 4 y π son cantidades exactas no tienen error.
El error relativo de M es
M
M
Δ
El error relativo de D es
D
D
Δ
2
El error relativo de L es
L
L
Δ
De aquí
El error relativo de ρ es
L
L
D
D
M
M Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ 2
ρ
ρ
Ejemplo 14. El volumen de un cilindro de base
circular es L
R
V 2
π
= . ¿Cuánto vale la
incertidumbre o error en el volumen en términos de
las incertidumbres R
Δ y L
Δ ?
Solución.
Como π es cantidad exacta no tienen error.
El error relativo de R es
R
R
Δ
2
El error relativo de L es
L
L
Δ
De aquí
El error relativo de V es
L
L
R
R
V
V Δ
+
Δ
=
Δ
2
Y el error absoluto:
V
L
L
R
R
V ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
Δ
=
Δ 2 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ L
L
R
R
R 2
π
Ejemplo 15. Supongamos que queremos medir el
periodo T de un oscilador, es decir, el tiempo que
tarda en efectuar una oscilación completa, y
disponemos de un cronómetro que aprecia las
décimas de segundo, 0,1 s. Medimos el tiempo que
tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4,6 s,
dividiendo este tiempo entre 10 resulta t =0,46 s,
¿cómo se expresa la medida?
Solución.
10
t
T = ,
10
t
T
Δ
=
Δ
Obtenemos para el error s
01
,
0
10
1
,
0
=
=
ΔT . Por
tanto, la medida la podemos expresar como
( )s
01
,
0
46
,
0 ±
=
T
Ejemplo 16. La medida de los lados de un rectángulo
son )
06
,
0
53
,
1
( ± cm, y )
1
,
0
2
,
10
( ± cm,
respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el
error de la medida indirecta.
Solución.
El área es 606
,
15
2
,
10
53
,
1 =
×
=
A cm2
Como debe de tener solamente 3 cifras significativas
2
cm
6
,
15
=
A
El error relativo del área
2
2
2
,
10
1
,
0
53
,
1
06
,
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Δ
A
A
= 0,0404422504
El error absoluto del área
( )
10,2
1,53
04
0,04044225 ×
=
ΔA = 0,63083
El error absoluto con una sola cifra significativa es
0,6.
La medida del área junto con el error y la unidad se
escribirá como
( ) 2
cm
6
,
0
6
,
15 ±
=
A
Ejemplo 17. Se mide x con una incertidumbre x
Δ
y se calcula x
y ln
= . ¿Cuánto vale y
Δ ?
Solución.
( )
x
x
y
y Δ
+
=
Δ
+ ln
En este caso podemos usar aproximaciones para
cantidades pequeñas, cuando 1
<<
x , tales como:
( ) nx
x
n
±
≈
± 1
1 , x
ex
+
≈ 1 , ( ) x
x ≈
+
1
ln ,
x
x ≈
sen , 1
cos ≈
x , x
x ≈
tan
En nuestro caso
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
=
Δ
+
=
Δ
+
x
x
x
x
x
y
y 1
ln
ln
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
+
=
x
x
x 1
ln
ln
x
x
x
Δ
+
≈ ln
Como 1
<<
Δ
x
x
podemos aplicar
x
x
x
x Δ
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
1
ln , luego:
y
y Δ
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
+
=
x
x
x 1
ln
ln
x
x
x
Δ
+
≈ ln
Siendo x
y ln
= :
x
x
y
Δ
=
Δ
PRECISIÓN Y EXACTITUD
Los términos "PRECISION " y "ACCURACY" del
idioma inglés no son sinónimos, para efectos de
lenguaje estadístico traduciremos "Precision" como
precisión y "Accuracy" como exactitud, estableciendo
diferencias claras entre las dos palabras.

12
La precisión es una indicación de la concordancia
entre un número de medidas hechas de la manera
indicada por el error absoluto. Un experimento de
gran precisión tiene un bajo error al azar.
La exactitud es una indicación de cuan cercana está
una medida al valor aceptado indicado por el error
relativo o del porcentaje de error en la medida. Un
experimento de gran exactitud tiene un error
sistemático bajo.
Así como la obtención de una serie de medidas con
las unidades correctas, se requiere una indicación del
error experimental o el grado de incertidumbre en las
medidas y la solución. Cuanto mayor es la exactitud
y la precisión en nuestras investigaciones, más bajo
es el grado de incertidumbre.
Las cuatro figuras a continuación ilustran la
diferencia:
RANGO DE ERROR O INCERTIDUMBRE
Cuando una respuesta se expresa como valor con
incertidumbre tal como 2,3 ± 0,1 cm, entonces la
gama de la incertidumbre es evidente. ¿El valor cae
entre 2,4 (2,3 + 0,1) y 2,2 (2,3 - 0,1) cm. En la
física, determinamos a menudo la relación que existe
entre las variables. Para visión la relación, podemos
realizar una investigación y trazar un gráfico del eje
dependiente) contra la variable independiente (eje x).
Considere un resorte que tenga varios pesos, unido a
él. A mayor peso se une a un resorte, el resorte
extiende más lejos de su posición del equilibrio. La
tabla siguiente muestra algunos valores para esta
investigación de Fuerza/alargamiento.
Fuerza ± 5 N 100 150 200 250 300
Alargamiento
± 0,2 cm
3,0 4,4 6,2 7,5 9,1
Cuando se traza un gráfico de la fuerza contra el
alargamiento, la línea del mejor ajuste no pasa por
cada punto. Una barra del error se puede utilizar para
dar una indicación del rango de la incertidumbre para
cada punto según se muestra en la figura a
continuación Fuerza/alargamiento.
En la dirección vertical, dibujamos una línea arriba y
abajo para que cada punto muestre la gama de
incertidumbre del valor de la fuerza. Entonces
ponemos una pequeña línea marcadora horizontal en
el límite del extremo incierto para el punto.
En la dirección horizontal, dibujamos una línea a la
izquierda y a la derecha para que cada punto muestre
la gama de incertidumbre del valor de la extensión.
Entonces ponemos una pequeña línea marcadora línea
vertical en el límite del extremo incierto para el
punto.
Cuando todos los puntos de la tabla se trazan en un
gráfico, la línea del mejor ajuste con las barras
apropiadas de error se muestra en la figura siguiente y
se puede ver que la línea del mejor ajuste cae dentro
del rango de la incertidumbre de la barra del error.
ESTIMADOS Y CÁLCULOS DEL ORDEN DE
MAGNITUD
Hasta donde hemos visto, es importante cuidar el
seguimiento de las incertidumbres en la medición
cuando se calculan las respuestas a los problemas. En
algunas ocasiones, tanto en la vida cotidiana como en
el quehacer científico, es necesario resolver un
problema del que no tenemos información suficiente
para obtener una respuesta precisa. A menudo
podemos obtener una respuesta útil mediante la
estimación de los valores de las magnitudes
apropiadas. Estas estimaciones, realizadas
generalmente a la potencia de diez más cercana, se
denominan estimaciones del orden de magnitud. El
cálculo resultante del orden de magnitud no es
exacto, pero generalmente es correcto con un factor
de diez. El conocimiento justo del orden de magnitud
de las cantidades físicas con frecuencia nos
proporciona información suficiente para obtener una
comprensión útil de la situación física y la capacidad
para formarnos un juicio y hacer cálculos para la
construcción de modelos.
Realizar estimaciones de magnitud con frecuencia es
sencillo. Por ejemplo, imagine que va a la escuela por

13
primera vez y que quiere estimar cuánto dinero
necesitara para comprar libros. Usted conoce que la
carga habitual para la mayor parte de los estudiantes
es de cinco materias, y que en cada una se necesita un
libro de texto.
Con estos datos puede estimar el costo de un solo
libro con el razonamiento siguiente. Sabe por
experiencia que S/. 1 es demasiado bajo y que S/. 100
es demasiado alto. Incluso S/. 10 es bajo. Una
estimación razonable puede ser S/. 50. Así, el costo
estimado de los libros para un semestre es de 5 x S/.
50 = S/. 250. Aunque el resultado no es exacto, está
dentro del orden de magnitud correcto y proporciona
una estimación razonable a un problema real. El
siguiente ejemplo ilustra la aplicación de las
estimaciones del orden de magnitud.
Cuando hacemos cálculos de este tipo con frecuencia
también efectuamos otras aproximaciones. Al
remplazar π por 3 o remplazar 2 por 3/2
hacemos pocas diferencias en el orden de magnitud,
pero hacerlo simplifica mucho los cálculos. Los
ejemplos siguientes ilustran esta técnica.
Ejemplo 18. Una tienda ofrece un premio al cliente
que adivine con la mayor aproximación el número de
caramelos de goma que llenan un frasco de un litro
exhibido en un mostrador de la tienda. (Un litro es
igual a 1000 cm3
.) Estime cual será el número.
Solución.
Una revisión cuidadosa del frasco (véase la figura)
revela varias cosas. Los caramelos de goma pueden
aproximarse vagamente a pequeños cilindros de casi
2 cm de largo por aproximadamente 1,5 cm de
diámetro. Además, los caramelos no están apretados
en el frasco; posiblemente tan só1o se ha llenado 80%
de éste. Podemos hacer uso de estas observaciones
para estimar el número de caramelos que hay en el
frasco.
caramelo
un
de
Volumen
frasco
del
ocupado
Volumen
caramelos
de
Número =
EI volumen ocupado del frasco = 0,8 x 1000 = 800
cm3
,
Volumen de un caramelo =
3
2
2
cm
8
27
2
cm
2
3
3
cm
2
2
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
×
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ d
hπ
Así, el número aproximado de caramelos que hay en
el frasco es:
Número de caramelos 240
cm
8
27
cm
800
3
3
≈
≈ .
Un conteo realizado de los caramelos que llenan un
frasco de un cuarto (0,95 litros) dio 255 caramelos.
MODELOS IDEALIZADOS
Ordinariamente usamos la palabra "modelo" para
referimos a una réplica en menor escala (digamos, de
un ferrocarril) o a una persona que exhibe ropa (o se
exhibe sin ropa). En física, un modelo es una versión
simplificada de un sistema físico que sería demasiado
complejo si se analizase de forma detallada. Por
ejemplo, supongamos que nos interesa analizar el
movimiento de una pelota de béisbol lanzada en el
aire. ¿Qué tan complicado es el problema? La pelota
no es perfectamente esférica ni perfectamente rígida:
tiene costuras, está girando y se mueve en el aire. El
viento y la resistencia del aire afectan su movimiento,
la Tierra gira, el peso de la pelota varía un poco al
cambiar su distancia respecto al centro de la Tierra,
etc. Si tratamos de incluir todos estos factores, la
complejidad del análisis nos abrumará. En vez de
ello, inventamos una versión simplificada del
problema. Omitimos el tamaño y la forma de la pelota
representándola como objeto puntual, o partícula.
Despreciamos la resistencia del aire haciendo que la
pelota se mueva en el vacío, nos olvidamos de la
rotación terrestre y suponemos un peso constante.
Ahora tenemos un problema sencillo de tratar.
Para crear un modelo idealizado del sistema debemos
pasar por alto muchos efectos menores y
concentramos en las características más importantes.
Claro que hay que ser cuidadosos para no despreciar
demasiadas cosas. Si ignoramos totalmente los
efectos de la gravedad, nuestro modelo predecirá que
si lanzamos la pelota hacia arriba ésta se moverá en
línea recta y desaparecerá en el espacio. Necesitamos
algún criterio y creatividad para crear un modelo que
simplifique lo suficiente un problema sin omitir sus
características esenciales.
Al usar un modelo para predecir el comportamiento
de un sistema, la validez de las predicciones está
limitada por la validez del modelo. La predicción de
Galileo respecto a la caída de los cuerpos corresponde
a un modelo idealizado que no incluye la resistencia
del aire. El modelo funciona bien para una bala de
cañón, pero no para una pluma.
El concepto de modelos idealizados es muy
importante en física y en tecnología. Al aplicar
principios físicos a sistemas complejos siempre
usamos modelos idealizados, y debemos tener
presentes las suposiciones que hacemos. De hecho,
los principios mismos se expresan en términos de
modelos idealizados; hablamos de masas puntuales,
cuerpos rígidos, aislantes ideales, etc. Estos modelos
desempeñan un papel crucial en este libro. Trate de

14
distinguirlos al estudiar las teorías físicas y sus
aplicaciones a problemas específicos.
¿COMO ESTUDIAR FISICA?
Para estudiar física es necesario dar atención especial
a los significados específicos de las palabras para
poder entender el material, deben estudiarse
detenidamente los gráficos, dibujos, tablas y
fotografías incluidos para entender claramente los
principios físicos involucrados.
Gran parte de lo que se aprenderá será en las clases.
Deberán aprender a tomar apuntes exclusivamente de
las partes significativas de cada lección y
concentrarse por completo en lo que el profesor está
diciendo, estos apuntes son necesariamente breves y
carentes de relación. Por lo tanto, es recomendable
tener un cuaderno ordenado con las notas de clase
completando con apuntes tomados del estudio de los
libros. Hagan esto tan pronto como sea posible
después de clase, esto permitirá tener un conjunto de
notas claras e inteligibles para repaso; ayudará a
detectar las áreas débiles de conocimiento.
La parte más importante de los apuntes son los
problemas resueltos. Resuélvanse todos los ejemplos
vistos en clase y los dejados como tarea.
Richard Feynman premio Nóbel en física dijo: "usted
no sabe nada sobre algo hasta que lo ha practicado".
La habilidad para resolver problemas no es sólo una
prueba del dominio que cada cual posee de la ciencia,
sino también un índice del crecimiento de nuestra
propia capacidad como herramienta en las futuras
tareas del intelecto.
Se recomienda desarrollar las habilidades necesarias
para resolver un amplio rango de problemas. La
habilidad para resolver problemas puede ser la
principal prueba de los conocimientos. Es esencial
que se comprendan los principios y conceptos básicos
antes de intentar resolver problemas.
En física general los exámenes se componen
principalmente de problemas a resolver, es muy
importante que se entiendan y recuerden las hipótesis
que sirven de base a una teoría o formalismo en
particular.
Para la resolución de problemas se incluyen cinco
etapas básicas:
a) Dibuje un diagrama con ejes coordenados si son
necesarios y ponga las notaciones identificatorias,
con esto podemos eliminar errores de signo.
b) Identifique el principio básico, incógnitas, listando
los datos y las incógnitas.
c) Seleccione una relación básica o encuentre una
ecuación que se pueda utilizar para determinar la
incógnita y resuélvala simbólicamente. En esta forma
se evitan errores y ayuda a pensar en términos físicos
el problema.
d) Sustituya los valores dados con las unidades
apropiadas dentro de la ecuación y obtenga el valor
numérico de la incógnita.
e) Verificación y revisión del resultado por medio de
las siguientes preguntas:
¿Las unidades coinciden?
¿Es razonable el resultado?
¿Es apropiado el signo? ¿Tiene significado?
Una vez que el estudiante ha desarrollado un sistema
organizado para examinar problemas y extraer la
información relevante, tendrá confianza y seguridad
cuando tenga que resolverlos.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
1. Suponga que está planeando un viaje en automóvil
a otra ciudad y estima el tiempo que se requiere para
ir allá. Demuestre cómo esta estimación depende de
un modelo. ¿Cómo se ha descrito en el texto y qué
tan confiable es?
2. Dé un ejemplo personal del uso de un modelo para
el análisis de los datos medidos.
3. Explique la idea básica detrás de la conversión de
unidades.
4. Explique la diferencia en significado de las tres
cantidades 10 m, 10.0 m y 10.00 m.
5. ¿Cuál de los números siguientes se da con tres
cifras significativas: 0,003 m, 0,32 cm, 0,320 cm,
3,21 mm o 3,213 mm?
6. Un estudiante mide un rectángulo con una regla
cuya medida varía ± 1 mm. Encuentra que la altura
es 37 mm y el acho 46 mm. ¿Por qué debe informar
que el área del rectángulo
1700 mm2
en lugar de 1702 mm2
?
7 ¿Qué modelo describe en la forma más sencilla las
observaciones siguientes?
a) Una pelota colocada en cualquier lugar sobre el
piso permanece en reposo.
b) Una pelota colocada en cualquier lugar sobre el
piso empieza a rodar.
c) Dé otros modelos más sencillos para estas
observaciones.
Respuesta.
a) Bola esférica uniforme sobre un piso horizontal.
b) Bola esférica uniforme sobre un piso inclinado.
c) Para a) la bola tiene una parte plana o no es
uniforme y para b) la bola es asimétrica y empieza a
rodar hacia su lado más pesado.
8. Se lanza un dado muchas veces con los resultados
siguientes para el número que aparece en su cara
superior: 1, 63 veces; 2, 58 veces; 3, 62 veces; 4, 63
veces; 5, 75 veces y 6, 61 veces. ¿Qué modelo puede
hacer para el dado?
Respuesta.
El dado es más pesado hacia el punto 2.

15
9. Un cubo de metal flota en un líquido. ¿Cuál es el
modelo más sencillo del cubo y del líquido? ¿Hay
otros modelos?
Respuesta.
El cubo tal vez sea hueco si flota en el agua.
Alternativamente, el cubo es sólido pero flota en un
líquido que es más denso que él.
10. Un litro (L) es un volumen de 10 cm3
. ¿Cuántos
centímetros cúbicos hay en 2,5 mililitros?
Respuesta.
2,5 cm3
11. ¿Qué tan lejos viaja la luz en un vacío en 1,0
nanosegundos (Velocidad de la luz = 3,0 x l08
m/s.)
Respuesta
30cm
12. Los granos negros en algunos tipos de películas
fotográfica son de aproximadamente 0,8 μ m de
sección. Asuma que los granos tienen una sección
transversal cuadrada y que todos quedan en un solo
plano de la película. ¿Cuántos granos se requieren
para oscurecer completamente 1 cm2
de película?
Respuesta.
1,6 x 108
13. Una fórmula se lee y = ½ at2
, donde y está en
metros y t en segundos. ¿Cuáles son las dimensiones
de a?
Respuesta.
m/s2
14. ¿Cuál es la altura en centímetros de una persona
cuya estatura es 5’l1’’?
Respuesta.
180cm
15. ¿Cómo es 40,2 mi expresado en kilómetros?
Respuesta
64,7 km
16. Exprese 130 km/h en términos de millas por
hora.
Respuesta.
80,8 mi/h
17 Una tienda anuncia un tapete que cuesta US
$18,95 por yarda cuadrada. ¿Cuánto cuesta el tapete
por metro cuadrado?
Respuesta.
22,66 dólares/m2
18. Cuando la gasolina se vende a US $1,609 por
galón, ¿cuál es el precio en dólares por litro? (1 gal =
3,l7853 L)
Respuesta.
0,282 dólares/L
19. ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de un
pedazo de papel de 8 pulg x 14 pulg?
Respuesta.
1.25 768 cm2
20. Los listones de madera en una cerca están
espaciados 6,0 pulgadas, de centro a centro.
¿Cuántos listones están contenidos en un metro de
valla?
Respuesta.
6,6
21. La Luna gira sobre su eje cada 271/3 días de
modo que la misma cara está siempre hacia la Tierra.
¿A cuántos grados rotará la Luna respecto a su
propio eje en una hora?
Respuesta.
0,549°
22. ¿Cuántas revoluciones hace el segundero de un
reloj en tres años? Suponga que no hay año bisiesto
en el intervalo.
Respuesta.
1,58 x 106
revoluciones
23. La Tierra tiene una masa de 5.98 x 1024
kg y un
radio de 6,38 x 106
m. a) ¿Cuál es la masa por unidad
de volumen de la Tierra en kg/m3
? b) ¿Cuál es la
masa por unidad de volumen de un núcleo de oro que
tiene una masa de 3,27 x 1025
kg y un radio de 6,98 x
10-15
m? c) ¿Cuál sería el radio de la Tierra si su
masa no cambiara, pero tuviera la misma masa, por
unidad de volumen, que el núcleo de oro?
Respuesta.
a) 5,50 x 103
kg/m3
, b) 2,30 x 1017
kg/m3
, c) 184 m
24. Calcule el volumen de la tabla rectangular con
altura de 17,5 mm, ancho de 29,4cm y longitud 115,4
cm. Recuerde la regla que se refiere a las cifras
significativas.
Respuesta.
5,94 x 103
cm3
25. Si usted mide los lados de un cuadrado y son de
diez centímetros con una exactitud de ±1 %, ¿cuál es
el área del cuadrado y cuál es la incertidumbre?
Respuesta.
(100 ± 2) cm2
26. Sume los números siguientes: 3,57 x 102
, 2,43 x
103
y 4,865 x 102
.
Respuesta.
3,27 x 103

16
27. Un legajo de papel copia tiene 5,08 cm de
espesor. ¿Cuál es el espesor de una sola hoja del
papel? Exprese su respuesta en m y mm.
Respuesta.
1,02 x 10-4
m o 0,102 mm
28. El piso rectangular de un gimnasio tiene lados de
longitud de x ± Δ x por y ± Δy donde Δ x y Δ y son
las incertidumbres estimadas en las mediciones y son
pequeñas comparadas con x e y. Demuestre por
cálculo directo que el área del piso y la
incertidumbre en esa área están dadas por
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δ
+
Δ
±
=
y
y
x
x
xy
xy
A cuando se ignoran términos
muy pequeños, del orden de ( Δ x)2
. (En la mayor
parte de los casos, este resultado sobrestima la
incertidumbre en el área, porque no toma en
consideración que las incertidumbres en las
longitudes, Δx y Δy, provienen de una serie de
medidas, que tienen una dispersión natural en sus
valores.)
29. Estime el espesor de las páginas de un libro. Dé
su resultado en milímetros.
Respuesta.
Aproximadamente 0,06 mm
30. Alrededor de cuántos ladrillos se requieren para
construir una pared de altura hasta el hombro de 100
pies de largo? Los ladrillos estándar tienen 8 pulg de
largo por 2 1/4 pulg de alto y están separados por 3/8
de pulgada de mortero.
Respuesta.
3,3 x 103
ladrillos
31. ¿Cuál es el volumen en milímetros cúbicos de un
cubo de 1,00 pulg por lado?
Respuesta.
1,64 x 104
mm3
32. En algunos países el consumo de gasolina de un
automóvil se expresa en litros consumidos por 100
km de viaje. Si un automóvil logra 27 millas/galón,
cuál es el consumo de combustible en litros por 100
km? (1 gal = 3,7853 L)
Respuesta.
8,7 L/100 km
33. La velocidad del sonido a la temperatura
ambiente es 340 m/s. Exprese la velocidad del sonido
en unidades de millas por hora.
Respuesta.
761 mi/h
34. a) ¿Cuántos milisegundos hay en un minuto?
¿Cuántos gigasegundos hay en un siglo?
Respuesta.
a) 1 min = 60000 ms, b) 1 siglo = 3,16 Gs
35. a) Calcule la altura de un cilindro de radio R que
tiene el mismo volumen de una esfera de radio R. b)
Demuestre que el cilindro tiene un área superficial
mayor que la esfera.
Respuesta.
R
h
3
4
=
36. Considere una esfera que se ajusta exactamente
dentro de un cubo. ¿Cuál es la relación del volumen
de la esfera al volumen del cubo?
Respuesta.
6
/
π
37. Un vaso cilíndrico para malteada tiene un radio
interior medido de r ± Δ r y una altura de h ± Δ h.
Demuestre que el volumen del vaso es
h
r
r
h
h
r
V Δ
±
Δ
±
= 2
2
2 π
π
π si se ignoran los
términos muy pequeños del orden ( )2
r
Δ

Física Capítulo 1

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