4. Definición:
Es una función polinómica donde el mayor exponente de la variable es 1.
Representación algebraica:
Se expresa como:
Donde: m es la pendiente
b es la intersección con el eje Y
Ejemplo:
6. Para el análisis de las funciones lineales
seguiremos el siguiente orden:
Pasos
1. Realizar la
tabla de valores
2. Trazar la
gráfica
3. Dominio y
rango
4. Puntos de
corte y raíces
5. Signos de la
función
6. Monotonía
8. P1. Tabla de valores:
Esto nos permitirá visualizar la relación entre las variables, para así graficar los puntos obtenidos.
• Primero se identifica las variables, una independiente (X) y otra dependiente (Y), se elegirá un
conjunto de valores para X (por ejemplo: de -2 hasta 2).
• Calculamos los valores de Y aplicando la función dada. Luego organizamos los pares de valores en
una tabla de dos columnas, donde la primera mostrará los valores de X y la segunda de Y.
𝒇 ( 𝒙 ) =4 𝑥 − 2
10. P3. Dominio y rango:
Para las funciones lineales de todo tipo, el dominio es todo el conjunto de los números reales
(), esto quiere decir que cualquier número dentro de este conjunto numérico va a pertenecer al
dominio de la función.
Lo mismo sucede con el rango, pues serán todos los valores pertenecientes al conjunto de los
reales (). A esto también se le denomina no tener restricciones.
11. P4. Intersecciones con los ejes y raíces:
Las intersecciones son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje x (raíces o ceros) y al
eje Y. Para hallar las raíces, resolvemos , pues corresponden a los cortes en el eje X Mientras que
para el eje Y la obtenemos al evaluar .
De esta manera evidenciamos que ambos conceptos están relacionados, ya que las raíces son un
caso particular de intersección (con el eje X), mientras que da el punto donde la gráfica cruza el
eje vertical (eje Y).
12. P5. Signos de la función:
Para determinar los signos de una función lineal debemos resolver las siguientes inecuaciones:
Es negativo cuando
Es positivo cuando
Estas inecuaciones las resolveremos siguiendo el mismo proceso de como encontrar los ceros de
la función. Sin embargo, podemos guiarnos también por la gráfica para conocer los signos.
13. P6. Monotonía
Para determinar este elemento de una función lineal vamos a fijarnos principalmente en la
pendiente de dicha función, cuya forma es . Es decir, vamos a observar el signo de “” y tendremos
los siguientes casos:
Si : La función es estrictamente creciente. A medida que x aumenta, la recta "sube".
Si : La función es estrictamente decreciente. A medida que x aumenta, la recta "baja".
Asimismo, al ser únicamente creciente o por el contrario solamente decreciente en todo su
dominio, también se concluye que la función es monótona.
16. Definición:
Si una función da como resultado el mismo número para cualquier valor
de x, se dice que es una función constante.
Representación algebraica:
Se expresa como:
Donde: c es una constante real.
Ejemplo:
2
18. Para el análisis de las funciones constantes
seguiremos el siguiente orden:
Pasos
1. Realizar la
tabla de valores
2. Trazar la
gráfica
3. Dominio y
rango
4. Puntos de
corte y raíces
5. Signos de la
función
6. Monotonía
20. P1. Tabla de valores:
1.- Identificar variables:
X (independiente): Rango definido (ej: -3 a 3).
Y (dependiente): Se calcula aplicando la función.
2.- Organizar datos en tabla de 2 columnas:
Columna 1: Valores de X.
Columna 2: Valores calculados de Y.
𝒇 ( 𝒙 ) =5
21. P2. Gráfica:
• La grafica de la función constante es una recta horizontal.
• La pendiente es siempre cero.
22. P3. Dominio y rango:
Dominio (valores de X):
No hay restricciones → Todos los números reales (ℝ).
Rango (valores de Y):
Siempre es igual a una constante (c).
Rango = { c } (único valor).
23. P4. Intersecciones con los ejes y raíces:
Las intersecciones son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje x (raíces o ceros) y al
eje Y. Para hallar las raíces, resolvemos , pues corresponden a los cortes en el eje X Mientras que
para el eje Y la obtenemos al evaluar .
De esta manera evidenciamos que ambos conceptos están relacionados, ya que las raíces son un
caso particular de intersección (con el eje X), mientras que da el punto donde la gráfica cruza el
eje vertical (eje Y).
En el caso de las funciones constantes, solamente tiene intersección con el eje Y, puesto que nunca
intersecará el eje de las abscisas al ser una recta paralela a este eje cartesiano.
24. P5. Signos de la función:
Para determinar los signos de una función constante:
Sabemos que una función constante tiene la forma , donde es un número constante.
• Si (c es positivo): La función siempre será positiva.
• Si (c es negativo): La función siempre será negativa.
• Si : La función siempre será cero. La gráfica de la función coincidirá con el eje X.
Sin embargo, podemos guiarnos también por la gráfica para conocer los signos.
25. P6. Monotonía
En el caso de la monotonía de una función constante debemos tomar en cuenta que este tipo de función
puede ser únicamente:
Creciente: los valores de la función aumentan a medida que x también aumenta.
Asimismo, al ser únicamente creciente también se concluye que la función es monótona.
27. Definición:
Es una función polinómica donde el mayor exponente de la variable es 2.
Representación algebraica:
Se expresa como: ( ) = +
𝒇 𝒙 𝒃 +
𝒙 𝒄,
donde , y son constantes y
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 ≠ 0.
Ejemplo:
29. Para el análisis de las funciones cuadráticas
seguiremos el siguiente orden:
Pasos
1. Realizar la
tabla de valores
2. Trazar la
gráfica
3. Encontrar
puntos de vértice
4. Dominio y
rango
5. Puntos de
corte y raíces
6. Signos de la
función
7. Monotonía
31. P1. Tabla de valores:
1.- Identificar variables:
X (independiente): Rango definido (ej: -2 a 2).
Y (dependiente): Se calcula aplicando la función.
2.- Organizar datos en tabla de 2 columnas:
Columna 1: Valores de X.
Columna 2: Valores calculados de Y.
32. P2. Gráfica:
• Apertura (Concavidad):
Hacia arriba si .
Hacia abajo si .
• Vértice:
Punto máximo/mínimo
Cambio de monotonía (creciente/decreciente).
• Eje de simetría:
Línea vertical que pasa por el vértice.
• Raíces reales:
Dos, una o ninguna (intersecciones con el eje ).
33. P3. Encontrar vértice:
Paso 1: Identificar coeficientes
Forma general: + 𝒃 +
𝒙 𝒄,
a=1; b=−4; c=3
Paso 2: Calcular coordenada h (eje x del vértice)
Paso 3: Calcular coordenada k (eje y del vértice)
El vértice representa el punto mínimo (si a>0) o máximo (si a<0).
En este caso, como a=1>0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
35. P4. Dominio y rango:
Dominio (valores de X):
No hay restricciones → Todos los números reales (ℝ).
Rango (valores de Y):
Si Si
(abre hacia arriba) (abre hacia abajo)
Rango= Rango=
36. P5. Intersecciones con los ejes y raíces:
Con el eje X (raíces/ceros):
Se obtienen resolviendo .
Pueden ser 2, 1 o ninguna raíz real.
Con el eje Y:
Se calcula evaluando .
Solo hay una intersección: .
Las raíces son un caso particular de
intersección (con el eje X), mientras que da
el corte con el eje Y
37. P5. Signos de la función:
Métodos para determinar el signo:
• Resolver inecuaciones:
Positiva:
Negativa:
38. P5. Signos de la función:
Métodos para determinar el signo:
• Análisis gráfico:
Usar ceros o raíces de la función para crear intervalos (Cuadro de intervalos).
Dos raíces distintas (x1,x2
): Una raíz (doble) o si no tiene raíces:
(−∞,x1) El signo depende de a:
(x1,x2) Si tiene (- a) la función será negativa
(x2,+∞) Si tiene (a) la función será positiva
39. P6. Monotonía
Elementos clave:
Vértice (h, k): Punto de cambio de tendencia.
Coeficiente a: Determina la concavidad y el comportamiento.
Concavidad Intervalo (-∞, h) Intervalo (h, +∞)
a > 0 (hacia arriba) Decreciente Creciente
a < 0 (hacia abajo) Creciente Decreciente
COMPORTAMIENTO
SEGÚN a:
